UM ESTUDO SOBRE A TAXA DE MORTALIDADE INFANTIL NO
ESTADO DE SÃO PAULO POR MEIO DA MODELAGEM
MATEMÁTICA EM SALA DE AULA
Rudolph dos Santos Gomes Pereira Universidade Estadual do Norte do Paraná – UENP Campus Cornélio Procópio Elaine Cristina Ferruzzi Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR Campus Londrina Resumo
No presente trabalho apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida na disciplina de Modelagem Matemática, do Curso de Especialização em Instrumentalização para o Ensino de Matemática, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Cornélio Procópio – UTFPR. Os conteúdos matemáticos utilizados nesta atividade podem ser aplicados em diversas situações reais contribuindo para a assimilação e resolução de algumas questões. Para a obtenção do modelo matemático utilizou-se as propriedades dos logaritmos, o método dos mínimos quadrados, o ajuste linear e o ajuste exponencial. Este problema surge como uma possibilidade de apresentar uma aplicação da matemática em outras áreas do conhecimento bem como mais uma alternativa pedagógica para os professores em sua prática diária.
Palavras-Chaves: Modelagem Matemática, Alternativa pedagógica e Ajuste exponencial.
INTRODUÇÃO
Pesquisas em Educação Matemática têm mostrado a necessidade de aplicação de diversificadas alternativas pedagógicas no ensino, com o intuito de contribuir com o ensino e a aprendizagem da Matemática. De acordo com estas pesquisas, as tendências educacionais visam um ensino que valorize o desenvolvimento do raciocínio, a capacidade de trabalhar em equipe e de solucionar problemas.
(...)a insatisfação de alunos e professores sobre os resultados escolares nessa ciência, indica que existem problemas sobre sua prática de ensino e aprendizagem que precisam ser encarados. A Matemática tem sido trabalhada nas escolas como um amontoado de regras e procedimentos mecânicos a serem decorados e, oportunamente, utilizados. Trabalhados dessa forma seus conteúdos decorados não tem qualquer significado prático ou teórico para a vida dos alunos. (BATHELT & CEOLIN, 2001).
559
A busca por uma alternativa pedagógica que proporcionasse o desenvolvimento das habilidades citadas anteriormente nos conduziram à Modelagem Matemática no ensino.
Segundo Gustineli (1990), a Modelagem Matemática tem como essência em seu processo a integração da matemática com outras ciências, com o objetivo de solucionar um problema real com o auxilio da matemática ou de outro conhecimento. Desta maneira, a aprendizagem por meio da Modelagem Matemática, com base na indagação e investigação, busca estabelecer relações com outras áreas e o dia-dia, diferenciando-se do ensino tradicional.
Sobre os conceitos matemáticos a serem utilizados na solução do problema, os mesmos poderão ser definidos ou relembrados à medida que os alunos desenvolvem a atividade e sintam esta necessidade. De acordo com Ferruzzi & Almeida (2008), a solução de problemas do cotidiano dos alunos desperta o interesse, pois trata de solucionar o “seu problema”. Este interesse pode conduzir o aluno a compreender e perceber a relevância dos conceitos matemáticos estudados.
Sobre alguns aspectos da Modelagem Matemática no ensino, Almeida (2006, p.122), afirma que
A instabilidade, o problema como ponto de partida; a intencionalidade na busca; a problematização; as hipóteses que se colocam no caminho para indicar direções; a possibilidade de aceitar e/ou compartilhar sugestões; a perplexidade destituída; a verdade estabelecida mesmo que provisória; a necessidade de validar, constituem aspectos que se colocam (...) no "caminho" do desenvolvimento de uma atividade de MM.
Neste sentido, entendemos que a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino da Matemática pode contribuir para um enriquecimento do processo de ensino e aprendizagem.
Neste artigo temos como objetivo sugerir uma atividade de Modelagem Matemática que possa auxiliar o docente em sua prática diária, visando a aprendizagem dos conceitos matemáticos, além de propiciar aos alunos oportunidades de efetuar correlações com conhecimentos já adquiridos e utilizá-los na solução de problemas diários.
A atividade que relatamos a seguir foi desenvolvida no âmbito da disciplina Modelagem Matemática do Curso de Especialização em Instrumentalização para o ensino de Matemática, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Cornélio Procópio. Apesar de ter sido desenvolvida por alunos de um curso de especialização,
560
enfatizamos que a mesma pode ser utilizada em sala de aula de um curso regular, onde o objetivo da atividade neste caso seria introduzir/relembrar alguns conceitos e visualizar a aplicação do ajuste exponencial.
O tema em questão é um estudo sobre a taxa de mortalidade infantil no estado de São Paulo. Para relacionar as grandezas, construir o gráfico e realizar a validação do modelo foi utilizada a planilha de cálculo Excel.
DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Introdução (breve histórico sobre o assunto abordado)
Segundo a Secretaria Estadual de Saúde de São Paulo (entre 2003 a 2006), a mortalidade infantil no Brasil possui taxas elevadas principalmente nas regiões com menos recursos. Na região Nordeste em 2000 foi registrada a taxa de 44,73 por cada mil nascidos vivos, uma taxa 160% maior que na região Sul.
No estado de São Paulo na década de 90 a taxa de mortalidade infantil (crianças com menos de um ano) chegou a registrar 31,43 para cada mil nascidos na quais as principais causas das mortes eram doenças infecciosas e parasitárias registradas entre 28 dias até 1 ano de vida, que estavam diretamente ligados a fatores ambientais e sociais, como saneamento básico e alimentação inadequada.
De acordo com a Secretaria Estadual de Saúde de São Paulo (entre 2003 a 2006), os estados brasileiros vêem tentando reduzir essas taxas por meio de investimentos em atendimento especializado e equipamentos. Em São Paulo, desde 1988 iniciou-se uma ação conjunta para entender o motivo da morte materna e mortalidade infantil. A taxa de crianças mortas foi diminuindo drasticamente por meio de um programa iniciado em 2002 pela Secretaria Municipal de Saúde, investindo em Assistência Obstétrica e Neonatal, Melhoria de Infra-estrutura, Humanização, Organização e Integração da rede de atenção e Educação Permanente. Em 2005 a taxa registrada em São Paulo foi de 13,5 (13,5 óbitos para cada mil crianças nascidas vivas) cujo resultado também é apresentado no estado do Rio Grande do Sul.
561
Definição do Problema
A mortalidade infantil tem sido um dos problemas considerado de grande importância pelas secretarias de saúde em âmbito nacional. Este fato despertou nosso interesse no tema e decidimos investigar qual o modelo matemático que descreve o comportamento dos índices da mortalidade infantil no estado de São Paulo.
Formulação do problema matemático
Determinar um modelo matemático que descreva o comportamento da taxa de mortalidade infantil no estado de São Paulo no decorrer do tempo.
Definição das Variáveis
C: taxa de mortalidade infantil para mil nascidos vivos x: tempo em anos
Apresentação dos dados coletados
A Tabela 1 apresenta a taxa de mortalidade infantil no estado de São Paulo para cada mil nascidos vivos.
Tabela 1 – Relação do ano com a taxa de Mortalidade Infantil.
Fonte Secretaria Estadual de Saúde do Estado de São Paulo (entre 2003 a 2006).
Ano Taxa Mortalidade
1994 25,25 1995 24,58 1996 22,74 1997 21,60 1998 18,67 1999 17,49 2000 16,97 2001 16,07 2002 15,04 2003 14,85 2004 14,25 2005 13,50
562 Mortalidade Infantil 0 5 10 15 20 25 30 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 Anos T a x a p a ra c a d a mil n a sc id o s v ivo s
Visualização dos dados
A Figura 1 representa graficamente os dados apresentados na Tabela 1.
Figura 1 – Relação anual da Taxa de Mortalidade Infantil em São Paulo.
A visualização dos dados sugere que podemos aproximar o modelo a um modelo exponencial. Esta análise deve ser feita pelo modelador e caberá a ele identificar e relacionar o conteúdo e a estratégia a ser utilizada na interpretação dos dados.
Hipóteses:
1ª) Tendo em vista que, com a intenção de reduzir ainda mais a taxa, as ações de combate à mortalidade infantil continuarão, e que, dificilmente esta taxa será nula, considera-se o função como um modelo exponencial;
2ª) O modelo exponencial será do tipo C= αeβx. Desenvolvimento do Modelo exponencial
Nosso problema consiste em determinar os valores das constantes α e β do nosso modelo. Para o tratamento da função utilizamos o ajuste exponencial. Deste modo, a função exponencial pode ser ajustada por meio da seguinte transformação:
563 ln( ) ln ln ln( ) ln x x C e C e C x β β α α α β = = + = + Fazendo: ln( ), ln e : y C a b temos y a bx α β = = = = +
Com este ajuste reduzimos nosso problema de ajustar os pontos referentes à função exponencial ao problema de ajustar os pontos à função linear do tipo y = a + bx. Para tanto, utilizamos o Método dos Mínimos Quadrados.
Este é o método mais utilizado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos. A reta resultante tem uma característica particular: a soma dos quadrados das diferenças entre as ordenadas (do ponto experimental e do ponto sobre a reta) é mínima, isto é:
(
)
∑ = − = n 1 i 2 y i y Sc onde: yi= valor observado de y e yc= o valor
calculado de y
Os valores de a e b para a reta yc = a + bx que minimiza a soma dos quadrados
dos desvios são as soluções das chamadas “equações normais” que podem ser assim encontradas:
(
)
∑
= − − = n i i i a bx y S 1 2Minimizando S em relação a “a” e “b", temos:
(
)
(
)
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − − = = − − − =∑
∑
= = 0 2 0 2 1 1 n i i i i n i i bx a y x da dS bx a y db dS i assim, ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = − −∑
∑
∑
∑
∑
= = = = = 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 n i n i i n i i i n i n i x b x a y x x b na y iO que nos fornece o sistema de equações abaixo denominado de “equações normais”.
564 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = + =
∑
∑
∑
∑
∑
= = = = = n i n i i n i i i n i n i x b x a y x x b na y i 1 1 2 1 1 1 1 1Assim, para determinar os valores de “a” e “b” devemos resolver este sistema. Utilizamos para isso, a planilha de cálculo Excel conforme apresentado na Tabela 2, lembrando que, y = ln( C ) .
Tabela 2 – Ajuste Linear.
Ano Taxa (Ano)2 Y = Ln (taxa) (Ano).Ln (taxa)
n xi C (xi)2 yi = Ln C x.y 1 1994 25,25 3976036 3,22882615572137 6438,279355 2 1995 24,58 3980025 3,20193310413789 6387,856543 3 1996 22,74 3984016 3,12412548832239 6235,754475 4 1997 21,60 3988009 3,07269331469012 6136,168549 5 1998 18,67 3992004 2,92691795755363 5847,982079 6 1999 17,49 3996001 2,86162928903051 5720,396949 7 2000 16,97 4000000 2,83144707924613 5662,894158 8 2001 16,07 4004001 2,77695417974942 5556,685314 9 2002 15,04 4008004 2,71071331852169 5426,848064 10 2003 14,85 4012009 2,69799986524871 5404,09373 11 2004 14,25 4016016 2,65675690671466 5324,140841 12 2005 13,50 4020025 2,60268968544438 5218,392819 Total 23994 221,01 47976146 34,692686344381 69359,49288
565 Mortalidade Infantil 0 5 10 15 20 25 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 Ano T a xa p a ra cad a m il n asci d o s vi vo s 1 1 1 2 1 1 1 1 12 23994 34, 692686344381 23994 47976146 69359, 492875671900 0, 05964615 122, 2103923 i n n i i n n n i i i i i i y na b x x y a x b x a b a b b a = = = = = ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ + = ⎧ ⎨ + = ⎩ = − =
∑
∑
∑
∑
∑
Como a=lnα e b=β, então, α =1,1893207.1053 e 059674615 , 0 − = β .Substituindo em x e C=α β , temos: x eC=1,1893207.1053. −0,059674615 que representa nosso modelo procurado.
Abaixo apresentamos os ajustes encontrados de acordo com o modelo exponencial e outro com auxilio da planilha de cálculo Excel:
Modelo do ajuste exponencial: x
e
C=1,1893207.1053. −0,059674615
Modelo da planilha de cálculo Excel: x
e C =1,1893888.1053. −0,0597
Observamos que os modelos encontrados são praticamente iguais.
A Figura 2 apresenta o gráfico do modelo encontrado.
566
Validação do modelo
A validação de um modelo consiste em comparar os dados observados, neste caso os dados obtidos junto à Estadual de Saúde do Estado de São Paulo, com os dados estimados pelo modelo. Apresentamos a validação na Tabela 3.
Tabela 3 – Validação do modelo.
Como se pode observar na Tabela 3, o percentual de erro varia de -5,71% e 4,37%, considerando que se trata de um modelo educacional o erro pode ser considerado pequeno uma vez que o objetivo da atividade é mostrar a utilização de conceitos matemáticos na solução de situações-problemas cotidianas, como neste caso, na determinação do modelo matemático para previsão da taxa de mortalidade no estado de São Paulo em determinado ano.
Observamos que, com a determinação deste modelo matemático poderíamos sugerir aos alunos que encontrassem a taxa de mortalidade infantil em qualquer ano futuro bem como determinar em que ano determinada taxa seria alcançada.
Ano Taxa Modelo Erro (%)
1994 25,25 25 1,00 1995 24,58 23,55 4,37 1996 22,74 22,19 2,48 1997 21,60 20,91 3,30 1998 18,67 19,69 -5,18 1999 17,49 18,55 -5,71 2000 16,97 17,48 -2,92 2001 16,07 16,46 -2,37 2002 15,04 15,51 -3,03 2003 14,85 14,61 1,64 2004 14,25 13,77 3,49 2005 13,50 12,97 4,09
567
Considerações finais
O objetivo deste artigo foi apresentar mais uma atividade que pode ser utilizada em sala de aula visando o aprendizado de alguns conceitos matemáticos, entre eles o método dos mínimos quadrados.
Observamos que no decorrer das atividades os alunos envolveram-se com o processo, discutindo alternativas de solução, pesquisando conceitos ainda não aprendidos e revisando conceitos já vistos. Tudo isso com o intuito de solucionar o problema em questão.
Quanto aos conceitos matemáticos envolvidos na solução do problema podemos citar: o ajuste exponencial, o ajuste linear, as propriedades dos logaritmos e o método dos mínimos quadrados.
Esperamos que esta atividade de Modelagem Matemática proporcione aos professores mais uma alternativa pedagógica para sua prática diária.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, L.M.W. Modelagem Matemática: um caminho para o pensamento reflexivo dos futuros professores de Matemática. Contexto & Educação, Revista do Programa de Pós-graduação em educação nas ciências. Universidade de Ijuí n. 76, p. 115-126, julho/dezembro 2006.
BATHELT, R. E; CEOLIN, G. M. (2001).Transformações Educacionais na Virada do século XXI: Implicações para o ensino da Matemática. Disponível na página da web: http://www.ufsm.br/adeonline/regina.html. acessada em 23-10-2001.
FERRUZZI, E.C. & ALMEIDA, L. M. W. Socioepistemologia: Uma aproximação teórica para a Modelagem Matemática. In Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Anais...Recife, 2008.CD.
GUSTINELI, O. A. P. Modelagem matemática e resolução de problemas: uma visão global da educação matemática, Rio Claro, 1990. 126 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”.
