Soluções das Equações de Navier-Stokes

Mecânica dos Fluidos II

Soluções das Equações de

Navier-Stokes

Mecânica dos Fluidos II

Equações de Navier-Stokes

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Equações de Navier-Stokes

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Equações de Navier-Stokes

Mecânica dos Fluidos II

Cartesian Coordinates

Cylindrical Coordinates

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas

L u h

v =0 ;w = 0

u =u ( y ) ê _x ⇒ u . ∇ u =0

O escoamento é unidirecional, mas bidimensional:

Escoamento Incompressível: ∇ . u =0 ⇔ ∂ u

∂ x =0

Vamos assumir que o escoamento se desenvolve na direção horizontal::

y

x

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas

Escoamento em Regime Permanente:

Campo de Velocidade:

∂

∂ t =0 u =u ( y )→ ∂ u

∂ x =0

Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a:

y → ∂ p

∂ y =0 z → ∂ p

∂ z =0

0 =− dp

dx +μ d ² u

d y ²

p = p ( x )

Mecânica dos Fluidos II

Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão

( ^{u ∂ ∂ u x} ) ^{∼ U L 2 ∂} ∂ ² x ^{u 2} ∼ U L ²

∂ ² u

∂ y ² ∼ U h ²

∂ ² u

∂ y ² ≫ ∂ ² u

∂ x ²

0=− d p

d x +μ d ² u d y ²

Então para a direção “x”:

∂ p

∂ x = p _L − p ₀

L =−G p ₀ > p _L =−G μ d ² u

d y ² = d p

d x Integrando duas vezes

em relação a y u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

As constantes de integração são encontradas

através das condições de contorno do problema

Mecânica dos Fluidos II

L u d

Caso I: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior e pela existência de um gradiente de pressão

U

p ₀ p _L

u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

Condições de Contorno

u ( y= d )=U ;u ( y =0 )= 0

Aplicando as Condições de Contorno em:

u ( y=0 )=0 ⇒ C ₂ =0

u ( y= d )=U ⇒ C ₁ = U

d + G 2 μ d

u ( y )= G

2 μ y ( d − y )+ U d y

Este é o caso mais Geral

Mecânica dos Fluidos II

L u d

Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior; não existe gradiente de pressão

U

u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

Condições de Contorno

u ( y= d )=U ;u ( y =0 )= 0

Aplicando as Condições de Contorno em:

u ( y=0 )=0 ⇒ C ₂ =0

u ( y= d )=U ⇒ C ₁ = U d

u ( y )= U

d y Conhecido como

escoamento de Couette

entre placas paralelas

Mecânica dos Fluidos II

L u d

Caso III: Escoamento acontece pela existência de um gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel

p ₀ p _L

u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

Condições de Contorno

u ( y= d )=0 ; u ( y =0 )=0

Aplicando as Condições de Contorno em:

u ( y=0 )=0 ⇒ C ₂ =0

u ( y= d )=0 ⇒ C ₁ = G 2 μ d

u ( y )= G

2 μ y ( d − y )

Conhecido como escoamento de

Hagen-Poiseuille entre placas paralelas

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille

r

z

L

p ₀ p _L

Considerações do problema

1) Comprimento (L) muito maior que o raio (a) 2) Condição de Axissimetria

3) Escoamento Unidirecional

4) Escoamento em Regime Permanente

L ≫ a

∂ θ ∂ =0 u _θ =0

∂ =0

u =u ( r ) ê _z =u _z ( r )

O escoamento se

desenvolve na direção z

Mecânica dos Fluidos II

Equação da Continuidade

1 r

∂( r u _r )

∂ r + ∂ u _z

∂ z =0 r ∼ a ; z ∼ L ;u _z ∼U u _r ∼U a

L ⇒ u _r ≪ 1 ⇒ u _r ≈0

Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam :

1 r

∂( r u _r )

∂ r + ∂ u _z

∂ z =0

r → 0=− ∂ p

∂ r θ→ 0 =− ∂ p

∂ θ z → 0 =− ∂ p

∂ z +μ ( ^{∂ ∂ 2 r u 2 z + 1 r ∂ ∂ u r z} )

1 r

d

dr ( ^{r d u dr z} ) ^{= 1 r} [ ^{r d d r 2 u 2 z + d u dr z} ] ^{= d d r 2 u 2 z + 1 r d u d r z}

Nota que:

∂ p

∂ z = p _L − p ₀

L =−G ^p 0 > p _L =−G

Mecânica dos Fluidos II

1 r

d

d r ( ^{r d u d r z} ) ^{=− G μ}

Assim escreve-se que:

Integrando uma vez: ∫ ^d ( ^{r d u d r z} ) ^{=− ∫ G μ r dr ⇔ d u d r z =− G μ 2 r + C r 1}

Integrando de novo: u _z =− G

4 μ r ² + C ₁ ln r +C ₂ Note que: C

tem que ser nulo para que em r=0 não obtenhamos um valor infinito para u

(inconsistência física)

u _z ( r )=− G

4 μ r ² +C ₂

Assim o campo de velocidades é dado por:

Mecânica dos Fluidos II

u _z ( r)=− G

4 μ r ² + C ₂

Condição de Contorno

u _z ( r = a )=0

O problema a ser resolvido é:

=> _{u z ( r)=} ^{G a 2}

4 μ [ ^{1− ( a r ) 2} ]

●

Velocidade Máxima (centro do capilar)

u _z ( r=0 )= G a ²

4 μ

Mecânica dos Fluidos II

●

Vazão

Q = ∫ ^{u . dA=} ∫

0 a

u ( r ) 2 π r dr

a 2 π r

d r d r

Q = ∫

0

a [ ^{4 G μ ( a 2 − r 2 ) 2} ] ^{dr = π 8 G a μ 4}

Q = π G a ⁴ 8 μ

A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille

Por outro lado: Q =U A ⇔ Q =U π a ²

Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U = G a ² 8 μ

Comparando a velocidade média com a máxima: U = 1

2 u _z ( r =0 )

Mecânica dos Fluidos II

●

Tensão de Cisalhamento na Parede

Δ p

τ _W Δ p π a ² =τ _W 2 π a L ⇔ τ _W = 1

2 G a

1 r

d

d r ( ^{r d u d r z} ) ^{=− G μ ⇔ 0 =G + 1 r dr d ( r τ rz )}

Outra forma de obter a tensão de cisalhamento na parede é pelas equações de Navier-Stokes

τ _rz =μ ( ^{∂ ∂ u z r + ∂ ∂ u r z} )

Integrando, obtém-se τ _rz =− G r

2 + C ₁ r

Em r=0 a tensão é finita e como tal C

deve de ser nulo τ _rz =− G r 2

Para r=a (parede) a tensão é: τ _rz ( r =a )=τ _w = 1

2 G a

Mecânica dos Fluidos II

●

Fator de Atrito no Capilar

Q = π a ⁴ G

8 μ ⇔π a ² U = π a ⁴ Δ p

8 μ L ⇔ Δ p = 8 μ L U

a ² ⇔ Δ p = 1 2

64 ν ρ L U d ²

Δ p = 1 2

64 νρ L U

d ² ⇔ Δ p = ( ^{1 2 ρ(U ) 2} ) ⁶⁴ _d ^{2 ν} _U ^{L ⇔ ̃ Δ p = U d 64}

ν d L

⇔ ̃ Δ p = 64 R e ^x

R e ^x = U d ν

d

L = R e d

L ≪1 ν= μ

ρ Viscosidade cinemática

Mecânica dos Fluidos II

Tubo Capilar: Viscosímetro

Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido

Q = ∫ ^{u . dA=} ∫

0 a

u ( r ) 2 π r dr = ∫

0 a

2 π u r dr

Integração por partes: ∫ ^{v . ds = v s−} ∫ ^{s dv}

v =u ⇒ dv = du ⇔ dv = ˙γ dr ˙γ= du dr ds= r dr ⇐ s= r ²

2

Segue que: Q =2 π [ ^{( u r 2 2 ) 0 a − ∫ 0 a r 2 ˙γ dr} ] ^{⇔ Q =−π ∫ 0 a r 2 ˙γ dr}

Mecânica dos Fluidos II

τ _rz ( r =a )=τ _w = 1

2 G a τ _rz =− G r

2

Lembrando que:

r =−a τ _rz

τ _w ⇔ dr = −a

τ w d τ _rz

Q =−π ∫

0 a

r ² ˙γ dr =−π [ ^{∫ τ 0}

^{˙γ a 2 τ τ rz 2 w 2 ( − τ a w d τ rz )} ]

Segue que:

Q τ _w ³

π a ³ = ∫

0 τ

˙γ τ _rz ² d τ _rz

γ ˙ _w = 1 τ _w ²

d

d τ _w ( ^{Q π a τ w 3 3} ) Relação de Weissenber-Rabinowitsch

Mecânica dos Fluidos II

γ ˙ _w = 1 τ _w ²

d

d τ _w ( ^{Q π a τ w 3 3} )

γ ˙ _w = 1 π a ³

1

τ _w ² [ ^{3 τ w 2 Q + τ 3 w d dQ τ w} ]

Efetuando a derivada, segue-se que:

γ ˙ _w = Q

π a ³ [ ^{3 + d dQ τ w / / τ Q w} ] ^{τ w =− 1 2 Δ L P a}

γ ˙ _w = Q

π a ³ [ ^{3 + d d ln ln Δ Q p} ] ^{ln Q}

ln Δ p

Mecânica dos Fluidos II

Prevendo a vazão/pressão de um fluido Não-Newtoniano

Imagine que a viscosidade de um fluido é ajustada por uma Lei de Potência do tipo:

μ( ˙γ)= C ˙γ ⁿ⁻¹ 0 =G + 1

r d

dr ( ^{r τ} rz ) ^{⇔ dp} _dz ^{= 1} _{r dr} ^d ( ^{r τ} rz )

Segue que: τ _rz = dp dz

r

2 τ _rz =μ ( ˙γ) ˙γ=C ˙γ ⁿ =C ( ^{du dr} ) ⁿ

du

dr = ( ^{dp dz 2C r} ) ^{1/ n}

u _z ( r)= n

1 + n ( ^{dp dz 2C r} ) ^{1/ n r}

Mecânica dos Fluidos II

Q=2 π ∫

0 a

u _z ( r) r dr

Q =2 π n ²

(1 + n )(1 +3n ) ( ^{dp dz 2C a} ) ^{1/ n a 3}

Para n=1, recupera-se a expressão de Hagen-Poisseuille (Fluido Newtoniano)

Q = π a ⁴ 8C

dp

dz

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

Analisando o problema:

1) Cilindro externo parado.

2) Cilindro interno em movimento circular

3) em principio, em regime laminar, o escoamento não tem instabilidades para que ocorra na direção z. Assim u

=0.

4) A velocidade na direção θ (u

) depende de r uma vez que o cilindro está girando.

5) Escoamento com eixo de simetria

Escalas: u _θ ∼ω R ₁ ; r∼δ ; z ∼ L R ₀ − R ₁

L ≪ 1 u =u _θ ( r ) ê _θ

∂ θ ∂ = 0

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

Equação da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas

1 r

∂( r u _r )

∂ r + 1 r

∂ u _θ

∂ θ + ∂ u _z

∂ z = 0 ⇒ u _r = 0

Equações da Quantidade de Movimento

r → u _θ ² r = 1

ρ ∂ p

∂ r z → ∂ p

∂ z = 0

θ→ 0= ∂ ² u _θ

∂ r ² + 1 r ²

∂ u _θ

∂ r − u _θ

r ² ⇔ 0 = d

dr [ ^{1 r d ( dr r u θ )} ]

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

0 = ∂ ² u _θ

∂ r ² + 1 r ²

∂ ² u _θ

∂θ ² − u _θ r ²

d

d r ( ^{1 r d ( dr r u θ )} ) ^{= d r d} ( ^{1 r} ) ^{+ 1 r d r d} ( ^{d ( dr r u θ )} ) ^{=− u} r ^{2 θ} + 1 r

d

dr ( ^{dr dr u θ + r d u dr θ} )

− u _θ r ² + 1

r

d u _θ

dr + d ² u _θ d r ²

= d

d r ( ^{1 r d ( dr r u θ )} ) ⁼⁰

Então escreve-se que:

Integrando duas vezes em relação a r: u _θ =C ₁ r

2 + C ₂

r

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

Condições de Contorno u _θ ( r= R ₀ )=0 ; u _θ ( r = R ₁ )=ω R ₁

0 =C ₁ R ₀

2 + C ₂ R ₀

ω R ₁ =C ₁ R ₁

2 + C ₂ R ₁

C ₁ =− 2 ω R ₁ ² R ₀ ² − R ₁ ² C ₂ = ω R ₀ ² R ₁ ²

R ₀ ² − R ₁ ²

Assim a expressão para o perfil de velocidades é:

u _θ ( r )=− ω R ₁ ² r

R ₀ ² − R ₁ ² + ω R ₀ ² R ₁ ² R ₀ ² − R ₁ ²

1

r

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

●

Tensão de Cisalhamento na parede externa do cilindro interno

τ _{r θ} =μ [ ^{r ∂ ∂ r ( u r θ ) + 1 r ∂ ∂θ u r} ]

Neste problema τ _{r θ} =μ [ ^{r ∂ ∂ r ( u r θ )} ] ^=μ [ ^{− 2 R ω 0 2 − R 0 2 R R 1 2 1 2 r 1 2} ]

Na parede externa do cilindro interno τ _{r θ} ( r = R ₁ )=− 2 μ r ω R ₀ ² R ₀ ² − R ₁ ²

Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro

F _θ =τ _{r θ} A=τ _{r θ} (2 π R ₁ L )=− 4 π μ L ω R ₀ ² R ₁

R ₀ ² − R ₁ ²

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

●

Força Tangencial que o Liquido exerce no Cilindro

F _θ =τ _{r θ} A=τ _{r θ} (2 π R ₁ L )=− 4 π μ L ω R ₀ ² R ₁ R ₀ ² − R ₁ ²

●

Força Tangencial que o Cilindro exerce no Liquido

F _θ =4 π μ L ω R ₀ ² R ₁ R ₀ ² − R ₁ ²

●

Torque T = F _θ R ₁ = 4 π μ L ω R ₀ ² R ₁ ²

R ₀ ² − R ₁ ²

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

●

Torque T = F _θ R ₁ = 4 π μ L ω R ₀ ² R ₁ ² R ₀ ² − R ₁ ² T =4 π μ L ω R ₀ ² R ₁ ²

( R ₀ − R ₁ )( R ₀ + R ₁ )

Se R ₀ ≈ R ₁ ⇒ R ₀ − R ₁ =δ⇒ R ₀ + R ₁ ≈ 2R ₁ T =2 π μ L ω R ₀ ² R ₁ ²

R ₁ δ =2 π μ L R ₀ ² R ₁ R ₁

ω R ₁ δ T =2 π L R ₀ ² μ ω R ₁

δ = 2 π L R ₀ ² μ ˙γ T =C μ ˙γ

Em que C só depende de parâmetros geométricos

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Cilindros Concêntricos (Circular Couette Flow)

T =C μ ˙γ

1) Em que C só depende de parâmetros geométricos

2) Expressão idêntica ao cisalhamento simples entre placas corrigido por um fator

3) O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade

Mecânica dos Fluidos II

Escoamento entre Pratos Rotativos

Mecânica dos Fluidos II Escoamento entre Pratos Rotativos (Couette)

Hipótese: O movimento imposto à haste é controlado de tal forma que não haja escoamento na direção vertical nem radial.

Escoamento somente na direção angular.

r →− ρ u _θ ²

r =− ∂ p

∂ r θ→ 0 =− 1

r

∂ p

∂ θ +μ ∂ ² u _θ

∂ z ² z → 0 =− ∂ p

∂ z +ρ g

p = ∫ ^{ρ u θ 2 (} _r ^{r , z ) dr + h (θ , z )}

Integrando

Substituindo θ→ 0 =− 1 r

∂ θ ∂ [ ^{∫ ρ u θ 2 ( r r , z ) dr + h (θ , z )} ] ^{+μ ∂} ∂ ² z ^{u 2 θ}

Mecânica dos Fluidos II

θ→ 0 =− 1 r

∂ θ ∂ [ ^{∫ ρ u θ 2 ( r r , z ) dr + h (θ , z )} ] ^{+μ ∂} ∂ ² z ^{u 2 θ}

∂ θ ∂ [ ^{∫ ρ u θ 2 ( r r , z ) dr + h (θ , z )} ] ^{=0 ⇒ ∂ ∂ θ p =0}

θ→ 0 =μ d ² u _θ d z ²

Condições de Contorno u _θ ( r , z =0 )= 0 ; u _θ ( r , z =δ)=ω r u _θ =C ₁ z + C ₂

Integrando duas vezes

u _θ = ω r

δ z

Mecânica dos Fluidos II

●

Tensão de Cisalhamento

τ _{z θ} =μ [ ^{∂ ∂ u z θ + 1 r ∂ ∂ θ u z} ] ^{τ z θ =μ [ ω δ r ]}

●

Torque sobre o disco devido a resistência imposta pela lâmina de fluido

dF _θ =τ _{z θ} 2 π r dr T = ∫

0 R

dF _θ . r = μ π ω R ⁴

2 δ

Mecânica dos Fluidos II

Exercícios

b

b

μ _1, ρ ₁

μ _2, ρ ₂

Escoamento entre placas paralelas infinitas I ) Escoamento induzido por um

gradiente de pressão

II ) Escoamento induzido pelo

movimento da placa superior com

velocidade Uê

Mecânica dos Fluidos II

I ) Escoamento induzido por um gradiente de pressão

u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

Deduzido em Escoamento entre placas

u ₁ =− G

2 μ ₁ y ² + C ₁ y+ C ₂ u ₂ =− G

2 μ ₂ y ² + C ₃ y + C ₄

u ₁ ( 2b )=0 ;u ₂ ( 0 )=0

u ₁ ( b )=u ₂ ( b ) ; τ ₁ ( b )=τ ₂ ( b )

b < y < 2b 0 < y < b

Condições de Contorno

τ ₁ ( b )=μ ₁ ∂ u ₁

∂ y τ ₂ ( b )=μ ₂ ∂ u ₂

∂ y

Mecânica dos Fluidos II

u ₁ (2b )=0 ⇒ C ₂ = G

2 μ ₁ ( 2b ) ² −C ₁ ( 2b ) u ₂ (0 )=0 ⇒ C ₄ =0

τ ₁ ( b)=τ ₂ ( b )⇔ C ₁ = μ ₂ μ ₁ C ₃ u ₁ ( y )= G

2 μ ₁ (( 2b) ² − y ² )+ μ ₂

μ ₁ C ₃ ( y−2b ) u ₂ ( y )=− G

2 μ ₂ y ² +C ₃ y u ₁ (b )= u ₂ ( b )⇔ C ₃ = μ ₁

μ ₁ +μ ₂ [ ^{2 G μ 1 3b + 2 G μ 2 b} ]

u ₁ ( y )= G

2 μ ₁ (( 2b) ² − y ² )+( y −2b ) μ ₂

μ ₁ +μ ₂ [ ^{2 G μ 1 3b + 2 G μ 2 b} ]

u ₂ ( y )=− G

2 μ ₂ y ² + μ ₁

μ ₁ +μ ₂ [ ^{2 G μ 1 3b + 2 G μ 2 b} ] ^y

Mecânica dos Fluidos II

II ) Escoamento induzido pelo movimento da placa superior com velocidade Uê

u =− G

2 μ y ² + C ₁ y +C ₂

Deduzido em Escoamento entre placas

u ₁ =C ₁ y +C ₂

u ₂ =C ₃ y +C ₄

u ₁ ( 2b )=U ;u ₂ (0 )= 0

u ₁ ( b )= u ₂ ( b ) ; τ ₁ ( b )=τ ₂ ( b)

b < y < 2b 0 < y < b

Condições de Contorno

Mecânica dos Fluidos II

u ₁ (2b )=0 ⇒ C ₂ =U +C ₁ ( y −2b )

u ₂ (0 )=0 ⇒ C ₄ =0

τ ₁ ( b)=τ ₂ ( b )⇔ C ₁ = μ ₂ μ ₁ C ₃ u ₁ ( y )=U + μ ₂

μ ₁ C ₃ ( y− 2b) u ₂ ( y )=C ₃ y u ₁ (b )= u ₂ ( b )⇔ C ₃ = μ ₁

μ ₁ +μ ₂ U b

u ₁ ( y )=U [ ^{1 − μ 1 μ +μ 2 2 ( 2− b y )} ] ^{u 2 ( y )= μ 1 μ +μ 1 2} b ^y U

Mecânica dos Fluidos II

u

p ₀ p ₁

μ ₁

μ ₂ R _B a

Escoamento de dois fluidos em tubo capilar. O fluido 1 tem comportamento newtoniano.

O fluido 2 tem comportamento não-newtoniano. A viscosidade do fluido 2 é descrito por uma Lei de Potência. Calcule o perfil de velocidades para cada fluido e a vazão.

L

μ ₂ ( ˙γ)=C ˙γ ⁿ⁻¹ r

z

Mecânica dos Fluidos II

Pela análise de escala na equação da continuidade e da quantidade de movimento, chega-se a:

1 r

d

dr ( ^{r τ} rz ) ^{= dp} _dz

1 r

d

dr ( ^{r τ} rz 2 ) ^{= dp} _dz

1 r

d

dr ( ^{r τ} rz 1 ) ^{= dp} _dz

0 < r < R _B R _B < r < a

τ _{rz 2} =μ ( ˙γ) ˙γ

τ _{rz 1} =μ ˙γ ˙γ= du dr

τ _{rz 2} = dp dz

r

2 + C ₁

r _C

1 =C ₂ =0 τ _{rz 1} = dp

dz r

2 + C ₂

r Tensão Finita em r=0

du

dr = ( ^{C 1 dp dz 2 r} ) ^{(1/ n)}

du

dr = 1 μ ₁ dp

dz

r

2

Mecânica dos Fluidos II

Integrando encontra-se o perfil de velocidade para cada fluido

u ₂ ( r )= ( ^{C 1 dp dz 2 r} ) ^{(1/ n) n n r + 1 +C 1}

u ₁ ( r )= 1 μ ₁ dp

dz r ²

4 + C ₂

A velocidade dos fluidos é igual em r=R

u ₁ ( r = a)=0 ⇒ u ₁ ( r )= 1 4 μ ₁

dp

dz ( r ² −a ² )

u ₂ ( r )= ( C ¹ dp dz

r

2 ) ^{(1 / n)} n ^{n r} + 1 − ( C ¹ dp dz

R _B

2 ) ^{(1/ n) n R} n + 1 ^B + 1 4 μ ₁

dp

dz ( R _B ² − a ² )

A vazão é calculada como:

Q = ∫

R

( u ₂ ( 2 π r )) dr + ∫

a

( u ₁ ( 2 π r )) dr

Mecânica dos Fluidos II

u

p ₀ p ₁

R _B a

Um fluido de Bingham é um fluido que permanece em estado de repouso se a tensão de cisalhamento for menor que uma tensão crítica que a partir da qual o fluido começa a escoar. A viscosidade de um fluido de Bingham pode ser descrita da seguinte forma:

L

μ=∞ ⇒ τ< τ ₀ μ=μ ₀ + τ ₀

(2 D : D ) ^{1/ 2} ⇒ τ> τ ₀

0 < r < R _B

R _B < r < a Calcule a vazão.

r

z

Mecânica dos Fluidos II

Q = π R ₀ ⁴

16 μ (1 +5 α) G α R ₀

R ( z )

Escoamento incompressível de fluido newtoniano em capilar com seção variável. Calcule a vazão em função de G.

R ₀

Mecânica dos Fluidos II

α U

y

x

Fluido escoando em plano inclinado

δ= ( ^{ρ g C cos α} ) ^{(1/( 2n+ 1))} [ ^{2n n +1 Q L} ] ^{(n/( 2n+ 1))}

A viscosidade do fluido em função da taxa de cisalhamento é descrita por uma lei de potência

μ( ˙γ)= C γ ⁽ⁿ⁻¹⁾ ˙

δ L

Mostre que