NGUYỄN VĂN BÀNG – TRỊNH NGỌC HOÀN TRẦN VĂN KHẢI – NGUYỄN ĐÌNH LÂU
BÀI TẬP TOÁN
CHỌN LỌC CẤP II
TẬP MỘT
SỐ HỌC
Dùng cho học sinh giỏi toán
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kĩ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham thích của các học sinh ở mọi lứa tuổi.
Một trong những nhiệm vụ hàng đầu được đặt ra trong CCGD đối với môn toán là rèn luyện tư duy lôgic, phát triển năng lực suy luận, tìm tòi và sáng tạo, đồng thời gắn việc dạy – học toán với vấn đề giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp.
Xuất phát từ những yêu cầu này, chúng tôi viết cuốn sách “Bài tập toán chọn lọc”, về phần số học, nhằm mục đích cung cấp cho các học sinh giỏi và ham thích môn toán ở trường PTCS những kiến thức, phương pháp và kĩ năng cần thiết để giải các bài toán số học. Trên cơ sở đó học sinh sẽ hiểu biết sâu sắc hơn môn số học ở trường phổ thông, mặt khác có khả năng tham dự các kì thi giỏi toán.
Cuốn sách này gồm ba phần. Phần I là đề các bài tập. Phần II là lời giải. Lời giải được sắp theo tám đề mục. Nói chung, lời giải được trình bày ngắn gọn, cố làm rõ chìa khóa của từng lời giải. Những biến đổi, chứng minh hay tính toán đơn giản trong các bài giải được dành cho các em tự luyện tập. Hi vọng rằng cách trình bày như vậy sẽ giúp học sinh phát triển được năng lực độc lập suy nghĩ và tìm tòi, nhờ đó mà xây dựng được khả năng tự học và nghiên cứu.
Chúng tôi không đưa ra tất cả các cách giải của bài toán mà chỉ chọn ra những cách giải xét thấy có lợi đối với việc rèn luyện cho học sinh những kiểu tư duy hay kĩ năng này khác. Do đó mà trong từng bài toán có khi chúng tôi lại trình bày những lời giải dài hơn.
Mỗi bài toán ở đây được đánh số theo hai kí hiệu, chẳng hạn bài tập số 39 (6–7) : kí hiệu thứ nhất (số 39) chỉ thứ tự của từng bài toán, kí hiệu thứ hai (6–7) chỉ lớp nào ở PTCS.
Để viết cuốn sách này chúng tôi kế thừa các cuốn sách bài tập Số học đã xuất bản trước đây và vận dụng kinh nghiệm của chúng tôi qua
những năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở các lớp chuyên toán PTCS (cấp II).
Các tác giả sẽ rất vui mừng đón nhận và chân thành cám ơn những lời góp ý của bạn đọc.
Huế ngày 30 tháng 9 năm 1986 Các tác giả
PHẦN MỘT ĐỀ BÀI
§1. CÁC BÀI TẬP VỀ TÍNH TOÁN VÀ SUY LUẬN ĐƠN GIẢN
1. (6). Một lớp học có 11 nam sinh. Trong một buổi lao động cô
giáo chủ nhiệm chia lớp thành hai nhóm, mỗi nhóm có 24 học sinh. Mỗi nhóm lại chia làm nhiều tổ, số học sinh trong từng tổ ở mỗi nhóm đều bằng nhau.
Biết rằng các tổ trưởng đều là nam sinh và các nam sinh đều là tổ trưởng. Hãy tìm số nữ sinh trong từng tổ ở mỗi nhóm.
2. (6). Trong một cuộc thi đấu thể thao, ba bạn Nam, Trung, Bắc
đã giành được 6 giải nhất với số điểm tương ứng là 22, 23, 26, 28, 29 và 31 điểm. Biết rằng Trung và Bắc đạt được 5 giải nhất và tổng số điểm giải nhất của Bắc gấp bốn lần số điểm giải nhất của Trung. Tìm số điểm giải nhất của Nam.
3. (6). Trong hộp đồ chơi của Việt có 27 mẫu gồm các màu đỏ,
xanh, vàng và hồng. Biết rằng các mẫu màu đỏ nhiều gấp 3 các mẫu màu xanh, các mẫu màu xanh nhiều gấp 2 lần các mẫu màu hồng và các mẫu màu vàng nhiều hơn màu hồng 7 mẫu. Hỏi Việt có mỗi màu bao nhiêu mẫu?
4. (6). Một cô thủ quỹ có 1985 tờ giấy bạc gồm hai loại 1 đồng
và 5 đồng. Cô muốn chia số bạc trên thành hai phần sao cho số tiền trong hai phần bằng nhau. Cô thủ quỹ chưa nghĩ ra được cách chia, em có thể giúp cô ấy chia được không?
5. (6). Bạn Nam đi phố mua một số quyển sách cùng loại và một
số bưu ảnh cùng loại. Tiền mua sách hết 104 đồng, tiền mua bưu ảnh hết 6 đồng. Biết rằng giá tiền một quyển sách đắt hơn một tấm ảnh là 11 đồng. Hỏi bạn Nam đã mua bao nhiêu quyển sách và bao nhiêu tấm bưu ảnh? (cho biết giá tiền mỗi quyển sách là một số nguyên đồng).
6. (6). Việt trồng cây ở vườn trường, sau năm lần được 31 cây.
Biết rằng số cây trồng lần sau bao giờ cũng nhiều hơn số cây trồng lần trước đó và không nhiều hơn quá 2 cây. Ngoài ra, số cây trồng lần thứ năm gấp 3 lần số cây trồng lần thứ nhất. Hỏi mỗi lần Việt trồng được bao nhiêu cây?
7. (6). Nam có 285 đồng, gồm 33 tờ giấy bạc các loại 20 đồng, 10
đồng và 5 đồng. Số giấy bạc 10 đồng gấp ba lần số giấy bạc 20 đồng. Hổi nam có bao nhiêu tờ giấy bạc mỗi loại?
8. (6). Một bao vải có thể đựng được 21 kg gạo hoặc 14 kg bột
mì. Nếu bao đó đựng chung 120 đồng gạo và 120 đồng bột mì thì bao sẽ đầy và cân nặng 18 kg, không kể khối lượng bao. Tìm giá tiền 1 kg gạo và 1 kg bột mì.
9. (6). Bốn bạn Việt, Nam, Anh, Dũng chung tiền để mua một quả
bóng. Việt góp 1 2 tổng số tiền, Nam góp 1 3 số tiền của các bạn đã góp, Anh góp 1 4
số tiền của ba bạn kia còn Dũng góp 15 đồng. Tìm giá tiền của quả bóng và phần góp của mỗi bạn.
10. (6). Ba bình nước có dung tích tổng cộng là 120 lít. Nếu ta đổ
đầy nước vào bình thứ nhất rồi lấy lượng nước này rót hết vào hai bình
kia thì bình thứ ba đầy và bình thứ hai chỉ được 1 2 dung tích hoặc bình thứ hai đầy còn bình thứ ba chỉ được 1 3
dung tích của nó. Tìm dung tích của mỗi bình.
11. (6). Hai anh em Tuấn và Dũng đi từ trường về nhà như sau:
tốc 4km/h. Còn Dũng trong nửa đoạn đường đầu đi với vận tốc 4km/h, sau đó đi với vận tốc 5km/h. Hỏi ai về nhà trước?
12. (6-7). Tính giá trị của A, biết:
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 299 300 301 302
13. (6-7). Chứng minh rằng số A = 63! – 61! chia hết cho 71. (Kí
hiệu n! là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n; chẳng hạn
5! 1 2 3 4 5
; n! (gọi là n giai thừa)).
14. (6). Tính các tổng sau: 1) 5 5 5 5 B ... 11.16 16.21 21.26 61.66 2) 7 3333 3333 3333 3333 C 4 1212 2020 3030 4242 15. (6). So sánh các phân số sau đây: 1) 85 86 và 858585 868686 2) 47 57 và 4777 5777
16. (6). Trong Hội khỏe Phù Đổng năm 1986, trường PTCS Hòa
Bình có 12 học sinh giành được giải. Trong số đó có 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải và có 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất, mỗi người 4 giải. Hỏi trường Hòa Bình giành được tất cả bao nhiêu giải?
17. (6-7). Trong một cuộc thi đấu cờ quốc tế có 15 bạn tham gia,
điểm nào nó để tính đến lúc ấy mỗi bạn đều đã đấu đúng 9 trận hay không?
18. (6-7). a) Trong một tháng, có ba ngày chủ nhật rơi vào các
ngày chẵn. Hỏi ngày 15 của tháng đó là ngày thứ mấy?
b) Nếu tháng 11 có ba ngày chủ nhật rơi vào các ngày lẻ, thì ngày 20 của tháng đó là ngày thứ mấy?
19. (6-7). Số chữ số dùng để đánh số trang của một cuốn sách là
một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách có trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách này có bao nhiêu trang?
20. (6-7). Trong kì thi tuyển chọn học sinh giỏi Toán, Việt nhìn
đồng hồ và bắt đầu làm bài. Khoảng hơn 2 giờ sau thì làm bài xong, Việt nhìn lại đồng hồ thì thấy kim giờ và kim phút đã đổi vị trí cho nhau. Hỏi Việt đã giải xong bài thi hết bao nhiêu thời gian?
21. (6-7). Một lúc sau khi đồng hồ gõ đúng 12 giờ trưa, Nam
nhìn đồng hồ và ôn bài. Ôn bài xong, nhìn lại đồng hồ thấy kim giờ và kim phút đã đổi vị trí cho nhau và Nam bắt đầu đi học. Biết rằng giờ học bắt đầu lúc 13h30, hỏi Nam ôn bài lúc mấy giờ và đi học lúc mấy giờ?
22. (6-7). Hình 1 ở bên cho ta biết
a : 4 = b, b x 4 = c,… d + 1 = a, n : 6 = m,…
Hình 1
23. (6-7). Ba bạn Yến, Lan, Cúc gắn mỗi chữ cái trong tên của
mình bằng một chữ số. Hai chữ cái khác nhau thì hai chữ số tương ứng cũng khác nhau. Ba bạn đã ghép thành các đẳng thức như trong bảng ở hình 2.
a) Hãy tìm các chữ số thích hợp mà ba bạn đã chọn để các đẳng thức trong bảng được thỏa mãn.
b) Giải bài toán trong trường hợp thay phép tính N x N = C bởi N + N = C.
24. (6-7). Hãy đặt vào mỗi chữ a, b, c… của hình 3 một trong các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho không có chữ số nào được lặp lại và tổng của ba số trong mỗi hàng bằng nhau.
Có bao nhiêu hình khác nhau thỏa mãn điều kiện bài toán?
Hình 3
25. (6-7). Trong một cuộc hội thảo quốc tế có 15 người biết tiếng
Đức, 17 người biết tiếng Nga và 23 người biết tiếng Anh. Trong số họ có 9 người biết cả tiếng Anh và tiếng Nga, 8 người biết cả tiếng Anh và Đức, 7 người biết cả tiếng Nga và tiếng Đức, 5 người biết cả 3 thứ tiếng Anh, Đức, Nga. Tìm số người chỉ biết một thứ tiếng Anh, Đức, hoặc Nga.
§2. PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ
26. (6). Trong phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b 0 ) ta có một số dư nào đó. Tìm số tự nhiên lớn nhất để khi cộng thêm số này vào số bị chia thì thương số vẫn không đổi.
Áp dụng: Giải bài toán với a = 1986 và b = 37.
27. (7). Khi chia số tự nhiên a cho số 4 ta được số dư là 3, còn
khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36.
28. (7-8). Tìm các số có hai chữ số, biết rằng khi nhân số đó với
37 và lấy kết quả chia cho 31 ta được số dư là 15.
29. (7-8). Khi chia số 1986 cho số tự nhiên a ta được thương số
là 28. Tìm số chia a và số dư trong phép chia này.
30. (8). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho
29 ta có số dư là 5 và khi chia cho 31 ta có số dư là 28.
31. (7-8). Tìm số dư trong phép chia
13
101
cho 11.
32. (8). Chia số có bốn chữ số cho 8 ta có số dư là 7, còn chia
cho 125 ta có số dư là 4. Tìm số này. 33. (8). Tìm số dư trong phép chia số 1985 1985 1985 A 20 16 3 1 cho số 17.
34. (6-7). a) Chứng minh rằng các tích số sau đây là các số chẵn
(n+7)(n+10) và mn(m-n), trong đó m, n là các số tự nhiên và m n .
b) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 2
n 1
không chia hết cho 3.
c) Tìm mọi số tự nhiên n, biết rằng 2
n 1
chia hết cho 5.
35. (6-7). Chứng minh rằng nếu tổng của ba số tự nhiên liên tiếp
là số lẻ thì tích của chúng chia hết cho 24.
36. (7-8). Chứng minh rằng nếu (n+1) và (2n+1) là hai số chính
phương thì n chia hết cho 24.
37. (6-7). a) Hai số tự nhiên có tổng chia hết cho 10. Bình
phương số lớn trừ bình phương số nhỏ có chữ số tận cùng là chữ số nào?
b) Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5. Tổng các lập phương của hai số này có chữ số tận cùng là chữ số nào?
38. (7-8). Tìm số tự nhiên biết rằng khi viết thêm chữ số 0 vào
giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta được số mới gấp chín lần số ban đầu.
39. (7-8). Viết tiếp một số nguyên dương vào sau số 1983 ta được
số chia hết cho 101. Tìm số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.
40. (6-7). Tìm số nguyên tố có hai chữ số biết rằng khi nhân số
đó với 9 ta thu được tích là số có ba chữ số, và các chữ số này bằng nhau.
41. (6-7). Một số có ba chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Chứng
minh rằng số này chia hết cho 7 khi và chỉ khi các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng nhau.
42. (7-8). Dân số một thị xã là một số có sáu chữ số có dạng
abcdef
43. (8-9). Khi nhân một số với 5 thì tổng các chữ số của nó tăng
lên mười lần. Chứng minh rằng số này chia hết cho 9.
44. (8-9). Cho ba chữ số khác nhau và khác 0. Lập tất cả các số
có ba chữ số, mỗi số gồm ba chữ số khác nhau đã cho. Biết rằng tổng các lập được là 2886 và hiệu giữa số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số đã lập được là 495. Tìm các chữ số này.
45. (8-9). Cho số
1 2 3 4 5 98 99 100
A 3 3 3 3 3 ... 3 3 3
. Chứng minh rằng A chia hết cho 120.
46. (8-9). Cho số
9 99
A 2 2
. Chứng minh rằng A chia hết cho 200. 47. (9). Cho số 8 8 8 B 27195 10887 10152 . Chứng minh rằng B chia hết cho 26460. 48. (9). Cho số 40 M 3 1 và số N 396880 . Chứng minh rằng M chia hết cho N.
49. (9). Chứng minh rằng 1000! chia hết cho
164 7 . 50. (7-8). Chứng minh rằng 1917 1917 24 14 chia hết cho 19.
51. (7-8). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A n(2n 7)(7n 1)
chia hết cho 6.
52. (7-8). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số
5 n n chia hết cho 10.
53. (7-8). Biết rằng hai số tự nhiên x, y thỏa mãn bất đẳng thức x y và hai chữ số tận cùng của 5 x và 5 y bằng nhau. Chứng minh rằng số
x y chia hết cho 10 và số
2 2 x y chia hết cho 20.54. (9). Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn đẳng thức
4 2
24m 1 n
. Chứng minh rằng tích số mn chia hết cho 5.
55. (9). Cho số
2n n
A 3 3 1
, trong đó n là số nguyên dương. Tìm số dư của phép chia A cho 13.
56. (8-9). Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho
n 5 1 chia hết cho
n 4 1 . 57. (8-9). Tìm số nguyên dương n lớn hơn 4 để
3n 24 chia hết cho
n 4 .58. (8-9). Với giá trị nào của số nguyên dương n thì số
n
2 1
chia hết cho 3? Chia hết cho 5?
59. (8-9). Tìm các số nguyên dương n để
n 5 n 6
chia hết cho 6n?
60. (8-9). Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho
n 10 1986 chia hết cho
1986 10 1 .61. (8-9). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì a) 5 3 n 5n 4n chia hết cho 120. b) 2 n 3n 5 không chia hết cho 121.
62. (8-9). Cho a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng
minh rằng
a 1 b 1 chia hết cho 192.
63. (8-9). Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì
p4 1
chia hết cho 240. 64. (8-9). Cho số
A n 1 n 2 ... 2n 1 2n và
B n 1 n 2 ... 3n 1 3n , với n là số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng A chia hết chon 2 nhưng không chia hết cho n 1 2 , còn B chia hết cho n 3 nhưng không chia hết cho n 1 3 .
65. (9). Cho hai số nguyên dương m và n bất kì và
m n
. Chứngminh rằng tích số
n 2n 1 3n 1 ... mn 1 chia hết cho tích mọi số nguyên tố nhỏ hơn m.
66. (8-9). Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d và số nguyên tố p.
Biết rằng
p,a 1 và p là ước só của các số
ab cd và
a c . Chứng minh rằng p cũng là ước số của
b d .67. (8-9). Chứng minh rằng với mọi cặp số tự nhiên a, b thì
2 2 2 2 2 2 a b a b a b
chia hết cho 60.
68. (8-9). Cho ba số nguyên dương a, b và c thỏa mãn đẳng thức
2 2 2
a b c
. Chứng minh rằng tích số abc chia hết cho 60.
69. (8-9). Chứng minh rằng số abc chia hết cho 21 khi và chỉ khi
a 2b 4c
chia hết cho 21.
70. (8-9). Chứng minh rằng nếu số abc chia hết cho 17 thì số
2 22a c 2b
chia hết cho 17.
71. (8-9). a) Cho số có ba chữ số abc chia hết cho 37. Chứng
minh rằng các số bca và cab cùng chia hết cho 37.
b) Cho số có sáu chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và khác 0. Cho biết số đã cho chia hết cho 37. Chứng minh rằng bằng cách hoán vị các chữ số của số đã cho ta được ít nhất 23 số nữa, mỗi số cũng chia hết cho 37.
72. (8-9). Cho số A có sáu chữ số. Chứng minh rằng nếu hiệu của
số tạo bởi ba chữ số đầu và số tạo bởi ba chữ số cuối chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
73. (9). Tìm các số có hai chữ số sao cho số này chia hết cho tích
các chữ số của nó.
74. (9). Cho số có bốn chữ số sao cho số này chia hết cho 43.
Biết rằng số có hai chữ số tạo thành từ hai chữ số đầu lớn hơn số có hai chữ số tạo thành từ hai chữ số cuối là 3 đơn vị, tìm số đã cho.
75. (8-9). Cho hai số nguyên dương a và b. Chứng minh rằng
a2 b2
chia hết cho ab khi và chỉ khi a b .
76. (9). Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d. Chứng minh rằng tích số
a b a c a d b c b d c d
chia hết cho 12.
77. (9). Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lập tất cả các số có
bảy chữ số, mỗi số gồm đúng bảy chữ số đã cho. Chứng minh rằng trong các số vừa lập được, không có hai số nào mà số này chia hết cho số kia.
78. (9). Cho chín chữ số 1, 2, …, 9. Từ chín chữ số này, lập ra 3
số, mỗi số có ba chữ số, sao cho ba số này tỉ lệ với ba số 1, 2, 3. Biết rằng chữ số hàng đơn vị của số nhỏ nhất là 2, tìm ba số đó.
79. (8-9). Cho hai số A a b c và
1985 1985 1985
B a b c
, trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 6 | A khi và chỉ khi
6 | B
.
80. (9). Tìm các số nguyên dương n (n 2 ) sao cho (n-1)! không
chia hết cho n.
81. (9). Cho n là hợp số lớn hơn 4. Chứng minh rằng n! chia hết
cho 2 2n . 82. (8-9). Số có dạng 19202122… 787980 có chia hết cho 1980 hay không?
83. (9). Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì số
n n 1986 1 A 1000 1 không thể là số nguyên.
84. (9). Chứng minh rằng số viết được với n 3 chữ số như nhau chia hết cho n 3 , trong đó n là số nguyên dương.
85. (9). Chứng minh rằng với n là số nguyên dương thì số
n 3 n A 2 1 chia hết cho n 1 3 nhưng không chia hết cho n 2 3 .
86. (9). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong hệ thập
phân luôn luôn tồn tại một số chia hết cho n mà khi viết chỉ dùng hai chữ số 0 và 1.
87. (9). Cho số tự nhiên n không chia hết cho 2 và 5. Chứng minh
rằng trong hệ thập phân luôn luôn tồn tại số chia hết cho n mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1.
88. (9). Chứng minh rằng trong hệ thập phân tồn tại số tự nhiên
có n chữ số chia hết cho n
2
mà khi viết chỉ dùng các chữ số 1 và 2.
89. (9). Chứng minh rằng tồn tại số có tận cùng là 1986 và chia
hết cho 1987.
90. (9). a) Cho 100 số nguyên bất kì. Chứng minh rằng luôn luôn
chọn được trong đó một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho 100. b) Cho 100 số nguyên dương, mỗi số không vượt quá 100 và có tổng bằng 200. Chứng minh rằng có thể chọn được trong đó một vài số có tổng bằng 100.
91. (9). Cho hai số nguyên dương a và n nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k để
k
a 1
chia hết cho n.
92. (8-9). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập tất cả các số có sáu
chữ số, mỗi số gồm các chữ số khách nhau. Hỏi trong các số lập được, có số nào chia hết cho 11 hay không? Có số nào là số chính phương hay không?
93. (9). a) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng số
n
625
có tận cùng là 625.
b) Có thể thay số 625 trong câu a) bằng số có ba chữ số nào để mệnh đề thu được vẫn đúng. 94. (9). Cho n số 1 a , 2 a ,…, n a . Biết rằng i | a | 1 và 1 2 2 3 3 4 n 1 n n 1 a a a a a a ... a a a a 0
§3. ƯSCLN VÀ BSCNN CỦA CÁC SỐ
95. (6-7). Chứng minh rằng với các số nguyên dương a và b ta có
a,b a b,b
a,a b
a b,b
a,a b
96. (6-7). Cho
a,b 1 trong đó a và b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng a)
a b,ab 1 b)
2a b,a a b 1 c) Tìm ƯSCLN của a b và a b . 97. (6-7). Chứng minh rằnga) Hai số nguyên dương liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau. b) Hai số lẻ liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.
c) Hai số chẵn khác 0 liên tiếp có ƯSCLN bằng 2.
Áp dụng: Chứng minh phân số
n n 2 n 1 tối giản, với mọi số n nguyên dương.
98. (6-7). Tìm ƯSCLN của
a) 792 và 1792
b) ab ba và 55
99. (7). Tìm hai số tự nhiên lớn nhất và nhỏ nhất ở trong khoảng
20.000 đến 30.000 sao cho khi chia những số đó cho 36, 54 và 90 ta đều có số dư là 12.
100. (7). Cho hai số tự nhiên lẻ a và b, nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng hai số a và a b
2
cùng nguyên tố cùng nhau.
101. (7). Cho a và b là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng
a,b . a,b
a.b102. (7). Tìm các số tự nhiên a và b sao cho
a) a b 30 và
a,b 6 b)
a,b 36 và
a,b 756103. (7). Tìm hai số nguyên dương a và b, biết rằng ab 252 và
a,b 2 .104. (7). Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng
a,b 12 và
2 2
a b 7344
.
105. (7). Tìm hai số nguyên dương a và b (a > b), sao cho
a,b
a,b 18.
106. (7). Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng a b 651 và
a,b : a,b
108 .107. (7). Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng
a,b 297 và 2 2 a b 10530 .108. (7). Cho a và b là hai số tự nhiên. Chứng minh rằng
a,b
a bc,b c 1
a
. 109. (7-8). a) Cho A 5a 4b và B 11a 9b . Chứng minh
A,B a,b .b) Tổng quát: Cho A pa qb và B ra sb thỏa mãn đẳng thức
ps qr 1
. Chứng minh
A,B a,b.
110. (7-8). Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên dương của n
thì phân số 2n 1 2n(n 1) tối giản. 111. (7-8). Cho phân số
2 2 n 1 n n 1 trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Với những giá trị nào của n thì phân số tối giản? Không tối giản? 112. (7-8). Phân số 5n 6 8n 7 , với n là số tự nhiên, ước lược được cho những số nguyên dương nào?113. (7-8). Cho a và b là hai số tự nhiên, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn đẳng thức 2 2 3 3 a b 49 a b 1801 . Tìm a và b. 114. (8-9). Cho
A 24x 5y 3 ;
B 15x 8y 2 và
C 40x 3y 2 trong đó x, y là những số nguyên dương.a) Chứng minh rằng ƯSCLN của hai trong ba số A, B, C bằng hiệu của hai số đó (lấy số lớn trừ đi số nhỏ)
b) Tính
A,B,Ctheo x.
115. (8-9). Cho ba số lẻ A, B, C. Chứng minh rằng ƯSCLN của
A B 2 , B C 2 , C A 2 cũng là ước số chung lớn nhất của A, B, C. 116. (8). Cho 3 2 A n n 1 và 2 B n 2n ,
n N . Tìm
A,B .117. (8-9). Cho m, n là hai số tự nhiên, nguyên tố cùng nhau và
A m n ; 2 2 B m n . Tìm ƯSCLN của A và B. 118. (8-9). Các số tự nhiên có dạng
2 2 4 A a a 1 a 1 trong đó a là số tự nhiên, cùng chia hết cho những số nào?119. (8-9). Cho n n A 2 3 ; n 1 n 1 B 2 3 ; n 2 n 2 C 2 3 với n là số tự nhiên. a) Chứng minh
A,B 1 b) Tìm ƯSCLN của A và C120. (9). Cho n số tự nhiên 1 a , 2 a , …, n a có tổng bằng S và ƯSCLN bằng d. Chứng minh rằng ƯSCLN của 1 S a , 2 S a , …, n S a
bằng tích của d với một ước số nào đó của
n 1.
121. (9). Cho ba số tự nhiên a, m và n trong đó a 1 và m n . Đặt m nq r ,
0 r n , m M a 1 , n N a 1 và r R a 1 . a) So sánh (m, n) và (n, r); (M, N) và (N, R) b) Tính (M, N). c) Áp dụng: Cho M 999...99 (gồm 1986 chữ số 9) N 99...99 (gồm 1979 chữ số 9) Tính (M, N). 122. (9). Cho a, b, c, d là các số tự nhiên và 0 d c b a . Chứng minh rằng ƯSCLN của a, b, c, d bằng ƯSCLN của d và các số dư trong phép chia a, b, c cho d.Áp dụng: Tìm ƯSCLN của bốn số 58212; 24948; 21924; 13608.
123. (9). Ba hiện tượng xẩy ra tuần hoàn. Hiện tượng I xẩy ra với
chu kì 15 ngày, hiện tượng II xẩy ra với chu kì 22 ngày, hiện tượng III với chu kì 36 ngày. Cả ba hiện tượng cùng xẩy ra vào một ngày chủ nhật nào đó. Hỏi sau bao nhiêu ngày nữa thì cả ba hiện tượng trên cùng xẩy ra vào một ngày chủ nhật gần nhất?
124. (9). Tìm BSCNN của ba số n, n+1, n+2 với n là số nguyên
125. (9). Cho
n n 1 n 1 A 6 và
n n 1 n 2 B 6 với n là những số nguyên dương lớn hơn 1. Tìm BSCNN của A và B. 126. (9). Tìm ƯSCLN và BSCNN của tất cả các số có hai chữ số. 127. (9). Chứng minh rằng BSCNN của các số 1, 2, 3, …, n, n+1, n+2, …,2n-1, 2n cũng bằng BSCNN của các số n+1, n+2, …, 2n. 128. (9). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập tất cả các số cósáu chữ số, mỗi số gồm sáu chữ số khác nhau. Tìm ƯSCLN của tất cả các số lập được. 129. (9). Cho dãy số 1 a , 2 a , 3 a , …, n a … trong đó 1 2 a a 1 và n 1 n n 1 a a a
với n 2 (dãy Fibônaxi). Chứng minh rằng
a) ( m a
, m 1 a
) = 1
b) Với mọi số tự nhiên k và n thì phân số
n 2 n n 3 n 1 k.a a k.a a tối giản. 130. (9). Gọi
A và
A
theo thứ tự là số ước số và tổng của tất cả các ước số của số nguyên dương A. Chom n k
A a .b .c
trong đó a, b, c là các thừa số nguyên tố đôi một khác nhau và m, n, k là những số nguyên dương. Tính
A và
A
theo a, b, c và m, n, k. Áp dụng: Tính
1986 và
1986
.131. (9). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 15 ước số. 132. (9) Xác định hai số nguyên dương m, n sao cho
n m
2 .3
là số hoàn chỉnh (số tự nhiên a được gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước số nguyên dương của a bằng 2a. Ví dụ 6 là số hoàn chỉnh, vì 1 + 2 + 3 + 6 = 2.6).
§4. SỐ NGUYÊN TỐ
133. (6-7). Tìm số tự nhiên n sao cho các số n+1, n+77, n+99 đều
là các số nguyên tố.
134. (6-7). Tìm số nguyên tố p sao cho
a) p+10 và p+14 là các số nguyên tố b) 2p+1 và 4p+1 là các số nguyên tố c) 24p2+1 vaf 3p2+1 là các số nguyên tố
135. (6-7) Chứng minh rằng:
a) Nếu p và 8p-1 là các số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
b) Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 8p2-1 là số nguyên tố.
136. (6-7). Chứng minh rằng:
a) Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì số p có một trong hai dạng p=6k+1 hoặc p=6k-1, trong đó k là số nguyên dương.
b) Nếu p và 10p+1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 5p+1 là số chia hết cho 6.
137. (8). Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 4k+3,
trong đó k là số tự nhiên.
138. (6-7). Cho p và q là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp và p+q=2n.
Chứng minh rằng n là hợp số.
139. (6-7). Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng ab
sao cho ba cũng là số nguyên tố và hiệu
ab balà số chính phương.
140. (7). Tìm số nguyên tố p sao cho p vừa là số nguyên tố vừa là
141. (7). Tìm các số nguyên tố x và y thỏa mãn điều kiện
4xy 3 x y 59 .
142. (7-8). Tìm số nguyên dương n sao cho
n 4 A 4 n là số nguyên tố. 143. (8). Cho 4 2 A n n 1 trong đó n là số tự nhiên.
a) Phân tích A thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau. b) Tìm giá trị của n để A là số nguyên tố.
144. (8). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng
bình phương của ba số này cũng là số nguyên tố.
145. (8). Chứng minh rằng với n là số nguyên dương lớn hơn 2
thì các số n 2 1 và n 2 1 không thể đồng thời là các số nguyên tố.
146. (8). Cho A = n! + 1 và B = n + 1, trong đó n là số nguyên
dương. Chứng minh rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố.
147. (8). Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng
(n-1) số nguyên dương liên tiếp n!+2, n!+3, …, n!+n đều là hợp số.
148. (8-9). Tìm các số dạng 10101…0101 (gồm có n chữ số 0 và
n+1 chữ số 1) là số nguyên tố.
149. (8-9). Tìm số nguyên tố có bốn chữ số abcd, biết rằng ab, ac
là các số nguyên tố và 2
b cd b c .
150. (8). Chứng minh rằng trong sáu số tự nhiên liên tiếp luôn
tồn tại một số nguyên tố với mọi số còn lại.
§5. SỐ LŨY THỪA
152. (6-7). Bình phương của một số tự nhiên là một số có bốn
chữ số gồm các chữ số 0, 2, 3, 5. Tìm số này.
153. (6-7). Chứng minh rằng bình phương của một số lẻ bằng
tổng của hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó số lớn bằng tổng của hai số chính phương liên tiếp.
154. (7-8). Cho số tự nhiên A. Biết rằng A3 có chữ số hàng đơn vị
là 5, tìm chữ số hàng chục của A3. 155. (7-8). a) Tìm số dư của phép chia n 2 và n 3 cho 7, với n là số nguyên dương. b) Áp dụng: Tìm số nguyên dương x thỏa mãn x x 2 3 20195 .
156. (7). Tổng bình phương của ba số tự nhiên liên tiếp có thể là
số chính phương hay không?
157. (8). Tìm số có bốn chữ số abcd sao cho
2
abca 5c 1
.
158. (8). a) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp
cộng thêm 1 là một số chính phương.
b) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 3024. 159. (8). Cho 2 A 1986 n , n là số tự nhiên. Tìm n để A là số chính phương.
160. (8-9). Tìm các số tự nhiên a sao cho số a3 có mười chữ số
161. (8-9). Tìm các số nguyên tố p sao cho 3 2p 1 k (k là số nguyên dương). 162. (8-9). Cho A 99...9 (có 1986 chữ số 9). Tính tổng các chữ số của số 2 A . 163. (8). Hai số 1986 2 và 1986 5
được viết liền nhau. Hỏi số tạo thành có bao nhiêu chữ số? 164. (8). Tìm chữ số tận cùng của số 91986 9 165. (8). Tìm hai chữ số tận cùng của số 1986 A 7 166. (9). Tìm hai chữ số tận cùng của số 999 3
167. (9). Cho n là một số nguyên dương, nguyên tố với 5. Tìm số
dư của phép chia số 100 n cho 125. 168. (8-9). Tìm ba chữ số cuối của số 101 1917 169. (9). Số 102 103 1010 10 10 10 10 ... 10 chia cho 7 có số dư là bao nhiêu?
170. (9). Cho n là số chẵn không chia hết cho 10. Tìm chữ số
hàng chục của 20 n và chữ số hàng trăm của 200 n 171. (8). Chứng minh rằng số 777 333 A 333 777 chia hết cho 37.
172. (8). Cho số 5555 2222 A 2222 5555 . Chứng minh rằng A chia hết cho 7. 173. (8-9). Chứng minh rằng tổng
k k k k 1 2 3 ... n chia hết cho
1 2 3 ... n , trong đó k là số nguyên dương lẻ và n là số nguyên dương bất kì. 174. (9). Chứng minh rằng nếu k A 2 , với k là số nguyên dương, thì A không thể phân tích được thành tổng của một số (nhiều hơn một) các số nguyên dương liên tiếp.175. (9). Chứng minh rằng nếu số nguyên dương A không phải là
lũy thừa với số mũ nguyên dương của 2 thì có thể phân tích A thành tổng các số tự nhiên liên tiếp.
176. (9). Cho
100
A 2
. Hỏi khi viết trong hệ ghi số thập phân thì số A có bao nhiêu chữ số.
177. (9). Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì hai số
n n 1984 8 và n n 1984 8 có số chữ số bằng nhau. 178. (8-9). Chứng minh rằng a) Nếu n 2 1 là số nguyên tố lẻ thì k n 2 , trong đó k là số tự nhiên. b) Nếu n 2 1 là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. 179. (9). Cho dãy số 1 2 2 1 , 2 2 2 1 , …, k 2 2 1 ,… Chứng minh rằng các số hạng của dãy số trên đôi một nguyên tố cùng nhau.
180. (9). a) Tìm bốn số tự nhiên a, b, c, d sao cho 2 2 a b , 2 2 2 a b c , 2 2 2 2 a b c d là các số chính phương.
b) Tồn tại hay không một dãy số nguyên 1 a , 2 a , …, n a sao cho các số 2 1 a , 2 2 1 2 a a , 2 2 2 1 2 3 a a a , …, 2 2 2 1 2 n a a ... a là các số chính phương.
§6. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM NGUYÊN
181. (6). Tìm mọi số nguyên lớn gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị
của số đó.
182. (6-7). Tìm mọi số có ba chữ số có chữ số hàng trăm là 4,
biết rằng nếu chuyển chữ số 4 sang tận cùng bên phải và giữ nguyên
hai chữ số còn lại thì được một số mới bằng 3 4
số phải tìm.
183. (6-7). Tìm các số có hai chữ số biết rằng nếu hoán vị các
chữ số của nó thì được một số mới tăng lên 4,5 lần.
184. (7). Tìm hai số có ba chữ số biết rằng tổng của hai số đó
chia hết cho 498 và số lớn hơn chia hết cho số nhỏ với thương là 5.
185. (7). Khi cộng hai số nguyên một học sinh đã sơ ý viết thêm
chữ số 0 vào cuối số hạng thứ hai nên tổng nhận được là 6641. Hãy tìm hai số đó biết rằng tổng đúng là 2411.
186. (7). Tìm mọi số có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 11
và có thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.
187. (8). Tìm hai số mỗi số có hai chữ số biết rằng hai số đó viết
kề nhau tạo thành số có bốn chữ số chia hết cho tích của hai số đó.
188. (7-8). Phương trình
2
x 4yz 23
có nghiệm nguyên hay không?
189. (8). Tìm mọi số chính phương có bốn chữ số biết rằng số có
hai chữ số tạo thành bởi hai chữ số hàng nghìn và hàng trăm lớn hơn một đơn vị so với số có hai chữ số tạo thành bởi chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
190. (8-9). Tìm mọi số có hai chữ số xy sao cho
2 2 2
xy yx k
(k là số nguyên dương).
191. (9). Cho A và B là những số có hai chữ số. Biết rằng A+B và
A-B cũng là những số có hai chữ số, nhưng vị trí các chữ số của hai số này hoán vị cho nhau. Tìm những cặp số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn tính chất trên.
192. (8-9). Tìm mọi số tự nhiên A sao cho A bằng tổng bình
phương các chữ số của nó.
193. (9). Cho A abcd là số chính phương có bốn chữ số khác
nhau. Biết rằng A ' dcba cũng là một số chính phương và A’ chia hết cho A. Tìm số A.
194. (9). Tìm tất cả các số chính phương không chia hết cho 10
sao cho khi bỏ hai chữ số tận cùng của mỗi số ta cũng được những số chính phương khác 0.
195. (9). Tìm mọi số tự nhiên n, biết rằng nếu bỏ ba chữ số cuối
của n thì được một số mới mà lập phương của số mới đó bằng n.
196. (9). Cho số chính phương A có bốn chữ số. Biết rằng nếu tất
cả các chữ số của A cùng giảm đi một số nguyên dương k nào đó thì được một số mới A’ cũng là số chính phương có bốn chữ số. Tìm A và A’.
197. (9). Cho A abcd là số chính phương có bốn chữ số. Biết
rằng cd là bội số của ab. Tìm A.
a.b.c.d 252 cd 3c.d 10
199. (7-8). Tìm năm số nguyên biết rằng tổng từng đôi một bằng
các số sau 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15.
200. (7). Tìm mọi số nguyên tố x và y thỏa mãn phương trình
2 2 x 2y 1
201. (7). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
2 2
6x 5y 74
202. (7). Tìm mọi bộ ba số nguyên tố x, y, z sao cho
xyz 3 x y z
203. (8). Tìm mọi bộ ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn phương
trình
4
x 1 z
204. (8). a) Tìm mọi bộ ba số nguyên dương có tổng các nghịch
đảo của chúng bằng 2.
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 1 1 1
1 x y z
205. (8). Có thể phân tích số 1 thành tổng nghịch đảo của bốn số
206. (8). Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
2 2 2 2
1 1 1 1
1 a b c d
207. (8). Tìm các số có hai chữ số xy sao cho
2 2
xy yz x y 1982
208. (8). Giải phương trình nghiệm nguyên
2x 3y xy 4
209. (8). Giải phương trình nghiệm nguyên
2
x 2xy 3 0
210. (8). Chứng minh rằng số tự nhiên n là số nguyên tố khi và
chỉ khi phương trình
1 1 1
x y n
có nghiệm số tự nhiên (x, y) duy nhất.
211. (8). Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
2 2
x 4xy 5y 169
212. (8-9). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
2
x 25 y y 6
213. (8). Chứng minh rằng các phương trình sau đây không có
nghiệm nguyên
a)
2 2 2 3 x
b)
3 3 3 4
x y z 1984
214. (8-9). Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
x y z 947 7 11 13 1001 215. (8-9). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn phương trình 2 xy 2xy 243y x 0 . 216. (8-9). Chứng minh rằng phương trình
2 3 x 4 2y 1 không có nghiệm số tự nhiên.217. (8-9). Tìm những nghiệm nguyên của phương trình
2 2 145x 37y 1986 218. (9). Tìm hai số nguyên dương a và b (a > b) để 2 2 a b chia hết cho 2 2 a b . 219. (9). Cho phân số 4 31
, tìm số tự nhiên x sao cho
4 x 31 x bằng bình phương của một phân số khác.
220. (9). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
xy yz zx 3 z x y
x y z 3 3 x 3 y 3 z 8 222. (9). Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
2 2
29 x y 81xy 27 x y, trong đó
x;y 1.
223. (9). Tìm bốn số nguyên liên tiếp sao cho tổng lập phương
của ba số nhỏ bẳng tổng lập phương của số lớn.
224. (9). Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
a) 2 2 2 x y z 2xyz b) 3 3 3 x 2y 4z 0
225. (9). Tìm các cặp số nguyên (x, y) sao cho
x y 1983
và
1983 | xy
.
226. (9). Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
2 1! 2! 3! ... x! y
227. (9). Tìm các số có ba chữ số xyz x! y! z!
228. (9). Tìm các nghiệm nguyên tố của phương trình
2 3 4 x y z
229. (8-9). Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là
những số nguyên dương và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi.
12x 1 6x 1 4x 1 3x 1
330231. (8-9). Giải phương trình ẩn a:
5 4 3 2
a a a a a 2
232. (9). Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Tìm n sao
cho
n S n 1986 . 233. (9). Tìm những số tự nhiên n thỏa mãn phương trình
n S n S S n 60234. (9). Cho a và b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng
nhau. Chứng minh rằng phương trình
ax by ab
không có nghiệm nguyên dương.
235. (9). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình
ax by c
(a, b, c là các số nguyên) có nghiệm nguyên là c chia hết cho USCLN của a và b.
236. (9). Cho a, b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau
và c là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu c > ab thì phương trình
ax by c
luôn luôn có nghiệm số nguyên dương.
237. (8-9). Một lớp học có 20 em tham gia lao động. Nếu một em
lao động tốt thì lớp đạt 18 điểm thi đua. Một em lao động bình thường thì lớp không được thêm điểm nào. Nếu có một em vi phạm kỉ luật lao động thì lớp bị trừ đi 5 điểm thi đua. Cuối buổi lao động toàn lớp đạt 201 điểm thi đua. Hỏi trong lớp có bao nhiêu bạn lao động được xếp loại tốt, loại trung bình và loại kém?
238. (8-9). Ba nhóm học sinh tham gia một buổi lao động trồng
được tất cả 113 cây. Ở nhóm Một, mỗi người trồng được 13 cây, ở nhóm Hai, mỗi người trồng được 5 cây và ở nhóm Ba, mỗi người trồng
được 4 cây. Biết rằng ba nhóm có tất cả 16 người tham gia trồng cây, hỏi mỗi nhóm có bao nhiêu người?
§7. CÁC BÀI TẬP VỀ SUY LUẬN
239. (6). Trong một cái hòm có 10 đôi giày cùng cỡ, 5 đôi màu
đen và 5 đôi màu nâu. Không nhìn vào hòm, ta cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày để có một đôi giày cùng màu.
240. (6-7). a) Trong một năm có nhiều nhất bao nhiêu ngày chủ
nhật?
b) Trong một năm có nhiều nhất mấy tháng có năm ngày chủ nhật?
241. (6-7). Trong ba hộp kín, mỗi hộp đựng hai quả cầu. Một
hộp gồm hai quả màu trắng, một hộp gồm hai quả màu đen và hộp kia một quả màu đen và một quả màu trắng. Để nhận biết màu sắc các quả cầu trong hộp người ta dán các nhãn TT, ĐĐ và TĐ tương ứng với ba hộp trên. Do sơ suất nên người ta đã dán nhầm và không có hộp nào được dán đúng nhãn của nó. Hỏi cần phải kiểm tra lại ít nhất mấy quả cầu để có thể dán lại các nhãn cho đúng?
242. (8-9). Chứng minh rằng trong nhóm năm người bất kì bao
giờ cũng có hai người có số lượng người quen với họ ở trong nhóm này bằng nhau (ta xem rằng nếu A quen B thì B quen A).
243. (8-9). Chứng minh rằng trong số sáu người bất kì luôn luôn
có ba người đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau (ta xem quan hệ A quen B như trong bài trên).
244. (7-8). Một lớp học sinh tổ chức thi đấu bóng bàn, hai học
sinh bất kì gặp nhau chỉ một trận. Kết quả cuối cùng, có hai học sinh có số trận thắng bằng nhau. Chứng minh rằng có ba học sinh A, B, C của lớp này có kết quả thi đấu như sau: A thắng B, B thắng C và C thắng A (Biết rằng trong thi đấu bóng bàn không có trận hòa).
245. (7-8). Trong giờ chơi ở sân trường có bốn nữ sinh A, B, C,
D đứng thành vòng tròn nói chuyện với nhau. Biết rằng A và B không mặc áo màu xanh, còn em mặc áo màu xanh đứng giữa em mặc áo màu
vàng và D, còn em mặc áo màu trắng đứng giữa em mặc áo màu hồng và B. Hỏi mỗi nữ sinh mặc áo màu nào?
246. (8-9). Khi tổ chức múa hát tập thể một giáo viên đã xếp 20
nữ sinh và một số nam sinh thành vòng tròn sao cho đối diện với một nữ sinh qua tâm vòng tròn là một nam sinh. Hỏi trên vòng tròn này có hai nam sinh nào đứng kề nhau hay không?
247. (8-9). Một lớp học có 28 học sinh, xếp thành 14 bàn, mỗi
bàn có hai học sinh. Sau mỗi tháng cô giáo lại thay đổi cách sắp xếp sao cho mỗi bàn có hai học sinh trước đây chưa hề ngồi cùng bàn với nhau. Hỏi cô giáo có thể sắp xếp như vậy nhiều nhất là bao nhiêu tháng?
248. (9). Các khẳng định sau đây có đúng hay không?
a) Từ năm số đôi một khác nhau viết thành hàng ta luôn luôn chọn được ba số, theo thứ tự đã biết, có giá trị tăng dần hoặc có giá trị giảm dần.
b) Từ chín số đôi một khác nhau viết thành hàng ta luôn luôn chọn được bốn số, theo thứ tự đã viết, có giá trị tăng dần hoặc có giá trị giảm dần.
249. (8-9). Bốn bạn A, B, C, D chạy thi và không có hai bạn nào
về đích cùng một lúc và không ai bỏ cuộc. Khi hỏi về kết quả chạy thi bốn bạn trả lời như sau:
A nói: Tôi không về đích đầu tiên và cũng không về cuối cùng. B nói: Tôi không về đích cuối cùng.
C nói: Tôi về đích đầu tiên. D nói: Tôi về đích cuối cùng.
Biết rằng có một bạn nói đùa nên đã trả lời sai với kết quả thực tế, còn ba bạn kia đã trả lời đúng. Hỏi bạn nào đã nói đùa và vị thứ của bốn bạn chạy thi như thế nào?
250. (8-9). Có năm người A, B, C, D, E xếp thành hàng mua vé
xem phim. Biết rằng A mua được vé trước B nhưng sau E, C và E
không đừng kề nhau và D không đừng kề với E, A và C. Tìm thứ tự xếp hàng của năm người đó.
251. (9). Cho hai số nguyên dương a và b. Xét bốn khẳng định
sau: a)
a 1 chia hết cho b; b) a 2b 5 ; c) a b chia hết cho 3; d) a 7b là số nguyên tố. Biết rằng có một khẳng định sai, ba khẳng định đúng. Hãy tìm tất cả các cặp số a và b.252. (8-9). Hai bạn A và B, mỗi bạn viết ra một số có năm chữ số
chia hết cho 5 mà chỉ gồm các chữ số là 1, 2, 3, 4, 5. Biết rằng bạn A đã viết số 14235, còn số mà bạn B viết so với số của bạn A chỉ trùng nhau ở đúng ba vị trí. Ngoài ra trong số bạn B viết thì không có hai chữ số liên tiếp nào đứng kề nhau mà chữ số nhỏ đứng trước chữ số lớn. Bạn B đã viết số nào?
253. (8-9). Bạn A học nghề ở xưởng trường. Trong số sáu khẳng
định sau đây có nhiều nhất bao nhiêu khẳng định cùng đúng? a) Bạn A đã học xong nghề tiện.
b) Bạn A chưa học xong nghề mộc.
c) Bạn A đã học xong nghề mộc nhưng chưa học xong nghề tiện. d) Bạn A đã học xong nghề tiện nhưng chưa học xong nghề mộc.
e) Bạn A đã học xong nghề tiện khi và chỉ khi bạn A đã học xong nghề mộc.
f) Hoặc bạn A đã học xong nghề tiện, hoặc bạn A đã học xong nghề mộc, nhưng bạn A không đồng thời học xong cả hai ghế.
254. (8). Trong đợt thi đấu cờ quốc tế có 8 học sinh tham gia, hai
học sinh bất kì chỉ gặp nhau một trận. Trước mỗi trận đấu, người ta phát cho hai đấu thủ, mỗi người một tấm thẻ. Sau khi đấu xong, ai thua sẽ phải trao thẻ của mình cho đối thủ. Kết quả ai có số thẻ nhiều hơn thì được xếp ở vị trí cao hơn.
Biết rằng số thẻ mà 8 học sinh có được sau đợt thi đấu là 14, 12, 8, 8, 6, 4, 2, 2. Hỏi bốn học sinh ở vị trí đầu đã phải đưa nhiều nhất bao nhiêu thẻ cho bốn học sinh ở vị trí cuối?
255. (9). Thầy giáo viết trên bảng một hàng các chữ số 0, 1, 2 và
cho học sinh lần lượt xóa hai chữ số khác nhau, đồng thời phải viết thay vào đó một chữ số thứ ba, khác với hai chữ số đã xóa. Bạn A sau khi thực hiện xong cho kết quả trên bảng chỉ gồm một chữ số 0, còn bạn B cho kết quả trên bảng chỉ gồm các chữ số 2. Chứng minh rằng có ít nhất một bạn đã nhầm lẫn trong quá trình xóa – viết kể trên.
256. (8). Có 12 đồng tiền kim khí bề ngoài giống nhau, trong đó
có 11 đồng tiền thật có cùng trọng lượng với một đồng tiền giả có trọng lượng khác với đồng tiền thật. Dùng một chiếc cân hai đĩa hãy tìm đồng tiền giả sau không quá bốn lần cân.
257. (9). Điền bốn chữ cái A, B, C, D vào các miếng bìa cứng
hình vuông, hình tròn, tam giác và hình thoi. Sau đó tô các tấm bìa này bằng một trong bốn màu xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có thể sắp xếp mỗi tấm bìa này vào một ô trong bảng 4x4 ô vuông sao cho trong các điều kiên jsau được thỏa mãn hay không?
a) Trên mỗi hàng và mỗi cột có tất cả bốn chữ cái, có tất cả bốn màu và bốn tấm bìa thuộc đủ các dạng.
c) Mỗi tấm bìa dạng bất kì được điền một chữ cái.
258. (9). Trong một trại hè các học sinh giỏi của một thành phố
có nhiều học sinh tham dự. Biết rằng nếu hai học sinh quen nhau thì họ không còn có người quen chung nào khác và nếu hai học sinh không quen nhau thì họ có đúng hai người quen chung khác. Chứng minh rằng tất cả các học sinh này đều có số người quen bằng nhau.
259. (9). Giả sử trên một hành tinh nào đó có 20 quốc gia. Biết
rằng trong ba quốc gia bất kì thì có hai quốc gia chưa lập quan hệ ngoại giao với nhau. Hai quốc gia đã lập quan hệ ngoại giao với nhau thì trao đổi đại sứ (mỗi nước gửi đến nước kia một đại sứ). Chứng minh rằng trên hành tinh này có không quá 200 vị đại sứ.
§8. CÁC BÀI TẬP BỔ SUNG
260. (7-8). Chứng minh rằng trong hệ đếm cơ số a ta có:
a) 121 (a) là một số chính phương
b) 1331 (a) là lập phương của một số nguyên.
c) 10101 (a) chia hết cho 111 (a).
261. (7-8). Cho ba số tự nhiên x, y, a khác nhau và lớn hơn 1
thỏa mãn: x y a 1 . Chứng minh rằng hai số
a 1 x và
a 1 ykhi viết theo hệ cơ số a là các số có cùng chung các chữ số nhưng viết theo thứ tự ngược lại.
263. (9). Cho số
A 123456789 10 11 12 13 14
viết trong hệ cơ số 15. Chứng minh rằng A chia hết cho 7.
264. (9). Cho 10 quả cân theo thứ tự có khối lượng 1, 2, 4, 8, 16,
32, 64, 128, 256, 512 gam. Chứng minh rằng với các quả cân trên bao giờ cũng cân được những vật có khối lượng là những số nguyên gam nhỏ hơn 1024 (cân hai đĩa). 265. (9). Cho phân số 2149 A 6804
a) Biểu diễn A dưới dạng một phân số có mẫu số là một lũy thừa của 6, với số mũ nhỏ nhất.
b) Gọi B là tử số của phân số vừa tìm được ở câu a). Hãy biểu diễn B trong hệ đếm cơ số 6.
c) Biểu diễn phân số A thành tổng của các phân số có mẫu số là những lũy thừa của 6 và tử số không chia hết cho 6.
266. (7-8). Từ các chữ số 1, 2, 3, …, 9 ta lập tất cả những số có
ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau. Có bao nhiêu số được lập như trên và tìm tổng tất cả các số đó.
267. (7-8). Cho sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7 và 9.
a) Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau, được thành lập từ các chữ số trên.
b) Trong các số được thành lập có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? là số lẻ? chia hết cho 5?
268. (8-9). Trên đường tròn cho 10 điểm phân biệt. Hỏi
a) Có bao nhiêu dây cung nối 10 điểm đã cho?
b) Có bao nhiêu tam giác khác nhau có đỉnh ở các điểm trên? c) Giả sử các đường thẳng đi qua 2 điểm trong 10 điểm đã cho đôi một cắt nhau và không có ba đường nào có điểm chung ngoài
đường tròn. Các đường thẳng trên cắt nhau tại bao nhiêu điểm không ở trên đường tròn?
269. (9). Đội tuyển toán cấp hai của tỉnh H dự thi học sinh giỏi
toàn quốc có 12 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chia các học sinh này thành ba tổ học tập, mỗi tổ có bốn học sinh. Hỏi có thể chia được bao nhiêu cách khác nhau? (Hai cách khác nhau nếu có ít nhất một tổ học sinh trong hai cách chia có học sinh khác nhau).
270. (9). Có bao nhiêu số có bốn chữ số chia hết cho 3 mà trong
cách viết thập phân không có chữ số 3? 271. (9). Cho 1 1 1 1 A ... 2 3 4 15 . Chứng minh rằng A không phải là một số nguyên.
272. (9). Gọi S là tổng số của tất cả các phân số tối giản có mẫu
số bằng 3 và mỗi phân số lấy giá trị trong khoảng từ 6 đến 45. So sánh S và 1986. 273. (9). Cho hai phân số a b và a ' b thỏa mãn a a ' 1 b b . Chứng minh rằng a) Nếu a b tối giản thì a ' b cũng tối giản. b) Nếu a b tối giản và không bằng một phân số thập phân thì a ' b cũng không bằng một phân số thập phân. c) Nếu a b không bằng một phân số thập phân thì các số thương nguyên gần đúng (thương thiếu) của hai phép chia 10a cho b và 10a’ cho b có tổng bằng 9.
274. (7-8). Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở trên đường
tròn. Theo chiều kim đồng hồ, ta lần lượt đặt các điểm 1 A , 2 A , …, n A trên đường tròn sao cho: 0 1 1 2 2 3 n 1 n AOA A OA A OA ... A OA 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của n để n A trùng với A.
275. (9). Cho hai bảng vuông kích thước 3x3, mỗi ô ta điền các
dấu (+) hoặc (-) (h.4, 5). Mỗi lần thay dấu trong bảng ta đổi tất cả các dấu ở các ô trong cùng một hàng hay cùng một cột sang dấu ngược lại.
Chứng minh rằng:
a) Sau một số lần thay đổi từ bảng B ta thu được bảng A b) Không thể thu được bảng D từ bảng C.
276. (6-7). Trong bảng vuông cho ở hình 6, hãy đặt vào vị trí các
tam giác các chữ số lẻ và vào các vị trí các hình tròn các chữ số chẵn sao cho các bất đẳng thức đều đúng và trong bảng vuông có đủ chín chữ số 1, 2, …, 9.
Hình 6
277. (7-8). Nam đi phố mang theo một số tiền nhiều hơn 120
đồng và ít hơn 150 đồng gồm hai loại giấy bạc 5 đồng và 1 đồng. Nam
mua một chiếc cặp học sinh thì số tiền của Nam còn lại chỉ bằng 1 3
số tiền mang theo. Biết rằng số giấy bạc 5 đồng còn lại bằng số giấy bạc 1 đồng ban đầu và số giấy bạc 1 đồng còn lại bằng số giấy bạc 5 đồng ban đầu. Hỏi chiếc cặp học sinh giá bao nhiêu?
278. (8-9). Có hai học sinh lớp bảy và một số học sinh lớp tám
tham gia thi đấu cờ quốc tế. Bất kì hai đấu thủ nào cũng đấu với nhau
đúng một trận; thắng được 1 điểm, thua được 0 điểm và hòa được 1 2 điểm. Biết rằng sau cuộc đấu hai học sinh lớp bảy được tổng cộng 8 điểm còn các học sinh lớp tám được số điểm như nhau. Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp tám tham gia thi đấu cờ quốc tế?
279. (8-9). Sau một cuộc thi đấu cờ quốc tế theo thể thức thi đấu
vòng tròn, có hai đấu thủ trao đổi với nhau. Người thứ nhất nói: Số
trận đấu năm ngoái chỉ bằng 3 8
số trận đấu năm nay vì năm nay số người tham gia nhiều hơn; Người thứ hai nói: Nhưng theo anh thì sang năm có lên đến 30 đấu thủ hay không?
Hỏi trong năm nay có bao nhiêu người tham gia thi đấu cờ quốc tế?
280. (9). Trong một giải bóng đá có m đội tham gia thi đấu theo
thể thức vòng tròn một lượt. Đội thắng trận đạt 2 điểm, đội hòa đạt 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Sau giải thi đấu người ta xếp thứ tự các đội theo số điểm đạt được.
Tính số điểm sai khác lớn nhất giữa hai đội có vị thứ kề nhau.
281. (8-9). Trong năm 1981 ngày mồng 1 tháng giêng và ngày 31
tháng 12 đều rơi đúng vào cùng một ngày trong tuần lễ. Năm sau còn xẩy ra như thế nữa không? Những năm nào thì ngày 1 tháng giêng và ngày 31 tháng 12 rơi vào cùng một ngày trong tuần lễ?
282. (8-9). Dũng lấy một số có ba chữ số và viết các chữ số trên
theo thứ tự ngược lại thì thu được một số cũng có ba chữ số. Dũng lấy số lớn trừ cho số bé rồi thông báo chữ số hàng đơn vị của hiệu này cho Nam. Nam đã nói đúng hiệu này. Hãy giải thích cách làm của Nam?
283. (8-9). Cho 1980 số tự nhiên liên tiếp. Nâng mỗi số lên lũy
thừa bậc chẵn nào đó. Hỏi tổng các số thu được có thể là số chính phương hay không? 264. (8-9). Cho năm số 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 1 , 4 a 1 , 5 a 1 . Lập số thứ sáu bằng tích của số thứ nhất với số thứ hai, số thứ bảy bằng tích của số thứ hai với số thứ ba, số thứ tám bằng tích của số thứ ba với số thứ tư …
Ở vị trí thứ 1986 ta có số nào?
285. (8-9). Xét một số có hai chữ số, chẳng hạn số 13. Nhân số
đó với 20 rồi cộng kết quả với số đã cho ta thu được 273. Nhân số mới thu được với 481 thì có kết quả là 131313, trong đó số 13 được lặp lại ba lần. Tính chất này còn đúng với những số tự nhiên có hai chữ số hay không?
286. (8-9). Những năm nào của thế kỉ 20 mà số năm có thể biểu
diễn dạng
n k 2 2
trong đó n và k là các số tự nhiên.
287. (9). Cho hai mươi số nguyên dương đôi một khác nhau và
mỗi số khong vượt quá 70. Xét hiệu hai số bất kì (số lớn trừ số bé) trong các số đã cho. Chứng minh rằng trong các hiệu đó tìm được ít nhất bốn hiệu bằng nhau.
288. (9). Viết liên tiếp 1986 chữ số sao cho cứ hai chữ số kề nhau
(theo thứ tự đã viết) lập thành số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc 23.
a) Nếu chữ số cuối cùng là 8 thì chữ số đầu tiên là số nào? b) Nếu chữ số đầu là 2 thì chữ số cuối cùng là chữ số nào?
289. (9). Trên các đồng hồ điện tử, số chỉ giờ xuất hiện trên mặt
đồng hồ từ 00 đến 23, số chỉ phút xuất hiện từ 00 đến 59 (hình 7 chỉ 23g i ờ52p h ú t)
Hình 7
Hỏi một ngày chữ số 2 xuất hiện trên mặt đồng hồ trong thời gian bao lâu?
Tìm thời gian tương ứng đối với sự xuất hiện của mỗi chữ số còn lại. 290. (9). Cho số có 10 chữ số 1 2 3 10 A a a a ...a trong đó 1 a bằng số chữ số 0 có trong A, 2 a bằng số chữ số 1 có trong A, 3 a bằng số chữ số 2 có trong A, …, 10 a bằng số chữ số 9 có trong A. Tìm số A.
291. (9). Có n học sinh đấu bóng bàn theo thể thức đấu vòng
tròn. Chứng minh rằng khi kết thúc giải có thể xếp n học sinh trên theo một hàng sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau.
292. (9). Cho một bảng vuông ABCD gồm 11x11 ô vuông. Mỗi ô
được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 9, 10, 11 thỏa mãn hai điều kiện: a) Các số đối xứng qua đường chéo AC thì bằng nhau.
b) Hai số giống nhau không cùng đứng trong một hàng hoặc một cột.
Chứng minh rằng các số ở trong các ô trên đường chéo AC đều khác nhau.
