Signal Processing in Acoustics: Paper
FIA2016-53
Improving the estimated acoustic absorption curves
in impedance tubes by using wavelet-based denoising
methods
Luana Torquete Lara(a), Wallace do Couto Boaventura(b), Alexander Mattioli Pasqual(c)
(a)
Federal University of Minas Gerais, Graduate Program in Electrical Engineering, Brazil, luanatorquete@gmail.com
(b)
Federal University of Minas Gerais, Department of Electrical Engineering, Brazil, wventura@ufmg.br (c)
Federal University of Minas Gerais, Department of Mechanical Engineering, Brazil, ampasqual@demec.ufmg.br
Abstract
The two-microphone impedance tube method is widely used to obtain experimental sound absorption curves of test specimens of acoustic materials and absorbers. The measurement noise is a major issue in impedance tube experiments because the quality of the estimated absorption curves degrades quickly as the signal-to-noise ratio (SNR) decreases. The SNR is reduced at low frequencies due to the poor loudspeaker response and to the fact that the spacing between microphones becomes a fraction of the acoustic wavelength. This paper makes use of wavelet-based denoising methods to increase the SNR in impedance tubes through digital signal processing. The two sound pressure signals that would be sensed in a real experiment are simulated by a time-domain numerical procedure based on the finite element method. An exponential sine sweep is used as the loudspeaker excitation signal. The simulated microphone signals are then polluted with additive white Gaussian noise to mimic the measurement noise. Next, this noise is partially removed through wavelet denoising. Finally, the filtered simulated signals are subjected to the same signal processing procedure that would be applied to real measured signals to derive the absorption curve, which consists basically in a frequency response estimation by using the discrete Fourier transform. Numerical results are reported for a simple test specimen with a known absorption curve, namely, a loudspeaker acting as an electroacoustic absorber. The performances of different wavelet families are investigated. The comparison of the “exact” absorption curve with the estimated ones with and without noise removal shows that wavelet techniques lead to improvements in the impedance tube results, especially at low frequencies.
2
Aplicação de wavelets para reduzir ruído em curvas
de absorção acústica obtidas em tubos de impedância
1 Introdução
Wavelets são ondas de curta duração e com energia finita concentrada em uma determinada região do sinal [1]. Elas tiveram um rápido desenvolvimento na segunda metade da década de 1980 com esforços compartilhados por pesquisadores de diversas áreas e agora têm sido utilizadas como base para representação de funções e como técnica para análise tempo-frequência [2]. Assim, são ferramentas para análise de transientes, sinais não estacionários, ou fenômenos variantes no tempo. Sua representação matemática é dada por operações de deslocamento no tempo e de escala a partir de uma função primária denominada de wavelet mãe, formando um conjunto de funções com suporte compacto.
A transformada wavelet (TW) tem sido proposta como uma ferramenta flexível para a decomposição multiresolução (MR) de sinais de tempo contínuo, e em seguida, estuda cada componente com uma resolução correspondente à sua escala [3], sendo possível ter intervalos maiores para adquirir informações mais precisas em baixas frequências e intervalos menores quando a precisão deve ser sobre altas frequências. Assim, a TW é melhor do que a transformada de Fourier de curto termo para análise de fenômenos de alta frequência, ou de curta duração, como transientes em sinais. Para exemplificar essa aplicação têm-se os trabalhos de Ribeiro [4] e Wikinson et al. [5], que aplicam essa transformada em sistemas de energia. Além disso, têm-se aplicações em sistemas de comunicação [6], em problemas de compressão de sinais e imagens [7], e para remoção de ruído [8,9].
O presente trabalho aplica transformadas wavelets para reduzir o ruído presente em sinais “medidos” por microfones em tubos de impedância utilizados para estimar o coeficiente de absorção acústica de materiais. Os sinais de pressão sonora considerados neste trabalho não são experimentais, mas sim obtidos via simulação numérica e posteriormente contaminados com ruído branco Gaussiano. O artigo está estruturado da seguinte forma: a segunda seção descreve a teoria básica de wavelets, suas transformadas e a remoção de ruído utilizando wavelets. Na terceira seção, tem-se uma breve descrição do tubo de impedância e do método de dois microfones, não sendo abordado o modelo numérico utilizado para simular os sinais de pressão sonora nos microfones, o qual é baseado no método dos elementos finitos e detalhadamente descrito na Ref. [10]. A quarta seção descreve a metodologia utilizada. Nas seções 5 e 6 são apresentados os resultados e as conclusões, respectivamente. Ressalta-se que a escolha das wavelets foi baseada em tentativa-e-erro, sendo que algumas famílias mais conhecidas na literatura foram testadas e as melhores foram relatadas nesse artigo.
2 Wavelets
2.1 Fundamentos
3 um número inteiro, 𝑎𝑙 são os coeficientes reais da expansão e 𝜓𝑙 são funções reais formando o
conjunto da expansão [1]. Se a expansão for única, o conjunto é chamado de “base”, e se a base for ortonormal, então os coeficientes podem ser calculados pelo produto interno,
𝑎
k= 〈𝑓(𝑡), 𝜓
k(𝑡)〉 = ∫ 𝑓(𝑡)𝜓
k(𝑡) 𝑑𝑡. (1)
Para a expansão wavelet, considera-se o espaço L2 (ℝ) e um sistema com dois parâmetros é construído tal que decomposição da função torna-se [1]
𝑓(𝑡) = ∑ ∑ 𝑎
𝑗,𝑘𝜓
𝑗,𝑘(𝑡),
𝑗 𝑘
(2)
onde j e k são índices inteiros e
𝜓
𝑗,𝑘(𝑡)
são funções de expansão wavelets que, geralmente, formam uma base ortogonal. O conjunto de coeficientes de expansão são chamados de “Transformada Wavelet Discreta” (TWD) de f(t) e a Eq. 2 é a transformada inversa [1].As wavelets são geradas de uma função escala única, e através de operações de escala, j, e translação, k, sendo representadas por 𝜓𝑗,𝑘(𝑡) = 2𝑗/2𝜓(2𝑗𝑡 − 𝑘)
,
no qual as frequências dosinal são divididas em oitavas (2𝑗/2) [1, 2]. A mais simples possível é denominada wavelet de
Haar, criada por Haar em 1910, e as demais wavelets são uma generalização desse trabalho. Utilizando tal wavelet, a expansão em série wavelet para um sinal 𝑓(𝑡) é [1]
𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐
𝑘𝜑(𝑡 − 𝑘) + ∑ ∑ 𝑑
𝑗,𝑘𝜓(2
𝑗𝑡 − 𝑘),
∞ 𝑗=0 ∞ 𝑘=−∞ ∞ 𝑘=−∞(3)
onde 𝑐𝑘 são os coeficientes de escala, 𝑑𝑗,𝑘 são os coeficientes wavelets, 𝜑 é a função escala
que representa um filtro passa-baixas natural e 𝜓 é a função wavelet sendo um filtro passa-banda natural.
Existem várias famílias de wavelets, tais como Daubechies, Coiflets, Symlets, Coifman, Haar e outras. Essas famílias são subdivididas em classes distinguidas pelo número de coeficientes. Na maioria das vezes, elas são classificadas também pelo número de momentos nulos. Valores elevados de coeficientes correspondem a um grau maior de suavidade e também permitem representação mais exata de polinômios de ordem mais elevada.
2.2 Transformadas wavelets
A transformada Wavelet,
𝑇
wav,
fornece uma descrição tempo-frequência, sendo descrita por [3] na Eq. 4, onde 𝜓 é uma wavelet mãe, a e bϵ
ℝ são variáveis contínuas. Pode-se restringir os valores de a e b a valores discretos e obter a TWD,𝑇
𝑚,𝑛wav,
sendo [3]𝑇wav(𝑎, 𝑏) = |𝑎|−1/2∫ 𝑓(𝑡)𝜓 (𝑡 − 𝑏 𝑎 ) 𝑑𝑡 e 𝑇𝑚,𝑛 wav(𝑓) = 𝑎 0 −𝑚/2 ∫ 𝑓(𝑡)𝜓(𝑎0−𝑚𝑡 – 𝑛𝑏0) 𝑑𝑡, (4)
no qual, 𝑎 = 𝑎0𝑚 e 𝑏 = 𝑛𝑏0𝑎0𝑚, para formar bases ortonormais com boas propriedades de
4 alta frequência) sejam deslocadas por passos pequenos e wavelets largas (baixa frequência) sejam deslocadas por passos maiores [1]. Em ambos os casos assume-se que ∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0. A reconstrução do sinal ou a possibilidade de decompor o sinal, ou seja, de representar o sinal como uma superposição de wavelets é obtida através da transformada inversa. Ela é possível porque a condição de admissibilidade é verificada [3].
Figura 1: Algoritmo da árvore – à esquerda decomposição do sinal em dois níveis, e à direita reconstrução do sinal com um nível.
A TWD realiza uma filtragem sobre o sinal, e como a expansão wavelet é dada pela Eq. 4, os coeficientes dessa transformada são [1]
𝑐
𝑗(𝑘) = ∑ ℎ
0(𝑚 − 2𝑘)𝑐
𝑗+1(𝑚)
𝑚
𝑒 𝑑
𝑗(𝑘) = ∑ ℎ
1𝑚
(𝑚 − 2𝑘)𝑐
𝑗+1(𝑚), (5)
onde ℎ0 e ℎ1 representam filtros FIR passa-baixas e passa-altas, respectivamente, 𝑐𝑗 são os
coeficientes de aproximação e 𝑑𝑗 são os coeficientes de detalhes. Assim, os sinais são
decompostos em duas faixas de frequências diferentes em cada nível de decomposição, e após a filtragem, realiza-se uma operação de dizimação (↓ 2), que consiste em eliminar todos os coeficientes de índice par da sequência resultante. A dizimação garante que o número total de pontos não se altere após a TWD. Essa sequência, ver Fig.1 (esquerda), pode ser repetida por mais níveis; após o primeiro nível, o sinal de entrada para a filtragem é os coeficientes de aproximação. Para reconstruir os coeficientes originais, tem-se uma interpolação (↑ 2) seguida por filtragem, ver Fig.1 (direita). O algoritmo para o cálculo da TWD e sua inversa é conhecido como algoritmo Mallat ou algoritmo da árvore [1].
2.3 Remoção de ruído utilizando wavelets
A remoção de ruído é realizada aplicando conjuntamente a transformada wavelet com a escolha adequada de um limiar (thresholding), sendo resumida nas seguintes etapas [1]:
1. Analisar o sinal, x(t), realizando a transformada wavelet discreta;
2. Selecionar o tipo do thresholding, λ, apropriado para cada nível de decomposição; 3. Realizar a síntese do sinal, aplicando a transformada wavelet discreta inversa.
O thresholding inadequado poderá resultar numa significativa perda do sinal original e ele pode ser “hard”, 𝑇h, ou “soft”, Ts, sendo descrito por [1]
𝑇
h(𝑥, 𝜆) = {
𝑥(𝑡), |𝑥(𝑡)| ≥ 𝜆
0, |𝑥(𝑡)| < 𝜆
e 𝑇
s(𝑥, 𝜆) = {
sgn[𝑥(𝑡)][|𝑥(𝑡)| − 𝜆], |𝑥(𝑡)| ≥ 𝜆
5 A obtenção de λ não é simples e o seu valor universal é 𝜆 = √2 log 𝑁 𝜎 [11], onde σ representa uma estimativa da potência do ruído, e N é o número de amostras do sinal no qual foi realizado a TWD. Outro limiar que também pode ser utilizado é uma percentagem do coeficiente de maior módulo em cada nível.
3 Tubo de impedância
O tubo de impedância é um equipamento utilizado para avaliar as propriedades de absorção acústica de materiais. Ele consiste em um tubo reto, geralmente de seção circular, sendo que uma fonte sonora é montada em uma de suas extremidades, e uma amostra do material a ser testado é montada na outra extremidade, conforme mostra a Fig. 2 à esquerda. Usualmente, a fonte sonora é um alto-falante montado em uma caixa de volume Vb e alimentado com um sinal
de teste de tensão 𝑣(𝑡). A técnica mais usual de medição consiste em utilizar um sinal de banda larga, e captar as respostas através de dois microfones montados na parede do tubo e espaçados entre si por uma distância 𝑠. Através do processamento dos sinais de pressão sonora medidos, pode-se estimar a curva de absorção sonora do material analisado.
A fonte sonora gera ondas sonoras incidentes e refletidas no interior do tubo. A razão entre a pressão da onda refletida e incidente (no domínio da frequência) na superfície do material é denominada coeficiente de reflexão sonora (𝑅), que é uma função complexa da frequência (𝜔). Sendo 𝐻(𝜔) a função de resposta em frequência (FRF) entre os microfones 2 e 1, pode-se mostrar que o coeficiente de reflexão é dado por [12]
𝑅(𝜔) = [
𝐻(𝜔) − 𝑒
−j𝑘𝑠
𝑒
j𝑘𝑠− 𝐻(𝜔)
] 𝑒
j2𝑘(𝑙+𝑠). (7)
ondej = √−1,
𝑘 = 𝜔/𝑐
é o número de onda,𝑐
é a velocidade do som e𝑙
é a distância entre o microfone 2 e a amostra testada. O coeficiente de absorção sonora,𝛼
, é definido como a razão entre as potências sonoras absorvida e incidente, sendo dado por 𝛼(𝜔) = 1 − |𝑅(𝜔)|2.Neste trabalho, foi utilizado um programa em Matlab desenvolvido previamente pelo terceiro autor que calcula as pressões nos dois microfones a partir de um sinal de tensão enviado ao alto-falante e da impedância mecânica do material de teste. O código utiliza o método dos elementos finitos para simular a propagação de ondas no tubo, ao passo que o alto-falante e o material de teste são modelados como osciladores mecânicos com um grau de liberdade, conforme mostra a Fig. 2 (à direita), onde 𝑓e é uma força eletromagnética devido à tensão
aplicada nos terminais do alto-falante. A descrição detalhada deste modelo consta na Ref. [10]. A impedância acústica do material (𝑍s) é a razão entre a pressão sonora e a velocidade de
partícula em sua superfície. Sendo 𝑆 a área da seção transversal do tubo e
𝜌
a densidade do ar, temos [10, 12]𝑍
s(𝜔) =
[𝑐
𝑠+ j(𝑚
𝑠𝜔 – 𝑘
𝑠/𝜔)]
𝑆
e
𝑍
𝑠(𝜔)
𝜌𝑐
=
1 + 𝑅(𝜔)
1 − 𝑅(𝜔)
. (8)
6 Figura 2: Tubo de impedância à esquerda e modelo do tubo à direita.
4 Metodologia
Neste trabalho, o programa de simulação numérica do tubo de impedância foi utilizado como uma caixa preta, ou seja, 𝑣(𝑡) e
𝑍
s(𝜔)
foram fornecidos ao programa, que retornou os sinais simulando as medições dos microfones 1 e 2, denotados respectivamente por 𝑦1(𝑡) e 𝑦2(𝑡).Como sinal de excitação 𝑣(𝑡), utilizou-se uma varredura senoidal logarítmica com frequências inicial e final de 30 Hz e 6 kHz, duração de 8 s, amplitude de 0,02 V e frequência de amostragem de 120 kHz, dez vezes superior à taxa de Nyquist (12 kHz), conforme discutiremos a seguir. O início e o término da varredura foram suavizados adicionando um crescimento exponencial de amplitude durante 0,1 s ao início do sinal, bem como um decaimento exponencial de duração 0,01 s ao término. Além disso, foi adicionado um intervalo de silêncio de 4 s ao fim da varredura. Isso é necessário, visto que a deconvolução para estimar 𝐻(𝜔) foi realizada através da transformada de Fourier discreta (TFD), o que geraria erros devido ao aliasing no domínio do tempo caso o tamanho dos sinais não seja aumentado para contemplar a duração da resposta ao impulso do sistema. Quanto à amostra de teste, utilizaram-se ms = 1,1 g, ks = 2320,2 N/m e cs = 0,27 N.s/m, que simula um alto-falante absorvedor, conforme
descrito na Ref. [10]. Utilizou-se um tubo circular de diâmetro 0,039 m e comprimento L = 0,32 m. Com esses dados, a Eq. 8 permite calcular
𝑍
s(𝜔) e 𝑅(𝜔)
, a partir da qual obtém-se a curva de absorção “exata” da amostra, que foi usada para avaliar a qualidade das curvas estimadas via deconvolução. Além disso, adotou-se l = 0,15 m e s = 0,02 m (ver Fig. 2).A cada sinal de pressão sonora simulado (𝑦1(𝑡) e 𝑦2(𝑡)) foi acrescentado um ruído branco
Gaussiano com desvio padrão , simulando o ruído de medição. Duas situações foram avaliadas: = 0,002 e = 0,006. A partir desses sinais contaminados, foi estimada a FRF entre os microfones 1 e 2 utilizando TFDs, considerando que 𝑦1(𝑡) é o sinal de entrada e 𝑦2(𝑡) é o
sinal de saída. Através de 𝐻(𝜔), calculou-se 𝛼(𝜔). Porém, antes de estimar 𝐻(𝜔), os sinais de cada microfone foram filtrados por um filtro passa-baixas e subamostrados por um fator de 6. Esse procedimento é realizado porque o programa de simulação realiza uma integração numérica no tempo, requerendo uma frequência de amostragem muito superior à taxa de Nyquist (12 kHz). Para o exemplo em estudo, a simulação foi realizada a uma frequência de amostragem de 120 kHz. Assim, realiza-se a dizimação para que os demais processamentos sejam feitos com um número menor de amostras correspondendo a uma amostragem a 20 kHz.
7 possa ser estimado e, finalmente o coeficiente de absorção calculado. Assim, a transformada foi aplicada considerando o “algoritmo da árvore”, e esse mesmo princípio foi utilizado para reconstruir o sinal. Especificou-se um limiar para comparação dos coeficientes de detalhe, zerando todos os coeficientes com valor inferior a esse limiar. Em seguida, utilizando os coeficientes de aproximação do primeiro nível e todos os coeficientes de detalhe, reconstruiu-se o sinal analisado. Esreconstruiu-se procedimento permite reduzir o ruído incorporado nos sinais simulados, tornando as curvas de absorção estimadas mais próximas da “exata”. O limiar considerado foi uma porcentagem da maior amplitude dos coeficientes de detalhes de cada nível. Além disso, utilizou-se para cálculo da TWD as famílias Daubechies, coiflet e symlet.
5 Resultados e discussões
A Fig. 3 apresenta o sinal simulado 𝑦1(𝑡) e a curva de absorção “exata”. Os sinais 𝑦2(𝑡) e
filtrados não são apresentados porque são muito semelhantes a 𝑦1(𝑡).
Figura 3 - Sinal do microfone 1 (à esquerda) e curva de absorção sonora “exata” (à direita). As Figs. 4 a 8 foram obtidas considerando
𝜎 =
0,006. A Fig. 4 apresenta os resultados obtidos utilizando a wavelet Daubechies 45 (db45), com 11 níveis e um limiar de 0,0005% do valor máximo do coeficiente de detalhe em cada nível. À esquerda, apresentam-se as curvas de absorção estimadas com os sinais originais (sem remoção de ruído) e com os sinais filtrados. Observa-se que a remoção do ruído foi significativa para frequências abaixo e em torno de 100 Hz. À direita, apresenta-se a diferença entre os sinais com e sem filtragem, onde nota-se que esta é próxima ao valor do desvio padrão do ruído. Já a Fig. 5 utiliza a db20, com 13 níveis e um limiar de 0,0005%, e a Fig. 6 refere-se à mesma wavelet da Fig. 4, porém com um limiar de 0,001%. O resultado foi satisfatório em baixas frequências. Porém, em altas frequências, a filtragem via wavelets não conduziu a uma melhora na estimativa das curvas de absorção. A Fig. 7 refere-se à Symlet 20 (sym20), com 10 níveis e um limiar de 0,0005%. O resultado foi satisfatório em baixas frequências. A Fig. 8 refere-se à Coiflet 5 (coif5), com 9 níveis e um limiar de 0,0005%, que apresentou uma pequena melhora em frequências em torno de 100 Hz. Por fim, considerando um ruído com menor desvio padrão (𝜎 =
0,002), tem-se a Fig. 9 com os resultados obtidos utilizando a db45 com 11 níveis e um limiar de 0,0005%. O resultado final foi8 satisfatório, mostrando-se altamente eficiente abaixo de 100 Hz.
Figura 4 – Curvas de absorção sonora estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original
e filtrado no microfone 2 (à direita) para db45 com 11 níveis,
𝝈
= 0,006, limiar = 0,0005%.
Figura 5 – Curvas de absorção sonora estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original
e filtrado no microfone 2 (à direita) para db20 com 13 níveis,
𝝈
= 0,006, limiar = 0,0005%.
Figura 6 – Curvas de absorção sonora estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original
9
Figura 7 – Curvas de absorção sonora estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original
e filtrado no microfone 2 (à direita) para sym20 com 10 níveis,
𝝈
= 0,006, limiar = 0,0005%.
Figura 8 – Curvas de absorção sonora estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original
e filtrado no microfone 2 (à direita) para coif5 com 9 níveis,
𝝈
= 0,006, limiar = 0,0005%.
Figura 9 – Curvas de absorção estimadas (à esquerda) e diferença entre os sinais original e
10
6 Conclusões
Este trabalho utilizou métodos baseados em wavelets para reduzir o ruído em sinais de dois microfones obtidos de uma simulação de tubo de impedância. Algumas famílias de wavelets foram testadas, sendo as melhores a db, coif e sym. O resultado foi mais satisfatório nas baixas frequências, ou seja, na faixa que o alto-falante utilizado produz uma baixa relação sinal ruído. Além disso, a escolha do thresholding mostrou-se extremamente importante para um bom desempenho do método empregado. Neste caso, utilizou-se uma porcentagem do valor máximo de
𝑑
𝑗 em cada nível, sendo testados aleatoriamente alguns valores de percentagem, e o melhor encontrado foi de 0,0005%. Por fim, constatou-se que a diferença entre os sinais original e filtrado dos microfones foi próxima ao desvio padrão do ruído, e as wavelets se mostraram capazes de melhorar curvas de absorção estimadas em tubos de impedâncias.Agradecimentos
Os autores são gratos à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) pelo apoio financeiro a este trabalho (processo no. APQ-02293-13), a CAPES e ao CNPq.
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