5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente

5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente

A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace, transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência.

5.1 O modelo da capacitância concentrada

A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 5.1 ilustra o processo.

Figura 5.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.

Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de energia. Assume-se que no instante t=0 a temperatura do sólido seja T diferente da _i temperatura do fluido T_∞ e da temperatura da vizinha T . Em parte da superfície é imposto viz

um fluxo q′′ e a geração interna é q . Desprezando gradientes de temperatura no interior do _g sólido, um balanço de energia fornece

, , , s h g c s c r s r dT q A q q A q A Vc dt ρ ′′ + − ′′ − ′′ = (5.1)

Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (5.1) resulta a equação

(

)

(

4 4

)

, , , s h g s c viz s r dT q A q h T T A T T A Vc dt εσ ρ ∞ ′′ + − − − − = (5.2)

A equação (5.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na forma

(

)

(

)

(

)

4 4 , , , viz s h g s c s r T T _dT q A q hA A T T Vc T T dt εσ _∞ ρ ∞ ⎡ ₋ ⎤ ′′ + −⎢ + ⎥ − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (5.3)

ou definindo o excesso de temperatura, θ = −T T_∞, resulta após algumas manipulações

( )

, , 0 s h g e s c q A q h A d dt Vc Vc θ θ _θ ρ ρ ′′ + ⎛ ⎞ + −_{⎜ ⎟}= ⎝ ⎠ (5.4) na qual

( )

(

₍

4 4

₎

)

, , viz s r e s c T T _A h h T T A θ εσ ∞ ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (5.5) Definindo , e s c h A a Vc ρ = ; b q As h, qg Vc ρ ′′ + = (5.6)

a equação (5.4) pode ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( )

0 d t a t t b t dt θ θ + − = (5.7)

com a condição inicial

( )

0 _i

θ =θ (5.8)

A solução da Eq. (5.7) com condição inicial (5.8) é da forma

( )

(

₀t

( )

)

(

₀t

( )

)

₀t

( )

(

₀t

( )

)

i

t exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dt

θ =θ −

_∫

′ ′ + −

_∫

′ ′

_∫

′ −

_∫

′ ′′ ′′ ′ (5.9) No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma geração interna , 0 s hA a b Vc ρ = = (5.10)

Em tal caso, resulta a solução

( )

s i hA t exp t Vc θ θ ρ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.11)

Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for

0 1 c i hL B , k = < (5.12)

5.2 O modelo do sólido semi-infinito

O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do sólido tem praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior, quando

( )

2 0 r t T T t α >> ≅ (5.13)

na qual r é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando, 0

( )

2 0 r t T T r ,t α << ≅ (5.14)

o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semi-infinito é mais apropriado, Figura 5.5. Três casos são de interesse: temperatura constante no contorno, fluxo de calor constante no contorno ou superfície em contato com um fluido.

5.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno

Considere o seguinte caso,

2 2 1 T T x α t ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (5.15)

com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir, Condição inicial: i T = em T t=0 (5.16) Condições de contorno: T =T_∞ em x=0 (5.17) i T → em T x→ ∞ (5.18)

A solução das equações (5.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta forma, define-se x t η α = (5.19)

Os termos da Eq. (5.15) podem ser transformados como 1 T dT dT x d x d t η η η α ∂ ∂ = = ∂ ∂ (5.20) 2 2 2 2 1 T d T d T x d x x d t η η η α ∂ ₌ ⎛∂ ⎞∂ ₌ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ∂ ⎠∂ (5.21) 3 2 2 / T dT dT x t d t d t η η η α ∂ ₌ ∂ ₌ ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⋅ ⎠ (5.22)

Que substituídos em (5.15) leva à equação:

2 2 0 2 d T dT d d η η + η = (5.23)

Com as condições de contorno, agora, representadas por

T =T_∞ em η= (5.24) 0

i

T → em T η→ ∞ (5.25)

A Eq. (5.23) pode ser rearranjada como

( )

2 d T dT d , T T η η dη ′ ′ = = ′ (5.26)

2 1 4 lnT′ = −η +ln C (5.27) 2 1 4 dT C exp d η η ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.28) 2 1 ₀ 2 2 T =C ηexp⎢⎡−⎛ ⎞_{⎜ ⎟}β ⎤⎥dβ+C ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

(5.29)

na qual β é uma variável muda e de acordo com a equação (5.24), C2 =T∞: 2 1 0 ₂ T −T_∞ =C ηexp⎢⎡−⎛ ⎞_{⎜ ⎟}β ⎤⎥dβ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

(5.30)

O membro direito da Eq. (5.30) lembra a função erro, definida como

( )

( )

2 1 2 ₀ 2 x / erf x exp m dm π =

∫

− (5.30)

Com as seguintes propriedades

( )

0 0

( )

1

erf = erf ∞ = (5.31a, b)

( )

₀ 1 2 2 1 1284 / x d erf x , dx⎡⎣ ⎤⎦ = =π = (5.32)

O lado direito da equação (5.30) pode ser reformulado como

( )

( )

(

)

2 1 ₀ 2 2 1 ₀ 1 2 ₂ 2 1 1 2 ₀ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 / / _/ / T T C exp d = C exp m dm = C exp m dm = C erf / η η η β β π π η ∞ ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ _{⎛ ⎞} − = ⎢−_{⎜ ⎟} ⎥ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − −

∫

∫

∫

(5.33)

Pela condição de contorno (5.25), C é determinada como, ₃ C₃ = − . A solução T_i T_∞ para T x,t

( )

fica na forma

( )

( )

1 2 2 / i T x,t T x erf T T αt ∞ ∞ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ − _{⎢⎣ ⎥⎦} (5.34)

A partir da equação (5.34) pode-se calcular o fluxo de calor por

( )

(

)

1 2 0 i / x T T T q t k k x παt ∞ = − ∂ ⎛ ⎞ ′′ = − _{⎜ ⎟} = − ∂ ⎝ ⎠ (5.35)

5.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno

Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em x=0, seja fluxo e calor constante especificado, ou seja, em lugar de (5.17) tem-se

0 T k q x ∂ _′′ − = ∂ em x=0 (5.36)

Definindo uma nova variável como T

k x

φ = − ∂

∂ (5.37)

e introduzindo-a na eq. (5.15) resulta

2 2 1 x t φ φ α ∂ ∂ = ∂ ∂ (5.38)

As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável φ 0 φ = em t=0 (5.39) 0 q φ = ′′ em x=0 (5.40a) 0 φ → em x→ ∞ (5.40b)

De acordo com o item 5.5.1, a solução de (5.38) é da forma

1 2 2 x C erf C t φ α ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}+ ⎝ ⎠ (5.41)

Usando as condições de contorno (5.40a, b) obtém-se C₁= − e q′′₀ C₂ =q′′₀, e, portanto,

0 1 0 2 2 x x q erf q erfc t t φ α α ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ′′ ′′ = _⎢ − _{⎜ ⎟⎥}= _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (5.42) Substituindo (5.42) em (5.37) resulta 0 2 q T x erfc x k αt ′′ ∂ _{= −} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ _{⎝ ⎠} (5.43)

que integrada leva ao resultado

0 2 x q x T erfc dx C k αt ∞ ′′ ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠

∫

(5.44)

Após integração por partes da integral na eq, (5.44) obtém-se e determinado a constante C obtém-se a solução para T x,t

( )

na forma

( )

2 0 2 0 4 2 i q t x q x x T x,t T exp erfc k t k t α π α α ⎛ ⎞ ′′ ⎛ ⎞ ′′ ⎛ ⎞ − = _{⎜⎜ ⎟⎟ ⎜}− _⎟− _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.45)

A partir de (5.45) pode-se obter a temperatura na face x=0 como 0 0 2 i q t T T k α π ⎛ ⎞ ′′ = + ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (5.46)

5.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido

Neste caso a condição de contorno em x=0 é imposta na forma

(

)

T k h T T x ∞ ∂ − = − ∂ em x=0 (5.47)

Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma:

( )

2 2 2 2 i T x,t T x hx h t x h t e rf exp erfc T T t k k t k α α α α ∞ ∞ ⎛ ⎞ − ₌ ⎛ ⎞₊ ⎛ ₊ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} − _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠} (5.48) 5.3 Condução unidimensional

O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas, posteriormente, nas soluções multidimensionais.

5.3.1 Placa de espessura constante

Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial T , cujos lados _i são repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T_∞ e coeficiente h. Definindo o excesso de temperatura θ

( )

x,t =T x,t

( )

−T_∞, resulta o conjunto de equações para solução do problema: - equação de condução 2 2 1 x t θ θ α ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (5.49) - condição inicial i θ θ= em t =0 (5.50)

- condições de contorno 0 x θ ∂ ₌ ∂ em x=0 (5.51) k h x θ _θ ∂ − = ∂ em x=L (5.52)

Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando θ

( )

x,t = X x

( ) ( )

τ t , obtém-se

2 2 2 0 d X x dx +λ = (5.53) 0 dX dx = em x=0 (5.54) 0 dX h X dx +k = em x=L (5.55) 2 d dt τ _αλ τ = − (5.56)

A solução de (5.53) a (5.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma: m x X cos L L λ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (5.57) A solução de (5.56) é do tipo:

(

2

)

C exp t τ = −αλ (5.58)

Portanto, a solução de θ será da forma:

( )

(

)

(

2

)

1 m m m m x,t C cos x exp t θ ∞ λ αλ = =

∑

− (5.59)

Aplicando a condição inicial obtém-se

(

)

1 i m m m C cos x θ ∞ λ = =

∑

(5.60)

Operando ambos os da eq. (5.60) por

( )

0

L n cos λ x dx

∫

e usando a condição de ortogonalidade das autofunções

(

)

2

(

)

0 0 L L i cos mx dx Cm cos mx dx θ

_∫

λ =

_∫

λ (5.61)

Após efetuar as integrações em (5.61) chega à expressão da constante:

(

)

(

) (

)

2 _{i m} m m m m sen L C L sen L cos L θ λ λ λ λ = + (5.62)

( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 1 2 i i m m m m m m m x,t T x,t T T T sen a x t cos a exp a a sen a cos a L L θ θ α ∞ ∞ ∞ = − = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟ ⎜}− _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

(5.63) na qual

( )

m m m m hL a tg a , a L k λ = = (5.64) Na forma adimensional i T T T T ∞ ∞ −

− , a temperatura depende de três grupos adimensionais:

2 x t hL , Fo , Bi L L k α = = (5.65)

na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente.

A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo x=0 na eq. (5.63), resultando

( )

( ) ( )

(

2

)

1 2 m c m m i m m m sen a T T exp a Fo T T a sen a cos a ∞ ∞ = ∞ − = − −

∑

+ (5.66)

A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:

( )

( )

( )

c

( )

i c i T x,t T T x,t T T t T T T T t T T T ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − − =⎢ ⎥ ⎢× ⎥ − _⎢⎣ − _{⎥ ⎣⎦} − _⎦ (5.67)

É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (5.67) em função do número de Fourier tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura.

A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 t− é calculada por

(

)

i i

Q =ρWHLc T −T_∞ (5.68)

na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de calor.

A taxa de calor real num intervalo 0 t− é sempre menor do que o máximo e pode ser calculada como

( )

₀t Q t =WH

∫

q dt′′ (5.69) na qual x L T q k x ₌ ∂ ⎛ ⎞ ′′ = − ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ (5.70)

Normalmente se gráfica Q t / Q

( )

_i em função de Bi Fo . 2

5.3.2 Cilindro longo

No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma: - equação de condução 2 2 1 1 r r r t θ θ θ α ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ (5.71) - condição inicial i θ θ= em t =0 (5.72) - condições de contorno 0 r θ ∂ ₌ ∂ em r =0 (5.73) k h r θ _θ ∂ − = ∂ em r = (5.74) ro

A separação de variáveis agora é proposta como θ

( )

r ,t =R r

( ) ( )

τ t , que resulta em

2 2 2 1 0 d R dR R dr +r dr +λ = (5.75) 0 dR dr = em r=0 (5.76) 0 dR h R dr +k = em r= (raio externo) ro (5.77) A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 5.3.1. A solução geral da eq. (5.75) é do tipo:

( )

( )

1 0 2 0

R=C J λr +C Y λr (5.78)

na qual J₀ e Y₀ são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos respectivamente.

O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que C2 =0. A solução final

para a temperatura será da forma:

( )

(

_{2 2}

)

( )

0

(

2

)

1 ₀ 2 n n n i n n o T r ,t T Bi r J b exp b Fo T T b Bi J b r ∞ ∞ = ∞ − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − −

∑

+ _{⎝ ⎠} (5.79)

Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como 2 o o hr t Fo , Bi r k α = = (5.80)

e os autovalores bn =λn or sã as raízes da equação transcendental:

( )

( )

1 0 0

n n n

b J b −BiJ b = (5.81)

5.3.3 Esfera

No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma: - equação de condução 2 2 2 1 r r r t θ θ θ α ∂ ₊ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.82) - condição inicial i θ θ= em t =0 (5.83) - condições de contorno 0 r θ ∂ = ∂ em r=0 (5.84) k h r θ _θ ∂ − = ∂ em r = (5.85) ro

Definindo uma nova variável φ =rθ obtém-se um novo conjunto de equações na forma: - equação de condução 2 2 1 r t φ φ α ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (5.86) - condição inicial i r φ = θ em t=0 (5.87) - condições de contorno 0 φ = em r=0 (5.88) 1 0 o h r k r φ ⎛ ⎞_φ ∂ +_⎜ − _⎟ = ∂ _{⎝ ⎠} em r= (5.89) ro

As equações (5.86), (5.88) e (5.89), após separação de variáveis, correspondem ao caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a solução é do tipo:

( )

(

2

)

1 m m m m C sen r exp t φ ∞ λ αλ = =

∑

− (5.90) na qual

(

)

0 1 o m m o hr r ctg r k λ λ = −⎛_⎜ − ⎞_⎟ ⎝ ⎠ (5.91)

Aplicando a condição inicial obtém-se

( )

1 i m m m rθ C sen λ r ∞ = =

∑

(5.92)

Operando ambos os da eq. (5.92) por 0

( )

0

r

n cos λ r dr

∫

e usando a condição de ortogonalidade das autofunções

( )

( )

0 0 ₂ 0 0 r r i r s en mr dr Cm s en mr dr θ

∫

λ =

∫

λ (5.93)

Após efetuar as integrações em (5.89) chega à expressão da constante:

(

)

(

)

(

) (

)

0 0 0 0 0 0 2 _{i m m m} m m m m m sen r r cos r C r sen r cos r θ λ λ λ λ λ λ λ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ (5.94)

A substituição de (5.94) em (5.90) leva à solução para a temperatura na forma:

(

0

)

₍

2

₎

1 0 2 _{i m} m _m m m s en s r / r K exp s Fo s r / r θ θ ∞ = =

∑

− (5.95) na qual

( )

( )

( ) ( )

2 _{m m m} m m m m sen s s cos s K s sen s cos s ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ = − (5.96)

( )

1 0 m m m m s ctg s = −Bi, s =λ r (5.97) 2 o o hr t Fo , Bi r k α = = (5.98)

Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao caso da placa de espessura finita.

5.4 Condução multidimensional

Os resultados do item 5.3 podem ser usados para se determinar o campo de temperatura em condução multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso em que se deseja determinar a distribuição de temperatura numa barra retangular 2L×2H.

Como ilustrado na Figura 5.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num fluido pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da placa horizontal. A equação original é da forma

2 2 2 2 1 x y t θ θ θ α ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.99)

Supondo uma solução na forma

(

x,t , y

)

L

( )

x,t H

( )

y,t

θ =θ ×θ (5.100)

Derivando (5.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e substituindo em (5.99), pode-se verificar que ela é automaticamente satisfeita

2 2 2 2 1 1 0 L L H H H L x t y t θ θ _θ θ θ _θ α α ⎛∂ ₋ ∂ ⎞ ₊⎛∂ ₋ ∂ ⎞ ₌ ⎜ _{∂ ∂} ⎟ ⎜ _{∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.101)

Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a equação original.

A solução (5.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça i i ,L i ,H

θ θ= ×θ (5.102)

Dividindo (5.100) por (5.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura adimensional da barra também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou seja,

(

)

( )

( )

2 2

barra , placa , placa ,

i i i

L H L metade da espessura H metade da espessura

x, y,t x,t y,t θ θ θ θ θ θ × = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.103)

Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como

( )

i i _L i _H i _L i _H Q t Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} −_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.103)

Figura 5.3 Produto de soluções unidimensionais

Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira. Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2L e raio externo r , como ilustrado o na Figura 5.4.

Figura 5.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.

A solução para este caso fica na forma

(

)

( )

( )

o o

cilindro curto , _{cilindro longo , placa ,}

i _{L metade do comprimento} i i

r raio L metade da espessura r raio r ,x,t r,t x,t θ θ θ θ ₌ θ θ = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.104)

Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como ilustrado na Figura 5.5.

Figura 5.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro semi-infinitos.

A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita pela solução do sólido semi-infinito (item 5.5.3) e fica na forma

(

)

( )

( )

placa semi inf inita , placa infinita , meio semi-infinito ,

i i i

L metadade espessura L metade da espessura y normal a superficie

x, y,t x,t y,t θ θ θ θ − θ θ = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.105)

No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma

(

)

( )

( )

o o

cilindro semi infinito , cilindro infinito , meio semi-infinito ,

i i i

r raio r raio x normal a superficie

r , x,t r ,t x,t θ θ θ θ − θ θ = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.106)

O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações (5.104) a (5.106) por uma equação similar à eq. (5.103)

Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 5.6, a solução tridimensional pode ser obtida como

(

)

( )

( )

2 2 barra , placa , i i L H L metade da espessura placa , i H metade da espessura x, y, z,t x,t y,t θ θ θ θ θ θ × = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ × ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

( )

placa , i W metade da espessura z,t θ θ = ⎡ ⎤ × ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (5.107)

5.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num fluido.

A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é calculada como

( )

1 1 1 i i _L i _H i _L i _W i _L i _H Q t Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥+⎜ ⎟ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ (5.108)

5.5 Fontes e sumidouros concentrados

Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto principal é a geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região concentrada- do meio condutor. Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena região, o processo será de condução transiente na vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões subterrâneas, containeres de lixo nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo.

Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um sumidouro concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador de calor através do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de aumentá-lo e depositá-lo num edifício.

5.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos

Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades constantes

(

k , , ,cα ρ

)

, Figura 5.7. A equação de condução na direção x, para o excesso de temperatura θ

( )

x,t =T x,t

( )

−T_∞ é: 2 2 1 x t θ θ α ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (5.109)

Uma solução que satisfaz (5.109) pode ser do tipo:

( )

2 4 K x x,t exp t t θ α α ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.110)

na qual K é uma constante.

Integrando a eq. (5.110) resulta

( )

2 4 K x x,t dx exp dx t t θ α α ∞ ∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠

∫

∫

(5.111)

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 1 2 1 2 ₀ 1 2 ₀ 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 / / / / / d d x,t dx K exp exp =K erf erf =K erf erf η η η η θ π π π π π ∞ −∞ ∞ −∞ ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ⎨− ⎢−⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠ ⎝}⎥ _⎠⎟+ ⎢−⎜ ⎟ ⎜_{⎝ ⎠ ⎝}⎥ _⎠⎟⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭ ⎡− −∞ + ∞ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡− −⎡_⎣ ∞ +⎤_⎦ ∞ ⎤ ⎣ ⎦

∫

∫

∫

( )

1 2 1 2 2 / / =K erf =2 K π π ∞ (5.112)

A integral do lado esquerdo da eq. (5.112) é proporcional ao inventário de energia interna do de meio inteiro:

(

u u

)

Adx c T

(

T

)

Adx cA dx ρ ρ ρ θ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −∞ − = −∞ − = −∞

∫

∫

∫

(5.113)

na qual A é a grande área do plano normal à direção x. Mas

(

u u

)

Adx Q ρ ∞ ∞ −∞ − =

∫

(5.114)

é depósito de calor no plano x=0 no instante de tempo t=0. Combinando as equações (5.112) a (5.114) obrem-se 1 2 2 / Q K c π ρ ′′ = (5.115)

na qual Q′′ =Q / A é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura na vizinhança do plano x=0 em que Q′′ é liberado no instante t=0 é

( )

2 4 2 Q x x,t exp t c t θ α ρ πα ′′ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟

⎝ ⎠ (fonte plana instantânea) (5.116)

Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes pontuais. Em tais casos tem-se

( )

2 4 4 Q r r ,t exp c t t θ ρ πα α ′ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟

⎝ ⎠ (fonte linha instantânea) (5.117)

( )

(

)

2 3 2 4 8 / Q r r ,t exp t c t θ α ρ πα ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟

⎝ ⎠ (fonte ponto instantânea) (5.118)

5.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos)

A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela superposição de efeitos de um grande número de fontes instantâneas.

Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (5.116), só que no instante t=0

e no plano x=0, a magnitude da fonte seja Q′′₀. Então, pela eq. (5.116) tem-se a distribuição de temperatura

( )

0 2 0 4 2 Q x x,t exp t c t θ α ρ πα ′′ ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.119)

Assuma também que no instante t=t₁, o plano x=0 recebe uma nova fonte, Q′′₁ . Se esta nova fonte ocorrer só, ou seja, sem a presença de Q′′0, então a variação de temperatura

provocada por Q′′₁ poderia ser escrito na forma

( )

(

)

(

)

2 1 1 1 1 4 2 Q x x,t exp t t c t t θ α ρ πα ⎡ ⎤ ′′ = _⎢− _⎥ − − ⎢_⎣ ⎥_⎦ (5.120)

na qual, agora, t−t₁ conta o tempo decorrido após a liberação de Q′′₁.

Se Q′′₁ ocorrer na presença da temperatura criada por Q′′₀ no instante t=0, então, a distribuição de temperatura após t=t₁ é simplesmente a soma de θ₀

( )

x t, e θ₁

( )

x t, . Ou seja, para t>0 pode-se escrever

( )

0

( )

_{( )}

_{( )}

1 0 1 1 , 0 , , , x t t t x t x t x t t t θ θ θ θ ⎧ < < ⎪ = ⎨ + < ⎪⎩ (5.121)

Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (5.121) se fontes adicionais de dimensão i

Q′′ forem depositadas em tempos t_i na fonte plana x=0. Por exemplo, após o tempo t= t_n (isto é, após n+1 depósitos), a distribuição de temperatura é dada por

( )

x t, 0 1 2 n

θ =θ θ θ+ + + +θ (5.122)

Uma fonte contínua no plano x=0 em o mesmo efeito que uma seqüência de um grande número de pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho:

Q′′ q′′ t

Δ = Δ (5.123)

na qual q W m′′

(

/ 2

)

é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e Δt é a curta duração de cada depósito (tiro). Quando Δt se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq. (5.122) é substituída por uma integral

( )

(

)

(

)

0 2 0 , exp 4 2 t i t x t d q x d t c t θ θ τ τ α τ ρ πα τ = ⎡ ⎤ ′′ = _⎢− _⎥ − − ⎢_⎣ ⎥_⎦

∫

∫

(5.124)

No integrando, a variável muda τ marca o tempo quando cada adicional fonte q d′′ τ

entra em ação. Quando a integral (5.124) é avaliada o resultado é a distribuição de temperatura próxima ao plano x=0 em que fontes contínuas q′′ são ligadas no tempo t=0:

( )

2 4 2 2 q x x q t x x,t exp erfc c t k t θ ρ πα α α ′′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ⎛ ⎞ = _{⎜⎜ ⎟⎟ ⎜}− _⎟− _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ (fonte plana contínua) (5.125) No plano x=0 tem-se

( )

0 1 2 / q t ,t c θ ρ πα ′′ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (5.126)

o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q′′ , a temperatura na fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce.

As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para fontes linhas e pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (5.117) pode obter

( )

2 ₄ 4 u r / t q e r ,t du k α u θ π − ∞ ′

=

∫

(fonte linha contínua) (5.127) Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo

2

/ 4

r αt é menor do que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por

( )

2 2 4 , ln 0, 5772 1 4 4 q t r r t k r t α θ π α ′ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞ ≅ _{⎢ ⎜ ⎟}− _{⎥ ⎜ ⎟}<< ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (5.128)

O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um grande número de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho:

( )

2 4 2 q r r ,t e rfc kr t θ π α ⎛ ⎞ = _⎜− _⎟

⎝ ⎠ (fonte pontual contínua) (5.129)

Lembrando que erfc

( )

0 =1, pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o argumento r/ 2⎡_⎣

( )

αt 1/ 2⎤_⎦ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de temperatura se estabiliza no nível

(

)

4 q r , kr θ π ∞ = (5.130)

As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e contínuos, pela simples troca dos sinais de

(

Q Q Q q q q′′ ′, , , ′′ ′, ,

)

nas respectivas equações.

5.5.3 Fontes de calor móveis

Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 5.8, a qual pode representar um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo período de tempo, pode-se escrever as equações governantes para essa fonte linha como

2 2 T T U x α y ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (5.131) T =T_∞ em y= ±∞ (5.132)

(

)

q ∞ ρcU T T_∞ dy −∞ ′ =

∫

− (5.133)

A solução do problema (5.131) a (5.133) pode ser obtida definindo as variáveis

( )

(

)

1/ 2

( )

/ , q c T x y T U xαρ θ η ∞ ′ − = (5.134) 1/ 2 U y x η α ⎛ ⎞ = ⎜_⎝ ⎟_⎠ (5.135)

as quais substituídas em (5.131) a (5.133) resulta

2 2 1 0 2 2 d d d d θ η θ _θ η + η + = (5.136) 0 θ = em η= ±∞ (5.137) 1 d θ η ∞ −∞ =

∫

(5.138)

A solução de (5.136) que satisfaz (1.236) e (5.137) deve ser do tipo

2_{/ 4}

Ce η

θ ₌ −

(5.139) a qual substituída em (5.138) leva ao resultado para a constante C

( )

2 2 2 2 2 2 / 4 2 0 2 2 0 1/ 2 2 2 1/ 2 ₀ 1/ 2 ₀ 1/ 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 C e d C e d C e d e d C e d e d C erf e η η η η η η η η η η π η η π π π ∞ ₋ −∞ ⎛ ⎞ − ∞ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ∞ −⎜ ⎟_{⎝ ⎠} −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − −∞ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ∞ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} = ⎡ _{⎛ ⎞}⎤ ⎢ _{⎜ ⎟}⎥ = ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ ⎡ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞}⎤ ⎢ _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}⎥= ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ ⎡ _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞}⎤ ⎢− _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}⎥= ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ − −∞ +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

( )

1/ 2 1/ 2 1 2 1 1/ 2 rf C erf C π π ⎡ ∞ =⎤ ⎣ ⎦ ∞ = = (5.140)

A solução para θ será, portanto, da forma

2_{/ 4} 1/ 2 2 e η θ π − = (5.141)

que substituída em (5.134) juntamente com (5.135) leva ao resultado para a distribuição de temperatura:

( )

(

)

2 1/ 2 / , exp 4 4 q c Uy T x y T x U x ρ α π α ∞ ′ ⎛ ⎞ − = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.142)

No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição de temperatura como

( )

/ 2 , exp 4 4 q c Ur T x r T x x ρ πα α ∞ ⎛ ⎞ − = _⎜− _⎟ ⎝ ⎠ (5.143) 5.6 Solidificação e fusão

Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um movimento de fronteira cuja posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos considerados aqui são de fusão e solidificação.

5.6.1 Solidificação e fusão unidimensional

A Figura 5.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material.

Figura 5.9 – Processos de fusão e solidificação

A Figura 5.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira lei da termodinâmica l s l x , lado liquido d d T A h A h k A dt dt x _δ δ δ ρ ρ = ∂ ⎛ ⎞ ₋⎛ ⎞ _{= −} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ em x=δ

( )

t (5.144)

na qual A , h_l h_s são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica do líquido e a entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de (5.144) representa a transferência de calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da frente de fusão. Não foi considerado nenhum termo de transferência de calor do lado do sólido da frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O coeficiente kl é, portanto, a condutividade térmica do líquido.

Figura 5.10 – Fusão de um sólido semi-infinito

O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma solução simples é baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada de fusão é bem fina, a distribuição de temperatura é linear:

( )

( )

0 1 m m T x,t T x T T δ t − ≅ − − (5.145) da qual se obtém

( )

( )

0 m T x,t T T x δ t ∂ _{≅ −} − ∂ (5.146)

Substituindo (5.146) em (5.144) resulta uma equação para determinar δ :

(

0

)

l m sl k d T T dt h δ δ ρ ≅ − (5.147) cuja solução é

( )

2

(

0

)

1 2 / l m sl k t t T T h δ ρ ⎡ ⎤ ≅_⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ (5.148)

em que hsl = − é o calor latente de fusão do material. hl hs

( )

( )

(

0

)

1 2/ 2 m sl c T T exp erf h π λ λ λ = − (5.149)

na qual c é o calor específico do líquido e λ é um número adimensional definido como

( )

1 2 2 t / δ λ α = (5.150)

O grupo aparecendo do lado direito da eq. (5.149) é denominado por número de Stefan:

(

0 m

)

sl c T T Ste h − = (5.151)

No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos processos de solidificação e fusão da Figura 5.11, a equação na interface fica na forma

( )

s l s l sl d t T T k k h x x dt δ ρ ∂ ₋ ∂ ₌ ∂ ∂ em x=δ

( )

t (5.152)

Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de calor convectivo h, a equação na interface fica na forma

(

)

( )

s s m sl d t T k h T T h x dt δ ρ ∞ ∂ − − = ∂ em x=δ

( )

t (5.153)

Figura 5.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão

Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com ρ_s > e considerando ρ_l movimento do líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como

(

)

s l s l l l s s x l l l T T k k h h V h V x x ρ ρ ρ ∂ ∂ − = − − ∂ ∂ em x=δ

( )

t (5.154)

( )

x d t V dt δ = (5.155)

Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado

(

ρ ρl − s

)

Vx =ρlVl (5.156) da qual se obtém

(

l s

)

x l l V V ρ ρ ρ − = (5.157)

Substituindo (5.157) em (5.154) obtém-se na interface

(

)

s l s l s l s x s sl x T T k k h h V h V x x ρ ρ ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ em x=δ

( )

t (5.158)

que é idêntica à eq. (5.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa específica constante.

5.6.2 Solidificação e fusão multidimensional

No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança de fase será uma superfície no espaço como ilustrado Figura 5.12 dada pela função

(

)

0

F x, y, z,t = .

Figura 5.12 – Solidificação em três dimensões.

Para um movimento da fronteira na direção da normal n, o balanço de energia na fronteira leva à equação

(

)

s l s l l s n T T k k h h V n n ρ ∂ ₋ ∂ _{= −} ∂ ∂ em F x, y, z,t

(

)

=0 (5.159)

Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de fase é:

(

, , ,

)

( , , ) 0

F x y z t ≡ −z s x y t = (5.160)

O vetor normal à superfície pode ser calculado como F n F ∇ = ∇ (5.161)

A superfície F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície isotérmica; conseqüentemente, ∇T é normal a esta superfície, daí,

, i i T F n i s ou l F T ∇ ∇ = = = ∇ ∇ (5.162)

A partir de (5.162) pode-se obter que , i i i T T F T n i s ou l n F ∂ _{= ∇ =}∇ ∇ ₌ ∂ ∇ i i (5.163) n V F V V n F ∇ = = ∇ i i (5.164) A derivada total de (5.160) é: 0 F F F F dt dx dy dz t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (5.165) da qual se obtém F dx F dy F dz F x dt y dt z dt t F V F t ∂ ₊∂ ₊∂ _{= −}∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = − ∂ i (5.166) / n F t V V n F −∂ ∂ = = ∇ i (5.167)

Também se pode demonstrar que

, , 1, F s F s F F s x x y y z t t ∂ _{= −}∂ ∂ _{= −}∂ ∂ ₌ ∂ _{= −}∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.168) 2 2 1 i i T s s T F z x y ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ∂ ⎛∂ ⎞ ∂ ∇ ∇ = ⎢ +_{⎜ ⎟} +_{⎜ ⎟} ⎥ ∂ _{⎢⎣ ⎝}∂ _{⎠ ⎝}∂ _{⎠ ⎥⎦} i (5.169) 2 2 1 / i i T T s s F n z x y ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ∂ ₌∂ _{⎢ +}⎛∂ ⎞ ₊ ∂ _{⎥ ∇} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎢_⎣ ⎝∂ ⎠ ⎝∂ ⎠ ⎥_⎦ (5.170)

Substituindo (5.167) e (5.170) em (5.159) resulta para o caso tridimensional a equação na interface: 2 2 1 s l s l sl T T s s s k k h x y z z ρ t ⎡ _{⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞} ⎤_{⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂} + + − = ⎢ _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎥_{⎜ ⎟} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ em z=s x, y,t

(

)

(5.171) Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (5.171) como

2 1 s l s l sl T T s s k k h x z z ρ t ⎡ _{⎛∂ ⎞} ⎤_{⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂} + − = ⎢ _{⎜ ⎟ ⎜}⎥ _⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ em z=s x,t

( )

(2D) (5.172) s l s l sl T T ds k k h z z ρ dt ∂ ∂ ⎛ ₋ ⎞₌ ⎜ _{∂ ∂} ⎟ ⎝ ⎠ em z=s t

( )

(1D) (5.173) A eq. (5.173) é idêntica à eq. (5.152), bastando trocar z por x.

5.7 Métodos numéricos

Os métodos numéricos utilizados para o caso de condução em regime permanente, também se aplicam aos casos de condução transiente bastando incluir o termo transiente na equação.

5.7.1 Volume finito

Considere um volume de controle de dimensões

( ) ( )

Δ × Δ ×x y W, Figura 5.13, um balanço de energia leva ao

w e s n g E q q q q q t ∂ _{= + + + +} ∂ (5.174)

na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W; e a face leste voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N . As taxas de calor que entram no volume de controle, a variação de energia dentro do volume de controle e a geração calor são definidas como

( )

( )

( )

( )

, N P n n n W P E P w w g e e w e S P s s s T T q k W x y T T E T T T q k W y x yWc q x yWq q k W y x t t x T T q k W x y δ ρ δ δ δ − ≅ Δ − ∂ ∂ _′′′ − ≅ Δ = Δ Δ = Δ Δ ≅ Δ ∂ ∂ − ≅ Δ (5.175)

Figura 5.13 – Volume de controle em torno de um ponto P.

A eq. (5.174) pode ser reescrita como

w e s n T c V q q q q q V t ρ Δ ∂ = + + + + Δ′′′ ∂ (5.176)

A discretização do termo transiente em (5.176) pode ser feita na forma

(

)

(

)

(

)(

)

( )

(

)( )

1 1 1 + 1 + 1 m m m P P w e s n m w e s n m m V c T T f q q q q t f q q q q f q V f q V ρ + + + Δ − = + + + + Δ − + + + + ′′′ Δ + − ′′′ Δ (5.177)

na qual 0≤ ≤ é um parâmetro para indicar se o esquema de discretização no tempo é f 1 explícito, 0f = , semi-implícito, 0< < ou totalmente implícito, f 1 f = . 1 m indica o passo de tempo e Δ =t tm+1− . O caso tm f =0 5, é conhecido como esquema de Crank-Nicolson.

Substituindo as definições das taxas da eq. (5.175) e q′′′ =S Tp p +SC em (5.177) obtém-se

(

)

1 1 1 1 1 W E S N m S N W E p P m m m m W E S N x y c f a a a a S x y T t f a T a T a T a T b ρ + + + + + Δ Δ ⎡ _{+ + + + − Δ Δ} ⎤ ₌ ⎢ _Δ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ + + + _⎦+ (5.178)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 W E S N m S N W E p P m m m m W E S N m P P c x y b c f a a a a S x y T t f a T a T a T a T f S x yT S x y ρ Δ Δ ⎡ ⎤ =_⎢ − − + + + − Δ Δ _⎥ + Δ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + − _⎣ + + + _⎦+ + − Δ Δ + Δ Δ (5.179)

Numa forma compacta a eq. (5.178) pode ser reescrita como

(

)

p P W W E E S S N N

a T = f a T +a T +a T +a T +b (5.180)

na qual o superscrito m+1 foi desconsiderado e os coeficientes são:

( )

e E e k y a x δ Δ = (5.181a)

( )

w W w k y a x δ Δ = (5.181b)

( )

n N n k x a y δ Δ = (5.181c)

( )

s S s k x a y δ Δ = (5.181d)

(

)

p E W N S P x y a c f a a a a S x y t ρ Δ Δ = + + + + − Δ Δ Δ (5.181e)

No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (5.180) e os coeficientes ficam na forma

(

)

p P W W E E S S N N T T B B a T = f a T +a T +a T +a T +a T +a T +b (5.182) na qual

( )

e E e k y z a x δ Δ Δ = (5.183a)

( )

w W w k y z a x δ Δ Δ = (5.183b)

( )

n N n k x z a y δ Δ Δ = (5.183c)

( )

s S s k x z a y δ Δ Δ = (5.183d)

( )

t T t k x y a z δ Δ Δ = (5.183e)

( )

b B b k x y a z δ Δ Δ = (5.183f)

(

)

p E W N S T B P x y z a c f a a a a a a S x y z t ρ Δ Δ Δ = + + + + + + − Δ Δ Δ Δ (5.183g)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 W E S N m S N W E B T p P m m m m m m W E S N B B T T m P P c x y z b c f a a a a a a S x y z T t f a T a T a T a T a T a T f S x y zT S x y z ρ Δ Δ Δ ⎡ ⎤ =_⎢ − − + + + + + − Δ Δ Δ _⎥ + Δ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + − _⎣ + + + + + _⎦+ + − Δ Δ Δ + Δ Δ Δ (5.183h) 5.7.2 Diferença finita

Será considerado o seguinte caso

T T T

c k k q

t x x y y

ρ ∂ = ∂ ⎛_⎜ ∂ ⎞_⎟+ ∂ ⎛_⎜ ∂ _⎟⎞+ ′′′

∂ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ (5.184)

O lado direito da eq. (5.184) já foi discretizado na eq. (1.85) e, portanto, (5.184) pode ser reescrita, usando a notação da Figura 5.14, como

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 , 1 1, 2 , 2 , 1, , 1 1 T T i j T i j T i j T i j T i j T i j q t y x x y x y k α − − + + ′′′ ∂ = + − − + + + ∂ Δ Δ Δ Δ Δ Δ (5.185)

Figura 5.14 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.

Ou usando a eq. (1.86) pode-se reescrever (5.185) como

, 1 1, , 1, , 1 , 1 i j i j i j i j i j i j T aT bT cT bT aT d t α − − + + ∂ _{= + + + + +} ∂ (5.186) na qual, agora

( )

2 1 a y = Δ (5.187a)

( )

2 1 b x = Δ (5.187b)

( ) ( )

2 2 2 2 c x y = − − Δ Δ (5.187c) , i j q d k ′′′ = (5.187d)

A discretização do termo transiente na eq. (5.186) pode ser feita de várias formas, pelo uso do parâmetro f como na equação (5.177). Desta forma após discretizar o termo transiente em (5.186) tem-se

(

)

(

)

(

)

1 1 , , , 1 1, , 1, , 1 , , 1 1, , 1, , 1 , 1 + 1 m m m i j i j i j i j i j i j i j i j m i j i j i j i j i j i j T T f aT bT cT bT aT d t f aT bT cT bT aT d α + + − − + + − − + + − = + + + + + + Δ − + + + + + (5.188)

Os casos clássicos são: método explícito, f = , que é condicionalmente estável; método 0 implícito, 1f = , incondicionalmente estável e o caso f =0 5, , esquema Crank-Nicolson que é uma discretização de segunda ordem no tempo.

Considere o caso em que xΔ = Δ e y f = . A eq. (5.188) pode ser reescrita como 0

( )

(

2

)

(

)

1 , 1 4, 1 1, 1, , 1 , , m m m i j i j i j i j i j i j i j T + = Fo T ₋ +T₋ +T₊ +T ₊ +d Δx + − Fo T (5.189)

Na qual foi definido o número de Fourier com base no tamanho da malha

( )

2 t Fo x αΔ = Δ (5.190)

Para que o método explícito seja estável, a seguinte condição dever ser satisfeita:

(

1 4− Fo

)

≥0, que leva a

1 4

Fo≤ (5.191)

O que restringe o passo de tempo em valores

( )

2 4 x t α Δ Δ ≤ (5.192)

O caso f = leva à seguinte equação para o método implícito: 1

(

)

(

( )

₂

)

1 1 , , 1 1, , 1, , 1 , , 1 4 m m m i j i j i j i j i j i j i j i j Fo T Fo T T T T T d x T + + − − + + + − + + + + + Δ = (5.193) 5.7.3 Elemento finito

O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 5.15, também tem sido usado para se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretização de domínios complexos. A equação de condução transiente é:

( )

T c k T q t ρ ∂ − ∇ ∇ = ′′′ ∂ i i (5.194)

Multiplicando a equação (5.194) por uma função de ponderação W e integrando no domínio de um elemento, após uma integração por partes obtém-se

e e e e e e e e e e e ij ij i i j j T W c d W k Td Wq d t T W c d W k Td Wk T nd Wq d t T W T T W c d k d Wk n d Wq d t x x x ρ ρ ρ Ω Ω Ω Ω Ω Γ Ω Ω Ω Γ Ω ∂ _{Ω − ∇ ∇ Ω = ′′′ Ω} ∂ ∂ _{Ω + ∇ ∇ Ω − ∇ Γ = ′′′ Ω} ∂ ∂ _{Ω +} ∂ ∂ _{Ω =} ∂ _{Γ + ′′′ Ω} ∂ ∂ ∂ ∂

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i i i i i i (5.195)

Figura 5.15 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos quadrilaterais.

Nas equações onde aparecem os índices i e j está implícita a regra de soma de Einstein. Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:

( )

{

e

( )

}

T = N r T t (5.196) na qual 1 2 T Ne N N N N ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ;

{ }

1 2 e Ne T T T T ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (5.197a, b)

em que Ni e Ti são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método de Galerkin, em que

W = N (5.198)

{ }

{ }

{ }

{ }

e e e e e e ij i j ij i j dT N N c N N d k d T dt x x T N k n d N q d x ρ Ω Ω Γ Ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ∂ ∂ Ω_{⎨ ⎬}+ _{⎨ ⎬} Ω = ∂ ∂ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ∂ _′′′ = Γ + Ω ∂

∫

∫

∫

∫

(5.199)

A equação (5.199) pode ser escrita numa forma matricial como

{ } { }

e e dT e e e M K T Q dt ⎧ ⎫ ⎡ ⎤_{⎨ ⎬}+⎡ ⎤ = ⎣ ⎦_{⎩ ⎭} ⎣ ⎦ (5.200)

Na qual os elementos das matrizes de massa ⎡_⎣Me⎤_{⎦ , de rigidez} ⎡_⎣Ke⎤_{⎦ e do vetor carga}

{ }

e

Q são definidos como

e e M_αβ ρcN N d_{α β} Ω =

∫

Ω (5.201) e e ij i j N N K k d x x αβ β α Ω ∂ ∂ = Ω ∂ ∂

∫

(5.202) e e e ij i j T Q N k n d N q d x α =

∫

_Γ α _∂∂ Γ +

∫

_Ω α ′′′ Ω (5.203)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (5.203) será avaliado somente nos elementos que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor especificado.

A discretização do termo transiente na eq. (5.200) pode ser feita como nos casos de diferenças finitas, resultando a equação discretizada na forma

{ }

(

)

{ }

{ }

(

)

{ }

1 1 1 1 1 m m e e m m e e e e e e m m e e T T M M f K T f K T t t f Q f Q + + + ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤_{⎨ ⎬} −⎡ ⎤_{⎨ ⎬} + ⎡ ⎤ + − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦_{⎩Δ ⎭} ⎣ ⎦_{⎩Δ ⎭} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + − (5.204) ou

{ }

(

)

{ }

{ }

(

)

{ }

1 1 1 1 1 m m e e m m e e e e e e m m e e T T M f K T M f K T t t f Q f Q + + + ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤_{⎨ ⎬} + ⎡ ⎤ =⎡ ⎤_{⎨ ⎬} − − ⎡ ⎤ + ⎣ ⎦ _Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _Δ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ + + − (5.205)

Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,

na qual, agora, a matriz

[ ]

G e o vetor

{ }

Q conterão a contribuição de todos os elementos:

[ ]

1 1 Nelem e e e G M f K t = ⎡ _{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}⎤ = _{⎢ ⎣ ⎦}+ _{⎣ ⎦⎥} Δ ⎣ ⎦

∑

(5.207)

{ }

(

)

{ }

{ }

1 1 1 1 Nelem _m Nelem e e e e e e Q M f K T Q t = = ⎡ _{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}⎤ = _{⎢ ⎣ ⎦}− − _{⎣ ⎦⎥} + Δ ⎣ ⎦

∑

∑

(5.208)

O vetor

{ }

T conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.

A solução da equação (5.206) é feita após introdução dos valores conhecidos de temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas para solução de sistemas lineares esparsos.