MAT 2A SEMI AULA 03 03.01
Interseção com eixo y x = 0 f(0) = 02 4 0 + 10 = 10 03.02 “zeros” da função: y = 0 x2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0 ou x = 3 (0; 0) e (3; 0) 03.04 y = 0 x2 + 4 = 0 x2 = 4 x R 03.04 xv = b = ( 2) 2a 2 1 · = 1 xv = 12 2 1 + 5 = 4
03.05 yv = 1 = 4a 1 = ((-2) - 4 1 k)2 4 1 · · · 4 = 4 4k 4k = 8 k = 2 03.06 = 0 (4)2 4 1 m = 0 4m = 16 m = 4 03.07 4x x2 = 0 x(4 x) = 0 x = 0 ou x = 4 a < 0 03.08 h(t) = 40t 5t2 h(3) = 40 3 5 32 h(3) = 120 45 h(3) = 75m
03.09 xv = b 2a xv = ( 2) 2 1 · = 1 03.10 xv = 4 2 1· = 1 2 yv = 4 2 1 2 + 4 1 2 + 1 yv = 1 2 + 1 = 0 V( 1 2 ; 0) 03.11 = 0 (m)2 4 1 (m 1) = 0 m2 4m + 4 = 0 (m 2)2 = 0 m = 2 e x = 2 y = 22 2 2 + (2 + 1) y = 1 03.12 xv = 2 2( 1) = 1 yv = 12 + 2 1 + 2 = 3
03.13 A = x 400 - 4 2 A = 2 400x - x 2 Xv = 200 1 2 2 = 200 m Lado = 400 - 200 2 = 100 m Quociente = 100 200 = 0,5 m 03.14 R(x) = 2x2 + 500 000x Xv =
500 000 2 2 Xv = 125 000 03.15 R(x) = x (86 2x) R(x) = 2x2 + 86x Xv = 86 2(2) = 21,50 03.16 Analisando os gráficos: R(x) = Kx (p x) é quadrática e com a < 003.17 R(x) =kx2 Kpx Xv =
Kp = = p 44 000 2 2 2 k = 22 000 03.18 f(x) = x2 + px Xv = 3 =
p 2 1 p = 6 f(3) = (3)2 + 6 3 f(3) = 9 + 18 f(3) = 9 g(3) = K 03.19 a) h(t) = 3t 3t2 = 3t (1 t) “zeros” da função: 0 e 1 Atinge o solo após 1s03.20 c = 4 xv = 0 = b 2a b = 0 y = ax2 + bx + c y = ax2 + 4 3 = a (10)2 + 4 a = 1 100 y = 0 0 = x2 100 + 4 2 x 100 = 4 x 2 = 400 = 20 m
MAT 2A SEMI AULA 04 04.01 Análise da reta 04.02 Análise da reta 04.03 (V) x = 6 x = 6 ou x = 6 (V) x > 6 x < 6 e x > 6 (V) x < 6 6 < x < 6 (F) 4 < x < 4, corresponde a x < 4 (V) 4 x x, corresponde a x 4
04.04 x - 6 = 20 x 6 = 20 x = 26 Ou x 6 = 20 x = 14 26 + (14) = 12 04.05 x = x, para x 0 04.06
Alternativas a, b e e, estão corretas 04.07 y = x y2 + 4y + 4 = 0 y = 2 x são primos x = 2 x = 2 ou x = 2 04.08 f(x) = x x x > 0 f(x) = 1 x < 0 f(x) = 1 Imf = {1; 1}
04.09 f(25) = f(5 5) = 75 75 = 5 f(5) f(5) = 15 04.10 Par: f(x) = f(x) ímpar: f(x) = f(x)
f(x) = senx cosx é ímpar f(x) = sen3x =é ímpar f(x) = cos2x é par f(x) = senx
cos x = tgx é ímpar f(x) = cos x
senx = cotgx é ímpar
04.11
04.12 Se 3x2 4 0 x2 4 3 3x2 4 = x2 4 2x2 = 0 x = 0 Se 3x2 4 < 0 x2 < 4 3 3x2 4 = x2 4 4x2 = 8 X2 = 2 x = 2 ou x = 2 S = { 2 ; 2 } 04.13 E = 2 2 + 2 + 2 + 2 1 ( 2 1) E = 4 04.14 F(n +1) = (n + 1) f(n) F(7 + 1) = (7 + 1) f(7) F(8) = 8 f(7) X = (7) (7) (7) (7) (7) 8f - f 7f = f f = 7
04.15
f(x) = senx é ímpar f(x) = cosx é par
O produto de duas funções ímpares é par O produto de duas funções pares é par
O produto de uma função par por uma impar é ímpar
04.16 f(x) f(y) = f(x + y) f(1) = 3 e f( 3 ) = 4 f(2 + 3 ) = f(2) f( 3 ) = f(1 + 1) 4 f(1 + 1) 4 = f(1) f(1) 4 = 3 3 4 = 36 04.17 f(x + 1) = f(x) + f(1) f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2 f(1) 2 f(1) = 1 f(1) = 1 2 f(5) = f(4) + f(1) = f(3 + 1) + 1 2 f(3 + 1) + 1 2 = f(2) + f(1) + 1 2 + 1 2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 5 2
04.18 Se x 2 0 x 2 x 2 3 x 5 Se x 2 < 0 x < 2 x + 2 < 3 x + 2 3 x 1 x 1 1, 0, 1 Se 3x 2 0 x 2 3 3x 2 > 5 x > 7 3 Se 3x 2 < 0 x < 2 3 3x + 2 > 5 3x > 3 x < 1 04.19 2 5 5 1 x - x + = 4 8 4 X2 5 4x + 5 8 = 0 = 2 5 4 4 1 5 8 = 25 - = 5 25 - 40 = 15 16 2 16 16 x2 5x + + 5 1 4 8 4 = 0
x2 5x + 7 4 8 = 0 8x2 10x + 7 = 0 = b2 4ac = (10)2 4 8 7 = 100 224 = 124 Ɇ raiz real x2 5x + + 5 1 4 8 4 = 0 x2 5x + 7 4 8 = 0 8x2 10x + 3 = 0 = (10) 4 8 3 = 10 4 = 10 2 16 16 = 4 x = 10 4 = 10 2 16 16 x = 12 = 3 16 4 ou x = 8 = 1 16 2 04.20 Mediana = 6 + 7 2 = 6,5
MAT 2B SEMI AULA 03 03.01 (4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 13) 9º E 10º 03.02 Média = 5 0 + 3 1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 2 5 + 1 7 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 · · · = 2,25 = x Mediana = 2 = y Moda = 0 = z z < y < x 03.03 Análise da tabela 03.04 {1, 3, 3, 3, 4 ,4, 7, 8, 8, 9} Média = 1 3 3 3 4 4 7 8 8 9 10 = 5 Mediana = 4 Moda = 3 03.05 6 = 2 2 + 2 7 + 3 p 7 · · · 42 = 4 + 14 + 3p 3p = 24 p = 8
03.06
Números distintos geram uma mediana que não pertence a esse conjunto numérico, ficando 50% dos valores acima e 50% dos valores a baixo da média
03.07 M1 = S1 30 = S1 = 6,4 30 = 192 M2 = S2 50 = S2 = 5,2 50 = 260 Mt = St 80 = 1 2 S + S = 192 260 80 80 = 5,65 03.08 ML = 13 s48 17 50 9 50 = 30 + S48 S48 = 450 – 30 = 420 M48 = 48 S 420 48 48 M48 = 8,75 lux 03.09 MM = 5 4 + 10 5 + 40 6 + 25 7 + 15 8 + 5 9 100 · · · · = 6,5 MP = 5 5 + 10 6 + 40 7 + 25 8 + 15 9 + 5 10 100 · · · · = 7,5 03.10 {2, 2, 2, 4, 5, 10, x}
4 < x < 21, x inteiro positivo Possibilidades de x = {5, 6, 7, ..., 18, 19, 20} = 16 possibilidades. 03.11 m = 4 13 + 3 14 + 2 15 + 5 16 + 6 17 = 306 4 + 3 + 2 + 5 + 6 20 · · · · · = 15,3 03.12 MG = 6,9
MG’ = 7,9, com o aluno tirando 10 MG’ > MO > MD 03.13 Média = 31,25 = a Mediana = 32,5 = b Moda = 35 = c a + b + c = 98,75 03.14 As alturas a, b, c, d Mediana = b c 2 = 1,70 b + c = 3,40 Média = a b c d 4 a 3, 40 d 4 = 1,72 a + d = 3,48 a d 2 = 1,74
03.15
Para a mediana ser R$ 2 800,00, ela precisa ser a média entre R$ 2 000,00 e R$ 3 600,00, ou seja, Precisamos reduzir os funcionários que ganham R$ 3 600,00, demitindo 10 deles.
03.16
Média = 0,16 4,5 + 0,32 5,5 + 0,08 6,5 + 0,16 7,5 + 0,22 8,5 + 0,06 9,5 Média = 6,64
03.17
30% do total = 50% dos votos válidos. Então, mais de 40% do total é de brancos e nulos.
03.18
Média = 2 7 + 5 10 + 8 15 + 11 13 + 14 5 50
· · · · ·
= 7,94
Respostas possíveis: alternativas a, b, c, d 03.19
Resolvido no material 03.20
Resolvido no material MAT 2B SEMI AULA 04 04.01
Quanto menor o desvio padrão, mais regular os valores.
Moda = R$ 71,00 I – (V) II – (F) III – (V) IV – (V) V – (V) 04.03 Dp = V V = Dp2 04.04 5 1 = 4 maior amplitude 04.05 A = 10 04.06 Dp’ 4 4 = 1 Média = 7 3 + 3 + 7 4 = 5 V =
2 2 2 2 2 + 2 + 2 + 2 4 = 4 Dp = 4 = 2 Dp Dp’ = 2 1 = 104.07
I. Correta. Quanto maior o desvio padrão, mais distante estão as notas umas das outras. Assim, B é a turma mais heterogênea
II. Correta. As variações são diferentes pois os desvios padrões são diferentes. III. Incorreta. A turma A apresentou pequeno desvio padrão.
04.08 A média é: M= 40×500+8×2 500+2×5 000 50 = 1 000 04.09 Média: M=3+4+6+9+5+7+8 7 = 6 Variância: V=
( )
3-6 2 +( )
4-62+( )
6-62+( )
9-62+( )
5-62+( )
7-62+( )
8-62 7 V= 9+4+0+9+1+1+4 7 =4 Desvio padrão: D = 4=2 04.10 Média = 4 6 9 1 4 = 5 Mediana = 4 6 2 = 5Mp = 4 + 6 + 9 2 + 1 2 6 · · = 5 V =
2 2 2 2 1 1 4 4 4 = 34 4 = 8,5 I – V II – V III – V IV – V 04.11 Média = 30 Mediana = 29 V =
2 2 2 2 2 2 4 3 1 2 34 = 5 5 = 6,8 04.12 Média = 980 7 = 140 Mediana = 135 V =
2 2 2 2 2 2 2 15 10 25 15 25 10 5 7 = 275 Dp = 275 Dp 16,6 1 – V, 2 – F, 3 – F 04.13 Média = 35V =
2 2 2 2 2 1 2 1 4 = 2,5 Dp 1,58 04.14A variação da média altera da mesma forma o desvio padrão, ou seja, 10% a menos, chagando ao valor de R$ 3 600,00 04.15 x = 38 d =
2 2 2 2 2 2 0 1 3 4 1 0 27 = 6 6 2,12[33,76; 42,24] é o intervalo [x 2d; x + 2d], que contem todas as temperaturas da amostra
04.16 01)Correta. 9 24 = 0,375 = 37,5% (V) 02) Correta. 3 6 = 0,5 (V) 04) Correta. dp =
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 0 1 4 1 4 0 0 10 5 = = = 6 6 6 3 (V) 08) Incorreta. Mediana = 2,5 (F)32) Incorreta. 50% menor = 3, então em 2 000 foram 6..
MAT 2C SEMI AULA 03 03.01 1 1 1 1 1 3 0 X 3 0 2 0 2 0 2 3 P(X) = detA = 2x + 8 P(5) = 2 5 + 8 = 18 P(X) = 2X + 8 30 = 2X + 8 2X = 22 X = 11 P(3) = 2 3 + 8 = 14 P(12) = 2 12 + 8 = 32 03.02 Área = 1 32 2 · = 16 m2 03.03
Dividindo o quadrilátero em dois triângulos de vértices: (2;4), (8;8) e (20;6); (2;4), (9;2) e (20;6).
Assim a área do quadrilátero é dada por:
2 4 1 2 4 1 1 1 8 8 1 + 9 2 1 2 2 20 6 1 20 6 1 · · = 1 100 + 501 2 · 2 · = 75m 2
03.04 S = 10 0 1 1 20 2 1 = 801 2 2 15 10 1 · · = 40 03.05 detA = 35 27 = 8 03.06 y = 1 3 5 5 1 3 3 5 1 = 1 + 27 + 125 15 15 15 = 108 03.07 A23 = (1)2+3 3 2 1 3 A23 = 1 7 = 7 03.08
2 x 3 3 x x - 9 x 3 = = 3 3 1 3 x 3 9 x 03.09 2x (x 2) + 21 5 14 15x + (x 2) = 0 2x2 4x 14x = 0 2x2 18x = 0 2x(x 9) = 0x = 0 ou x = 9 03.10 2 2 x +0+2-6x+0-2 = x 6x = x(x 6) x 6 x 6 x 6 = x 03.11 A34 = (1)3+4 2 1 1 1 3 2 1 3 2 = 1 (10) = 10 03.12 detA = 2x2 2x 1 Valor mínimo =
2 (( 2) 4 2 1 ) = 4a 4 2 · · · Valor mínimo = (4 8) = 12 = 3 8 8 2 03.13 11 12 21 22 a a 2 5 1 7 1 = = a a 2 4 5 2 9 = 63 2 = 61 03.14Teorema de Laplace na 1ª linha:
detB = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 detB = 2(1)1+1 2 + 0 A
12 + 1 (1)1+3 (11) + 0 A14 detB = 4 + 0 11 + 0 = 7
03.15
Pelo teorema de Laplace na 1ª linha:
2 (1)2 3 0 0 0 2 1 1 2 1 2 4 1 1 1 2 3 = 2 3 (1)2 = 1 1 2 2 4 1 1 2 3 = 2 3 5 = 30 03.16 1 2 0 2 x 0 x 0 x = x2 + 4x x2 + 4x > 0 para x < 4 ou x > 0 03.17 x2 4x 5 + 14 5x + 7 2x + 8 < 0 x2 11x + 24 < 0 03.18 A + At = 2 0 0 2 = 2 I det(A B) = 2 B2 007
03.19 3 (1)5+1 2 (1)3+3 3 1 2 2 1 1 1 3 1 = 3 2 3 = 18 03.20 x (1)1+1 x 1 1 1 2 4 0 1 3 0 x(2x 2) 03.21 1 1 1 2 3 5 4 9 25 = 75 + 20 + 18 12 45 50 = 13 03.22 x (1)1+1 3 (1)1+1 x 1 2 1 x 4 0 1 1 0 3x(x2 4x + 3) 0
Resolvendo a inequação com o estudo de sinais temos: S = ] ∞; 0] [1; 3]
x2 + y2 x 2y = 5 4
4x2 + 4y2 4x 8y = 5 4x2 4x + 1 + 4y2 8y + 4 = 0 (2x 1)2 + (2y 2)2 = 0 2x 1 = 0 x = 1 2 2y 2 = 0 y = 1 x + y = 1 2 + 1 = 1,5
MAT 2C SEMI AULA 4 04.01 1 2 S 0 0 1 = S 1 1 0 · 2 1 S 0 = S 1 3 4 S 1 0 1 = S 0 1 0 · 4 3 S 1 = S 0 SENHA: 1001 04.02 20 8 3 60 16 76 = = 15 12 2 45 24 69 · 04.03 A11 = 4; A12 = 1; A13 = 2; A14 = 3 04.04
10 12 40 60 100 4 8 8 = 32 40 = 72 5 4 6 16 30 46 · Somando: 100 + 72 + 46 = 218 04.05 Laura: A B C 6 5,5 5,5 120 110 110 20 3 4 4 4,5 3 = 12 13,5 9 2 2 3 8 8 12 140 131,5 131 Simone: A B C 6 5,5 5,5 30 27,5 27,5 5 2 2 4 4,5 3 = 8 9 6 2 2 3 4 4 6 40 40,5 39,5 Lisa: A B C 6 5,5 5,5 60 55 55 10 2 3 4 4,5 3 = 8 9 6 2 2 3 6 6 9 74 70 70 04.06 2 1 4 2 1 0 1 3 2 = 1 3 0 3 7 6 3 7 0 = 0 04.07 1 49 64 0 3 9 0 0 4 = 12
Produto da diagonal principal 04.08 detA = 5 det3A = 33 detA = 27 5 = 135 04.09 x 8 6 x y z y 6 4 = 8 6 12 z 12 10 6 4 10 = 2 2 x y z 3 2 5 4 13 6 = 32 04.10 01) V 02) V 04) V 08) V 16) Só de matrizes de ordem 5xK (F) 04.11 a11 a22 a33 a44
Produto da diagonal principal.
04.12 x = 12 6 9 3 3 9 21 25 15 = 6 10 15 32 4 14 18 10 14 = 420 + 810 + 540 + 1 620 450 252 = 1 848
y = 3 3 2 8 6 3 2 6 3 42 17 15 = 18 25 17 15 32 30 7 2 30 7 = 18(238 + 180 + 2 250 102 900 1 050 18 616 = 11 088 6x = y 04.13 detA = 6 det(x A) = x3 detA x3 6 = 48 x = 2 04.14
det(A B) = detA detB = (4) (3) = 12
04.15 det(2 A) = 40 detA = 403 2 = 5 det B 2 = 3 detB = 3 3 1 2 = 24
det(A B) = detA detB
04.16 2 (1)1+1 2 4 3 4 3 4 3 2 2 + 3 (1)1+2 3 4 3 2 3 4 4 2 2 + 2 (1)1+3 3 2 3 2 4 4 4 2 2 + 3 (1)1+4 3 2 4 2 4 3 4 3 2 2 9 3 18 + 2 (12) 3 (27) 18 54 24 + 81 = 21 04.17 4 8 0 13 2 5 0 7 2 6 2 10 5 9 0 15 = 2 (1)3+3 4 8 13 2 5 7 5 9 15 = 2 3 = 6 04.18 2aij = 3bij aij = 3 2 bij A = 3 2B detA = det(3 2B) 4 3 = 3 4 2 = detB 3 81 = 4 16 detB detB = 4 27 04.19
1 0 0 0 1 a 0 0 1 0 b 0 1 0 0 c = a b c 04.20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 = 0 3 8 15 0 3 8 15 0 7 26 63 0 2 2 18 = 1 (1)1+1 1 2 3 3 8 15 2 2 18 = 12 04.21 1 1 1 1 0 1 x 0 0 0 0 2 x 0 0 0 0 6 x = 0 1 (1 + x) (2 + x) (6 + x) = 0 x = 1 ou x = 2 ou x = 6 S = {1; 2; 6}
MAT 2D SEMI AULA 03 03.01
No triângulo verde, isósceles, os dois ângulos (a) somados resultam no ângulo externo. 2a = 36o a = 18o
03.02
03.03
Octógono tem ângulo interno de 135o. Ao colocar dois octógonos adjacentes, faltariam 90o para chegar à 360o no encontro dos vértices, portanto necessitando de um quadrado para fechar.
03.04
(V) “hepta” 7 (V) “dodeca” doze
(V) Definição de polígono regular (V) Definição de polígono regular 03.05 (V) 90o 36o = 54o (V) 180o 120o = 60o (V) (90 x)o (V) (180 x)o 03.06
x + 30o = 180o x = 150o
03.07
Ao maior ângulo de um triângulo sempre se opõe o maior lado
03.08 Si = 180o (n 2) 2 520o = 180o (n 2) 14 = n 1 n = 16 d = n n 3
2 d = 16 16 3
2 = 104 03.09 a + b = 180o a = b + 20o 2b + 20o = 180o b = 80o e a = 100o 03.10A soma dos ângulos internos dos triângulos da figura auxiliam o encontro do valor de: 180o 90o 31o = 59o
= 33o + 59o = 92o
ê = 360o n 20o = 360o n n = 18 d = 18(18 3) 2 d = 135 03.12 q = n(n 3) 2 n2 3n 18 = 0 n = 6 Si = 180o (6 2) Si = 720o 03.13
Pela soma dos ângulos internos dos vários triângulos da figura, obtemos: a + b + c + d + e = 180o 03.14 A = 13 B 17 A = 13B 17 A + B = 90o 13B 17 + B = 90 o 30B 17 = 90 o B = 51O A = 39o Suplemento de A = 141o Suplemento de B = 129o 141 47 = 129 43
03.15 a + b + x = 180o 2a + 2b = x 2a + 2b + 2x = 360o x + 2x = 360o x = 120o 03.16 i = 108O ECD = (180O 108O) 2 ECD = 36O = BCA
BCA + ACE + ECD = 108O 36O + ACE + 36O = 108O ACE = 36O
03.17
Se CAB = a, e OBC = b, Temos: 3a + 2b = 180o a + 4b = 180o 2a 2b = 0 a = b 3a + 2b = 180o a = 36o 03.18 I – (V)
d = n n = n(n 3) 2 2n = n(n 3) 2 = n 3 n = 5 II – (F) d = 4n 4n = n(n 3) 2 8 = n 3 n = 11 III – (V) n(n 3) d = 2 = n 3 n n 2
Para n 3 ser divisível por 2, n tem que ser ímpar.
03.19
Resolvido no material 03.20
Resolvido no material
MAT 2D SEMI AULA 04 04.01
d 1, 4 =
04.02 d = 2d' 3 b = = d 2d' a c 3c 04.03 30 + 37,5 + 45 + 52,5 + 60 = 225 04.04 h = 5 15 3 h = 25 m 04.05 2 PQ = 1,8 5, 4 PQ = 6 cm no desenho 60 000 cm reais = 600 m 04.06 BP PQ = AB AC 2,5 PQ = 5 10 PQ = 5
04.07
“Esticando” o telhado até tocar o chão, forma-se um triângulo de vértice a x m do ponto A. Por semelhança de triângulos:
x x 20 = 4 6 x = 40 m b 40 = 52 4 h hb = 5,2 m 04.08 Altura do homem = a = 1,8 m s s 0,1 h 1,8 = h h · h = 18 m 04.09 a = x 1 b e a = y b 1 x = a b e y = a b 04.10
02) V Estes ângulos são correspondentes. 04) V AQ = AC PQ BC AQ PQ = AC BC 08) V Pelo teorema de tales 16) F A razão é k. 04.11 AE = DE AC BC 10 = DE 20 16 DE = 8 cm AE AD = AB AC 10, 4 10 = AB 20 AB = 20,8 cm BC + CE + DE + BD = 16 + 9,6 + 8 + 10,8 = 44,4 cm 04.12 AD DE = AF FG FG = AF DE AD 4 04.13
h é a altura do triângulo APB. h 20 h = 10 30 3h = 20 h h = 5 01) F k2 = 1 25 02) V AAPB = 5 10 2 · = 25 cm 04) F Altura igual a 15 cm. 08) V Ângulos congruentes.
16) F ACPD = 15 30 2 · = 225 cm2 04.14 x é lado do quadrado x = 3 5 x x 2 = 15 04.15 a 8 = x 6 a = 4x 3 x 7 8 = a 6 x + 7 = 4 3a x + 7 = 4 3 4 3x 9x + 63 = 16x 7x = 63 x = 9 04.16 x 10 = h 8 x = 5 4h
10 - x 10 = h 2 10 x = 5h 10 5h 4 = 5h 40 5h = 20h 25h = 40 h = 1,6 m 04.17 GA = AF JE EF GA = 5JE GA = AD HC CD GA = 3HC 3HC = GJE HC 5 = JE 3 04.18 4 t 3 = 4 6 4t = 8 t = 2 cm 04.19 Resolvido no material 04.20 Resolvido no material
MAT 2E SEMI AULA 03 03.01
tgx = 4 3 03.02 (F) secx = 1 cos x (V) cossecx = 1 senx (V) cosx > 0 então 1 cos x > 0 (F) cosx > 0
(V) tgx e cotgx, têm sempre o mesmo sinal
03.03 AB = 8 cm senx = 0,6 cosx = 0,8 tgx = 0.75 03.04 y = 1 cos2x y = sen2x 03.05 sen2A + cos2A = 1 cos2A = 1 cosA = 1 ou cosA = 1
03.06 sen2x + cos2x = 1 9 25 + cos 2x = 1 cos2x = 16 25 cosx = 4 5 03.07 sen2x + cos2x = 1
2 2 1 - M + (M + 2)2 = 1 1 M2 + M2 + 4M + 4 = 1 4M + 4 = 0 M = 1 Ou M2 1 + M2 + 4M + 4 = 1 2M2 + 4M + 2 = 0 M2 + 2M + 1 = 0 (M + 1)2 = 0 M = 1 03.08 cos x = 12 13 sen2 x + 144 169 = 1 sen x2 = 25 169 sen x = 5 1303.09
sec2x tg2x sen2x = tg2x + 1 tg2x sen2x = 1 sen2x = cos2x
03.10 1 m 4 1 3 m 5 03.11 sec(10) = sec(2) = 1 03.12 senx = 5 cosx sen2x + cos2x = 1
2 5 cos x + cos2x = 1 5cos2x + cos2x = 1 cos2x = 1 6 sen2x + 1 6 = 1 sen2 x = 5 6 03.13 cosx = 1 3 sen2x + 1 9 = 1 senx = 2 2 3cossecx = 3 = 3 2 4 2 2 03.14
2 2 1 sen 1 sen cos 1 sen = =1 sen 1 sen 1 sen
= 1 + sen
03.15
y = sen2 (1 sen2) (1 sen2) sen2 y = sen2 sen2 sen2 sen2 + sen2 sen2 y = sen2 sen2
03.16
2 2
1 sen x = cos x cos x
cot gx senx senx senx · · = cosx 03.17
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tg x 1 tg x 1 tg x sec x = cos x sen x cos x sen x cos x sen x · 2 2 4 2 2 4 cos x sen x 1 cos x = cos x sen x cos x
= sen 2x 03.18
2 2 203.19 senx 3 = cos x 4 senx = 3 cos x 4 sen2x + cos2x = 1 2 3 cos x 4 + cos 2x = 1 9 cos x2 16 + cos 2x = 1 2 25 cos x 16 = 1 cos 2x = 16 25 cosx = 4 5 sen2x = 9 25 senx = 3 5 y = cosx senx y = 4 + 3 5 5 y = 1 5 03.20 sen2x + cos2x = 1 1 9 + cos 2x = 1 Cos2x = 8 9 cosx = 2 2 3 y = 2 1 cos x 1 1 senx cos x 3 cos x cos x = 1 1 1 1 1 senx 3 · y = 2 2 1 sen x 1 3 cos x 3 = 2 6 2 2 3 · ·
y = 1 1 2 9 = = 72 4 2 36 2
MAT 2E SEMI AULA 04 04.01
sen75o = sen(30º + 45º) = sen30o cos45o + sen45o cos30o
sen75o = 1 2 + 2 3 = 2 + 6
2 · 2 2 · 2 4
04.02
(F) sen(7o 2o) = sen7o cos2o sen2o cos7o
(F) cos(27o + 12o) = cos27o cos12o sen27o sen12o (V) sen(a +b) = sena cosb + senb cosa
(V) cos(a + b) =cosa cosb sena senb (F) cos(a b) =cosa cosb + sena senb (V) sem(a b) = sena cosb senb cosa
04.03 tg( + ) = tg tg = 2 + 4 = 6 1 tg tg 1 - 2 4 7 · · 04.04 sen + x 2 = sen 2
cosx + senx cos 2
04.05
= sen cosx + senx cos + cos 2 cosx + sen 2 senx = senx + senx = 0 04.06
cos cosx sen senx 2cos2 cosx 2sen2 senx = cosx o 2cosx 0 = 3cosx
04.07
sen x cos45o + sen45o cos x + sem x cos45o sen45o cos x = 2 2 sen x + 2 2 sen x = 2 sen x 04.08 sen105o = sem(60º + 45º)= sen60o cos45o + sen45o cos60o=
04.09
sen(x y) cos y = (sen x cos y sen y cos y) cos y = sen x cos2 y sen y cos x cos y
cos(x y) sen y = (cos x cos y + sen x sen y) sen y = sen y cos x cos y + sen x sen2 y
sen(x y) cos y + cos(x y) sen y = sen x cos2 y + sen x sen2 y =
sen x(cos2 y + sen2 y) = sen x
04.10 sen A = 0,2
M = 2 senA cos A sem 2A M = 2sen A 2sen A cos2 A M = 2sen A (1 cos2 A)
M = 2 sen A sen2 A = 2sen3 A M = 2 (0,2)3 = 2 0,008 = 0,016 M = 1,6 102 04.11 cos2 x = 2 cos2 x 1 cos2 x = 2 3 2 4 1 = 2 9 16 1 = 1 8 04.12 (sen a cosa)2 = 3 2 5
sen2 a 2sen a cos a + cos2 a = 9 25
1 sen 2a = 9
25 sen 2a = 16 25
04.13
cos4 x sen4 x = (cos2 x sen2 x)(cos2 x + sen2 x) = cos 2x 1 = cos 2x
04.14
sen275o 2sen75o cos75o + cos275o = 1 sen(150o) = 1 1 = 1
2 2 04.15 x sen 2 2 1 = senx 04.16 cos = 1 2 = 60 o tg(2 60o) = tg(120o) = 3 04.17
det(M Q) = detM detQ =
(sen x + sen x) cos x = 2sen x cos x = sem(2x)
04.18 tg(2x) = 5 tg + tgx tg - tgx 4 - 4 1 tg tgx 1 tg tgx 4 4 · ·
1 tgx 1 tgx - 1 tgx 1 tgx
2
2 2 2 1 tgx 1 tgx 4tgx = 1 tg x 1 tg x 2 tg(2x) = 10 04.19 sen = 3 5 cos = 4 5 sen = 4 5 cos = 3 5 sem( + ) = sen cos + sen cos = 3 5 3 5 + 4 5 4 5 9 16 - 25 25 = 25 04.20
(sen x + sen y)2 + (cos x + cos y)2 =
sen2 x + 2sen x sen y + sen2 y + cos2 x + 2cos x cos y + cos2 y = 2 + 2(sen x sen y + cos x cos y) =
2 + 2 cos(x y) = 2 + 2 cos
3
= 2 + 2 1 2 = 3
