T EORIADOS J OGOS I NTRODUÇÃOÀ

(1)

I NTRODUÇÃO À

T EORIA DOS J OGOS

Prof. Alexandre Lymberopoulos

Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo

(2)

1

M

OTIVAÇÃO

2

D

EFINIÇÕES

P

RELIMINARES Exemplos

Estratégia

3

E

STRATÉGIA Estratégias Ótimas Exercícios

4

R

EFERÊNCIAS

B

IBLIOGRÁFICAS

(3)

H ISTÓRIA E A PLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões em situações de competição direta.

Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.

Primórdios da teoria remontam a 1926:

John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).

1944: publicação do livro “Theory of Games and Economic Behavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

(4)

H ISTÓRIA E A PLICAÇÕES

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H ISTÓRIA E A PLICAÇÕES

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H ISTÓRIA E A PLICAÇÕES

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H ISTÓRIA E A PLICAÇÕES

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J OGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais

“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.

Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta, caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadores influenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez, blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com dois participantes,J₁eJ₂.

J₁temmopções de jogada eJ₂temnopções de jogada a cada rodada.

(9)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(10)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(11)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(12)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(13)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(14)

J OGOS

DEFINIÇÃO

(15)

M ATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A= (a_ij), de ordem m×n, onde a_ijcontém o valor recebido por J₁quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J₂realiza sua j-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos deJ2. Trataremos de jogos desoma constante, ou seja, a soma de pagamentos paraJ₁eJ₂é a mesma para todas opções de jogadas deles.

Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogador ganha é exatamente o que o outro perde.

Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma das matrizes de pagamento.

(16)

M ATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

(17)

M ATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

(18)

M ATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

(19)

M ATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

(20)

C ARA OU COROA

Cada um dos jogadores fica com uma moeda na mão.

Cada jogador mostra uma face de sua moeda.

Se ambos mostram a mesma face entãoJ₁ganha R$ 1,00 de J₂, caso contrárioJ₂ganha R$ 1,00 deJ₁.

A matriz de pagamentos é

A=

1 −1

−1 1

.

(21)

C ARA OU COROA

A=

1 −1

−1 1

.

(22)

C ARA OU COROA

A=

1 −1

−1 1

.

(23)

C ARA OU COROA

A matriz de pagamentos é A=

1 −1

−1 1

.

(24)

M ARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000 clientes.

Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.

Se ambas anunciarem na TV entãoJ₁terá 40000 clientes.

Se ambas anunciarem em jornais entãoJ1fica com 50000 clientes.

SeJ₁anunciar em jornais eJ₂na TV entãoJ₁fica com 60000 clientes.

SeJ₁anunciar na TV eJ₂em jornais entãoJ₁fica com 50000 clientes.

A=

40000 50000 60000 50000

.

(25)

M ARKETING DE UM PRODUTO

A=

40000 50000 60000 50000

.

(26)

M ARKETING DE UM PRODUTO

A=

40000 50000 60000 50000

.

(27)

M ARKETING DE UM PRODUTO

A=

40000 50000 60000 50000

.

(28)

M ARKETING DE UM PRODUTO

40000 50000 60000 50000

.

(29)

M ARKETING DE UM PRODUTO

40000 50000 60000 50000

.

(30)

M ARKETING DE UM PRODUTO

40000 50000 60000 50000

.

(31)

P ROCURANDO O M ELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadores com matriz de pagamentosA= (aij).

SeJ₁escolhe suai-ésima jogada então ele ganha no mínimo o menor valor da linhaideA, independente doJ₂faça.

O melhor paraJ₁é escolher uma linha cujo menor valor seja o máximo possível.

ParaJ₂é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja o mínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento arsque é o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então(r,s)é o ponto de sela do jogo e a_rsé o valor do jogo.

Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo é imparcial.

(32)

P ROCURANDO O M ELHOR I

DEFINIÇÃO

(33)

P ROCURANDO O M ELHOR I

DEFINIÇÃO

(34)

P ROCURANDO O M ELHOR I

DEFINIÇÃO

(35)

P ROCURANDO O M ELHOR I

DEFINIÇÃO

(36)

P ROCURANDO O M ELHOR II

DEFINIÇÃO

Um jogo é estritamente determinado se sua matriz de pagamentos possui um ponto de sela.

Searsé um ponto de sela então quandoJ1escolhe suar-ésima jogada ele ganha ao menosarseJ2tem a certeza de não perder mais do quea_rsao usar suas-ésima jogada, o que é o melhor que cada um pode fazer.

(37)

P ROCURANDO O M ELHOR II

DEFINIÇÃO

Um jogo é estritamente determinado se sua matriz de pagamentos possui um ponto de sela.

Searsé um ponto de sela então quandoJ1escolhe suar-ésima jogada ele ganha ao menosarseJ2tem a certeza de não perder mais do quea_rsao usar suas-ésima jogada, o que é o melhor que cada um pode fazer.

(38)

P ROCURANDO O M ELHOR III

Exemplo: a matriz

A=





0 −3 −1 3

3 2 2 4

1 4 0 6





tem ponto de sela?

Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo de cada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujo elemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo, então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor do jogo.

No caso(2,3)é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.

O melhor queJ1faz é escolher sua segunda jogada, pois com isso ele ganha, no mínimo, 2. ParaJ2é melhor usar sua terceira jogada, onde ele perde, no máximo, 2.

No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

(39)

P ROCURANDO O M ELHOR III

Exemplo: a matriz

A=





0 −3 −1 3

3 2 2 4

1 4 0 6





tem ponto de sela?

(40)

P ROCURANDO O M ELHOR III

Exemplo: a matriz

A=





0 −3 −1 3

3 2 2 4

1 4 0 6





tem ponto de sela?

(41)

P ROCURANDO O M ELHOR III

Exemplo: a matriz

A=





0 −3 −1 3

3 2 2 4

1 4 0 6





tem ponto de sela?

(42)

P ROCURANDO O M ELHOR III

Exemplo: a matriz

A=





0 −3 −1 3

3 2 2 4

1 4 0 6





tem ponto de sela?

(43)

J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS I

Consideraremos que o jogo é repetido muitas vezes entre os jogadores.

Isto permite introduzir uma análise estatística e produzir frequências para cada jogada disponível.

DEFINIÇÃO

Sejam A uma matriz m×n de pagamentos de um jogo, p_i,1≤i ≤m a probabilidade de J₁escolher a i-ésima jogada (ou seja, a i-ésima linha de A) e q_j,1≤j≤n a probabilidade de J₂escolher a j-ésima jogada (ou seja, a j-ésima coluna de A). Os vetores

p=

p₁ p₂ . . . p_m

e q =

q₁ q₂ . . . q_nT

são chamados estratégias para os jogadores J₁e J₂ respectivamente.

(44)

J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS I

DEFINIÇÃO

p=

p₁ p₂ . . . p_m

e q =

q₁ q₂ . . . q_nT

(45)

J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS I

DEFINIÇÃO

p=

p₁ p₂ . . . p_m

e q =

q₁ q₂ . . . q_nT

(46)

J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS II

Observamos da construção dos vetorespeqque

m

X

i=1

p_i =

n

X

j=1

q_j =1. (1)

DEFINIÇÃO

Uma estratégia é chamada pura todas as componentes são nulas, exceto uma, que deve valer 1, e é chamada mista em caso contrário.

As estratégias para o jogo estritamente determinado do exemplo 10 são puras: p=

0 1 0

eq =

0 0 1 0T

.

(47)

J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS II

m

X

i=1

p_i =

n

X

j=1

q_j =1. (1)

DEFINIÇÃO

0 1 0

eq =

0 0 1 0T

.

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J OGOS E STRITAMENTE N ÃO D ETERMINADOS II

m

X

i=1

p_i =

n

X

j=1

q_j =1. (1)

DEFINIÇÃO

0 1 0

eq =

0 0 1 0T

.

(49)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

as estratégias dos jogadores J₁eJ₂, respectivamente.

O ganho esperado porJ1é

E(p,q) =pAq=p1q1a+p1q2b+p2q1ac+p2q2d (2) A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes de pagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(50)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(51)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(52)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(53)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(54)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(55)

J OGOS 2 × 2

SejaA= a b

c d

Sejamp

p₁ p₂

eq=

q₁ q₂T

Exemplo: SeA=

2 −2 3

4 0 −3

temos

1 p=¹₄ 1 3

eq=¹₃

1 1 1T

⇒E(p,q) =¹₂.

2 p=¹₄ 3 1

eq=¹₃

1 2 0T

⇒E(p,q) =−¹₆.

(56)

E STRATÉGIAS Ó TIMAS I

DEFINIÇÃO

Uma estratégia para J1é ótima se ela garante o maior ganho possível para J1.

Uma estratégia para J2é ótima se ela garante o menor ganho possível para J1.

Se p e q são estratégias ótimas para J1e J2respectivamente, o número v=E(p,q)é chamado valor do jogo.

Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que tal jogo é imparcial.

(57)

E STRATÉGIAS Ó TIMAS II - J OGADOR J

₁

I

Um jogo 2×2 não é estritamente determinado se e somente a+d−b−c6=0.

SeJ2escolhe a primeira coluna entãoJ1ganhap1a+p2c. SeJ2escolhe a segunda coluna entãoJ1ganhap1b+p2d. Fazendov =min{p₁a+p2c,p1b+p2d}temos

p1a+p2c ≥ v p₁b+p₂d ≥ v

J1quer o maiorv possível, ou seja, encontrar o maiorv tal que p1a+p2c−v ≥ 0