5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

(1)

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Nesta etapa do trabalho foram realizadas análises estatísticas para a interpretação dos resultados obtidos nos testes com a amostra coletada e para permitir a realização de inferências na população. Foi utilizado o software estatístico Minitab 13, versão demonstração.

5.1 Aferição da máquina MSR

Foi realizada a aferição da máquina MSR a partir dos resultados obtidos nos testes de flexão estática em relação ao eixo de menor inércia e nos testes com a máquina MSR. Para aferir os resultados da máquina MSR foi utilizado o modelo da regressão linear simples, tomando como variável independente os valores de MOE medidos nos testes de flexão estática e como variável dependente os valores medidos na máquina MSR.

Este é o modelo mais simples para descrever a relação entre uma variável independente x e uma variável dependente y.

No modelo de regressão linear simples são feitas as seguintes suposições:

1) A média dos ε

_i

é zero e sua variância σ

²

é desconhecida e constante, para n

i ≤

≤

1 ;

2) Para , i ≠ j , ε

i

e ε

j

não são correlacionados, isto é, COV( ε

i

; ε

j

)=0, para j

i ≠ , i ≤ 1 e j ≤ n;

3) A distribuição dos ε

i

é normal, para 1 ≤ i ≤ n .

Não se pode fazer inferências sobre a população a menos que se cumpram as três considerações acima.

O modelo da regressão linear simples debruça-se sobre a relação de tipo linear entre a variável dependente (y) e a variável independente (x). Ou seja, a relação entre as variáveis x e y das populações x e y correspondentes é representada por uma reta do tipo:

i i

i

x

y ( ) = α + β ( ) + ε (12)

(2)

Sendo:

y = variável resposta;

x

i

= variável independente para a observação i;

α = constante;

β = coeficiente angular;

ε

i

= resíduo; reflete o fato de que as variações de y não são totalmente explicadas pelas variações de x.

Como, geralmente, a reta de regressão da população não é conhecida, esta deve ser estimada a partir dos dados amostrais. Portanto deve-se determinar uma equação de curva que se ajuste ao grupo de dados. A qualidade do modelo ajustado tem de ser avaliada antes de se concluir algo a respeito do grau de influência da variável x na variável y, ou de utilizar o modelo ajustado para fazer inferências.

Portanto, considerando-se os dados do MOE obtidos nos testes de flexão estática em relação ao eixo de menor inércia como sendo a variável independente (x), portanto, isenta de erros, e os dados do MOE obtidos na máquina MSR como a variável dependente (y) é possível investigar a influencia do MOE medido com a maquina MSR, com MOE medido nos testes de flexão estática por meio da análise de regressão linear.

A figura 47 apresenta um diagrama de dispersão entre os módulos de

elasticidade medidos nos testes de flexão estática e na máquina MSR, dados na

tabela 26.

(3)

25000 15000

5000 40000

30000

20000

10000

0

MOE estático (MPa)

MOE MSR (MPa)

Regressão Linear Simples

Figura 47 – Diagrama de dispersão e reta de regressão entre MOE estático e MOE MSR.

Observa-se no diagrama de dispersão o aumento do erro com o aumento da magnitude do MOE

_estático

. Isto indica que a variância não é constante, o gráfico dos resíduos contra os valores estimados confirma esta observação.

Análise de resíduos

A figura 48 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para o MOE medido na máquina MSR, no qual se observa que a variância não é constante, pois, o gráfico apresenta forma afunilada. Portanto foi necessário realizar uma transformação dos dados para estabilizar a variância.

30000 20000

10000 0

10000

5000

0

-5000

Valores estimados

Resíduos

Resíduos contra valores estimados

Variável resposta: MOE MSR

Figura 48 – Gráfico dos resíduos contra valores estimados para o MOE MSR.

(4)

Na figura 49 é apresentado o gráfico dos resíduos contra os escores normais, no qual se observa que os resíduos não apresentam distribuição normal, visto que os dados não se distribuem ao longo de uma reta.

10000 5000

0 -5000

3 2

1

0

-1

-2

-3

Escores normaisl

Resíduos

Probabilidade normal dos resíduos

Variável resposta: MOE MSR

Figura 49 – Gráfico dos resíduos contra os escores normais.

Portanto foi necessário realizar uma transformação dos dados de forma a se obter uma distribuição normal para os resíduos, e a homogeneidade da variância.

Para a determinação da equação que melhor ajusta os dados para uma distribuição normal foi utilizado o método de BOX-COX (1964). Este método aplica uma transformação exponencial nos dados, de forma a aproxima-los de uma distribuição normal. Para situações em que a variável dependente y é conhecida e positiva, as seguintes transformações podem ser usadas:

 

 



=

 ≠







 



 −

=

) ( 0 )

ln(

) ( 1 0

) (

b quando

y

a quando

y y

T

i i i

λ λ λ

λ

(13) Sendo que λ assume valores entre –3 a +3. Não é garantido, mas quase sempre algum valor de lambda (λ) resulta em normalidade. Quando λ se aproximar de zero, então ao equação de transformação é dada por ln( y ) .

Na prática, muitas vezes as transformações da equação 13 são simplificadas

para as seguintes equações:

(5)



 



=

≠

= =

0 )

ln(

0 3

...

2 , 1 2 , 1 )

(

λ λ

λ

para y

e para

com y Y

T

i i

(14) O software Minitab 13 adota as equações simplificadas.

As figuras 50 e 51 apresentam, a determinação do λ

ótimo

para a transformação dos dados do MOE

MSR

e do MOE

estático

respectivamente, desconsiderando-se as observações extremas (outlier).

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 15000

10000

5000

Intervalo de confiança de 95%

Desvio padrão

Lambda

Última iteração

3302,113 3301,907 3302,894

0,170 0,113 0,056

Sd Lambda

Sup Es t Inf

Transformação de Box-Cox para o MOE MSR

Figura 50 – Determinação do λ

ótimo

para o MOE

MSR

.

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000

Desvio padrão

Lambda

Última iteração

3027,851 3027,570 3028,093

0,282 0,225 0,169

Sd Lambda

Inf Es t Sup

Transformação de Box-Cox para o MOE estático

Figura 51 – Determinação do λ

ótimo

para o MOE

estático

.

Como o valor de λ

ótimo

para o MOE

MSR

é próximo de zero, foi utilizada a

transformação lognormal para estes dados. Portanto, foram aplicadas as

(6)

transformações dadas nas equações 15 e 16 para o MOE

MSR

e para o MOE

estático

respectivamente.

) (

)

( MOE Ln MOE

_MSR

T = (15)

225 ,

)

0

( MOE MOE

_estático

T = (16)

A figura 52 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para os dados transformados, onde se observa a homogeneidade da variância.

10,5 9,5

8,5 0,3

0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOE MSR (transformado)

Figura 52 – Resíduos contra valores estimados para os dados transformados.

A figura 53 apresenta o gráfico dos resíduos contra os escores normais, no qual se observa que os resíduos apresentam um padrão muito próximo da normalidade.

0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 3

2

1

0

-1 -2

-3

Escores normais

Resíduos

Resíduos contra escores normais

Figura 53 – Resíduos contra escores normais para os dados transformados.

(7)

Pode-se chegar à mesma conclusão pela observação do histograma dos resíduos, dado na figura 54.

0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 60 50 40 30 20 10 0

Resíduos

Frequência

Histograma dos resíduos

Figura 54 – Histograma dos resíduos para os dados transformados.

A figura 55 apresenta o gráfico de dispersão para os dados transformados.

10 9

8 7

10,5

10,0

9,5

9,0

8,5

8,0

MOE estatico-transf. (MPa)

MOE MSR-transf. (MPa)

S = 0,102948 R-Sq = 92,5 % R-Sq(adj) = 92,5 % MOE MSR-trans f. (MPa) = 0,597230 MOE estático-transf. (MPa )+ 4,39183

IP 90%

IC 90%

Regresão

Regressão linear simples

Figura 55 – Diagrama de dispersão e reta de regressão entre MOE estático e MOE MSR, para os dados transformados.

Diante das constatações acima, verifica-se que são cumpridas as três

suposições do modelo. Portanto, a análise de variância pode ser usada para verificar a

qualidade do modelo ajustado. Esta é mostrada na tabela 38.

(8)

Tabela 38 – Quadro de ANOVA para os dados do MOE

MSR

e do MOE

estático

, transformados.

Fonte de variação. SQ gl QM Fcal Valor-p

Regressão 73,7597 1 73,7597 6959,59 0,000

Erro 5,9774 564 0,0106

Total 79,7371 565

Considera-se o seguinte teste de hipótese para os dados da tabela 38:

 



≠

= 0 :

0 :

1 0

β β H

H (17)

A hipótese nula é a de que a variação de y não depende de x, portanto rejeitando H

0

admite-se que y é função de x. Assim, para um nível de significância

05 ,

=0

α

. A hipótese nula deve ser rejeitada se F

cal

> F

₀_,₀₅_;₁_;₍n₋₂₎

, isto é, a região de rejeição é R : F

cal

> F

₀_,₀₅_;₁_;₍n₋₂₎

, assim da tabela F com (2-1) = 1 grau de liberdade para a regressão e (566-2) = 564 graus de liberdade para os resíduos, tem-se

84 ,

)

3

564

; 1 (

; 05 ,

0

=

F , isto é, a região de rejeição é R : F

_cal

> 3 , 84 .

Como F

cal

= 6959,59 > F

0,05; 1,564

= 3,84 rejeita-se H

₀

ao nível de significância α = 0 , 05 . De acordo com os dados a um nível de significância de

05 ,

= 0

α , pode-se concluir que existe evidência estatística de que a proporção da variância total explicada pela equação de regressão é altamente significativa, portanto o modelo de regressão linear dado por

391 , 4 ) ( 5972

, 0 )

.

( = ⋅ +

−

MPa MOE MPa

MOE

_MSR _transf _estático

é adequado para

representar a relação entre os dados transformados do MOE

estático

e do MOE

MSR

, para a espécie e dimensões consideradas.

Para representar a relação entre o MOE

estático

e o MOE

MSR

para os dados originais, ou seja, sem transformação, basta realizar a transformação inversa nos dados, deste modo chega-se à equação18.

] 391 , 4 ) ( 5972 , 0

[ ⁰^,²²⁵

71828 , 2 )

( =

^⋅^MOE ^MPa ⁺

MSR

MPa

MOE (18)

Intervalo de confiança e Intervalo de previsão

Uma aplicação importante do modelo de regressão é estimar valores da

variável resposta (y) para um valor específico do estimador (x). Para tal finalidade

(9)

deve-se construir intervalos de confiança (I.C.) e de previsão (I.P.) para as estimativas.

Os intervalos de confiança e de previsão (100-α)% para a população podem ser determinados pelas equações 19 e 20 respectivamente

xx

n

S

x x Se n

Y t IC

2 2

/

; 2

^

1 ( )

)%

100 ( − α = ±

₋ _α

⋅ ⋅ + − (19)

xx

n

S

x x Se n

Y t IP

2 2

/

; 2

^

1 ( )

1 )%

100 ( − α = ±

₋ _α

⋅ ⋅ + + − (20)

Sendo:

Y

^

= Variável resposta estimada pela equação de regressão;

t

_n₋₂_;_α_/₂

= valor obtido da tabela t de student;

Se = Erro padrão estimado =

2 ) (

^{^} ²

−

∑ −

n Y Y

;

S

xx

= [ ( ) ]

n x x

n ⋅ ∑

²

− ∑

²

.

Para os dados originais os intervalos de confiança e de previsão de 90% são dados pelas equações 21 e 22 respectivamente.

12 , 66

)2 34 , 225 8 , ( 0

564 1711 1 , 0 ) 391 , 225 4 , 5972 0

, 0 (

7183 , 2

% 90

+ −

⋅

± +

=

⋅

estático MOE estatico

MOE

IC (21)

12 , 66

)2 34 , 225 8 , ( 0

564 1 1 1711 , 0 ) 391 , 225 4 , 5972 0

, 0 (

7183 , 2

% 90

+ − +

⋅

± +

=

⋅

estático MOE estatico

MOE

IP (22)

5.2 Aferição do equipamento de vibração transversal

A aferição do equipamento de vibração transversal foi realizada da mesma

forma que a aferição da máquina MSR, ou seja, foi realizada uma análise de

regressão linear simples entre os dados do MOE medido por testes de flexão estática

em relação ao eixo de menor inércia e pelo equipamento de vibração transversal.

(10)

A figura 56 apresenta o gráfico de dispersão e a reta de regressão entre os dados do MOE medidos nos testes de flexão estática e pelo equipamento de vibração transversal.

25000 15000

5000 30000

20000

10000

0

MOEestático (MPa)

MOE Vibração transversal (MPa)

S = 568,276 R-Sq = 98,1 % R-Sq(adj) = 98,1 % MOE vibr. trans v. (MPa) = 0,997217MOEestático(MPa) + 387,882

I.P. 95%

I.C. 95%

Regress ão

Regressão linear simples

Figura 56 – Diagrama de dispersão e reta de regressão entre MOE

estático

e MOE

vibração-transversal

.

Análise dos Resíduos

A figura 57 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para os dados do MOE obtidos com o equipamento de vibração transversal. Observa-se a constância da variância.

25000 15000

5000 2000

1000

0

-1000

-2000

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOEvibr. transv.

Figura 57 – Resíduos contra valores estimados para os dados do MOE obtido na

vibração transversal.

(11)

A figura 58 apresenta o gráfico dos resíduos contra os escores normais, no qual se observa que os resíduos se distribuem segundo um padrão aproximadamente normal.

2000 1000

0 -1000

-2000 3 2

1

0

-1

-2 -3

Escores normais

Resíduos

Figura 58 – Resíduos contra escores normais para os dados do MOE obtido na vibração transversal.

Pode-se chegar à mesma conclusão pela análise do histograma dos resíduos mostrado na figura 59.

2000 1000

0 -1000

-2000 100

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Resíduos

Frequência

Figura 59 – Histograma dos resíduos para os dados do MOE obtido na vibração transversal.

A tabela 39 apresenta o quadro de ANOVA utilizado para verificar a

qualidade do modelo ajustado.

(12)

Tabela 39 – Quadro de ANOVA para os dados de E

m

e f

m

transformados

Fonte de variação. SQ gl QM Fcal Valor-p

Regressão 9447473669 1 9447473669 29254,80 0,000

Erro 185366188 574 322938

Total 9632839857 575

Como F

cal

= 29254,80 > F

0,05; 1,574

= 3,840 rejeita-se H

₀

ao nível de significância α = 0 , 05 . De acordo com os dados a um nível de significância de

05 ,

= 0

α , pode-se concluir que existe evidência estatística de que a proporção da variância total explicada pela equação de regressão é altamente significativa.

Portanto o modelo de regressão linear dado por 882

, 387 ) ( 9972

, 0 )

.

( = ⋅ +

−

MPa MOE MPa

MOE

_vibração _transv

é adequado para representar

a relação entre o MOE

estático

e o MOE

vibração-transversal

, para a espécie e dimensões consideradas.

Intervalo de confiança de Intervalo de previsão

Os intervalos de confiança e de previsão de 90% para os dados em questão são dados nas equações 23 e 24 respectivamente.

9 2 .

. 9,5 10

) 13033 (

576 85 1 , 934 88 , 387 997

, 0

% 90

` ₊

⋅ + −

⋅

± +

⋅

= est ^est

MOE MOE

IC

(23)

80 2 .

. 9,5 10

) 13033 (

576 1 1 85 , 934 88 , 387 997

, 0

% 90

` ⋅

+ − +

⋅

± +

⋅

= est ^est

MOE MOE

IP

(24)

5.3 Verificação da influência da disposição das pranchas na determinação do MOE estático

Deseja-se verificar se existe diferença estatisticamente significativa nos valores médios do MOE medidos em relação ao eixo de menor inércia com os valores medidos em relação ao eixo de maior inércia, para cada classe isoladamente.

Esta análise foi realizada com os dados das tabelas 26, 28, 29, 30 e 31. A ferramenta

estatística utilizada foi a análise de variância para detectar se há diferença entre os

tratamentos, e o teste t para dados pareados para verificar se a diferença entre os

tratamentos é significativa.

(13)

Classe Nº2-ND

A figura 60 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados, no qual se observa a heterogeneidade da variância.

9000 8500

8000 7500

4000 3000 2000 1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOE agrupado (Nº2-ND)

Figura 60 - Gráfico de resíduos contra valores estimados para os dados agrupados do MOE da classe Nº2-ND.

A figura 61 apresenta o gráfico dos escores normais, no qual se observa que os dados não se distribuem segundo o padrão de normalidade.

4000 3000 2000 1000 0 -1000 -2000 -3000 -4000 2

1

0

-1

-2

Escores normais

Resíduos

Variável resposta: MOE agrupado (Nº2-ND)

Figura 61 – Gráfico de resíduos contra os escores normais para os dados agrupados do MOE da classe Nº2-ND.

Foi realizada a transformação de Box-Cox nos dados, conforme mostra a

figura 62.

(14)

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 2600

2100

1600

Desvio padrão

Lambda

Última iteração

1603,234 1603,048 1603,031

0,506 0,449 0,392

Sd Lambda

Sup Est Inf

Transformação de Box-Cox

Figura 62 – Determinação do λ

ótimo

para os dados agrupados do MOE da classe Nº2- ND.

Portanto, a transformação aplicada nos dados foi:

449 ,

)

0

( MOE MOE

T = (25)

A figura 63 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para os dados transformados, no qual se observa a homogeneidade da variância.

59,5 59,0 58,5 58,0 57,5 57,0 56,5 56,0 55,5 55,0 10

0

-10

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOE transformado (Nº2-ND)

Figura 63 - Gráfico de resíduos contra valores estimados para os dados transformados e agrupados do MOE da classe Nº2-ND.

A figura 64 apresenta o gráfico dos resíduos contra os escores normais, no

qual se observa a normalidade dos resíduos.

(15)

10 0

-10 2

1

0

-1

-2

Escores normais

Resíduos

Variável resposta: MOE transformado (Nº2-ND)

Figura 64 – Gráfico de resíduos contra os escores normais para os dados transformados do MOE da classe Nº2-ND.

A figura 65 apresenta o teste de normalidade de Shapiro-Wilk para os dados, no qual se conclui que a suposição de normalidade foi aceita pelos dados amostrais ao nível de significância α = 0 , 05 .

Valor-p (aproximado): > 0,1000 R: 0,9892 N: 48

Desvio padrão: 4,79133 Média: 57,2357

70 60

50 ,999

,99 ,95 ,80 ,50 ,20 ,05 ,01 ,001

Probabilidade

MOE transformado (Nº2-ND)

Teste de Normalidade (Shapiro-Wilk)

Figura 65 – Teste de normalidade para os dados transformados do MOE da classe Nº2-ND.

Cumprida as suposições do modelo, a tabela de ANOVA é adequada para a

análise dos dados. Esta é mostrada na tabela 40.

(16)

Tabela 40 – Valores do quadro de ANOVA para os dados do MOE da classe Nº2- ND.

Fonte de variação. SQ gl QM Fcal Valor-p Entre tratamentos

(orientação). 218,2 1 218,2 11,66 0,001 Dentro de tratamentos

(Resíduos). 860,8 46 18,7 Total 1079,0 47

Da tabela F com (2-1) = 1 grau de liberdade para os tratamentos e (48-2) = 46 graus de liberdade para os resíduos, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₁_;₄₆₎

= 4 , 06 . Como F

cal

= 11,66 >

F

0,05; 1,46

= 4,06 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe diferença significativa no valor médio do MOE medido em relação ao eixo de maior inércia, com o valor médio do MOE medido em relação ao eixo de menor inércia, para a classe Nº2-ND.

Teste de significância

Apesar dos tratamentos conduzirem a resultados diferentes é necessário verificar se a diferença entre os tratamentos é significativa. Foi utilizado o teste t para dados pareados.Este teste é baseado na estatística t, conforme segue:

n Sd t d

= / (26)

Sendo:

n d d

n

i i

= ∑

⁼¹

, média das diferenças das observações;

1 )

1

(

2 2

−

∑ −

=

⁼

n

d Sd d

n

i i

, variância das diferenças;

d

i

= d

1i

- d

2i

, diferença entre os tratamentos 1 e 2, para a observação i.

Deseja-se realizar o seguinte teste de hipótese:

 



≠

−

=

−

) (

0 :

) (

0 :

2 1 1

2 1 0

iva significat é

diferença a

H

iva significat é

não diferença a

H

µ µ

µ

µ (27)

A hipótese nula é rejeitada quando |t|>|t

crítico

|. Sendo que t

crítico

= t

α/2,ν

obtido

da tabela t com nível de significância α/2 e [n-1] graus de liberdade.

(17)

A tabela 41 apresenta o resultado do teste t para os dados pareados do MOE para a classe Nº2-ND.

Tabela 41 – Teste t para os dados pareados do MOE para a classe Nº2-ND.

Menor inércia Maior inércia

Média 59,368 55,104

Variância 22,184 15,240

Observações 24 24

gl 23

Stat t 6,728

t crítico 1,714

Teste-t: duas amostras para médias pareadas

Portanto, como t = 6,728 > t

crítico

= 1,714, conclui-se que a diferença entre os módulos de elasticidade medidos com as peças em orientações diferentes é significativa ao nível de significância α = 0,05 para a classe Nº2-ND.

Classe Nº2-D

A tabela 42 apresenta o quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE para a classe Nº2-D.

Tabela 42 – Valores do quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE da classe Nº2-D.

(Resíduos). 1,7824 44 0,0405 Total 2,1151 45

Da tabela F com (2-1) = 1 grau de liberdade para os tratamentos e (46-2) = 44 graus de liberdade para os resíduos, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₁_;₄₄₎

= 4 , 06 . Como F

cal

= 8,21 > F

0,05;

1,44

= 4,06 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe diferença significativa no valor médio do MOE medido em relação ao eixo de maior inércia, com o valor médio do MOE medido em relação ao eixo de menor inércia, para a classe Nº2-D.

Teste de significância

A tabela 43 apresenta o resultado do teste t para os dados pareados do MOE

para a classe Nº2-D.

(18)

Tabela 43 – Teste t para os dados pareados do MOE para a classe Nº2-D.

Média 9,279 9,104

Variância 0,070 0,043

Observações 24 24

gl 23

Stat t 7,360

t crítico 1,714

Portanto, como t = 7,360 > t

_crítico

= 1,714, conclui-se que a diferença entre os módulos de elasticidade medidos com as peças em orientações diferentes é significativa ao nível de significância α = 0,05, para a classe Nº2-D.

Classe SS-ND

A tabela 44 apresenta o quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE para a classe SS-ND.

Tabela 44 – Valores do quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE da classe SS-ND.

(orientação). 4034003 1 4034003 4,43 0,041 Dentro de tratamentos

(Resíduos). 41896775 46 910799 Total 45930778 47

Da tabela F com (2-1) = 1 grau de liberdade para os tratamentos e (48-2) = 46 graus de liberdade para os resíduos, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₁_;₄₆₎

= 4 , 06 . Como F

cal

= 4,43 > F

0,05;

1,46

= 4,06 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe diferença significativa no valor médio do MOE medido em relação ao eixo de maior inércia, com o valor médio do MOE medido em relação ao eixo de menor inércia, para a classe SS-ND.

Teste de significância

A tabela 45 apresenta o resultado do teste t para os dados pareados do MOE

para a classe SS-ND.

(19)

Tabela 45 – Teste t para os dados pareados do MOE para a classe SS-ND.

Média 4473,573 3893,773

Variância 1063074,607 758525,886

Observações 24 24

gl 23

Stat t 5,215

t crítico 1,714

Portanto, como t = 5,215 > t

crítico

= 1,714, conclui-se que a diferença entre os módulos de elasticidade medidos com as peças em orientações diferentes é significativa ao nível de significância α = 0,05, para a classe SS-ND.

Classe SS-D

A tabela 46 apresenta o quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE para a classe SS-D.

Tabela 46 – Valores do quadro de ANOVA para os dados transformados do MOE da classe SS-D.

(Resíduos). 2249,9 46 48,9

Total 2724,6 47

Da tabela F com (2-1) = 1 grau de liberdade para os tratamentos e (48-2) = 46 graus de liberdade para os resíduos, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₁_;₄₆₎

= 4 , 06 . Como F

_cal

= 9,70 > F

_0,05;

1,46

= 4,06 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe diferença significativa no valor médio do MOE medido em relação ao eixo de maior inércia, com o valor médio do MOE medido em relação ao eixo de menor inércia, para a classe SS-D.

Teste de significância

A tabela 47 apresenta o resultado do teste t para os dados pareados do MOE

para a classe SS-D.

(20)

Tabela 47 – Teste t para os dados pareados do MOE para a classe SS-D.

Média 79,417 73,128

Variância 67,238 30,586

Observações 24 24

gl 23

Stat t 6,792

t crítico 3,151E-07

Portanto, como t = 6,792 > t

_crítico

= 3,151E-07, conclui-se que a diferença entre os módulos de elasticidade medidos com as peças em orientações diferentes é significativa ao nível de significância α = 0,05, para a classe SS-D.

5.4 Análise dos resultados do MOE em relação ao eixo de maior inércia

Deseja-se testar a hipótese nula de que as médias dos resultados obtidos para o MOE medido em relação ao eixo de maior inércia são todas iguais contra a hipótese alternativa de que as médias são diferentes. Foram analisados os dados das tabelas 28 a 31. A análise dos resultados do MOE inicia-se com a verificação da adequabilidade do modelo.

Verificação da adequabilidade do modelo

Foi utilizado o método gráfico dos resíduos contra os valores estimados para a análise dos resíduos. A figura 66 mostra este gráfico para os dados do MOE em relação ao eixo de maior inércia. O gráfico indica que a variância é constante.

14500 13500 12500 11500 10500 9500 8500 7500 5000

0

-5000

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOE (MPa)

Figura 66 – Gráfico de resíduos contra valores estimados para os dados do MOE.

(21)

A normalidade dos resíduos foi verificada pelo gráfico dos resíduos contra os escores normais, com o qual verificou-se que a distribuição dos resíduos não segue o padrão de normalidade.

5000 0

-5000 3

2

1

0

-1

-2

-3

Escores normais

Resíduos

Variável resposta: MOE (MPa)

Figura 67 – Gráfico de probabilidade normal dos resíduos.

Para verificar a normalidade dos dados foi utilizado o teste de Shapiro-Wilk, e concluiu-se que a suposição de normalidade foi rejeitada, conforme mostra a figura 68.

Valor-p (aproximado): < 0,0100 R: 0,9679 N: 96

19000 14000

9000 4000

,999 ,99 ,95 ,80 ,50 ,20 ,05 ,01 ,001

Probabilidade

MOE (MPa)

Teste de normalidade (Shapiro-Wilk)

Figura 68 – Teste de normalidade para os dados do MOE.

Para se obter a normalidade aproximada e também a homogeneidade da

variância foi utilizada a transformação de Box-Cox. A figura 69 mostra a

determinação do λ

ótimo

para esta transformação.

(22)

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000

95% Confidence Interval

Desvio padrão

Lambda

Última iteração

1972,759 1972,566 1973,229

0,170 0,113 0,056

Sd Lambda

Sup Es t Inf

Figura 69– Determinação do λ

ótimo

para o MOE.

Como λ

ótimo

é próximo de zero, foi utilizada a transformação lognormal do MOE, como mostra a equação 28.

) ( )

( MOE Ln MOE

T = (28)

A homogeneidade da variância foi novamente verificada por meio da análise do gráfico dos resíduos contra os valores estimados, conforme mostrado na figura 70.

9,6 9,5 9,4 9,3 9,2 9,1 9,0 8,9 0,5

0,0

-0,5

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOE transformado (MPa)

Figura 70 – Gráfico de resíduos contra valores estimados para os dados do MOE transformados pela equação 30.

Observa-se que a variância permanece constante.

(23)

Para verificar a normalidade dos resíduos foi utilizado o gráfico dos escores normais. A figura 71 mostra este gráfico, no qual se observa que os resíduos seguem uma distribuição normal aproximada.

0,5 0,0

-0,5 3

2

1

0

-1

-2

-3

Escores normais

Resíduos

Variável resposta: MOE transformado (MPa)

Figura 71 – Gráfico de probabilidade normal para os dados da tabela 32.

O teste de Shapiro-Wilk confirma a normalidade dos dados, conforme mostra a figura 72.

Valor-p (aproximado): 0,0919 R: 0,9886 N: 96

9,9 9,4

8,9 8,4

,999 ,99 ,95 ,80 ,50 ,20 ,05 ,01 ,001

Probabilidade

MOE transformado (MPa)

Teste de normalidade(Shapiro-Wilk)

Figura 72 –Teste de normalidade de Shapiro-Wilk para o MOE transformado.

Cumprida as suposições do modelo, a tabela de ANOVA é adequada para a

análise dos dados.

(24)

Tabela 48 – Valores do quadro de ANOVA para os dados do MOR transformados.

(classes). 5,0643 3 1,6881 41,65 0,000 Dentro de tratamentos

(Resíduos). 3,7289 92 0,0405 Total 8,7932 95

Da tabela F com (4-1) = 3 graus de liberdade e (96-4) = 92 graus de liberdade, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₃_;₉₂₎

= 2 , 717 ^{. Como F}

cal

= 41,65 > F

_{0,05; 3,92}

= 2,717 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe evidência estatística de que existe diferença no MOE médio para os 4 tipos de tratamentos.

Portanto, para verificar quais são as médias que diferem entre si, utiliza-se o método de TUKEY (1977) para verificação de todos os tratamentos pareados.

Teste de Tukey

Número de tratamentos (k) = 4;

MSE = 0,0405;

Graus de liberdade dos resíduos (N - k) = 92;

Então, para

α=0,05

tem-se da tabela t de student o valor de t

₀_,₀₂₅_;₉₂

= 1,99. A diferença menos significativa (DMS) é dada por:

122 , 24 0

1 24 045 1 , 0 99 , 1 1 1

, 2

/

 =



 



 +

⋅

 =







 



 +

⋅

=

j

i

n

MSE n t

DMS

_α _ν

(29)

A tabela 49 apresenta as comparações múltiplas pareadas.

Tabela 49 - Comparações múltiplas pareadas para as médias do MOE transformado.

Tratamento 1 (Nº2-ND) 2 (Nº2-D) 3 (SS-ND) 4 (SS-ND)

Média (y_t) 8,925 9,104 9,170 9,555

* -0,179** -0,245** -0,630**

* -0,066 -0,451**

* -0,385**

Diferença (y_i −y_j)

*

* (-0,330;-0,026) (-0,397; -0,093) (-0,781; -0,477)

* (-0,219; 0,085) (-0,603; -0,298) IC 95%

(y_i −y_j)

* (-0,536; -0,232)

Portanto, conclui-se que não há diferença estatisticamente significativa de

MOE somente entre as classes Nº2-D e SS-ND.

(25)

5.5 Análise dos resultados do MOR em relação ao eixo de maior inércia

Deseja-se testar a hipótese nula de que as médias dos resultados obtidos para o MOR em cada classe (tratamento) dadas nas tabelas 28 a 31 são iguais entre si. Foi utilizada a análise de variância para a comparação dos quatro tratamentos.

Análise de resíduos

A figura 73 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para os dados do MOE, no qual se observa a heterogeneidade da variância (forma afunilada).

150 100

50 100

0

-100

Valores estimados

Resíduos

Resíduos contra valores estimdados

Variável resposta: MOR (MPa)

Figura 73 – Resíduos contra valores estimados para os dados do MOR.

A verificação da normalidade dos resíduos foi feita utilizando o gráfico dos

resíduos contra os escores normais mostrado na figura 74, no qual se observa que os

resíduos não apresentam distribuição normal.

(26)

100 0

-100 3

2

1

0

-1

-2

-3

Escores normais

Resíduos

Figura 74 – Gráfico dos resíduos contra os escores normais para os dados do MOR.

Para verificar a normalidade dos dados realizou-se o teste de Shapiro-Wilk, e concluiu-se que a suposição de normalidade foi rejeitada pelos dados amostrais ao nível de significância α = 0 , 05 .

Valor-p (aproximado): < 0,0100 R: 0,9766 N: 96

300 200

100 ,999

,99 ,95 ,80 ,50 ,20 ,05 ,01 ,001

Probabilidade

MOR (MPa)

Figura 75 - Teste de normalidade para os dados do MOR.

Portanto foi necessário realizar uma transformação dos dados de forma a se obter uma distribuição normal aproximada tanto para os resíduos, como para a distribuição de freqüências do MOR. A figura 76 apresenta a determinação do λ

ótimo

para a transformação de Box-Cox.

(27)

5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Desvio padrão

Lambda

Última iteração

31,539 31,561 31,645

0,393 0,337 0,281

Sd Lambda

Sup Es t Inf

Figura 76 – Determinação do λ

ótimo

para o MOR.

Observando a figura acima observa-se que o λ

ótimo

é 0,337. Substituindo-se este valor na equação 14 tem-se a seguinte equação de transformação:

337 ,

)

0

( MOR MOR

T = (30)

A figura 77 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados, no qual se observa a estabilização da variância.

5,5 4,5

3,5 1

0

-1

Valores estimados

Resíduos

Variável resposta: MOR transformado

Figura 77 – Resíduos contra valores estimados para os dados transformados do MOR.

Para verificar a normalidade dos resíduos, utilizou-se o gráfico dos resíduos

contra os escores normais. A figura 78 mostra este gráfico, no qual se observa a

normalidade dos dados.

(28)

1 0

-1 3

2

1

0

-1

-2

-3

Escores normais

Resíduos

Variável resposta: MOR tranformado

Figura 78 – Gráfico dos resíduos contra os escores normais para os dados do MOR.

A verificação a normalidade dos dados foi feita usando o teste de Shapiro- Wilk, e concluiu-se que a suposição de normalidade foi aceita pelos dados amostrais ao nível de significância α = 0 , 05 , conforme mostra a figura 85.

Valor-p (aproximado): > 0,1000 R: 0,9930 N: 96

7 6

5 4

3 ,999

,99 ,95 ,80 ,50 ,20 ,05 ,01 ,001

Probabilidade

MOR transformado (MPa)

Figura 79 - Teste de normalidade para os dados transformados do MOR.

Portanto, da análise dos dados transformados observa-se que o modelo da

distribuição normal é adequado para análise dos dados do MOR, sendo assim, a

tabela de análise de variância pode ser utilizada para fazer inferências. Esta é

apresentada na tabela 50.

(29)

Tabela 50 – Valores do quadro de ANOVA para os dados do MOR tranformados.

(classes). 53,021 3 17,674 60,77 0,000 Dentro de tratamentos

(Resíduos). 26,757 92 0,291

Total 79,778 95

Da tabela F com (4-1) = 3 graus de liberdade e (96-4) = 92 graus de liberdade, tem-se F

₀_,₀₅_;₍₃_;₉₂₎

= 2 , 717 ^{. Como F}

cal

= 60,76 > F

_{0,05; 3,92}

= 2,717 a um nível de significância de α = 0 , 05 , pode-se concluir que existe evidência estatística de que existe diferença no MOR médio para os 4 tipos de tratamentos.

Teste de Tukey

Número de tratamentos (k) = 4;

MSE = 0,291;

Graus de liberdade dos resíduos (n - k) = 92;

Então, para

α=0,05

tem-se da tabela t de student o valor de t

₀_,₀₂₅_;₉₂

= 1,99. A diferença menos significativa (DMS) é dada por:

309 , 24 0

1 24 291 1 , 0 99 ,

1  =



 



 +

⋅

=

DMS (31)

A tabela 51 apresenta as comparações múltiplas pareadas.

Tabela 51 - Comparações múltiplas pareadas para as médias do MOR transformado.

Tratamento 1 2 3 4

Média (y_t) 3,700 4,189 5,075 5,606

-0,489** -1,375** -1,906**

* -0,886** -1,417**

* -0,549**

Diferença (y_i −y_j)

*

* (-0,897; -0,082) (-1,782; -0,968) (-2,313; -1,498)

* (-1,292; -0,478) (-1,823; -1,009) IC 95% (y_i −y_j)

* (0,938; -0,123)

Portanto, conclui-se que existe diferença estatisticamente significativa de

MOR entre as quatro classes visuais de resistência.

(30)

5.6 Análise da correlação entre MOR e MOE em relação ao eixo de maior inércia.

A figura 80 apresenta um diagrama de dispersão entre as variáveis MOR e MOE em relação ao eixo de maior inércia. Observa-se a existência de uma relação linear positiva entre as propriedades.

20000 15000

10000 5000

300

200

100

0

MOE (MPa)

MOR (MPa)

S = 34,0254 R-Sq = 64,8 % R-Sq(adj) = 64,4 % MOR (MPa) = 0,0141917 MOE (MPa) -41,2216

I.P. 95%

I.C. 95%

Regres são

Regressão linear simples

Figura 80 – Diagrama de dispersão e reta de regressão entre MOE e MOR.

Análise de resíduos

A figura 81 apresenta o gráfico dos resíduos contra os valores estimados para o MOR, no qual se observa a homogeneidade da variância.

200 100

0 50

0

-50

Valores estimados

Resíduos

Figura 81 – Gráfico dos resíduos contra valores estimados para o MOR.

(31)

Na figura 82 é apresentado o gráfico dos resíduos contra os escores normais, onde se pode observar que os resíduos apresentam uma distribuição normal aproximada. Pode-se chegar à mesma conclusão pela análise do histograma dos resíduos mostrado na figura 83.

50 0

-50 3

2

1

0

-1

-2

-3

Escores normais

Resíduos

Figura 82 – Gráfico de probabilidade normal dos resíduos.

100 50

0 -50

10

5

0

Resíduos

Frequência