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MA36 - Recursos Computacionais no ensino de Matemática

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(1)

Recursos Computacionais no Ensino

de Matemática (MA36)

Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo

Caetano (UFSCar)

(2)

Concepção do Material

De forma geral, o livro é estruturado por atividades

seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando:

objetivos;

conteúdos matemáticos tratados;

papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações).

Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de

educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os

docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar

textos com essas características, quando considerarem

apropriados.

Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de

aula de Matemática é organizada a partir das discussões

sobre as atividades propostas.

(3)

Concepção do Material

As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em

softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de

recursos empregados.

Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos

recursos computacionais específicos, e sim nas atividades

em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos

softwares diferentes.

O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares

educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos

professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de

aula de Matemática.

O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de

tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos

de acordo com as especificidades de cada contexto.

(4)

Concepção do Material

Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos

softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de

arredondamento, interpolação, etc.).

Os objetivos são:

evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador

como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”,

mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser

interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao

contrário);

aproveitar a exploração dessas

limitações para aprofundar a

(5)

Concepção do Material

De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões

e generalizações matemáticas, sem o apoio do

computador.

Os professores devem ser orientados no sentido de que, em

sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre

que possível, ser complementadas com discussões e

argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias.

As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais

deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos

conceitos matemáticos dos alunos não dependa

permanentemente do apoio dessas tecnologias.

(6)

Concepção do Material

De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação

direta em sala de aula.

O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o

uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias

atividades, de acordo com as especificidades de cada público

de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina.

Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos

ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em

uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com

(7)

Concepção do Material

Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada

grupo de atividades com objetivos (mais ou menos)

semelhantes são propostas atividades de fechamento do

tipo:

(8)

Concepção do Material

Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas

atividades de fechamento e trazer suas propostas para

discussão em sala de aula, com os colegas e docente

responsável pela disciplina.

Recomendamos também que as atividades de fechamento

(9)

Concepção do Material

O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções,

totalizando 24 seções.

Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma

Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2

Unidades.

Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais:

1.

O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática

2.

Planilhas Eletrônicas

3.

Ambientes Gráficos

4.

Ambientes de Geometria Dinâmica

(10)

Victor Giraldo (UFRJ)

Paulo Caetano (UFSCar)

Francisco Mattos (UERJ / CP2)

(11)

Conte´

udo

1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matem´atica 5

1.1 Opera¸c˜oes e Propriedades . . . 6

1.2 Aproxima¸c˜oes, Arredondamentos e Erros . . . 12

2 Planilhas Eletrˆonicas 17 2.1 Simbologia Alg´ebrica . . . 17

2.2 Tratamento da Informa¸c˜ao . . . 26

3 Ambientes Gr´aficos 31 3.1 Articulando Representa¸c˜oes . . . 32

3.2 Fam´ılias de Fun¸c˜oes Dependendo de Parˆametros . . . 38

3.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . 45

3.4 Mais Explora¸c˜oes . . . 55

4 Ambientes de Geometria Dinˆamica 63 4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinˆamica . . . 63

4.2 Aprofundando a Explora¸c˜ao . . . 70

4.3 Articulando Geometria e Fun¸c˜oes: Manipulando Gr´aficos . . . 73

4.4 Articulando Geometria e Fun¸c˜oes: Novos Olhares . . . 76

5 Sistemas de Computa¸c˜ao Alg´ebrica e Simb´olica 81 5.1 Explorando Fun¸c˜oes . . . 81

5.2 Operando com Fun¸c˜oes . . . 82

5.3 Conceitos B´asicos do C´alculo Infinitesimal . . . 82

5.4 Explora¸c˜oes Aritm´eticas . . . 84

6 Ensino a Distˆancia 91 6.1 Ambientes Virtuais de Matem´atica . . . 91

6.2 Aprendizagem Colaborativa . . . 95

6.3 Projetos de Ensino a Distˆancia – Parte 1 . . . 97

6.4 Projetos de Ensino a Distˆancia – Parte 2 . . . 97

7 Pesquisas Eletrˆonicas, Processadores de Texto e Hipertexto 99 7.1 Pesquisas Eletrˆonicas . . . 99

7.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . 100

8 Crit´erios e Instrumentos para Avalia¸c˜ao de Softwares Educativos 115 8.1 Avalia¸c˜ao de Softwares Educativos – Parte 1 . . . 116

8.2 Avalia¸c˜ao de Softwares Educativos – Parte 2 . . . 116

(12)

Cap´ıtulo 1

O Uso da Calculadora no Ensino de

Matem´

atica

Introdu¸c˜

ao

A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matem´atica, sobretudo nas ´ultimas duas d´ecadas, foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate, que n˜ao se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os pa´ıses em que recursos computacionais foram sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder `a quest˜ao se tais efeitos seriam “ben´eficos” ou “mal´eficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras no ensino de Matem´atica, o pesquisador inglˆes David Tall [57] j´a observava h´a 10 anos passados:

O uso de calculadoras e computadores em Matem´atica nem sempre tem sido t˜ao bem sucedido quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crian¸cas tem sido desencorajado na esperan¸ca de que sua ausˆencia permitiria que as crian¸cas construissem rela¸c˜oes aritm´eticas men-tais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar c´alculos sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao pr´oprio aparato. Bem usada – para encorajar reflex˜ao sobre id´eias matem´aticas – a calculadora pode ser muito ben´efica.

David Tall, 2001, p.212 (tradu¸c˜ao nossa)

Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si s´o, atrofiaria as habilidades aritm´eticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta na aprendizagem est˜ao muito mais relacionados com a forma como ela ´e usada do que com suas caracter´ısticas intr´ınsecas. De fato, esta constata¸c˜ao aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino, seja esta de natureza computacional ou n˜ao. Hoje, as tecnologias digitais est˜ao cada vez mais presentes em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto n˜ao faria sentido bani-las da sala de aula – sob pena de tornar a escola t˜ao anacrˆonica em rela¸c˜ao `a vida exterior a seus muros a ponto de ter um efeito in´ocuo na forma¸c˜ao dos alunos. Paralelamente a isso, a reflex˜ao sobre os usos pedag´ogicos dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da quest˜ao de se as tecno-logias digitais tˆem efeitos ben´eficos para a aprendizagem, para a quest˜ao de como us´a-las de forma

que seus efeitos sejam ben´eficos para a aprendizagem.

As calculadoras s˜ao certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais f´acil uso. Mesmo as calculadoras com menos recursos matem´aticos podem ser usadas de forma a enriquecer signi-ficativamente a abordagem. Seu uso como instrumento did´atico oferece ao contexto de sala de aula, em situa¸c˜oes espec´ıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples as aulas te´oricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro

(13)

Cap´ıtulo ´e discutir como ´e poss´ıvel desenvolver atividades pedag´ogicas1 interessantes e enriquecedoras

mesmo quando se disp˜oe apenas de recursos computacionais m´ınimos. Por isso, todas as atividades propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bol-so), que disp˜oem apenas das quatro opera¸c˜oes elementares. Atividades de natureza mais complexa, que demandariam mais recursos tecnol´ogicos ser˜ao abordadas nos cap´ıtulos subsequentes. O Cap´ıtulo est´a dividido em duas se¸c˜oes: na primeira, o foco das atividades estar´a mais na estrutura as opera¸c˜oes e suas propriedades; e na segunda nas caracter´ısticas da representa¸c˜ao decimal, com ˆenfase em aproxima¸c˜oes e erros.

1.1

Opera¸c˜

oes e Propriedades

Nesta se¸c˜ao, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem da estrutura das opera¸c˜oes elementares (principalmente com n´umeros inteiros) e suas propriedades. Em geral, essas propriedades s˜ao ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos uma oportunidade de lidar com a estrutura das opera¸c˜oes de forma mais concreta e dinˆamica.

Para que esses objetivos sejam atingidos, ´e fundamental que os alunos sejam encorajados a

in-terpretar matematicamente os resultados da m´aquina e a desenvolver uma atitude cr´ıtica

em rela¸c˜ao a estes – em lugar de simplesmente aceit´a-los como verdades inquestion´aveis. Assim, o papel da calculadora em sala de aula n˜ao deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos manualmente. Seu uso ´e mais rico em situa¸c˜oes cuja interpreta¸c˜ao pelos alunos leve ao aprofundamento da compreens˜ao sobre as propriedades matem´aticas envolvidas, por exemplo, por meio da explora¸c˜ao de resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e aplicar adequadamente as atividades ´e decisivo – n˜ao ´e a calculadora, por si s´o, que pode trazer efeitos positivos (ou negativos) `a aprendizagem, e sim a forma como ela ´e empregada em sala de aula. Atividades

1. Considere os n´umeros: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de opera¸c˜oes (adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e divis˜ao), que tenham cada um desses n´umeros como resulta-dos.

(a) Primeiro, dˆe exemplos de opera¸c˜oes envolvendo apenas n´umeros naturais. (b) Agora, use quaisquer n´umeros (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais).

2. Suponha que vocˆe queira fazer uma conta envolvendo n´umeros grandes, como por exemplo:

987123× 110357. ´E bem prov´avel que use uma calculadora para obter o resultado. Como

se tratam de n´umeros com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, n˜ao ´e imposs´ıvel enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.

(a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta.

(b) Constatando que o resultado anterior n˜ao estava correto, vocˆe apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique a sua resposta.

(c) Quantos algarismos vocˆe espera que o resultado tenha?

1Grande parte as atividades propostas neste Cap´ıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.

(14)

(d) Qual deve ser o ´ultimo algarismo do resultado?

(e) Vocˆe seria capaz de descobrir que erros vocˆe cometeu nos ´ıtens (a) e (b)?

3. Suponha que vocˆe queira saber o resultado da conta 7× (581 + 399), com ajuda de uma

calcu-ladora. Vocˆe digita os dados e a m´aquina fornece o resultado 4466. O resultado est´a correto? O que vocˆe acha que aconteceu?

As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das opera¸c˜oes elementares, sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do in´ıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A

atividade 1 tem por objetivo inverter a l´ogica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerc´ıcio de inventar contas pode ser explorado pelo professor para a reflex˜ao sobre as propriedades das opera¸c˜oes, al´em de colaborar com a pr´atica de c´alculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a rela¸c˜ao entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na atividade quest˜oes chave mais direcionadas, como por exemplo:

• Quantas multiplica¸c˜oes vocˆe consegue exibir, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49? E 71? E 180?

• Observando que 90 + 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de adi¸c˜ao que dˆeem o mesmo resultado?

• Observando que 2 × 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de multiplica¸c˜ao, apenas com n´umeros inteiros, que dˆeem o mesmo resultado?

• Observando que 2 × 90 = 180, como vocˆe pode descobrir outras contas de multiplica¸c˜ao, com n´umeros inteiros ou fra¸c˜oes, que dˆeem o mesmo resultado?

• Pode existir uma adi¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60?

• Pode existir uma adi¸c˜ao, envolvendo n´umeros inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60?

• Pode existir uma multiplica¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?

• Pode existir uma multiplica¸c˜ao, envolvendo apenas n´umeros naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?

• Pode existir uma multiplica¸c˜ao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60? • Pode existir uma multiplica¸c˜ao cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?

• Em uma adi¸c˜ao, quando vocˆe aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para que o resultado n˜ao se altere?

• Em uma subtra¸c˜ao, quando vocˆe aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro para que o resultado n˜ao se altere?

• Em uma multiplica¸c˜ao, quando vocˆe aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro para que o resultado n˜ao se altere?

• Em uma divis˜ao, quando vocˆe aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que o resultado n˜ao se altere?

(15)

Quest˜oes como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreens˜ao de algumas proprie-dades importantes das opera¸c˜oes. Por exemplo, quando adicionamos um n´umero a uma das parcelas de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo n´umero da segunda parcela. Verifica¸c˜oes an´alogas podem ser propostas para as demais opera¸c˜oes. Tais verifica¸c˜oes podem favorecer a explora¸c˜ao da rela¸c˜ao entre as opera¸c˜oes e sua respectivas inversas, al´em da rela¸c˜ao entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. As quest˜oes podem ainda ser empregadas na explora¸c˜ao das limita¸c˜oes das opera¸c˜oes em cada um dos conjuntos num´ericos. Em particular, ´e importante chamar aten¸c˜ao para o fato de que a quantidade de multiplica¸c˜oes resultando em n´umero dado est´a relacionada com a quantidade de fatores primos deste n´umero (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima, s˜ao dados um n´umero primo e dois n´umeros compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com diversos divisores distintos). Finalmente, o exerc´ıcio de procurar por um dos termos de uma opera¸c˜ao, dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdu¸c˜ao `a no¸c˜ao de equa¸c˜ao.

Na atividade 1, o papel da calculadora ´e apenas o de dar mais agilidade aos c´alculos, permitindo que o aluno foque mais aten¸c˜ao na reflex˜ao sobre o comportamento dos resultados e as propriedades

operat´orias empregadas. ´E importante observar que a atividade n˜ao deve se resumir `a mera

verifica¸c˜ao de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve

sempre incluir as justificativas matem´aticas desses resultados. Por outro lado, o uso da

calcu-ladora em sala de aula n˜ao precisa – e n˜ao deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas. As atividades 2 e 3 enfocam a interpreta¸c˜ao cr´ıtica de resultados produzidos por usos errˆoneos da calculadora, visando estimular a forma¸c˜ao de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento pr´atica da verifica¸c˜ao por meio de estimativas e c´alculo mental.

Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das opera¸c˜oes, sem entender sua estrutura, dificilmente eles desenvolver˜ao qualquer no¸c˜ao das rela¸c˜oes entre o resultado e os operandos. Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplica¸c˜ao dos algoritmos s˜ao aceitos, mesmo quando claramente incompat´ıveis com a conta efetuada. Se os c´alculos s˜ao feitos com a calculadora, os resul-tados s˜ao geralmente aceitos como corretos sem hesita¸c˜ao.

Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ´ıtens 2a e 2b s˜ao incompat´ıveis com os fatores da multiplica¸c˜ao. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105, ent˜ao 987123×110357 > 9×105×105 =

9×1010, isto ´e, 987123×110357 tem pelo menos 11 algarismos. Al´em disso, como os fatores terminam

com os algarismos 3 e 7, o ´ultimo algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados 989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b s˜ao obtidos pela omiss˜ao ou troca de algarismos na conta.

Assim, 989455911 = 87123× 11357 e 108935822554 = 987122 × 110357. De forma semelhante, na

atividade 3, percebemos que o resultado de 7× (581 + 399) deve ser m´ultiplo de 10, portanto n˜ao pode ser 4466. O erro decorre da omiss˜ao dos parˆenteses, isto ´e, 4466 = 7× 581 + 399.

H´a uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas, dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos que vocˆe formule outras, levando em conta as especificidades de seu p´ublico de alunos.

Atividades

4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

(16)

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona. Que quest˜oes chave vocˆe incluiria na atividade, para ajudar a direcionar a resolu¸c˜ao dos alunos.

Reconhecendo Padr˜

oes e Regularidades

As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padr˜oes nos resultados de opera¸c˜oes aritm´eticas. Em livros did´aticos do ensino fundamental, n˜ao ´e incomum encontrarmos exerc´ıcios do tipo “complete a sequˆencia”, que pedem que o aluno reconhe¸ca e generalize um padr˜ao num´erico ou geom´etrico em uma sequˆencia, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padr˜oes ´e sem d´uvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matem´atico elementar. Entretanto, ´e importante considerar que a regra de forma¸c˜ao de uma sequˆencia n˜ao pode ser inferida tendo como base apenas a verifica¸c˜ao de um conjunto finito de exemplos (uma sequˆencia num´erica n˜ao precisa nem mesmo ter uma regra alg´ebrica de forma¸c˜ao).

Assim, as atividades que se seguem n˜ao visam apenas inferir o padr˜ao a partir da verifica¸c˜ao dos exemplos dados e generaliz´a-lo para outros n´umeros quaisquer. O objetivo ´e reconhecer o padr˜ao, jus-tific´a-lo matematicamente, e determinar para que outros n´umeros este pode ser generalizado. A busca por essas justificativas matem´aticas pode ajudar na compreens˜ao dos algoritmos das opera¸c˜oes e suas rela¸c˜oes com a estrutura do sistema de numera¸c˜ao decimal. As atividades propostas abordam padr˜oes nas representa¸c˜oes decimais de n´umeros naturais (6 e 7) e de n´umeros racionais (8 e 9).

Atividades

6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplica¸c˜ao por 11: 13× 11, 24 × 11, 35× 11. Observe que h´a um padr˜ao nos resultados.

(a) Descreva o padr˜ao observado.

(b) Explique o padr˜ao, com base no algoritmo da multiplica¸c˜ao.

(c) Este padr˜ao vale para qualquer multiplica¸c˜ao de um n´umero de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta.

(d) O que acontece se multiplicamos um n´umero com mais de dois algarismos por 11? Tamb´em observaremos algum tipo de padr˜ao? Justifique sua resposta.

7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21× 202, 48 × 202, 35 × 202, 17 × 202. (a) Descreva o padr˜ao observado nos resultados.

(b) Explique o padr˜ao, com base no algoritmo da multiplica¸c˜ao.

(c) Para que tipo de multiplica¸c˜ao esse padr˜ao vale? Justifique sua resposta.

8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padr˜ao observado nos resultados.

9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o

padr˜ao observado nos resultados.

Na atividade 6, observamos que se um n´umero natural n possui 2 algarismos quando representado na forma decimal, ent˜ao podemos escreve-lo na forma n = 10a + b, com a, b∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo:

(17)

Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplica¸c˜ao. Por-tanto, se n = 10a + b ´e um n´umero com 2 algarismos, cuja soma ´e menor que 10, ent˜ao a representa¸c˜ao decimal de 11 n tem trˆes algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades b. Na atividade 7, o padr˜ao observado pode ser justificado de forma an´aloga. O papel da calculadora nessas atividades ´e justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padr˜ao observado.

Nas atividades 8 e 9, ´e interessante chamar a aten¸c˜ao dos alunos para a determina¸c˜ao da fra¸c˜ao geratriz de um d´ızima peri´odica como soma de uma progress˜ao geom´etrica infinita.

Atividades

10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Aprofundando a Compreens˜

ao das Opera¸c˜

oes

Como j´a comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples para enriquecer a aprendizagem das opera¸c˜oes elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia

geral ´e aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma vis˜ao das

opera-¸c˜oes que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enrique¸ca

essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Por´em leitor ´e fortemente encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracter´ısticas e dificuldades espec´ıficas de seu p´ublico de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo entre os alunos.

Atividades

12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = v´arias vezes. Tome nota dos n´umeros que v˜ao aparecendo na tela. Que tipo de sequˆencia esses n´umeros formam? (b) Agora, fa¸ca a mesma experiˆencia com a multiplica¸c˜ao: digite 2× 3 na calculadora e, em

seguida, o sinal de = v´arias vezes. Que tipo de sequˆencia esses n´umeros formam?

13. (a) Suponha que vocˆe tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupan¸ca que rende 0, 7% ao mˆes. Passado o primeiro mˆes, vocˆe ter´a R$150, 00+R$150, 00×1000,7 = R$150, 00× 1, 007 = R$151, 05. Quantos meses vocˆe dever´a esperar (sem fazer nenhum saque ou novo dep´osito) para obter 10% a mais da quantia aplicada?

Vocˆe poder´a responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro opera¸c˜oes elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, at´e

que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150× 1, 1 = 165. Conte o n´umero de

(18)

(b) Repita a experiˆencia, supondo agora que vocˆe tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um lucro de 10% da quantia inicial.

(c) As respostas dos ´ıtens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas com base em argumentos matem´aticos.

14. Complete as espa¸cos em branco nas express˜oes abaixo, com os sinais das quatro opera¸c˜oes elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam v´alidas.

(a) (53  36)  15 = 1335 (b) 53  36  15 = 1923

(c) 17  (25  83) =−41 (d) 11  17  23 = 4301

(e) (14  66)  16 = 5 (f) 14  66  16 = 18, 125

15. Use uma calculadora para encontrar aproxima¸c˜oes para os n´umeros a seguir, empregados apenas

as teclas num´ericas e as teclas + , − , × , ÷ , √ e = (isto ´e, sem empregar a tecla de

potencia¸c˜ao a um expoente qualquer, se houver).

(a) 30,5 (b) 3−0,125 (c) √4

3 (d) 33,125

16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = est˜ao funcionando.

Vocˆe conseguiria obter todos os n´umeros naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas?

17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = est˜ao funcionando.

Obtenha cada um dos n´umeros naturais de 1 a 10 apenas usando o menor n´umero poss´ıvel de teclas.

Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de igualdade seguidamente, a ´ultima opera¸c˜ao realizada ´e repetida. Este recurso pode ser empregado no ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugest˜oes neste sentido.

Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as opera¸c˜oes, a proposta ´e que os alunos descubram as opera¸c˜oes conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles dever˜ao avaliar as rela¸c˜oes entre os operandos e os resultados (tais como ordens de grandeza e caracter´ısticas da representa¸c˜ao decimal), assim como nas atividades 2 e 3.

A atividade 15 visa `a explora¸c˜ao das propriedades de potencia¸c˜ao e radicia¸c˜ao, por meio da decom-posi¸c˜ao potˆencias de diversos expoentes em ra´ızes quadradas. De forma semelhante, na resolu¸c˜ao das atividades 16 e 17, os alunos dever˜ao decompor n´umeros naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras. O exerc´ıcio de decompor n´umeros naturais de diferentes formas ´e importante para a compreens˜ao dos sistema de numera¸c˜ao decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro opera¸c˜oes.

Atividades

18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

19. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 12 a 17, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

(19)

1.2

Aproxima¸c˜

oes, Arredondamentos e Erros

Na se¸c˜ao 1.1, destacamos a importˆancia do desenvolvimento de uma atitude de interpreta¸c˜ao cr´ıtica dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela se¸c˜ao visavam `a forma¸c˜ao dessa atitude cr´ıtica a partir de usos errˆoneos da m´aquina, isto ´e, erros cometidos pelo pr´oprio usu´ario. Entretanto, n˜ao s˜ao apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente errados ou inesperados – estes podem ser causados por limita¸c˜oes inerentes `a pr´opria m´aquina. Tais resultados s˜ao produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora s´o tem capacidade para armazenar n´umeros com representa¸c˜ao decimal finita, todos os n´umeros com representa¸c˜ao infinita (e mesmo aqueles com representa¸c˜ao finita, por´em superior a capacidade da m´aquina) s˜ao aproximados por n´umeros com representa¸c˜ao finita. Isto ´e, as calculadoras (pelo menos as mais simples) n˜ao operam com n´umeros com representa¸c˜ao decimal infinita, e sim com aproxima¸c˜oes para esses n´umeros. A imprecis˜ao nos resultados de c´alculos aproximados pode aumentar quando os erros de arredondamento s˜ao propagados, isto ´e, quando resultados aproximados s˜ao usados em novos c´alculos, gerando aproxima¸c˜oes sobre aproxima¸c˜oes. Evidentemente, algumas m´aquinas possuem capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, por´em todas tˆem capacidade finita. Portanto c´alculos com decimais infinitos envolver˜ao necessariamente imprecis˜oes e erros de alguma ordem.

Desta forma, a atitude de interpreta¸c˜ao cr´ıtica dos resultados por parte dos alunos n˜ao se refere apenas a seus pr´oprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e `as limita¸c˜oes da m´aquina. A consciˆencia das limita¸c˜oes da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados

imprecisos ou aparentemente errados ´e fundamental para a compreens˜ao de que a m´aquina n˜ao

pode ser usada como crit´erio de valida¸c˜ao matem´atica. Os resultados da m´aquina devem ser

interpretados e avaliados com base em argumentos matem´aticos (e n˜ao ao contr´ario). Este ser´a o enfoque desta se¸c˜ao.

Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar aten¸c˜ao para as limita¸c˜oes da calculadora, por meio da interpreta¸c˜ao de resultados aparentemente errados ou imprecisos. As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproxima¸c˜oes sucessivas, que podem ser empregados como introdu¸c˜ao ao conceito de limite. A princ´ıpio, pode-se pensar que os erros de aproxima¸c˜ao da m´aquina constituem-se necessariamente em um obst´aculo para a aprendizagem do conceito de limite. Por´em, justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expl´ıcita a natureza matem´atica da no¸c˜ao de limite: o conceito matem´atico de limite escapa da precis˜ao da m´aquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precis˜ao finita.

Atividades

1. As figuras abaixo representam resultados de certas opera¸c˜oes matem´aticas feitas em uma cal-culadora, mostrados no visor. Sem saber as opera¸c˜oes que foram efetuadas, ´e poss´ıvel saber se esses n´umeros s˜ao racionais ou n˜ao, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.

(20)

2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado n˜ao ´e um n´umero inteiro, o visor mostrar´a uma aproxima¸c˜ao desse resultado, usando todas as casas decimais dispon´ıveis. Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.

(a) Use a calculadora para fazer a conta 1÷ 3. Se vocˆe multiplicar o resultado mostrado no visor por 3, vocˆe encontrar´a o n´umero 1 novamente?

(b) Use a calculadora para fazer a conta √2. Se vocˆe elevar o resultado mostrado no visor a quadrado, vocˆe encontrar´a o n´umero 2 novamente?

3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar

essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111× 9999456) ÷ 9999123, ou 0, 0000111 ×

(9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das

ope-ra¸c˜oes de multiplica¸c˜ao e divis˜ao garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Vocˆe pode explicar o que aconteceu?

Muitos livros did´aticos do ensino b´asico apresentam exerc´ıcios propondo a classifica¸c˜ao de n´umeros como racionais ou irracionais, com base em sua representa¸c˜ao decimal. Entretanto, frequentemente tais exerc´ıcios n˜ao incluem informa¸c˜oes suficientes para a conclus˜ao pedida. O objetivo da atividade 1 ´e mostrar que, apenas com uma amostra finita da representa¸c˜ao decimal de um n´umero real, n˜ao ´e poss´ıvel concluir se este ´e racional ou n˜ao. Por exemplo, embora a express˜ao que aparece na tela da esquerda possa sugerir a representa¸c˜ao de um n´umero irracional (pois os algarismos n˜ao repetem), trata-se apenas de uma express˜ao decimal finita que pode representar uma aproxima¸c˜ao, tanto para um irracional quanto para um racional. De fato, a representa¸c˜ao decimal da fra¸c˜ao 191 ´e uma d´ızima peri´odica cujo per´ıodo tem 18 d´ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a express˜ao dada:

1

19 = 0, 052631578947368421 .

Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a experiˆencia proposta na atividade 2, os alunos poder˜ao anotar o resultado da primeira opera¸c˜ao que ´e mostrado na tela, limpar a mem´oria da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a opera¸c˜ao inversa, verificando que n˜ao se retorna ao n´umero original. A atividade 3 exemplifica uma situa¸c˜ao em que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forne¸ca resultados diferentes para uma mesma opera¸c˜ao efetuada em ordens diferentes (dependendo da precis˜ao da calculadora utilizada). Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um n´umero pr´oximo de 0 por um n´umero pr´oximo de 1. Assim, se a divis˜ao for efetuada primeiro, em uma calculadora com precis˜ao baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final.

Atividades

4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

(21)

Aproxima¸c˜

oes e Limites

Nas atividades a seguir, lidamos com aproxima¸c˜oes – ou em termos matem´aticos formais, limites de sequˆencias de n´umeros reais. O conceito de limite ´e um dos mais importantes e centrais de toda a Matem´atica, e mesmo n˜ao figurando explicitamente nos curr´ıculos, este pode (e deve) ser introduzido informalmente no ensino b´asico, por meio da ideia intuitiva de aproxima¸c˜ao. A calculadora pode ser um recurso did´atico de grande ajuda para esta introdu¸c˜ao.

Em particular, a ideia de aproxima¸c˜ao ´e importante para o ensino do conceito de n´umero irracional. Em geral, a abordagem de n´umeros irracionais no ensino b´asico ´e bastante restrita. Usualmente, rece-bem pouca ˆenfase as motiva¸c˜oes para a pr´opria necessidade de amplia¸c˜ao do conjuntos dos n´umeros reais (isto ´e, de que problemas matem´aticos os n´umeros racionais n˜ao d˜ao conta), e as justificativas para propriedades referentes `a representa¸c˜ao decimal de irracionais (tais como, um n´umero ´e irracional se, e somente se, sua express˜ao decimal ´e infinita e n˜ao peri´odica), ou mesmo para as express˜oes decimais de exemplos espec´ıficos de n´umeros irracionais. Aproxima¸c˜oes para n´umeros irracionais, desenvolvidas com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de n´umeros irracionais, sua representa¸c˜ao decimal e localiza¸c˜ao na reta real.

Atividades

6. O objetivo desta atividade ´e determinar aproxima¸c˜oes decimais para √2. Sabemos que 12 =

1 < 2 < 4 = 22. Isto nos permite concluir que 1 <2 < 2. De forma an´aloga, temos que

1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52. Continuando este procedimento, use a calculadora (sem

empregar a tecla √ ) para completar a tabela abaixo, obtendo aproxima¸c˜oes para √2 com n

casas decimais. n √2 ∼= 1 2 3 4 5

7. Conhecendo aproxima¸c˜oes com n casas decimais depois da v´ırgula para √2, podemos determinar aproxima¸c˜oes para 2√2. Complete a tabela abaixo.

n √2 ∼= 2√2 ∼= 1 1, 4 2 1, 41 3 1, 414 4 1, 4142 5 1, 41421

O procedimento acima pode nos dar certeza do n´umero da casas decimais exatas das aproxima¸c˜oes para 2√2 obtidas? Justifique sua resposta.

8. Digite um n´umero positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla √ sucessivas

(22)

Em livros did´aticos do ensino b´asico, as express˜oes decimais aproximadas para n´umeros irracio-nais s˜ao quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas

te´oricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproxima¸c˜oes decimais para √2,

usando apenas a potencia¸c˜ao n´umeros racionais. Por meio desse processo, podemos (pelo menos teo-ricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o n´umero √2. Atividades como esta s˜ao muito importantes para que os alunos no final do ensino fundamental e no ensino m´edio formem uma ideia mais concreta dos n´umeros irracionais e sua localiza¸c˜ao na reta real.

A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e n˜ao formalizado) para a po-tencia¸c˜ao de expoente irracional. A opera¸c˜ao de popo-tencia¸c˜ao ´e definida primeiramente para expoentes naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos ba-seados na preserva¸c˜ao de certas propriedades aritm´eticas (por exemplo, devemos ter a0 = 1 para a6= 0,

pois caso contr´ario n˜ao valeria aman = am+n, para m, n∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em

livros did´aticos alguma forma de conceitua¸c˜ao para a potencia¸c˜ao com expoentes irracionais. Contra-ditoriamente, alguns cap´ıtulos a frente, a fun¸c˜ao exponencial ´e definida com dom´ınio em R, sem que esta inconsistˆencia seja sequer apontada. De fato, a extens˜ao da opera¸c˜ao de potencia¸c˜ao dos n´umeros racionais para os irracionais n˜ao pode ser justificada apenas por meio de argumentos alg´ebricos (como as extens˜oes anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergˆencia, o que a torna a sua formula¸c˜ao te´orica de dif´ıcil compreens˜ao, mesmo no ensino m´edio. Isto n˜ao ´e justificativa, no entanto, para que este problema n˜ao seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no ensino m´edio n˜ao tˆem maiores dificuldades em explicar o que significam potencia¸c˜oes com expoentes inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 213 , ou 2

3

4 =√423). Mas, ´e preciso tamb´em que eles atribuam

algum significado a express˜oes do tipo 2π – que n´umero ´e esse? Uma introdu¸c˜ao a esta discuss˜ao, que

pode ser feita com ajuda da calculadora, ´e o que prop˜oe a atividade 7.

Nas atividades 6 e 7 ´e fundamental que fique claro para os alunos que a express˜oes decimais obtidas representam aproxima¸c˜oes para os √2 e 2√2. Os erros associados a cada uma dessas aproxima¸c˜oes

podem ser feitos t˜ao pequenos quanto se queira, isto ´e, tratam-se de sequˆencias de n´umeros reais convergindo aos n´umeros √2 e 2√2. Por´em, essas aproxima¸c˜oes jamais coincidir˜ao com os n´umeros.

A atividade 8 envolve uma situa¸c˜ao em que os arredondamentos feitos pela m´aquina geram um resultado errˆoneo. Sabemos que, se a > 0 ent˜ao lim

n→+∞

n

a = 1, portanto o erro |√na− 1| pode ser

feito t˜ao pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, n˜ao podemos ter

n

a = 1 para nenhum a6= 1. A discuss˜ao proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por melhor que seja a precis˜ao de uma calculadora, ´e sempre poss´ıvel tomar n grande o suficiente para que a diferen¸ca entre √na e 1 fique ainda menor que esta precis˜ao. Assim, pode-se ilustrar concretamente

o fato de que dizer que √na tende a 1 significa dizer que

|√na

− 1| fica menor que qualquer precis˜ao finita.

Atividades

9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproxima¸c˜oes para os n´umeros abaixo, com erro menor que 0, 01.

(a) √3 (b) √3

2 (c) 323

10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproxima¸c˜oes sucessivas para o n´umero 10π.

11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(23)

(c) Qual ´e o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso da calculadora)?

12. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 10, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

(24)

Cap´ıtulo 2

Planilhas Eletrˆ

onicas

Introdu¸c˜

ao

Os recursos dispon´ıveis nas planilhas eletrˆonicas possibilitam diversas aplica¸c˜oes no ensino de Matem´a-tica. Dentre esses recursos destacam-se:

• manipula¸c˜ao e opera¸c˜oes com grandes quantidades de dados num´ericos; • articula¸c˜ao entre diversas formas de representa¸c˜ao;

• ferramentas l´ogicas; • ferramentas estat´ısticas.

Neste Cap´ıtulo, propomos atividades com planilhas eletrˆonicas, explorando os recursos acima em dois campos do ensino de Matem´atica: simbologia alg´ebrica, equa¸c˜oes e fun¸c˜oes; e tratamento da informa¸c˜ao.

Quando os alunos no ensino b´asico tˆem os primeiros contatos com a simbologia alg´ebrica, n˜ao s˜ao incomuns as dificuldades com os diferentes significados dos s´ımbolos (vari´aveis, inc´ognitas, constantes, parˆametros) e com as regras sint´aticas a que est˜ao sujeitas esses s´ımbolos. As planilhas eletrˆonicas possuem um sistema simb´olico pr´oprio. A pr´opria experiˆencia concreta de codifica¸c˜ao e manipula¸c˜ao da simbologia nesse sistema, especialmente a verifica¸c˜ao de erros de codifica¸c˜ao indicados pelo software, pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sint´aticas dos s´ımbolos. No ensino de fun¸c˜oes, as planilhas eletrˆonicas possibilitam a articula¸c˜ao de diversas formas de representa¸c˜ao, que podem ser constru´ıdas concretamente no software pelo pr´oprio aluno, em cada situa¸c˜ao. Essas representa¸c˜oes podem tamb´em ser utilizadas para a resolu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes, ou mesmo de sistemas de equa¸c˜oes, especialmente em situa¸c˜oes que envolvam modelos aproximados, permitindo a procura de solu¸c˜oes aproximadas em um determinado intervalo.

Na abordagem de tratamento da informa¸c˜ao e Matem´atica Financeira, as planilhas podem ser em-pregadas com dados extra´ıdos de situa¸c˜oes concretas, que podem ser coletados pelos pr´oprios alunos. As ferramentas estat´ısticas e gr´aficas dispon´ıveis nas planilhas eletrˆonicas possibilitam a representa¸c˜ao

desses dados de diferentes formas num´ericas e gr´aficas, e a an´alise, compara¸c˜ao e

inter-preta¸c˜ao dessas representa¸c˜oes, visando `a formula¸c˜ao de conclus˜oes e hip´oteses.

(25)

2.1

Simbologia Alg´

ebrica

Explorando Regularidades e Limites

Nesta se¸c˜ao, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletrˆonicas para a explora¸c˜ao de regularidades e limites de sequˆencias num´ericas. Atividades com objetivos semelhantes j´a foram propos-tas no cap´ıtulo anterior. Entretanto, al´em das planilhas oferecem muito mais recursos e fun¸c˜oes que as calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferen¸cas importantes do ponto de vista pedag´ogico, em rela¸c˜ao ao uso da calculadora:

• De forma geral as planilhas possuem maior precis˜ao que as calculadoras, portanto possibilitam a visualiza¸c˜ao e o tratamento de dados num´ericos com mais casas decimais.

• Os recursos das planilhas tamb´em oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividade de forma mais dinˆamica e com menos uso de teclas, uma vez que as f´ormulas e dados digitados em uma c´elula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar.

• Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das opera¸c˜oes e fun¸c˜oes matem´aticas empregadas no problema, quanto dos dados da solu¸c˜ao. Para guardar tais registros com o uso da calculadora, ´e preciso manter um controle paralelo em papel.

• Por outro lado, os s´ımbolos encontrados nas calculadoras de bolso s˜ao essencialmente os mesmos e obedecem `as mesmas regras com que os alunos est˜ao acostumados a lidar desde a alfabetiza¸c˜ao matem´atica nos anos inicias, enquanto as planilhas eletrˆonicas possuem simbologia e sintaxe pr´oprias, cuja aprendizagem por si s´o demanda maior maturidade por parte do aluno.

Essas caracter´ısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedag´ogi-cas da atividade em quest˜ao e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades das opera¸c˜oes e propriedades aritm´eticas com alunos dos anos inicias do ensino fundamental, a calculadora ´e possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais espec´ıfico nesses objetivos. Por outro lado, a planilha eletrˆonica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com uma transi¸c˜ao gradativa do trabalho com aritm´etica nos anos inicias, em dire¸c˜ao ao pensamento alg´ebrico-simb´olico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens e desvantagens da realiza¸c˜ao das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha.

O uso da planilha eletrˆonica para construir aproxima¸c˜oes para n´umeros irracionais (como prop˜oem as atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses n´umeros. Em geral, ex-pans˜oes decimais para n´umeros irracionais s˜ao apresentadas no ensino b´asico sem maiores justificativas matem´aticas e ou manipula¸c˜oes concretas. As aproxima¸c˜oes constru´ıdas em planilhas eletrˆonicas, em-pregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maior

familiaridade dos alunos com as representa¸c˜oes decimais para n´umeros irracionais e suas

pro-priedades, especialmente quando a programa¸c˜ao ´e feita por eles pr´oprios. Em particular, a experiˆencia com planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproxima¸c˜oes decimais finitas para um n´umero real dado constituem os termos de uma sequˆencia convergente, cujo limite ´e este n´umero. Entretanto, como no Cap´ıtulo 1, ´e importante observar ainda que devem ser exploradas n˜ao s˜ao as potencialidades t´ecnicas, como tamb´em as situa¸c˜oes em que o software produz resultados inesperados ou aparentemente errados.

Atividades

1. Repita as atividades 6 e 7 da se¸c˜ao 1.2 usando uma planilha eletrˆonica. Aumente o n´umero de casas decimais da aproxima¸c˜ao. Que vantagens e desvantagens pedag´ogicas vocˆe vˆe no uso da planilha, em rela¸c˜ao ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

(26)

2. Digite o n´umero 2 na c´elula A1 de uma planilha eletrˆonica. Na c´elula A2, digite =(A1+2/A1)/2. Em seguida, selecione e arraste a c´elula A1 ao longo da coluna A. De que n´umero os valores que aparecem nessa coluna est˜ao se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta. 3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequˆencia de n´umeros reais que tenda a √3. 4. Digite o n´umero 1 na c´elula A1 de uma planilha eletrˆonica. Na c´elula A2, digite =(A1+1)∧0,5.

Em seguida, selecione e arraste a c´elula A1 ao longo da coluna A.

De forma an´aloga `a atividade 2, podemos concluir que o n´umero para o qual os valores da coluna A est˜ao se aproximando satisfaz a equa¸c˜ao x2 − x − 1 = 0. Esta equa¸c˜ao possui duas ra´ızes

reais: x1 =

1 +√5

2 e x2 =

1√5

2 . Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam

da primeira raiz, e n˜ao da segunda?

5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequˆencias num´ericas infinitas, para tentar descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma planilha eletrˆonica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma:

1. A coluna A foi numerada com n´umeros naturais em sequˆencia de 1 a 1.

2. Nas posi¸c˜oes correspondes `a primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu,

respec-tivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1.

3. Nas posi¸c˜oes correspondes `a segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu,

respec-tivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2.

4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas at´e completar a mil´esima linha.

(27)

(a) Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha. (b) Na sua opini˜ao, que sequˆencias o aluno estava tentando estudar?

(c) Vocˆe considera que a planilha pode ajud´a-lo a determinar os limites procurados?

(d) Se o aluno arrastasse at´e a milion´esima linha, em lugar de parar na mil´esima, vocˆe acha que ele teria mais pistas para a resposta do problema?

(e) Determine os limites.

Como j´a comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores ´e o entendimento da pr´opria simbologia e regras sint´aticas das planilhas eletrˆonicas, em particular, como as f´ormulas inicial-mente digitadas em uma c´elula se generalizam com a ferramenta de arrastar.

Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequˆencia de n´umeros reais definida recursivamente da seguinte forma:

( x 1 = 2 xn+1 = xn+ 2/xn 2 ∀ n > 1 (2.1) Observando a planilha, podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem se aproximar do n´umero √2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa matem´atica. Empregando as opera¸c˜oes aritm´eticas com limites observamos que, caso o limite da sequˆencia (xn)n∈N definida em 2.1 exista, teremos:

lim xn+1 = lim  xn+ 2/xn 2  = lim xn+ 2/ lim xn 2 .

Al´em disso, ´e claro que lim xn+1 = lim xn. Portanto, x = lim xn dever´a satisfazer `a equa¸c˜ao:

x = x + 2/x

2 ,

que ´e equivalente a x2 = 2. Um argumento de indu¸c˜ao finita garante-nos que, se come¸camos com

um termo inicial x1 > 0, ent˜ao todos os demais termos da sequˆencia (xn) definida em 2.1 ser˜ao todos

positivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn =

√ 2.

Entretanto, este argumento n˜ao est´a completo! Para que ele seja v´alido precisamos, de antem˜ao, ter certeza que o limite existe, pois caso contr´ario nenhuma das opera¸c˜oes que foram feitas com ele seria v´alida. Para demonstrar a existˆencia do limite, come¸camos considerando a fun¸c˜ao real f : R→ R definida por:

f (x) = x + 2/x

2 .

A an´alise da derivada de f nos diz que a fun¸c˜ao possui um m´ınimo absoluto no ponto (√2,√2), isto ´e, f (x) >√2 ∀ x > 0. Como xn+1 = f (xn) e j´a sabemos que xn > 0∀ n ∈ N, ent˜ao xn+1 >

√ 2 ∀ n > 1, isto ´e, xn > √ 2 ∀ n > 2. Como x1 = 2 > √ 2, ent˜ao, xn > √ 2 ∀ n > 1. Logo, a sequˆencia (xn) ´e limitada inferiormente por

√ 2. Agora, observe que: xn>

√ 2⇒ x2 n>2⇒ xn> x2n. Portanto: xn+1 = xn+ 2/xn 2 6 xn+ xn 2 = xn ∀ n > 1.

Logo, (xn) ´e mon´otona decrescente. Assim a sequˆencia ´e limitada inferiormente e mon´otona

(28)

A atividade 3 pede uma adapta¸c˜ao da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈ N, vocˆe poder´a obter aproxima¸c˜oes para o n´umero √ka, utilizando a sequˆencia definida recursivamente

da seguinte forma (verifique):

( x

1 = 1

xn+1 =

(k− 1) xn+ a/xn

k ∀ n > 1

A atividade 4 explora uma ideia semelhante `a da atividade 2, para construir uma sequˆencia conver-gindo ao n´umero ´aureo.

Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das seguintes sequˆencias: an= 1 n sn= n X k=1 1 k bn = 1 n2 tn = n X k=1 1 k2 .

Entretanto, uma an´alise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclus˜oes errˆoneas sobre o comportamento das sequˆencias. Sabemos que o comportamento de convergˆencia dessas sequˆencias ´e como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas em livros de an´alise real.

lim 1 n = lim 1 n2 = 0 lim n X k=1 1 k = +∞ lim n X k=1 1 k2 = π2 6 .

Assim, as sequˆencias (an) e (bn) tˆem ambas limite 0. Por´em, as colunas B e D da planilha (que

correspondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valores mostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequˆencia (an) tende a 0, seus termos n˜ao podem se estabilizar em 0, 001; e embora (bn) tenda a 0, seus termos

nunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an).

Por outro lado, (sn) e (tn) tˆem comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto a

segunda converge a um valor finito. Por´em, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamento para essas sequˆencias: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (sn) tende

a +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa.

Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verifica¸c˜ao do comportamento dos termos de uma sequˆencia no computador pode sugerir conclus˜oes errˆoneas sobre a existˆencia ou n˜ao de seus limites. Sem d´uvida, a programa¸c˜ao e manipula¸c˜ao de sequˆencia de n´umeros reais em planilhas eletrˆonicas

propicia uma experiˆencia concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos

alunos. Por´em, como j´a observamos, as conclus˜oes devem sempre ser sustentadas por argumentos matem´aticos.

Atividades

6. Na atividade 2, come¸camos digitando o n´umero 2 na c´elula A1 da planilha. Isto significa que o primeiro termo da sequˆencia definida ´e 2.

(a) Aproveite a planilha que vocˆe construiu na atividade 2 e altere o valor da c´elula A1 para 1. O valor do limite da sequˆencia continua o mesmo?

(b) Experimente alterar a c´elula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento da sequˆencia.

(c) Agora, altere a c´elula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequˆencia. (d) Investigue e justifique matematicamente o que vocˆe observou nos ´ıtens anteriores.

(29)

7. Na atividade 2, a planilha eletrˆonica foi empregada para representar o comportamento de uma sequˆencia definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de opera¸c˜oes com limites para determinar o limite de sequˆencias desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter garantia de antem˜ao da existˆencia desses limites. Caso contr´ario, estaremos aplicando opera¸c˜oes sem validade, que podem levar a conclus˜oes errˆoneas. Como exemplo desses erros, considere a sequˆencia de n´umeros reais (an)n∈N definida da seguinte forma:



a1 = 2

an+1 = 12(a2n+ 1), se n≥ 1.

(a) Mostre que (an) ´e crescente.

(b) Use uma planilha eletrˆonica para representar os termos de (an).

(c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (an):

Temos que x = lim an+1 = lim an. Ent˜ao, podemos tomar x = lim an+1 = lim an. Logo,

an+1 = 1 2(a 2 n+ 1)⇒ lim an+1 = 1 2 (lim an) 2+ 1 x = 1 2(x 2+ 1)⇒ x2− 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 Logo, lim an= 1.

Este argumento est´a correto? Justifique sua resposta.

(d) O que vocˆe pode concluir sobre a convergˆencia desta sequˆencia? Justifique sua resposta. Suponhamos que o limite da sequˆencia (an) da atividade 7 exista. Ent˜ao este limite deve ser, por

um lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an) ´e crescente e seu primeiro termo ´e 2), e por

outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an) n˜ao ´e convergente. Por isso, a aplica¸c˜ao das

propriedades operat´orias com o limite – que n˜ao existe – levam-nos a uma conclus˜ao contradit´oria.

Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representa¸c˜oes para as

sequˆencias num´ericas nas planilhas eletrˆonicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira

vista, comportamentos consistentes com o comportamento matem´atico. Desta forma, vimos

exemplos de: sequˆencias convergentes e sequˆencias divergentes a infinito cujo comportamento pode ser facilmente observado nas planilhas, assim como sequˆencias convergentes que parecem tender a um limite diferente do verdadeiro e sequˆencias divergentes a infinito que parecem convergir um limite finito

quando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matem´aticas

para essas aparentes diferen¸cas de comportamento podem ser explorados pelo professor

para enriquecer a compreens˜ao dos alunos sobre sequˆencias e representa¸c˜ao decimais de

n´umeros reais. Atividades

8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da planilha eletrˆonica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-zagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)?

9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 7, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

(30)

Articulando Representa¸c˜

oes

As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletrˆonicas para o tra¸cado de fun¸c˜oes reais de vari´avel real. Este tema ser´a tratado em mais detalhes no Cap´ıtulo 3, em que ser´a discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este n˜ao ´e o caso das planilhas eletrˆonicas: o recurso que adaptamos para tra¸car gr´aficos de fun¸c˜oes reais ´e originariamente concebido para a representa¸c˜ao de dados estat´ısticos em gr´aficos de linhas. Essa adapta¸c˜ao causa algumas limita¸c˜oes para a realiza¸c˜ao das atividades.

Em primeiro lugar, os gr´aficos s˜ao obtidos pela interpola¸c˜ao de pontos por meio de segmentos de reta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Al´em disso, n˜ao ´e pos-s´ıvel ter controle do intervalo de visualiza¸c˜ao no eixo vertical, pois este ´e determinado automaticamente pelo software a partir dos valores da vari´avel. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualiza¸c˜ao dos gr´aficos. Entretanto, estas limita¸c˜oes n˜ao inviabilizam o uso das planilhas eletrˆonicas para a abor-dagem de gr´aficos de fun¸c˜oes em sala de aula. Como j´a comentamos, as limita¸c˜oes t´ecnicas dos

software podem ser exploradas como potencialidades pedag´ogicas, para motiva explora¸c˜oes

matem´aticas. Por exemplo, as situa¸c˜oes em que os gr´aficos adquirem o aspecto de poligonais podem ser usadas para mostrar que o m´etodo de tra¸car gr´aficos simplesmente por meio de marca¸c˜ao e inter-pola¸c˜ao de pontos pode conduzir a erros. Esta discuss˜ao ´e proposta aos alunos nos ´ıtens 10b e 11c. Retomaremos e aprofundaremos essa quest˜ao no Cap´ıtulo 3.

Atividades

10. Nesta atividade, propomos a constru¸c˜ao de gr´aficos de fun¸c˜oes a partir de tabelas de valores. Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o procedimento passo a passo.

1. Insira diferentes valores de entrada da fun¸c˜ao (elementos do dom´ınio) na coluna A da planilha.

2. Escreva a f´ormula para a fun¸c˜ao escolhida na primeira c´elula da coluna B e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A.

3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gr´afico com os dados inseridos.

4. A figura abaixo exemplifica um tipo de sa´ıda poss´ıvel para uma par´abola do tipo y =

ax2+ bx + c, com a =−1, b = −1 e c = 2.

(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da fun¸c˜ao.

(b) Observe que o gr´afico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como vocˆe explica esse comportamento?

(31)

11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeira c´elula da coluna B e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construir gr´aficos. Observe o gr´afico tra¸cado.

(b) Agora, repita a opera¸c˜ao, numerando a coluna A de−3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o gr´afico e compare com o aspecto do gr´afico anterior.

(c) Qual dos gr´aficos melhor retrata a curva y = x2? Como vocˆe poderia melhorar mais o

aspecto desse gr´afico?

12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5.

(a) Escreva =A1+1 na c´elula B1 e =B1+1 na c´elula C1. Em seguida, arraste as c´elulas B1 e C1 para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C use o recurso do software para construir gr´aficos. Qual ´e rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados? (b) Agora, altere a c´elula B1 para =A1∧2 e arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna B, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudan¸cas nos dois gr´aficos tra¸cados. Qual ´e rela¸c˜ao entre esses gr´aficos?

(c) Altere novamente a c´elula B1 para =SEN(A1) e repita a opera¸c˜ao do item anterior: arraste esta c´elula para baixo ao longo da coluna B, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Qual ´e rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados?

13. (a) Aproveitando a constru¸c˜ao da atividade 12, insira =A1+1 na c´elula B1 e =ABS(B1) na c´elula C1 e arraste estas c´elulas para baixo at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Use o recurso do software para construir os gr´aficos correspondentes aos dados nessas duas colunas. Explique a rela¸c˜ao entre os gr´aficos tra¸cados.

(b) Altere a c´elula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Observe as mudan¸cas nos gr´aficos e explique a rela¸c˜ao entre eles.

(c) Agora, altere a c´elula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, at´e o fim dos valores inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudan¸cas nos gr´aficos e explique a rela¸c˜ao entre eles.

(d) Repita os ´ıtens anteriores, alterando a c´elula C1 para B1∧2. Compare o comportamento dos diferentes gr´aficos tra¸cados.

(e) Fa¸ca novas altera¸c˜oes nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos gr´aficos tra¸cados.

As atividades 10 e 11 s˜ao de car´ater introdut´orio e visam `a familiariza¸c˜ao com os recursos dispon´ıveis em planilhas eletrˆonicas para o tra¸cado de gr´aficos. Como comentamos no in´ıcio desta se¸c˜ao, a pr´opria aprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerc´ıcio enriquecedor por si s´o. A representa¸c˜ao e manipula¸c˜ao de objetos matem´aticos na planilha eletrˆonica deve obedecer a regras sint´aticas espec´ıficas – assim como a linguagem simb´olica matem´atica usual. Por´em, no caso do soft-ware, a corre¸c˜ao das regras ´e condi¸c˜ao necess´aria para a obten¸c˜ao de resultados, o que n˜ao ocorre

quando o aluno resolve problemas com papel e l´apis. Assim, a experiˆencia com a planilha pode

contribuir com aprendizagem da simbologia alg´ebrica e com a transi¸c˜ao do pensamento

puramente aritm´etico para o pensamento alg´ebrico.

As atividades 12 e 13 exploram a id´eia de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. A coluna B e C da planilha f representam respectivamente os valores de uma fun¸c˜ao f e de uma fun¸c˜ao composta g◦f. Na atividade 12, a fun¸c˜ao g ´e mantida fixa e a fun¸c˜ao f ´e alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as fun¸c˜oes f e g

(32)

s˜ao alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudan¸cas de comportamento nos gr´aficos de f e de g◦ f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as fun¸c˜oes s˜ao alteradas.

No ensino m´edio, em geral os exerc´ıcios sobre composi¸c˜oes de fun¸c˜oes reduzem-se a procedimentos para determinar express˜oes alg´ebricas das compostas, dada as express˜oes alg´ebricas das fun¸c˜oes origi-nais. O uso do computador permite a compara¸c˜ao das propriedades das fun¸c˜oes compostas com as propriedades das fun¸c˜oes originais, a partir da articula¸c˜ao das representa¸c˜oes alg´ebricas, num´ericas e gr´aficas.

Figura 2.1: Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes em planilhas eletrˆonicas: os gr´aficos de y = g(x + 1), y = g(x2) e

y = g( sen x), sendo g(x) = x + 1.

Figura 2.2: Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes em planilhas eletrˆonicas: os gr´aficos de y = g(x + 1), y = g(x2) e

y = g( sen x), sendo g(x) =|x|; e de y = g(x + 1), y = g(x2) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2.

Atividades

14. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 13. (a) Quais s˜ao os principais conceitos matem´aticos enfocados? (b) Quais s˜ao, na sua opini˜ao, os objetivos das atividades?

(c) Qual ´e o papel da planilha eletrˆonica no desenvolvimento das atividades?

(d) Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendi-zagem dos conceitos enfocados, em rela¸c˜ao a abordagens com recursos convencionais (isto ´e, sem o uso de recursos computacionais)?

15. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 10 a 13, que seja adequada para as turmas em que vocˆe leciona.

Referências

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