Transformações Conformes

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO DE MATEMÁTICA (MESTRADO)

SIDINEY BRUNO MONTANHANO

Transformações Conformes

MARINGÁ

2018

SIDINEY BRUNO MONTANHANO

Transformações Conformes

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Depar- tamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas, da Universidade Estadual de Mar- ingá, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.

Área de concentração: Geometria e Topolo- gia

Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza

Co-orientador: Prof. Dr. Pedro Rogerio Sergi Gomes

MARINGÁ

2018

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)

Montanhano, Sidiney Bruno

M764t Transformações conformes / Sidiney Bruno Montanhano. -- Maringá, 2018.

74 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza.

Coorientador: Prof. Dr. Pedro Rogerio Sergi Gomes.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós- Graduação em Matemática - Área de Concentração:

Geometria e Topologia, 2018.

1. Transformações conformes. 2. Grupo ortogonal generalizado. 3. Álgebra de Witt. 4. Álgebra de Virasoro. 5. Quantização. 6. Conformal

transformations. 7. Generalized orthogonal group. 8.

Witt algebra. 9. Virasoro algebra. 10. Quantization.

I. Souza, Josiney Alves de, orient. II. Gomes, Pedro Rogerio Sergi, orient. III. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós- Graduação em Matemática - Área de Concentração:

Geometria e Topologia. IV. Título.

CDD 22.ed. 512.55 Edilson Damasio CRB9-1.123

"There is nothing, outside of yourself, that can ever enable you to get better, stronger, richer, quicker, or smarter. Everything is within. Everything exists. Seek nothing outside of yourself."

Miyamoto Musashi

"Nobody belongs anywhere. Nobody ex- ists on purpose. Everybody is going to die.

Come watch TV."

Morty, Rick and Morty

"Crianças, a …cção é a verdade dentro da mentira, e a verdade desta …cção é bem simples: a magia existe."

Stephen King, IT

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao Professor Doutor Josiney Alves de Souza pela orientação desde o começo da minha graduação em física, satisfazendo a minha curiosidade sobre assuntos matemáticos que encontrava ao longo de pesquisas casuais de física teórica, e que culminaram neste mestrado na matemática pura.

Agradecer ao Professor Doutor Pedro Rogerio Sergi Gomes pela orientação no caminho de volta à física, mostrando como a bagagem que adquiri na matemática é muito mais útil do que a contemplação da matemática pura.

Agradecer à minha esposa Hamadalli Ladera de Camargo pelo apoio nos momentos mais difíceis, quando parecia que o tempo passava mais rápido mas os problemas não tinham a mesma pressa. E em especial agradecer às minhas …lhas Hanna Mikaela Montanhano e Arya Gabriella Montanhano, que resolveram aparecer logo no começo do mestrado e me acompanharam durante todo o processo, em meio a livros, artigos, mamadeiras e fraldas.

Agradecer a CAPES pelo apoio …nanceiro, sem o qual este trabalho jamais seria escrito.

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo das transformações conformes, mais especi…camente no caso de espaços semi-riemannianos planos, como espaços Euclidianos e Minkowskianos. Este estudo é feito primeiramente com a exposição das relações das transformações conformes com as transformações ortog- onais generalizadas. Tendo estas relações, identi…camos as propriedades dessas transformações, e seus grupos de Lie. Focando no caso bidimensional, identi…camos a álgebra de Witt e sua única extensão central unidimensional não trivial, a álgebra de Virasoro, como personi…cações das transformações con- formes, e portanto fazemos um estudo destas álgebras e de suas representações. Além disso, ao longo do trabalho mostramos aplicações físicas, como a quantização, e de como as transformações conformes se comportam nessas aplicações. Por …m, introduzimos rapidamente a teoria de cordas bosônicas como uma aplicação tanto física quanto matemática do assunto do trabalho.

Palavras-chave: transformações conformes, grupo ortogonal generalizado, álgebra de Witt, álgebra de Virasoro, quantização.

Abstract

This work presents a study of conformal transformations, more speci…cally the case of semi-Riemannian

‡at spaces, like Euclidean and Minkowskian spaces. This study is made with an exposition of the rela- tions of the conformal transformations with the generalized orthogonal transformations. Having these relationships, we identify the properties of these transformations, and their Lie groups. Focusing on the two-dimensional case, we identify the Witt algebra and its unique non-trivial one-dimensional central extension, the Virasoro algebra, as personi…cations of conformal transformations, and thus we do a study of these algebras and their representations. In addition, throughout the work we show physical applications, like the quantization, and how conformal transformations behave in those applications.

Finally, we introduce bosonic string theory as a physical as well as a mathematical application of the subject of this work.

Keywords: conformal transformations, generalized orthogonal group, Witt algebra, Virasoro algebra, quantization.

Conteúdo

1 Introdução 2

2 Teoria Fundamental 4

2.1 Grupo Ortogonal Generalizado . . . 4

2.1.1 De…nição do Espaço VetorialR^k;n . . . 4

2.1.2 De…nição do Grupo e da Álgebra . . . 6

2.1.3 Topologia . . . 8

2.1.4 Isomor…smosSO0(1;3) =SL(2;C)=Z2 eSO^C₀(1;3) =SU(2) SU(2) . . . 11

2.2 Extensão Central de Grupos e Álgebras . . . 13

2.2.1 Extensões de Grupos . . . 13

2.2.2 Extensões de Álgebras . . . 16

2.3 Quantização de Simetrias . . . 20

2.3.1 Espaço de Hilbert . . . 21

2.3.2 Projetivo e Operadores . . . 22

2.3.3 Simetria em Física e Quantização . . . 25

3 Transformação Conforme 28 3.1 Aplicações Conformes . . . 28

3.2 Grupos Conformes . . . 39

4 Álgebra de Virasoro 47 4.1 Álgebra de Witt . . . 47

4.1.1 CasoR^2;0 . . . 47

4.1.2 CasoR^1;1 . . . 48

4.2 Álgebra de Virasoro . . . 50

4.3 Teoria de Representação da Álgebra de Virasoro . . . 52

5 Teoria de Cordas Bosônicas 61 5.1 Mecânica pontual . . . 61

5.2 Mecânica de cordas . . . 62

5.3 Quantização . . . 68

6 Considerações Finais 71

Capítulo 1

Introdução

No contexto de variedades semi-riemannianas classeC¹, uma questão interessante é qual a mais geral transformação de coordenadas locais que preserva a forma bilinear de…nida no espaço tangente. Intu- itivamente, vemos as transformações usuais de rotação e translação como bons candidatos, e de fato elas preservam a forma bilinear euclidiana. Na verdade, a transformação mais geral é a transformação conforme, usualmente descrita como a transformação que preserva os ângulos entre vetores do espaço tangente.

Com a propriedade de ser a mais geral transformação, as transformações conformes incluem trans- formações conhecidas como a translação e a rotação em subespaços euclidianos, mas também incluem os boosts, que junto com as rotações anteriores descrevem as transformações ortogonais em espaços com forma bilinear não positiva de…nida, as dilatações, usualmente conhecidas como “transformações de escala”, e as transformações conformes especiais. De fato, estas transformações encerram as trans- formações conformes.

Além da curiosa estrutura matemática, que por sinal é bem rica e se espalha por áreas inimagináveis da matemática, as aplicações para as teorias atuais de descrição da natureza também incluem estas transformações. Modelos físicos que possuem simetria conforme não são incomuns. Um exemplo é a teoria de campos com simetria conforme, cujas aplicações são diversas, indo da gravitação quântica à descrição de fenômenos críticos em duas dimensões. Outro exemplo interesante é a necessidade que a teoria de cordas têm quanto à simetria conforme local.

Portanto, vendo tamanha importância das transformações conformes, propôs-se o estudo da teoria de transformações conformes desde o seu início, de maneira detalhada, até sua realização nas aplicações mais simples, que seriam as primeiras teorias de cordas bosônicas primeiramente descritas nos anos 70.

Com esse intuito, o presente trabalho se divide em cinco capítulos, além desta introdução, que podem ser lidos separadamente, mas que constroem progressivamente as ferramentas necessárias na descrição das transformações conformes. Além disso, por todo o trabalho existem comentários pertinentes à aplicações destes conceitos.

No Capítulo 2, procura-se descrever da maneira mais clara e suscinta possível os conceitos utilizados nos capítulos subsequentes. Primeiro, a de…nição e as propriedades estruturais e topológicas do grupo ortogonal generalizado são apresentadas, tanto por ser uma transformação conforme por si só, mas também por sua relação íntima com as transformações conformes em variedades semi-riemannianas planas, descrita no próximo capítulo. De curioso interesse são os isomor…smos existentes entre a álgebra de Lie associada às transformações ortogonais generalizadas, que descrevem parcialmente o que os físicos encontram atualmente nos aceleradores de partículas, no sentido de classi…cação das partículas elementares. Como interlúdio, apresenta-se o conceito de extensão central, necessário para a descrição das aplicações, e mais ainda, descrever uma versão mais interessante das transformações conformes, a álgebra de Virasoro, que conecta tais transformações com diversas áreas da matemática. Por …m, é descrito de maneira um pouco mais formal que a apresentada para físicos, a teoria quântica e o conceito

de quantização tanto de sistemas clássicos quanto de suas simetrias, focando na quantização canônica.

No Capítulo 3, é apresentado as transformações conformes. Após as devidas de…nições, demonstra- se que as transformações conformes em variedades semi-riemannianas planas podem ser escritas como a composição entre transformações ortogonais generalizadas, dilatações, translações, e transformações conformes generalizadas. Com a álgebra das transformações conformes em mãos, expõe-se a sua relação com a álgebra de Lie do grupo ortogonal generalizado, fazendo com que a própria álgebra conforme seja uma álgebra de Lie. Desta álgebra, procura-se o grupo das transformações conformes, e sua relação com o grupo ortogonal generalizado em mais dimensões.

Para …nalizar o estudo matemático das transformações conformes, no Capítulo 4 volta-se novamente à álgebra de Lie conforme, agora em variedades semi-riemannianas em duas dimensões. Identi…ca-se a álgebra de Witt, uma álgebra de dimensão in…nita que descreve as transformações conformes locais no plano. Procura-se então uma extensão central unidimensional não trivial para a álgebra de Witt, e demonstra-se que a única extensão central desse tipo é a álgebra de Virasoro, que satisfaz o comutador

[Ln; Lm] = (n m)Ln+m+ m;n

n

12 n² 1 Z [Ln; Z] = 0

para todo m; n 2Z, cuja diferença com a álgebra de Witt é o termos central Z. Propõe-se o estudo das representações da álgebra de Virasoro a partir das chamadas representações de energia positiva, e nos módulos de Verma, que classi…cam as representações pelo par de números complexos inteiros(c; h).

Ao restringir esse par aos números reais, obtem-se os valores para que a representação seja unitária e irredutível, condições necessárias para as aplicações físicas.

Por …m, no Capítulo 5 é dado uma pequena introdução à teoria de cordas bosônicas, de onde

…ca explícito uma simetria conforme interna nas cordas, possibilitando escrever as equações de solução clássicas por meio de coe…cientes de série de Fourier cujo parênteses de Poisson satisfazem a álgebra de Witt. Fica claro então que a quantização das cordas depende da álgebra de Virasoro ser satisfeita pelos operadores lineares que representam estes coe…cientes. E com o módulo de Verma necessário para quantização, …ca natural perguntar em quais valores inteiros (c; h)a teoria faz sentido, de onde encontra-se a…nalh= 1ec= 26, sendo que este último é o número de dimensões da variedade em que a corda está imersa.

Finaliza-se o trabalho com as considerações …nais, onde será descorrido algumas das curiosidades dos conceitos construídos neste trabalho.

Capítulo 2

Teoria Fundamental

2.1 Grupo Ortogonal Generalizado

Nesta seção será apresentado o bem conhecido grupo ortogonal generalizado. Sua importância …cará evidente quando pudermos descrever as transformações conformes por meio dos elementos deste grupo, no próximo capítulo. Um estudo mais completo sobre este grupo pode ser encontrado em [3, 5, 6, 19].

2.1.1 De…nição do Espaço Vetorial R

De…niremos tal grupo por meio do espaço vetorial R munido de uma forma bilinear simétrica não- degenerada.

De…nição 2.1 Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n e B = fv₁; :::; v_ng uma base de V. Denotamos porB(V;R)o conjunto de todas as formas bilineares reais sobreV. Para cada f 2B(V;R), a matriz def na base B é de…nida por

[f]B=f(vi; vj)i;j2Mn(R):

SejaR^k+n,k; n 1, munido da função h:; :ik;n:R^k+n R^k+n !Rdada por

hx; yik;n= Xk j=1

x_jy_j+

k+nX

j=k+1

x_jy_j

onde x= (xi) e y = (yj) são coordenadas da base canônica C de R^k+n. Denotaremos R^k+n munido desta função comoR^k;n.

Proposição 2.2 A funçãoh:; :ik;nde…nida acima é uma forma bilinear simétrica não degenerada sobre R^k;n. Sua matriz

h h:; :ik;n

i

C com respeito à base canônicaC deR^k;n é h

h:; :ik;n

i

C = I_k 0

0 I_n onde0 é o bloco nulo eI_mé o bloco matriz identidade de ordem m.

Demonstração: Dadosx; y; b2R^k;nea2R, temos hax+b; yik;n = a

Xk j=1

xjyj+a

k+nX

j=k+1

xjyj

Xk j=1

bjyj+

k+nX

j=k+1

bjyj

= a 0

@ Xk j=1

xjyj+

k+nX

j=k+1

xjyj

1 A

Xk j=1

bjyj+

k+nX

j=k+1

bjyj

= ahx; yik;n+hb; yik;n:

Segue de forma análoga para a segunda entrada. Logo h:; :ik;n é uma forma bilinear sobre R^k;n. Da comutatividade dos números reais segue que

hx; yik;n =

Xk j=1

x_jy_j+

k+nX

j=k+1

x_jy_j

=

Xk j=1

y_jx_j+

k+nX

j=k+1

y_jx_j

= hy; xik;n: Portanto h:; :ik;n é simétrico. A expressão da matriz h

h:; :ik;n

i

C segue diretamente da De…nição 2.1.

En…m,h:; :ik;né não degenada poisdeth h:; :ik;n

i

C= 1.

Em outras palavras,h:; :ik;né uma forma bilinear simétrica não-degenerada de assinatura(k; n).

Proposição 2.3 Seja T :R^k;n!R^k;no operador linear auto-adjunto tal quehx; yik;n=hT(x); yi, para todos x; y2R^k;n. Então

[T]_C=h h:; :ik;n

i

C

e[T]C = [T]_C¹.

Demonstração: Temos que

hx; yik;n= Xk j=1

xjyj+

k+nX

j=k+1

xjyj

e

hT(x); yi= Xk j=1

T(x_j)y_j+

k+nX

j=k+1

T(x_j)y_j

para todosx; y2R^k;n. Logo,T(x)_j = x_j se1 j k, eT(x)_j=x_j sek+ 1 j k+n. Portanto na base canônicaC,

[T]_C= I_k 0 0 I_n =h

h:; :ik;n

i

C

Agora,

[T]C[T]C = Ik 0 0 In

Ik 0 0 In

= Ik 0

0 I_n

= Ik+n

de onde temos[T]_C¹= [T]C:

Geralmente se denota [T]C por ou g. Neste capítulo manteremos a notação como [T]C, mas nos próximos capítulos, onde será utilizado com frequência a convenção de Einstein para índices, será mais utilizado eg.

2.1.2 De…nição do Grupo e da Álgebra

De…nido o espaço(R^k;n;h:; :ik;n), podemos …nalmente de…nir o grupo ortogonal generalizado.

De…nição 2.4 Seja A uma matriz real (k+n) (k+n). Dizemos que A preserva a forma bilinear h:; :ik;nse

hA(x); A(y)ik;n=hx; yik;n ,8x; y2R^k;n.

Denota-se porO(k; n)o conjunto das matrizes(k+n) (k+n)que preservam a forma bilinearh:; :ik;n. Existe uma relação que facilita bastante na veri…cação de uma matriz pertencer ou não a O(k; n), que obteremos no próximo teorema.

Teorema 2.5 Seja A2GL(k+n;R):EntãoA2O(k; n)se e somente se A^t[T]CA= [T]C.

Demonstração: Sejam A 2O(k; n)e x; y2 R^k;n. Temos pela forma matricial de T, encontrada na Proposição 2.3, que

hA(x); A(y)ik;n = hT(A(x)); A(y)i

= [A(x)]^t [T]_C [A(y)]

= [x]^t_C A^t [T]_C A [y]_C: Por outro lado

hA(x); A(y)ik;n = hx; yik;n

= hT(x); yi

= [x]^t_C [T]_C [y]_C:

Comox; y2R^k;nsão arbitrários, segue queA^t [T]_C A= [T]_C. Reciprocamente, seA^t [T]_C A= [T]_C, então pelas igualdades acima temos hA(x); A(y)ik;n = hx; yik;n, para todos x; y 2 R^k;n. Portanto A2O(k; n):

Na realidade,O(k; n)não é apenas um grupo, mas um grupo de Lie de matrizes. De…niremos grupo de Lie na sua forma mais geral, e damos o resultado (sem prova, que pode ser encontrada em [27]) de que todo grupo linear, no sentido de subgrupo do grupo linear GL(k+n;R), que é topologicamente fechado é um grupo de Lie.

De…nição 2.6 Um grupo de Lie é um grupo topológico (um espaço topológico munido com estrutura de grupo tais que as aplicações produto do grupo e inversão são contínuas), separável (possui um subconjunto denso enumerável), que tenha a estrutura de variedade diferenciável, tal que as aplicações produto do grupo e inversão são diferenciáveis.

Proposição 2.7 Se Gé um grupo linear fechado, ou seja, um subgrupo deGL( ;C)fechado, então G com a topologia herdada se torna um grupo de Lie de uma maneira única tal que

as restrições de GL( ;C)paraGdas partes imaginárias e reais são classe C¹;

se :M !GL( ;C)é uma função em uma variedade diferenciável de classeC¹tal que (M) G, então :M !Gé de classe C¹.

A prova dessa proposição está além do escopo deste trabalho. Munido desta informação, podemos então provar queO(k; n)é de fato um grupo de Lie de matrizes.

Teorema 2.8 O grupoO(k; n)é um grupo de Lie de matrizes em GL(k+n;R).

Demonstração: DadosA; B2O(k; n)ex; y2R^k;n, temos que

hAB(x); AB(y)ik;n = hA(B(x)); A(B(y))ik;n

= hB(x); B(y)ik;n

= hx; yik;n

LogoAB2O(k; n). ComoA^t [T]_C A= [T]_C, temos que det([T]_C) = det(A^t [T]_C A)

= det(A^t) det([T]_C) det(A)

= det([T]_C) det(A)²

e portantodet(A) = 16= 0, e consequentementeA possui inversa. Além disso, A ¹(x); A ¹(y) _k;n= AA ¹(x); AA ¹(y) _k;n=hx; yik;n

e portanto A ¹ 2 O(k; n), mostrando que O(k; n) é um subgrupo de GL(k+n;R). Agora, sabemos que um subconjunto de um espaço métrico ser fechado é equivalente a ser sequencialmente fechado.

Suponha que A 2GL(k+n;R) é o limite de uma sequência (At)t2N em O(k; n). Dados x; y 2 R^k;n quaisquer, segue por continuidade que

hA(x); A(y)ik;n = D

tlim!1At(x); lim

t!1At(y)E

k;n

= lim

t!1hA_t(x); A_t(y)ik;n

= lim

t!1hx; yik;n=hx; yik;n

LogoA2O(k; n)e portanto O(k; n)é fechado emGL(k+n;R), sendo assim um grupo de Lie.

Chamamos O(k; n)degrupo ortogonal generalizado.

Geralmente se está interessado não em todoO(k; n), mas no subgrupo que mantém a orientação do espaço vetorial.

Proposição 2.9 O conjuntoSO(k; n) =fA2O(k; n); det(A) = 1g é um subgrupo de Lie de matrizes deO(k; n).

Demonstração: Se A; B 2 SO(k; n), então det(AB ¹) = det(A) det(B ¹) = 1. Logo SO(k; n) é um subgrupo deO(k; n). Agora, considerando a restrição àO(k; n)da função determinante, temos que SO(k; n) = det ¹(1). Segue pela continuidade do determinante queSO(k; n)é fechado, pois é a imagem inversa de um conjunto fechado.

Chamamos SO(k; n)degrupo ortogonal generalizado especial.

Por serem grupos de Lie, esses grupos possuem uma álgebra de Lie associada. Primeiro, de…namos álgebra de Lie. Para um estudo sobre as relações entre grupos de Lie e álgebras de Lie, veja [20, 21, 27, 28].

De…nição 2.10 Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorialgmunido de um produto (colchete ou comutador)

[;] :g g!g com as seguintes propriedades

1. [;] é bilinear;

2. para todoX 2g, vale [X; X] = 0, ou seja, é antissimétrico;

3. [;] satisfaz a identidade de Jacobi, isto é, para todoX; Y; Z2g, [X;[Y; Z]] + [Z;[X; Y]] + [Y;[Z; X]] = 0:

Um fato interessante, que será utilizado no próximo teorema, é que a álgebra de Lie de um grupo de Lie é isomorfa ao espaço vetorial tangente na identidade do grupo. Para mais detalhes, ver [21].

Teorema 2.11 A álgebra de Lieso(k; n)deO(k; n)(e deSO(k; n), e da componente conexa que contém a identidade, denotada por SO0(k; n)) é

so(k; n) = X 2Mk+n(R) ;gX^tg= X ondeg = [T]C = Ik 0

0 In , e Mk+n(R) é o conjunto das matrizes de ordem k+n com entradas emR.

Demonstração: DadosX 2so(k; n)es2R;temos

e^{sX 1}=e ^sX =e^s(^gXtg) =e^g(sX)tg=g e^sX g

e portanto e^sX 2 O(k; n). Como det e^sX = e^tr(sX) > 0, então e^sX 2 SO(k; n). O fato de e^sX 2 SO₀(k; n)vem da continuidade da exponencial.

Por outro lado, seja : R ! O(k; n) uma curva diferenciável em O(k;n) com (0) = I. Então (s) ¹=g (s)^tg, e derivando por s

0(s) (s) ²=g( ⁰(s))^tg:

Assim se (s) =e^sX, então em s= 0 temos X =gX^tg, ou seja, X 2 so(k;n), de onde concluímos queso(k;n)é a álgebra de Lie deO(k;n),SO(k;n)eSO0(k;n).

2.1.3 Topologia

Para completar uma exposição do grupo ortogonal generalizado e seus subgrupos mais importantes, um estudo da sua topologia é de grande interesse. Uma das razões é a importância da topologia na quantização, onde as propriedades topológicas do grupo a ser quantizado geram defeitos a serem tratados. Geralmente, em aplicações, se está interessado emO(1;3), conhecido como grupo de Lorentz homogêneo, que descreve a diferença em medidas físicas ao mudar de sistema de referência inercial.

Um tratamento deste grupo, de sua generalização para o grupo de Poincaré pode ser encontrada em [3, 6, 32].

Proposição 2.12 Os gruposSO(k; n)eO(k; n)não são compactos.

Demonstração: Considere a matriz

A= 0 BB BB B@

coshx 0 0 sinhx 0

... 0

I

0 ... 0 sinhx 0 0 coshx

1 CC CC CA

que é uma matriz de ordemk+n. Sabemos que o

detA= cosh²x+ ( 1)^k+n+1( 1)^k+nsinh²x= 1:

Agora, como A = A^t, podemos escrever a relação de O(k; n) como A^t[T]CA = [T]C, e logo A 2 SO(k;n): Claramente os elementos dependentes dexnão são limitados por qualquer constante C, de onde concluímos queSO(k;n)é não compacto, e assimO(k;n)também não o é.

QueO(k; n)não é conexo …ca claro ao se perceber que para todoA2O(k; n), temos det(A^t[T]_CA) = (det(A))²det([T]C) =det([T]C), implicando det(A) = 1. Como a função determinante é contínua, temos queO(k; n)é desconexo. Tecnicamente, tal desconexidade separa as transformações que preser- vam a orientação do espaço vetorial daquelas que não preservam. Outra desconexidade vem do fato que podemos escrever o espaço vetorialR^k;n=R^k Rⁿ, ondeO(k; n)agiria como rotações usuais em cada subespaço e como transformações chamadas boosts, misturando estes subespaços. A preservação ou não da orientação de cada subespaço gera mais desconexidade. Em especial é esta a razão deSO(k; n)não ser conexo. Como cada boost pode ser escrito como produto de matrizes do tipo

A= 0 BB BB

@

I_i 0 0 0 0

0 coshx 0 sinhx 0

0 0 I_j 0 0

0 sinhx 0 coshx 0

0 0 0 0 I_t

1 CC CC A

ondeI são blocos identidade de ordem e os 0 são blocos nulos,i < k et < n, então temos somente estas duas desconexidades, implicando em quatro componentes conexas para O(k; n)e em duas para SO(k; n). Uma prova formal para esse fato pode ser encontrada em [33].

A partir da próxima proposição, e por todo o restante do trabalho, será utilizado a convenção de Einstein. Tal convenção diz que pares de índices iguais, geralmente um acima denotando coordenada contravariante e um abaixo denotando coordenada covariante, é implicitamente uma somatória. Por exemplo, sejaxum vetorRⁿ, e sejaxⁱai-éssima coordenada dexno sistema de coordenadas canônico.

Então

xⁱx_i= Xn i=1

xⁱx_i=hx; xi:

Para mais detalhes, uma explicação simples pode ser encontrada em [2].

Proposição 2.13 SO₀(k; n)possui o mesmo grupo fundamental de SO(k) SO(n).

Demonstração: Mostremos primeiramente que podemos escrever SO₀(k; n) = B(k; n) SO(k) SO(n), ondeB(k; n)é o conjunto dos boosts, e que é difeomorfo aR^kn. Para isso, como SO₀(k; n)é a componente conexa da identidade, podemos mostrar essa decomposição na álgebra de Lieso(k; n).

Utilizaremos a partir dessa demonstração o colchete da álgebra de Lie do grupo ortogonal gener- alizado, que será provado explicitamente no contexto das transformações conformes. Para SO₀(1;3), temos que é gerado pelo conjunto de matrizes! que satisfazem

[T]C!^t+![T]C= 0;

ou em notação de índices (utilizando a convensão de Einstein) e de…nindog= [T]Cpara abaixar índices, g ! +g ! = 0;

temos queA2SO₀(k; n)se e somente seA=exp(! q @ ), onde estamos usando a base canônica do espaço tangente do grupo. De…nindo

i = i(gi q @ g q @i);

podemos escreverA=exp ⁱ i , onde ⁱ = ⁱ +!ⁱ com simétrico, e portanto é uma matriz qualquer. O termo imaginárioimultiplicando a de…nição de pode ser visto tanto como uma constante qualquer e a álgebra ser real, como no caso desta demonstração, quanto como a constante imaginária para a complexi…cação da álgebra, que será utilizado no Teorema 2.15. Isso não muda as identidades a seguir. Nessa notação, o comutador da álgebra será

[ _j ; _i ] =i(g _{i j} +g_{j i} g _ji g_ji ):

Por ser uma constante, pode-se encontrar um isomor…smo entre as duas álgebras, implicando não haver problemas quanto a unidade imaginária na teoria de representação da álgebra.

De…namos então o conjunto dos pares de números

I= (x; y)2N²; 0 x k+n;0 y k+n necessário para indexar uma nova base emso(k; n). Como nova base, de…namos

J_(i;j)^(t) = ij sei kej k;

K_(i;j)= ij sei k ej > k;

J_(i;j)^(e) = ij sei > kej > k;

onde(i; j)2I. Que estas são as únicas possibilidades …ca claro ao se levar em conta a antissimetria de ij. Pelo comutador deso(k; n)obtemos os seguintes comutadores

h

J_(i;j)^(t) ; J_(a;b)^(t) i

=i jaJ_(i;b)^(t) ibJ_(j;a)^(t) + jbJ_(i;a)^(t) + iaJ_(j;b)^(t)

=i( ja ib ib ja+ jb ia+ ia jb)

=i _ia ^t_{j ja} ^t_i ^d_b+ _jb ^t_{i ib} ^t_j ^d_{a td} h

J_(i;j)^(t) ; J_(a;b)^(e) i

= 0 h

J_(i;j)^(e) ; J_(a;b)^(e) i

=i jaJ_(i;b)^(e) + ibJ_(j;a)^(e) jbJ_(i;a)^(e) iaJ_(j;b)^(e)

=i( _{ja ib}+ _{ib ja jb ia ia jb})

=i ja t i ia t

j d

b+ ib t j jb t

i d

a td

h

J_(i;j)^(t) ; K_(a;b) i

=i( ja ib+ ia jb)

=i ja t i+ ia t

j tb

h

J_(i;j)^(e) ; K_(a;b) i

=i + ib t

j jb t i ta

K_(i;j); K_(a;b) =i _jb ^t_a ^d_i + _ia ^t_b ^d_{j dt}: Dessa última relação obtemos que

K_(i;j); K_(a;b) = 8>

<

>:

iJ_(j;b)^(e) sej6=bei=a iJ_(i;a)^(t) sej=bei6=a

0 sej6=bei6=a, ou sei=aej=b

Identi…camos pelas constantes de estrutura que a álgebra dosJ_(i;j)^(e) e dosJ_(i;j)^(t) são as álgebrasso(n)e so(k), respectivamente. Perceba que no caso denouk ser igual a zero, obtemos a álgebra do produto vetorial emR^k ouRⁿ, respectivamente.

O difeomor…smo entre B(k; n) e R^kn pode ser visto de maneira mais simples. Como dito antes, pode-se escrever um boost como composição das matrizes da forma

A= 0 BB BB

@

I_i 0 0 0 0

0 coshx 0 sinhx 0

0 0 I_j 0 0

0 sinhx 0 coshx 0

0 0 0 0 I_t

1 CC CC A:

Que estas matrizes preservam a forma bilinear é claro pelas identidades das funções trigonométicas hiperbólicas. Para ver que elas são únicas, basta ver a álgebraso(k; n)em sua representação matricial, que é onde foi de…nida, mas com base dada primeiro pelas rotações em cada subespaço, e as repre- sentações matriciais de K_(i;j) dadas por essas matrizes e pelas relações de comutação. Dessa forma encontramos as matrizes da forma 0

BB BB

@

Ii 0 0 0 0

0 1 0 x 0

0 0 Ij 0 0

0 x 0 1 0

0 0 0 0 It

1 CC CC A

cuja exponencial nos da termos de B(k; n), que são da forma da matriz A. Isto prova que elas são únicas. Além disso temos knmatrizes desse tipo, cada uma dependendo de um parâmentro real. Fica natural então o isomor…smo algébrico. O difeomor…smo deB(k; n)comR^kn segue da exponencial ser uma aplicação de classeC¹. Com essas relações, podemos escrever queSO₀(k; n) =B(k; n) SO(k) SO(n).

Como R^kn é simplesmente conexo, obtemos então _i(SO₀(k; n)) = i(SO(k)) _i(SO(n)).

Desse modo, sabendo que 1(SO(n)) = 1;Z;Z2 respectivamente paran = 1;2;( 3), …ca trivial encontrar os grupos fundamentais deSO0(k; n).

2.1.4 Isomor…smos SO

(1; 3) = SL (2; C ) = Z

e SO

(1; 3) = SU (2) SU (2)

Voltemos nossa atenção para o caso especial O(1;3), o grupo homogêneo de Lorentz. Nos focaremos nos isomor…smos SO0(1;3) =SL(2;C)=Z2 eSO₀^C(1;3) =SU(2) SU(2), onde SO₀^C(1;3) é a com- plexi…cação deSO0(1;3). O primeiro isomor…smo basicamente faz a ligação entre a componente conexa do grupo de Lorentz e seu grupo de recobrimento universal, o grupo linear especial. O segundo tem uma importante aplicação a partir da teoria de representações irredutíveis, na de…nição de partícula elementar em física.

Teorema 2.14 A componente conexa do grupo de LorentzSO₀(1;3)é isomór…ca ao grupoSL(2;C)=Z2. A demonstração deste Teorema pode ser encontrada em [3].

Teorema 2.15 A completi…cação da componente conexa do grupo de LorentzSO0(1;3) Cé isomór…ca ao grupo SU(2) SU(2).

Demonstração: Primeiro, perceba que ambos os grupos são conexos, e portanto são por construção gerados pelas suas respectivas álgebras. Basta então mostrar que as álgebras são isomorfas, que teremos por consequência o isomor…smo dos grupos. Faremos isso identi…cando su(2) su(2) em so(1;3).

Utilizando as relações da Proposição 2.13, obtemos para o caso particulark= 1,n= 3, J₁= ₂₃; J₂= ₃₁; J₃= ₁₂

que são chamados em física de geradores do momento angular, e os boosts K₁= ₁₀; K₂= ₂₀; K₃= ₃₀ de onde temos os comutadores

[Ji; Jj] =i ijkJk

[Ji; Kj] =i ijkKk

[Ki; Kj] = i ijkJk

onde ijk é o tensor unidade totalmente antissimétrico. Dessa forma, …ca mais claro que podemos rede…nir a base da álgebra para desacoplar em duas cópias da álgebrasu(2), da seguinte forma: de…nindo

A_i= 1

2(J_i+iK_i) Bi =1

2(Ji iKi) obtemos os comutadores

[A_i; A_j] = 1 2i _ijkA_k [Bi; Bj] = 1

2i ijkBk

[Ai; Bj] = 0

que deixa explícito o desacoplamento das subálgebras, e ambas podem ser identi…cadas pelas constantes de estrutura comosu(2). Como o argumento feito até aqui pode ser revertido sem maiores problemas, obtendo assim a álgebra original, temos um isomor…smo de álgebras de Lie. Portanto temos o resultado.

Outras demonstrações podem ser encontradas em [6, 19, 32].

Por …m, um comentário sobre a aplicação física do último isomor…smo. O grupo SU(2) é bem conhecido em física, principalmente em mecânica quântica, onde descreve a álgebra de spin em três dimensões (ver [22] para um exemplo das aplicações), onde obtêm-se as representações irredutíveis indexadas por um valor 0 j semi-inteiro, ou seja, j = ⁿ₂ com 0 n 2 Z. Desse modo, pelo isomor…smo acima temos que as representações irredutíveis deSO0(1;3) Csão indexadas por (a; b) comaebsemi-inteiros positivos. Como as representações irredutíveis deSO0(1;3)podem ser obtidas de forma biunívoca das deSO0(1;3) C, podemos indexar da mesma forma as representações irredutíveis deSO0(1;3). A aplicação vem de que as teorias físicas de campos quânticos relativísticos (ver [6, 12]) devem ter como simetria local (em outras palavras, devem ser invariantes) as transformações dadas pela álgebra so(1;3), e suas representações irredutíveis são as permitidas nessas teorias. Dessa forma, cada representação irredutível é um campo quântico relativístico permitido, cuja excitação é uma partícula.

Temos então a classi…cação das partículas permitidas pela simetriaso(1;3).

2.2 Extensão Central de Grupos e Álgebras

Aqui apresentaremos o importante conceito de extensão. Ao longo deste trabalho, tal conceito aparecerá constantemente, a…nal a álgebra de Virasoro é uma extensão da álgebra de Witt. Além disso, é interes- sante discorrer sobre tal assunto pelo fato de que em quantização de simetrias, o papel do conceito de extensão é crucial para uma de…nição formal da matemática envolvida. Como principal referência foi utilizado [4].

2.2.1 Extensões de Grupos

Comecemos com grupos.

De…nição 2.16 Uma extensão E de um grupoGpor um grupo A é dada por uma sequência exata de homomor…smos de grupos

1!A!ⁱ E!G!1

A exatidão da sequência signi…ca que o núcleo de cada aplicação na sequência é igual a imagem da aplicação anterior. A extensão é dita central se A é abeliano e sua imagem Im(i) é o centroZ(E)de E.

Exemplo 2.1 Um exemplo de extensão central é o grupo de recobrimento universal do grupo de Lorentz SO₀(1;3)

1!Z2!SL(2;C)!SO₀(1;3)!1

onde é o recobrimento2para1. Este é um caso especial do fato geral que dado um grupo de Lie conexo G, o grupo de recobrimento universal E deG é uma extensão de G pelo grupo das transformações de deck (transformações que preservam a projeção ), que é isomorfo ao grupo fundamental (G)deG.

Exemplo 2.2 Outro exemplo é a extensão central trivial, 1!A!ⁱ A G!G!1 ondei:A!A G é dada pora7!(a;1), sendoA abeliano.

Vamos buscar meios para saber se duas extensões centrais são intrinsecamente distintas. Para isso, será importante as de…nições a seguir.

De…nição 2.17 Duas extensões centrais

1!A!ⁱ E!G!1;1!A!ⁱ⁰ E⁰ !⁰ G!1

de um grupoGporAsão equivalentes se existe um isomor…smo :E!E⁰de grupos tal que o diagrama

1 ! A ! E ! G ! 1

id# # id#

1 ! A ! E⁰ ! G ! 1

comuta.

De…nição 2.18 Uma sequência exata de homomor…smos de grupos 1!A!ⁱ E!G!1 cinde se existe :G!E tal que =id_G.

Lema 2.19 Uma extensão central cinde se e somente se ela é equivalente a uma extensão central trivial.

Demonstração: Se a sequência cinde pela aplicação :G!E, então :A G!E

(a; g)7!i(a) (g)

é um isomor…smo. De fato, comoie são homomor…smos, ei(A) =Z(E), temos que (ab; gh) =i(ab) (gh)

=i(a)i(b) (g) (h)

=i(a) (g)i(b) (h)

= (a; g) (b; h)

e portanto também o é. A injetividade segue da injetividade dei, que segue da de…nição de sequência exata, e da injetividade de , pois da de…nição de =idG, onde é sobrejetora pela de…nição de sequência exata, implica ser injetora. A sobrejetividade segue de quei é sobrejetora no centro deE, novamente pela de…nição de sequência exata, onde Im(i) =Z(E), e é sobrejetora emEnIm(i), a…nal

(EnIm(i)) = (idG ) (EnIm(i))

= ( ) (EnZ(E))

= (Gn fI_Gg)

implicando que (Gn fI_Gg) =EnIm(i) Im( ), ou seja, é na verdade bijetora em quando restrita aGn fI_Gg, com imagemEnIm(i). Por construção então o diagrama

1 ! A ! A G ! G ! 1

id# # id#

1 ! A ! E ! G ! 1

comuta.

Por outro lado, se existe tal que o diagrama acima comuta, e portanto é equivalente a uma extensão central trivial, então a sequência

1!A!ⁱ E!G!1

cinde pela aplicação (g) := (1A; g), o que pode ser visto repetindo os mesmos argumentos da ida do lema.

Vamos agora construir uma maneira de veri…car se uma extensão central é equivalente à extensão trivial.

De…nição 2.20 Seja

1!A!ⁱ E!G!1

uma extensão central e seja :G!E uma aplicação que satisfaz =idG e (1) = 1. De…namos a aplicação

!:G G!A=i(A) E (x; y)7! (x) (y) ( (xy)) ¹:

Perceba que! está bem de…nida, pois (x) (y) ( (xy)) ¹2ker( ) =i(A). Além disso,!satisfaz

!(1;1) = (1) (1) ( (1)) ¹= 1e

!(x; y)!(xy; z) = (x) (y) ( (xy)) ¹ (xy) (z) ( (xyz)) ¹

= (x) (y) (z) ( (xyz)) ¹

= (x) (y) (z)h

( (yz)) ¹ (yz)i

( (xyz)) ¹

= (x)!(y; z) (yz) ( (xyz)) ¹

= (x) (yz) ( (xyz)) ¹!(y; z)

=!(x; yz)!(y; z) onde usou-se que!(y; x)2A, e portanto comuta.

De…nição 2.21 Qualquer aplicação!:G G!Asatisfazendo

!(x; y)!(xy; z) =!(x; yz)!(y; z) é chamada um2-cociclodeGcom valores em A.

De…nição 2.22 De…namos em A Guma estrutura de grupo com produto (a; x) (b; y) := (!(x; y)ab; xy)

onde(a; x);(b; y)2A G. DenotaremosA Gcom este produto comoA _!G.

Que de fatoA !Gé um grupo vem: da identi…cação de(1;1)como a identidade, pois!(1;1) = 1;

para (a; x)2A _!Gtemos (!(x; y)) ¹a ¹; x ¹ como inversa, onde se usa que Im(!) A; sejam (a; x);(b; y);(c; z)2A !G, então a associatividade vem da identidade de 2-cociclo de!

((a; x) (b; y)) (c; z) = (!(x; y)ab; xy) (c; z)

= (!(xy; z)!(x; y)abc; xyz)

= (!(x; yz)!(y; z)abc; xyz)

= (a; x) (!(x; y)bc; yz)

= (a; x) ((b; y) (c; z)):

Isso nos dá uma correspondência entre o conjunto dos 2-cociclos deGcom valores emAe o conjunto das extensões centrais de G por A. De fato, a extensão central de G por A associada ao 2-cociclo ! dada pela sequência exata

1!A!ⁱ A _!G!^p G!1 comi:A!Gdada pora7!(a;1).

Lema 2.23 Seja!:G G!A um 2-cociclo. Então a extensão centralA !Gcinde se e somente se existe uma aplicação :G!A tal que

(xy) =!(x; y) (x) (y):

Demonstração: Basta encontrar um homomor…smo :G!A !Gtal quep =idG. Perceba que por de…nição tem a forma (x) = ( (x); x),x2G, :G!A. Para ser um homomor…smo, temos que

(xy) = (x) (y)()( (xy); xy) = ( (x); x) ( (y); y) ()( (xy); xy) = (!(x; y) (x) (y); xy) () (xy) =!(x; y) (x) (y):

De…nição 2.24 De…nimos o segundo grupo de cohomologia de um grupoGcom coe…cientes emAcomo H²(G; A) :=f!:G G!A;! é um 2-cociclog=

onde de…nimos a relação da seguinte maneira: sejam! e!⁰ 2-cociclos deGcom valores emA, então

! !⁰ () 9 :G!A;8x; y2G; (xy) =!(x; y)!⁰(x; y) ¹ (x) (y):

O produto desse grupo é o induzido pela multiplicação pontual dos 2-cociclos. Perceba que se trata de um grupo abeliano, pois Aé abeliano.

Pela de…nição deH²(G; A), temos uma correspondência biunívoca com as classes de equivalência das extensões centrais deGpor A. De fato, basta ver que existe um isomor…smo entre extensões centrais referentes a dois 2-cociclos relacionados. Se ! !⁰, temos que : A _!G! A _!0 Gde…nida por (a; x)7!( (x)a; x), onde (xy) =!⁰(x; y)!(x; y) ¹ (x) (y), satisfaz

((a; x) (b; y)) = (!(x; y)ab; xy)

= ( (xy)!(x; y)ab; xy)

= !⁰(w; y) (x) (y)!(x; y) ¹!(x; y)ab; xy

= (!⁰(w; y) (x)a (y)b; xy)

= ( (x)a; x) ( (y)b; y)

= (a; x) (b; y)

e portanto é um homomor…smo. A injetividade segue de que se (a; x) = (b; y), então( (x)a; x) = ( (y)b; y), implicandox=ypela segunda coordenada, e isto implicandoa=b. A sobrejetividade pode ser vista notando que se(a; x)2A !⁰G, então temos que ¹(x)a; x 2A !Gsatisfaz

1(x)a; x = (x) ¹(x)a ; x = (a; x): .

2.2.2 Extensões de Álgebras

Passemos agora para extensões centrais em álgebras.

De…nição 2.25 Seja a uma álgebra de Lie abeliana sobre K e g uma álgebra de Lie sobre K. Uma sequência exata de homomor…smos de álgebras de Lie

0 !a !h !g !0

é chamada uma extensão centralhdegpora, se[a;h] = 0, onde identi…camos a como uma subálgebra deh.

Alguns exemplos.

Exemplo 2.3 Primeiro, seja

1!A!^I E!^R G!1

uma extensão central de grupos de Lie de dimensão …nita com homomor…smos diferenciaveis. Então a sequência

0!Lie(A)^Lie(I)! Lie(E)^Lie(R)! Lie(G)!0;

ondeLie(I)e Lie(R) são respectivamente as derivadas das aplicações I e R, é uma extensão central de álgebras de Lie.

Exemplo 2.4 Outro exemplo seria o da álgebra de Heisenberg generalizada H := C T; T ¹ CZ, com elemento centralZ e com a álgebra dos polinômios de LaurentC T; T ¹ . O colchete de Lie deH é de…nido como

[f Z; g Z] :=X

kf_kg _kZ comf =P

f_nTⁿ; g=P

g_nTⁿ 2C T; T ¹ , ; ; f_n; g_n2C. Que as aplicações i:C!H

7! Z e

p:H!C T; T ¹ f Z7!f

são homomor…smos é claro. Temos então a sequência

0 !C !ⁱ H ^p!C T; T ¹ !0

com [ Z; g] = 0. Portanto a álgebra de Heisenberg generalizada H é a extensão central da álgebra de Lie abeliana dos polinômios de LaurentC T; T ¹ porC.

Exemplo 2.5 Um exemplo importante é a álgebra a…m Kac-Moody, como uma generalização da álgebra de Heisenberg generalizada. Se trata da extensão não trivial de uma álgebra associativa R, nesse caso R=g T; T ¹ =C T; T ¹ g(chamada álgebra loop deg), com colchete de Lie

[r a; s b] =rs [a; b]

A álgebra a…m de gé espaço vetorial ^g:=g T; T ¹ CZ com colchete de Lie dado por [T^m a; Tⁿ b] :=T^m+n [a; b] +m(a; b) _m+nZ

[T^m a; Z] := 0

coma; b2ge m; n2Z, e onde de…ne-se a forma bilinear simétrica invariante (;) :g g!C

a; b7!(a; b) que satisfaz

([a; b]; c) = (a;[b; c]): Sejam as aplicações

i:C!^g 7! Z e

p: ^g!g T; T ¹ f a+ Z7!f a

que são obviamente homomor…smos de álgebras de Lie. Então temos a sequência exata de álgebras de Lie

0 !C !ⁱ ^g ^p!g T; T ¹ !0

No caso deg=C, temos de novo o caso da álgebra de Heinsenberg generalizada. No caso degser uma álgebra de Lie simples, a forma de Killing é a única forma bilinear simétrica invariante não degenerada (salvo multiplicação por escalar). A única extensão central da álgebra loop é chamada álgebra a…m Kac-Moody.

De…nição 2.26 Duas extensões centrais

0 !a !h !g !0;0 !a !h⁰ !g !0

são equivalentes se existe um isomor…smo de álgebras de Lie :h!h⁰ tal que o diagrama

0 ! a ! h ! g ! 0

id# # id#

0 ! a ! h⁰ ! g ! 0

comuta.

De…nição 2.27 Uma sequência exata de homomor…smos de álgebras de Lie 0 !a !h !g !0

cinde se existe um homomor…smo de álgebras de Lie : g ! h com = idg. Chamamos de aplicação de cisão. Uma extensão central é dita trivial se ela é equivalente a uma sequência exata de homomor…smos de álgebras de Lie

0 !a !a g !g !0

A prova do lema a seguir é idêntica ao caso para grupos, e será omitida.

Lema 2.28 Uma extensão central cinde se e somente se ela é equivalente a uma extensão central trivial.

De…nição 2.29 Uma aplicação :g g!a com as propriedades 1. :g g!a é bilinear e alternada

2. (X;[Y; Z]) + (Y;[Z; X]) + (Z;[X; Y]) = 0 é chamada um 2-cocicloemgcom valores em a.

Lema 2.30 Valem as seguintes a…rmações:

1. Toda extensão centralhdegpora vem de um 2-cociclo :g g!a.

2. Todo 2-cociclo :g g!a gera uma extensão centralhdegpora.

3. Uma extensão central cinde, e portanto é trivial, se e somente se existe um 2Hom_K(g;a)com (X; Y) = ([X; Y]), para todos X; Y 2g.

Demonstração:

1. Trataremosacomo subálgebra deh. Seja uma extensão central 0 !a !h !g !0

como é sobrejetiva, existe uma aplicação linear :g!hcom =idg. De…namos :g g!a como

(X; Y) := [ (X); (Y)] ([X; Y])

para todo X; Y 2 g. Pode-se veri…car diretamente que (X; Y) é um 2-cociclo. De fato, ser bilinear vem de ser linear e da bilinearidade do colchete. Ser alternada resulta também da linearidade de e do colchete ser alternado

(X; X) := [ (X); (X)] ([X; X]) = 0 (0) = 0:

A propriedade 2 de 2-cociclo resulta tanto de ser bilinear quanto da identidade de Jacobi do colchete

(X;[Y; Z]) + (Y;[Z; X]) + (Z;[X; Y]) = (X;[Y; Z] +Y;[Z; X] +Z;[X; Y])

= (0)

= 0:

Seja o isomor…smo linear

:g a!h

X Y = (X; Y)! (X) +Y que é um isomor…smo, pois se (X; Y);(Z; K)2g a, então

((X; Y) + (Z; K)) = ((X+Z; Y +K))

= (X+Z) +Y +K

= (X) +Y + (Z) +K

= (X; Y) + (Z; K)

e ¹(Z) = ( (Z); Z (Z)). De…nindo o colchete de Lie deg acomo sendo [X Z; Y Z⁰]_{g a}:= [X; Y]_g (X; Y)

temos que

[ (X; Z); (Y; Z⁰)]_h= [ (X) +Z; (Y) +Z⁰]_h

= [ (X); (Y)]_h

= [X; Y]_g + (X; Y)

= [X; Y]_g; (X; Y)

= [X; Y]_g (X; Y)

= [X Z; Y Z⁰]_{g a}

e portanto é um isomor…smo de álgebras de Lie. Desse modo, o 2-cociclo gera a extensão central.

2. Segue de queh:=g a tem colchete

[X Z; Y Z⁰]_h:= [X; Y]_g (X; Y)

se e somente se é um 2-cociclo. Pelo item anterior tal colchete de…ne uma extensão central.

3. Suponha que :g!h=g a é uma aplicação de cisão. Então é um homomor…smo, e pode ser escrito como (X) =X+ (X), com 2Hom_K(g;a). Temos que

[ (X); (Y)] = ([X; Y]) = [X; Y] + ([X; Y]) e

[ (X); (Y)] = [X; Y] + ([X; Y])

e portanto ([X; Y]) = ([X; Y]). Agora se

([X; Y]) = ([X; Y])

e 2Hom_K(g;a), então como é linear, é um 2-cociclo. A aplicação linear :g!h=g a de…nida por (X) :=X+ (X)é um homomor…smo,

([X; Y]) = [X; Y] + ([X; Y])

= [X; Y] + (X; Y)

= [X+ (X); Y + (Y)]

= [ (X); (Y)]

e portanto é uma aplicação de cisão.

De…nição 2.31 Dados espaços vetoriaisgea sobre um corpoK, de…nimos os conjuntos Alt²(g;a) :=f :g g!a; :g g!a é bilinear e alternadag Z²(g;a) := 2Alt²(g;a) ; (X;[Y; Z]) + (Y;[Z; X]) + (Z;[X; Y]) = 0

B²(g;a) :=f :g g!a;9 2Hom_K(g;a); = ~g H²(g;a) := Z²(g;a)=B²(g;a)

onde de…nimos ~ (X; Y) := ([X; Y]) paraX; Y 2g, e Hom_K(g;a) é o conjunto de mor…smos g!a.

ChamamosH²(g;a)de segundo grupo de cohomologia de gcom valores ema.

Por de…niçãoZ²(g;a) Alt²(g;a). Como é linear, pela de…nição deB²(g;a)temos queB²(g;a) Z²(g;a). Pelo terceiro item do lema anterior, temos o seguinte resultado.

Teorema 2.32 O segundo grupo de cohomologiaH²(g;a)está em uma correspondência biunívoca com as classes de equivalência das extensões centrais degpora.

Demonstração: Por de…nição, H²(g;a) é o conjunto de 2-cociclos que, pelo terceiro item do lema anterior, não é trivial. Como pelos outros dois items do mesmo lema existe uma relação biunívoca entre o conjunto de 2-cociclos e as extensões centrais, então conclui-se queH²(g;a)possui uma relação biunívoca com o conjunto das extensões centrais não triviais.

2.3 Quantização de Simetrias

Neste capítulo será apresentado de maneira mais formal a quantização de simetrias na mecânica quântica.

Para isso, será desenvolvido as estruturas da teoria quântica, e disto teremos a razão das representações da álgebra de Virasoro estudadas no próximo capítulo. Também será útil apresentar tais estruturas de maneira mais formal para o melhor entendimento das aplicações. Como referência da construção algébrica envolvida, ver [22]. Para uma apresentação introdutória, ver [23].

A mecânica quântica é o estudo de subespaços unidimensionais de espaços de Hilbert, denominados raios. Comecemos então por um estudo de tal espaço e das exigências para a aplicação. Para uma apresentação de espaços de Hilbert no contexto dos espaços de Banach, ver [24, 25, 31]. No contexto de espaços métricos, ver [13].

2.3.1 Espaço de Hilbert

De…nição 2.33 Uma forma hermitiana em um espaço vetorial H sobre o corpo C é uma aplicação R-bilinear

h;i:H H!C

que satisfazhu; vi=hv; uiehu; av+bwi=ahu; vi+bhu; wi, para todos u; v; w2Hea; b2C. Perceba que sea; b2C,u; v; w2H, então

hau+bv; wi=hw; au+bvi

=ahw; ui+bhw; vi

=ahu; wi+bhv; wi

e portantoh;ié antilinear na primeira entrada. Além disso, para que seja um produto interno, basta que a forma seja positiva de…nida, ou seja,hu; ui>0, para todou2Hn f0g.

De…nição 2.34 Um espaço pré-Hilbert H é um espaço vetorial complexo com uma forma hermitiana positiva de…nida, chamada produto interno ou produto escalar.

De…nição 2.35 Um espaço vetorial complexoHmunido de um produto interno como de…nido acima é chamado espaço de Hilbert seHfor completo como um espaço normado com a norma dada pelo produto interno.

Relembrando que um espaço métrico é completo se toda sequência de Cauchy convergir neste espaço.

Usualmente queremos que o espaço de HilbertHseja separável, ou seja, que tenha um subconjunto enumerável denso, pela seguinte razão.

De…nição 2.36 Seja Hum espaço de Hilbert. Um subconjunto S Hé dito um conjunto ortonormal se hs₁; s₂i= 0 se s₁ 6=s₂, s₁; s₂ 2S, e hs; si= 1 para todos2S. Um conjunto ortonormal maximal emHé chamado uma base ortonormal deH.

Teorema 2.37 Todo espaço de Hilbert tem uma base ortonormal.

Demonstração: Seja fMag uma cadeia de conjuntos ortonormais de um espaço de Hilbert, ou seja, uma coleção de conjuntos ortonormais de um espaço de Hilbert tal queMa(MbouMb(Ma, para to- dos os índicesa; b. Perceba queS

Maé um conjunto ortonormal, e para todox; y2S

Ma,x6=y, existe Mbtal quex; y2Mb. Como é uma relação de ordem parcial, e como para toda cadeiafMagexiste um maximalMbcomo descrito, então pelo lema de Zorn o espaço de Hilbert possui uma base ortonormal.

Lema 2.38 Um espaço de Hilbert H separável possui uma base ortonormal enumerável, a sequência de vetores (e_n), e_n 2 H, tal que para todo f 2 H existe uma única representação como uma série convergente

f =X

n ne_n

com n = hen; fi 2 C (estes números são conhecidos como coe…cientes de Fourier da expansão de Fourier P

n nen def).

Demonstração: Seja fe g uma base ortonormal de H, com H separável. Suponha que fe g é não- enumerável. Temos que

ke e k= (he e ; e e i)¹² =p 2; 6=

e portanto se considerarmos as bolasB ei;¹₂ com centro em elementos da base (tal quex2B ei;¹₂ se e só sekx eik < ¹₂), temos que porHser separável existe um conjunto denso enumerávelfv g, e por ser denso ao menos um de seus elementos pertence a cada bola. Como as bolas são disjuntas, temos que o conjunto delas é não-enumerável. Porém isso implica fv g não-enumerável, contrariando o fato deHser separável. Portantofe gé enumerável.

Agora, escolhamos uma ordem emfe gem uma sequênciafe1; e2; :::g. A…rmação: Para x2Hen2N,

dist(x; spanfe1; :::; eng) = x Xn i=1

hx; eiiei

De fato, parac_i2C, x

Xn i=1

ciei 2

=kxk²+ Xn i=1

ciei 2

2

* x;

Xn i=1

ciei

+

=hx; xi+ Xn i=1

ci

! 0

@ Xn j=1

cj

1 A _ij 2

Xn i=1

cihx; eii

=hx; xi+ Xn i=1

jcij² 2 Xn i=1

cihx; eii+ Xn

i=1

jhx; eiij² Xn

i=1

jhx; eiij²

!

=hx; xi+ Xn i=1

jcij² 2 Xn

i=1

cihx; eii+ Xn

i=1

jhx; eiij²

! _n X

i=1

jhx; eiij²

=hx; xi+ Xn i=1

jci hx; eiij² Xn i=1

jhx; eiij²

de onde temos que odist(x; spanfe1; :::; eng) =infci2Ckx Pn

i=1cieik=hx; xi Pn

i=1jhx; eiij²ocorre emci=hx; eii.

Mostremos quex=P₁

i=1hx; eiiei. Dado" >0, encontramosn02Ntal quedist(x; spanfe1; :::; en0g)<

". Então paran n0 temos x

Xn i=1

hx; e_iie_i =dist(x; spanfe₁; :::; e_ng) dist(x; spanfe₁; :::; e_n0g)< "

De agora em dianteHserá um espaço de Hilbert separável.

2.3.2 Projetivo e Operadores

De…namos :Hn f0g !P, a aplicação canônica do espaço de HilbertHno seu projetivoP=P(H), ou seja,Pé o espaço dos subespaços unidimensionais deH. Este espaço projetivo é o análogo quântico ao espaço de fase clássico. Boas referências sobre isto podem ser encontradas em [6, 26].

De…nição 2.39 Sejam = (g) e = (h) com g; h 2 H. De…nimos a transição de probabilidade como a aplicação :P P!Rdada por

( ; ) := jhg; hij² kgk²khk²:

De…nição 2.40 Uma aplicação bijetiva T :P!P com a propriedade (T ; T ) = ( ; )

com ; 2P, é chamada transformação projetiva ou automor…smo projetivo.

Ou seja, o conjunto das transformações projetivas, denotado porAut(P), forma o grupo de bijeções dePque preserva a transição de probabilidade. Em linguagem física,Aut(P)é todo o grupo de simetria do espaço de estados da mecânica quântica.

Existe um porém: trabalhar no espaço projetivo não é muito fácil. Então normalmente trabalha-se no próprio espaço de Hilbert. Isso gera alguns problemas técnicos. Para começar a analisá-los, de…namos operadores unitários e anti-unitários.

De…nição 2.41 Um operador unitárioU emHé uma aplicaçãoU :H!Hque deixa o produto interno deHinvariante, ou seja,

hU u; U vi=hu; vi;8u; v2H:

De…nição 2.42 Um operador anti-unitário U em H é uma aplicaçãoU :H!Hque deixa o produto interno deHinvariante a menos de um sinal negativo, ou seja,

hU u; U vi= hu; vi; 8u; v2H:

Linearidade e antilinearidade são de…nidos como usual. Um operador U : H!H é dito linear se U( u) = U(u), e é dito antilinear seU( u) = U(u), com 2C, u2H, e sendo o complexo conjugado de .

Perceba que ambos os tipos de operadores preservam a transição de probabilidade, ou seja, U preserva a transição de probabilidade. De fato, se g; h2 H, então se U for unitário e linear ou anti- unitário e antilinear, com = (g)e = (h)

( ; ) = ( (g); (h))

= jhg; hij² kgk²khk²

= jhU g; U hij² kU gk²kU hk²

= ( (U g); (U h)):

Seja U (H) o conjunto de todos os operadores unitários em H. Para todoU 2 U (H), de…namos a aplicaçãob(U) :P!Ppor

b(U) = ( (U g)) para todo = (g)2P.

Assim de…nido, o conjuntoU (H)dos operadores unitários emHformam um grupo por composição, chamado grupo unitário deH. De fato, formam um grupo topológico com a topologia dada pela subbase com abertos típicos

Bu(U0; r) :=fU 2U(H) ;kU0(u) U(u)k< rg; u2H; r >0

onde a norma dos operadores é de…nida pelo produto interno deH. Tal topologia é chamada topologia forte.

Proposição 2.43 U (H)é um grupo topológico com respeito a topologia forte.