11 SejamSejam c) Det ( c) Det ( d) Det d) Det (-e) Se Det ( e) Se Det ( Resolução: Resolução: a)
a) Falsa. Por exemplo:Falsa. Por exemplo:
(
(
)
)
. Det. Det
= 0 , mas = 0 , mas
b)
b) Falsa. Por exemplo:Falsa. Por exemplo:
(
(
)
)
(
(
)
)
temos temos
c)
c) Falsa. PoisFalsa. Pois
onde n é a ordem da matriz M. onde n é a ordem da matriz M.d)
d) Falsa. PoisFalsa. Pois
onde n é a ordem de M. onde n é a ordem de M.e)
e) Verdadeira, pois pelo teorema de Binet,Verdadeira, pois pelo teorema de Binet,
Alternativa: e.
Alternativa: e.
22 Uma fábrica decide distribuiUma fábrica decide distribuir os excedentes de três pror os excedentes de três produtos alimentícios A,dutos alimentícios A,
Para o transporte aos países de destino, a
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duasfábrica recebeu orçamentos de duas empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz
empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P:P:
a) Efetue o produto das duas
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa omatrizes, na ordem que for possível. Que representa o elemento a
elemento a1313 da matriz produto? da matriz produto?
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a
segunda empresa, aos dois países? segunda empresa, aos dois países? c) Para transportar os três
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida,produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, considerando que as duas ap
considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Porresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por quê?
quê?
5
5000 30 3000 0 11ºemºempprreessaa P
P 4
4000 0 22000 0 22ºemºempprreessaa
FGV
FGV AULA AULA 04 04 Resolução)Resolução)
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
(
(Ibmecrj Ibmecrj 2010) 2010) ee matrizes quadradas de ordem 2, matrizes quadradas de ordem 2, cujos determinantes sãocujos determinantes são denotados respectivamente por, Det (
denotados respectivamente por, Det ( Assinale a afirmativa correta.
Assinale a afirmativa correta. a) Se Det (
a) Se Det ( b) Det ( b) Det (
) e Det (
) e Det ( ). Seja). Seja é a matriz nula de ordem 2.é a matriz nula de ordem 2. ) = 0 então
) = 0 então == .. M
M ) = Det () = Det ( ) + Det () + Det ( ).). 3M
3M) = 3 Det () = 3 Det ( ).). ) = - Det ( ) = - Det ( ).). MN
MN) = 0 então Det ( ) = 0 ou Det () = 0 então Det ( ) = 0 ou Det ( ) = 0.) = 0.
(Fgv 2010) (Fgv 2010)
B e C a dois países da América Central, P
B e C a dois países da América Central, P11 e P e P22. As quantidades, em toneladas, são. As quantidades, em toneladas, são
descritas mediante a matriz Q: descritas mediante a matriz Q:
Resolução:
a) P . Q=
.
O elemento
representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o produto C para os dois países.b) O elemento
c) Empresa 1:130.000 + 95.000 + 135.000 = 360.000 Empresa 2:
100.000 + 70.000 + 100.000 = 270.000
Portanto a empresa 2 é mais vantajosa por apresentar o menor custo.
3 No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e
e
Resolução:
x: número de calças
y: número de camisas
(I)
(II){
Diferença (valor absoluto):
||
Alternativa: c (Fgv 2010)
camisas no valor total de R$ 140 000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça é R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa.
Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52 000,00.
Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calcas o de camisas é: a) 1450 b) 1500 c) 1550 d) 1600 e) 1650
4 Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z
Assinale a afirmativa correta:
a) parak = 1, possui mais de uma solução. b) para k = 3, não possui solução.
c) parak = 2, possui infinitas soluções. d) para k = 2, não possui solução.
e) parak = 2, possui uma única solução. Resolução:
D’=
[
]
Para
vem:
Observando as equações 1 e 3 podemos concluir que para k=2 o sistema linear é impossível.
Alternativa: d. 5 O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y:
Será impossível quando: a) Nunca b) p ≠ –6 e m = 1 c)p ≠ –6 e m ≠ 1 d) p =–6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1 Resolução: Se
S.P.D. D =
Portanto se–
Se
:{
Se
o sistema é impossível.Alternativa: e. 2 x y kz 1 2x k z 1 x y 2z 0 x 3y m 2x py 2 (Ibmecrj 2010) (Fgv 2010)
6 Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos números coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor.
A 24 B 18 C D 25 E 21
Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a a) 43. b) 44. c) 45. d) 46. e) 47. Resolução: A 24 B 18 C D 25 E 21
Primeira coluna e primeira linha:
Primeira coluna e diagonal principal:
Diagonal secundária e segunda coluna
Segunda linha e terceira linha
Portanto: D + E = 46
Alternativa: d
7 de solução (x, y) não seja
possível e determinado, o parâmetro k IN tem de ser igual a a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 2x k! y 2 21y 3 (Fgv 2010)
em cada linha, em cada
(Fgv 2010) Para que o sistema linear
1 k! x
Resolução:
{
Se D = 0, então não é S.P.D.
Com
(não convém) ou
Alternativa: b 8 Maria, que tem 52 anos, faz uma dieta alimentar e precisa tomar umnão pode consumir mais que 500 calorias, e precisa ingerir Nesse lanche, ela quer tomar leite desnatado e comer amêndoas. Dentre os dados fornecidos por sua
nutricionista, estão os seguintes:
a) Represente algebricamente as condições do problema, considerando as porções de leite desnatado e de amêndoas.
b) Represente graficamente as condições do problema no plano cartesiano x0y.
c) É possível Maria ingerir exatamente 500 calorias e 1200 mg de cálcio se ingerir somente leite desnatado e amêndoas no lanche da tarde? Justifique sua resposta.
Resolução:
Não mais que 500 calorias
No mínimo 1200 mg/dia de cálcio. a)
porção de leite desnatado
porção de amêndoas
{
Porção (quantidades aproximadas) Calorias(kcal) (mg por 100 g deTeor de cálcio alimento) Leite
desnatado 250 ml 100 300
Amêndoas 30 g 200 150
(Fgv 2010)
lanche às 15:30 horas, no qual
b) Gráfico: c) Resolver o sistema:
{
{
9 Diofante de Alexandria, que viveu cerca do ano 250, publicou na sua obra
Aritmética soluções eram
a) Uma das equações era esta: xy – 5x + 4y = 0, em que as variáveis x e y são números
naturais. Expresse a variável x em termos da variável y e tente, por substituição, encontrar todos os pares ordenados (x, y) que são soluções da equação.
b) Resolva o problema:
As irmãs Ana e Marta receberam de seu avô certa quantia cada uma, somente em notas, sem nenhuma moeda. Também não receberam nenhuma nota de R$ 1,00. A soma das quantias mais a diferença entre a quantia de Ana e a de Marta, mais o produto delas, é igual a 100. Se Ana, que e mais velha, recebeu uma quantia maior que a de Marta, quantos reais pode ter recebido cada uma?
Resolução: a)
Temos:
(Fgv 2010)extensos estudos sobre equações indeterminadas, em que as pares ordenados de números naturais.
Substituindo vem:
(não convém)
Portanto os países ordenados são: (0,0); (1,1); (6,3); (16,4) b) x : valor Ana y : valor Maria
x > y e (2+y) deve ser divisor de 100:
(não convém)
(não convém)
e
(não convém: R$ 2,00 +R$ 1,00)
e
(não convém pois x > y) Portanto temos:Ana: R$ 25,00 e Marta: R$ 2,00. Ou
Ana: R$ 10,00 e Marta: R$ 8,00.
10 ,cujos coeficientes são
números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo
também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.
11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1
para os elementos em que j ≤i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa,
A−1.
Resolução:
[
]
a) 3 posições para os elementos não nulos:
Os 3 elementos não nulos devem ocupar filas diferentes1ª Coluna
3 possibilidades 2ª Coluna
2 possibilidades 3ª Coluna
1 possibilidadeAssim, teremos no total: 3 x 2 x 1 = 6 maneiras Portanto a probabilidade pedida será:
b) A[
]
[
]
[
] [
] [
]
[
] [
]
Resolvendo os sistemas, obtemos:
[
]
11 Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é a) 1 2 3 4 4 3 2 1 2 4 6 8 5 6 7 8 (Fgv 2010)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
a)
não admite inversa, 1ª linha x (2) = 3ª linhab)
não admite inversa, 3ª linha = 1ª linha + 2ª linha c)
não admite inversa, 2ª linha = (2) x 1ª linhad)
não admite inversa, 3ª linha = (2) x 2ª linha – 1ª linhae)
(1ª L + 2ª L) ; (9 . 1ª L + 3ª L) ; (13 . 1ª L + 4ª L)
= [
]
=[
]
[
]
Alternativa: e. 1 2 3 4 1 4 5 16 2 6 8 20 5 6 11 8 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 2 3 4 1 - 6 7 8 9 10 - 11 12 13 14 15 - 16 12 Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz: 0 12 20 12 0 16 20 16 0 , onde cada aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto P j. No triângulo formado por esses
pontos, a mediana relativa a P2 mede:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Resolução:
[
]
é pitagórico
triângulo retângulo Então:
Alternativa: c 13 e a matriz na equação será: a) b) c) d) e) Resolução:
.
.
.
Portanto:
{
Alternativa: d 1 1 0 1 170 B , 10 x X y 16 A X B 5 5 0 10 10 5 10 10 5 10 (Ibmecrj 2009) (Fgv 2009) Sendo A 14 de incógnitas x, y e z. Sendo k um parâmetro real, então:
a) o sistema será impossível se ou b) o sistema será determinado se
c) o sistema será impossível se ou d) o sistema será indeterminado se ou e) o sistema será determinado se ou Resolução:
Se
[
]
Se k=0 (escalonando o sistema)
(1ª e 3ª linhas)
(Sistema impossível) Se k=1 (escalonando o sistema)
(1ª e 3ª linhas)
(Sistema impossível) Se k=-1 (escalonando o sistema)
(2ª e 3ª linhas)
Sistema indeterminadoAlternativa: c. kx y z 3 x ky z k x y kz 1 k 1 k 1 k 1 k 0 k 1 k 0 k 1 k 0 k 1
(Fgv 2009) Considere o sistema linear
15 Sendo n um número real, então o sistema de equações 1 1 1 nx y ny z x nz não possui solução se, e somente se, n é igual a
a) -1. b) 0. c) . d) . e) 1. Resolução:
:
Alternativa: a 16 sistema linear:a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear AX = B impossível, utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema AtAX =
AtB. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima.
Lembre-se de que as linhas de Mt (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de
M. Resolução: a)
1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 x 2x 2 2x x 2 x x 2 (Fgv 2008)Como não existe um ponto comum as 3 retas, o sistema não tem solução. b)
[
]
[]
[
]
[]
{
{
17 Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17. a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações.
b) Determine todas as soluções do sistema. c) Calcule o valor de 9x + 11y + 7z.
Resolução: a)
{
{
b)
}
c)
(Fgv 2007)18 "Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos são?." Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, no mundo islâmico e na Europa.
a) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um sistema de equações. b) Dê a solução geral do sistema.
c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava na solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático chinês deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves?
Resolução:
a) x = galo ; y = galinha ; z = frango
b)
{
{
(
)
c) K é múltiplo de 4:
19 As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 2aij = 3bij. Se o
determinante da matriz A é igual a 3/4, então o determinante da matriz B é igual a a) 0. b) 4 27 c) 9 8 d) 2. e) 243 64 Resolução: Como
(
)
(Fgv 2007) (Fgv 2007)20 Sabe-se que o sistema linear 2 2 log ( )B x y x ay a nas variáveis x e y, é possível e
indeterminado. Nessas condições, B a é igual a: a) 2 b) c) d) e) Resolução: