O número é algo abstrato que representa a idéia de quantidade, expressos através de símbolos previamente acordados.

Sistemas Numéricos

Nos primórdios os homens primitivos não tinham a necessidade de contar, porém este conceito foi se

transformando com o decorrer da história, o surgindo a escrita e do comércio nas civilizações mais antigas

impulsionaram a necessidade de se trabalhar com números, surgindo os primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. No mundo atual diariamente trabalhamos com

números, seja a quantidade de açúcar que colocamos em nosso café da manhã, o quanto estamos atrasados para o trabalho ou ainda quanto dinheiro teremos que deixar para as verduras da feira.

Pense, seria possível viver na sociedade atual sem um sistema de numeração?

Sistemas Numéricos

“Creio que sua resposta é não”. Sendo partidário desta opinião, nos deparamos com a necessidade de

dominarmos os sistemas de numeração existentes, facilitando nossos relacionamentos no dia a dia.

O número é algo abstrato que representa a idéia de

quantidade, expressos através de símbolos previamente acordados.

O sistema de numeração é o conjunto desses símbolos, destacando as regras que definem a forma de

Sistemas Numéricos

Em geral, os sistemas de numeração definem dois grupos de regras para representação de quantidade, os sistemas

“posicionais” e os “não posicionais”.

Nos sistemas “não posicionais” como o sistema de algarismos romanos frequentemente encontrados na atualidade, cada símbolo tem um valor fixo, não importando a posição ocupada no número.

Já em “sistemas posicionais”, o valor de cada símbolo é obtido de acordo com a sua posição no número. O sistema decimal

amplamente difundido em nossa sociedade baseia-se na

posição do símbolo dentro do número para determinar o seu valor.

Sistemas Numéricos

Base

A base em um sistema de numeração determina a

quantidade de símbolos disponíveis para

utilização.

Ex: Base 10 (Decimal) é composto por 10 símbolos

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Binário

Muito utilizado para representar circuitos

eletrônicos, visto uma associação natural existente

entre seus dois símbolos (0 e 1) com presença ou

não de pulsos elétricos no circuito. Em geral, a

presença de pulsos é representada pelo elemento 1

e a falta deste, ou um pulso em menor voltagem, ou

ainda voltagem negativa são representadas pelo 0.

Octal

A representação com apenas dois símbolos como acontece

no sistema binário é trabalhosa, para representar grandes

quantidades, necessitados de diversos 0s e 1s. Para

facilitar a representação de grandes quantidades, o

Sistema Octal é uma alternativa interessante, visto que

conseguimos representar qualquer número Binário de 3

dígitos com um único em Octal.

Ex:

000 (Binário) = 0 (Octal)

111 (Binário) = 7 (Octal)

Decimal

Sistema de Numeração mais difundido e utilizado pelo

homem, possui grande facilidade de manipulação e

regras simples de posicionamento de símbolos.

Base 10 - Composto pelos símbolos

0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Hexadecimal

Utilizado com a mesma finalidade do Sistema Octal,

facilitar a representação de grande quantidades oriundas

do Binário. Porém neste, conseguimos representar

números Binários de até 4 dígitos com um único em

Hexadecimal.

Ex:

0000 (Binário) = 0 (Hexadecimal)

1111 (Binário) = F (Hexadecimal)

Base 10 - Composto pelos símbolos

0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9,A,B,C,D,E e F.

Conversão de Binário/Decimal

Para conversão de Binário para Decimal pode ser aplicado

o Teorema Fundamental da Numeração

(pesquisar)

.

Qualquer número Binário pode ser convertido para

Decimal multiplicando-se todos os dígitos binários por 2

_{e ao final somando os resultados obtidos. (onde “n” é}

igual a posição do digito no número)

Ex:

101 (Binário) = 1x2

_{+ 0x2}

_{+ 1x2}

_{= 5 Decimal}

Conversão de Binário/Decimal

(Fracionários)

Para conversão de Binário fracionário para Decimal também aplicamos o Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer número Binário fracionário pode ser convertido para Decimal, separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira do número, utilizar o método anterior, já para a fração devemos multiplicar todos os dígitos binários por 2(-n) _{e ao final}

somando os resultados obtidos. (onde “n” é igual a posição do digito no número após a virgula)

Ex: 101,01 (Binário) = 1x22 _{+ 0x2}1 _{+ 1x2}0 _{, 0x2} -1 _{+ 1x2}-2 = 4 + 0 + 1 , + = 5,25 (Decimal) 0 21 1 22

Conversão de Decimal/Binário

A conversão do sistema Decimal para o Binário é realizado por sucessivas divisões por 2, ou seja, pegar um número em

decimal e dividi-lo sucessivamente por 2 até que o quociente seja igual a 0.

O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira.

Ex:

7 (Decimal) = 111 (Binário) 22 (Decimal) = 10110 (Binário) 7 2 2 2 3 1 1 1 0 1 22 2 11 2 5 2 2 2 0 1 1 0 1 2 0 1

Conversão de Decimal/Binário

Para conferir se a conversão está correta:

7 (Decimal) = 111 (Binário)

1x22 _{+ 1x2}1 _{+ 1x 2}0 _{=> 4 + 2 + 1 = 7 (Decimal)}

22 (Decimal) = 10110 (Binário)

Conversão de Decimal/Binário

Binário separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira do número, utilizar o método anterior de divisões sucessivas por 2, já para a fração devemos multiplicar sucessivamente todo o valor fracionário por 2. Quando o resultado atingir o número 1, e a parte do número após a virgula não for nula, separamos esta última e

reiniciamos todo o processo, até que a parte após a virgula seja nula. O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os

números inteiros obtidos nas operações, do primeiro para o último.

Ex: 7,625 (Decimal) Parte Inteira => 7 (Decimal) = 111 (Binário) 3 2 7 2 1 1 1 2 0 1

Conversão de Decimal/Binário

0,625

x 2

1

,250

0,250

x 2

0

,500

0,625

x 2

1

,000

Coletando os inteiros do último para o primeiro temos 101=0,625, agora é só agrupar o resultado da parte inteira com a fracionária, logo temos:

Conversão de Decimal/Binário

Existirão casos onde o valor após a virgula nunca será nula, deste modo perceberemos que repetitivamente estaremos passando pelos mesmos valores, isso é equivalente a uma dizima periódica.

Ex: Converter 0,8 Decimal em Binário.

0,8 x 2 1,6 0,6 x 2 1,2 0,2 x 2 0,4 0,4 x 2 0,8 0,8 x 2 1,6 Começou a repetição, a mesma será infinita.

Portanto, quando nos deparamos como a repetição que indica uma dizima, podemos parar e aceitar o resultado da seguinte maneira:

Conversão de Octal/Decimal

Para conversão de Octal para Decimal pode ser aplicado o

Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer número

Octal pode ser convertido para Decimal multiplicando-se

todos os seus dígitos por 8

_{, somando ao final os}

resultados obtidos. (onde “n” é igual a posição do digito

no número)

Ex:

66 (Octal) = 6x81 _{+ 6x8}0 _{=> 48 + 6 = 54 Decimal}

123 (Octal) = 1x82 _{+ 2x8}1 _{+ 3x8}0 _{=> 64 + 16 + 3 = 83 Decimal}

Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da parte fracionária por 8 (-n) _{, conforme visto na conversão de}

Conversão de Decimal/Octal

A conversão do sistema Decimal para o Octal é realizado por sucessivas divisões por 8, ou seja, pegar um número em

decimal e dividi-lo sucessivamente por 8 até que o quociente seja igual a 0.

O número Octal correspondente é obtido ao coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira.

Ex:

125 (Decimal) = 175 (Octal) 725 (Decimal) = 1325 (Octal)

125 8 15 8 1 5 7 8 0 1 725 8 90 8 11 8 1 5 2 3 8 0 1

Conversão de Hexadecimal/Decimal

Para conversão de Hexadecimal para Decimal também podemos aplicar o Teorema Fundamental da Numeração

(pesquisar)

convertido para Decimal multiplicando-se todos os seus

dígitos por 16(n-1)_{, somando ao final os resultados obtidos.}

(onde “n” é igual a posição do digito no número)

BABA (Hexa) = Bx163 _{+ Ax16}2 _{+ Bx16}1 _{+ Ax16}0 _=>

11x4096 + 10x256 + 11x16 + 10x1 =>

45056 + 2560 + 176 + 10 = 47802 (Decimal)

25 (Hexa) = 2x161 _{+ 5x16}0 _{=> 32 + 5 = 37 (Decimal}

₎

Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da parte fracionária por 16(-n) _{, conforme visto na conversão de Binário}

Conversão de Decimal/Hexadecimal

A conversão do sistema Decimal para o Hexa é idêntico ao processo realizado de Binário e Octal para Decimal, porém as sucessivas

divisões são por 16. Neste, além de coletar todos os restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto da primeira, os restos com valores entre 10 e 15 deverão ser

convertidos da seguinte maneira:

10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.

140 (Decimal) = 8C (Hexal) 1547 (Decimal) =60B (Hexa)

140 16 8 12 16 0 8 1547 16 96 8 6 11 0 8 0 6

Como sabemos, o sistema Hexadecimal procura facilitar a representação de grandes quantidades em binário. Para cada 4 dígitos Binários temos um único Hexa. Devido a relação citada, a conversão de Binário para Hexa é simples e rápida, basta separar o número Binário de quatro em quatro dígitos,

começando do dígito menos significativo. Após a

separação, cada dígito terá seu equivalente em Hexa de acordo com a tabela ao lado:

Ex: 11010011001101 (Binário) => 11 - 0100 - 1100 - 1101 => 3 – 4 – C – D 11010011001101 (Binário) = 34CD (Hexa) Binário Hexa 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

Conversão de Binário/Hexa

Conversão de Hexadecimal/Binário

Visto a relação existente entre os sistemas, basta utilizar a tabela anterior para conversão de qualquer Hexadecimal em Binário, lembrando-se de que para cada dígito Hexa, teremos 4 em Binário

.

7B (Hexa) => 7 = 0111 e B = 1011, logo:

7B (Hexa) = 1111011 (Binário) 66C (Hexa) => 6 = 0110 e C = 1100, logo:

66C (Hexa) = 11001101100 (Binário)

Obs – Este método de conversão é válido também para conversões entre Binário e Octal, atentar-se apenas ao fato da tabela ir de “0” até o número “7” ao invés do “F” do Hexadecimal.

Exercícios

1) Converter o número Binário 100011 para

Decimal.

2) Qual o valor do número Binário 101001 em

Hexadecimal?

3) O número 0x600 equivale a qual número em

Decimal?

4) Quanto vale o número 30 Decimal em Octal?

5) Converter 64202 base 10 em Hexadecimal.

Obs- Utilizar a calculadora apenas para conferir

os resultados, os métodos de conversão

apresentados devem compor sua resposta.

Respostas

(Exercício 1)

1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração,

multiplicando todos os dígitos Binários por 2(n-1)_{, onde n é igual}

a posição do dígito dentro do número:

100011 (Binário) = 1x25_{, 0x2}4_{, 0x2}3_{, 0x2}2_{, 1x2}1 _{e 1x2}0 _=>

32, 0, 0, 0, 2 e 1

2- Passo dois, somar a seqüência de números obtida: 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35 (Decimal)

Respostas

(Exercício 2)

1- Passo um, quebrar o número Binário de quatro em quatro dígitos, começando do dígito menos significativo:

101001 => 0010 - 1001

2- Passo dois, utilizar a tabela para converter grupos de 4 Binários em Hexadecimal:

0010 (Binário) = 2 (Hexa) 1001 (Binário) = 9 (Hexa) 3- Passo três, agrupar os números obtidos:

29

Respostas

(Exercício 3)

1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração,

multiplicando todos os dígitos Binários por 2(n-1) _{, onde n é igual}

a posição do dígito dentro do número:

600 (Hexa) = 6x162_{, 0x16}1 _{e 0x16}0 _{=> 1536, 0 e 0.}

2- Passo dois, somar a seqüência de números obtida: 1536 + 0 + 0 = 1536 (Decimal)

1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 8, até que o quociente seja igual a 0:

2- Passo dois, agrupar os números obtidos: 36

Resposta = O Decimal 30 é igual ao Octal 36.

Respostas

(Exercício 4)

1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 16, até que o dividendo seja menor que 16:

2- Passo dois, coletar os resultados começando pelo resto da última divisão até o resto da primeira:

15, 10, 12 e 10

3- Converter os dígitos entre 10 e 15 para suas respectivas letras em Hexadecimal: 15=F, 10=A e 12=C.

4- Agrupar os números obtidos:

FACA

Resposta = O Decimal 64202 é igual ao Hexadecimal FACA.

Respostas

(Exercício 5)