Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ Rio de Janeiro, RJ, Brasil

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CONTROLE POR BUSCA EXTREMAL DE AMPLIFICADORES ´OPTICOS RAMAN VIA

MODOS DESLIZANTES E FUN ¸C ˜AO DE CHAVEAMENTO PERI ´ODICA

Alessandro Jacoud Peixoto∗_{, Tiago Roux Oliveira}†_{, Guilherme Salgado Gomes Sagaz}‡ ∗_{Dep. de Engenharia Eletrˆ}_{onica e de Computa¸c˜}_{ao - DEL/Poli}

Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ Programa de Engenharia El´etrica - PPEEL/CEFET-RJ

Rio de Janeiro, RJ, Brasil

†_{Dep. de Engenharia Eletrˆ}_{onica e de Telecomunica¸c˜}_{oes - DETEL} Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Eletrônica - PEL

Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ Rio de Janeiro, RJ, Brasil

‡_{Programa de Engenharia El´etrica - PPEEL/CEFET-RJ}

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Emails: jacoud@poli.ufrj.br, tiagoroux@uerj.br, guisagaz@gmail.com

Abstract— In a recent paper, the authors have proposed an extremum-seeking control strategy to single-input-single-output (SISO) uncertain nonlinear systems. Such proposed sliding mode based real-time optimization algorithm guaranteed global convergence properties to a small neighborhood of the optimal point by means of a periodic switching function. In this paper, we generalize our previous results to a multivariable framework and applies this new controller to the optimization of the output signal power spectrum of Raman optical amplifiers. The aim is the equalization of the gain at different frequencies considering eventual inclusions/exclusions of signals in the fiber. It is proposed an ordinary differential equation model based to describe the signal power dynamics in the fiber which approximates satisfactorily the well known model based on partial differential equations. The convergence analysis is developed in the presence of uncertainty and the control performance is evaluated via numerical simulations.

Keywords— sliding modes, Raman optical amplifiers, uncertain multivariable nonlinear systems, nonlinear PDEs, extremum seeking control, signal power regulation.

Resumo— Em um trabalho recente, os autores propuseram uma estratégia de controle por busca extremal para sistemas monovariáveis incertos e não-lineares. Esse algoritmo de otimiza¸cão em tempo real baseado em modos deslizantes era capaz de garantir a convergência global para uma vizinhan¸ca pequena do ponto ótimo por meio de uma fun¸cão de chaveamento periódica. Neste artigo, generaliza-se essa estratégia para sistemas multivariáveis visando a otimiza¸cão do espectro de potências dos sinais de sa´ıda de amplificadores Raman. O objetivo é a equaliza¸cão do ganho nas diferentes frequências considerando eventuais inclusões/exclusões de sinais na fibra. Propõe-se um modelo baseado em equa¸cões diferenciais ordinárias que aproxime satisfatoriamente o conhecido modelo baseado em equa¸cões diferenciais parciais. A análise de convergência é desenvolvida na presen¸ca de incertezas e o desempenho do controlador é avaliado via simula¸cões numéricas.

Palavras-chave— modos deslizantes, amplificadores ópticos Raman, sistemas não-lineares incertos e multiva-riáveis, PDEs não-lineares, controle por busca extremal, regula¸cão do sinal de potência.

1 Introdu¸c˜ao

Os sinais ópticos transmitidos em fibra óptica estão su-jeitos a diversos fenômenos como, atenua¸cão, disper-são e distor¸cão não-linear (Headley & Agrawal, 2005), (Palais, 1998). Atenua¸cão ocorre como resultado de es-palhamento resultante de uma não homogeneidade do vidro e/ou à presen¸ca de ressonâncias eletrônicas e vi-bracionais devido ao vidro ou à impureza. A combina-¸cão desses efeitos gera uma série de perdas, em especial, na faixa de comprimento de onda em torno de 1550nm. Uma variedade de efeitos não-lineares são observados em fibras ópticas devido à intera¸cão ou acoplamento com o material da fibra. Em particular, o efeito Raman permite a transferência de potência óptica de campos com comprimento de onda curto (e maior energia do f´ o-ton) para campos com maiores comprimentos de onda (Kidorf et al., 1999) por meio de dissipa¸cão de energia, conserva¸cão de fótons e por espalhamento (ou efeito) Raman estimulado (SRS - Stimulated Raman Scatte-ring) e espontˆaneo. O SRS é um efeito não-linear que

ocorre devido à intera¸cão de radia¸cões luminosas com as vibra¸cões dos átomos do material que constitui a fibra ´

optica. A radia¸cão luminosa é absorvida pelos átomos da fibra que reemitem a energia, gerando uma varia¸cão no n´ıvel originalmente encontrado. O espalhamento Ra-man espontâneo ocorre quando um bombeio é aplicado e se obtêm fótons em frequências diferentes da de ori-gem e com fases diferentes também, gerando ru´ıdo no sistema. O SRS ocorre sob a excita¸cão de uma intensa fonte de laser (bombeio) ocorrendo um espalhamento altamente eficiente. Neste processo de espalhamento cerca de 10% da energia do bombeio é convertida em frequência Stokes (Kidorf et al., 1999). Alocando-se o espectro dos sinais que conduzem dados em compri-mentos de onda maiores do que dos sinais de bombeio (lasers a serem controlados), o espectro dos sinais de dados pode ser influenciado. Este processo é a base para o ganho que ocorre nos sinais de dados na ope-ra¸cão de amplificadores Raman. Este mesmo processo resulta também em intera¸cão entre sinais de dados e

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entre sinais de bombeio, gerando ru´ıdo e emiss˜oes es-pontˆaneas amplificadas (ASE).

Um amplificador Raman é um dispositivo composto por uma parte óptica e uma parte eletrônica onde através de um grupo de lasers de comprimentos de onda não modulados (i.e. lasers ´opticos de bombeio) inseridos na fibra, eleva a potência dos comprimentos de onda modu-lados (lasers de sinais de dados). Tal ganho de potência é chamado de ganho Raman e ocorre em todo o compri-mento do enlace de fibra óptica devido principalmente ao SRS (Palais, 1998), (Dower et al., 2008). Os amplifi-cadores Raman são tipicamente aplicados em sistemas submarinos DWDM (dense wavelength division multi-plexed ) e em transmiss˜oes terrestres.

Em muitas aplica¸cões práticas, o ponto de opera¸cão de-sejado ou “ótimo” de um processo ocorre justamente num ponto de extremo (máximo ou m´ınimo) de uma não-linearidade que está relacionada com a eficiência do sistema. Este problema já foi formulado há muito tempo (1940-1960), mas o interesse foi reavivado gra-¸cas a recente prova formal de estabilidade de esquemas gerais de controle por busca extremal (Ariyur & Krs-tic, 2003). Na literatura moderna, tal controle é refe-rido por “Extremum Seeking Control” (ESC).

O ESC, ou simplesmente, Controle Extremal, tem co-nexão estreita com o bem conhecido problema de Oti-miza¸cão em Tempo Real. Os mais populares algorit-mos para otimiza¸cão sem restri¸cão utilizam informa¸cão da derivada ou do gradiente da fun¸cão objetivo. En-tretanto, em muitos problemas de controle extremal o gradiente da fun¸cão objetivo pode não ser acess´ıvel em tempo real ou ser muito dispendioso ter essa infor-ma¸cão. Existe também uma estreita conexão entre o ESC e o controle de sistemas com dire¸cão de controle desconhecida (Yan et al., 2008), (Oliveira et al., 2007), (Bartolini et al., 2003), (Drakunov, 1993). Para plantas monovariáveis a dire¸cão de controle é o inverso do sinal de realimenta¸cão. Toda vez que o sistema se aproxima de um ponto de extremo e cruza-o, isso corresponderá a mudan¸cas da dire¸cão de controle.

Em (Peixoto et al., 2010), (Oliveira et al., 2011), foi pro-posto um controlador por busca extremal monovariável baseado em modos deslizantes e fun¸cão de chaveamento periódica (Drakunov, 1993) utilizando apenas realimen-ta¸cão de sa´ıda. O método da fun¸cão periódica é robusto com respeito a mudan¸cas na dire¸cão de controle. Isso motivou explorar o algoritmo da fun¸cão periódica para resolver problemas de controle via busca extremal. A partir da fun¸cão de chaveamento periódica definia-se múltiplas superf´ıcies de chaveamento, para as quais ao menos uma seria uma superf´ıcie de deslizamento est´ a-vel.

A diferen¸ca essencial com rela¸cão às abordagens de Ariyur & Krstic (2003) reside no fato de que, em vez de adapta¸cão, utiliza-se modos deslizantes na abordagem aqui proposta, além de não se requerer sinais de excita-¸cão (tipicamente senoidais) para “estimar” o gradiente da fun¸cão objetivo. Uma das vantagens da abordagem escolhida neste projeto com respeito, por exemplo, a (Korovin & Utkin, 1974) ou (Pan et al., 2003) é po-der garantir resultados de convergência globais (ou seja, para quaisquer condi¸cões iniciais).

A principal contribui¸cão deste trabalho é a aplica¸cão do algoritmo por busca extremal em amplificadores ´ opti-cos Raman por meio de uma fun¸cão custo apropriada.

Esta é a primeira generaliza¸cão para sistemas MIMO (multi-input-multi-output) do controlador proposto em (Peixoto et al., 2010), (Oliveira et al., 2011), e é capaz de encontrar em tempo real o ponto de opera¸cão de potência ótimo nesses dispositivos. O desempenho do otimizador será avaliado por simula¸cão numérica, tendo por referência os resultados dispon´ıveis na literatura.

2 Nota¸c˜ao e Terminologia

O operador diag denota o mapeamento de vetores (li-nha ou coluna) em matrizes diagonais. A fun¸c˜ao sinal sgn quando aplicada a um vetor significa aplicar ele-mento a eleele-mento. A norma Euclidiana de um vetor x e a correspondente norma induzida de uma matriz A s˜ao denotadas por |x| e |A|, respectivamente. A norma L∞e de um sinal x(t) ∈ IRn_{a partir de um instante inicial t}

0 ´e definida por kxt,t0k := supt0≤τ ≤t|x(τ )|; para t0= 0, a

nota¸cão kxtk é adotada. O termo genérico π(t) é dito ser exponencialmente decrescente se |π(t)| ≤ be−at_{, ∀t e} constantes a > 0 e b > 0, com b podendo depender das condi¸cões iniciais do sistema. A defini¸cão de Filippov para a solu¸cão de equa¸cões diferenciais com lado direito descont´ınuo (Filippov, 1964) e o conceito de controle equivalente estendido (Hsu et al., 2002), v´alido dentro e fora da superf´ıcie de deslizamento, serão utilizados ao longo do texto.

3 Configura¸cão Geral do Sistema Óptico A configura¸cão geral do sistema óptico considerada neste trabalho é tal que o amplificador Raman em ques-tão opera em um enlace de fibra óptica definido da seguinte forma: (i) fibra óptica distribu´ıda de compri-mento L denotada por F delimitada por duas fronteiras uma por onde os dados s˜ao inseridos (entrada – ups-tream) e outra por onde os dados s˜ao coletados (sa´ıda – downstream); (ii) grupo de npsinais de bombeio (sinal de controle) cada um com potência dada pelos elemen-tos do vetor Pp ∈ IRnp e comprimento de onda dado pelos respectivos elementos do conjunto Λp:= {λi| i = 1, 2, . . . , np}; (iii) grupo de nssinais exógenos, contendo a informa¸cão a ser transmitida (dados), cada um com potência dada pelos elementos do vetor Ps ∈ IRns e comprimento de onda dado pelos respectivos elemen-tos do conjunto Λs:= {λi| i = np+ 1, np+ 2, . . . , N }, sendo N := np+ ns; (iv) grupo de ns dispositivos de acoplamento óptico para introduzir os dados a serem transmitidos no in´ıcio da fibra e ns sensores, denotado por Hs, para medir as respectivas potências dos sinais que contêm informa¸cão no final da fibra; (v) grupo de npdispositivos de acoplamento óptico (atuadores), de-notado por Hp, para introduzir os diversos sinais de bombeio na extremidade final do enlace que se propa-garão no sentido do in´ıcio da fibra.

3.1 Dinˆamica das Potˆencias

Considera-se o modelo da distribui¸cão da potência mé-dia é para descrever o comportamento das potências em amplificadores Raman descrito em (Bromage, 2004). Este modelo consiste de um conjunto de N = np+ ns EDPs de primeira ordem, não-lineares e acopladas (equa¸cão de transporte), dado por: τi∂P_∂ti + µi∂P_∂zi = −αiPi+PN_{j=1 (j6=i)}cijPiPj, sendo Pi a potência (em W ) do sinal presente na fibra (dado ou bombeio) em um

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instante de tempo t e a uma distância z do in´ıcio da fi-bra (medida ao longo da fifi-bra), correspondente ao com-primento de onda λi(dado ou bombeio). As constantes τi, µi e αi representam os correspondentes atrasos de grupo na propaga¸cão por unidade de comprimento (em µs/km), o sentido de propaga¸cão (adimensional) e a atenua¸cão por unidade de comprimento (em 1/km), res-pectivamente. A constante cijpermite modelar o aco-plamento entre as potências do sinal de comprimento de onda λie o sinal de comprimento de onda λjpresente na fibra, por unidade de comprimento (em 1/W/km). O atraso de grupo τi(λi), as perdas ou atenua¸cões αi(λi) e o acoplamento cij(λi, λj) são fun¸cões dos comprimen-tos de onda presentes na fibra. O sentido de propaga-¸cão µié igual a −1 para os sinais de bombeio (contra-propagante, com i = 1, . . . , np) e igual a 1 para os si-nais de dados (i = np+ 1, . . . , N ). Para uma nota¸cão mais compacta, considere as seguintes matrizes: τ := diag`ˆ

τ1 . . . τN ˜´, µ := diag `ˆ µ1 . . . µN ˜´, A := diag`ˆ

α1 . . . αN ˜´ e C ∈ IRN ×N com seu ij-´ezimo elemento dado por cij.

A dinâmica temporal e espacial da propaga¸cão de po-tências pode ser reescrita como (Dower et al., 2008):

τ∂P ∂t + µ ∂P ∂z = −AP + diag(P )CP , (1) com P = ˆ P1 . . . PN ˜T particionado na forma P = P (t, z) := » Pp(t, z) Ps(t, z) – ∈ IRN_{, N := n} p+ ns, as matrizes τ, µ, A, C ∈ IRN ×N _{consideradas incertas,} sendo que a potência dos sinais de bombeio inseridos no final da fibra é a entrada de controle U (t) := Pp(t, L), o vetor de potências dos sinais de dados no final da fibra é o vetor de sa´ıda medido Y (t) := Ps(t, L) e o ve-tor de potências dos sinais de dados no in´ıcio da fibra, D(t) := Ps(t, 0), é considerado como uma perturba¸cão. Note que, a especifica¸cão de uma condi¸cão de contorno espacial e uma temporal para cada componente do ve-tor P assegura a existência e unicidade de solu¸cão de EDPs na forma (1), ver (Krstić & Smyshlyaev, 2008) e (Krstić, 2009). A condi¸cão de contorno espacial é especificada por U (t) e por D(t). A condi¸cão inicial temporal é definida por uma distribui¸cão de potência espacial inicial P (0, z) ao longo da fibra.

4 Formula¸c˜ao do Problema

Considere o modelo descrito em (1). O objetivo de con-trole é ajustar as potências dos sinais de bombeio U para: (i) minimizar as diferen¸cas entre as potências dos sinais de dados no final da fibra Y , resultando em um espectro de potência mais plano ao longo de toda a banda de comprimentos de onda dos sinais de dados e (ii) minimizar o desvio de cada elemento de Y em rela¸cão a um n´ıvel desejado previamente estabelecido. De acordo com (Dower et al., 2008), mesmo na pre-sen¸ca de acoplamento (C 6= 0), a potência dos sinais que trafegam na fibra convergem para limites quando as entradas (bombeio e dados no in´ıcio da fibra) são constantes no tempo. A seguinte hipótese é admitida:

(H0.a) A EDP (1) admite solu¸c˜ao que converge para um limite (atrator) determinado unicamente por valores fixos de Pp(t, L) = θpe Ps(t, 0) = θs, ∀t.

Sendo assim, para cada Ps(t, 0) = θs ∈ IRns cons-tante no tempo, pode-se definir um mapeamento est´ a-tico H : IRnp_{→ IR}ns_{que relaciona cada valor constante}

no tempo de U (t) = θp∈ IRnpao correspondente limite da sa´ıda Y (t): lim t→∞Y (t) = H(θp) , H = ˆ H1 . . . Hns ˜T . (2) (H0.b) O mapeamento H(·) ´e suave e bion´ıvoco.

4.1 Sistema MIMO Est´atico

Varia¸cões do tipo degrau na potência dos dados na en-trada da fibra Ps(t, 0) afetam as potências no final da fi-bra após um atraso da ordem de Lτi, com i = 1, . . . , ns. Atrasos de grupo t´ıpicos na propaga¸cão encontram-se na ordem de 1µs/km. Portanto, para uma fibra t´ıpica de 100km observa-se atrasos da ordem de 0.1ms. Por outro lado, transitórios mais rápidos são esperados no final da fibra quando varia¸cões do tipo degrau na en-trada de controle U (t) são consideradas. Estes transi-entes rápidos podem ser observados através de simula-¸cões numéricas via aproxima¸cões por diferen¸cas finitas de (1). Fica evidente, portanto, a presen¸ca de duas escalas de tempo distintas em amplificadores Raman. Este trabalho aborda os transitórios relacionados com a escala de tempo longa, buscando otimizar a opera¸cão do sistema óptico em seu equil´ıbrio em estado estacio-nário.

Lembrando que os transitórios devido a mudan¸cas em U (t) (final da fibra) são mais rápidos do que os transit´ o-rios devido a mudan¸cas em Ps(t, 0) (entrada da fibra), é razoável considerar um comportamento entrada-sa´ıda estático para varia¸cões suaves da entrada de controle U (t) e valores constantes das potências dos sinais de dados na entrada da fibra Ps(t, 0). Neste sentido, va-mos considerar a seguinte hipótese:

(H1) As potências dos sinais de dados na sa´ıda da fibra Y (t) = Ps(t, L) são dadas pelo seguinte ma-peamento estático

Y (t) = H(U (t)) , ∀t , quando Ps(t, 0) = θs, ∀t.

A valida¸cão deste modelo proposto pode ser realizada através da compara¸cão com a resposta obtida pelo mo-delo constru´ıdo via método das diferen¸cas finitas, in-cluindo um atraso temporal para simular o atraso na-tural na propaga¸cão das potências na fibra. Além disso, varia¸cões suaves da entrada de controle U (t) serão as-seguradas com a inclusão de um integrador MIMO na entrada do sistema. Isto refor¸ca considerarmos o atraso de grupo de (1) como uma dinâmica não-modelada. Portanto, considere o seguinte sistema não-linear e MIMO de primeira ordem formado pelo cascateamento da planta MIMO (1) satisfazendo as Hipóteses (H0) e (H1) e de npintegradores desacoplados na entrada para suavizar o sinal de controle: ˙x = u, Y = H(x), sendo u ∈ IRnp_{a nova entrada de controle, Y a sa´ıda medida}

e x = U ∈ IRnp_{, o vetor de estados dos integradores,}

i.e., a entrada efetiva da planta (1).

Nosso objetivo é desenvolver um esquema realimentado que maximize uma fun¸cão custo apropriada que carac-terize algum desempenho em estado estacionário para a sa´ıda Y (t), sem requerer o conhecimento do mapea-mento H(·). Sem perda de generalidade, considera-se o problema de maximiza¸cão.

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Para tanto, os elementos do vetor de potˆencias dos si-nais de dados Y = ˆ

Y1 . . . Yns

˜T

serão selecio-nados em grupos, denotados por Gj (j = 1, . . . , np), que caracterizam os sinais que estão mais fortemente acoplados ao sinal de controle uj: entrada do j-ézimo integrador com estado xj(equivalente à potência Ujdo j-ézimo sinal de bombeio).

4.2 Sele¸c˜ao de Grupos de Sinais

O espectro de ganho Raman é a distribui¸cão de todas as frequências Stokes geradas através do espalhamento Raman e depende da frequência da luz incidente e do material (Kidorf et al., 1999). O espectro de ganho Ra-man em fibras de s´ılica tem largura de banda de ganho em torno de 40T Hz, com pico de eficiência em 13.2T Hz correspondendo a cerca de 100nm (Kidorf et al., 1999). Com isso os comprimentos de onda de sinais que mais receberão potências oriundas de um determinado com-primento de onda de bombeio são aqueles localizados próximos de 100nm acima do laser de bombeio. Portanto, observando os comprimentos de onda dos si-nais de dados que trafegam na fibra e os comprimen-tos de onda dos sinais de bombeio é fácil detectar qual grupo de sinais de dados é mais afetado por um bom-beio espec´ıfico de comprimento de onda λj. Isto tam-bém pode ser verificado observando os elementos da matriz C de acoplamento em (1). Além disso, a escolha de λjpode ser previamente realizada para afetar mais fortemente um grupo de sinais de dados do que outro. Considere a nota¸cão a seguir. Seja gjsubconjuntos dis-juntos do conjunto {1, 2, . . . , ns} formado pelos ´ındices do vetor de potências dos sinais de dados Y associados aos sinais que estão mais fortemente acoplados com o sinal de bombeio de potência Uj, sendo Ujelemento do vetor de entrada U =ˆ

U1 . . . Unp

˜T

. Seja ainda, Gj = {Yi|i ∈ gj}. Diz-se que o sinal de potência Yi pertence ao grupo Gj, quando i ∈ gj. É claro que Uj influencia sinais de dados de potência Yicom i não per-tencente a gj, porém de forma atenuada.

Seja Ygj ∈ IR

pj _{o vetor formado pelos elementos do}

ve-tor Y que pertencem ao grupo Gje seja Hg_j : IRnp→ IRpj _{o mapeamento correspondente formado pelas}

fun-¸c˜oes Hi com i ∈ gj, com Hi definido em (2). Pode-se, ent˜ao escrever que:

Ygj = Hgj(x) , j = 1, . . . , np.

4.3 Defini¸c˜ao da Sa´ıda e Fun¸c˜ao Custo

Para cada grupo Gj (com pj sinais de dados), assim como em (Dower et al., 2008), considere uma fun¸c˜ao custo J : IRpj _{→ IR, cont´ınua e suave, que quantifica}

o desempenho de interesse: m´ınima diferen¸ca entre os elementos de Gj e m´ınimo desvio de cada elemento de Gj em rela¸c˜ao a um n´ıvel desejado previamente esta-belecido. Define-se a seguinte sa´ıda yjque quantifica o desempenho de interesse para o grupo Gj:

yj(t) = J(Ygj(t)) , ∀gj.

Este desempenho de interesse pode ser quantificado por meio da seguinte fun¸c˜ao (Dower et al., 2008):

J(v) := −Ja(v) − Jb(v) + J0,

sendo Ja(v) := (v − vd)TQ(v − vd) e Jb(v) := Ppj

i,k=1 , i6=kRik(vi− vk)2, sendo v ∈ IRpj, Q ∈ IRpj×pj

uma matriz positiva semi-definida de projeto, Rik são constantes positivas de projeto e, apenas por conveni-ência, J0> 0 é uma constante escolhida para que J(v) assuma apenas valores positivos (∀v). O primeiro termo Japenaliza (Q) desvios na potência dos sinais de dados (do grupo Gj) no final do enlace em rela¸cão ao n´ıvel desejado vd ∈ IRpj, enquanto que o segundo termo Jb penaliza (Rik) varia¸cões no espectro dos sinais de dados (m´ınima diferen¸ca entre os elementos de Gj). Uma pos-s´ıvel escolha para Rik é dada por (Dower et al., 2008): Rik=_(λ 1

i−λk)2, sendo λie λkos comprimentos de onda

dos sinais de dados do grupo gj.

Relembrando que Yg_j = Hg_j(x) e definindo o mapea-mento de sa´ıda h : IRnp_{→ IR}np

h(x) := J(Hgj(x)) =

ˆ

h1(x) . . . hnp(x) ˜ ,

o seguinte sistema passa a ser considerado:

˙x = u , y = h(x) , (3)

sendo y =ˆ

y1 . . . ynp ˜.

4.4 Hip´oteses Principais

Vamos considerar que as fun¸cões J e H são tais que o mapeamento de sa´ıda h satisfa¸ca a hipótese a seguir onde, sem perda de generalidade, considera-se apenas o caso de maximiza¸cão:

(H3.a) Cada fun¸cão hj(·) (j = 1, . . . , np) é suave, con-t´ınua e convexa e apresenta um conjunto não vazio Θjde maximizantes da forma {θ ∈ IRnp| hj(α) ≤ hj(θ) , ∀α ∈ IRnp} e Θ1∩ Θ2∩ . . . ∩ Θnp6= ∅.

(H3.b) Cada fun¸cão hj(·) é unimodal com respeito a xj quando as outras variáveis xi (i 6= j) forem mantidas constantes no sentido que para xi man-tido constante ∀i 6= j em xi = θi e j = 1, . . . , np, existe um maximizante θ∗

j(xi) ∈ IR ´unico tal que ∂hj ∂xj ˛ ˛ ˛ ˛ xj=θj∗ = 0 e ∂ 2_h j ∂x2 j ˛ ˛ ˛ ˛ xj=θj∗ < 0 ,

e para qualquer ∆ > 0 existe uma constante Lj(∆) > 0 v´alida ∀θital que

Lj≤ ˛ ˛ ˛ ˛ ∂hj ∂xj ˛ ˛ ˛ ˛ xj=θj , ∀ θj∈ D/ ∆, sendo D∆j := {θj : |θj− θ ∗ j| < ∆2} denomina-se de ∆-vizinhan¸ca de θ∗

j e pode tornar-se arbitrari-amente pequena reduzindo-se Lj.

Neste trabalho, considera-se que aloca¸cão dos compri-mentos de onda dos bombeios e a matriz C em (1) são tais que os sinais do grupo G1são significantemente in-fluenciados apenas pelo sinal de entrada U1, os sinais do grupo G2 apenas por U2, e assim sucessivamente. Para formalizar esta considera¸cão, a seguinte hipótese será assumida:

(H4) A matriz C de acoplamento em (1) ´e tal que o mapeamento h(·) satisfaz para j = 1, . . . , np:

˛ ˛ ˛ ˛ ∂hj ∂xi ˛ ˛ ˛ ˛ ≤ ǫ ˛ ˛ ˛ ˛ ∂hj ∂xj ˛ ˛ ˛ ˛ , ∀xi, ∀xj∈ D/ ∆j, ∀i 6= j ,

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A hipótese (H4) assegura que cada elemento do gra-diente da fun¸cão hj seja dominado pelo seu j-ézimo elemento ∂hj

∂x_j. Neste sentido, assume-se que hj está fracamente acoplado às variáveis xi, para i 6= j, ou seja, está fracamente acoplado aos bombeios associa-dos aos outros grupos diferentes de gj. Particionando-se o Jacobiano na forma ∂h ∂x = kp+ ˜kp, sendo kp = diag“h ∂h1 ∂x1 . . . ∂h_np ∂x_np i”

, podemos dizer que (H4) caracteriza uma dominância diagonal do Jacobiano. Este acoplamento fraco será encarado como perturba-¸cão para os sistemas de controle de cada grupo.

5 Lei de Controle com Fun¸c˜ao de Chaveamento Peri´odica

Considere o sistema (3). O controle por modos desli-zantes e realimenta¸c˜ao de sa´ıda com fun¸cão de chavea-mento periódica é dado por:

u = ̺(t) sgn`sen ˆπE−1_{σ(t)˜´ ,} ₍₄₎ sendo ̺(t) = diag`ˆ

̺1(t) . . . ̺np(t) ˜´ ´e a fun¸c˜ao

de modula¸c˜ao (cont´ınua em t) a ser definida,

σ(t) = e(t) + Λ Z t 0 sgn(e(τ ))dτ (5) Λ = diag`ˆ λ1 . . . λnp ˜´ e E = diag `ˆ ε1 . . . εnp ˜´ s˜ao matrizes diagonais apropriadas.

O sinal e(t) ´e dado por

e(t) := y(t) − ym(t) , (6) sendo ym´e gerado da seguinte forma

˙ym= Km, ym(0) = ym0, (7) sendo Km, ym0∈ IRnp vetores constantes de projeto. Nossa estratégia baseia-se em seguimento de trajetória de tal forma que a sa´ıda y é controlada no sentido de rastrear o sinal monotonicamente crescente ym. Desta forma, y é for¸cado a alcan¸car uma vizinhan¸ca do m´ a-ximo y∗= h(x∗). Para evitar a presen¸ca de um sinal de referência ilimitado no controlador, pode-se saturar ym em um valor baseado no conhecimento de um limitante superior grosseiro para ky∗

k, sem afetar o desempenho do controlador.

O projeto de ̺ é conduzido para que modos deslizantes ocorram em tempo finito nas variedades σi= kεi (i = 1, . . . , np), para algum inteiro k. Consequentemente, devido à a¸cão integral presente em (5) y = h(x) tenta rastrear ym(e y se aproxima de y∗) quando fazemos ˙σ = 0 na seguinte expressão ˙σ = ˙e + Λ sgn(e) que é obtida diretamente de (5). Além disso, torna-se evidente que a taxa de convergência de x para a ∆-vizinhan¸ca definida em (H3) é uma fun¸cão de Λ.

A proposi¸cão a seguir fornece uma poss´ıvel implemen-ta¸cão para a fun¸cão de modula¸cão.

Proposi¸c˜ao 1 Considere o sistema (1), satisfazendo as hipóteses (H0)–(H4), com a lei de controle (4). Fora da vizinhan¸caD∆j, se a fun¸cão de modula¸cão ̺ em (4)

for tal que ̺j:= ̺∗ 1 − ǫ(np− 1) , ̺∗= maxj  1 Lj [Kmj+ λj] ﬀ +δ , (8)

para ǫ < 1/(np− 1) tem-se que: (a) não ocorre es-cape em tempo finito nos sinais do sistema em malha fechada (tM → +∞); (b) deslizamento ideal na varie-dade σj = kε é alcan¸cado em tempo finito para algum inteiro k; (c) a vizinhan¸ca D∆ em (H3.b) é atrativa sendo alcan¸cada em tempo finito e (d) para Lj sufi-cientemente pequeno, as oscila¸cões em torno do con-junto maximizante Θj de hj, j = 1, . . . , np definidos em (H3.a), podem ser feitas da ordemO(kEk).

Prova: A prova da proposi¸c˜ao é análoga àquela apresentada para a Proposi¸cão 1 em (Peixoto et al., 2010) e para o Teorema 2 em (Oliveira et al., 2011), com a diferen¸ca principal que trata-se agora o caso multiva-riável que pode ser interpretado como np subsistemas monovariáveis com acoplamento satisfazendo (H4). Os acoplamentos são encarados como perturba¸cões equiva-lentes de entrada que aparecem na dinâmica de σ.

6 Simula¸c˜oes Num´ericas

Exemplo 1 Este exemplo ilustra um caso utilizando a Fibra Óptica TrueWave Reach - Low Water PeakR envolvendo ns= 4 sinais de entrada e np= 2 bombeios contra-propagantes em um enlace de comprimento L = 100km, onde os sinais são inseridos no comprimento z = 0 e os bombeios em z = L. O fabricante, a OFS Fitel Denmark Ap, caracterizou experimentalmente os parâmetros f´ısicos da fibra óptica, tais como atenua¸cão, dispersão, e eficiência de ganho Raman.

Considere os comprimentos de onda (em nm) pre-sentes na fibra: Λp = ˆ 1442 1490 ˜ T e Λs = ˆ 1530 1550 1570 1590 ˜T. Na nota¸c˜ao compacta (1), tem-se: µ = diag`ˆ −1 −1 1 1 1 1 ˜´, 106_{τ = diag}` ˆ 4, 876 4, 877 4, 877 4, 878 4, 878 4, 879 ˜´, A=diag` ˆ 0, 058 0, 051 0, 047 0, 045 0, 045 0, 045 ˜´, C= 2 6 6 6 6 6 6 4 0 −0, 23 −0, 59 −0, 62 −0, 18 −0, 10 0, 22 0 −0, 17 −0, 25 −0, 39 −0, 57 0, 55 0, 16 0 −0, 12 −0, 15 −0, 21 0, 58 0, 24 0, 12 0 −0, 11 −0, 14 0, 17 0, 37 0, 15 0, 11 0 −0, 11 0, 09 0, 53 0, 20 0, 14 0, 11 0 3 7 7 7 7 7 7 5 .

Neste exemplo, a idéia da estratégia proposta é usar o bombeio 1 (2) para otimizar as potências dos sinais 1 e 2 (3 e 4) no final da fibra. Para cada canal, o es-quema proposto considera que a fun¸cão suave yj= hj(x) (j = 1, 2) a qual deseja-se maximizar seja desconhecida (i.e., não se conhece hj(·) ou suas derivadas parciais) e tenha um único ponto de máximo na região de in-teresse para xi mantido constante (i 6= j). Uma vez motivada a hipótese do desacoplamento (H4), o pro-blema de controle por busca extremal de amplificadores ´

opticos Raman pode ser encarado como um problema SISO explorado anteriormente em (Peixoto et al., 2010) e (Oliveira et al., 2011), com perturba¸cão gerada pelos outros canais em que agora o ponto de máximo é ob-tido da interse¸cão das superf´ıcies obtidas a partir dos conjuntos maximizantes das fun¸cões hj(·).

A Figura 1 mostra a convergência das potências dos bombeios (x2, x1), ambos partindo de 60mW, para uma vizinhan¸ca do maximizante, i.e., para uma vizinhan¸ca do ponto de interse¸cão dos conjuntos maximizantes das fun¸cões hj(·). A Fig. 2 apresenta o espectro dos sinais

(6)

de dados e dos sinais de bombeio para a potˆencia de set-point e para o maximizante encontrado, percebe-se que as potˆencias dos 4 sinais se elevam e tendem ao valor desejado. 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 x 1 (m W ) x2(mW)

Figura 1: Evolu¸cão dos sinais x1(t) e x2(t) no plano x2× x1e interse¸cão das curvas de n´ıvel correspon-dentes aos valores máximos de y1 e de y2.

1440 1460 1480 1500 1520 1540 1560 1580 1600 −30 −20 −10 0 10 20 1440 1460 1480 1500 1520 1540 1560 1580 1600 −40 −20 0 20 40

Figura 2: Espectro dos sinais transmitidos na fibra. Potência em dBm e comprimento de onda em nm. Gr´ a-fico superior sem a¸cão de controle e gráfico inferior com a¸cão de controle. Em ambos os casos as potências ini-ciais dos bombeios foram iguais a 60mW.

7 Conclus˜oes

Neste artigo, o controlador por busca extremal proposto anteriormente foi estendido para o caso multivariável e aplicado no problema de regula¸cão do sinal de potência em amplificadores ópticos Raman. O projeto proposto explora a existência de grupos de sinais transmitidos na fibra que são mais afetados por um determinado si-nal de controle permitindo considerar um sistema mul-tivariável quadrado com fraco acoplamento. Embora esses amplificadores sejam dispositivos inerentemente não-lineares e com parâmetros distribu´ıdos, o novo con-trolador desenvolvido reduziu significativamente o

des-vio de potˆencia dos sinais de dados a partir de um set-point desejado.

Agradecimentos

Este trabalho contou com o apoio financeiro da FA-PERJ, CAPES e do CNPq.

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