ANÁLISE DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS LINEARES COM ZONA MORTA E

(1)

AN ´ALISE DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS LINEARES COM ZONA MORTA E SATURA ¸C ˜AO

Vanessa Dilda∗_{, Eugˆ}_{enio B. Castelan}† ∗_{Faculdade Meridional - IMED}

Rua Senador Pinheiro, 304, Bairro Rodrigues 99070-220, Passo Fundo, RS, Brasil

†_{Grupo de Controle de Sistemas em Rede}

DAS/CTC/UFSC

88040-900, Florian´opolis, SC, Brasil

Emails: vanedilda@gmail.com, eugenio.castelan@ufsc.br

Abstract— The presence of dead-zone and saturation nonlinearities is common in many physical systems, as is the case of hydraulic and pneumatic systems. These nonlinearities have adverse effects especially on the performance of control systems, causing the presence of limit cycles or undesirable equilibrium points and even instability. In this context, the objective of this paper is to propose conditions for local stability analysis for systems subject to nonlinearity that combines the effects of dead-zone and saturation. Absolute stability tools are used to consider the presence of saturation and the concept of ultimately boundedness stability to take into the dead-zone. The computational algorithms for stability analysis are based on linear matrix inequality (LMI). Keywords— Ultimate Boundedness Stability, Dead-zone, Saturation, Control Theory.

Resumo— A presen¸ca das não linearidades de tipo zona morta e satura¸cão é comum em diversos sistemas f´ısicos, como é o caso de sistemas de acionamento hidráulico e pneumático. Estas não linearidades têm efeitos adversos especialmente sobre o desempenho de sistemas de controle, causando ciclos limites ou pontos de equil´ıbrio indesejados e podendo, inclusive, levar o sistema à instabilidade. Neste contexto, o objetivo neste trabalho é propor condi¸cões para a análise de estabilidade local (regional) de sistemas sujeitos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da satura¸cão, fazendo uso de ferramentas de estabilidade absoluta para considerar a presen¸ca da satura¸cão e do conceito de estabilidade ultimamente limitada para levar em conta a presen¸ca da zona morta. Os algoritmos propostos para análise computacional da estabilidade utilizam desigualdades matriciais lineares (do inglês LMI).

Palavras-chave— Estabilidade ultimamente limitada, Zona Morta, Satura¸c˜ao, Teoria de Controle.

1 Introdu¸c˜ao

Dentre as não linearidades existentes em sistemas de controle reais, merecem destaque as presentes em dispositivos atuadores, tais como satura¸cão, zona morta, histerese, entre outras. A presen¸ca destas não linearidades se dá geralmente devido a limita¸cões f´ısicas ou de seguran¸ca, como é o caso em servo-motores elétricos ou servo-válvulas hi-dráulicas (Tarbouriech, Queinnec, Alamo, Fiac-chini and Camacho, 2011). Considerar tais não linearidades no projeto de controladores tem sido de grande interesse da comunidade cient´ıfica, com o objetivo de tratar teoricamente o problema de controle o mais próximo poss´ıvel do real.

Para sinais de controle suficientemente peque-nos a sa´ıda da zona morta é nula, levando o sis-tema de controle a se comportar em malha aberta em uma determinada região em torno da origem. Assim, a estabilidade assintótica da origem do sis-tema linear com atuadores sujeitos à zona morta apenas é poss´ıvel para sistemas assintoticamente estáveis em malha aberta. Em outros casos, a zona morta provoca uma perda de estabilidade lo-cal, o que limita as trajetórias a uma região de es-tabilidade em torno da origem (Turner, 2006). Em Dilda et al. (2015) (veja também (Dilda, 2013)),

condi¸cões para análise de estabilidade de sistemas lineares na presen¸ca de zona morta foram desen-volvidas através de uma parametriza¸cão da não linearidade por uma classe de fun¸cão, esta para-metriza¸cão será utilizada neste trabalho para tam-bém considerar a presen¸ca da satura¸cão.

Em certos sistemas f´ısicos, como é o caso dos sistemas de acionamentos hidráulicos e pneumá-ticos, a não linearidade de zona morta aparece acompanhada da satura¸cão. Portanto, tratar o problema de análise de estabilidade de sistemas sujeitos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da satura¸cão é um tema importante, tanto do ponto de vista teórico quanto prático.

Quando o objetivo é solucionar um problema de análise de estabilidade de sistemas com atu-ador saturante, busca-se uma estimativa para o dom´ınio de atra¸cão do sistema. Pois qualquer tra-jetória com condi¸cão inicial localizada no interior do dom´ınio de atra¸cão, converge assintoticamente para a origem. Dentre vários trabalhos que tratam da análise de estabilidade e/ou s´ıntese de sistemas com atuador saturante, pode-se citar: Paim et al. (2002), Tarbouriech, Queinnec and Garcia (2006), Ebenbauer and Allgower (2007), Tarbouriech, Pri-eur and da Gomes da Silva Jr. (2006).

(2)

Em Tarbouriech, Queinnec, Alamo, Fiacchini and Camacho (2011) são propostas condi¸cões de estabiliza¸cão para sistemas com diferentes elemen-tos não lineares no atuador como, por exemplo, zona morta e satura¸cão, strick-slip e satura¸cão, histerese e satura¸cão. Para tratar essas não line-aridades, é proposta uma modelagem relacionada à no¸cão de inclusão diferencial convexa (Alamo et al., 2009) e as condi¸cões para solu¸cão do pro-blema são descritas na forma de LMIs. Devido ao fato da modelagem proposta abranger diferentes elementos não lineares, a inclusão diferencial con-vexa pode se mostrar mais restritiva ou conserva-dora do que uma análise realizada através de uma ferramenta adaptada para a não linearidade par-ticular ou sob considera¸cão. Neste sentido, tem-se por objetivo neste artigo apresentar condi¸cões de análise de estabilidade para sistemas lineares su-jeitos a não linearidade de zona morta e satura¸cão no atuador, baseadas nos resultados propostos em Dilda et al. (2015) e também Dilda (2013).

Na se¸cão seguinte é apresentado o problema a ser tratado e na sequência apresenta-se a proposta de análise de estabilidade seguida de um exemplo numérico. Por fim, são apresentadas as conclu-sões.

2 Apresenta¸cão do Problema Considere um sistema linear cont´ınuo e invariante no tempo, com atuador sujeito a uma não linea-ridade que combina os efeitos da zona morta e da satura¸cão, representado por:

˙x(t) = Ax(t) + Bsat(dz(u(t))) (1)

u(t) = Kx(t) (2)

em que x(t) ∈ Rn_{, u(t)} _{∈ R}m_{, s˜ao,}

respec-tivamente, os vetores de estado e de controle, A _{∈ R}n×n _{e B} _{∈ R}n×m _{s˜ao as matrizes do}

sis-tema e K _{∈ R}m×n _{´e a matriz de}

realimenta-¸c˜ao de estados do sistema. A n˜ao linearidade sat(dz(_{·)) : R}m

→ Rm _{´e descentralizada e}

sim´e-trica, dada por:

sati(dzi(u(t))) =                δi, se ui(t)≥ ¯ρi, ui(t)− ρi, se ρi< ui(t) < ¯ρi, 0, se|ui(t)| ≤ ρi, (3) ui(t) + ρi, se−¯ρi< ui(t) <−ρi, −δi, se ui(t)≤ −¯ρi. com ¯ρi= δi+ ρi, i ={1; ...; m}. Note que o valor

ρi refere-se `a n˜ao lineariadade de zona morta e δi

ao limite de satura¸c˜ao do atuador.

A presen¸ca da zona morta no sinal de con-trole do sistema implica no comportamento em malha aberta do sistema em uma região em torno da origem. Por outro lado, a presen¸ca da satu-ra¸cão no controle também pode ser uma fonte de pontos de equil´ıbrios parasitas e ciclos limites, ou ainda, pode levar as trajetórias do sistema à insta-bilidade (Tarbouriech, Garcia, Gomes da Silva Jr and Queinnec, 2011). Assim, quando sujeito à não

linearidade sat(dz(u)), a estabilidade do sistema em malha fechada deve ser analisada em termos do poss´ıvel confinamento das trajetórias em torno da origem quando t → ∞, devido à presen¸ca da zona morta, e em termos da possibilidade de ins-tabilidade (ou não convergência) das trajetórias para uma região em torno da origem, dependendo da condi¸cão inicial.

O conceito de estabilidade ultimamente limi-tada local (do inglês ultimate boundedness (UB) (Khalil, 2002; Dilda et al., 2015) é apresentado na sequência e será utilizado para tratar o pro-blema de análise de estabilidade delineado anteri-ormente.

Defini¸c˜ao 1 Seja D _{⊆ R}n_{. As solu¸c˜}_{oes do}

sis-tema (1)-(2) são localmente ultimamente limita-das em rela¸cão à D se existe um conjunto con-vexo compacto, U _{⊆ D, que contém a origem,} no qual todas as trajetórias com condi¸cão ini-cial x(0) = x0 ∈ D, entram em um tempo

fi-nito e permanecem nele confinadas, isto ´e: existe T = T (x0)≥ 0 finito, tal que

x0∈ D ⇒ x(t) ∈ U, ∀t ≥ T. (4)

O conjunto U que satisfaz (4) ´e chamado con-junto ultimamente limitado, (UBD) local, com

re-la¸cão à D, e, por defini¸cão, é um conjunto positi-vamente invariante. A todo conjunto UBD local,

associa-se uma esfera cujo diˆametro, ¯γ, representa a constante UBD

¯

γ = supx∈Ukxk2< supx∈Dkxk2. (5)

Considerando esta defini¸cão, utiliza-se uma reformula¸cão do sistema (1)-(2), a qual permite utilizar o fato que (A+BK) é Hurwitz e considera-se, então, uma não linearidade dual à (3), definida por

ϕ(u(t)) = u_{− sat(dz(u(t))).} (6) Portanto, o sistema (1)-(2) pode ser reescrito como:

˙x(t) = (A + BK)x(t)_{− Bϕ(u(t)).} (7) Para comprovar que as trajetórias do sistema (7) são localmente UB, são consideradas fun¸cões de Lyapunov quadráticas. Define-se

VP(x(t)) = x(t)′P x(t), P ∈ Rn×n, P = P′> 0

(8) e

VN(x(t)) = x(t)′N x(t), N ∈ Rn×n, N = N′ > 0.

(9) Os conjuntos E(P, c), associados as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao de Lyapunov (8), s˜ao dados por:

E(P, c) =_{{x(t) ∈ R}n; VP(x(t))≤ c, c > 0}.

(3)

Se c = 1, denota-se E(P, c) = E(P ). Assim, ao conjunto E(N ) está associado à curva de n´ıvel unitária da fun¸cão de Lyapunov (9) e é dado por:

E(N ) =_{{x(t) ∈ R}n_{; V}

N(x(t))≤ 1}. (11)

O lema seguinte é fundamental para a propo-si¸cão das solu¸cões do problema que será apresen-tados na sequência. A prova do Lema 1 pode ser encontrada em (Dilda, 2013; Pomar et al., 2012). Lema 1 Considere o sistema (7), as fun¸cões de Lyapunov (8) e (9) e os conjuntos (10) e (11), com c > 1. Dada qualquer condi¸cão inicial x(0) = x0 ∈ Rn, seja x(t) : [0,∞) → Rn a trajetória de

(7). Admitindo (12) e (13), existe T = T (x0)≥ 0

finito, tal que x0(t)∈ E(N) ⇒

x(t)_{∈ E(N),} _{∀t ≥ 0, e} x(t)_{∈ E(P ),} _{∀t ≥ T}

(14) Logo, E(N ) é um conjunto positivamente invari-ante e toda trajetória x(t) com condi¸cão inicial x0 ∈ E(N) converge para E(P ) em tempo finito

e nele permanece confinada. Ou seja, E(P ) ´e um conjunto UBD local para o sistema (7), sendo

E(P ) _{⊂ E(N), com D , E(N) e constante UB}D

associada, dada por: ¯ γ, supx(t)∈E(P )kx(t)k2= 1 λmin(P ) . (15) Al´em disso, ¯ γ < 1 λmin(N ) = 1 η. (16)

Considerando-se o sistema (7) sujeito somente `

a zona-morta, pode-se determinar uma primeira estimativa do conjunto ultimamente limitado lo-cal, como sugere-se no Corolário seguinte. Corolário 1 Se E(P ) é um conjunto UB glo-bal para o sistema com zona morta, então existe D _{⊇ E(P ), tal que E(P ) é UB}D local para o

sis-tema somente com não linearidade ϕ(u), a qual combina os efeitos da zona morta e da satura¸cão. A prova do Corolário 1 pode ser encontrada em (Dilda, 2013) e é baseada na ideia que é pos-s´ıvel determinar c > 1 tal que D = E(P, c) esteja, por exemplo, no interior da região do espa¸co de estados em que não há satura¸cão.

Note que o conjunto D determinado dessa forma não é, em geral, uma boa estimativa do conjunto de condi¸cões iniciais cujas trajetórias convergem para E(P ), tendo em vista que neste conjunto não ocorre a satura¸cão. Sendo assim, propõe-se o seguinte problema de análise de esta-bilidade UB local.

Problema 1 (An´alise UB local) Considere que sejam dadas as matrizes A _{∈ R}n×n _e

B∈ Rn×m_{, a matriz de realimenta¸c˜}_{ao de estados}

K ∈ Rm×n_{, tal que (A + BK) seja Hurwitz, e}

um conjunto E(P ) ultimamente limitado para o sistema ((7)). Determinar uma regi˜ao de condi¸c˜oes iniciais E(N ), a maior poss´ıvel, tal que E(P ) seja um conjunto localmente UBD em

rela¸cão à E(N ), para o sistema (1)-(2). 3 Análise de Estabilidade

Considerando o sistema (7), a não linearidade (6) pode ser parametrizada como pertencente à uma classe de fun¸cões (Dilda, 2013), como pode ser ob-servado na Figura 1. Note, entretanto, que essa parametriza¸cão utilizada em Dilda et al. (2015) é válida localmente quando também se considera a satura¸cão no interior do conjunto:

S(K, σ) =_{{x(t) ∈ R}n; _−σi≤ Kix(t)≤ σi},

(17) sendo σi= δi+(1₁_−α−α_ii)ρi.

Figura 1: N˜ao linearidade ϕi(ui(t)) parametrizada

por uma classe de fun¸c˜oes.

Considerando (16), η está associado ao menor autovalor da matriz N o qual, geometricamente, está relacionado ao comprimento do eixo menor do conjunto E(N ). Portanto, para obter o maior conjunto E(N ), inclui-se uma esfera de diâmetro igual a η neste conjunto e busca-se maximizar esta esfera.

Por defini¸c˜ao, E(1

η) ⊆ E(N) ⇔ x′N x ≤

1, ∀x′ 1

ηx≤ 1, ou, equivalentemente:

N _{≤ ˆηI}n, (18)

sendo ˆη = 1

η. Portanto, minimizar ˆη equivale `a

maximizar o tamanho do conjunto E(N ).

Propõe-se a seguir duas formas de encontrar solu¸cões para o Problema 1, denotadas Análise I e II, as quais podem ser utilizadas em sequência a fim de melhorar a estimativa da região E(N ) desejada.

3.1 An´alise I

A primeira análise é baseada no Corolário 1, admitindo-se que possa haver satura¸cão. Assume-se que já são conhecidos o conjunto UB E(P ) e a

(4)

˙

VP(x(t), ϕ(u(t))) =x(t)′((A + BK)′P + P (A + BK))x(t)− ϕ(u(t))′B′P x(t)− x(t)′P Bϕ(u(t)) < 0,

(12) ∀x ∈ E(P, c), ∀ x /∈ E(P ),

˙

VN(x(t), ϕ(u(t))) =x(t)′((A + BK)′N + N (A + BK))x(t)− ϕ(u(t))′B′N x(t)− x(t)′N Bϕ(u(t)) < 0,

(13) ∀x ∈ E(N) e ∀ x /∈ E(P, c).

constante α, a qual refere-se à inclina¸cão de uma das retas utilizada na descri¸cão da parametriza¸cão da fun¸cão ϕi(ui) (veja Figura 1). Estes valores

po-dem ser obtidos utilizando-se o algoritmo proposto em Dilda (2013). Busca-se, então, um conjunto de condi¸cões iniciais E(P, c), o maior poss´ıvel, o qual está inclu´ıdo na região S(ρ, σ) de validade local da parametriza¸cão e na qual observa-se que pode ocorrer satura¸cão. Neste caso, E(N ) = E(P, c), com N = P

c.

Proposi¸c˜ao 1 Sejam dados P′ _{= P > 0, tal que}

E(P ) ´e um conjunto UB, αi e σi,∀i = {1; ...; m},

existe um escalar c > 1, tal que: P K′ i ∗ ˆcσ2 i ≥ 0, (19)

sendo ˆc = 1_c. Então, E(P, c) é um conjunto po-sitivamente invariante para o sistema (7) e toda trajetória x(t) com condi¸cão inicial x0 ∈ E(P, c)

converge para E(P ) em tempo finito e nele per-manece confinada, ou seja, E(P ) ´e um conjunto localmente ultimamente limitado.

Prova Seja E(P ) um conjunto UB global para o sistema sujeito a n˜ao-lineridade de zona morta Dilda (2013). Tem-se sati(ui) = ϕi(ui) no

inte-rior do conjunto S(K, ¯ρ) = _{{x(t) ∈ R}n_;

−¯ρi ≤

Kix(t) ≤ ¯ρi}, portanto, E(P ) ´e um conjunto

UB local para o sistema (7) e (12) ´e verificada. Sendo assim, existe um conjunto positivamente in-variante E(P, c), com c > 1, tal que E(P, c) _⊆ S(K, σ)_{⊆ S(K, σ) ⇔ x}′_K′

iσ12

iKix≤ 1 ∀x

′ P cx≤ 1,

e esta rela¸c˜ao ´e equivalente a (Boyd et al., 1994): P c Ki′ ∗ σ2 i ≥ 0. (20)

Pr´e- e p´os-multiplicando (20) por diag√cIn, √1_c

e por seu transposto, res-pectivamente, e considerando 1_c = ˆc, obtém-se a desigualdade (19), garantindo assim a inclusão do conjunto E(P, c) na região de validade do modelo

S(K, σ). ✷

Para realizar a an´alise de estabilidade, com base na Proposi¸c˜ao 1, tem-se por objetivo encon-trar o maior conjunto elipsoidal E(P, c). Fazendo

E(N ) = E(P, c), obt´em-se uma rela¸c˜ao equivalente `

a (18) para o conjunto E(P, c), dada por:

P ˆc_{≤ ˆηI}n, (21)

sendo ˆc = 1 c e ˆη =

1

η. Desta forma, ao minimizar

ˆ

η, será maximizado o conjunto E(P, c). Propõe-se então o seguinte problema de otimiza¸cão.

Problema de Otimiza¸cão 1 min ˆ η,ˆc ηˆ sujeito à (19) e (21). 3.2 Análise II

Visando melhorar a estimativa do conjunto de condi¸cões iniciais cujas trajetórias convergem para o entorno da origem, propõe-se o resultado que se-gue.

Proposi¸c˜ao 2 Sejam dados P = P > 0 e c > 0, tais que E(P ) ´e um conjunto UBD local, com D,

E(P, c). Considere que existe um escalar positivo τ1, vetores α, β ∈ Rm, tais que 0 ≤ αi < 1 e

0 ≤ βi ≤ 1, ∀i ∈ {1; ...; m}, matrizes diagonais

definidas positivas Tj, Sj, ˜T2, ˜T3 ∈ Rm×m, j ∈

{1; ...; 4} e uma matriz sim´etrica definida positiva N ∈ Rn×n_{, tais que,} _{∀i = {1; ...; m}:}

 (A + BK) ′_{N + N (A + BK) + τ}₁_{P ˆ}_c _−NB ₀_n_×1 ∗ 0m 0m×1 ∗ ∗ −τ1   − M1(S1, T1)− M2(S2, T2, ˜T2) − M3(S3, T3, ˜T3)− M4(S4, T4) < 0, (22) N K′ i ∗ σ2 i ≥ 0, (23)

sendo σi =δi+(1₁_−α−α_ii)ρi, com ρie δidados e ˆc = 1_c.

Então, E(N ) é um conjunto positivamente in-variante para o sistema (7) e toda trajetória x(t) com condi¸cão inicial x0 ∈ E(N) converge para

E(P ) em tempo finito e nele permanece confinada. Prova Considere que (23) é verificada, de forma análoga à (19) é garantida a inclusão do conjunto E(N ) na região de validade do modelo e E(N ) _⊆ S(K, σ).

(5)

A partir da parametriza¸cão da não linearidade de zona morta por uma classe de fun¸cões, as ma-trizes M1(S1, T1), M2(S2, T2, ˜T2), M3(S3, T3, ˜T3)

e M4(S4, T4) dependem das vari´aveis

{Tj}j∈{1;...;4}, {Sj}j∈{1;...;4}, T˜2, T˜3.

Mul-tiplicando (22) à esquerda e à direita por ¯ z′ = x′ _ϕ(u)′ ₁ _{e ¯}_{z =} _x′ _ϕ(u)′ ₁′_, obtém-se x′((A + BK)′N + N (A + BK))x_{− x}′N Bϕ(u) − ϕ(u)′B′N x_{− τ}1(1− x′P ˆcx) − ¯z′M1(S1, T1)¯z− ¯z′M2(S2, T2, ˜T2)¯z − ¯z′M3(S3, T3, ˜T3)¯z− ¯z′M4(S4, T4)¯z < 0. (24) Sendo ˆc = 1 c, tem-se: x′ (A + BK)′N + N (A + BK)x− x′N Bϕ(u) − ϕ(u)′B′N x− τ1 1− x′P1 cx < 0. (25)

Ent˜ao, fazendo-se uso do S-procedure, obt´em-se (13).

Como, por hipótese, (12) é verificada, então, pelo Lema 1, E(N ) é um conjunto positivamente invariante e toda trajetória x(t) com condi¸cão ini-cial x0∈ E(N), converge para E(P ) em tempo

fi-nito e nele permanece confinada, ou seja, E(P ) ´e um conjunto localmente UBD para o sistema (7),

com D, E(N). ✷

A desigualdade (22) ´e uma BMI, devido a presen¸ca de produtos envolvendo as vari´a-veis Dα = αiIm, Dβ = βiIm, S1, S2, S3 e

S4, as quais se encontram presentes nas

ma-trizes M1(S1, T1), M2(S2, T2, ˜T2), M3(S3, T3, ˜T3) e

M4(S4, T4) (detalhes referentes a estas matrizes

podem ser encontrados em Dilda (2013) e Dilda et al. (2015)). A fim de solucionar o problema pro-posto na forma de LMI ´e feita uma busca nas va-ri´aveis escalares αi = α e βi= β,∀i ∈ {1; ...; m}.

Sendo assim, ´e proposto o algoritmo seguinte. Algoritmo 1 (An´alise UB local)

1. Faz-se uma busca nas variáveis 0≤ α < 1 e 0≤ β ≤ 1, através da resolu¸cão do problema de otimiza¸cão: min N, ˆη, {Tj}j∈{1;...;4},{Sj}j∈{1;...;4}, ˜T2, ˜T3 ˆ η sujeito à (22), (23), e (18).

2. Verifica-se qual o menor valor de ¯η ob-tido e os valores correspondentes de α, β, N, _{Tj}j∈{1;...;4}, {Sj}j∈{1;...;4}, ˜T2, ˜T3.

4 Exemplo num´erico

Considere o sistema multivari´avel dado por (Tarbouriech, Garcia, Gomes da Silva Jr and

Queinnec, 2011): A =  −0.5 1.54.3 6 45 3.2 6.8 7.2   , B =  −0.7 −1.30 _−4.3 0.8 _−1.5   ρ = 0.2 0.2 , δ = 2 2 .

Para realizar a an´alise de estabilidade local considera-se a matriz de ganho de realimenta¸c˜ao de estados obtida em (Dilda, 2013) e dada por: K = −0.5353 21.3442 −38.5778 2.9615 _−3.9362 22.7573 .

4.1 Resultado da An´alise I

Inicialmente resolve-se o Problema de Otimiza-¸cão 1 e obtém-se o primeiro resultado da análise de estabilidade. O conjunto E(P ) e a constante α foram obtidos utilizando-se o algoritmo proposto em Dilda (2013), com α = 0.5, o que implica em σ =4.2 4.2′ e P =  _−7.0775.77 121.45−7.07 _−154.9126.98 26.98 _−154.91 368.89   .

Utilizando o Problema de Otimiza¸cão 1, obteve-se: c = 3.8747 e ˆη = 114.9630. Vale lem-brar que ˆη representa o valor da fun¸cão objetivo e refere-se ao maior autovalor de E(P, c). O volume da região elipsoidal E(P, c) encontrada foi 0.0258. Na Figura 2 é mostrada a região UB E(P ) em azul (região interna) e a região de condi¸cões iniciais E(P, c) em vermelho (re-gião externa). São mostradas também duas trajetórias, com condi¸cões iniciais iguais a x0 = 0.1502 0.1083 0.09633′ e x0 =

−0.11307 −0.1811 −0.1055′. Observe que as trajetórias convergem para a região UB e nela permanecem confinadas. A Figura 3 apre-senta as mesmas regiões mostradas na figura an-terior e duas trajetórias, com condi¸cões inici-ais iguinici-ais a x0 = 0.2 −0.3 0.2′ e x0 =

−0.2 −0.3 0.2′, localizadas no exterior da re-gião E(P, c) e que são instáveis. Observando as condi¸cões inicias das trajetórias instáveis, deseja-se melhorar a estimativa da região de condi¸cões iniciais que convergem para E(P ).

4.2 Resultado da An´alise II

Fixando o valor de c obtido quando na solu¸cão da Análise I, obtém-se α = 0.5 e β = 0 (para mais de-talhes veja (Dilda, 2013)). Sendo assim, obteve-se um aumento de aproximadamente 30% no volume da região de condi¸cões iniciais E(N ), se comparado com o volume de E(P, c) obtido anteriormente. O valor da fun¸cão objetivo, o qual se refere ao maior

(6)

autovalor de E(N ), foi ˆη = 111.6216, e a matriz N encontrada foi: N =  11.080.65 31.380.65 −40.612.93 2.93 _−40.61 90.99   . Na Figura 4 é mostrada a região E(P ) em azul e a região de condi¸cões iniciais E(P, c) em vermelho. São mostradas também duas trajetórias, com condi¸cões iniciais iguais a x0 = 0.2149 0.1259 0.0932 e x0 =

−0.0528 −0.2265 −0.1509. A Figura 5 apre-senta as mesmas regiões mostradas na figura an-terior e duas trajetórias, com condi¸cões iniciais iguais às condi¸cões consideradas na Figura 3, lo-calizadas no exterior da região E(N ).

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 x1 x2 x3

Figura 2: Análise I e trajetórias estáveis.

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 0 1 x1 x2 x3

Figura 3: Análise II e trajetórias instáveis.

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 x1 x2 x3

Figura 4: Análise II e trajetórias estáveis.

−0.5 0 0.5 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 0 1 x1 x2 x3

Figura 5: Análise II e trajetórias instáveis.

5 Conclus˜oes

Neste trabalho foram propostas condi¸cões para a análise de estabilidade de sistemas lineares sujei-tos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da satura¸cão. Esta não lineari-dade é parametrizada por uma classe de fun¸cões, o que permite o uso de conceitos de estabilidade absoluta e estabilidade ultimamente limitada para a análise de estabilidade. Os resultados numéri-cos relatados demonstram uma boa estimativa do conjunto de condi¸cões iniciais do sistema.

Agradecimentos

Os autores agradecem `a CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

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