ANA LUIZA COELHO BRAGA SIMULAÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA, VIA MEF, DA CONSTRUÇÃO DE UM DEPÓSITO DE REJEITO DE MINÉRIO DE FERRO

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM

ANA LUIZA COELHO BRAGA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA, VIA MEF, DA CONSTRUÇÃO DE UM DEPÓSITO DE REJEITO DE MINÉRIO DE FERRO

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ANA LUIZA COELHO BRAGA

SIMULAÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA, VIA MEF, DA CONSTRUÇÃO DE UM DEPÓSITO DE REJEITO DE MINÉRIO DE FERRO

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral do Departamento de Engenharia de Minas da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral.

Área de concentração: Lavra de Minas

Orientadora: Dra_{. Christianne de Lyra Nogueira}

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AGRADECIMENTOS

A Deus por ter me sustentando ao longo desta longa caminhada;

A minha orientadora, Christianne Nogueira, por toda a sua dedicação, paciência, carinho e apoio incondicionais. Sem ela este trabalho não teria sido possível;

Ao professor Waldyr Lopes por ter me ajudado a iniciar esta pesquisa;

À Viviane Rezende pela gentileza de disponibilizar os relatórios com os resultados dos ensaios utilizados em sua dissertação;

Aos meus pais e irmã por entenderem a minha ausência e serem minha fortaleza; Ao meu noivo pela sua imensa compreensão e apoio;

Aos meus amigos mineiros, Carol, Jonathan, Fábio, Fran, Tiany, Tamiris, Leandro, Karla, Kenedy, Guilherme e Tatiana por compartilharem comigo diariamente dos momentos bons aos difíceis e por terem tornado esta caminhada mais leve e feliz;

Aos meus amigos, Felipe, Karla, Gabriela, Mayara, Lucas, Carla, Izadora, Ana Luiza, Maria Laura e Cecília, por todas as vezes em que soubemos ser compreensivos uns com os outros e demonstramos através de ações a amizade que existe entre nós;

À Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral (PPGEM) por todo o suporte e apoio;

Ao professor Carlos Alberto, Carlão, por ter sido o lado descontraído dos corredores e lanches no DEMIN. Agradeço a sua preocupação e constante cuidado durante esses dois anos em Ouro Preto.

À Universidade de Viçosa (UFV), em particular ao professor Cláudio Carvalho e aos técnicos Leonício, Jorge, Jonatham, Emerson e Júlio, pela alegria e gentileza com que me receberam e ajudaram quando fui a Viçosa.

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“Vence quem persevera.”

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RESUMO

A simulação computacional da construção de aterros, com base no método dos elementos finitos, tem sido uma alternativa de grande valia para previsão do comportamento mecânico destas obras geotécnicas. Neste sentido apresenta-se nesta dissertação de mestrado, a aplicação do programa ANLOG (Análise Não Linear de Obras Geotécnicas) para analisar o comportamento mecânico, em estado plano de deformação e no campo dos pequenos deslocamentos, com acoplamento de fluxo e deformação, de um depósito de rejeito arenoso proveniente da mineração de ferro. Diferentes análises, considerando diferentes modelos constitutivos não lineares, elástico e elastoplástico, bem como diferentes condutividades hidráulicas para os materiais envolvidos na construção do aterro foram conduzidas. A influência da velocidade de construção na magnitude das poro pressões geradas durante o processo construtivo é avaliada, assim como, a eficiência do sistema de drenagem. Os resultados numéricos apontam para a necessidade da adoção de um amplo projeto de monitoramento para o acompanhamento de cada etapa do processo construtivo.

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ABSTRACT

The computer simulation of landfills construction, based on the finite element method has been a great value alternative to mechanical behavior prediction of these geotechnical works. In this sense is presented in this dissertation, the application of ANLOG program (Analysis Nonlinear of Geotechnical Works) to analyze the mechanical behavior in plane strain state and in small displacement field with coupling flow and deformation of a sandy waste deposit from the mining of iron. Different analyzes considering different non-linear constitutive model, elastic and elastoplastic, as well as different hydraulic conductivity for the materials involved were conducted. The influence of rate construction on the magnitude of pore pressures generated during the construction process is evaluated, as well as the drainage system efficiency. The numerical results highlight the need to adopt a comprehensive monitoring project to monitor each step of the construction process.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Métodos construtivos de barragens de rejeito em várias etapas - (A) Método de montante, (B) Método de Jusante e (C) Método de linha de centro (PORTES, 2013, adaptado de VICK,

1983) ... 4

Figura 2.2 - Disposição de rejeitos através do método de aterro hidráulico (ESPÓSITO, 2000) ... 5

Figura 2.3 - Ruptura por liquefação em barragem de rejeitos de ouro ocasionando a morte de 17 pessoas, Merriespruit, África do Sul, 1994 (BEDIN, 2010) ... 6

Figura 2.4 - Vista aérea da do local de rompimento de Barragem do Fundão em Minas Gerais, novembro de 2015 (REVISTA EXAME) ... 6

Figura 2.5 - Curva tensão versus deformação para um metal submetido a tração simples (DESAI & SIRIWARDANE, 1984, apud LEVADA, 1996) ... 7

Figura 2.6- Características do comportamento tensão versus deformação de um material elástico a) linear e b) não-linear. ... 8

Figura 2.7 - Expansão da superfície de plastificação (Adaptado de BUDHU, 2010) ... 9

Figura 2.8 - Representação do modelo hiperbólico ... 12

Figura 2.9 - Curva transformada do modelo hiperbólico ... 12

Figura 2.10 - Aplicação do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada ... 13

Figura 2.11 - Seleção de pontos de ajuste do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada ... 13

Figura 2.12 - Variação do módulo tangente inicial com a tensão confinante no modelo hiperbólico .. 14

Figura 2.13 - Superfície de escoamento no modelo de Lade-Kim. a) Em plano octaédrico: b) No plano triaxial (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ... 17

Figura 2.14- Modelo Lade-Kim. Superfície de ruptura: a) no plano triaxial: b) em plano octaédrico (IBAÑEZ, 2003, adaptado de Lade e Kim, 1988a) ... 18

Figura 2.15 - Potencial plástico no modelo de Lade-Kim. a) em plano octaédrico: b) No plano triaxial (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ... 19

Figura 2.16 - Esquema das curvas de endurecimento e amolecimento no modelo de Lade-Kim (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a) ... 22

Figura 2.17 – Fluxograma esquemático do programa LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998) ... 23

Figura 2.18 - Triângulo de Burland (AIRES, 2006 modificado de KRAHN, 2004)... 24

Figura 3.1 - Localização da área de estudo, sem escala (Modificado de REZENDE, 2013) ... 29

Figura 3.2 - Curva de enchimento do reservatório (REZENDE, 2013) ... 30

Figura 3.3 - Seção esquemática da barragem (REZENDE, 2013) ... 30

Figura 3.4 - Vista do tapete drenante e dos cananetes da barragem (REZENDE, 2013) ... 31

Figura 3.5 - Localização dos pontos de amostragem no depósito de rejeitos (Modificado de REZENDE, 2013)... 32

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Figura 3.7 - Comportamento de dilatância e de contração do rejeito arenoso com o índice de vazios . 34

Figura 3.8 - Resultados dos ensaios triaxiais ... 35

Figura 3.9 - Resultados tratados dos ensaios triaxiais ... 36

Figura 3.10 - Dispersão de εae εa/(σ1-σ3) para: (a) o dique e (b) o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx 37 Figura 3.11 - Dispersão de log (σ3/pa) versus log (Ei/pa) ... 38

Figura 3.12 - Dispersão de log (B/ pa) versus (σ3/ pa) ... 39

Figura 3.13 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo hiperbólico para o dique e o rejeito .. 40

Figura 3.14 - Parâmetros iniciais do modelo de Lade-Kim oriundos do programa “calibração” para o dique ... 41

Figura 3.15 - Gráfico para o cálculo dos parâmetros M e do dique ... 42

Figura 3.16 - Simulação do ensaio triaxial utilizando o modelo Lade-Kim ... 44

Figura 3.17 - Materiais constituintes do depósito de rejeitos ... 45

Figura 3.18 - Definição das etapas de construção e dos pontos de controle ... 46

Figura 3.19 - Curva de enchimento do depósito de rejeitos (em dias) ... 47

Figura 3.20 - Malha com 914 elementos Q4Q8 e 2945 pontos nodais ... 47

Figura 4.1 - Influência do dreno ... 48

Figura 4.2 - Influência da variação da permeabilidade vertical ... 49

Figura 4.3 - Influência da velocidade de solicitação ... 50

Figura 4.4 - Influência da velocidade de solicitação no deslocamento do ponto T ... 51

Figura 4.5 – Isocurvas de excesso de poro pressão ao final da construção do dique de partida - modelo linear elástico ... 51

Figura 4.6 – Isocurvas de poro pressão ao final da construção do depósito ... 52

Figura 4.7 – Isocurvas de deslocamento horizontal, ux, ao final da construção do depósito ... 53

Figura 4.8 – Isocurvas de deslocamento vertical, uy, ao final da construção do depósito ... 54

Figura 4.9 – Isocurvas de deformação normal na direção x, x, ao final da construção do depósito .... 55

Figura 4.10 – Isocurvas de deformação normal na direção y, y, ao final da construção do depósito . 56 Figura 4.11 – Isocurvas de deformação cisalhante, xy, ao final da construção do depósito ... 57

Figura 4.12 – Isocurvas de tensão normal na direção x, x , ao final da construção do depósito ... 58

Figura 4.13 – Isocurvas de tensão normal na direção y, y , ao final da construção do depósito ... 59

Figura 4.14 – Isocurvas de tensão cisalhante no plano xy, xy , ao final da construção do depósito .... 60

Figura 4.15 – Isocurvas de SLR ao final da construção do depósito ... 61

Figura 4.16 - Deslocamento vertical no ponto D1 ao final da construção do depósito ... 62

Figura 4.17 - Variação do deslocamento horizontal na seção S1 ao final da construção do depósito .. 62

Figura 4.18 - Variação do deslocamento horizontal na seção S2 ao final da construção do depósito .. 63

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LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 - Estado de compacidade dos corpos de prova. ... 33

Tabela 3.2 - Valores de εa e εa/(σ1-σ3) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx. ... 37

Tabela 3.3 - Valores de log (Ei/pa) e log(σ3/pa) para o dique e o rejeito a 70% e 95% do (1-3)máx. ... 38

Tabela 3.4 - Valores de 3, v, B, log (B/ pa) e log(3/ pa) para o dique e o rejeito. ... 39

Tabela 3.5 - Parâmetros constitutivos - modelo não linear elástico ... 40

Tabela 3.6 - Parâmetros necessários para o cálculo de M e  ... 42

Tabela 3.7 - Parâmetros constitutivos - modelo Lade-Kim ... 43

Tabela 3.8 - Peso específico e parâmetros de permeabilidade dos materiais envolvidos na simulação numérica. ... 45

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LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES a - constante do modelo hiperbólico

ANLOG - Análise Não Linear de Obras Geotécnicas b - constante do modelo Hiperbólico

c - coesão ou intercepto de coesão, parâmetro do modelo Lade-Kim CD - ensaio de compressão triaxial adensado e drenado

CID - comprimido isotropicamente e drenado CR - compacidade relativa

cte - constante

CTC - compressão triaxial convencional De - matriz constitutiva elástica

d- vetor de incrementos de deformação total de_–_{vetor de incrementos de deformação elástica}

dp_–_{vetor de incrementos de deformação plástica}

d- parâmetro plástico

d - vetor incremento de tensão de tensão efetiva p

dW - incremento de trabalho plástico e00 ou enat - índices de vazios natural

eo - índices de vazios inicial

ef - índice de vazios final

emax - índice de vazios máximo

emin - índice de vazios mínimo

E - módulo de elasticidade

E50 - módulo de elasticidade drenado a 50% da resistência máxima

Ei - módulo tangente inicial

EL – elevação

fp’’- função do modelo plástico

F(- superfície de plastificação

Gs - peso específico relativo dos sólidos

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HC - Compressão Isotrópica HIP - modelo Hiperbólico

I1 - primeiro invariante do tensor de tensões

I2D - segundo invariante do tensor de tensões desviador

I3 - terceiro invariante do tensor de tensões

K0 - coeficiente do empuxo em repouso

k - coeficiente de permeabilidade saturada

K - parâmetro adimensional do modelo Hiperbólico Kb - parâmetro do modelo hiperbólico

Kur - parâmetro do modelo Lade-Kim

kx– coeficiente de permeabilidade na direção horizontal

ky - coeficiente de permeabilidade na direção vertical

LE - modelo Linear elástico

m – parâmetro do modelo hiperbólico

M - inclinação da linha de ruptura de Mohr-Coulomb MEF - método dos elementos finitos

Mp– módulo plástico

n - parâmetro adimensional do modelo hiperbólico Pa - pressão atmosférica

p - parâmetro do modelo Lade-Kim

p - tensão normal média ou octaédrica efetiva pc’ - tensão de pré-adensamento

q - invariantes de tensão efetiva e parâmetro do modelo Lade-Kim Rf - razão de ruptura do modelo hiperbólico

S - razão de tensão. w - teor de umidade Wp - trabalho plástico

 - marcha adotada no tempo

γs - peso específico dos sólidos

γw - peso específico da água

ΔF - vetor de incremento de carga

ˆ

Δp - vetor de excesso de poro pressão nodal

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u

ΔR - vetor de incremento de força externa p

ΔR - vetor de variação de volume

t - incremento de tempo

ˆ

Δu - vetor de incremento de deslocamento nodal

ε - deformação linear

εa - deformação axial

εv - deformação volumétrica - parâmetro do modelo Lade-Kim 𝜂1 - parâmetro do modelo Lade-Kim

parâmetro do modelo Lade-Kim

ν - coeficiente de Poisson

σ - tensão normal total

σ1 - tensão total principal maior

σ3 - tensão total principal menor

(σ1-σ3)rup - tensão desvio na ruptura

(σ1-σ3)f - tensão desvio na ruptura

(σ1-σ3)ult - tensão desvio última

σa - tensão axial

σc - tensão confinante

σ- tensor de tensão efetiva x



 - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em x y



 - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em y z



 - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva em y

1 - parâmetro do modelo Lade-Kim 2 - parâmetro do modelo Lade-Kim

τ - tensão cisalhante xy

 - componente cartesiana do tensor de tensão efetiva cisalhante

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 1

1.1 OBJETIVOS E RELEVÂNCIA ... 2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 3

2.1 REJEITOS DE MINERAÇÃO ... 3

2.2 MODELAGEM CONSTITUTIVA ... 6

2.2.1 Elasticidade ... 7

2.2.2 Plasticidade ... 9

2.2.3 Modelo hiperbólico ... 11

2.2.4 Modelo elastoplástico Lade-Kim ... 16

a) Comportamento elástico ... 17

b) Critério de ruptura ... 18

c) Função potencial plástico ... 19

d) Critério de plastificação e leis de trabalho de endurecimento e amolecimento .. 20

2.3 MODELAGEM NUMÉRICA ... 23

3 ESTUDO DE CASO ... 29

3.1 O DEPÓSITO DE REJEITO ... 29

3.2 CARACTERIZAÇÃO GEOTÉCNICA DO REJEITO DA MINERAÇÃO DE FERRO ... 31

3.3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS CONSTITUTIVOS ... 35

3.3.1 Parâmetros do Modelo Hiperbólico ... 37

3.3.2 Parâmetros do Modelo Lade-Kim ... 41

3.4 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA CONSTRUÇÃO DO DEPÓSITO DE REJEITO ... 45

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 48

4.1 INFLUÊNCIA DO DRENO ... 48

4.2 INFLUÊNCIA DA ANISOTROPIA DE PERMEABILIDADE ... 49

4.3 INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE DE CONSTRUÇÃO ... 50

4.4 INFLUÊNCIA DO MODELO CONSTITUTIVO ... 51

5 CONCLUSÃO ... 65

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1 INTRODUÇÃO

A construção de um depósito de rejeitos origina deslocamentos e poro pressão na massa de solo, podendo, em função da magnitude destes deslocamentos, causar danos significativos ao depósito e/ou às construções no seu entorno. Neste contexto, a correta previsão dos deslocamentos e poro pressões no maciço é um requisito crucial para a execução e segurança dessas obras.

A previsão da magnitude dos deslocamentos a serem experimentados por uma massa de solo pode ser obtida racionalmente através da adoção de métodos analíticos tais como os métodos numéricos. Dentre os métodos numéricos disponíveis na literatura, o método dos elementos finitos (MEF) é o que tem sido mais amplamente utilizado para este fim. No entanto, para que os resultados obtidos numericamente sejam confiáveis, se faz necessário atender aos seguintes requisitos: conhecer, através de ensaios laboratoriais, o comportamento tensão versus deformação dos materiais envolvidos; adotar um modelo constitutivo capaz de representar as características predominantes do comportamento tensão versus deformação do solo para as diferentes trajetórias de tensão observadas durante a construção do depósito; e, dispor-se de um programa computacional apropriado para a simulação do processo.

No que diz respeito à modelagem constitutiva dos materiais geológicos, muito se tem avançado nas últimas décadas. Os primeiros modelos constitutivos propostos para o solo são baseados na teoria da elasticidade e partem da suposição de que todas as deformações ocorridas são reversíveis ou elásticas. Entre os modelos elásticos mais utilizados, além da Lei de Hooke, destaca-se o modelo hiperbólico, proposto por Duncan & Chang (1970) o qual adota uma função hiperbólica para representar a relação tensão versus deformação do solo. O modelo hiperbólico apesar de ser muito utilizado é limitado por não modelar aspectos importantes do comportamento do solo tais como a influência da tensão principal

intermediária (σ2), a dilatância e a perda de resistência pós-pico (softening). Além disto, o

modelo proposto por Duncan & Chang (1970) considera uma relação deformação axial versus deformação volumétrica linear elástica e independente da tensão de confinamento. Em 1980, Duncan propôs uma nova versão para o modelo hiperbólico adotando uma relação hiperbólica para deformação axial e deformação volumétrica, levando em conta o efeito da tensão de confinamento.

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ocorrência de deformações plásticas durante o carregamento primário. Daí a necessidade de se desenvolver modelos constitutivos elastoplásticos que considerassem a ocorrência de fluxo plástico ao longo de toda a trajetória de tensão experimentada pelo solo. Dentre os modelos elastoplásticos mais conhecidos destacam-se: o modelo de Cam-Clay Modificado (ROSCOE & BURLAND, 1968), o modelo de Lade (1977, 1979) e o modelo de Lade-Kim (KIM & LADE, 1988; LADE & KIM, 1988a, 1988b).

O modelo de Lade caracteriza-se por possuir duas superfícies de plastificação, sendo uma delas regida por uma lei de fluxo associada e a outra, por uma lei de fluxo não associada. O modelo de Lade-Kim é uma versão do modelo de Lade em que se adota apenas uma superfície de plastificação e uma lei de fluxo não associada. A adoção de uma superfície de plastificação única apresenta como vantagem a facilidade de sua implementação numérica em programas destinados à simulação da construção de obras geotécnicas.

O modelo de Lade-Kim além de representar o comportamento dos solos arenosos e argilosos, também possibilita que seu uso seja estendido para materiais com coesão efetiva, como concreto e rocha. Os modelos de Lade e Lade-Kim são formulados em termos das tensões efetivas e as expressões matemáticas utilizadas para representar o comportamento plástico dos solos apresentam-se em função dos invariantes de tensão. Os parâmetros necessários para caracterizar a utilização destes modelos podem ser obtidos através de resultados de ensaios de compressão isotrópica (HC) e de compressão triaxial convencional (CTC) drenado ou não drenado com medida de poro pressão.

1.1 Objetivos e Relevância

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2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A segurança nas operações mineiras é algo primordial a ser considerado em todas as etapas da lavra e do beneficiamento mineral que incluem todo o processo de descarte/disposição de estéreis e rejeitos. Muitos são os desafios a serem superados a fim de assegurar um nível razoável de segurança dos depósitos de rejeitos.

A seguir serão revistos alguns pontos importantes sobre os rejeitos de mineração e suas formas de disposição. Será feita uma discussão sobre o comportamento do solo quando submetido a diversos tipos de solicitações. Também serão mostrados os ensaios laboratoriais comumente utilizados para a obtenção dos parâmetros previstos nos modelos constitutivos e a predição do comportamento dos solos. Ainda neste item, será apresentada uma breve discussão sobre as modelagens constitutiva e numérica envolvidas no processo de previsão do comportamento tensão versus deformação dos aterros.

2.1 Rejeitos de Mineração

O processo de liberação do mineral de interesse envolve a cominuição do minério em partículas bem finas. As partículas que apresentam interesse comercial seguem para o que, convencionalmente, chama-se de concentrado. No final da etapa de concentração mineral, as partículas que não compõem o concentrado (por serem minerais de ganga ou por ineficiência do processo) fazem parte do que é, comumente, chamado de rejeito. Ou seja, uma mistura de água, reagentes e partículas sólidas (areia, silte e argila).

O rejeito pode ser bombeado da usina de concentração em forma de uma polpa com teor de água variando de 50% a até mais de 100%. Uma vez que rejeitos altamente “líquidos”

se espalhariam por uma área inaceitavelmente grande, eles tendem a ser confinados por uma barragem a fim de prevenir a poluição à jusante e armazenar água para recirculação na usina de beneficiamento.

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Figura 2.1 - Métodos construtivos de barragens de rejeito em várias etapas - (A) Método de montante, (B) Método de Jusante e (C) Método de linha de centro (PORTES, 2013, adaptado de VICK, 1983)

De acordo com o fluxograma de uma usina de beneficiamento mineral e o tipo de minério processado, obter-se-ão rejeitos com características físicas e composições químicas bastante variadas. Frente a isso, e somadas a fatores geográficos e econômicos, deve-se escolher o método de disposição mais adequado para uma determinada situação.

Existem três métodos de disposição de rejeitos: a céu aberto, aquático e subterrâneo. Particularmente, no método a céu aberto, as diversas modalidades de disposição existentes incluem: o aterro hidráulico, a disposição em cava, a codisposição de rejeitos e estéreis, a disposição subaérea e o empilhamento drenado e rejeitos espessados.

No Brasil a modalidade mais adotada é o método subaéreo que consiste especificamente na disposição hidráulica da polpa baixa percentagem de sólidos numa barragem de contenção (Figura 2.2).

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Figura 2.2 - Disposição de rejeitos através do método de aterro hidráulico (ESPÓSITO, 2000)

No método de disposição hidráulica os rejeitos encontram-se saturados e com elevado índice de vazios; e, ao longo do tempo, passam por processos de sedimentação e adensamento. Durante esses processos a água pode fluir para as partes mais superiores do

depósito formando uma lâmina d’água que pode afetar a posição relativa da superfície freática

à montante da barragem. O nível freático deve ser mantido em uma posição segura, pois disso depende a estabilidade da estrutura de contenção (dique de partida e diques de alteamento). Para tanto, é importante manter o(s) sistema(s) de drenagem sempre em bom funcionamento.

Na disposição de rejeitos saturados em barragens, a aplicação de rápidas sobrecargas de material (alteamento rápido) dificulta a dissipação dos excessos de poro pressões. Ademais, a ausência de compactação por métodos artificiais confere um arranjo fofo ao rejeito, com tendência a contração, o que geralmente contribui para o aumento da poro pressão.

Segundo Espósito (2000) e Milonas (2006 apud PORTES, 2013), apesar do aspecto

econômico vantajoso, o método construtivo de montante aliado à técnica de disposição hidráulica submete a estrutura a riscos como liquefação, elevação da linha freática e piping,

uma vez que os alteamentos são construídos sobre fundação composta por camadas fofas de rejeito associado à dificuldade de implantação da drenagem interna.

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Figura 2.3 - Ruptura por liquefação em barragem de rejeitos de ouro ocasionando a morte de 17 pessoas, Merriespruit, África do Sul, 1994 (BEDIN, 2010)

Figura 2.4 - Vista aérea da do local de rompimento de Barragem do Fundão em Minas Gerais, novembro de 2015 (REVISTA EXAME)

2.2 Modelagem Constitutiva

Um modelo constitutivo tem como objetivo descrever a relação entre medidas de tensão e de deformação em corpos constituídos por um dado material submetido a variações no seu estado de tensão e/ou deformação.

Segundo Lacy & Prevost (1987 apud LEVADA, 1996), um modelo constitutivo deve

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Segundo Desai & Siriwardane (1984), uma curva tensão versus deformação de um metal quando submetido a um ensaio de tração simples pode ser representada conforme esquematizado na Figura 2.5. Observa-se nesta figura que para um aumento gradual do carregamento, o material comporta-se elasticamente até o ponto A, retornando ao nível inicial de deformação após o descarregamento. Quando o metal é tensionado do ponto A até o ponto B e depois descarregado até C nota-se o surgimento de deformações irreversíveis ou plásticas. Este tipo de comportamento é conhecido como elastoplástico devido à ocorrência combinada de deformações elásticas e plásticas. Os pontos F e G representam um mesmo estado de deformação para dois diferentes estados de tensão. Este comportamento, característico dos materiais que apresentam plasticidade, indica que o estado de deformação alcançado não depende apenas do acréscimo de tensão, mas também da história de tensão.

Figura 2.5 - Curva tensão versus deformação para um metal submetido a tração simples (DESAI & SIRIWARDANE, 1984, apud LEVADA, 1996)

De uma forma geral, os modelos constitutivos são formulados considerando a decomposição aditiva dos incrementos de deformação, ou seja, os incrementos de deformação total (d), observados em um material quando submetido a variações de tensão (d), são divididos em duas componentes: elástica (de_{) e plástica (d}_p_{). Desta forma podemos}

escrever:

e p

dεdε dε (2.1)

2.2.1 Elasticidade

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totalmente reversíveis (TIMOSHENKO E GOODIER, 1980). É importante ressaltar que um material elástico pode apresentar uma curva tensão versus deformação linear ou não linear (Figura 2.6). O modelo elástico linear tem como característica principal a representação do comportamento elástico dos materiais através de um valor constante para o módulo de deformabilidade elástica (Figura 2.6a). Contudo, os solos apresentam um comportamento tensão versus deformação não linear, (Figura 2.6b) e, sendo assim, o seu módulo de deformabilidade é variável com o estado de tensão.

Figura 2.6- Características do comportamento tensão versus deformação de um material elástico a) linear e b) não-linear

Para um material linear e elástico, as deformações elásticas são independentes da trajetória de tensão que se submete o material, podendo-se atingir um mesmo estado de deformação a partir de trajetórias de tensão diferentes. Neste caso, estas deformações dependem dos incrementos de tensão e do módulo de deformabilidade. Para um material com comportamento tensão versus deformação não linear, no entanto, as deformações experimentadas dependem da história e trajetória de tensão, daí a importância de se ter uma formulação incremental.

Desta forma, o incremento de deformação elástica, de uma forma geral, pode ser obtido pela Equação 2.2.

e e

dε D σ ( ) (2.2)

em que De é uma matriz constitutiva elástica que depende do modelo constitutivo adotado e

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2.2.2 Plasticidade

As deformações plásticas de um material são irreversíveis, ou seja, a energia fornecida durante o carregamento é dissipada no seu interior.

Budhu (2010) afirma que para engenheiros a deformações plásticas são aquelas que particularmente interessam, pois estas são resultados de deformações permanentes no material. Para a tensão nas quais deformações permanentes são iniciadas dá-se o nome de tensão de plastificação (yield stress). No espaço generalizado das tensões tem-se uma

superfície de plastificação, F(. Esta superfície varia em função do modelo constitutivo adotado.

O modelo constitutivo baseado na teoria do estado crítico (ROSCOE, SCHOFIELD e WROTH, 1958), adota uma superfície de plastificação elíptica, tal como ilustrada na Figura 2.6, escrita em termos dos invariantes de tensão, p e q, tal como:

Figura 2.7 - Expansão da superfície de plastificação (Adaptado de BUDHU, 2010)

2 2

c 2 c

q

F(p ,q, p ) p p p 0

M

        (2.3)

em que

1 2 2

x x y y y z z z x xy

q                _  ( )  ( )  ( ) 3( ) _ (2.4a)

x y z

1

p ( )

3

(26)

onde M é a inclinação da linha de ruptura de Mohr-Coulomb e     _x, _y, _z e _xy são as componentes cartesianas do tensor de tensão efetiva (σ). O tamanho inicial ou eixo principal da elipse é determinado pela tensão de pré-adensamento, _p_c′. Evidências experimentais (WONG e MITCHELL, 1975) indicam que a superfície de plastificação elíptica é uma aproximação razoável para solos. Quanto maior a tensão de pré-adensamento, maior a elipse inicial.

Todas as combinações de q e p que se encontram dentro da superfície de plastificação, por exemplo, ponto A na Figura 2.6, farão com que o solo responda elasticamente. Se a

combinação de q e p’ estiver na superfície de plastificação inicial (ponto B na Figura 2.6), o solo plastifica de forma similar a uma barra de aço. Qualquer tendência de combinação de tensões de se mover para fora da superfície inicial de plastificação é acompanhada por uma expansão da atual superfície de plastificação de tal forma que durante o carregamento plástico ponto de tensão (q, p) situa-se sobre a superfície de plastificação expandida e não fora, como mostrado por C. Trajetórias de tensões BC causam a reação elastoplástica do solo. Se o solo é descarregado a partir de qualquer estado de tensão antes da ruptura, o solo irá responder como um material elástico. Como a superfície de plastificação expande, a região elástica torna-se maior (BUDHU, 2010).

Após iniciada a plastificação, o nível de tensão para o qual futuras deformações plásticas ocorrem depende do grau de plastificação corrente; ou seja, as superfícies de plastificação variam a cada estágio de deformação plástica. Portanto, durante o fluxo plástico as subsequentes superfícies dependem de alguma forma da própria deformação plástica. Este fenômeno é chamado Endurecimento (NOGUEIRA, 1998).

Durante o fluxo plástico o incremento de deformação pode ser obtido através da Lei de Fluxo pela qual:

p

d  d ( ,h)bσ (2.5)

em que

dG( ) d

 



σ

b

(27)

é o gradiente da função potencial plástico G( )σ o qual define a direção dos incrementos de deformação plástica e dé um escalar positivo chamado de parâmetro plástico que define a magnitude das deformações plástica. Assim, para um dado incremento de deformação total, o parâmetro plástico pode ser obtido fazendo:

T e T

e

d d

H

 



a D _ε

a D b (2.7)

em que

dF( ) d

 



σ

a

σ (2.8)

é o gradiente da função de plastificação F() e H é o módulo de endurecimento, definido como:

h p

H a M ( , h)σ (2.9a)

onde,

h

dF( , h) a

dh



 σ (2.9b)

e,

T

p p

dh

M ( , h) ( , h)

d

 

 _{ } _ 

 

σ b σ

ε (2.9c)

Mp é uma função que indica a variação do parâmetro de endurecimento h ao longo do

incremento de deformação plástica. 2.2.3 Modelo hiperbólico

(28)

O modelo assume que as curvas tensão versus deformação, sob determinada tensão confinante 3, podem ser aproximadas por hipérboles (Figura 2.8) representada pela Equação

2.10.

a

1 3

a a b

    

  (2.10)

Figura 2.8 - Representação do modelo hiperbólico

onde a é a inclinação inicial da curva e está relacionada com:

i 1 a

E

 (2.11)

onde Ei é o modulo de Young inicial e b é o valor assintótico relacionado com (  ₁ _{3 ult}) .

1 3 ult 1 b

( )



   (2.12)

Os valores de a e b são obtidos através da transformação da curva da Figura 2.8 a qual está indicada na Figura 2.9.

(29)

Quando se utilizam resultados experimentais os pontos muitas vezes não se ajustam perfeitamente ao longo da reta da curva transformada. Solos rígidos tendem a apresentar uma concavidade voltada para cima, enquanto que solos moles se agrupam em uma hipérbole com a concavidade para baixo.

Nos casos em que o trecho inicial da curva tensão versus deformação é linear, a transformada tende a ser horizontal (Figura 2.10).

(a) (b)

Figura 2.10 - Aplicação do modelo hiperbólico: (a) curva real e (b) curva transformada

Caso não se disponha de ferramenta adequada para o ajuste dos resultados experimentais, recomenda-se que a reta seja definida a partir dos pontos correspondentes a 70% e 95% da resistência máxima (Figura 2.11). Esta recomendação foi baseada em análises das centenas de curvas correspondentes a diversos materiais (GERSCOVICH,2005).

(a) (b)

(30)

A variação de Ei com a tensão confinante é representada por equação sugerida por

Janbu (1963):

n 3 i i a

a

E K p

p

 

 _ _

  (2.13a)

ou linearizando-se

3

i

a a

E

log log K n log

p p



   

 

   

    (2.13b)

onde Ki e n são parâmetros adimensionais obtidos linearizando no espaço logarítmico a

variação de Ei com 3 tal como indicado na Figura 2.12 e pa é a pressão atmosférica.

Figura 2.12 - Variação do módulo tangente inicial com a tensão confinante no modelo hiperbólico

A variação de (  ₁ _{3 ult}) com a tensão confinante ₃ é feita relacionando-se 1 3 ult

(   ) com a resistência do solo, dada pela diferença (  ₁ _{3 f}) ,

1 3 f 1 3 ult

f

( )

R

  

    (2.14)

onde Rf é denominado razão de ruptura e (  ₁ _{3 f}) é definido de acordo com o critério de

ruptura de Mohr-Coulomb como:

3 1 3 f

2c cos 2 sen

( )

1 sen



   

   

  (2.15)

(31)

Na prática, Rf varia dependendo do ensaio considerado, recomenda-se adotar valor

médio. Em geral, o valor de Rf situa-se entre 0.7 e 0.95.

Adotando-se a relação incremental indicada na Equação 2.2 pode-se obter a seguinte matriz constitutiva para o modelo hiperbólico:

t t

1 (1 ) (1 ) 0

(1 ) 1 (1 ) 0

E (1 )

(1 ) (1 ) 1 0

(1 )(1 2 )

0 0 0 (1 2 ) 2(1 )

        _ _{ } _ _{ }    _ _              _{ } _{ }    D (2.16) em que 2

t t f

E E (1 R S) (2.17)

Onde

1 3

1 3 f

( )

S

( )

   

   (2.18)

é a razão de tensão.

Na versão original do modelo (DUNCAN E CHANG, 1970), a relação linear

v (1 2 ) 1

     (2.19)

baseada na teoria da elasticidade é utilizada para relacionar as deformações volumétrica e axial, onde,  é o coeficiente de Poisson suposto constante ao longo de todo ensaio.

Entretanto, o emprego do coeficiente de Poisson constante limitava o uso do modelo, uma vez que este coeficiente na prática varia ao longo do ensaio tendendo para o valor 0.5 na ruptura (variação volumétrica nula). Reconhecendo esta deficiência, Duncan (1980) apresentou uma nova versão deste modelo, na qual o coeficiente de Poisson varia em função do módulo de deformabilidade volumétrica B. Nesta nova versão, B é considerado constante com o nível de tensão e variável com a pressão de confinamento através da relação:

m 3 b a

a B K p

p

 

 _ _

(32)

onde Kb e m são dois parâmetros adicionais que substituem o coeficiente de Poisson constante

do modelo original.

Para esta nova versão tem-se a seguinte matriz constitutiva tangente





t t t

t

t t t

t

t (3B E ) (3B E ) (3B E ) 0 (3B E ) (3B E ) (3B E ) 0 3B

(3B E ) (3B E ) (3B E ) 0 9B E

0 0 0 E

  

 

 _ _ _ 

 



    



 

 

D (2.21)

2.2.4 Modelo elastoplástico Lade-Kim

O modelo Lade-Kim é escrito em termos dos invariantes de tensão, adota uma Lei de Fluxo não associada e uma lei de endurecimento/amolecimento definida com base numa medida de trabalho plástico.

O modelo elastoplástico de Lade-Kim é uma evolução do modelo de Lade (1977) e pode ser adotado para previsão do comportamento tensão versus deformação de solos, rocha e concreto. Sua principal característica é a adoção de apenas uma superfície de plastificação em relação às duas adotadas pelo modelo de Lade (1977).

O modelo Lade-Kim adota 12 (doze) parâmetros, a saber: Kur,ν, n (ou M, , e ) para

a componente elástica do incremento de deformação, _η₁ e m para o critério de ruptura, _ψ₂ e

para a definição do potencial plástico, h e q para a superfície de escoamento, C e p para a função de endurecimento e finalmente a para o caso de materiais com coesão. Esses parâmetros podem ser determinados a partir de ensaios triaxiais convencionais de compressão isotrópica e compressão por carregamento axial drenados (LADE e KIM, 1988b).

(33)

Figura 2.13 - Superfície de escoamento no modelo de Lade-Kim. a) Em plano octaédrico: b) No plano triaxial (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a)

Neste modelo, a transição de endurecimento para amolecimento ocorre de forma abrupta no ponto de pico de ruptura (LADE e KIM, 1988a).

a) Comportamento elástico

As deformações elásticas são calculadas a partir da Lei de Hooke generalizada, utilizando o módulo de descarregamento/recarregamento definido pela Equação 2.13, para a versão 1988 do modelo, e, para a versão 1995:

2

1 2D

i a 2

a a

I 1 I

E Mp 6

p 1 2 p



_ _ _ _{ } __ _

 

 _ _  _ __ _

 

 

   

 

(2.22a)

ou

2

i 1 2D

2

a a a

E I 1 I

log log M log 6

p p 1 2 p

 

 _ _{ } _  _     _

    _ _{ }_ 

 

  _   _ (2.22b)

onde K , n, M e _i  são constantes do material determinadas dos resultados de ensaios convencionais de compressão triaxial executados sob diversos níveis de tensão de confinamento. Pa é a pressão atmosférica expressa na mesma unidade de _σ₃. O coeficiente de Poisson () é geralmente assumido constante, com valores típicos determinados com base no tipo de solo investigado, variando geralmente entre zero e meio. I1 e I_2D são, respectivamente,

o primeiro invariante do tensor de tensões e o segundo invariante do tensor de tensões desviador, definidos como:

1 x y z

(34)



 

2



2





2 ₂ ₂ ₂

2D x y y z z x xy yz zx

1 I

6       

 _            _     

  (2.24)

b) Critério de ruptura

No espaço das tensões principais, o critério de ruptura tem a forma parecida com uma bala assimétrica com o ápice pontiagudo na origem dos eixos de tensão. A superfície de ruptura é escrita em termos dos invariantes como:

2 m

3

1 1

1

3 a

I I

I p

         

    (2.25)

Em que _𝜂₁ e m são parâmetros adimensionais constantes e _𝐼₃ é o terceiro invariante do tensor de tensões definido como:

3 x y z xy yz zx x yz zy y zx xz z xy yx

I                       (    ) (2.26)

A Figura 2.14 ilustra a superfície de ruptura no plano triaxial e octaédrico.

Figura 2.14- Modelo Lade-Kim. Superfície de ruptura: a) no plano triaxial: b) em plano octaédrico (IBAÑEZ, 2003, adaptado de Lade e Kim, 1988a)

A resistência à tração (coesão) é incorporada no modelo trasladando-se a origem dos eixos de tensão ao longo do eixo hidrostático de um valor _𝑎𝑝_𝑎, de tal forma que:

a (ap )

 

σ σ I (2.27)

em que _𝑰 é a matriz identidade, a é uma constante adimensional e _𝜂₁e m são parâmetros de

(35)

c) Função potencial plástico

Um dos mais importantes componentes de um modelo constitutivo é a função potencial plástico, G(). Ela é a base para a derivação da lei de fluxo plástico (Equação 2.5) que estabelece a relação entre tensões e incrementos de deformações plásticas para o material em questão.

Na teoria da plasticidade clássica usualmente considera-se o fluxo associado, ou seja, a função potencial plástico G() sendo igual à função de plastificação F(), porém para materiais friccionais há claras evidências de que a estas funções não coincidem, ou seja, tem-se um fluxo não associado (LADE e KIM, 1988a).

A função potencial plástico G() é expressa em termos dos invariantes de tensões (Figura 2.15). G() descreve uma superfície no espaço das tensões na qual os vetores de incremento de deformação plástica são perpendiculares (LADE e KIM, 1988a), de acordo com a Equação (2.28).

.

Figura 2.15 - Potencial plástico no modelo de Lade-Kim. a) em plano octaédrico: b) No plano triaxial (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a)

3 2

1 1 1

1 2

3 2 a

I I I

G( )

I I p



   

 _    _{  }

   

σ (2.28)

em que

2 xy yx yz zy zx xz x y y z z x

I                  (      ) (2.29)

e

1.27

1 0.00155m



(36)

Onde I é o segundo invariante do tensor de tensões e ₂ 2 e são parâmetros plásticos. m é o parâmetro que está relacionado à curvatura da superfície de ruptura, ₁controla a forma entre arredondada e triangular, ₂ controla a interseção com o eixo hidrostático e _μ determina a curvatura dos meridianos.

Para baixos níveis de tensão, as seções transversais têm formato aproximadamente circular e com o aumento dos níveis de tensão em direção à ruptura, gradualmente as superfícies potencial plástico mudam da forma circular para triangular arredondada.

d) Critério de plastificação e leis de trabalho de endurecimento e amolecimento

As superfícies de plastificação estão intimamente associadas com, e derivadas de superfícies de trabalho plástico constante, como visto em Lade e Kim (1988a). A função de plastificação, F(), é expressa da seguinte forma:

p p p

F( ) f ( ) f (W ) 0σ   σ    (2.31)

Onde _f_p′ é uma função do nível de tensão dado por:

h

3 2

q

1 1 1

p 1

3 2 a

I I I

f e

I I p

   

  _  _{  }

    (2.32)

S q

1 (1 )S

 

   (2.33)

n 1 f S

 (2.34)

m 3

1 1

n

3 a

I I

f 27

I p

   

_  _{  }

    (2.35)

em que _α e h são parâmetros de plastificação. Os valores de q 0 durante compressão isotrópica, 0 q 1 para estados com tensões de desvio e q 1 na ruptura.

(37)

fp′′ é uma função do modelo plástico definida para a fase de endurecimento, como: 1 1 p '' p a W 1 f D p      _{ } _ _

    (2.36)

em que p h

  (2.37)

e p 1 c D (27 3) 

  (2.38)

onde c e p são os parâmetros de endurecimento. O trabalho plástico, Wp, para um estado de

tensão sobre o eixo hidrostático é dado por: p 1 p a a I W cp p    _ _

  (2.39)

Com o aumento do trabalho plástico, a superfície de plastificação isotrópica infla até o ponto de tensão alcançar a superfície de ruptura (LADE e KIM, 1988a). A relação entre F( )σ e Wp é descrita por uma função de crescimento monotônico cujo gradiente decresce com o aumento do trabalho plástico, como mostrado na Figura 2.15b.

Para amolecimento a F( )σ deflete isotropicamente de acordo com a função de decaimento exponencial:

p a

B(W p ) ''

p

f Ae (2.40)

Na qual A e B são constantes positivas a serem determinadas com base no gradiente da curva de endurecimento no ponto de pico de ruptura, como indicado na Figura 2.16.

 

' B(W p )p a pico

p pico

(38)

'' p

'

p p pico

a _end.pico

df 1

B

W (f )

d p

 

 

  _ _

 _ _

 _ _

 

(2.42)

Figura 2.16 - Esquema das curvas de endurecimento e amolecimento no modelo de Lade-Kim (IBAÑEZ, 2003, adaptado de LADE e KIM, 1988a)

O incremento de trabalho plástico pode ser determinado por diferenciação das equações de endurecimento (Equação 2.36) e amolecimento (Equação 2.40). Para endurecimento, tem-se:

'

p a p p

dW Dp f df (2.43)

e para amolecimento tem-se:

1

p a

1

dW p dF( )F( )

B



  _ _

   _{ } σ σ (2.44)

Sendo dF( )σ negativa durante amolecimento.

Para possibilitar a obtenção automática dos parâmetros do modelo Lade-Kim (1988a, 1988b), o programa computacional de calibração LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998) foi desenvolvido a partir de um arquivo em formato .txt contendo os dados relativos aos ensaios.

(39)

Figura 2.17 – Fluxograma esquemático do programa LKIMCAL (NOGUEIRA, 1998)

2.3 Modelagem Numérica

A Figura 2.18 apresenta o chamado triângulo de Burland (AIRES, 2006) que ilustra os processos associados com a obtenção de um modelo físico conceitual para um determinado fenômeno físico dentro da engenharia geotécnica.

(40)

Figura 2.18 - Triângulo de Burland (AIRES, 2006 modificado de KRAHN, 2004)

De uma forma geral, modelos matemáticos, normalmente representados por equações diferenciais parciais, descrevem, considerando algumas hipóteses simplificadoras, fenômenos físicos que a depender da sua natureza podem ser extremamente complexos. Questões relacionadas com a dimensão do problema, a não linearidade constitutiva, a influência do tempo e outras, podem conduzir a modelos matemáticos cuja solução só se torna possível de forma aproximada através da adoção de alguma metodologia numérica.

Assim, a modelagem numérica pode ser entendida como uma ferramenta que viabiliza a solução, ainda que aproximada, de modelos matemáticos que representam de forma simplificada um dado fenômeno físico.

A partir de um modelo numérico é possível obter-se um modelo computacional que permitirá, de forma automática, a realização de várias simulações numéricas, ou seja, variando-se as condições de contorno e iniciais, as propriedades físicas e dimensões, pode-se obter diferentes respostas para um mesmo fenômeno físico. Assim, pode-se dizer que além de permitir um melhor entendimento de um fenômeno físico, o uso de simulações numéricas é, sobretudo, relevante em estudos que envolvam aspectos de segurança, de riscos ambientais e de perdas de vidas, bem como prejuízos financeiros, a exemplo de estudos com contaminantes e rupturas de estruturas.

(41)

método, o domínio do problema é discretizado em subdomínios (elementos finitos) onde as equações de equilíbrio, ou de governo do problema, são integradas. Várias formulações podem ser encontradas na literatura em função do modelo matemático que se deseja aproximar.

Nesse trabalho será utilizada uma formulação acoplada, em termos de deslocamento e poro pressão, apresentada por Nogueira, Azevedo e Zornberg (2009) para a análise tensão versus deformação com acoplamento de fluxo e deformação relacionada com a construção de uma aterro.

De uma forma sucinta o sistema de equação algébrico com base no MEF que representa o problema do acoplamento hidromecânico em meios geológicos é dado por:

u t T p ˆ ˆ t             _ _  _  _       R

K C u

R

C H p (2.45)

onde

K_t B D B_uT

t uT

v

dV

  , (2.46)

é a matriz de rigidez,

C_{ }B_umN_pdV

V

, (2.47)

é a matriz de acoplamento,

H_{ }B_pT k B

w p

V

dV 1

 , (2.48)

é a matriz de fluxo, onde para um problema bidimensional,

xx xy yx yy k k k k       

k , (2.49a)

onde

 



 ₁ 2 ₃ 2

xx k cos k sen

(42)

 



 ₁ 2 ₃ 2

yy k sen k cos

k , (2.49c)

  



k (k k )sen cos

k_xy _yx ₁ ₃ , (2.49d)

3 k 1

k F k (2.49e)

k1 e k3 são os coeficientes de permeabilidade principais maior e menor e  ângulo formado

entre a direção x e a direção principal maior e Fk é o fator de anisotropia. t é o incremento de tempo,  é a marcha no tempo adotada, mT 



1 1 1 0



, B_u  _{u u}N e B_p  _{p p}N , são as matrizes que relacionam, respectivamente, deformação com os deslocamentos nodais e gradiente hidráulico com as poro pressões nodais, e N_u e N_p são matrizes que contêm as funções de interpolação do deslocamento e poro pressão. ˆ

ˆ      _    u d

p é o vetor de deslocamento e poro pressão e u

p      _    R F

R é o vetor de incremento de carga.

u

R e R_p são definidos respectivamente pelas Equações 2.50 e 2.51 e representam o incremento de força externa e a variação de volume aplicadas no passo corrente.

u T B

R      F F F (2.50)





p t n ˆn

R    Q Q Hp (2.51)

As parcelas  _{C u}T ˆ_e _{ }_t_{H p}ˆ _{representam, respectivamente, as variações}

volumétricas devido ao incremento de tensão efetiva e à variação de poro pressão ocorrida no intervalo de tempo t.

Numa situação em que o nível d'água permanece constante, o incremento de fluxo Q é nulo e o vetor R_p é reduzido a R_p Q_n Hpˆ_n. Na condição de fluxo permanente, por exemplo, no final do adensamento, esta parcela se anula.

(43)

foi generalizado para análises de problemas de geotécnicos envolvendo aterros e escavações, com acoplamento de fluxo e deformação por Nogueira (1992, 1998).

Desde 1998, outras versões foram desenvolvidas e verificadas através da análise de problemas com solução analítica eou semianalítica encontrada na literatura. São elas:

Versão 2000, desenvolvida por José Christiano Machado Jr., aluno do curso de mestrado em Geotecnia do PROPEC/UFOP para análise de problemas de fluxo em meio poroso não saturado;

Versão 2003, desenvolvida por Anderson Resende Pereira, aluno do curso de mestrado em Geotecnia do PROPEC/UFOP para análise de problemas mecânicos em equilíbrio estático de estruturas de solos reforçado;

Versão 2004, desenvolvida por Marcelo Furtado Pinto, o aluno do curso de mestrado em Geotecnia do PROPEC/UFOP, para análise acoplada associada com a variação do nível d´água em obras de terra;

Versão 2005, desenvolvida por Marco Antônio Boareto Silva, aluno do curso de mestrado em Geotecnia da UFV, para análise tensão deformação tridimensional linear elástica;

Versão 2006, desenvolvida por Rodrigo Rodrigues Vieira de Oliveira, o aluno do curso de mestrado em Geotecnia do PROPEC/UFOP, para análise elastoplástica, considerando o modelo Mohr-Coulomb modificado, de estruturas de solos reforçados;

Versão 2009, desenvolvida por Kuo-Hsin Yang, aluno de doutorado da UT-Austin, para análise elastoplástica, considerando o efeito de amolecimento, de estruturas de solos reforçados;

Versão 2010, desenvolvida por Nilthson Norena Valverde, aluno do curso de mestrado em Geotecnia da PUC-Rio, o qual generalizou os modelos de comportamento elastoplásticos para a condição de deformação tridimensional;

 Versão 2014, desenvolvida por Jefferson Tales Simão, aluno curso de mestrado em Lavra de

Minas do PPGEM/UFOP, o qual introduziu o modelo elástico perfeitamente plástico com fluxo associado de acordo com o critério de ruptura de Hoek-Brown.

O ANLOG roda numa plataforma Windows e utiliza o programa MTOOL que foi desenvolvido pelo grupo de tecnologia em computação gráfica da PUC-Rio (TecGraf®_{) como}

(44)

FORTRAN 90, é organizado em módulos, e apresenta uma estrutura que permite a simulação de processos construtivos envolvendo aterros (em condições geométricas bi e tridimensionais) e escavações (em condições geométricas bidimensionais).

O ANLOG pode ser usado na análise de problemas sem ou com acoplamento de fluxo e deformação (em condições saturadas); na análise de problemas de fluxo em meio poroso saturado e não saturado; na simulação de problemas mecânicos em condições de tensão plana, deformação plana, axissimétrica e tri-dimensional; e, na simulação de problemas acoplados em condições de deformação e fluxo planos.

Foram implementados no ANLOG os seguintes elementos finitos: elementos unidimensionais (linear e quadrático); elementos planos triangulares e quadrangulares (linear e quadrático); elementos sólidos (linear e quadrático); elementos de interface de espessura nula e elementos específicos para reforço; e, elementos finitos para análises acopladas: elementos planos (triangulares e quadrangulares).

Com relação aos modelos constitutivos, encontram-se implementados no ANLOG: modelos constitutivos para solos: elásticos (Linear e Hiperbólico), elastoplásticos (CamClay Modificado, Lade 77, Lade & Kim, Lade & Kim modificado) e elásticos perfeitamente plástico (Mohr-Coulomb; Drucker&Prager e Hoek-Brown, originais e modificados); modelos constitutivos para reforços: elástico linear e elástico perfeitamente plástico von Mises; modelos constitutivos para interface solo-reforço: elástico linear e elástico perfeitamente plástico baseado no critério de Coulomb; e, modelos constitutivos para fluxo não saturado: exponencial, van Genuchten, Fredlund & Xing, Brooks & Corey, e ainda, interpolação linear e por spline cúbica de dados de ensaios.

Com relação aos algoritmos de solução de sistema de equação, encontram-se implementados no ANLOG: algoritmo puramente incremental; algoritmo incremental-iterativo (Newton-Raphson); e, algoritmo incremental-incremental-iterativo (Newton-Raphson) incluindo a estratégia de incrementos automáticos de cargatempo.

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3 ESTUDO DE CASO

Esse capítulo apresenta um estudo do processo de construção de um depósito de rejeito de minério de ferro analisado por Rezende (2013). O estudo passa pela descrição dos materiais constituintes desse depósito, pela obtenção dos parâmetros dos modelos constitutivos adotados; e pela simulação via MEF do processo construtivo da barragem.

3.1 O depósito de rejeito

A disposição do rejeito da mineração de ferro descrita por Rezende (2013) era realizada de forma que os rejeitos arenosos e finos (lama) eram dispostos em reservatórios específicos. No reservatório do Dique 1, eram dispostos os rejeitos de natureza arenosa na forma de um empilhamento drenado e, no reservatório do Dique 2, foi prevista a disposição da lama. Na Figura 3.1, tem-se a visualização dos Diques 1 e 2. Os diques foram construídos numa região de vale onde o perfil geológico do local indicava uma fundação com solo saprolítico de espessura média igual a 40 m.

Figura 3.1 - Localização da área de estudo, sem escala (Modificado de REZENDE, 2013)

O depósito de rejeito foi construído hidraulicamente após a construção do Dique 1, denominado nesse trabalho de dique de partida. A Figura 3.2 apresenta a curva de enchimento do reservatório.

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Figura 3.2 - Curva de enchimento do reservatório (REZENDE, 2013)

O dique de partida com 40 metros de altura, tal como ilustrado na Figura 3.3, foi construído em aterro homogêneo de solo saprolítico compactado. Sua crista foi posicionada na cota 830m com 16 m de largura e aproximadamente 260m de extensão. O sistema de drenagem, inicialmente usado, consistia de um pequeno tapete no dique de partida e um tapete posicionado à montante desse dique. O talude de montante e o de jusante do dique possuíam respectivamente inclinação igual a 1V:1,5H e 1V:2H. A largura da berma era igual a 5m e a altura do banco igual a 10m.

Figura 3.3 - Seção esquemática da barragem (REZENDE, 2013)

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Figura 3.4 - Vista do tapete drenante e dos cananetes da barragem (REZENDE, 2013)

Após o enchimento do reservatório e antes do primeiro alteamento, foi feito um reforço composto por uma berma de blocos no talude de jusante com cota final na El. 820m, tal como pode ser observado na Figura 3.3.

3.2 Caracterização geotécnica do rejeito da mineração de ferro

As características geotécnicas do rejeito de mineração de ferro lançado no Dique 1 foram investigadas por Rezende (2013) com base em ensaios de caracterização, triaxiais convencionais, edométricos e de permeabilidade.

Resultados de ensaios de caracterização indicaram, para o rejeito uma densidade real dos grãos (Gs) de 2.96 (valor médio). A análise da curva granulométrica indica uma areia fina

siltosa com partículas no intervalo de 0.01 mm a 0.30 mm. Os índices de vazios máximos (emax) e mínimos (emin) médios foram da ordem de 1.0 e 0.5, respectivamente.

Uma campanha de ensaios triaxiais foi realizada com amostras indeformadas obtidas

in situ de acordo com as localizações indicadas na Figura 3.5 e congeladas imediatamente

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Figura 3.5 - Localização dos pontos de amostragem no depósito de rejeitos (Modificado de REZENDE, 2013)

Figura 3.6 - Amostra de rejeito congelada (REZENDE, 2013)

Vinte ensaios triaxiais CID (ensaio adensado isotropicamente, saturado e drenado durante o cisalhamento) foram realizados tal como sugerido por Head (1986) em quatro tensões confinantes iguais a 75 kPa, 150 kPa, 300 kPa e 550 kPa com as amostras congeladas obtidas nos cinco pontos de amostragem indicados na Figura 3.5.

A seguinte nomenclatura é adotada para identificação das amostras: a sequência de um código de duas letras iniciais correspondentes ao Dique 1, com três algarismos subsequentes representando a distância do ponto de coleta ao eixo da crista ao quarto dique de alteamento, e os três últimos números representam a tensão confinante do ensaio triaxial. Exemplificando essa sequência, o número D1-010-075 significa: estrutura do Dique 1, amostra coletada a 10 m da crista do quarto dique de alteamento e ensaiada com tensão de confinamento de 75 kPa.

A Tabela 3.1 apresenta o índice de vazios inicial (e00) e a compacidade relativa (CR)

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comportamento do corpo de prova em termos de deformação volumétrica observada na fase de cisalhamento de cada ensaio.

Tabela 3.1 - Estado de compacidade dos corpos de prova.

Posição 3 e00 CR1 Estado2 Comportamento

D1-000

75 0.61 88% Compacto Dilata

D1-010

75 0.95 19% Fofo Contrai

D1-043

75 0.83 44% Mediano Dilata

300 0.87 37% Mediano Contrai

D1-076

D1-110

300 0.90 30% Fofo Dilata

550 0.92 26% Fofo Dilata

Vale ressaltar que o depósito de rejeito era predominantemente composto por material areno siltoso de formato angular, devido ao processo de britagem dos grãos, entretanto especificamente o material do ponto D1-010 era composto, no momento da amostragem, por material silto arenoso. Isto se dá devido à aleatoriedade na disposição dos rejeitos no depósito. A Figura 3.7 apresenta a variação dos índices de vazios para os diferentes corpos de provas retirados das diferentes localizações. Como pode ser observado, metade das amostras sofreu contração (C) e a outra metade dilatou (D) durante o ensaio triaxial. Nota-se que os quatro ensaios abaixo da linha verde (índice de vazios médio igual a 0.75) se referem às amostras retiradas do dique compactado. No entanto, as seis amostras com índice de vazios maiores que 0.80 também apresentaram comportamento dilatante. O comportamento dilatante

1_D

r = (e00-emin)/(emax-emin) 2_{Fofo - D}

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pode ser explicado pelo tipo de arranjo, forma angulosa das partículas e imbricamento suficiente para gerar dilatação (REZENDE, 2013). Importante observar que todas as amostras com comportamento contrativo têm índice de vazios igual ou superior a 0.76.

Figura 3.7 - Comportamento de dilatância e de contração do rejeito arenoso com o índice de vazios

As amostras D1-043, D1-076 e D1-110 não apresentaram um comportamento, em termos de deformação volumétrica compatível com o seu estado de compacidade, de acordo com a teoria da mecânica dos solos clássica. Isto ressalta a complexidade do material que compõe o rejeito.

Serão utilizados nesse trabalho, para fins de obtenção dos parâmetros constitutivos, os resultados dos ensaios triaxiais das amostras D1-000 e D1-010, cujas curvas tensão desviadora (  ₁ ₃) versus deformação axial (_a) e deformação axial (_a) versus deformação volumétrica (_v) são apresentados na Figura 3.8.

A escolha pelo ponto D1-010 se dá com o intuito de simular a construção do depósito com o material de comportamento mais crítico em termos de propriedades de permeabilidade e resistência, uma vez que ele é o único com composição silto arenosa.

000-150

000-75 000-550

000-300

076-150 043-150 043-75 110-75

110-300 110-550

076-300

076-075 076-550

043-300 043-550

110-550 010-150 010-075 010-550

010-300

0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10