Simula¸c˜
ao Num´
erica Eficiente da Dinˆ
amica de Bolhas
Millena M. Villar, Alexandre M. Roma,Depto de Matem´atica Aplicada, IME, USP, 05508-090, S˜ao Paulo, SP
E-mail: villar@ime.usp.br, roma@ime.usp.br, Aristeu da Silveira Neto UFU - Universidade Federal de Uberlˆandia
Campus Santa Mˆonica 38400-902, Uberlˆandia, MG E-mail: aristeus@mecanica.ufu.br
Hector D. Ceniceros
UFU - University of California Santa Barbara CA 93106
E-mail:hdc@math.ucsb.edu
1
Introdu¸c˜
ao
Escoamentos multif´asicos transicionais e tur-bulentos s˜ao freq¨uentes em atividades de En-genharia que envolvam a dinˆamica dos fluidos. Uma das dificuldades encontradas na simula¸c˜ao desse tipo de escoamento consiste no alto custo computacional existente se malhas uniformes e regulares s˜ao utilizadas para capturar os deta-lhes dos escoamentos.
A alta densidade da malha euleriana gerada devido a diferen¸ca de escalas entre a fase dis-persa e a fase cont´ınua, requer que novas alter-nativas sejam implementadas com o intuito de diminuir o custo computacional, al´em de captar detalhes geom´etricos e fenˆomenos locais com maiores n´ıveis de informa¸c˜oes. Se a modela-gem da turbulˆencia ´e aplicada visando captar escalas ainda menores no escoamento, o cui-dado n˜ao deve se reter apenas ao dom´ınio es-pacial mas o tempo computacional deve ser le-vado em considera¸c˜ao. Este ´ultimo fator, leva `a necessidade de m´etodos num´ericos robustos que permitem trabalhar com largos passos no tempo.
Partindo-se do princ´ıpio de que malhas car-tesianas s˜ao empregadas, no presente trabalho prop˜oe-se aplicar o conceito de Malha Bloco-Estruturada Refinada Localmente em conjunto com o M´etodo de Acompanhamento de
Interfa-ces para a simula¸c˜ao de escoamentos bif´asicos bidimensionais. A turbulˆencia ´e modelada uti-lizando Simula¸c˜ao de Grandes Escalas (LES), onde passos de tempo da ordem de O(∆x) s˜ao utilizados. Esta capacidade adv´em da discre-tiza¸c˜ao temporal semi-impl´ıcita de segunda or-dem, a qual ´e baseada no M´etodo de Gear Modificado. O escoamento interno e externo em uma bolha isolada ascendente ´e brevemente analisado para baixo e elevado n´umero de Rey-nolds.
2
Equa¸c˜
oes governantes
No presente trabalho para a simula¸c˜ao num´erica de escoamentos bif´asicos bidiemnsi-onais, isot´ermicos e incompress´ıveis de fluidos imisc´ıveis newtonianos, utilizam-se as equa¸c˜oes de Navier-Stokes na modelagem do escoamento e a formula¸c˜ao lagrangiana para a modelagem do movimento da interface, conforme proposto por [11]. A formula¸c˜ao euleriana ´e empregada para descrever a dinˆamica do fluido. Nesta formula¸c˜ao, o escoamento ´e modelado pelas equa¸c˜oes de Navier-Stokes em todo dom´ınio de c´alculo, e s˜ao dadas por:
ρ¡ ∂u ∂t + u · ∇u ¢ = ∇ ·£µ¡∇u + ∇uT¢¤ − ∇p + ρg + f , (1)
∇ · u = 0, (2) onde ρ e µ s˜ao respectivamente a massa es-pec´ıfica e a viscosidade dinˆamica, propriedades que caracterizam o fluido. As caracter´ısticas dos escoamentos s˜ao representadas por: p, ´e o campo de press˜ao, u ´e o vetor velocidade, f ´e o vetor campo de for¸ca externa que atua sobre o escoamento na interface e g ´e a acelera¸c˜ao gravitacional.
Para o c´alculo das propriedades f´ısicas da fase cont´ınua e da fase dispersa e para a regi˜ao de transi¸c˜ao entre ambas as fases, utiliza-se a fun¸c˜ao indicadora proposta por [5], a qual ´e ba-seada em t´ecnicas de geometria computacional. Assim a fun¸c˜ao indicadora ψ(X(s, t)) assume o valor 0 na fase cont´ınua e 1 na fase dispersa. As propriedades f´ısicas s˜ao ent˜ao obtidas pelas rela¸c˜oes
ρ(ψ) = ρc+ (ρd− ρc)ψ(X(s, t)), (3)
µ(ψ) = µc+ (µd− µc)ψ(X(s, t)), (4)
onde ρd e µd s˜ao as propriedades da fase dis-persa (bolha) e ρc e µc s˜ao as propriedades da
fase cont´ınua.
O termo fonte de for¸ca f ´e quem permite a co-munica¸c˜ao entre as equa¸c˜oes de Navier-Stokes e as equa¸c˜oes de movimento da interface, sendo dado por:
f (x, t) = Z
F(X, t)δ(x − X)dx, (5) onde o vetor x ´e a posi¸c˜ao de uma part´ıcula de fluido no dom´ınio euleriano e o vetor X ´e a posi¸c˜ao de uma part´ıcula de fluido que est´a sobre a interface. F(X, t) ´e a for¸ca lagrangi-ana calculada sobre as part´ıculas de fluido que comp˜oem a interface, tal que
F = ∂T
∂st + T k ∂X
∂s k κn, (6)
onde κ =k ∂t∂s k / k ∂X∂s k ´e a curvatura da interface, t = ∂X∂s/ k ∂X∂s k ´e o vetor tangente unit´ario `a dire¸c˜ao da interface e n = ∂t∂s/ k ∂t∂s k ´e o vetor normal `a interface.
A fun¸c˜ao Delta de Dirac δ presente na Eq. (5) ´e aproximada por uma fun¸c˜ao Dij que
per-mite uma distribuia¸c˜ao suave da for¸ca lagran-giana sobre o dom´ınio euleriano, a qual ´e dada por Dij(X) = n Y m=1 [φ(x − X)]/∆ ∆ , (7)
onde ∆ ´e o espa¸camento devido a discretiza¸c˜ao do dom´ınio euleriano e n identifica o dom´ınio bidimensional ou tridimensional e φ(r) = ( 1 4∆(1 + cos(2∆πr), |r| ≤ 2∆ 0. |r| > 2∆ (8) Quando a interface se movimenta devido `a velocidade do fluido ou devido `a a¸c˜ao da gravi-dade para o caso de escoamentos multif´asicos, a nova posi¸c˜ao da interface pode ser expressa matematicamente em fun¸c˜ao da velocidade do fluido, tal que
∂X(s, t)
∂t =
Z
Ω
u(x, t)δ(x − X(s, t))dx. (9) Se a interface deforma e estira devido ao movimento do escoamento, alguns segmentos da interface podem se tornar inadequados de-vido ao deslocamento dos pontos lagrangia-nos. Como alternativa efetiva [4] prop˜oem usar uma velocidade tangencial apropriadamente es-colhida para controlar a distribui¸c˜ao dos pon-tos da interface, de forma que o movimento dos pontos da interface ocorre somente devido a ve-locidade normal do fluido. Assim a Eq. (9) ´e substitu´ıda por ∂X(s, t) ∂t = Z Ω u(x, t)δ(x − X(s, t))dx + ua(X, t)t, (10) onde ua(X, t) ´e a velocidade auxiliar que
mant´em os pontos equidistribu´ıdos, ou seja, se os pontos da interface est˜ao igualmente dis-tribu´ıdos as seguintes escolhas de ua(X, t) os
mant´em igualmente distribu´ıdos ao longo de todo o tempo. A velocidade auxiliar ´e ent˜ao definida por
ua(X, t) =
Z s
0
[σsκun− hσsκuni]ds0
− ut(X, t),
(11) onde ut = u · t, un = u · n, σs =
p
X2(s, t) + Y2(s, t) ´e o comprimento m´etrico
do arco, κ ´e a curvatura m´edia, n ´e o vetor nor-mal unit´ario, t ´e o vetor tangente unit´ario e o operador h i define uma m´edia espacial.
2.1 Modelo sub-malha de Smago-rinsky
O Modelo Sub-malha de Smagorinsky para Si-mula¸c˜ao de Grandes Escalas, tˆem como obje-tivo calcular a viscosidade turbulenta e modelar
o tensor de Reynolds. A viscosidade turbulenta µt´e calculada em fun¸c˜ao da taxa de deforma¸c˜ao Sij e da escala de comprimento `,
µt= (Cs`)2
p
2SijSij, (12)
onde ` = √∆x∆y ´e o comprimento carac-ter´ıstico da escala sub-malha e ´e uma fun¸c˜ao da malha de discretiza¸c˜ao. Cs ´e a constante
de Smagorisnky relacionada `a transferˆencia de energia das grandes escalas para as pequenas escalas. No presente trabalho, Cs = 0, 18. Por fim, a taxa de deforma¸c˜ao Sij ´e calculada com
base no campo de velocidades, Sij = 1 2 ³ ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ´ . (13)
Com o c´alculo da viscosidade turbulenta ´e poss´ıvel determinar a viscosidade efetiva µef a qual ´e composta pela viscosidade molecular µ mais a viscosidade turbulenta µt, tal que
µef = µ + ρ(Cs`)2
p
2SijSij. (14)
3
M´
etodo num´
erico
A solu¸c˜ao de (1) e (2) ´e determinada em vari´aveis primitivas empregando-se um m´etodo de proje¸c˜ao de segunda ordem. Essa classe de m´etodos foi primeiramente proposta por [7]. A proje¸c˜ao empregada aqui assegura segunda or-dem para as velocidades (i.e O(∆h2, ∆t2)) e no
m´ınimo primeira ordem para a press˜ao e para o deslocamento da fronteira. O M´etodo das Diferen¸cas Finitas ´e utilizado aqui para a dis-cretiza¸c˜ao espacial em malhas deslocadas.
Quanto `a discretiza¸c˜ao temporal uma es-trat´egia semi-impl´ıcita baseada no M´etodo de Gear ´e adotada (para maiores detalhes veja [6] e [13]). Assim, as equa¸c˜oes para as velocidades s˜ao discretizadas de forma semi-impl´ıcita e a da press˜ao de forma impl´ıcita. Os sistemas linea-res obtidos s˜ao linea-resolvidos atrav´es do M´etodo multin´ıvel-multigrid, similar aos descritos em [12]. Considerando passos de tempo constan-tes, a discretiza¸c˜ao temporal para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes ´e dada por:
ρn+1 ∆t (α2u n+1+ α 1un+ α0un−1) = λ∇2un+1 + β1g1(un, µnef) + β0g0(un−1, µn−1ef ) − ∇pn + ρng, (15) e g = −λ∇2u + ∇ ·£µef ¡ ∇u + ∇uT¢¤ − u · ∇u + f , (16) λ = Cλ k µef k∞, (17)
onde, os ´ındices 0, 1 e 2 s˜ao referentes aos tem-pos n − 1, n, n + 1, respectivamente e α e β s˜ao constantes tal que: α2 = 32, α1 = −2, α0 = 12,
β1 = 2 e β0 = −1.
De forma simplificada o m´etodo dos pas-sos fracioandos pode ser resumido na seguinte seq¨uˆencia de c´alculo:
ρn= ρc+ (ρd− ρc)ψ(X(s, t))n, ρn+1 ∆t (α2u˜ n+1+ α 1un+ α0un−1) = λ∇2u˜n+1 + β1g1(un, µnef) + β0g0(un−1, µn−1ef ) − ∇pn + ρng, ∇·h 1 ρn+1∇q n+1i= α2 ∆t∇ · ˜u n+1, un+1= ˜un+1−∆t∇qn+1 α2ρn+1 , pn+1 = pn+ qn+1, µn+1ef = µt+ µc+ (µd− µc)ψ(X(s, t))n+1.
Para a discretiza¸c˜ao temporal acima, por se tratar de m´etodos semi-impl´ıcitos segundo [1] ´e dif´ıcil estabelecer uma an´alise de estabili-dade rigorosa para o esquema num´erico semi-impl´ıcito. Sabendo-se que o termo difusivo ´e tratado implicitamente a restri¸c˜ao temporal da ordem de O(∆x2) ´e removida, permancendo a
restri¸c˜ao da ordem de O(∆x) para o termo ad-vectivo, j´a que este ´e tratado explicitamente. Com base em testes num´ericos, a seguinte res-tri¸c˜ao temporal ´e ent˜ao adotada para a discre-tiza¸c˜ao semi-impl´ıcita dada por Gear Modifi-cado: ∆t = C min(∆t1, ∆t2, ∆t3), (18) onde, ∆t1 = min(∆x, ∆y), (19) ∆t2 =³ |u|max ∆x , |v|max ∆y ´ , (20) ∆t3 = min{ ∆x 2 ,∆y2 } | vib|max , (21)
e C ´e um fator de seguran¸ca, cujo valor est´a no intervalo [0, 2 : 0, 6], vib ´e a velo-cidade da interface na dire¸c˜ao vertical. ∆x e ∆y s˜ao os espa¸camentos da malha eulerina nas dire¸c˜oes horizontais e verticais, respectiva-mente. Quando se trata de malha refinada lo-calmente, estes espa¸camentos s˜ao tomados em rela¸c˜ao ao n´ıvel mais fino.
3.1 Discretiza¸c˜ao do dom´ınio espa-cial
As equa¸c˜oes de Navier-Stokes e de movimento da interface s˜ao resolvidas em um dom´ınio computacional bidimensional (Ω = [A1, B1] ×
[A2, B2]), tanto em malhas cartesianas
uni-formes quanto em malhas cartesianas bloco-estruturada refinadas localmente, conforme ilustrado na Fig. 1. Estas consistem em uma seq¨uˆencia de malhas devidamente agrupadas e progressivamente refinadas nas regi˜oes de in-teresse `a uma raz˜ao de 2 (r = 2), tendo sido desenvolvida inicilamente por [3] e [12]. Esta hierarquia de malhas ´e composta de n´ıveis de refinamento gerados a partir de um n´ıvel base `a um n´ıvel mais refinado, de forma que `a medida que certas propriedades f´ısicas de interesse do escoamento v˜ao se alterando, as malhas ten-dem a acompanhar estas propriedades, defi-nindo assim o car´ater adaptativo. A posi¸c˜ao das vari´aveis de estado ´e feita no esquema mar-ker and cell (MAC), proposto por [10].
G G G G G 1,1 2,1 2,2 3,1 3,2
Figura 1: Exemplo de uma malha cartesiana bloco-estruturada refinada localmente.
A malha lagrangiana no m´etodo adaptativo ´e livre para se mover pelo dom´ınio f´ısico, n˜ao sendo necess´ario coincidir com a malha euleri-ana. Em contraste, ´e necess´ario que a malha adaptativa envolva completamente a interface. Para que isso seja poss´ıvel, o refinamneto ´e
ge-rado a partir da posi¸c˜ao da interface definido pela fun¸c˜ao indicadora.
4
Resultados
Um variado n´umero de testes foram realiza-dos para validar o c´odigo gerado e verificar sua robustez e precis˜ao. Primeiramente s˜ao apresentados os resultados para an´alise da or-dem de convergˆencia. Para analisar numeri-camente a convergˆencia do m´etodo, ´e suposto que a solu¸c˜ao fornecida por ele tenha expans˜ao assint´otica nas potˆencias do espa¸camento da malha. Se a solu¸c˜ao exata φe(x, t, h) ´e conhe-cida, ap´os ter sido encontrada a solu¸c˜ao aproxi-mada φ(x, t, h) para algum h, calcula-se para o mesmo ponto (x, t) a aproxima¸c˜ao φ(x, t, h/2). Os erros entre a solu¸c˜ao exata e as aproxi-madas para malhas de espa¸camentos h e h/2, satisfazem a raz˜ao
re= kφ(x, t, h) − φe(x, t)k kφ(x, t, h/2) − φe(x, t)k
≈ 2q, (22) onde k · k representa a norma euclidiana k · k2
ou infinito k · k∞. Para obter a ordem de
con-vergˆencia q em (22), basta tomar
log2re≈ q. (23)
As an´alises de convergˆencia para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes s˜ao aplicadas em uma malha uniforme na qual o n´ıvel base ´e dividido em trˆes blocos, formando um conjunto N × N c´elulas, permitindo que se verifique a comunica¸c˜ao en-tre as malhas. A malha adaptativa ´e definida com apenas 2 n´ıveis de refinamento.
Considerando as equa¸c˜oes de Navier-Stokes para escoamentos incompress´ıveis, tem-se:
ρ³ ∂u ∂t + u · ∇u ´ = ∇· h µ(∇u + ∇uT) i − ∇p + f . (24) As fun¸c˜oes suaves exatas adotadas, admi-tindo condi¸c˜oes de contorno peri´odicas em to-das as dire¸c˜oes e propriedades f´ısicas vari´aveis, s˜ao dadas por:
ue = C2π h k1sin (2πk2x − 2πk1y) − k2sin (2πk1x + 2πk2y) i e−t, (25) ve= C2π h k2sin (2πk2x − 2πk1y) + k1sin (2πk1x + 2πk2y) i e−t, (26)
pe= cos(2πx) cos(2πy)2π e−t, (27) onde C = 1/2π¡k2 1 + k22 ¢1 2, k 1 = 3 e k2 = 4.
As fun¸c˜oes exatas admitidas para as propri-edades f´ısicas s˜ao dadas por:
ρe= 1 + [sin(2πx) sin(2πy)]2e−t, (28) µe= µo+ ρeCs2∆x ∆y√2S, (29) S =h³ ∂ue ∂x ´2 +1 2 ³ ∂ue ∂y + ∂ve ∂x ´2 +³ ∂ve ∂y ´2i , onde µo = 1 e Cs = 0, 18. ∆x e ∆y s˜ao os
espa¸camentos da malha nas dire¸c˜oes horizon-tais e verticais, respectivamente.
Os resultados apresentados na Tabela 1, mostram a an´alise de convergˆencia na malha uniforme. A raz˜ao de convergˆencia do erro re
s˜ao apresentadas para a norma euclidiana k·k2, para as velocidade, para a press˜ao e para o di-vergente da velocidade. Para a malha adapta-tiva, os resultados est˜ao apresentados na Ta-bela 2.
Malha uniforme
malha 1282 r
e 2562 re 5122
k∇ · uk2 7.07e-10 - 2.26e-11 - 1.64e-11
kuk2 1.93e-3 4.0 4.82e-4 4.0 1.20e-4
kvk2 1.93e-3 4.0 4.82e-4 4.0 1.21e-4
kpk2 1.02e-2 4.0 2.54e-3 4.0 2.33e-4
Tabela 1: Teste de convergˆencia na malha uni-forme para condi¸c˜oes de contorno Peri´odica em todas as dire¸c˜oes, com propriedades f´ısicas vari´aveis.
Malha adaptativa
lbase 1282 re 2562 re 5122
k∇ · uk2 1.72e-5 4.04 4.25e-6 4.02 1.06e-6
kuk2 1.81e-3 3.98 4.53e-4 3.99 1.14e-4
kvk2 1.78e-3 4.09 4.36e-4 4.04 1.08e-4
kpk2 3.06e-2 3.33 9.18e-3 3.15 2.92e-3
Tabela 2: Teste de convergˆencia na ma-lha adaptativa para condi¸c˜oes de contorno Peri´odica em todas as dire¸c˜oes, com proprie-dades f´ısicas vari´aveis.
Verifica-se que em ambas as malhas as ve-locidades convergem para segunda ordem e no m´ınimo primeira ordem de convergˆencia ´e ga-rantida para a press˜ao na malha adaptativa. Para mais detlahes sobre os testes de con-vergˆencia veja [13].
4.1 Ascens˜ao de uma bolha isolada
Bolhas ascendentes s˜ao exemplos cl´assicos que podem ser usados para validar a modelagem de escoamentos que envolvem a presen¸ca de v´arios fluidos. Bolhas com massa espec´ıfica inferior `a do fluido tendem a ascender, devido aos efeitos de empuxo resultantes do gradiente de press˜ao causado pela gravidade. Com o objetivo de validar o c´odigo desenvolvido dois resultados num´ericos, um para baixo n´umero de Reynols e outro para elevado n´umero de Reynolds, s˜ao apresentados. Os resultdados s˜ao comparados com o diagrama de forma de [8]. Outra forma de se validar ´e atrav´es do salto de press˜ao o qual pode ser comparado com o resultado anal´ıtico dado pela lei de Young-Laplace.
4.1.1 Ascens˜ao a baixo n´umero de Rey-nolds
Os parˆametros admensionais s˜ao dados por Eo = 1, 0, M = 10−2, γ = 0, 5 e λ = 0, 5,
onde Eo = ρcgD2/T ´e o n´umero de E¨otvos,
M = gµ4
c/T3ρc ´e o n´umero de Morton, T ´e
a tens˜ao superficial, γ ´e a raz˜ao de massa es-pec´ıfica entre a fase cont´ınua e a fase dispersa (ρc/ρd) e λ ´e a raz˜ao de massa espec´ıfica
en-tre a fase cont´ınua e a fase dispersa (µc/µd).
Estes parˆametros podem ser obtidos usando um diˆametro de D = 0, 03m e T = 9, 0N/m em um dom´ınio 10/3D × 10D com condi¸c˜oes peri´odicas em todas as dire¸c˜oes. Para esta si-tua¸c˜ao, observa-se que a interface permanece circular ao longo de todo o tempo.
O salto de press˜ao ´e ent˜ao calculado numeri-camente para a malha uniforme e para as ma-lhas adaptativas com 4 niveis e 3 n´ıveis de re-finamento, com lbase = 32 × 96. Os valores encontrados nessas malhas s˜ao: 596, 52N/m2,
597, 62N/m2 e 594, 53N/m2, conforme
apre-sentado na Fig. 2. O salto de press˜ao anal´ıtico ´e dado pela express˜ao ∆p = 2T /D, a qual ´e conhecida como Lei de Young-Laplace. Este salto anal´ıtico ´e de ∆p = 600, 0N/m2 o qual
implica um erro de 0, 58% na malha uniforme de 256×768, 0.91% para malha adaptativa com 3 n´ıveis de refinamento e 0, 39% para malha adaptativa com 4 n´ıveis de refinamento. Tal erro ´e considerado aceit´avel e permite inferir que o transporte da interface est´a sendo simu-lado com sucesso mas com uma forte influˆencia dos n´ıveis de refinamento.
Figura 2: Salto de press˜ao ao longo de x para Eo = 1 e M = 10−2, obtido na malha uniforme e malhas adaptativas 32 × 96L3 e 32 × 96L4. 4.1.2 Ascens˜ao a elevado n´umero de
Reynolds ´
E conhecido que para altos Reynolds as bolhas ascendem de forma inst´avel. Quando a forma e a trajet´oria das bolhas variam constantemente, o regime de movimento ´e denominado de wob-bling. Em particular, pares n˜ao sim´etricos de v´ortices s˜ao claramente observados na esteira como consequˆencia da separa¸c˜ao da camada li-mite dos diferentes lados da superf´ıcie da bolha. Os resultados aqui apresentados utilizam malha adaptativa com 5 n´ıveis de refinamento, onde lbase = 64 × 192 em Ω = [0; 2] × [0; 6],
com viscosidade turbulenta, onde Cs = 0, 18. Para o caso de wobbling, a modelagem de tur-bulˆencia ´e aplicada, utilizando o modelo sub-malha de Smagorinsky. O passo de tempo ´e da O(∆x). Testes preliminares mostraram que quanto maior for o n´ıvel de refinamento, menos r´ıgido pode se tornar o coeficiente de seguran¸ca C. As varia¸c˜oes de C foram de 0, 2 a 0, 6. Os parˆametros adimensionais adotados para o re-gime wobbling s˜ao Eo = 10, M = 10−9, λ = 0, 5
e γ = 0, 5. O mesmo diˆametro e tens˜ao super-ficial para os casos anteriores s˜ao mantidos. Os contornos da malha adaptativa empregada s˜ao visualizados na Fig. 3. Nota-se que o refina-mento acompanha a posi¸c˜ao e a deforma¸c˜ao da interface.
A evolu¸c˜ao do campo de vorticidade para Eo = 10 e M = 10−9 ´e apresentado na Fig.
(a) (b)
Figura 3: Evolu¸c˜ao da remalhagem ao longo do tempo na malha composta 64 × 192L5: (a) t∗ = 20, 7 e (b) t∗ = 32, 2.
4. Na fase inicial, a bolha se deforma em tra-jet´oria ret´ılinea e v´ortices em fase s˜ao despren-didos da interface. `A medida que a bolha se deforma, v´ortices n˜ao sim´etricos s˜ao liberados alterando a sua trajet´oria, que por sua vez afe-tam novamente a vorticidade. Assim, v´ortices fora de fase passam a ser gerados o que leva ao emparelhamento dos v´ortices.
5
Conclus˜
oes
No presente trabalho, foi apresentada uma es-trat´egia computacional para a simula¸c˜ao bi-dimensional completamente adaptativa de es-coamentos bif´asicos. A metodologia num´erica empregada combinou malhas refinadas local-mente com uma discretiza¸c˜ao temporal semi-impl´ıcita de segunda ordem, turbulˆencia e t´ecnicas multigrid-multin´ıvel para a solu¸c˜ao de sistemas lineares. A discretiza¸c˜ao proposta apresenta restri¸c˜oes da (O(∆x)). Para esta me-todologia, os resultados s˜ao analisados para o estudo do comportamento da ascens˜ao de bolha isolada em dois regimes distintos: um laminar e um turbulento. Os resultados s˜ao ent˜ao vali-dados utilzando-se a lei de Young-Laplace e o diagrama de forma de Clift [8].
6
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq, FAPESP 04/13781-1 e FAPESP 06/57099-5.
Referˆ
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