Tatiane Angelelli Nishiwaki1, Marat Rafikov 2 1
UFABC, Santo André, SP, Brazil, tati_angell@hotmail.com 2
UFABC, Santo André, SP, Brazil, marat9119@yahoo.com.br
Abstract: Ethanol is a good choice as a fuel and additive.
The increase in world demand for ethanol will bring an increase of the sugarcane planted in Brazil. One of challenges of the improvements in the farming and harvesting of cane is the biological pest control.
The aim of this paper is to apply methods from optimal control theory, and from the theory of dynamic systems to the mathematical modeling of biological pest control. The nonlinear feedback control problem for nonlinear systems has been formulated in order to obtain the optimal pest control strategy only through the introduction of natural enemies. Numerical simulations for possible scenarios of biological pest control based on the Lotka–Volterra models are provided to show the effectiveness of this method.
Keywords: Biological pest control, linear control, nonlinear
control.
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, cresce no mundo o interesse em ampliar a produção de energia renovável. Uma excelente opção para este tipo de energia é a produção de etanol, que polui menos o meio ambiente, diminuindo os efeitos do aquecimento global, e reduz a dependência em relação às reservas de petróleo do mundo. No entanto, apesar de ter se destacado como uma cultura em expansão, a cana-de-açúcar enfrenta uma série de problemas fitossanitários, tais como a incidência de insetos-praga durante todo o seu desenvolvimento, desde sua implantação até o corte.
Na agricultura, uma das formas de controle de populações é o controle biológico, que compreende a ação de predadores, parasitóides ou patógenos a fim de reduzir as populações de presas ou de hospedeiros.
Trabalhos desta natureza, que buscam estratégias de controle biológico, são muito importantes, pois, na visão do agricultor, a preservação de sua produção passa obrigatoriamente pelo uso de inseticidas ou pela liberação de grandes quantidades de inimigos naturais, objetivando levar à zero a população de pragas. A longo prazo, entretanto, estas abordagens podem levar à ocorrência de fenômenos indesejados, tais como a ressurgência das pragas-alvo, além de surtos de pragas secundárias e o aparecimento de pragas resistentes [1].
Neste trabalho é aplicada a modelagem matemática para a formulação e resolução do problema de infestação de pragas na cultura da cana-de-açúcar, buscando estratégias de
controle que levem o sistema modelado ao equilíbrio e ilustrando a aplicabilidade da metodologia proposta através das simulações numéricas realizadas.
Uma das pragas mais incidentes sobre a cultura da cana é a broca da cana-de-açúcar (Diatraea saccharalis), uma mariposa de hábitos noturnos, de cor amarelo palha. É uma praga muito conhecida por causar prejuízos diretos e indiretos à cana. Sua incidência é menor quando a cana é jovem, aumentando os danos com o crescimento da planta. No entanto, esse comportamento pode variar em função da época do ano e da variedade de cana, principalmente.
A partir do momento em que a broca penetra no colmo da cana, o controle químico, como o uso de inseticidas, torna-se inviável devido ao alto custo e baixa eficiência dos produtos que são incapazes de atingir as lagartas no interior dos colmos. Uma alternativa interessante e ecologicamente desejável é a liberação da vespa Cotesia flavipes, que é eficiente em localizar as lagartas e específica no modo de atuação (Fig. 1).
Fig. 1. Vespa Cotesia flavipes parasitando a broca-da-cana Fonte: http:// www.usp.br/agenciausp/repgs/2003/pags/168.htm/ Controle biológico [2] é o uso de organismos vivos utilizados para controlar as populações de pragas, tornando-as menos abundantes e, portanto, menos perigostornando-as do que elas seriam na ausência deles. Do ponto de vista ecológico, uma espécie é considerada praga se sua densidade populacional ultrapassa o nível de danos econômicos estabelecido experimentalmente pelos testes em campo. Inimigos naturais possuem papel fundamental no limite potencial do crescimento das populações de pragas. Portanto, a realização do controle biológico aplicado tem por objetivo reduzir e estabelecer a densidade da população de pragas em um nível de equilíbrio abaixo daquele indicado como sendo o de danos econômicos, buscar estabilidade ao sistema, minimizar os custos com as aplicações e diminuir a poluição causada pelos inseticidas.
Os dois tipos principais de controle biológico, controle clássico e controle de aumento, exigem a liberação de
Suboptimal Strategies of Biological Pest Control of Sugarcane Borer Tatiane Angelelli Nishiwaki, Marat Rafikov grandes quantidades de inimigos naturais na lavoura com a
intenção de que nenhuma praga escape ao ataque [3]. No entanto, um inimigo natural que elimina completamente a sua presa, fica sem alimento ou hospedeiro e, conseqüentemente, também é praticamente eliminado [4]. Neste caso, as pragas podem recolonizar a lavoura, não havendo então inimigos naturais para combatê-las. Conforme [5], menos de 40% das aplicações de controle biológico foram feitas com sucesso. O estudo e a compreensão da dinâmica entre as populações de pragas e inimigos naturais é fundamental para a obtenção de sucesso nas estratégias de controle [6].
Em se tratando de biocontrole, é mais desejável reduzir a população de pragas a números que não signifiquem uma preocupação econômica, permitindo que alguns indivíduos persistam para garantir a sobrevivência dos organismos controladores. Assim, esses organismos mantêm a sua população e impedem que a praga volte a assumir níveis prejudiciais [4].
A modelagem matemática é uma importante ferramenta usada no estudo de problemas da agricultura. Modelos matemáticos aplicados a problemas de controle biológico permitem uma avaliação qualitativa e quantitativa do impacto entre as populações de pragas e inimigos naturais [6].
2. DINÂMICA DE INTERAÇÃO ENTRE A BROCA-DA-CANA E SEU PARASITÓIDE
Para simular as interações entre a praga da cana-de-açúcar (broca-da-cana Diatraea saccharalis) e o seu inimigo natural (Cotesia flavipes), considerou-se o modelo de Lotka-Volterra com competição entre pragas, descrito por duas equações diferenciais:
(
)
(
2 21 1)
2 2 2 12 1 11 1 1 1 x a r x dt dx x a x a r x dt dx + − = − − = (1)onde x1 e x2 são respectivamente, as populações da broca-da-cana (quantidade de lagartas/ha) e do parasitóide (quantidade de vespas/ha).
Para a realização das simulações numéricas, foram utilizados os valores de coeficientes obtidos em [7], com base nos dados retirados de [8], e apresentados na Tab. 1.
Tabela 1. Valores de coeficientes do modelo.
Coeficiente Designação Valor
Coeficiente de reprodução da praga 1 r 0,07168 Coeficiente de mortalidade do parasitóide 2 r 1
Coeficiente de competição entre
pragas 11 a 0,0000029 Coeficiente de predação 12 a 0,0000464 Coeficiente de reprodução do parasitóide 21 a 0,000520235
Conforme [9], os modelos que envolvem predação, como os de Lotka-Volterra, apresentam comportamento cíclico cuja amplitude depende fortemente das condições iniciais.
Variando os valores das condições iniciais é possível perceber que as trajetórias do sistema mudam consideravelmente, diminuindo ou aumentando as oscilações em torno do ponto de equilíbrio.
Os gráficos das Fig. 2 e 3 apresentam as oscilações das populações da broca-da-cana (presa) e seu parasitóide (predador), considerando o modelo (1). Os gráficos apresentados foram gerados através do ambiente de interações do POPULUS, versão 5.4, um software utilizado para simular relações biológicas e de ecologia evolutiva, de uso e download livres, disponível em [10].
Fig. 2. Evolução das populações da broca-da-cana e seu parasitóide em direção ao ponto de equilíbrio do sistema (1), com condições iniciais x1
(0) = 5000 e x2(0) = 1500.
Fig. 3. Diagrama de fase do sistema formado pelas populações da broca-da-cana e seu parasitóide, com condições iniciais x1 (0) = 5000 e
x2 (0) = 1500, até que o ponto de equilíbrio seja alcançado. O gráfico da Fig. 2 mostra que o sistema (1) apresenta um ponto de equilíbrio (1923, 1421) abaixo do nível indicador de danos econômicos, isto é, o valor de equilíbrio da população de broca-da-cana (x1 = 1923 lagartas/ha) permanece menor do que o nível que considera a população de lagartas como uma praga em potencial (xd = 2500 lagartas/ha) [8]. No entanto, embora a natureza ecológica se encarregue da estabilização de qualquer sistema considerado, o tempo necessário para obter os resultados satisfatórios buscados pode ser grande demais para as perspectivas do homem e seu agronegócio. Neste caso, as simulações mostram que o sistema pode demorar aproximadamente 800 dias para equilibrar as interações entre a praga e seu parasitóide, equivalente a pouco mais de dois anos, até que a praga deixe de representar um perigo em potencial para a cultura da cana-de-açúcar. Além disso, é importante notar que a amplitude máxima das oscilações atinge o valor de 19000 lagartas/ha. Por esse motivo, é necessário aplicar o controle biológico para evitar as grandes amplitudes das oscilações do sistema (1), mostradas nas Fig. 2 e 3.
O objetivo do controle é manter a densidade de pragas à esquerda da linha xd = 2500 lagartas/ha, que limita o nível de danos econômicos. Quando a densidade de broca-da-cana
seja equivalente à diferença (u=∆y) entre o valor do ponto de equilíbrio do sistema (x2 = 1421 vespas/ha) e da densidade de inimigos naturais presentes, exatamente no momento em que a densidade das pragas esteja próxima da vizinhança de 1923 lagartas/ha. Isso leva o sistema à estabilidade, fugindo das oscilações e encontrando, de imediato, o ponto de equilíbrio (Fig. 4).
Fig. 4. Estratégia de controle eficaz para um sistema em que a densidade das pragas é muito próxima de 1923 lagartas/ha. Quando a aplicação do controle é tardia, mas a população das pragas ainda permanece abaixo do nível de danos econômicos, a liberação de uma quantidade de parasitóides u'=∆y'entre o valor de equilíbrio do sistema e a densidade de inimigos naturais presentes é uma boa estratégia (Fig. 5).
Fig. 5. Estratégia de controle para um sistema em que a densidade das pragas ainda é inferior ao nível de danos econômicos (xd = 2500
lagartas/ha).
Dessa forma, as oscilações se tornam muito menores e o tempo para que a estabilidade seja atingida é muito menor que no caso original, sem liberação de parasitóides.
No entanto, quando a população de pragas ultrapassa o valor xd = 2500 lagartas/ha, surgem as oscilações do sistema, que se tornam maiores conforme aumenta o tempo, sem que nenhuma estratégia contenha sua instabilidade. Duas aplicações u=∆y se tornam necessárias – uma para levar o sistema ao ponto em que os parasitóides atingem o valor de estabilidade, fazendo diminuir bruscamente as oscilações; e outra, durante a curva de crescimento, levando o sistema a encontrar, de imediato, o ponto de equilíbrio, conforme a primeira estratégia, antes que as curvas possam
Fig. 6. Estratégia de controle para um sistema em que a densidade das pragas é maior que o nível de danos econômicos (xd = 2500 lagartas/ha).
O controle biológico de pragas visa estabelecer o equilíbrio do ecossistema através do menor número possível de aplicações, objetivando diminuir ao máximo os custos e o tempo despendidos. Isso justifica a ausência de uma segunda aplicação de controle na segunda estratégia apresentada, onde o sistema continua a apresentar oscilações, embora próximas do ponto de equilíbrio. Muitas vezes, mesmo quando a população de pragas apresenta perigo potencial e encontra-se numa vizinhança próxima do limiar 2500 lagartas/ha, a ausência de aplicação de controle é aceitável, uma vez que as oscilações diminuem rapidamente com o tempo.
Uma aplicação u=∆y que ultrapasse o valor 1421 parasitóides/ha é perigosa, pois contribui para aumentar as oscilações do sistema, diminuindo a eficácia das estratégias propostas.
3. RESULTADOS PRINCIPAIS
O controle aplicado ao sistema descrito pela interação entre a broca-da-cana e seu parasitóide deve mover o sistema para o ponto de equilíbrio desejado, mantendo a população da praga em níveis inferiores ao indicador de danos econômicos xd e a população de parasitóides em
níveis suficientes para controlar as pragas.
Para formular a estratégia de controle deste sistema, utilizamos duas equações diferenciais e uma função de controle, descritas através da dinâmica do sistema de Lotka-Volterra: U x a r x dt dx x a x a r x dt dx + + − = − − = ) ( ) ( 1 21 2 2 2 2 12 1 11 1 1 1 (2)
onde x1 e x2 são respectivamente, as populações de praga da cana-de-açúcar (broca-da-cana Diatraea saccharalis) e de parasitóides (Cotesia flavipes), e U é a função de controle a ser introduzida.
Sejam * 1 x e *
2
x as populações de praga e de parasitóides em níveis desejados para o equilíbrio do sistema. O objetivo é fazer com que x1*≤xd através do valor de controle u*
Suboptimal Strategies of Biological Pest Control of Sugarcane Borer Tatiane Angelelli Nishiwaki, Marat Rafikov onde xd indica a população de pragas em níveis causadores
de danos econômicos.
Os pontos de equilíbrio desejados * 1
x e *
2
x devem satisfazer as equações do sistema (2). Como são valores
constantes, 0 * 2 * 1 = = dt dx dt dx e as expressões em (2) são igualadas a zero: 0 * ) ( 0 ) ( * 1 21 2 * 2 * 2 12 * 1 11 1 * 1 = + + − = − − u x a r x x a x a r x (3) Da primeira equação do sistema (3) obtemos a população de parasitóides necessária para manter a população de pragas no nível x1*≤xd: 12 * 1 11 1 * 2 (r a x )/a x = − (4)
Da segunda equação do sistema (3) obtemos o valor do controleu*:
) (
* x*2 r2 a21 x1*
u = − (5)
No caso geral, o ponto de equilíbrio desejado (3) do sistema (2) controlado por u* pode ser instável. Neste caso, a introdução de equações de desvio pode tornar o sistema assintoticamente estável.
Para a introdução das equações de desvio, definimos novas variáveis: * , * 2 2 * 1 1 2 1 u U u x x x x y y y = − − − = = (6)
onde y1 e y2 são os valores de desvio do sistema e x1 e x2 são, respectivamente, as quantidades de pragas e parasitóides encontrados no sistema no momento da aplicação do controle.
Substituindo (6) em (2) e utilizando (3), obtemos o seguinte sistema em desvio:
Bu y A
y = + (7)
onde as matrizes A e B são
− + − − = 1 21 * 2 21 * 1 12 2 12 * 1 1 11( ) y a x a x a y a x y a A , = 1 0 B (8)
O objetivo das próximas seções é apresentar o método utilizado neste trabalho para o controle do sistema não-linear (7) e aplicá-lo no controle biológico da broca-da-cana.
3.1. Método SDRE do controle de sistemas não-lineares
Considera-se o problema do controle sub-ótimo com horizonte infinito para um sistema autônomo não-linear:
u y B y f y= ( )+ ( ) , y(0)=y0 (9) onde n y∈ℜ é vetor de estado, m u∈ℜ é vetor de controle, e ) , 0 [ ∞ ∈ t , com funções f :ℜn→ℜn e n n B:ℜ →ℜ que pertencem ao espaço 1 C , e B(y)≠0para todos os x. Assume-se que a origem y=0 é o ponto de equilíbrio do sistema sem controle, ou seja, f(0)=0. O problema do regulador não-linear com horizonte infinito é definido, através da minimização do seguinte funcional não-quadrático em relação à x, mas não-quadrático em relação à u:
dt u y R u y y Q y y V T T t u [ ( ) ( ) ] min ] [ 0 ) ( + =
∫
∞ , (10) As matrizes de coeficientes de peso de variáveis de estado e de controle, nesse funcional, dependem de variáveis de estado tal que a matriz n nxnQ:ℜ →ℜ é positiva semi-definida e a matriz n mxm
R:ℜ →ℜ é positiva definida para todo o y. Assume-se que as funções f(y), B(y), Q(y) e R(y) são suficientemente suaves e a função valor definida por (10) é continuamente diferenciável.
De acordo com Mracek e Cloutier (1998) o método SDRE para encontrar a solução sub-ótima do problema (9)-(10) consiste das seguintes etapas:
1) Uso direto da parametrização (fatorização) para apresentar o sistema não-linear em forma similar à forma linear, com matrizes dependentes de variáveis do estado: u y B y y A y= ( ) + ( ) (11) onde y y A y f( )= ( ) ; (12)
2) Solução da equação de Riccati com matrizes dependentes do estado para valores iniciais do sistema: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (y A y +A y P y −P y B y R−1 y B y P y +Q y = P T T , (13) onde as funções P(y) são positivas definidas para
todos os valores de y;
3) Projeto do controlador feedback não-linear: y y P B R u=− −1 T ( ) (14)
4) Integração de (11) com o controle (14), encontrando o estado do sistema no próximo momento do tempo. Repetição do processo a partir da etapa 2. Sob as hipóteses f(0)=0 e f∈C1(ℜn), sempre existe, pelo menos, uma função contínua matricial A( y) que satisfaz (12). A matriz n nxn
A:ℜ →ℜ , encontrada por meio da fatorização matemática (12), não é única para n>1.
3.2. Controle sub-ótimo da broca-da cana
Para controlar o sistema não-linear modelado (7) utilizando o método SDRE apresentado na seção anterior, foram utilizadas as matrizes A e B descritas em (8), cujos valores de coeficientes estão apresentados na Tab. 1. Escolhendo = 100 0 0 100 Q , R=
[ ]
1 (15)obtivemos para cada instante do tempo, uma matriz da forma
= ) ( ) ( 22 12 x p x p P (16)
que é solução da equação de Riccati (13), calculada usando a função LQR do MATLABTM.
A expressão para o controle feedback u tem a seguinte forma: 2 22 1 12(x)y p (x)y p u=− − (17)
e adquire valores diferentes para cada instante do tempo. Para controlar o sistema (2), o controle U assume a seguinte expressão * u u U = + (18) onde u*é determinado pela fórmula (5) e upela fórmula (17).
A dinâmica do sistema não-linear (2) foi simulada na Fig. 7, considerando o método discutido na seção anterior para o controle sub-ótimo.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 t (days) popu lat io n dens ity (num ber /h a) x1 x2
Fig. 7. Evolução da dinâmica do sistema (2) de Lotka-Volterra, utilizando controle ótimo aplicado pelo método SDRE, com condições
iniciais x1 (0) = 5000 lagartas/ha e x2 (0) = 500 parasitóides/ha. 4. DISCUSSÃO
É interessante que os resultados obtidos com o método SDRE aqui utilizado sejam comparados e discutidos com aqueles encontrados a partir do controle linear apresentado em [6] para simular a dinâmica do modelo (2) de Lotka-Volterra, fazendo uso dos mesmos valores de coeficientes.
Na Fig. 8 é apresentado o gráfico de simulação com o controle linear [6]. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 t (days) pop ul at io n de ns ity (nu m be r/ha ) X2
Fig. 8. Evolução da dinâmica do sistema (2) de Lotka-Volterra, utilizando controle linear ótimo, com condições iniciais x1 (0) = 5000
lagartas/ha e x2 (0) = 500 parasitóides/ha.
Nota-se que ambas as funções de controle estabilizam o sistema, mantendo a população de pragas em níveis inferiores ao de danos econômicos xd = 2500 lagartas/ha e a
população de parasitóides em níveis suficientes para equilibrá-las. No entanto, embora tais resultados sejam satisfatórios do ponto de vista do controle, outro importante fator deve ser considerado. Levando em conta que ambos os modelos partem das mesmas situações, utilizando os mesmos parâmetros de condições iniciais, a quantidade de parasitóides que deve ser liberada no campo para conter o crescimento da praga é significativamente diferente. É possível observar pela Fig. 8 que no primeiro instante, representando menos de um dia para o agricultor, o controle do sistema pelo método linear exige que uma quantidade excessivamente grande de Cotesia flavipes seja liberada, chegando a patamares de 3700 lagartas/ha. Em contrapartida, o controle realizado pelo método não-linear, representado pela Fig. 7, mostra que no mesmo período de tempo considerado, a quantidade de parasitóides da broca-da-cana exigidos cresce até 2700 lagartas/ha, ou seja, 1000 lagartas a menos por hectare na liberação. Isso, para o agricultor, significa redução de custos e de investimentos, traduzindo-se em lucro e melhoria da qualidade da plantação.
O tempo necessário para levar o sistema até a configuração desejada de equilíbrio também é um fator relevante. No caso da Fig. 7, a população de pragas deixa de representar um perigo em potencial dentro de cerca de 17 dias, enquanto para o caso utilizado na Fig. 8, o tempo necessário para se obter o mesmo efeito oscila entre 12 e 13 dias.
5. CONCLUSÃO
A análise das características de um e outro método de controle da broca-da-cana sobre as plantações de cana-de-açúcar nas lavouras indica que ambos atingem a estabilidade
Suboptimal Strategies of Biological Pest Control of Sugarcane Borer Tatiane Angelelli Nishiwaki, Marat Rafikov procurada, dentro de condições diferentes. Embora o tempo
que o sistema leva para atingir o equilíbrio seja um fator de suma importância, a economia obtida com a liberação de uma quantidade muito menor de parasitóides no campo, a fim de se assegurar que a praga deixe de representar um perigo em potencial e se apresente controlada, é sem dúvida muito mais interessante do ponto de vista do agricultor. Por esse motivo, a dinâmica do controle não-linear utilizando SDRE é mais eficaz. Além disso, a diferença temporal entre os dois métodos para obter os mesmos resultados é relativamente pequena, oscilando entre 4 e 5 dias. É possível diminuir o tempo que o método não-linear de controle demora para estabilizar o sistema apenas aumentando os valores dos coeficientes da diagonal principal da matriz Q em (15), sofisticando ainda mais o controle sub-ótimo apresentado neste trabalho.
AGRADECIMENTOS
A autora agradece à FAPESP pelo apoio financeiro dado à bolsa de Iniciação Científica. O autor agradece também à FAPESP e ao CNPq pelo apoio às pesquisas.
REFERÊNCIAIS
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<http://www.cbs.umn.edu/populus/installer.html>. Acesso em 15/12/2008.
