Análise de estabilidade para um modelo de respiração humana Márcia Richtielle da Silva, Marta Cilene Gadotti 16

5

-

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z

.

2

0

1

5

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ia

ç

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o

C

ie

n

tí

fi

c

a

Sumário

Aplicação da programação linear em uma indústria moveleira: corte de estoque e

dimensionamento de lotes

Glaucia Maria Bressan; Giovanna Peral Salvadeo 2

Análise de estabilidade para um modelo de respiração humana

Márcia Richtielle da Silva, Marta Cilene Gadotti 16

Análise qualitativa de modelos através de retratos de fase

Otávio Henrique Perez, Tiago de Carvalho 26

O Teorema de Borsuk e a teoria do Grau de Brouwer

Carolinne Stefane de Souza, Suzete Maria Silva Afonso 62

O teorema do ponto fixo de Schauder e aplicação às EDFR

Cristiano dos Santos, Márcia Richtielle 74

Modelagem matemática e resolução de problemas de gerenciamento da produção utilizando

programação linear

____________________________

*

Trabalho realizado com apoio financeiro do CNPq. †

Email: [email protected]; [email protected]. Departamento de Matemática. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – câmpus Cornélio Procópio.

Aplicação da programação linear em uma

indústria moveleira: corte de estoque e

dimensionamento de lotes

*

Resumo

Com a intensificação da tecnologia no século XXI no cenário mundial, bem

como os avanços computacionais e o crescimento do parque industrial brasileiro, as

indústrias têm sido estimuladas a tornar seus processos produtivos mais eficientes e

competitivos. Com isso, o estudo de modelos de otimização para o controle e

planejamento da produção se torna uma ferramenta fundamental para o avanço

industrial. Este trabalho aborda métodos de Programação Linear com o objetivo de

resolver problemas de tomadas de decisões para a programação da produção de uma

indústria moveleira de pequeno porte. O problema é modelado por meio do Problema

Combinado, o qual acopla dois problemas de otimização linear: o dimensionamento de

lotes e o corte de estoque. A partir do Método Simplex é possível obter a solução do

Problema de Programação Linear proposto, auxiliando na tomada de decisão referente à

minimização de custos, dimensionamento de lotes e corte de estoque.

Palavras Chave: Programação Linear, Método Simplex, Problema Combinado

Introdução

Devido aos avanços tecnológicos e industriais do século XXI, as

indústrias de manufatura têm sido estimuladas a tornar seus processos mais eficientes e

competitivos, minimizando os custos globais de produção. Isto incentiva o estudo de

________________________________________________________________________

Glaucia Maria Bressan

Giovanna Peral Salvadeo

modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos,

motivando pesquisas acadêmicas.

O gerenciamento da produção dentro de uma indústria é responsável pelo

planejamento e controle da transformação de matérias-primas em produtos finais. O

sistema responsável por este gerenciamento denomina-se Planejamento e Controle da

Produção (RUSSOMANO, 2000; TUBINO, 2007), que coordena as atividades, desde a

aquisição de matérias-primas até a entrega dos produtos finais. Desta forma, a Pesquisa

Operacional e seus métodos de otimização possuem grande utilidade na solução de

problemas, em especial os que envolvem processos produtivos, na tomada de decisões e

no gerenciamento de sistemas, selecionando as melhores decisões, dentre todas as

possíveis (G

& L

,2005).

Várias indústrias que produzem peças de tamanhos e materiais variados possuem

problemas com o desperdício de matéria-prima, o que implica em uma redução de lucro,

além de aumentar a produção de resíduos. Surge então a necessidade de se resolver um

problema de otimização, que consiste em cortar os objetos, respeitando-se estas

questões. Desta forma, o objetivo deste trabalho é aplicar o Método Simplex para

resolução de problemas reais de tomadas de decisões modelados com o Problema

Combinado (GRAMANI, 2001), que, por sua vez, acopla dois problemas de otimização

linear: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema de

dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser produzida

em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo finito, de modo

a atender a demanda e minimizar os custos de produção e de estocagem (ARENALES et

al, 2007). O Problema de Corte de Estoque bidimensional consiste na otimização do

processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e dimensões demandadas

(ARENALES et al, 2007). Por sua vez, o Problema Combinado consiste em decidir a

quantidade de produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de

planejamento tal que minimize os custos da produção, preparação e estocagem e a

quantidade de placas a serem cortadas para compor produtos finais. A partir do Método

Simplex, é possível solucionar tal Problema de Programação Linear, obtendo uma

solução ótima que auxilie na tomada de decisão.

O Método Simplex é um algoritmo desenvolvido por George Dantzig em 1947

para resolver problemas numéricos de Programação Linear. O método parte de uma

solução básica viável, pertencente a um vértice, do sistema de equações que constituem

as restrições do problema. A partir dessa solução inicial, o algoritmo identifica novas

soluções viáveis de valor igual ou melhor que a corrente. Assim, o processo encontra

novos vértices da envoltória convexa do problema e determina se este vértice é ótimo ou

não, ou seja, se a troca de variáveis na base pode ainda melhorar a função objetivo.

Mais detalhes são encontrados em Lachtermacher (2002), Maculan e Pereira (1980),

Moreira (2007), Lins e Calôba (2006).

Este trabalho está organizado como segue. A Seção 1, seguinte a esta introdução,

descreve o Problema Combinado, bem como suas definições e considerações, e traz a

formulação geral deste como um Problema de Programação Linear. Na Seção 2 são

descritos dois cenários de programação da produção com dados provenientes de uma

indústria moveleira de pequeno porte. Os resultados numéricos e as soluções destes

estudos de caso são exibidos na Seção 3. Por fim, a Seção 4 comenta as conclusões e as

considerações finais deste trabalho.

1 O Problema combinado

No processo de corte de uma placa em peças menores, para a produção

de itens, a perda de material tende a ser cada vez menor se os cortes das peças forem

rearranjados de uma forma conveniente na placa. Devido a este fato, há uma pressão

econômica para fabricar alguns produtos antecipadamente com o objetivo de minimizar

as perdas. Porém, esse estoque pode gerar custos que podem retardar a produção

(BRESSAN, 2003). Diante desse problema de decisão de antecipação ou não na

produção de certos produtos finais, surge o Problema Combinado, o qual acopla dois

problemas de otimização: o dimensionamento de lotes e o corte de estoque. O problema

de dimensionamento de lotes consiste em planejar a quantidade dos itens a ser

produzida em vários estágios, em cada período ao longo de um horizonte de tempo

finito, de modo a atender a demanda e otimizar uma função objetivo, como minimizar

os custos de produção e de estocagem. Pode ser classificado como monoestágio, onde

os itens são produzidos independentemente, e multiestágio, em que as produções dos

itens são dependentes. O problema de corte de estoque bidimensional consiste na

otimização do processo de corte de placas em peças menores nas quantidades e

dimensões demandadas. Define-se padrão de corte como o arranjo das peças dentro de

cada placa, isto é, a forma como um objeto (peça) é cortado para a produção de itens

demandados. Algumas regras são necessárias para defini-lo, como cortes do tipo

guilhotinado (onde cada corte feito sobre uma placa retangular produz dois novos

retângulos), limitação de peças (cortes restritos ou irrestritos), número de estágios (é

dito ser 2-estágios quando apenas uma mudança no sentido dos cortes guilhotinados é

permitida: horizontal/vertical ou vertical/horizontal). Além disso, o problema será

bidimensional quando duas dimensões são relevantes para cortagem.

Desta forma, o problema combinado consiste em decidir a quantidade de

produtos finais a serem produzidos em cada período do horizonte de planejamento tal

que minimize os custos da produção, preparação e estocagem (dimensionamento de

lotes) e a quantidade de placas a serem cortadas, bem como os padrões de corte, para

compor produtos finais (corte de estoque). Em situações reais, a maioria das indústrias

aborda esses dois problemas de forma separada. Inicialmente, são determinadas para

cada período do horizonte de planejamento, as quantidades de cada produto final

(tamanho do lote) a serem produzidas. A partir desta informação, determina-se, para

cada período, a quantidade de peças de cada tipo a serem cortadas e os melhores

padrões de corte são gerados. Entretanto, tratá-los de forma separada pode elevar os

custos globais, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é

formada pelo material a ser cortado (BRESSAN&OLIVEIRA, 2004).

Uma abordagem para o problema combinado desconsidera a ocorrência de

custos de preparação e relaxa a integralidade das variáveis que representam a

quantidade de placas cortadas num certo padrão, o que pressupõe grandes quantidades

de demanda. Esta abordagem pode ser aplicada na indústria de móveis, onde placas de

madeira devem ser cortadas na produção de itens. Por simplicidade, consideramos que

haja apenas um tipo de placa em estoque, suficiente para atender a demanda. O

Problema Combinado é formulado, então, considerando-se (BRESSAN, 2003):

Índices:

t = 1, ..., T número de períodos.

p = 1, ..., P número de diferentes tipos de peças a serem cortadas.

j = 1, ..., N número de diferentes padrões de corte.

i = 1, ... ,M número de diferentes produtos finais demandados.

Parâmetros:

c

; custo de produção do produto final i no período t.

hp

: custo de estocagem da peça tipo p no período t.

h

: custo de estocagem do produto final i no período t.

d

: demanda do produto final i no período t.

r

: número de peças tipo p necessárias para formar um produto i.

v

: tempo gasto para cortar uma placa no padrão de corte j.

a

: número de peças tipo p no padrão j.

u

: tempo máximo de operação da serra.

cp: custo da placa a ser cortada.

Variáveis de decisão:

x

: quantidade do produto final i produzido no período t.

ep

: quantidade da peça tipo p em estoque no fim do período t.

e

: quantidade do produto final i em estoque no fim do período t.

y

: quantidade de placas cortadas usando o padrão j no período t.

min





(c

.x

+ h

. e

) +





cp.y

+





hp

.ep

(1)

s.a:

x

+ e

– e

= d



t = 1,…,T,



i = 1,…,M

(2)



a

.y

+ ep

– ep

=



r

.x



t = 1…T

(3)



v

.y



u



t = 1,…,T,



j = 1, ..., N

(4)

x

, f

, y

, e



0



t = 1,…,T

(5)

As restrições (2) se referem às equações de balanço de estoque com relação aos

produtos finais, o que garante que a demanda de itens de cada período será atendida. As

restrições (3) se referem às equações de balanço de estoque com relação às peças, o que

asseguram que a demanda de peças será satisfeita. Estas restrições são as que acoplam

os problemas de dimensionamento de lotes e de corte de estoque, pois ambas incluem as

variáveis x

que definem o tamanho dos lotes e y

, que definem a quantidade de placas

cortadas num certo padrão de corte. As restrições (4) se referem à capacidade da serra, o

que garante que o tempo gasto no processo de corte das placas nos diversos padrões de

corte não ultrapassa a capacidade disponível da serra, ou seja, seu tempo máximo de

operação e, por fim, (5) representa as condições de não negatividade.

2 Estudos de caso

A fim de executar o Problema Combinado, foram atribuídos valores aos seus

parâmetros provenientes de dados fornecidos por uma indústria moveleira de pequeno

porte do município de Cornélio Procópio, para que fosse possível a decisão de dois

programas de produção, descritos a seguir. Ambos consideram a produção de dois tipos

de produtos finais: mesas e cadeiras. Além disso, em ambos os casos, considera-se que

não há estoque no período anterior t-1. Desta forma seria possível uma comparação das

soluções ótimas obtidas em cada caso.

2.1. Primeiro Programa de Planejamento da Produção

No primeiro problema de planejamento da produção, inicialmente, são

considerados os seguintes dados:

t = 5 períodos de tempo

p = 3 tipos de peça

j = 5 tipos de padrões de corte da placa

i = 2 produtos finais (mesa e cadeira)

Os tipos de peça para composição dos produtos finais são:

Peça do tipo 1: tampo da mesa

Peça do tipo 2: pés da mesa/cadeira

Peça do tipo 3: assento/encosto da cadeira

A variável x

representa o produto ―mesa‖, cujo custo de produção fornecido é

c

= R$255 e a demanda é d

=2 para t=1,2. A variável x

representa ―cadeira‖, cujo

custo de produção é c

= R$80 e a demanda é d

= 3 para t=1,2.

Os demais parâmetros fornecidos pela fábrica são:

cp = R$120,

u

= 300 horas por período,

a

pode ser visto na Tabela 1,

r

=1, r

=5, r

=2, r

=6,

h

=3, h

=1,

hp

=0,2, hp

=0,3, hp

=0,5.

As peças a serem cortadas são tampo (p =1), pés (p =2), assento/encosto (p =3).

Os padrões de corte exibidos na Tabela 1 são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo

com a capacidade dos equipamentos e a mão-de-obra disponíveis.

Tabela 1: Padrões de Corte

Padrão de

Corte

Peça tipo 1

(p=1)

Peça tipo 2

(p=2)

Peça tipo 3

(p=3)

Tempo de

corte

j=1

2

0

0

v

= 1

j=2

1

88

0

v

=1,2

j=3

0

0

35

v

=1,5

j=4

0

0

45

v

=1,4

j=5

1

8

15

v

=1,5

Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o

seguinte modelo é obtido. A função objetivo (1) se torna

Min 255x

+3e

+80x

+1e

+120y

+120y

+120y

+120y

+120y

+

+0.2ep

+0.3ep

+0.5ep

+255x

+3e

+80x

+e

+120y

+120y

+

+120y

+120y

+120y

+0.2ep

+0.3ep

+0.5ep

+255x

+3e

+

+80x

+1e

+120y

+120y

+120y

+120y

+120y

+0.2ep

+

+0.3ep

+0.5ep

+255x

+3e

+80x

+1e

+120y

+120y

+120y

+

+120y

+120y

+0.2ep

+0.3ep

+0.5ep

+255x

+3e

+80x

+1e

+

+120y

+120y

+120y

+120y

+120y

+0.2ep

+0.3ep

+0.5ep

Conjunto de restrições referente à equação (2):

1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

=10

1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

+1x

-1e

=15

Conjunto de restrições referente à equação (3):

2y

+89y

+35y

+45y

+24y

-1ep

-1ep

-1ep

+2y

+89y

+35y

+45y

+24y

-ep12-ep

-1ep

+2y

+89y

+35y

+45y

+24y

-ep

-ep

-ep

+2y

+89y

+ 35y

+

+45y

+24y

-1ep

-ep

-ep

+2y

+89y

+35y

+45y

+24y

-ep

- ep

- ep

=

=6x

+8x

+6x

+8x

+6x

+8x

+6x

+8x24+6x

+8x

Conjunto de restrições referente à equação (4):

y

+1,2y

+1,5y

+1,4y

+1,5y

+y

+1,2y

+1,5y

+1,4y

+1,5y

+y

+1,2y

+1,5y

+1,4y

+1,5y

+y

+1,2y

+1,5y

+1,4y

+1,5y

+y

+1,2y

+1,5y

+1,4y

+1,5y

<=

1500

A solução ótima deste problema, após a aplicação do Método Simplex, deve

indicar em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os produtos

finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo de corte e de

estoque, respeitando-se as restrições de balanço de estoque com relação aos produtos

finais e às peças, a restrição de capacidade da serra e as condições de não negatividade.

2.2.Segundo Programa de Planejamento da Produção

No segundo problema de planejamento da produção, é considerado um número

maior de diferentes tipos de peças para confecção dos produtos finais. Os seguintes

dados são fornecidos pela indústria:

t = 5 períodos de tempo

p = 7 tipos de peça

j = 6 tipos de padrões de corte da placa

i = 2 produtos finais (mesa e cadeira)

Os tipos de peça para composição dos produtos finais são:

Peça do tipo 1: tampo da mesa

Peça do tipo 5: pé da cadeira

Peça do tipo 2: encosto da cadeira

Peça do tipo 6: apoio da mesa

Peça do tipo 3: assento da cadeira

Peça do tipo 7: pé da mesa

Peça do tipo 4: apoio da cadeira

Neste caso, os novos padrões de corte para a produção de peças são descritos na

Tabela 2. Estes, são pré-estabelecidos pela fábrica, de acordo com a capacidade dos

equipamentos e a mão-de-obra disponíveis.

Tabela 2: Padrões de Corte

j=1

0

34

34

0

0

0

0

v

= 3

j=2

15

8

7

0

0

0

0

v

=2

j=3

12

12

13

0

0

0

0

v

=4

j=4

0

0

0

8

1

2

0

v

=4

j=5

0

0

0

2

3

4

0

v

=3

j=6

0

0

0

0

0

0

4

v

=2

Substituindo-se os valores dos parâmetros fornecidos pela fábrica, obtemos o

Problema Combinado a seguir. A variável x

representa o produto ―mesa‖, cujo custo

de produção fornecido é R$60 reais e a demanda é 10, e a variável x

representa

―cadeira‖, cujo custo de produção é R$40 reais e a demanda é 20. Os parâmetros (custo

de produção, estoque e tempo de corte) foram alterados, já que foram utilizados dados

de outros tipos de madeira e outros padrões de corte. Considera-se também que não há

estoque no período anterior t – 1. Portanto, o PPL para o segundo caso é descrito a

seguir.

Parâmetros fornecidos pela fábrica:

cp = R$135,07,

u

= 240 horas por período,

a

pode ser visto na Tabela 2,

r

=1, r

=0, r

=0, r

=0, r

=0, r

=2, r

=4, r

=0, r

=1, r

=1, r

=2, r

=4,

r

=0, r

=0,

h

=4, h

=2, hp

=0,4,

hp

=0,35, hp

=0,25, hp

=0,13, hp

=0,15, hp

=0,18, hp

=0,23.

Substituindo-se estes valores nas Equações (1) a (5) do Problema Combinado, o

seguinte modelo de programação linear é obtido. A função objetivo referente à equação

(1) se torna:

min

60x

+4e

+40x

+2e

+135,07y

+5,77y

+11,89y

+135,07y

+

+135,07y

+0,4ep

+0,35ep

+0,25ep

+0,13ep

+0,15ep

+0,18ep

+

+0,23ep

+60x

+4e

+40x

+2e

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+

+135,07y

+135,07y

+0,4ep

+0,35ep

+0,25ep

+0,13ep

+015ep

+0,18ep

+

+0,23ep

+60x

+4e

+40x

+2e

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+

+135,07y

+135,07y

+0,4ep

+0,35ep

+0,25ep

+0,13ep

+015ep

+0,18ep

+

+0,23ep

+60x

+4e

+40x

+2e

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+

+135,07y

+135,07y

+0,4ep

+0,35ep

+0,25ep

+0,13ep

+015ep

+0,18ep

+

+0,23ep

+60x

+4e

+40x

+2e

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+135,07y

+

+135,07y

+135,07y

+0,4ep

+0,35ep

+0,25ep

+0,13ep

+015ep

+0,18ep

+

+0,23ep

Conjunto de restrições referente à equação (2):

x

-e

+x

-e

+x

-e

+x

-e

+x

-e

=50

x

-e

+x

-e

+x

-e

+x

-e

+x

-e

=100

Conjunto de restrições referente à equação (3):

68y

+30y

+37y

+11y

+9y

+4y

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-7x

-8x

+68y

+30y

+37y

+11y

+9y

+4y

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-7x

-8x

+68y

+30y

+37y

+11y

+9y

+4y

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-7x

-8x

+68y

+30y

+37y

+11y

+9y

+4y

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-7x

-8x

+68y

+30y

+37y

+11y

+9y

+4y

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-ep

-7x

-8x

=0

Conjunto de restrições referente à equação (4):

3y

+2y

+4y

+4y

+3y

+2y

+3y

+2y

+4y

+4y

+3y

+2y

+3y

+2y

+4y

+

+4y

+3y

+2y

+3y

+2y

+4y

+4y

+3y

+2y

+3y

+2y

+4y

+4y

+3y

+2y

<

=1200

Como no problema anterior, após a aplicação do Método Simplex, a solução

ótima indicará em qual período do horizonte de planejamento e em que quantidade os

produtos finais devem ser produzidos, de forma que se obtenha o custo mínimo,

respeitando-se as restrições (1) a (5) do Problema Combinado.

3 Resultados numéricos

Soluções ótimas foram obtidas a partir da execução dos modelos descritos

anteriormente com apoio computacional do software LINDO (“Linear Interactive and

Discrete Optimizer”), a partir da execução do Método Simplex. A configuração

utilizada para as execuções dos PPL´s se refere a um processador Intel Core I5 de

3.3GHZ, memória de 6GB e 1.333MHz.

Para o primeiro programa de produção, a solução ótima obtida para t = 2

períodos de planejamento indica que o custo mínimo de produção para o período é

R$1508,09 e as variáveis de decisão obtidas são: x

=4, x

=6, y

=0,067 e as demais

são nulas. Com isso, a solução ótima para o problema linear (relaxado) sugere o

adiantamento da produção dos produtos finais no primeiro período. Comparando-se a

solução ótima com o custo de uma produção que atende a demanda por período –

produzindo-se 2 mesas e 3 cadeiras por período – a solução ótima proporciona uma

economia de R$23,51. Na prática, de acordo com Miyazawa (2015), pode ser aplicada

uma estratégia para arredondar as variáveis fracionárias para que assumam valores

inteiros, de tal maneira a obter uma solução viável. Como o número de placas em uma

solução deve ser inteiro, uma solução ótima deve usar pelo menos 1 placa. Assim, se a

solução obtida pelo arredondamento não for ótima, usa-se no máximo uma placa a mais

que a solução ótima.

Ainda, supondo que a demanda e preços de estoque são constantes e t = 5

períodos de planejamento, obteve-se um custo mínimo total de produção de R$ 3758,09,

o que sugere adiantar a produção de cadeiras, x

= 15, gerando estoque, e postergar a

produção de mesas, x

= 10. Neste caso, comparando-se o custo desta produção com o

custo de uma produção que atende a demanda por período, a solução ótima proporciona

uma economia de R$70,91 (supondo que a demanda e os preços sejam constantes).

Para o segundo programa de planejamento da produção, o custo mínimo para o

planejamento de 1 período é de R$1856,85 e as variáveis de decisão obtidas são:

x

=10, x

=20, y

=3,3824, atendendo à demanda, Para t = 2 períodos de planejamento,

a solução ótima indica que o custo mínimo de produção para o período é R$3713,71,09

e as variáveis de decisão são: x

=20, x

=40, y

=6,77 , sugerindo que a produção seja

feita no segundo período. Já para t = 5 períodos, a solução ótima indica custo mínimo de

R$9284,27 e as variáveis de decisão obtidas são: x

=50, x

=100, y

=16,91. Portanto, a

solução ótima sugere o adiantamento da produção de mesas para o terceiro período e de

cadeiras para o quarto período, gerando estoque para os períodos seguintes. Conforme

descrito no primeiro programa de produção, na prática, pode ser aplicada uma estratégia

de arredondamento das variáveis fracionárias para que assumam valores inteiros

(MIYAZAWA, 2015). Desta forma, uma solução viável é: y

=7 placas a serem

cortadas no padrão 1 no período 1 e y

=17 placas no padrão 1 no período 2.

Uma produção que atende a demanda por período, produzindo-se 10 mesas e 20

cadeiras em cada período, tem custo total de produção de R$1931,21 por período.

Supondo demanda e preços constantes, o modelo combinado proporciona economia de

R$74,36 por período. Ao considerar t = 5 períodos, a solução ótima então proporciona

lucro de R$ 371,80 ao compara-la à uma produção que não considera a antecipação de

produtos finais e os custos de estoque.

Após a execução dos dois estudos de caso, foi feita a Análise de Sensibilidade

dos parâmetros e das constantes dos modelos. Essa análise busca verificar os efeitos

causados ao Problema de Programação Linear, devido às possíveis variações dos

valores dos coeficientes das variáveis, tanto na função objetivo como nas constantes das

restrições. No primeiro estudo de caso, o coeficiente da variável x

é 80 (custo de

produção do item ―cadeira‖ no primeiro período). Se tal custo aumentar em 1 unidade,

multiplicando-se pela solução ótima, tem-se que a o valor da função objetivo aumentará

em R$1215,00., ou seja, a função objetivo final será R$4973,09.

No segundo estudo de

caso, o valor da função objetivo é R$9284,272; o coeficiente da variável x

é 60 e, de

acordo com a sensibilidade, este valor pode ser aumentar até 77,9 para que as variáveis

básicas permaneçam na base. Como o valor ótimo desta variável é 50, logo a função

objetivo final será 9284.272 + 3895 = 13179.272. É importante lembrar que a Análise

de sensibilidade é extensiva para qualquer variável de decisão.

A partir destes resultados, pode-se concluir que a aplicação do Problema

Combinado em conjunto com o Método Simplex no estudo da fábrica de móveis é

eficiente, uma vez que fornece o custo mínimo, sugerindo a antecipação da produção de

alguns itens, proporcionando economia em relação a uma produção que atende a

demanda por período.

4 Considerações finais

Este trabalho apresentou estudos de caso do Problema Combinado, que envolve

conjuntamente dois importantes problemas de otimização linear: corte de estoque e

dimensionamento de lotes. Tratá-los de forma separada pode elevar os custos globais

de produção, principalmente se uma parcela significativa do custo do produto final é

formada pelo material a ser cortado. Apesar da sua combinação ser ainda pouco

explorada na literatura, a constatação de sua relevância em diversas situações o elege

como um importante problema a ser pesquisado.

Os estudos de caso apresentados, os quais levam em consideração o estudo do

Problema Combinado, mostrou-se eficiente, destacando a importância desse tipo de

modelo na área de produção.

Como perspectivas de continuidade deste trabalho, pretende-se variar a demanda

e os preços, para ter perspectivas de estoque, além de fazer comparações com outros

estudos de casos reais e suas respectivas análises de sensibilidade; e, ainda, comparar

soluções ótimas obtidas a partir de outros tipos de softwares.

Referências

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Janeiro, 2007.

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da Produção. Tese de Doutorado, Densis- Unicamp, 2001.

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Lins, M. P. E.; Calôba, G. M .Programação Linear: com aplicações em teoria dos

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Estadual de Campinas, 2015. Disponível em <www.ic.unicamp.br/~fkm/lectures/

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Russomano, V. H. Planejamento e Controle da Produção. Pioneira, São Paulo, 2000.

Tubino, D. F. Planejamento e Controle da Produção: Teoria e Prática. Atlas, São

Paulo, 2007.

An´

alise de estabilidade para um modelo de

respira¸c˜

ao humana

∗

Resumo

Descreveremos um modelo simples para o mecanismo de respira¸c˜ao humana atrav´es de um sistema de equa¸c˜oes diferenciais com retardamento e buscaremos por condi¸c˜oes que garantam a estabilidade do ponto de equil´ıbrio do sistema, possi-bilitando realizar significativa preven¸c˜ao de irregularidades na respira¸c˜ao humana.

Palavras Chave: sistema respirat´orio, retardamento, estabilidade.

Introdu¸

c˜

ao

Apresentaremos neste trabalho um sistema de equa¸c˜oes com retardamento o qual descreve um modelo sobre o mecanismo de controle respirat´orio em humanos e pretendemos estudar as condi¸c˜oes de estabilidade e instabilidade do ponto de equil´ıbrio do sistema.

Entendemos que o mecanismo de produ¸c˜ao de padr˜oes inst´aveis de respira¸c˜ao tem potencial significativo na preven¸c˜ao e tratamento de v´arias irregularidades na respira¸c˜ao humana, como por exemplo apneia do sono, SIDS, etc.

O objetivo deste trabalho ´e fornecer uma an´alise de estabilidade para um modelo simplificado do sistema respirat´orio. Este artigo foi baseado principalmente no estudo que realizamos sobre a referˆencia [2].

1

Modelo respirat´

orio

Segundo a referˆencia [2], o controlador responde `as entradas dos quimiorrecepto-res centrais e perif´ericos. “Um quimiorreceptor ´e um receptor que responde a uma altera¸c˜ao na composi¸c˜ao qu´ımica do sangue, ou outro fluido em torno de si”, veja [5]. Os quimiorreceptores respondem `as mudan¸cas na concentra¸c˜ao arterial de CO2

e O2 (PCO2, PO2). O controlador tamb´em ´e influenciado por mudan¸cas no estado,

como sono, insˆonia, etc. A ventila¸c˜ao (W ) juntamente com a concentra¸c˜ao de CO2

e O2 inspirada (PICO2,PIO2), influencia o comportamento do pulm˜ao.

∗Trabalho realizado sob a orienta¸c˜ao da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti.

†Email: [email protected], Curso de Bacharelado em Matem´atica, Bolsista BAAE I,

Uni-versidade Estadual Paulista “J´ulio de Mesquita Filho-Unesp, Cˆampus de Rio Claro.

‡Email: [email protected], Departamento de Matem´atica do IGCE-Unesp, Rio Claro.

________________________________________________________________________

M´

arcia Richtielle da Silva

Marta Cilene Gadotti

Figura 1: Diagrama de controle do sistema respirat´orio

No diagrama apresentado, TD1 representa o retardo no transporte entre o pulm˜ao

e o quimiorreceptor perif´erico e TD2 representa o retardo no transporte entre o

pulm˜ao e os quimiorreceptores centrais. Para maiores detalhes sobre o sistema respirat´orio consulte a referˆencia [1].

Evidˆencias experimentais indicam que o aumento do retardo no transporte da ventila¸c˜ao pode produzir padr˜oes oscilat´orios, que causam padr˜oes anormais de respira¸c˜ao.

Para simplificar o sistema, vamos assumir que o retardo no transporte da ven-tila¸c˜ao seja constante.

A an´alise realizada no Cap´ıtulo 8 da referˆencia [5] explica estes processos biol´ogicos de uma forma mais clara.

Neste artigo, vamos nos concentrar apenas nos quimiorreceptores perif´ericos para estudarmos o controle da respira¸c˜ao, ou seja, iremos omitir a ´area pontilhada na figura acima.

Considere o seguinte sistema n˜ao linear de equa¸c˜oes diferenciais com retarda-mento:        d∼x dt = p − αW _∼ x (t − τ ),∼y (t − τ )(∼x (t) − xI) d∼y dt = −σ + βW _∼ x (t − τ ),∼y (t − τ )(yI− ∼ y (t)), (1.0.1)

onde ∼x e ∼y denotam a concentra¸c˜ao arterial(press˜ao arterial) de CO2 e O2,

res-pectivamente; W (., .) ´e a fun¸c˜ao ventila¸c˜ao (que monitora o volume de g´as movido pelo sistema respirat´orio, mudan¸cas de frequˆencias da respira¸c˜ao); τ > 0 representa o retardo no transporte ; xI e yI s˜ao as concentra¸c˜oes de CO2 e O2 inspiradas,

respectivamente; p ´e a taxa de produ¸c˜ao de CO2; σ ´e a taxa de consumo de O2 e

α, β s˜ao constantes positivas referentes `a difus˜ao de CO2 e O2 respectivamente.

Vamos reescrever o sistema (1.0.1) usando novas vari´aveis. Para isso, faremos a seguinte substitui¸c˜ao:

x(t) = a _∼ x (t) − xI  e y(t) = b  yI− ∼ y (t), onde a e b s˜ao constantes a serem determinadas. Assim,

dx dt = a d∼x dt ⇒ d∼x dt = 1 a dx dt, dy dt = −b d∼y dt ⇒ d∼y dt = − 1 b dy dt. E ainda, x(t) = a∼x (t) − xI  ⇒∼x (t) = xI+ 1 ax(t) e y(t) = byI− ∼ y (t)⇒∼y (t) = yI− 1 by(t). Substituindo em (1.0.1), obtemos: dx dt = a d∼x dt = ap − aαW  xI+ 1 ax(t − τ ), yI− 1 by(t − τ )   1 ax(t)  , dy dt = −b d∼y dt = bσ − bβW  xI+ 1 ax(t − τ ), yI− 1 by(t − τ )   1 by(t)  .

Agora, chamando as constantes a e b por a = 1 p e b =

1

σ e definindo a seguinte fun¸c˜ao

V (x, y) = W (xI+ px, yI− σy),

obtemos as seguintes equa¸c˜oes:      dx dt = 1 − αV (x(t − τ ), y(t − τ ))x(t), dy dt = 1 − βV (x(t − τ ), y(t − τ ))y(t). (1.0.2)

2

An´

alise de estabilidade

Vamos considerar o sistema de equa¸c˜oes diferenciais (1.0.2) e investigar quest˜oes sobre existˆencia, unicidade e estabilidade do ponto de equil´ıbrio. Parece ser biolo-gicamente real´ıstico assumir W (u, v) como uma fun¸c˜ao crescente em u e como uma fun¸c˜ao decrescente em v, para u > xI e v < yI, ver referˆencia [6]. Portanto, vamos

assumir as seguintes condi¸c˜oes sobre a fun¸c˜ao V :

(H1) V (x, y) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel, com V (0, 0) = W (xI, yI) = 0 e

(H2) ∂V (x, y) ∂x > 0,

∂V (x, y)

∂y > 0, x > 0, y > 0. Note que x > 0 e y > 0 correspondem a ∼x> xI e

∼

y< yI nas vari´aveis originais.

Para estudarmos a estabilidade do equil´ıbrio ´e preciso estabelecer alguns resultados preliminares.

Teorema 1 Suponha as hip´oteses (H1) e (H2) . Ent˜ao existe um ´unico ponto de equil´ıbrio positivo do sistema (1.0.2).

Prova: Um ponto de equil´ıbrio (x, y) de (1.0.2) se existir, deve satisfazer: dx dt = 0 e dy dt = 0, com x 6= 0 e y 6= 0. Ou seja, 1 − αV (x, y)x = 0 ⇒ αV (x, y)x = 1 ⇒ V (x, y) = 1 αx, 1 − βV (x, y)y = 0 ⇒ V (x, y) = 1 βy. Segue que 1 αx = 1 βy ⇔ βy = αx ⇔ x = βy α . Note que βV  βy α , y  = 1 y. (2.0.3) Como V (0, 0) = 0 e V  βy α , y 

´e crescente em ¯y, existe uma ´unica solu¸c˜ao positiva y de (2.0.3), devido ao Teorema do Valor Intermedi´ario. Observe tamb´em que αV (x, y) = αV  βy α , y  = α βy = 1

x, ou seja, encontrado y, existe ´unico x dado por x = βy

α .

Portanto, (x, y) ´e o ´unico ponto de equil´ıbrio de (1.0.2), com x > 0 e y > 0.

Vamos investigar agora a estabilidade assint´otica do ponto de equil´ıbrio do sis-tema (1.0.2), considerando as hip´oteses (H1) e (H2).

Chamando ξ(t) = x(t) − x, η(t) = y(t) − y em (1.0.2) e ˜ W (x, y) =  1 − αV (x(t − τ ), y(t − τ ))x(t) 1 − βV (x(t − τ ), y(t − τ ))y(t)  ,

e usando a F´ormula de Taylor para aproximar ˜W em torno do ponto de equil´ıbrio (x, y), obtemos o sistema linearizado de (1.0.2):

     dξ dt = −αV ξ(t) − αxVxξ(t − τ ) − αxVyη(t − τ ), dη dt = −βV η(t) − βyVxξ(t − τ ) − βyVyη(t − τ ), (2.0.4)

em que V = V (x, y), Vx = Vx(x, y) e Vy = Vy(x, y) s˜ao constantes.

Podemos reescrever (2.0.4) da seguinte forma: d dt  ξ(t) η(t)  + A  ξ(t) η(t)  + B  ξ(t − τ ) η(t − τ )  =  0 0  , com A =  αV 0 0 βV  e B =  αxVx αxVy βyVx βyVy  .

Para construirmos a equa¸c˜ao caracter´ıstica usaremos os resultados de [3]. Assim,

∆(λ, τ ) = detλI + A + Be−τ λ= 0. Logo, det  λ + αV + αxVxe−τ λ αxVye−τ λ βyVxe−τ λ λ + βV + βyVye−τ λ  = 0 ⇒  λ + αV + αxVxe−τ λ   λ + βV + βyVye−τ λ  − αβxyVxVye−τ λ = 0 ⇒ λ2+ λ(α + β)V + αβV2+ (βyVy+ αxVx)λ + αβV (yVy+ xVx)
e−τ λ = 0.

Agora, denotemos por:

P (λ) = λ2+ λ(α + β)V + αβV2 e

Q(λ) = (αxVx+ βyVy)λ + αβV (xVx+ yVy).

Logo,

∆(λ, τ ) = detλI + A + Be−τ λ= P (λ) + Q(λ)e−τ λ = 0. (2.0.5) Notemos que quando τ = 0 em (1.0.2), temos uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria e neste caso podemos utilizar os resultados referentes `a teoria de estabilidade para este tipo de equa¸c˜ao.

Fazendo τ = 0 na equa¸c˜ao acima, obtemos:

∆(λ, 0) = λ2+ λ(αV + βV + αxVx+ βyVy) + αβ(V 2

yV Vy+ xV Vx) = 0.

Por causa das hip´oteses (H1) e (H2), os coeficientes desta equa¸c˜ao s˜ao positivos e, portanto, as ra´ızes tˆem parte real negativa.

Para τ = 0, segue da teoria de estabilidade para equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias que o ponto de equil´ıbrio (x, y) ´e assintoticamente est´avel.

Para a an´alise de estabilidade em que τ > 0, vamos precisar do resultado abaixo. Lema 2 Se V ≥ xVx+yVy, ent˜ao ∆(iω, τ ) 6= 0, ∀ω ∈ R, ∀τ ≥ 0. Se V < xVx+yVy,

ent˜ao existe um ´unico par ω0, τ0, com ω0 ≥ 0, τ0 ≥ 0, ω0τ0 < 2π de modo que

∆(iω0, τ0) = 0.

Prova: Primeiramente, note que ∆(0, τ ) = αβ(V2+ yV Vy + xV Vx) 6= 0, pois

α, β 6= 0, V 6= 0, (x, y) 6= (0, 0) e Vx, Vy > 0. Portanto, λ = 0 n˜ao ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao caracter´ıstica. Al´em disso, |P (iω)|2 =  −ω2+ αβV2 2 + αV ω + βV ω
2= ω4+  α2V2+ β2V2  ω2+ α2β2V4 e |Q(iω)|2 = βyVy+ αxVx
2 ω2+ α2β2V2 yVy+ xVx
2 . Assim, |P (iω)|2− |Q(iω)|2 = ω4+ k1ω2+ k2, onde k1= V 2 α2+ β2
− βyVy+ αxVx
2 e k2 = α2β2V 2 V2− yVy+ xVx
2 . ________________________________________________________________________

Agora, se V ≥ xVx+ yVy ent˜ao V 2 ≥ xVx+ yVy
2 ⇒ V2− xVx+ yVy
2 ≥ 0 e como α2β2V2≥ 0, segue que k2 ≥ 0.

Note tamb´em que: V2 ≥ xVx+ yVy
2 ⇒ (α2+ β2)V2 ≥ (α2+ β2) xVx+ yVy
2 = = α2x2Vx 2 + 2α2x yVx Vy+ α2y2Vy 2 + β2x2Vx 2 + 2β2x yVx Vy+ β2y2Vy 2 + + 2αβx yVx Vy− 2αβx yVx Vy = 2α2x yVx Vy+ 2β2x yVx Vy+ αxVx+ βyVy
2 + + αyVy− βxVx
2 > αxVx+ βyVy
2 . Portanto, (α2+ β2)V2 > αxVx+ βyVy
2

, o que implica k1 > 0. Assim,

|P (iω)|2− |Q(iω)|2 _{> 0, ∀ω ∈ R}∗. (2.0.6) Suponhamos por contradi¸c˜ao que ω seja raiz de ∆(iω, τ ) = 0. Ou seja,

P (iω) + Q(iω)e−iωτ = 0 ⇒ P (iω) = −Q(iω)e−iωτ ⇒ |P (iω)|2= |Q(iω)|2|e−iωτ|2⇒

|P (iω)|2 = |Q(iω)|2 ⇒ |P (iω)|2− |Q(iω)|2 = 0, contradizendo (2.0.6). Portanto, ∆(iω, τ ) 6= 0, ∀ω ∈ R∗, τ ≥ 0, o que conclui a primeira parte do lema.

Agora suponha que V < xVx+ yVy. Ent˜ao,

V2− xVx+ yVy
2 < 0 e α2β2V2> 0 ⇒ k2= α2β2V 2 V2− xVx+ yVy
2 < 0. Seja v = ω2, tem-se ent˜ao |P (iω)|2− |Q(iω)|2 _{= v}2_{+ k}

1v + k2. Defina G(v) =

v2_{+ k}

1v + k2. Como k2 < 0, G(v) = 0 tem uma ´unica raiz n˜ao negativa dada por

v0 = 1 2  −k1+ q k2₁− 4k2  > 0. Consequentemente, v0 = ω02 ⇒ ω0 = + √

v0 > 0. Portanto, existe uma ´unica

raiz w0 tal que |P (iω0)|2− |Q(iω0)|2 = 0 e para este w0, podemos determinar τ0 de

modo que τ0w0= 2π. O que completa a prova do lema.

Observa¸c˜ao 3 Se V < xVx + yVy, ent˜ao pelo Lema 2, temos ∆(iω, τ ) = 0, ω ∈

R, τ ≥ 0 se, e somente se,

ω = ±ω0, τ = τn def = τ0+ 2nπ ω0 , n = 0, 1, 2, · · · , (2.0.7) em que ω0> 0 e τ0 ≥ 0 s˜ao obtidos na prova do Lema 2.

Para concluir a an´alise, vamos utilizar o resultado a seguir, cuja prova pode ser encontrada em [4].

Teorema 4 Considere a equa¸c˜ao (2.0.5), onde P e Q s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas no semiplano Re(z) > −δ, com δ > 0. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

(i) P (z) e Q(z) n˜ao tem parte imagin´aria nula;

(ii) P (−iy) = P (iy), Q(−iy) = Q(iy), para y ∈ R; (iii) P (0) + Q(0) 6= 0;

(iv) Existe no m´aximo um n´umero finito de ra´ızes de (2.0.5) no semiplano Re(z) > −δ, quando τ = 0;

(v) F (y) ≡ |P (iy)|2 − |Q(iy)|2_{, para y ∈ R, tendo no m´aximo um n´umero finito}

de ra´ızes reais.

Sob essas condi¸c˜oes, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:

(a) Suponha que a equa¸c˜ao F (y) = 0 n˜ao tenha ra´ızes positivas. Ent˜ao se (2.0.5) ´

e est´avel em τ = 0, ela permanece est´avel para todo τ ≥ 0. Enquanto que, se for inst´avel em τ = 0, permanece inst´avel para todo τ ≥ 0.

(b) Suponha que a equa¸c˜ao F (y) = 0 tenha pelo menos uma raiz positiva e que cada raiz positiva seja simples. Ent˜ao, conforme τ cresce, trocas de estabilidade podem ocorrer e existe um n´umero positivo τ∗ tal que a equa¸c˜ao (2.0.5) ´e inst´avel para todo τ > τ∗ e, conforme τ varia de 0 a τ∗, no m´aximo um n´umero finito de trocas de estabilidade pode ocorrer.

Mostremos agora que, sob certas condi¸c˜oes, o ponto de equil´ıbrio (¯x, ¯y) do sis-tema ´e assintoticamente est´avel.

Teorema 5 Se V ≥ xVx+yVy, ent˜ao o ponto de equil´ıbrio (x, y) ´e assintoticamente

est´avel para todo retardo τ ≥ 0.

Prova: Note que

∆(λ, 0) = λ2+ λ(αV + βV + αxVx+ βyVy) + αβ(V 2 + xV Vx+ yV Vy). Se chamarmos A = αV + βV + αxVx+ βyVy > 0 e B = αβ(V 2 + xV Vx+ yV Vy) > 0, podemos escrever λ2+ Aλ + B = 0.

Para λ = u + iv e igualando partes real e imagin´aria, temos 

u2_{− v}2_{+ Au + B = 0}

2uv + vA = 0

Da ´ultima equa¸c˜ao segue que v = 0 ou u = −A

2 < 0. Se v = 0 ⇒ u

2_{+ Au + B = 0}

o que implica u = −A±

√ A2_−4B

2 < 0.

Logo, todas as ra´ızes da equa¸c˜ao tem partes reais negativas, ent˜ao para τ = 0 o equil´ıbrio ´e est´avel. Agora, vamos aplicar o Teorema 4, item (v)(a). Primeiro, vejamos se todas as condi¸c˜oes exigidas est˜ao satisfeitas. De fato,

(i) Segue do Lema 2 que P e Q n˜ao tˆem ra´ızes imagin´arias comuns; (ii) P (−iω) = −ω2_{− (α + β)V iω + αβV}2_{= P (iω), ´e f´acil ver que}

Q(−iω) = Q(iω);

(iii) P (0) + Q(0) = αβV (V + (xVx+ yV Vy)) 6= 0;

(iv) Quando τ = 0, P (λ) + Q(λ) = 0 s´o admite um n´umero finito de ra´ızes no semiplano considerado;

(v) F (ω) = |P (iω)|2 − |Q(iω)|2_{, ´e um polinˆomio em ω e, portanto, possui um}

n´umero finito de zeros reais.

Segue do Teorema 4 que o equil´ıbrio ´e est´avel para todo τ > 0.

Lema 6 Considere τn e ω0 descritos na Observa¸c˜ao 3, tem-se:

Re iω0 ∂∆(iω0, τn) ∂λ Q(iω0)e −iω0τn ! > 0, n = 0, 1, 2, .... Prova: Sejam a1= (α+β)V , a2 = αβV 2 , b1 = αxVx+βyVy, b2= αβV xVx+ yVy
, ent˜ao ∆(λ, τ ) = λ2+ a1λ + a2+ (b1λ + b2)e−τ λ.

Derivando ∆(λ, τ ) com rela¸c˜ao a λ, temos ∂∆(λ, τ )

∂λ = 2λ + a1+ b1e

−τ λ_{+ (b}

1λ + b2)e−τ λ(−τ ).

Fazendo agora λ = iω0 e τ = τn, obtemos

∂∆(iω0, τn) ∂λ = 2iω0+ a1+ b1e −iω0τn_{− τ} nQ(iω0)e−iω0τn. Ent˜ao, iω0 ∂∆(iω0, τn) ∂λ Q(iω0)e −iω0τn ₌

iω0 −2iω0+ a1+ b1eiω0τn− τnQ(iω0)eiω0τn
Q(iω0)e−iω0τn =

iω0(−2iω0+ a1)Q(iω0)e−iω0τn+ iω0b1Q(iω0)eiω0τne−iω0τn− iτnω0QQe−iω0τneiω0τn =

iω0(−2iω0+ a1)Q(iω0)e−iω0τn+ iω0b1Q(iω0) − iτnω0|Q(iω0)|2 =

− iω0(−2iω0+ a1)P (iω0) + iω0b1Q(iω0) − iτnω0|Q(iω0)|2 =

− iω₀(−2iω0+ a1)(−ω02+ ia1ω0+ a2) + iω0b1(ib1ω0+ b2) − iτnω0|Q(iω0)|2 =

2ω₀4− 2a2ω20+ a21ω02− b21ω20+ i 2a1ω30+ a1ω03+ a1a2ω0+ b1b2ω0− τn|Q(iω0)|2ω0
. Assim, Re iω0 ∂∆(iω0, τn) ∂λ Q(iω0)e −iω0τn ! = 2ω₀4− 2a₂ω2₀+ a2₁ω₀2− b2 1ω02 = = 2ω2₀  ω₀2+1 2(a 2 1− b21− 2a2)  . Do Lema 2 segue que

a2₁− b2₁− 2a2= (α + β)2V 2 − (αxVx+ βyVy)2− 2αβV 2 = = (α2+ β2)V2− (αxV_x+ βyVy)2= k1, Logo, Re iω0 ∂∆(iω0, τn) ∂λ Q(iω0)e −iω0τn ! = 2ω2₀  ω₀2+1 2k1  .

Sabemos, do Lema 2, que w0 =

√ v0. Ent˜ao, 2v0  v0+ 1 2k1  > 0, pois v0 > 0 e k________________________________________________________________________1> 0.

Portanto, Re iω0 ∂∆(iω0, τn) ∂λ Q(iω0)e −iω0τn ! > 0, ∀n = 0, 1, 2, ....

Corol´ario 7 Se V < xVx+ yVy. Sejam ω0, τn, n = 0, 1, ... definidos como no Lema

2 e valem as equa¸c˜oes (2.0.7). Ent˜ao, para cada τn, existe uma vizinhan¸ca In⊂ R

de τn e uma fun¸c˜ao continuamente diferenci´avel λn: In→ C tais que

i) λn(τn) = iω0, ii) ∆(λn(τ ), τ ) = 0, com τ ∈ In; iii) Re dλn(τ ) dτ      τ =τn ! > 0.

Prova: Do Lema 6, sabemos que ∂∆(iω0, τn)

∂λ 6= 0, n = 0, 1, 2, ... e ∆(iω0, τn) = 0. Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, existem uma vizinhan¸ca In⊂ R de τn e uma

fun¸c˜ao λn: In→ C continuamente diferenci´avel, satisfazendo:

i) λn(τn) = iω0;

ii) ∆(λn(τ ), τ ) = ∆(iω0, τ ) = 0, ∀τ ∈ In.

Para mostrarmos iii), basta derivar a equa¸c˜ao em ii) e aplicar em τ = τn:

∂∆(iλ, τ ) ∂λ dλ(τ ) dτ + ∂∆(iω0, τ ) dτ      τ =τn = ∂∆(iω0, τn) ∂λ dλn(τ ) dτ −iω0Q(iω0)e −iω0τn _{= 0 ⇒}  dλn(τ ) dτ    _{τ =τ} n = iω0Q(iω0)e −iω0τn  ∂∆(iω0, τn) ∂λ   ∂∆(iω0, τn) ∂λ   ∂∆(iω0, τn) ∂λ  = iω0  ∂∆(iω0, τn) ∂λ  Q(iω0)e−iω0τn     ∂∆(iω0, τn) ∂λ     2 . Logo, Re      iω0  ∂∆(iω0, τn) ∂λ  Q(iω0)e−iω0τn     ∂∆(iω0, τn) ∂λ     2      = 1     ∂∆(iω0, τn) ∂λ     2Re ω0  ∂∆(iω0, τn) ∂λ  Q(iω0)e−iω0τn ! > 0, ________________________________________________________________________

pelo Lema 6. O que conclui a prova.

Teorema 8 Suponha V < xVx+ yVy e τ0 definido no Lema 2. Ent˜ao o ponto de

equil´ıbrio (x, y) ´e assintoticamente est´avel se 0 ≤ τ < τ0 e inst´avel se τ > τ0.

Prova: No caso τ = 0 j´a vimos que a equa¸c˜ao caracter´ıstica ∆(λ, 0) tem todas as ra´ızes com parte real negativa. O que implica que o ponto de equil´ıbrio (x, y) ´e assintoticamente est´avel.

Pelo Lema 2, existe um ´unico par de ra´ızes positivas τ0, ω0 da equa¸c˜ao

carac-ter´ıstica ∆(iω0, τ0). E pelo Teorema 4, (v)(b), da referˆencia [4], se existir τ0 ≥ 0 tal

que P (iω0) + Q(iω0)e−iω0τn = 0, ent˜ao a solu¸c˜ao ´e inst´avel para τ > τ0.

Desse modo, quando τ varia de 0 at´e τ0 podem ocorrer um n´umero finito de

trocas de estabilidade. Pelo fato de τ0 ser o primeiro instante onde ocorre uma

raiz imagin´aria, pela continuidade da fun¸c˜ao λ = λ(τ ), todas as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica tem parte real negativa. O que implica na estabilidade assint´otica para 0 ≤ τ < τ0.

3

Conclus˜

ao

Estes resultados indicam que se o transporte do retardo do sistema for maior que τ0, ent˜ao pode-se esperar manifesta¸c˜ao de irregularidades do sistema respirat´orio

(respira¸c˜ao peri´odica, apneia do sono, SIDS, etc) j´a que teremos instabilidade. O que podemos concluir ent˜ao ´e que a partir do estudo da fun¸c˜ao ventila¸c˜ao e trabalhando com as equa¸c˜oes diferenciais com retardamento, que modelam este tipo de problema, foi poss´ıvel caracterizar a regularidade ou n˜ao da respira¸c˜ao humana.

Referˆ

encias

[1] Carley, D.W.: Minimal modeling of human respiratory stability. In: Modeling and Parameter Estimation in Respiratory Control, Khoo, M.C.K.(ed.). Plenum Press: New York, 171-180 (1989).

[2] Cooke, L. Kenneth, Turi, Janos: Stability, instability in delay equations mo-deling human respiration,Journal of Mathematical Biology, 1994

[3] Bellman, R., Cooke, K. L.: Differential-Difference Equations. New York: Aca-demic Press 1963

[4] Cooke, K.L., Driessche, P. van den: On zeroes of some transcendental equati-ons. Funkcialaj Ekvacioj 29, 77-90(1986)

[5] WEST, John Burnard. Fisiologia respirat´oria: princ´ıpios b´asicos. 9. ed. Porto Alegre: Artmed, 2013.

[6] Khoo, M.C.K.,Kronauer, R. E., Strohl, K.P., Slutsky, A.S.: Factors inducing periodic breathing in humans: a general model. J.Appl. Physi. 53, 664-659, (1982).

An´

alise qualitativa de modelos atrav´es de

e

∗

Ot´avio Henrique Perez

Resumo

Neste artigo iremos utilizar a Teoria de Sistemas Dinˆamicos para modelar, usando

Equa¸c˜oes Diferenciais, problemas f´ısicos, qu´ımicos e biol´ogicos. Vamos analisar tais

pro-blemas atrav´es dos retratos de fase, que nos trazem informa¸c˜oes importantes a respeito

do sistema modelado. Assim, podemos fazer uma an´alise qualitativa e estudar o

compor-tamento futuro e passado de fenˆomenos das mais diversas ´areas da ciˆencia. Um ponto

interessante a ser destacado ´e que, mesmo se n˜ao for poss´ıvel resolver a Equa¸c˜ao

Diferen-cial obtida a partir da modelagem do problema, podemos analisar o fenˆomeno utilizando retratos de fase.

Palavras Chave: Sistemas de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias, campos de vetores,

re-tratos de fase, modelagem.

∗Trabalho realizado durante est´agio de inicia¸c˜ao cient´ıfica financiado pela FAPESP (processo n´umero 2013/09624-7)

†Emails: [email protected] e [email protected]

retratos de fas

________________________________________________________________________

Introdu¸

c˜

ao

E bem difundida a id´eia que Equa¸c˜oes Diferenciais modelam os mais variados

proble-mas em diversas ´areas do conhecimento, como: F´ısica, Qu´ımica, Engenharias, Biologia,

Medicina, Meteorologia, entre outros. Aqui abordaremos algumas dessas aplica¸c˜oes e

bus-caremos obter informa¸c˜oes topologicas a respeito das trajet´orias dos campos de vetores

usados para modelar determinados sistemas. Conforme descrito a seguir, utilizaremos a

Teoria Qualitativa das Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias para analisar modelos reais em

um sistema Massa-Mola, um circuito LRC, um modelo Presa-Predador, entre outros.

1

Sistema Massa-Mola:

Movimento Livre N˜

ao

Amortecido

Vamos supor que uma massa m seja conectada a uma mola flex´ıvel que est´a suspensa

verticalmente. Segundo [3], a distens˜ao da mola depender´a da massa, ou seja, quanto

maior o peso, maior ser´a a elonga¸c˜ao da mola. Pela Lei de Hooke, a mola exerce uma

for¸ca restauradora F oposta `a dire¸c˜ao da disten¸c˜ao e ao mesmo tempo proporcional ao

comprimento s da disten¸c˜ao, ou seja, F = ks, onde k ´e a constante de proporcionalidade

(tamb´em chamada de constante da mola).

Ap´os a massa m ser conectada e ter distendido a mola, ela atinge sua posi¸c˜ao de

equil´ıbrio, onde a for¸ca peso P = mg ´e igual `a for¸ca restauradora f , ou seja, mg = ks.

Al´em disso, se a mola for distendida por um comprimento x de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio,

a for¸ca restauradora ser´a dada por F = k(s + x), conforme mostra Figura 1. Supondo

que nenhuma for¸ca esteja agindo sobre o sistema, podemos afirmar que a for¸ca resultante

Figura 1: Sistema Massa-Mola

ser´a a soma entre a for¸ca restauradora e a for¸ca peso, ou seja:

Fr= F + P ⇒ ma = −k(s + x) + mg ⇒ m

d2x

dt2 = −ks − kx + mg ⇒ m

d2x

dt2 = −kx.

Vale destacar que o sinal negativo que acompanha k se deve pelo fato de que a for¸ca

restauradora est´a agindo no sentido oposto ao movimento da mola. Dividindo a ´ultima

equa¸c˜ao por m e tomando k

m = ω

2_{, temos:}

d2x

dt2 + ω

2_{x= 0. (1)}

A equa¸c˜ao (1) ´e chamada de Equa¸c˜ao Diferencial do Movimento Livre N˜ao

Amortecido. Al´em disso, as condi¸c˜oes iniciais x(t) = x0 e x′(t) = x1 deste sistema

representam, respectivamente, posi¸c˜ao e velocidades iniciais. ´E importante frisar que, se

x0 > 0, a posi¸c˜ao inicial da mola est´a abaixo da posi¸c˜ao de equil´ıbrio, e se x0 < 0, a

posi¸c˜ao inicial da mola est´a acima da posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Analogamente, x1 >0 indica

que a velocidade inicial est´a direcionada para baixo, enquanto x1<0 indica que a massa

est´a com a velocidade direcionada para cima. Se x1 = 0, dizemos que a massa partiu do

repouso.

Para analisarmos o comportamento da mola utilizando retratos de fase, precisamos

encontrar um sistema matricial que seja equivalente `a equa¸c˜ao (1). Para tal, tomaremos:

       u = x, v = x′_.

Assim, segue que nosso sistema ser´a

       u′ _{= v,} v′ _{= −ω}2_u. (2)

O sistema (2) pode ser escrito na forma matricial como:

X(u, v) =     u′ v′     =     0 1 −ω2 0         u v     .

Calculando o polinˆomio caracter´ıstico, temos:

        −m 1 −ω2 _−m         = m2+ ω2. (3)

O polinˆomio caracter´ıstico (3) ´e chamado de Equa¸c˜ao Auxiliar e suas ra´ızes s˜ao

m1 = ωi e m2 = −ωi. Como obtemos duas ra´ızes complexas com parte real nula, segue

que as trajet´orias no retrato de fase ser˜ao elipses.

A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Diferencial (de agora em diante abreviada por ED) (1) ´e dada

por x(t) = c1cos ωt + c2sen ωt e, sendo assim, o gr´afico de x(t) ´e peri´odico. Al´em disso, o

per´ıodo T da fun¸c˜ao pode ser calculado por T = 2π

ω e a frequˆencia f pode ser calculada

por f = 1

T =

ω

2π. A amplitude A das vibra¸c˜oes pode ser calculada por A =pc

2

1+ c22, ou

seja, o pontos de pico e de m´ınimo de x(t) s˜_{ao, respectivamente, A e −A. ´}E importante

destacar que A representa a distˆancia m´axima que a mola vai atingir abaixo da posi¸c˜ao de

equil´ıbrio, e −A a distˆancia m´axima que a mola ir´a atingir acima da posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Para que isso possa ficar mais claro, vamos analisar o seguinte exemplo: