25,0

(1)

VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU

MATEMÁTICA II

GEOMETRIA ANALÍTICA: RETAS – QUESTÕES – GABARITO

1. Se r é a reta descrita pela equação x + 2y = 5 e s é a reta perpendicular a r que passa pela origem dos eixos coordenados, então r e s se interceptam no ponto:

a) (1, 2) b) 



 



 2 , 3

2 c) 



 



 2 , 5

0 d) (3, 1) e) 



 



 4 , 9 2 1 Solução. Encontrando a reta s e a interseção entre as retas, temos:

 

 





 















 

 



 



 



 









 



























2 )1.(

2 5 1

5 5 4 5 )2 2 .(2

5 : 2

)

2 : )0,

0(

; 2 :

2 1 2 1 1 )

2 1 2

5 5 2

2 5 2 :)

y x x

x x x x x

y y s x r iii

x y s s

n x y s

m m r ii s

x m y x y y

x ri

r s

r

.

2. Considere um ponto P do plano cartesiano, situado no 1

^o

quadrante, pertencente à reta de equação y = 2x, e cuja distância à reta y = x é igual a 2 . A soma das coordenadas de P é:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

Solução. Se o ponto P pertence à reta y = 2x, então as coordenadas de P são da forma (x, 2x). Utilizando

a fórmula da distância de ponto à reta, temos:

(2)

 

      ^2, ^º1 ^;0 ⁰ ^4,2

)

2 2 2 2:

º2

2 2 22 : º1

2 2 2 2

2 2

, 11 , 2 )2,

(

0 ) : ² ²

P y x Quadrante xx

Pii

x x xx caso

xx xx sPd

sPd xx xx

P

yx xy i s







 

















 





 

 



 







 

 

   

. Soma = 2 + 4 = 6.

3. No plano cartesiano, considere a reta (r) da equação 3x + 4y – 7 = 0 e a reta (s) dada na forma paramétrica:

 







 t2 y

5 t

x t  R. Podemos afirmar que:

a) r e s são perpendiculares.

b) r e s determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área 44/3.

c) r e s se interceptam num ponto do eixo das abscissas.

d) r e s se interceptam num ponto do eixo das ordenadas.

e) r e s são paralelas.

Solução. Encontrando a reta s e relacionando à reta r, temos:

(a) e (e) são falsas.

 

 



 



 



 

 





 



 























 

 









2 1 3 4 .2 3 . 4 3 4

7 4 73 3 40 74 3:

2 102 5.

2 2

5 : 5

sr s r

r s

mm m m x m

y x y yx

r

m xy x

ty y xt s tx

.

b) Verdadeira.

(3)

 

   

  3

44 3 . 88 2 1 3 . 88 2 1 3 20. 28 2 1

3 0 0 28 200 2 0.

1 43 05 037 14 3

10 5 3 10 7 2 . 1 14 3

10 5 3 10 7 2 . ) 1

410 4,3 )3.(2 33 3 117 102 102 .43

74 : 3 )

0 0,5 102 5 0 0

: 102 )

3 0, 7 0 3 7 7)0.(

0 43 74 : 3 )

 

 

 

 

 

 



 

 

  













 

 





 







 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 



 





 

 

 



 

AOB Área iv

y B x x x xy x

sr yx iii

y O x x y

Oxs xy ii

A y x x y Oxr yx i

.

(c) e (d) são falsas. O ponto de interseção não possui nem abscissa, nem ordenada nulas.

4. Na figura, os segmentos OR e PQ são lados paralelos do quadrilátero OPQR, e o vértice Q é o ponto em que a função f(x) = 2

⁽^^x²^⁴^x⁾

assume seu maior valor.

Sendo a área da região sombreada igual a 18 u.a., pode-se afirmar que uma equação cartesiana da reta r que contém o lado RQ do quadrilátero é:

a) y - 5x - 4 = 0 b) y - 7x - 2 = 0 c) 3y - 2x - 3 = 0 d) 4y – x - 16 = 0 e) 3y - 20x - 12 = 0

Solução. A função f(x) assumirá valor máximo com o valor máximo de seu expoente, que representa uma função quadrática.

 

 



 



 









 



 



 

 









)1 2 .(

2 4 2

4 4 16 )1

.(

4 ) 0 ).(

1 .(

4 ) 4 ( 4 4

)

2 2

a x b

x a x máx i

V

.

(4)

 ( )  2 16 ( 2 , 16 ) ) máx f x 

⁴

  Q  ii

O ponto R possui coordenada (0, y) e o ponto P, coordenada (0, 2). Utilizando a fórmula da área do trapézio, temos:

   ^ ^ ₁₈ ₂ _.( ₁₆ ₎ ₃₆ ₁₈ ₁₆ ₂

2 ) 0 2 .(

) 0 16 ( ) 0 ( 2

.             

 OR  PQ OP y y y

A .

A reta r passa por Q (2,16) e R (0, 2):

 

 









 

 















 

 

02 7

27 : 2 )0.(7 2 )2,0(

7 2 7

14 02

216 xy ou

xy r nn r

nx y m _r

.

5. Considere duas retas de equações y = 2x + 3 e y = x − 4. Marque a opção que apresenta a alternativa correta.

a) As retas não se interceptam. b) As retas se interceptam no ponto (3, −4).

c) As retas se interceptam no ponto (−7, −11). d) Não se pode dizer se as retas se interceptam ou não.

e) As retas são iguais.

Solução. Encontrando a interseção entre as retas, temos:

  ^11,7

1147 432 7 4

32 

 





 

 

 





y xx x xy

xy

.

6. Qual o perímetro do triângulo ABC representado na figura a seguir, sabendo-se que as retas r e t são definidas pelas equações r: –

4 3 x – y + 6 = 0 e t:

4 3 x – y = 0 a) 18 unidades de medida

b) 17 unidades de medida c) 16 unidades de medida d) 15 unidades de medida e) 14 unidades de medida

Solução. A reta t passa pela origem B(0, 0). Encontrando os outros

pontos, temos:

(5)

 

  ^0,8

0 243 8 06)0 4 ( 3 0

4 06 3 :)

4 3,4 123 4 03

3 3 062 4 0

3 4 06 3 :)

y C x x x

y x y Oxrii

x A x x

y y x y

x y tri

 

 



 





 

 







 

 

 













 



 











.

Calculando os comprimentos dos lados e o perímetro, vem:

     

 ,   0 8   0 0  64 8

)

5 25 9 16 0

3 8 4 ,

)

5 25 9 16 0

3 0 4 ,

)

2 2



































C B d iii

C A d ii

B A d i

. Perímetro = 5 + 5 + 8 = 18.

7. No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A(1,4), B(4,5) e C(6,2). A reta suporte da altura relativa ao lado AC intercepta o eixo X no ponto de abscissa:

a) 2 b ) 2,2 c) 2,4 d) 2,6 e) 2,8

Solução. A reta suporte será perpendicular à reta que passa por B e intersecta o lado AC.

(6)

2 10 5 2 05 5 0

2 5 5 : )

2 5 : 5 5 10 2 5

)4.(5 5 )5,4(

2 : 5 2 5 : sup

)

5 22 5 : 2 5 22 5 4 2 5 )1.(

4 2 )4,1(

5 2 5 2 16 42 : )











 

 







 







 



 































 



 























 

 

x x x

y y x Ox siii

ys x n

n s

x n ys m AC reta orte reta ii

x yr n

n r

nx y m

AC reta i

s r

.

8. Seja A = (4, 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é:

a) 2x – y = 6 b) x – 2y = 0 c) x – y = 2 d) x + 2y = 8 e) x + y = 6 Solução. Em relação ao eixo X, B = (4, – 2) e em relação ao eixo Y, C = (– 4, 2). Temos:

6 2 6 2 6 : 82 )4.(2

2 )2,4(

2 : : 2

)

2 : 1 02 2 2 )4.(

2 1 )2, 4(

2 1 2 1 8 4 )4(

4 22 :

)







 

 



















 





 



 



























 

 

yx ou x n ys

n s

nx ys rs m

ii

x yr n

n r

nx y m

BC reta i

s r

.

9. No plano cartesiano representado abaixo, as retas r e s são perpendiculares. A área da região hachurada vale:

a) 12 b) 15 c) 9 d) 18 e) 6

(7)

Solução. A área hachurada é a diferença entre as áreas dos triângulos ACB e AOD. Temos:

i) 2

3 : 1 2 3 )0.(

2 1 )2, 0(

3 1 3 1 6 2 )6(

0 0 2

:   

 



 























 

 

x yr n

n r

n x y m

r reta

r

.

ii) : 3 12

12 )4.(3 0 )0,4(

3 : 3   

 





















  ys x

n n r

nx y rs m

reta ^s ^.

iii)   ^3,3

3 2) 3 3.(

1 3 30 10 36 9 6 12 3 3 2

: 1  



 



























 C

y x x x

x x x s

r ^.

iv)

      . 12 18 15

2 0 1 18 0 12 0 0 2 . 1 3 3

0 4

0 6

1 3 3

1 0 4

1 0 6 2 . 1 1 3 3

1 0 4

1 0 6 2 .

1         





 ABC 

Área

.

v)   .( 2 ).( 6 ) 6 2

1 

AOD 

Área .

A área pedida vale 15 – 6 = 9.

10. Numa “caça ao tesouro” promovida por uma escola, a equipe azul recebeu a seguinte instrução:

“A próxima pista se encontra numa das cartas numeradas fixadas no edital da cantina. A referida carta tem o número correspondente à distância entre os pontos A e B da figura a seguir”.

O número contido na carta era:

a) 14. b) 2. 5 . c) 15. d) 10. e) 5.

Solução. O ponto A está na interseção entre as retas.

i) 3

19 3 : 4 3 19 3 5 4 3 )1.(

5 4 )5,1 (

3 4 3 4 9 12 10 1

)7 ( 5

:   

 



 



























 

 

x ys n

n s

n x y m

s reta

s

.

7

(8)

ii)

    ⁷ ^3,

3 3 9 3 19 3 28 3 7. 19 3 4 17 7 119 100

17 0 81 38 8 9

0 3 27 38 3 3 8 0 3 27 19 3 .2 4 3 3 19 3 4

0 27 2 3 :







 



 



 



































 



 

  



 

 













A y

x x

x x x

x x y

y x s r

.

iii) d  A , B    7  1 

²

   3  5 ) 

²

 36  64  100  10 .

11. Um raio luminoso, emitido por uma lanterna localizada no

ponto M (4, 8), reflete-se em N (6, 0). A equação da semirreta r, trajetória do raio refletido, é:

a) y + 4x – 24 = 0. b) y – 4x – 24 = 0. c) y – 4x + 24 = 0.

d) y + 4x + 24 = 0. e) y – 2x + 24 = 0 Solução. Encontrando a equação, temos:

 

 









 

 















 

 

024 4

24 4 : 24 )6.(4

0 )0,6(

4 2 4 8 68 08 :

xy ou

xy s nn r

nx y

rreta m ^r ^.

12. (PUC) O gráfico mostra uma reta de equação y = mx + n, representada no plano cartesiano abaixo.

O valor de m + n é:

a) 1 b) 2/5 c) 3/2 d) 2 e) 3/5 Solução. A reta passa pelos pontos (– 2, 0) e (0, 1).

8

(9)

2 1 3 2 1 1

)2 2 .(

0 1 )0,2 (

2 1 2 1 )2(

0 0 1

:    

 



 

























 

 

n m n n r

n x y m

r reta

r

.

13. Determine a equação de reta que passa pelo ponto P(2,-3) e é paralela a reta de equação 5x – 2y + 1 = 0.

Solução. Retas paralelas possuem coeficientes angulares iguais.

2 8 : 5 8 )2

2 .(

3 5 )3

,2 (

2 5 2

5 :

//

)

2 5 5

1 2 1 5

5 2 0 1 2 5:

)







 



 

















































x y s n

n s

n x y m

m r s reta ii

m x

y x

y y

x r reta i

r s

r

.

14. Se as retas de equações (a+3)x + 4y – 5 = 0 e x + ay +1 = 0 são paralelas, calcule os valores de a.

Solução. Retas paralelas possuem coeficientes angulares iguais.

 







 



















 

































 





 





















1 0 4

)1 ).(

4 ( 0 4 1 3

4 )3 : (

//

)

1 1

1 1 0

1 :

)

4 )3 ( 4

5 4

)3 5 (

).

3 ( 4 0 5 4 ).

3 (:

)

2 2 1

a a a

a a

a a m a

m r s reta iii

m a x a

y a x

ay ay

x s reta ii

m a a x

y x

a y y

x a r reta i

r s

s

r

.

15. Dadas as retas de equações 2x + 3y – 5 = 0 e 3x – 2y + 9 = 0. Mostre que elas são perpendiculares.

Solução. Encontrando os coeficientes angulares, temos:

3 0 2

5 3 2

: x  y    m

_r

  r

reta ;

2 0 3

9 2 3

: x  y    m

_s

 s

reta . Logo, m

r

.m

s

= – 1.

16. Determine a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos A(3,2) e B(-2,-4).

Solução. A mediatriz intersecta perpendicularmente à reta que passa por A e B no ponto médio.

9

(10)

0 7 12 12 10

7 6 5 12

7 12 1 5 2

. 1 6 1 5 1

2 , 1

6 : 5

1 2 , 1 2

4 , 2 2

2 ) 3 ,(

5 ; 6 3 2

2 : 4













 



 









 



 



 



 



 

  





 

 

  

 

 



  



 



 

y x ou x y n

n mediatriz

n x y mediatriz

B A M m

r reta _AB _r

.

17. Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2,1) ;B(-2,-4) e C(0,2) determine a equação da reta suporte da altura relativa ao lado AB do triângulo.

Solução. A reta suporte será perpendicular à reta que passa por C e intersecta o lado AB.

 



 













 



 





















 

 



 

0 10 5 4

5 2 4 : 5 2

)0.(4 2 )2,0(

5 : 4 5 4 : sup

)

4 5 4 5 22 : 14 )

y x ou y x

s n n s

x n ys m AB reta orte reta ii

m AB reta i

s r

.

18. (UNEMAT) Dada a equação de reta (s): 2x - y + 1 = 0, a equação de reta paralela a que passa pelo ponto P(1,1) será:

a) 2x - y = 0 b) 2x + y + 1 = 0 c) 2x + y - 1 = 0 d) 2x - y - 1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 Solução. A reta paralela possui o mesmo coeficiente angular de s.

 

 









 

 















 

























0 1 2

1 2 1

)1.(

2 1 )1,1 (

2 : :

//

)

2 1

.2 0

1 .2:

)

y x ou

x y n

n r

n x y m r

m s r reta ii

m x

y x y y

x s reta i

r s

s

.

19. (UERJ) Leia o texto a seguir.

10

(11)

Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto acima, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início da estação do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pode, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB:

a) y = 8 – 4x b) x = 6 – 3y c) x = 8 – 4y d) y = 6 – 3x e) y = 2 – 3x Solução. Encontrando a equação da reta que passa por (0, 2) e (8, 0), temos:

 



 















 



 





















 

 

y x ou

x y n n r

n x y m _r

4 8

4 2 1

2 4 )0.(

2 1 )2, 0(

4 1 4 1 8 0

0 2

.

11