1514)(6)(12)(973)( restoxxrxxxQxxxdxxxxxD 

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Exercícios de Polinômios – Conceito e operações - GABARITO 1. Determine o quociente da divisão de (15a

²

b + 20ab

²

+ 30a

²

b

²

) por (5ab).

Solução. Na divisão de polinômio por monômio basta colocar este em evidência.

ab b a Q Logo

ab b a ab ba ab ab ba

d

ba ab ba D

6 4 3 :

)6 4 3(

5 30 20 5 15

30 20

15 ^{2 2 2 2} _{2 2 2 2}

















 

 









2. Sabendo-se que o número complexo z = 1 + i é raiz do polinômio P(x) = 2x

⁴

+ 2x

²

+ x + a, calcule o valor de a.

Solução. Se z = 1 + i é raiz de P(x), então P(1 + i) = 0. Substituindo, vem:

   

i a ai

ai i ai

i i P

a i i i i P

i i i i

i i ii OBS i

5 7 0 5 7

0 1 4 8 0 1) 2(2 )4(

0 2 ) 1(

) 1(

) 1(2 ) 1(2 ) 1(

4 4 2 ) 1(

) 1(

2 1 2 1 2 1 ) : 1(

2 4

2 2 22 4

2 2

































 

 























 

























3. Calcule o resto da divisão do polinômio x

⁴

+ x

³

- 7x

²

+ x + 9 por x

²

+ 2x + 1.

Solução. Utilizando a divisão pelo método da chave, vem:

 



 

































resto x

x r

x x x Q

x x x d

x x x x x D

15 14 ) (

6 )

(

1 2 )

(

9 7

3 )

(

2 2

2 3 4

4. Dividindo (x

³

− 4x

²

+ 7x − 3) por um certo P(x), obtém-se o quociente (x − 1) e resto (2x − 1). Determine P(x).

Solução. Identificando P(x) como o divisor e aplicando na expressão da divisão entre polinômios, vem:

   

 4 5 2   1 

) (

1 ).

( 1 2 3 7 4 )

1 2 ( 1 ).

( 3 7 4

) 1 2 ( ) 1 ).(

( 3 7 4 )

( ) ( ).

( ) (

2 3

2 3 2

3

2 3





































































x x

x x x P

x x P x

x x x x

x x P x

x x

x x

x P x

x x x r x Q x P x D

Dividindo encontra-se P ( x )  x

²

 3 x  2 .

5. Determinar m, n e p de modo que P(x) = px

⁴

+ (n – p – 1)x

²

+ (2m – n – p)x seja um polinômio nulo.

Solução. Para que o polinômio seja nulo, todos os coeficientes e o termo independente devem ser nulos:

 



 













 













 



 













 

 













0 1 2 1 :

2 00 1 )1(

2 1 01 0 2

01 0 )(

0) (

) 2(

)1 (

)( ^{4 2}

p n m Logo

m m

n n pn m

pn p nulo

polinômio xP

xp nm xp n px xP

6. (PUC-SP) Calcule o número de raízes reais do polinômio p(x) = (x

²

+ 1) (x – 1) (x +1).

Solução. As raízes de P(x) são os valores que anulam P(x). Como P(x) está da forma fatorada, temos:

 









 





















 





 







 

 







}1,{:

2 }1,1{:

:

1 01

10 1

1 01 0)1 )(1)(1 0)( (

)1)(1 )(1(

)(

2 2

2 2

i complexas

total reais Raízes

x x

x x

ix x ix x xx xP x

xx xxP

7. Se P(x) = 2x

³

+ ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, calcule P(1).

Solução. Substituindo os valores indicados, temos:

5 10 72 10 )1(7 )1(2 )1(

10 7 2) (:

7 10

4 2 20 10 8 2

16 2

12 16 2

)2(

)2(

2) 2(

)2(

)2(2 )2(

2) (

3 3

3 3 3





















 











 



 

 









 



 

























P x

x xP Logo

a a

b b ba

ba b

a P

b a P

b ax x xP

8. (Mack) Calcule m para que o polinômio P(x) = (m – 4)x

³

+ (m

²

– 16)x

²

+ (m + 4)x + 4 seja de grau 2.

Solução. Para que o polinômio seja de grau 2, o coeficiente do termo de maior grau deverá ser diferente de

zero e o expoente da variável deste termo deverá ser igual a 2.

  _



 



 





 







 

 











4 016 4

4 04 2)(

4)4 () 16 ()4 ()(

2 2

2 3

m m m

m m

xPgr

xm x

mx mx

P

Pelas condições encontradas, não há valor possível de “m” que permita que P(x) possua grau 2.

9. (UFRS) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então, calcule o grau de [P(x)]

³

+ [P(x)]

²

+ 2P(x).

Solução. Lembrando que elevar uma potência a outra representa o produto delas, temos:

 

   

 

   

   

 ^{( ) ( ) 2 ( )}         ^{( ) ; ( ) ; ( )}  ¹⁵

5 ) (

10 5 2 ) (

15 5 3 ) ( )

( 2 ) ( )

(

5 ) (

2 3

2 3

2 3

2 3









 



 

















 

 







x P gr x P gr x P gr maior x

P x

P x

P gr

x P gr

x P gr

x P gr x

P x

P x

P x P gr

10. Sejam os polinômios A(x) = x

³

– x

²

+ x – 1 e B(x) = -3x

²

+ x + 2, Calcule:

a)   ¹

2

1   



 



 B

A b) A   0  B   1 Solução. Calculando o valor numérico em cada caso, temos:

a)      

  8

11 8

16 )2 5

8 ( 1 5 2

1

2 2 1 3 2 1 1 3 1

8 5 8

8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 3

 

 











 



 



 

 



 































 



 









 



 



 

 

 



 

 

 



 

 

 





B A

B

A

b)        

      ^{0 1 01 1}

0 21 3 2 1 13 1

1 1 0 0 0 0

2 2 3









 

 





















 A B

B A

11. Determine m,n,p de modo que (mx

²

+ nx + p).(x + 1) = 2x

³

+ 3x

²

– 2x – 3.

Solução. Efetuando o produto e igualando os coeficientes de mesmo grau, temos:

  ^{ }

 

 





















 



 















 

 











































3 2

1

1 3

2 2 2

3 2

3 2 3 2 )(

) ( ) ( 1

1 . )(

2 3

2 3

2 2 3 2

p p

n n

m p

n n m m

x x x x P

p xp n xn m mx px

nx nx mx mx x

p nx mx x P

12. Considere os polinômios A(x) = x

²

– 3x + 1, B(x)=(x + 4).(2 – 5x) e C(x) = mx

²

+ (n + 4)x – 2p. Determine m,n,p de modo que A(x) + B(x) = C(x).

Solução. Efetuando a adição e igualando os coeficientes, temos:

 



 









































 



 





























2 9 9 2

25 21 4

4 )(

)(

)(

9 21 4 )(

)(

2 )4 ( )(

8 18 5 )5 2).(

4 ( )(

1 3 )(

2 2

2 2

p p

n n

m x C xB xA

x x xB xA p

x n mx x C

x x x x xB

x x xA

13. Determine o valor de m para que o polinômio M(x) = (m

²

– m – 30)x

³

– (5 + m)x

²

+ 2x – 3 tenha grau 1.

Solução. Para que a condição seja satisfeita, os coeficientes de graus 3 e 2 devem ser nulos. O coeficiente de

grau 1 já é diferente de zero.

 

 











 





 















5 0

5

5 0) 6

5 )(6 ( 0

2 30

m m

m m m

m m

m

. Logo, o valor m = – 5 anula os termos de grau 2 e 3.

14. (UnB) Seja f(x) = ax

⁵

+ bx

³

+ cx + 10. Calcule f(–2) sabendo que f(2) = 2.

Solução. Substituindo os valores, temos:

       

 

     

18 10 )8 ( )2 (

10 ) 2 8 32 ( 10 2 8 32 10 2 2

2 )2

(

8 2 8 32 2 10 2 8 2 32

2

10 2 2

2 2

3 5

3 5







































































 

 











f

c b a c

b a c

b a

f

c b a c

b f a

c b

a f

15. Determinar o polinômio f(x) do segundo grau tal que f(1) = f(– 2) = 9 e f(– 1) = 1

Solução. Um polinômio do 2º grau é da forma f(x) = ax

²

+ bx + c. Substituindo os valores indicados, temos:

155)(

154 153 5 194

4 194

)1(4 9)5(24 95

924 5102 924

1 9

924 )1(1 9

)2()2() 2(

)1()1() 1(

)1()1()1(

2 2 2 2



 





 

 





 

 







 

 



 

 





 

 

 









 



 









 



 













xxxf

c a a ca ca ca

ca ca ca

cba bb cba cba cba

cba cba cba

cba f

cba f

cba

f