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INTRODUÇÃOAtualmente, na prática da engenharia, os processos industriais de fabricação estão sendo modelados matematicamente de modo crescente com o emprego de computadores. O modelamento analítico ou numérico dos processos de fabricação tem grande potencial para aumentar a velocidade e qualidade dos processos, como também reduzir os custos atravez dos seguintes fatores :
- redução do número de iterações nas tentativas experimentais (erro-acerto), - permite a construção rápida de um modelo ( ou prototipo),
- gera um embasamento físico para um controle de tempo real do processo, - melhora a visualização do processo.
Os processos de fabricação envolvem algumas das combinações dos seguintes tipos de comportamento dos materiais :
- escoamento do tipo fluido (fundição de metais, injeção de polímeros, etc.) - transferência de calor (solidificação de metal fundido, conformação a
quente de metais, compactação a quente e sinterização de pós metálicos ou cerâmicos, soldagem, tratamentos térmicos de aços)
- deformação plástica (conformação de metais, usinagem dos metais)
- evolução da microestrutura e propriedades (fundição de metais, soldagem, conformação a quente de metais, tratamentos térmicos ) .
O Modelamento do Processo termo-mecânico requer a formulação matemática adequada para as seguintes condições :
a- comportamento do material durante o processo analisado (deformação elástica e/ou plástica, escoamento de fluido e transferência de calor) , e b- condições de contorno apropriadas para o problema (tensões e
deformações em extremidades livres ou de contato, atrito na interface peça-matriz de conformação ou cavaco e ferramenta, etc.)
O modelamento matemático analítico ou simulação numérica permite o cálculo das "variáveis de campo" como tensões de escoamento plástico, componentes de tensões e de deformações, temperatura, etc., das quais podemos prever os seguintes resultados de interesse na análise dos processos como :
- distorções geométricas do produto e tensões residuais,
- parâmetros da microestrutura para previsão do limite de escoamento, tenacidade, etc. : tamanho de grão, estado do precipitado, etc.,
- defeitos microestruturais : acabamento superficial, porosidades e trincas. Os métodos ou técnicas de solução matemática dos modelos de processos podem ser classificados em,
- métodos analíticos
- simulação numérica com malhas (elementos finitos e diferenças finitas) A técnica apropriada depende do tipo de condições de contorno e do nivel de precisão desejada na solução do problema.
A análise dimensional também é uma ferramenta util para verificar a consistência da solução e para transferir as soluções de um material para outro. Concluindo, podemos definir o Modelamento do Processo como sendo uma descrição matemática do comportamento físico do material durante o seu processamento.
1. ANÁLISE TENSORIAL
Embora os processos de conformação de metais sejam diversos, o principal objetivo é produzir uma mudança de forma desejada e uma peça sem defeitos internos. Portanto, como mencionado acima, os aspectos de maior importância para o engenheiro são: calcular as forças e tensões necessárias para produzir a operação, calcular as deformações produzidas internamente no material trabalhado bem como suas propriedades. Deve-se reconhecer que as propriedades do material afetam o processo, e o processamento altera as propriedades do material.
1.1 Tensão e Tensor Tensão
A conformação de metais involve deformação, e portanto, a análise dos processos de conformação requer o estudo de tensão e da deformação.
Geralmente, a tensão é definida considerando-se o “estado de tensão num ponto” como mostrado abaixo:
δF P
δA
A força δF atua no ponto P dentro da área δA. A definição de tensão é dada por : S = lim δF
δA→0 δA
Considerando-se as componentes normal e tangencial da força,
temos a definição de tensão normal,
e tensão tangencial ou tensão de cisalhamento, δA δFn δF δFt P A Ft δ δ = τ A n F n δ δ = σ
Exemplo: tração simples
Se o ponto P for representado por um cubo elementar de dimensões dx , dy e dz , e que se encontra em equilíbrio, o caso geral será:
Cada uma dessas forças F1, F2 e F3 poderão ser decompostas nas componentes
paralelas aos eixos de coordenadas x, y, z .
Portanto, o Estado de Tensão no ponto P dentro do material, no cubo elementar, é dado por 9 componentes de tensão: σxx, σyy, σzz, τxy, τyx, τyz, τzy, τxz, τzx.
Esse conjunto de tensões é chamado Tensor Tensão de Cauchy e é designado por σij.
Na notação tensorial temos:
z y x dz dy dx F1 F2 F3 • P z y x zz
σ
F F y x A F x = σ A Tensor Tensão de Cauchy τ σ τ τ τ σ = σ xy yy zy zx yx xx ijFig.1 – Cubo elementar do sólido em equilíbrio com as componentes de tensões.
Definição de Tensor: “é uma grandeza física que se transforma, de acordo com determinadas Leis, com a mudança do sistema de coordenadas”. O número de componentes do tensor é dado por c = 3n onde n é a ordem do tensor. Por exemplo:
massa → tensor de ordem zero → c = 30 = 1 componente
força → tensor de primeira ordem → c = 31 = 3 componentes
tensão → tensor de segunda ordem → c = 32 = 9 componentes
módulo de elasticidade → tensor de quarta ordem → c = 34 = 81 componentes
1.2 Tensão Resultante num Plano Qualquer
seja o plano ABC com normal N e cuja tensão resultante é σR. Essa tensão σR
poderá ser decomposta em σRx , σRy , σRz , de modo que :
O equilíbrio implica na ausência de efeitos de translação e rotação, pois estamos considerando apenas os efeitos de mudança de forma. Para equilíbrio de forças devemos ter:
sabendo-se que temos as relações entre as áreas projetadas e a área ABC, AOBC = AABC cos
AOAC = AABC cos
AOAB = AABC cos
A C B x y z σR σRz σRy σRx
N Daqui em diante simplificaremos a notação para : σx = σxx σy = σyy σz = σzz - σ y - σ z - σx σR2 =
∑Fx = 0 → - σx . AOBC + σRx . AABC - τzx . AOAB - τyx . AOAC = 0
∑Fy = 0 → = 0
substituindo acima e rearranjando teremos: σRx = σRy = σRz = ou na notação tensorial:
(
)
(
)
(
)
= σ σ σ z , N cos y , N cos x , N cos Rz Ry Rx Cossenos DiretoresDefine-se os Cossenos Diretores da direção normal ao plano qualquer como,
temos que:
= 1
1.3 Equilíbrio de Momentos
Para equilíbrio de momentos, isto é, não levando em conta a rotação e a translação, devemos ter :
ΣMx( P ) = 0 , isto é, ( N , x ) ( N , z ) ( N , y ) x y z N ( l, m, n ) l = cos m = cos n = cos δy δz δx • P y z x
= ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ + 2 2 1 2 2 1 y z x y y y z x y y yx yx yx yx δ δ δ τ τ δ δ δ τ τ 2 2 1 2 2 1 x z y x x x z y x x xy xy xy xy δ δ δ τ τ δ δ δ τ τ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ + = simplificando, temos,
Portanto, a condição para equilíbrio de momentos é que as tensões de cisalhamento sejam simétricas. De modo análogo temos: τyz = τzy e τxz = τzx. Portanto, o Tensor
Tensão tem somente seis componentes independentes, a saber : σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx .
1.4 Equações Diferenciais de Equilíbrio
As equações diferenciais de equilíbrio de forças válido para qualquer ponto dentro do corpo sólido, conforme Fig.1 acima, são as seguintes ,
Onde X, Y e Z são as componentes das forças de campo como gravitacional, centrífuga ou magnética. Na ausência das forças de campo, as equações acima se simplificam para as seguintes ,
No caso de Estado Plano de Tensão as equações se simplificam ainda mais pois temos σz = τxz = τyz = 0 , e portanto, as equações se reduzem para as duas primeiras.
= σij o Tensor Tensão é simétrico
1.5 Tensão Normal Num Plano Qualquer
Portanto, σN = Obs: ângulo entre duas retas no espaço:
1.6 Tensão de Cisalhamento Num Plano Qualquer
= σ = σ R R v v
Portanto, o módulo da componente σRx deverá ser igual a soma da
decomposição de σN e τ no eixo x, isto e’:
s N x Nx Rx l . l . +τ σ = τ + σ = σ então, τ σ − σ = .l l Rx N s de modo análogo, τ σ − σ = τ σ − σ = .m e n .n m Rz N s N Ry s N ( l, m, n ) σR σN τ ( l’, m’, n’ ) σN σR τ ϕ σN = σR cos ϕ = σR ( ll’ + mm’ + nn’ ) = ( σRl’ ) l + ( σRm’ ) m + ( σRn’ ) n ( l, m, n ) σN σR τ ( ls, ms, ns )
Pela soma vetorial:
x y z r ( lr, mr, nr ) s ( ls, ms, ns ) cos ϕ = ϕ
(
) (
)
(
)
(
)
= τ σ + σ + σ = + + σ = τ ∴ = τ s R s R s R s s s R l 'l m m' n n' 'l l m' m n' nNa notação matricial, a tensão de cisalhamento no plano considerado é dado por,
[
]
[
]
= τ ∴ σ σ σ = τ . . n m l . n m l s s s Rz Ry Rx s s s De modo análogo,[
]
σ τ τ τ σ τ τ τ σ = σ n m l . . n m l z zy xz zy y xy xz xy x N ou σN =1.7 Rotação do Sistema de Coordenadas
Dado o Tensor Tensão σij no sistema de coordenadas x, y, z, queremos
determinar o Tensor Tensão σij’ de um movimento para novas coordenadas x’, y’, z’.
σij → σij’ ( l, m, n ) ( l’, m’, n’ ) ( ls, ms, ns ) ϕ σN σR τ Portanto, z z’ y y’ x x’ σ′Rx σ′Rz σ′Ry
Plano π O plano π é perpendicular a x’, logo,
No plano π atuará uma resultante σ’R tal que N ( l1, m1, n1 ) e :
Por outro lado, a componente de σR′ na direção x’ será σx que e’ coincidente
com a normal a π. 1 Rz 1 Ry 1 Rx x Rx'=σ '=σ l' +σ 'm +σ 'n σ
substituindo-se as equações acima, temos,
1 1 xz 1 1 yz 1 1 xy 2 z 2 y 2 x , x = σ l1 + σ m1 + σ n1 + 2τ l m + 2τ m n + 2τ l n σ
De modo analogo temos σy’, σz’, etc…
Da análise matemática, sabemos que a mudança de coordenadas pode ser determinada por: ∑ ∑ σ = σ σ = σ T ij im jn mn ij ij' R. .R ou ' l l
onde R e’ a matriz rotação,
3 2 1 3 2 1 3 2 1 T n n n m m m l l l R e R = = “Matriz Transposta”
l1 = cos ( x’, x ) l2 = cos ( y’, x ) l3 = cos ( z’, x )
m1 = cos ( x’, y ) m2 = cos ( y’, y ) m3 = cos ( z’, y )
n1 = cos ( x’, z ) n2 = cos ( y’, z ) n3 = cos ( z’, z )
1.8 Tensões Principais
Girando o plano ABC até que σN ≡ N , isto e’ τ = 0 neste plano , então :
σN =
Neste caso, a tensão σi = σR será chamada de tensão principal. A tensão
principal atua no plano principal cuja direção de sua normal e’ a direção principal. Ou seja, para qualquer estado de tensão sempre existirá um sistema principal de coordenadas cujas direções atuam as tensões principais σi , i = 1, 2, 3. Isto e’, existem
z yz xy Rz' = τ + τ + σ σ xz xy x Rx' = σ + τ + τ σ yz y xy Ry' = τ + σ + τ σ
tres direções principais distintas. As componentes de cada tensão principal com relação ao sistema de coordenadas x, y, z qualquer, sera’:
σNx = σRx = σi cos ( i, x )
σNy = σRy = σi cos ( i, y )
σNz = σRz = σi cos ( i, z )
Por outro lado temos:
σRx = σx cos ( i, x ) + τxy cos ( i, y ) + τxz cos ( i, z ) = σi cos ( i, x )
σRy = τxy cos ( i, x ) + σy cos ( i, y ) + τyz cos ( i, z ) = σi cos ( i, y )
σRz = τxz cos ( i, x ) + τyz cos ( i, y ) + σz cos ( i, z ) = σi cos ( i, z )
Este sistema de equações escrito na forma matricial fica:
(
)
(
)
(
)
= σ − σ τ τ τ σ − σ τ τ τ σ − σ 0 0 0 ) z ,i ( cos ) y ,i ( cos ) x ,i ( cos i z yz xz yz i y xy xz xy i xcuja solução trivial e’ : cos A solução não trivial requer que:
(
)
(
)
(
)
= σ − σ τ τ τ σ − σ τ τ τ σ − σ 0 0 0 i z yz xz yz i y xy xz xy i x Desenvolvendo temos: σi3 - ( σx + σy + σz ) σi2 + ( σx σy + σx σz + σz σy - τxy2 - τxz2 - τyz2 ) σi - - σx σy σz - 2 τxy τxz τyz + σx τyz2 + σy τxz2 + σz τxy2 = 0ou, de modo simplificado:
é uma equação do 3o grau com 3 raizes : σ1, σ2, σ3 que são as tensões principais.
O Tensor Principal será:
= σ 0 0 0 0 0 0 ij
Portanto, reduzimos de 9 para 3 componentes distintas. Isto é, o Estado de Tensão fica determinado conhecendo-se as tres tensões principais.
Obs.: se σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 →
se σ1 = σ2 ≠ σ3 →
se σ1 = σ2 = σ3 →
1.9 Tensões Normal e Tangencial em Termos das Tensões Principais
n . n . 0 0 m . 0 m . 0 l . 0 0 l . 3 3 Rz 2 2 Ry 1 1 Rx σ = σ + + = σ σ = + σ + = σ σ = + + σ = σ
por outro lado, σN = σRx l + σRy m + σRz n , então:
σN =
de modo análogo, para τ com direções ( l’, m’, n’ ), τ = σRx l’ + σRy m’ + σRz n’
τ = σ1 l l’ + σ2 m m’ + σ3 n n’
temos também que: σR2 =
∴ τ2 =
= ∴ τ2 =
1.10 Invariantes do Tensor Tensão
Os coeficientes I1 , I2 , I3 da equação principal são chamados de invariantes
pois não se alteram com a mudança do sistema de coordenadas, isto e’: I1 =
σ3
Seja o plano ABC com direções ( l, m, n ) em relação ao sistema principal de coordenadas 1, 2, 3.
A resultante σR no plano ABC tera’ as
componentes: σ1 σ2 σN τ N ( l, m, n ) B A C
I2 =
I3 =
em outras palavras, I1 = σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 e’ invariante à
transformações de coordenadas ortogonais, assim como também I2 e I3 mantém o
valor constante.
1.11 Pressão Média
Define-se Pressão Média ou Pressão Hidrostática,
p
m = = = −
σ
portanto, I1 = - 3 p = 3 σm
1.12 Tensor Esférico e Tensor Desviador
Podemos decompor o tensor σij em duas componentes a saber:
σij = onde: σijE = Tensor σijD = Tensor = σ = σ D ij E ij 0 0 0 0 0 0
chamando σx’ = σx - σm ; σy’ = σy - σm ; σz’ = σz - σm , podemos reescrever
σijD da seguinte forma:
os invariantes do Tensor Esférico são:
3 m 2 1 E 3 2 m 2 1 E 2 m 1 E 1 3 3 I I 3 3 I I 3 I I σ = = σ = = σ = = σ τ τ τ σ τ τ τ σ = σ ' ' ' z yz xz yz y xy xz xy x D ij
os invariantes do Tensor Desviador são:
(
)
(
)
(
)
0 ' ' ' ID x y z x m y m z m 1 =σ +σ +σ = σ −σ + σ −σ + σ −σ =[
]
= τ + τ + τ + σ σ − σ σ − σ σ − = − = 2 xz 2 yz 2 xy z x z y y x 2 1 2 D 2 ' ' ' ' ' ' 3 I I I(
) (
)
(
)
{
}
2 xz 2 yz 2 xy 2 x z 2 z y 2 y x 6 1 σ −σ + σ −σ + σ −σ +τ +τ +τ =(
) (
) (
)
{
2 2 2}
0 27 1 I 27 2 3 I I I I 2 1 3 3 1 2 3 2 1 3 1 2 1 3 D 3 = σ − σ − σ + σ − σ − σ + σ − σ − σ = + − =1.13 Tensão Equivalente ou Representativa
O Estado de Tensão pode ser definido pelo invariante de 2a ordem I2D como,
( )
σ 2 =onde: σ = Tensão Equivalente ou representativa do estado de tensão. então: σ =
para tensões principais: σ =
Exemplos:
a) Para tração simples: σ2 = σ3 = 0 ∴ σ =
b) Cisalhamento puro: σx = σy = σz = 0 σ =
{
+ + +( )
τ}
2 = = 1 2 xy 6 0 0 0 2 1 σ = = σ = σ1.14 Círculo de Mohr
O Círculo de Mohr também é conhecido como círculo das transformações, i.e’, representa o lugar geometrico das tensões de todos os planos possíveis dentro do cubo elementar. Já sabemos que:
σR2 = σN2 + τ2 (1)
para eixos de coordenadas principais temos: σR1 = σ1 cos ( N, 1 )
σR2 = σ2 cos ( N, 2 ) (2)
σR3 = σ3 cos ( N, 3 )
substituindo (2) em (1),
σR2 = σN2 + τ2 = σ12 cos2 ( N, 1 ) + σ22 cos2 ( N, 2 ) + σ32 cos2 ( N, 3 )
sabemos também que:
σN = σ1 cos2 ( N, 1 ) + σ2 cos2 ( N, 2 ) + σ3 cos2 ( N, 3 )
e cos2 ( N, 1 ) + cos2 ( N, 2 ) + cos2 ( N, 3 ) = 1 Temos então 3 equações com 3 incognitas, e portanto:
) ( ) ( ) ( ) 1 , N ( cos 1 3 1 2 3 2 3 2 N 2 2 N 2 σ + σ σ − σ σ σ + σ + σ σ − τ + σ = ) ( ) ( ) ( ) 2 , N ( cos 2 1 2 3 1 3 1 3 N 2 2 N 2 σ + σ σ − σ σ σ + σ + σ σ − τ + σ = ) ( ) ( ) ( ) 3 , N ( cos 3 2 3 1 2 1 2 1 N 2 2 N 2 σ + σ σ − σ σ σ + σ + σ σ − τ + σ = rearranjando, temos: 3 2 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 N ( )( )cos (N,1) 2 2 + σ −σ σ −σ −σ σ σ +σ = τ + σ +σ − σ 1 3 2 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 3 N ( )( )cos (N,2) 2 2 + σ −σ σ −σ −σ σ σ +σ = τ + σ +σ − σ 2 1 2 3 2 3 1 2 2 1 2 2 2 1 N 2 2 +(σ −σ )(σ −σ )cos (N,3)−σ σ σ +σ = τ + σ − σ +σ
A primeira equação define um círculo no sistema de coordenadas τ , σN para
certo valor de cos ( N, 1 ). O raio correspondente do círculo será :
R1 = ,
cujo centro do círculo terá coordenadas
(
;)
. Os valores máximo e mínimo serão:( )
( )
2 R 2 ) 1 , N ( R 1 2 min 1 min 1 σ − σ = → π = →( )
R1 max → (N,1)=0 2 3 2 +σ σde modo análogo temos R2 e R3. Então podemos construir os 3 círculos:
A localização do ponto P que representa o estado de tensão no plano dado, e' obtido através da representação geométrica. O método de construção geométrica e' mostrado na figura abaixo. Partindo-se dos cossenos diretores que definem o plano considerado, obtem-se os ângulos entre a normal ao plano e as direções principais 1 e 3, isto e', traçamos os ângulos (N,1) e (N,3) conforme figura abaixo. Os pontos de cruzamento das retas dos referido ângulos com os círculos, definem os raios dos arcos que são traçados até se cruzarem no ponto P.
0 R1 1 2 3 0 ( R3 )min ( R2 )max ( R1 )min
Qualquer plano dentro do cubo elementar estará representado por um ponto P dentro do círculo maior e fora dos outros dois circulos menores:
2 3 1 max σ − σ = τ
Obs.: as direções principais são determinadas pelas equações:
= + + + = + + = + 00 0 onde: li2 + mi2 + ni2 =1
(
i)
i(
i)
i(
i)
i cos x, ; m cos y, ; n cos z,
l = σ = σ = σ
O círculo de Mohr para o Tensor Desviador será :
1 0 σN P • • • R1 R3 τ Representa as tensões no plano ABC cujos cossenos diretores são: l = cos ( N, 1 ), m = cos ( N, 2 ), σ1; σ2; σ3 são tensões principais 0 σ3 σ1 σN τ τmax
σ =
Círculo de Mohr para “Estado Plano de Tensões”
Se uma das tres tensões (σx, σy, σz) for zero, por exemplo σz = 0, temos o
estado plano de tensões. Nesse caso, as transformações de tensões serão como segue:
0 σN para σij → τ τ ← para σijD σ1’ = σ2’ = σ3’ = σx σx σy σy τyx τyx τxy τxy φ φ σx’ τx’y’ 0 τ 2 φ σN σy, τyx σy’, τy’x’ σx, τxy σx’, τx’y’ φ x y σy’ σy’ σx’ σx’ τx’y τx’y τy’x τy’x x y z σz = 0 τxz = τyz = 0 σ σ τxy τyx
1.15 Tensões no Octaedro
(
) (
) (
)
(
)
= = = = 1 , N cos ' 3 , N 2 , N 1 , NA tensão normal à face do octaedro será :
= = σ ∴ = σ oct oct
A tensão do cisalhamento será : 2 oct 2 R oct 2 =σ −σ τ mas, 2 3 R 2 2 R 2 1 R 2 R =σ +σ +σ σ
cos (N,1) cos (N,2) 2cos2(N,3)
3 2 2 2 2 2 1 +σ +σ σ = 3 2 3 2 2 2 1 +σ +σ σ =
substituindo-se acima, temos:
3 1 oct 2 oct 2 R oct = τ ∴ σ − σ = τ σ3 σ1 σ2 3 2 1 N σoct τoct
na forma geral (sistema x, y, z qualquer): 3 z y x m oct σ + σ + σ = σ = σ 3 1 oct = τ portanto, D 2 oct I 3 2 =
τ também é um invariante. Em outras palavras, a tensão
equivalente σ será :
(
) (
) (
)
2 1 3 2 3 2 2 2 1 oct 2 1 2 3 τ = σ −σ + σ −σ + σ −σ = σIsto é, a Tensão Equivalente σ representa a tensão de cisalhamento no plano da face do octaedro. Pelo critério de Von Mises, o escoamento plástico se inicia quando a tensão de cisalhamento τoct atinge um valor crítico que pode ser determinado
pelo teste de tração simples :
oct 0 2 3 τ = σ = σ
onde σ0 = Limite de Escoamento.
2. ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES
Quando um solido e’ deformado, pontos dentro dele sao deslocados. A deformacao é definida em termos de tais deslocamentos, mas de tal modo que os efeitos de movimentos de corpo rigido como translacao pura ou rotacao pura sao excluidos.
Considere inicialmente um segmento AB de comprimento l no solido. Com 0 a ação do carregamento, A move-se para A’ e B para B’, e todos os pontos entre A e B também se movem para posições relativas entre A’ e B’, então um estado de deformação existe quando l ≠l0. Embora ocorre ambos translação e rotação, e’ a mudança de comprimento que é utilizada para definir deformação normal como :
0 0 e l l = = A A’ B’ B l0
Para grandes deformações, uma definição alternativa mais conveniente foi proposta por Ludwik: deformação verdadeira ou logarítmica : ε ,
ln d = ε ∴ = ε
Essa definição é fisicamente mais razoável que a definição anterior de engenharia pois para uma barra de comprimento l corresponderia a mesma 0 deformação ε = para um l =2l0 de extensão, ou
2 0 l
l = de compressão, pois ambas produzirão o mesmo grau de encruamento.
2.1 Deformação Uniaxial ou 1-D
A deformação uniaxial pode ser representada pela deformação uniaxial em uma barra como mostramos abaixo. Os pontos A e B iniciais mudam para A’ e B’.
Deformação em uma barra :
du dx x u u ∂ ∂ + dx x u dx ∂ ∂ +
A Deformação Normal ou Linear de engenharia é dada por :
= − ∂ ∂ + = = dx dx dx x u dx ex isto é , se u = u ( x ) , então ∆ = ∂ ∂ = ∆ x x u u 2.2 Deformação Biaxial ou 2-D
A deformação em duas dimensões ou 2-D é representada pelas deformações normal e de cisalhamento ou angular que se verificam no plano.
• • A B • • A’ B’ u P x dx
Deformação no Plano y x y x u u u u u u v v v v v v ∆ + ∆ = ∆ + =
Nesse caso, ux = u ( x, y ) , então
∆ + ∆ = ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ ∆ + ∆ = ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ y e x e y y u x x u u y e x e y y u x x u u yy yx y y y xy xx x x x Na notação matricial: ∆ ∆ = ∆ ∆ y x u u y x
2.3 Deformação Triaxial ou 3-D : O Tensor Deformação
Para o caso geral de deformação, analisamos a deformação num cubo elementar do sólido como mostrado abaixo. O sólido está sob estado geral de tensão . O ponto A no centro da face z do cubo muda para A’ e assim por diante.
Deformação em um cubo elementar
A A’ B B’ u + ∆u ∆y ∆x 0 x y z ∆x ∆y ∆z ∆u A A’ ∆u ∆ux ∆uy ∆uz
Admitindo-se ux = u ( x, y, z ) , uy = u ( x, y, z ) , uz = u ( x, y, z )
funções continuas então, para u pequeno, isto e’, ∆u , temos da análise matemática :
= ∆ux = ∆uy = ∆uz na notação matricial : ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ z y x e e e e e e e e e u u u zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x
Tensor Deformação Geral
onde: ∆ ∆ ≅ ∂ ∂ = xx
e desprezando-se os termos de segunda ordem
∆ ∆ ≅ ∂ ∂ = yy e ″ ∆ ∆ ≅ ∂ ∂ = zz e ″ ∆ ∆ ≅ ∂ ∂ = xy e ″ ∆ ∆ ≅ ∂ ∂ = xz e ″ etc.
O Tensor Deformação Geral é :
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = z u y u x u z u y u x u z u y u x u e e e e e e e e e e z z z y y y x x x zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij
onde exx , eyy , ezz são Deformações Normais ou Lineares e exy , exz , ezy , ezx , eyx , eyz
y u y u DA ' DD e x x xy ∂ ∂ ≅ ∆ ∆ ≅ ≅ x u BA ' BB e Y yx ∂ ∂ ≅ ≅ Destacamos tres tipos de mudança angular de forma:
Através das propriedades de adicao de matrizes, podemos decompor o Tensor Deformação Geral em duas partes:
(
)
(
)
= ∴ − + + = ij ji ij ji ij ij e e e 2 1 e e 2 1 e onde : ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε i j j i ij i j j i ij x u x u 2 1 x u x u 2 1Portanto, o Tensor Deformação no sistema de coordenadas cartesianas é dado por :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + + + + = = ε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ijObservar que o Tensor Deformação εij é um pois εxy = εyx,
εyz = εzy, εzx = εxz e o Tensor Rotação ωij é , i.e, ωij = - ωji . Se ωij = 0
a deformação é dita irrotacional.
y x C’ C B’ B D’ D A ∆x ∆y ∆ux ∆uy exy e yx x y x y x y exy = eyx exy = - eyx exy = γ eyx = 0 γ
Tensor Deformação Geral
Tensor Rotação i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Tensor Deformação i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 u1 = ux u2 = uy u3 = uz x1 = x x2 = y x3 = z
O Tensor Rotação é : ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ω ω ω ω ω ω ω ω ω = ω 0 y u z u 2 1 x u z u 2 1 y u z u 2 1 0 x u y u 2 1 x u z u 2 1 x u y u 2 1 0 z y z x z y y x z x y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij
Define-se a Deformação de Cisalhamento de Engenharia γ como sendo a mudança angular total de um ângulo reto das faces do cubo elementar, portanto:
xy yx xy yx xy xy =e +e =ε +ε =2ε γ ou ∂ ∂ + ∂ ∂ = γ ∂ ∂ + ∂ ∂ = γ ∂ ∂ + ∂ ∂ = γ yz xz xy γxy = exy + eyx ∆ ∆ ≅ = ∴ ∆ ∆ ≅ ∆ + ∆ ∆ = θ tg e x u u x u tg yx y x y
Obs.: As componentes do tensor deformação εxx , εyy , εzz são chamadas de
componentes da Deformação Linear pois representam a mudança no comprimento da linha. O Tensor Deformação Pura pode ser escrito como:
ε γ γ γ ε γ γ γ ε = ε ε ε ε ε ε ε ε ε = ε zz yz xz yz yy xy xz xy xx zz yz xz yz yy xy xz xy xx ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y x C’ C B’ B A exy eyx • eyx γxy A B’ B ∆ux ∆uy ∆x θ eyx
Representação Geral de um Sólido em Movimento com Deformação
O Estado Geral do Movimento com Mudança de Forma ou Deformação de um sólido pode ser decomposto nos seguintes tipos simples de movimento e deformação:
= + + +
Deformação Não-Linear
O Tensor Deformação Não-Linear pode ser escrito da seguinte forma, considerando-se os termos de segunda ordem ou quadráticos. Definindo-se as componentes do deslocamento como sendo u = ux , v = uy , w = uz teremos :
∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ij z w z v z u z w y w z v y v z u y u z w x w z v x v z u x u z w y w z v y v z u y u y w y v y u y w x w y v x v y u x u z w x w z v x v z u x u y w x w y v x v y u x u x w x v x u 2 1 z w y w z v 2 1 x w z u 2 1 y w z v 2 1 y v x v y u 2 1 x w z u 2 1 x v y u 2 1 x u
Tensor Deformação em Coordenadas Cilíndricas
Definindo-se ur , uθ e uz como sendo as componentes do deslocamento nas
direções r , θ , z no sistema de coordenadas cilíndricas, temos as seguintes deformações : r ur r ∂ ∂ = ε
O Tensor Rotação wij é :
Para Estado Plano de Deformações , isto é, εz = 0 , temos,
z u r u u r 1 z z r ∂ ∂ = ε + θ ∂ ∂ = ε θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ε − ∂ ∂ + θ ∂ ∂ = ε θ θ θ θ θ z u r u 2 1 u r 1 z u 2 1 r u r u u r 1 2 1 r z rz z z r r ∂ ∂ − θ ∂ ∂ = = − θ θ θ z u u r 1 2 1 w w z z z ∂ ∂ − ∂ ∂ = = − r u z u 2 1 w w r z z r r z θ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = − θ θ θ r r r u r 1 r ) u r ( r 1 2 1 w w Z εz εr εθ r ur r ∂ ∂ = ε r u u r 1 r + θ ∂ ∂ = ε θ θ − ∂ ∂ + θ ∂ ∂ = ε θ θ θ r u r u u r 1 2 1 r r
2.4 Rotação do Sistema de Coordenadas
Do mesmo modo que para tensões, o tensor deformação pode ser transformado com um movimento do sistema de coordenadas x, y, z → x’, y’, z’ , de acordo com:
T ij ij'=R.ε .R
ε
também, do mesmo modo que tensões, obtemos:
cujas raízes são : ε1 , ε2 , ε3 → deformações principais
= ε 0 0 0 0 0 0 ij Matriz Principal
Invariantes do Tensor Deformação
Os coeficientes da equação acima são os invariantes do tensor deformação, isto é : 3 2 1 1 J = = ε + ε + ε 1 3 3 2 2 1 2 J = = ε ε + ε ε + ε ε 3 2 1 3 J = = ε ε ε
Deformação Média Normal
3 3 3 2 1 zz yy xx m ε + ε + ε = ε + ε + ε = ε
Direção ( l, m, n ) das Deformações Principais ε1 , ε2 , ε3 :
(
)
(
)
(
)
= ε − ε + γ + γ = γ + ε − ε + γ = γ + γ + ε − ε 0 n 2 m l 0 n m 2 l 0 n m l 2 i zz xz zx yz i yy xy xz xy i xxportanto, para cada deformação principal temos tres cossenos diretores, isto é : 3 3 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 →l ,m ,n ; ε →l ,m ,n ; ε →l ,m ,n ε
2.5 Deformação Normal (linear) num Plano Qualquer
Dado o tensor deformação εij, determinamos a deformação normal εnn numa
direção qualquer ( l, m, n ) pela equação:
= εnn
2.6 Tensores Deformação Esférico e Deformação Desviadora
Podemos decompor o tensor deformação em: D ij E ij ij =ε +ε ε onde εijE = tensor εijD = tensor ε ε ε = ε m m m E ij 0 0 0 0 0 0 ε − ε γ γ γ ε − ε γ γ γ ε − ε = ε m zz yz xz yz m yy xy xz xy m xx D ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Propriedade da deformação normal desviadora:
0 ' ' ' ' ' ' zz yy xx m zz zz m yy yy m xx xx = ε + ε + ε ⇒ ε − ε = ε ε − ε = ε ε − ε = ε
Tensor Desviador para deformação principal será :
ε − ε − ε ε − ε − ε ε − ε − ε = ε 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2 2 1 3 3 1 2 3 2 1 D ij
Os invariantes do Tensor Esférico são: zz yy xx 1 E 1 J J = =ε +ε +ε 3 J J 2 1 E 2 = 27 J J 3 1 E 3 =
Os invariantes do Tensor Desviador são: 0 J1D = → 3 J J J 2 1 2 D 2 = − 3 1 2 1 3 D 3 J 27 2 3 J J J J = − + 2.7 Deformação Volumétrica
Considere o cubo elementar do sólido como visto anteriormente, cujas dimensões são l1 , l2 , l3 como mostrado abaixo,
3 2 1 J J J v v v v + + = = ∆ ∴ = ∆
desprezando-se os produtos de ordem superior, a razão de variação no volume e' , = ≅ ε = ∆ v v v
onde εv é a deformação volumétrica ou dilatação cúbica que é a mudança no volume por unidade de volume:
3 v m ε = ε
Portanto o tensor deformação será a soma do tensor desviador mais o tensor dilatação, isto e’:
ε εij i jD ε ε ε i j E i j D m = + = +
2.8 Círculo de Mohr das Deformações
De modo análogo às tensões, podemos construir o Círculo de Mohr das Deformações como apresentado abaixo :
deformação de cisalhamento máximo: γmax =
2.9 Deformações no Octaedro
De modo análogo à tensões, a deformação normal ou linear no plano do octaedro é, 3 1 ) 3 , ( cos ) 2 , ( cos ) 1 , ( cos l = l = l = 3 J 3 1 oct = = ε
a deformação angular ou de cisalhamento,
3 2
oct =
γ
2.10 Deformação Equivalente ou Representativa
= γ = ε oct 2 2
2.11 Trabalho de Deformação Plástica
oct oct oct oct .d 2 3 d 2 2 . 2 3 d . dω= σ ε= τ γ = τ γ 0 • • • • (linear)
2.12 Comparação entre Deformação de Engenharia e Deformação Logarítmica 1 e 0 0 0 = − − = l l l l l → deformação de engenharia
(
1 e)
ln ln 0 + = = ε l l → deformação logarítmica 1 e 0 − = l l 0 ln l l = ε 0 ll ε eDeformação de Engenharia ( para valores pequenos na Elasticidade )
ε γ γ γ ε γ γ γ ε = ε xx yz xz yz xx xy xz xy xx ij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Deformação Logarítmica ( aplicação em Plasticidade )
ε γ γ γ ε γ γ γ ε = ε xx yz xz yz xx xy xz xy xx ij d d 2 1 d 2 1 d 2 1 d d 2 1 d 2 1 d 2 1 d d
dε = incremento de deformação plástica
1,0
-1,0 0
são iguais para valores pequenos
Deformação Equivalente: material isotropico,
(
) (
) (
)
2 3 2 2 3 1 2 2 1 d d d d d d 3 2 dε= ε − ε + ε − ε + ε − ε em tração simples, 2 d d d 1 3 2 ε − = ε = ε , então dε d= ε , 2 dγPortanto existe uma analogia completa entre os círculos de Mohr para tensões e deformações pequenas: deformação linear corresponde a tensão normal e deformação angular à tensão de cisalhamento.
Da teoria da elasticidade,
(
2 2)
1 1 e . E =σ −ν σ +σ , rearranjando,(
1 2)
2 1 m 1 1 e e G 2 E 3 G 2 e − = σ − σ ∴ νσ − σ = de modo análogo, ) e e ( G 2 ) e e ( G 2 3 2 3 2 3 1 3 1 − = σ − σ − = σ − σIsto é, os círculos de Mohr das tensões e das deformações são proporcionais.
0
dε2 = dε3 dε1 dε
• •
•
Círculo de Mohr para deformação plástica em tração simples
2.12 Representação Geral da Deformação
A deformação geral pode ser decomposta nos casos simples de translação, rotação, deformação linear e deformação angular ( ou de cisalhamento ) como visto abaixo,
Introduzindo-se os angulos, a Deformação de Cisalhamento Geral pode ser dividida em, Deformação Geral x y y x = e e ε = ex y2+ y xe ω = ey x 2+ x ye Deformação cisalhamento puro x y ε = ex y + y ze 2 = 12 γ x y z
cisalhamento simples cisalhamento puro rotação
Rotação = φ φ 2 φ 2 + + 2φ Translação + Deformação Linear + y Deformação Geral x = + Rotação Deformação de Cisalhamento +
2.14 Equações de Compatibilidade
As componentes do Tensor Deformação devem satisfazer as igualdades matemáticas vistas abaixo. Partindo-se das definições de deformação, e aplicando a derivada parcial vem,
y x v y x u y x y x v x y x u y 2 3 2 3 xy 2 2 3 2 y 2 2 3 2 x 2 ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ε ∂ e portanto, 2 y 2 2 x 2 xy 2 x y y x ∂ ε ∂ + ∂ ε ∂ = ∂ ∂ γ ∂
isto é, as funções u(x,y,z) , v(x,y,z) e w(x,y,z) não são quaisquer, mas devem satisfazer as igualdades acima.
Continuando o processo de derivação das equações de definição das deformações, obtemos as seis equações da compatibilidade visto a seguir.
Equações da Compatibilidade :
Para o caso da Elasticidade, aplicando-se as Lei de Hooke, as equações da compatibilidade podem ser transformadas nas relações entre tensões. As equações da Elasticidade que relacionam tensões e deformações sao as seguintes :
∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ z y x z y x z y x y z x z y x x z y z x z x z y y z y x x y xy xz yz z xy xz yz y xy xz yz x xz x z yz z y xy y x γ γ γ ε γ γ γ ε γ γ γ ε γ ε ε γ ε ε γ ε ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
