SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO TRANSIENTE HIDRÁULICO NO CANAL
DE ALIMENTAÇÃO DA USINA HIDRELÉTRICA MONJOLINHO
Stênio de Sousa Venâncio1; Swami Marcondes Villela2;James Lacerda Maia3
RESUMO - Este trabalho foi elaborado com o propósito de analisar o transiente hidráulico no canal de alimentação da Usina Hidrelétrica Monjolinho, situado em São Carlos-SP. É parte integrante dos casos abordados na pesquisa acadêmica de mestrado do primeiro autor, cujo objetivo é propor um modelo computacional para análise de transiente hidráulico em canais com finalidades diversas (canais de hidrelétricas, de abastecimento de água, de irrigação, etc.), dando subsídios para a automação do sistema de controle dos mesmos. Especificamente, pretende-se determinar os máximos e mínimos níveis de água atingidos no canal e câmara de carga, com aplicação prática desde a fase de projeto até a avaliação de sistemas existentes, pela definição das dimensões do canal e câmara, necessidade de vertedor, suporte para automação, etc. As equações diferenciais hidrodinâmicas completas (Saint-Venant unidimensional) que governam o modelo, são aproximadas por um esquema completamente implícito de diferenças finitas e discretizadas convenientemente para este modelo. As condições de contorno do problema são: vazão utilizada para a geração de energia e as alturas de água no canal e na câmara. A análise do escoamento acontece para os resultados espaciais e temporais de altura de água e vazão, considerando manobras de parada e abertura da turbina.
ABSTRACT - This work investigates the unsteady flow in the Hydroelectric Monjolinho’s channel, located in the city of São Carlos-SP. It is one of the cases studied in the first author’s graduate program, which proposes a computation model to simulate unsteady flows of open channels with many purposes (such as hydroelectric power, water supply, irrigation, etc.) and it contributes to automation of their operational control systems. Specifically, it intends to determine the maximum and minimum levels of water reached in the channel and load camera, with practical application from the project phase to the evaluation of existent systems, for the definition of the dimensions of the channel and camera, vertedor need, support for automation, and so on. The complete 1D hydrodynamic equations of Saint-Venant are approximated by a completely implicit method of finite differences and conveniently discretized for this model. The boundary conditions are: the flow used for the generation of energy and the heights of water in the channel and in the camera. The analysis of the drainage happens on the space and temporary results of height of water and flow, considering stop maneuvers and opening of the turbine.
Palavras-chave: Simulação numérica, escoamento transiente, canais abertos.
____________________
1 Doutorando SEA-EESC-USP, Alameda das Papoulas nº 40, 13566-545 São Carlos. E-mail steniovenanccio@ig.com.br 2 Professor titular aposentado da USP, EESC-SHS, Rua Padre Teixeira nº 1772, 13560-210 São Carlos. E-mail swami@shs.com.br 3 Doutorando SEA-EESC-USP, Avenida Trabalhador São Carlensse nº 400, 13566-545 São Carlos. E-mail jamesjanela@yahoo.com.br
INTRODUÇÃO
Com a crescente demanda por energia elétrica, muito se tem investido no Brasil em sistemas de geração que, além do aspecto quantitativo, venha a atender as exigências ambientais. Neste contexto, devido à disponibilidade hídrica, os investimentos em geração de energia, por hidrelétricas, têm uma representatividade importante. Se considerarmos somente os investimentos atuais, dos empreendimentos em construção, 73% correspondem às usinas hidrelétricas UH, sendo destes, 20% de pequenas centrais hidrelétricas PCH’s. (ANEEL,2007)
O estudo da variação da altura de água em canais de adução de PCH’s é importante para a determinação das possíveis intervenções necessárias para o bom funcionamento do sistema. A entrada de ar no conduto forçado, resultada do rebaixamento excessivo do nível de água na câmara de carga (abertura da turbina), ou mesmo o transbordamento da água no canal (fechamento da turbina) impondo a necessidade de um vertedor ou elevação do nível do banzo superior são, por exemplo, respostas importantes e necessárias que se deve ter do sistema. Além disso, a determinação de níveis de água, vazões e velocidades em função do tempo em qualquer posição do canal, é ferramenta útil no planejamento da operação, principalmente quando se deseja automatiza-la. Em situações de abordagem complexa, o que normalmente ocorrem em casos reais, uma análise cuidadosa do problema é requerida e, para isso, modelos numéricos são necessários. Este trabalho pretende, especificamente, atuar como ferramenta de apoio para a análise do sistema em questão, definindo, através dos níveis de água obtidos, as intervenções necessárias. A vazão no canal de adução (uma das condições de contorno do problema) foi obtida através de dados fornecidos pela CPFL – Companhia Paulista de Força e Luz, e corresponde a vazão utilizada na geração de energia. A altura de água (outra condição de contorno do problema) é constante na entrada do canal e conhecida, à jusante, em condição de regime permanente. Desta forma, foi possível chegar às alturas de água no canal em regime permanente, via “Step-Method”, atuando como parâmetros da simulação.
MODELO NUMÉRICO Equações governantes
A equação da continuidade segue a forma apresentada em Henderson (1966):
0 B q x Q B 1 t y LAT = ± ∂ ∂ + ∂ ∂ (1)
onde ∂y/∂t é a taxa de variação temporal da altura de água em relação ao fundo do canal; ∂Q/∂x a taxa de variação espacial da vazão; B a largura da superfície livre; e qLAT o aporte de vazão lateral
água em relação a um plano de referência horizontal no tempo considerado e ∂z/∂t = 0 (uma vez que a declividade de fundo não varia com o tempo), a equação geral pode ser reescrita na forma:
0 B q x Q B 1 t h LAT = ± ∂ ∂ + ∂ ∂ (2) A equação da quantidade de movimento é dada na forma como segue:
0 1 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + − t V g x V g V x y S Sf (3)
onde Sf é a declividade da linha de energia; S0 a declividade de fundo do canal; ∂y/∂x a taxa de
variação espacial da altura de água; ∂V/∂x a taxa de variação espacial da velocidade média do escoamento; ∂V/∂t a taxa de variação temporal da velocidade média; e g é a aceleração da gravidade. Substituindo S0 por ± ∂z/∂x e Sf por V2/CH2.RH = Q2/A2.CH2.RH na Eq. (3), ela pode ser
escrita como: 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ± t V g x V g V x y x z R C A Q H H (4)
onde A é a área da seção transversal; RH é o raio hidráulico da seção; e CH o coeficiente de Chezzy,
função do raio hidráulico e do coeficiente de rugosidade de Manning (CH=RH1/6/n) determinado
para cada passo de tempo da discretização estabelecida. Introduzindo a relação ± ∂z/∂t = ∂h/∂x - ∂y/∂x na Eq. (4) e multiplicando-a por g.A2, ela fica:
0 2 2 ∂ = ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ x h gA Q Q R C g x Q Q A t Q H H (5) Discretização
Um dos esquemas mais utilizados para a análise do escoamento variável em canais é o esquema implícito de diferenças finitas de Preissmann (apud LIGGET e CUNGE 1975), dado por:
(
)
(
)
(
)
[
k]
i k i k i k i f f f f t t f − − + − ∆ = ∂ ∂ + + + + 1 1 1 1 1 1 φ φ(
)
(
)
(
)
[
k]
i k i k i k i f f f f x x f − − + − ∆ = ∂ ∂ + + + + 1 1 1 1 1 1 θ θ (6)sendo φ e θ fatores de ponderação onde, para φ = 0,5 e θ = 1 tem-se o esquema completamente implícito de Preissmann apresentado como segue
(
) (
)
∆ − + ∆ − = ∂ ∂ + + + + t f f t f f t f iK11 iK1 iK 1 iK 2 1 e x f f x f K 1 i 1 K 1 i ∆ − = ∂ ∂ + + + (7)onde o valor médio da variável f é calculado por
2 f f f K i K 1 i __ +
= + , sendo i a representação das seções, k o tempo de cálculo e f o valor representativo de qualquer variável do problema onde, para o caso em questão, é dado por Q (m3/s) e h (m).
Discretizando a equação da continuidade Eq. (2) por este esquema, tem-se
0 1 2 1 __ 1 1 1 __ 1 1 1 1 = ± ∆ − + ∆ − + ∆ − + + + + + + + B q x Q Q B t h h t h hik ik ik ik ik ik LAT (8)
a qual multiplicada por 2∆t fica
(
)
2 0 1 2 __ 1 1 1 __ 1 1 1 1 − ± ∆ = ∆ ∆ + − + − ++ + + + + + B q t Q Q B x t h h h hik ik ik ik ik ik LAT (9) Definindo x t ∆ ∆ 2como α e rearranjando a Eq. (9) em termos de K e K+1, pode-se escrevê-la
__ LAT k 1 i k i 1 k i __ 1 k 1 i __ 1 k i 1 k 1 i B q t 2 h h Q B Q B h h + +α −α = + + ± ∆ + + + + + + (10)
Comohik+1+hik =2 h__ a Eq. (10) fica
__ __ 1 1 1 1 __ 1 1 __ 2 2 B q t h h Q B h Q B LAT k i k i k i k i + + + = ± ∆ − ++ + + + + α α (11) Fazendo __ B AJ =−α ; BJ =1; __ B CJ =α ; DJ =1; __ __ 2 2 B q t h E LAT
J = + ∆ (para entrada de vazão
lateral); e 2__ 2 __
B q t h
EJ = − ∆ LAT (para saída de vazão lateral), lembrando que se não ocorre entrada e
saída de vazão lateral, o termo EJ fica
__ 2 h
EJ = , a equação discreta da continuidade é da forma
J k i J k i J k i J k i JV B h C V D h E A + + + ++ = + + + + 1 1 1 1 1 1 (12)
Aplicando o esquema de aproximação para a equação da quantidade de movimento Eq. (5) e seguindo os mesmos passos adotados anteriormente, fica
__ 1 1 __ 1 1 __ __ 2 __ __ __ __ 1 __ 1 __ __ 2 __ __ __ __ 2 1 1 Q g Ah Q R C A Q t g A Q h A g Q R C A Q t g A Q k i k i H H k i k i H H = + ∆ + + + − ∆ + − ++ + + + + α α α α (13) com 2 Q Q Q k i k 1 i __ + = + and k __ i k 1 i Q 2Q Q+ + = .
Reduzindo os termos da equação na forma
∆ + − = __ __ 2 __ __ __ __ 1 H H JL R C A Q t g A Q A α ; BJL =−αg__A; ∆ + + = __ __ 2 __ __ __ __ 1 H H JL R C A Q t g A Q C α ; DJL =αg__A e EJL =2 Q__
a equação da quantidade de movimento é tratada como
JL k i JL k i JL k i JL k i JLQ B h C Q D h E A + + + + = + + + + + 1 1 1 1 1 1 (14) APLICAÇÃO
O sistema estudado tem 1.347m de extensão com discretização espacial variável num total de 30 seções. As seções de 3 a 5 e de 7 a 9 possuem geometria circular (tubos de aço) com 10m e 14m de extensão respectivamente. As condições de contorno do problema são: a altura de água constante na entrada do canal à montante e a vazão à jusante. Portanto, para a simulação de abertura repentina da turbina, são conhecidas todas as alturas de água no canal em condição de repouso absoluto e, à jusante, a vazão de geração de energia. Na simulação de fechamento instantâneo da turbina, são conhecidas as alturas de água no canal em regime permanente e, à jusante, a vazão igual à zero (no instante do fechamento). O esquema do problema é apresentado na Figura 1 a seguir:
Figura 1 – Esquema do canal da PCH Monjolinho para a aplicação do modelo.
s-1 s-3 s-5 s-7 s-9 s-28 s-29 s-30 co nd ut o fo rç ad o câmara de carga canal trapezoidal Q ∅=1m 2∅=0,80m canal trapezoidal canal trapezoidal
30 30 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... F Q E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A F h JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J = = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Para as equações matemáticas discretizadas anteriormente, tem-se o seguinte sistema linear:
(15)
onde os índices sobrescritos de Q e h representam o tempo do cálculo, e os índices subscritos as seções consideradas.Os valores de A,B,C,D e E são determinados pelas expressões desenvolvidas anteriormente em caráter explícito. Desta forma pode-se concluir que, para NZ = n seções, o sistema
é constituído por 2.
(
n−1)
=equações e 2 =.n incógntas,o que representa neste caso um número de 58 equações e 60 incógnitas. Introduzindo os contornos ao sistema, este fica:(16) e portanto um sistema com 60 equações e 60 incógnitas. F1 = h1 é obtido pela altura de água
constante no canal à montante, dada por:
1 1 1 1 h y z F = = + (17) onde
y1 = 0,59m = altura da água à montante (constante);
z1 = 3,02m = carga de posição em relação ao fundo da câmara de carga; 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 1 30 29 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J JL K JL K JL K JL K JL J K J K J K J K J E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A E h D Q C h B Q A = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
e
F30 = Q30, é a condição de contorno de jusante, atribuída diretamente à vazão de geração de energia
0,517 m3/s (simulação de abertura) ou 0,000 m3/s (simulação de fechamento)
Para a resolução do sistema, são dados ainda: g = 9,81 m/s2 = aceleração da gravidade; z = espaçamento entre seções (variável); Dt = 10 s = intervalo de tempo de cálculo;
Nt = 5040 = número de intervalos de tempo para cálculo (abertura da turbina) Nt = 720 = número de intervalos de tempo para cálculo (parada da turbina) n = 0,015 = coeficiente de Manning;
Nz = 30 = número de seções discretas
ALT = arquivo das alturas de água nas seções, obtidas pela equação de energia via “Step-Method” COTAS = cotas de fundo do canal obtidas topograficamente
O sistema de equações é então disposto na forma de matriz, de acordo com Fortuna (2000), expressa como na Figua 2, de forma a ser resolvido numericamente. A Matriz A e o Vetor B são calculados explicitamente no tempo K e o Vetor U obtido implicitamente pela resolução do sistema no tempo K+1.
Matriz A Vetor U Vetor B
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
30 29 29 2 2 1 1 1 30 30 29 3 2 2 1 1 29 29 29 29 29 29 29 29 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1*
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
F
E
E
E
E
E
E
F
Q
h
Q
h
Q
h
Q
h
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
JL J JL J JL J JL JL JL JL J J J J JL JL JL JL J J J J JL JL JL JL J J J JModelo Computacional
Para simular o transitório hidráulico no sistema, dentro da metodologia apresentada, foi desenvolvido um modelo computacional em linguagem FORTRAN. O modelo aplicado neste estudo pode ser estendido a outros casos a partir de ajustes na geometria, condições de contorno e discretização temporal e espacial. Em casos de canais naturais, a abordagem deve ser cuidadosa, pois a geometria das seções é aproximada por funções matemáticas que podem apresentar divergência nos limites de máxima e mínima altura de água. As simulações realizadas contemplaram duas situações: verificação do rebaixamento do nível de água na câmara de carga quando o sistema entrar em operação (análise da ocorrência ou não da entrada de ar no conduto forçado); verificação da elevação do nível de água no canal de adução e câmara quando as turbinas pararem bruscamente (análise da necessidade de vertedor ou elevação dos banzos superiores). O diagrama de blocos do modelo é apresentado na Figura 3.
Figura 3 – Diagrama de Blocos leitura dos dados
de entrada cálculo das condições iniciais impressão das condições iniciais laço de tempo 1 3 2
cálculo dos termos explícitos 1 obtenção dos contornos montagem do sistema linear e resolução impressão dos dados gerados 2 3 fim do programa início
RESULTADOS
Os dados de vazão e altura de água em função do tempo são apresentados resumidamente nas Figuras 4, 5, 6 e 7, envolvendo as manobras de abertura instantânea da turbina (repouso absoluto no canal) e parada repentina da mesma (para regime permanente no canal). Foi considerado como tempo inicial o instante t = 0s para ambas as simulações onde, para as situações de abertura e parada da turbina, 14h e 2h de simulação respectivamente.
A Figura 4 mostra a evolução das alturas de água no canal de adução e câmara de carga no tempo, para manobra de abertura repentina da turbina. Para t = 0s, início da simulação, a água encontra-se em repouso no sistema. As mínimas alturas de água ocorridas no canal e câmara de carga são após 13h 11min do início da simulação, e correspondem as alturas de água do regime permanente. Para tanto, fica evidente a não ocorrência de nível crítico na câmara de carga que possibilite a entrada de ar no conduto forçado.
ABERTURA DA TURBINA h x t 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 distância acumulada (m) h (m ) Fundo t=0s t=2min t=12min t=30min t=2h t=6h t=13h 11min y (r e g im e p e rm a n e n te ) z h banzo superior c o n d u to f o rç a d o
Figura 4 - Evolução das alturas de água no tempo (abertura da turbina).
A Figura 5 mostra a evolução da vazão no tempo na câmara de carga e no canal após a entrada em operação da turbina. O efeito de jusante, provocado pela abertura da turbina, é sentido quase que instantaneamente na câmara de carga. Após 2min, o efeito de jusante ainda não é sentido por mais da metade do canal à montante. Neste instante, entre as distâncias 600m e 800m, ocorre uma
Q x t -0,100 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 distância acumulada (m) Q (m 3 /s ) t=0s t=2min t=12min t=30min t=2h t=6h t=13h 11min
Figura 5 - Evolução das vazões no tempo (abertura da turbina)
A Figura 6, apresentada a seguir, mostra a evolução das alturas de água no canal de adução e câmara de carga no tempo, para manobra de parada instantânea da turbina. Para t = 0s, início da simulação, a água encontra-se em regime permanente no sistema. As máximas alturas de água ocorridas no canal e câmara de carga acontecem no instante t = 43,5min. A partir deste instante, os níveis de água no canal e câmara passam a oscilar até o instante t = 52min quando então o regime permanente é restabelecido. Para tanto, fica evidente a não ocorrência de nível crítico na câmara de carga que possibilite a entrada de ar no conduto forçado. Pelo gráfico da Figura 6 também pode ser observado que após o instante t = 12min, ocorre transbordamento em parte do canal, entre 950m e 1.340m. O fato do transbordamento também pode ser observado na Figura 4. Isto sugere a concepção de um vertedor lateral, por exemplo, ou a elevação dos banzos superiores no trecho supramencionado.
h x t 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 distância acumulada (m) h (m ) Fundo t=0s t=2min t=6min t=12min t=20min t=43,5min t=52min y (r e g im e p e rm a n e n te ) z h banzo superior c o n d u to f o rç a d o
Figura 6 - Evolução das alturas de água no tempo (parada da turbina).
A Figura 7 mostra a evolução da vazão no tempo na câmara de carga e no canal, após a parada repentina da turbina. No instante t = 0s, o escoamento no canal ocorre em regime permanente quando então a turbina para bruscamente. O efeito de jusante, provocado pela parada da turbina, é sentido quase que instantaneamente na câmara de carga. Nos primeiros minutos, o efeito da inércia pode ser percebido com clareza, provocado pela vazão de 0,000m3/s na junção da câmara de carga com o conduto forçado. No instante t = 2min, as seções de montante ainda sofrem o efeito de jusante. É registrado neste instante, vazões menores que a do regime permanente (Q = 0,517m3/s)
nas extremidades de montante (0m à 300m) e de jusante (1.000m à 1.347m), e vazões superiores a do regime permanente nas seções intermediárias (300m à 1.000m). A água no sistema se aproxima do repouso absoluto no instante t = 120min.
Q x t -0,150 -0,100 -0,050 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 0,550 0,600 0,650 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 distância acumulada (m) Q (m 3 /s ) t=0s t=2min t=6min t=12min t=20min t=43,5min t=52min t=72min t=120min
Figura 7 - Evolução das vazões no tempo (parada da turbina)
CONCLUSÕES
A presente simulação numérica contemplou as características físicas do caso estudado, conhecidas as condições de contorno das situações simuladas.
Para a aplicação do modelo computacional apresentado por este estudo em outros casos, mesmo que não canais de PCH’s, resta sua adaptação às particularidades geométricas e hidráulicas da situação abordada, bem como das condições de contorno do problema particular.
Também é importante frisar que o modelo computacional aqui implementado foi motivado pela necessidade de atender a uma finalidade prática da CPFL e, para tanto, fica limitado em simular apenas as situações abordadas. Esta limitação é imposta pelos contornos do problema e geometria.
Apesar de reproduzir na mesma ordem de grandeza (de espaço e tempo) o fenômeno real, a validação da presente simulação fica subordinada à realização de medições de altura de água no canal, em pontos e intervalos de tempo que possam ser comparados com a simulação.
AGRADECIMENTOS
Agradecemos ao CNPq pelas bolsas de estudo concedida respectivamente para os dois primeiros autores durante o programa de pós-graduação na Universidade de São Paulo – USP.
BIBLIOGRAFIA
ANEEL (2007). Site: www.aneel.gov.br – Agência Nacional de Energia Elétrica – 30/05/2007 às 10:08hs
FORTUNA, A. O. (2000) Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: Conceitos Básicos e Aplicações, EDUSP, 426p.
HENDERSON, F. M (1966), Open Channel Flow, Macmillan Publishing, Inc, New York, 522p. LIGGETT, J.A. e CUNGE, J.A. (1975) Unsteady Flow in Open Channels – Cap 4 – Volume I – editado por K.Mahmood e V.Yevjevich – 484p.
