 Na kxlog.32)x(f 

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br FUNÇÃO LOGARÍTIMICA – 2012 - GABARITO

1. Seja

k logx 3. ) 2 x (

f  , onde k = 7.10^-3. Qual o valor de x para o qual f(x) = 6.

Solução. Substituindo os valores, temos:

7000000 10.

7 10.

10.

7 x 10. 10

7 x

10. 9 7 log x 2 .6 3 10.

7 log x 10. 6

7 log x 3 . 2 6

)x(

f

10.

7 log x 3 . )x( 2 f

6 9 3 9

3

3 3

3 3

















 



 



 





 

 



















.

2. Se ^k^log5



⁶ ³⁵



, determine o valor de 5^k + 5^-k. Solução. Utilizando a propriedade

a

^logaN

 N

^{, temos:}

 

  12 35 6 35 35 6

36 35 35 6

6

35 6

35 . 6

35 6 35 1 35 6

6 35 1 5 6

5 1 5 5 1 5

5 log 6 35

35 6 log k k k k

5 5









 

 





















 



 





 



 















 





.

3. Se S é a soma das raízes da equação log²xlogx20, então calcule o valor de 1073 - 10S.

Solução. A equação está definida para x > 0. Resolvendo, vem:

72 1001 10 1073

10 1001 1073 , Logo

10 1001 10 100 1 S 10 10 1 x 1 xlog )ii

100 10 x 2x log)i

1 y 0) 2y 1y ).(2 y(

02 y 02 y xlog x log

yx log

1 2

2 2



 



 

 







 

 



















 

 



 











 

 









^.

4. Calcule o valor de y = 6^x onde

x



 log

₃

2   . log

₆

3 

.

Solução.

y 6    6 6 6 6 2 6

log 3 3 log log

3 log

2 2 log log

2 l log

2 log 6 log

2 log 6 log

3 . log 3 log

2 log 3 log .2 log

6 6 6

6 6 3

6 6 6 6 6 6 6 6 6

3

    





 



 









.

5. (UEFS) Sendo log20,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:

a) 13 b) 14 c) 19 d) 20 e) 27 Solução.

arismos lg

a 14 1 13 5

98 , 13 ) 699 , 0 ( 20 ) 301 , 0 1 ( 20 ) 2 log 10 (log 2 20

log 10 . 20 5 log . 20 5

log

20 20























 



 

 .

6. (UFBA) Considere a equação 10^x0,4658 368. Sabendo-se que ^{log3,680,5658}, calcule 10x.

Solução.

21 )1, 2 .(

1 x 10 , Logo

1, 2 4658 ,0 5658 ,2 x 5658 ,2 4658 ,0 x 10

10

10 368 10

. 10 10 . 68 ,3 10

68 ,3 5658 ,0 68 ,3 log

368 10

5658 ,2 4658 ,0 x

5658 ,2 2

5658 ,0 2 5658

,0 4658

,0 x

























 

 





















.

7. (UEFS) O produto das raízes da equação log(x²7x14)2log2 é:

a) 5 b) 7 c) 10 d) 14 e) 35

Solução. A condição é que x² – 7x + 14 > 0. Não há raízes reais e a concavidade é para cima. Logo sempre será positiva. Resolvendo, temos:

10 5.

2 oduto 5 Pr

x 2 0 x

)5 x ).(

2 x(

0 10 x 7

²x

4 14 x 7

²x 2

log ) 14 x 7

²x log(

2 log 2 ) 14 x 7

²x

log( ²





 

 



 









































.

8. (UEFS) Determine o domínio da função 



 







 

x 4

3 x log 2

y _.

Solução. A condição de existência é 0 x 4

3 x

2 



 . Analisando a inequação, temos:

S = _^{ ,4}_^ 2 3

9. (UFBA) Determine o valor de x que satisfaz à equação

log

₂

 x



3 



log

₂

 x



2 



1

.

Solução. A condição de existência é x > 3 e x > 2. Logo, x > 3. Resolvendo, temos:

         

} 4 { S

4 x

Fora 3

1 0 x

) 4 x ).(

1 x ( 0 4 x 5 x 2 6 x 5 x

2 2 x . 3 x 2 log 2 x . 3 x log 1 2 x log 3 x log

2 2

2 2

2 2



 









 



















































.

10. (UFBA) Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de (x – 9). Determine x.

Solução. De acordo com as informações, temos:

   

} 90 { S

90 x

) 10 x(

: Hipótese 10

0 x ) 90 x ).(

10 x(

0 900 x 100 x 900 x 100 x 9 100

x 10 x 9 log x log x

9 9 x

x 0 : x Condição 2

9 x log x log 2 9 x log x log 2

2 2

2 2 2

2



 









 

























 



 





 

 



 















.

11. (PUC) O logaritmo, em uma base x, do número

2 5 x

y   é 2. Então x é igual a:

a) 2

3 b) 3

4 c) 2 d)5 e) 2 5 Solução. Utilizando a definição de logaritmos, vem:

2 x 5 0 Base 0

4 2 8 4

9 x 1

2 5 4 10 4

9 x 1 l

4 9 1 4

81 1 )2

(2

) 10 )(

2(

4 1 x 1

0 10 x x 2 2 x

5 x 2 2

5 x

log

_x ^{2 2}





 



 















 





 





 

 

 



 

















 



 

  

.

12. Resolva as equações:

a) log

 

x² 



logx



² b)

3 x 1 log x log x

log₂³  ₈  ₆₄ ²  Solução. Estabelecendo as condições de existência, temos:

a)

  ^{   }

}100, 1{S

100 10x 2x log)ii

1x 0x log)i

2y 0)2 0y y(y 0y xlog 2y

xlog2 xlog xlog

yx log

2

2 2 2 2













 

 



 







 

 









.

b)

} 2 { S

2 2 3 x

x 1 log ) iii

3 y 1 1 y 3 3 1 3

y 3 3 1 3 y 3 y 3 y 3 1 6 . y 3 2 y y 3. 1

3 x 1 log 2 x log x 3 log

x 1 log x log x log ) ii

6 x y log 6. x 1 log x log 3; x y log 3. x 1 log x log

; y x log ) i

3

3 3 1 2

2 2

3 1 2 2

64 8

3 2

2 2 64

2 2 8

2

6 3

6 3



































 



 



































.

13. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função:

^{f ( x )  log}

₅³₅

  ^x

⁴ . Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:

a) 3 b) 4 c) 300 d) 400 Solução. O valor pedido é encontrado calculando f(5).

  ^{ }

   

³

4 .3 4 5 log . 4 5 log ) 5 ( f x log ) x ( f ) ii

4 y 3 3 1

y 5 4

5 5

5 5

. 5 5 5 5 5 y 5 log )i

3 3

3 3

5 5 4

5 5 4

5 5

3 y y 4

3 y 4

3 y 1

3 5

5























 













 





















.

14. (VUNESP) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento químico radioativo com inicialmente m₀ gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática 70

t 0

. 10 m ) t (

m

 ^ , onde m(t)

é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log2 = 0,3, determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.

Solução. O valor procurado corresponde a t, tal que m(t) = M0/8. Substituindo na função e utilizando as propriedades dos logaritmos, temos:

anos 63 )9, 0.(

70 t )3, 0(

70 3 t

2 70 log

t 8 log 1 70

t 8 10 1 8 10 m . m 8

)t( m m

10 . m )t(

m 3

10 70 10

t 70 0

t 0 0

70 t 0

































 



 





   



.

15. (EPUSP) Se

log

₂

( a



b )



16

e

log

₂

( a



b )



8

, calcule

log

2

 a

²

 b

²



^.

Solução. Utilizando a fatoração, temos:

 ^{a b}  ^{log   a b  a b   log  a b  log  a b  8 16 24}

log

₂ ² ²  ₂    ₂   ₂     .