PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS NÃO-LINEARES SUJEITOS A FALHAS ESTRUTURAIS

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PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS NÃO-LINEARES SUJEITOS A FALHAS ESTRUTURAIS

Emerson Ravazzi P. da Silva¹, Edvaldo Assunção¹, Marcelo C. M. Teixeira¹, Flávio A. Faria¹, Rodrigo Cardim¹

1Faculdade de Engenharia, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de Pesquisa em Controle, Avenida José Carlos Rossi, n^o1370, 15385-000 - Ilha Solteira, SP, Brasil.

e.ravazzi@bol.com.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, flaviof15@yahoo.com.br, rcardim@dee.feis.unesp.br

Abstract: A technique of PDC¹ fuzzy controller design for nonlinear continuous-time systems is proposed in this paper.

It is supposed that the nonlinear plant is subject to structural failures, which can be considered as polytope uncertain. The nonlinear systems are represented through fuzzy models proposed by Takagi-Sugeno. The controller design is made through conditions based in Linear Matrix Inequalities (LMIs), which can be easily solved using convex programming tech- niques. Finally, a numerical example and its simulation illus- trate the efficiency of the proposed methodology.

Keywords: Linear Matrix Inequalities (LMI), Nonlinear Systems, Structural Failures.

1. INTRODUÇÃO

A análise de estabilidade e o projeto de controladores em sistemas não-lineares é uma área de pesquisa bastante explo- rada, alguns destes sistemas são representados através de modelos fuzzy Takagi-Sugeno [1–3] e o projeto é feito usando Desigualdades Matriciais Lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities (LMI)) [4–9].

No entanto, a grande maioria dos trabalhos, conside- ram somente o projeto de controladores para sistemas não- lineares determinísticos, que podem não representar sistemas de controle reais. É comum a existência de modelos mais complexos que possuem em sua estrutura elementos de parâ- metros não fixos (elementos incertos), pertencentes a um intervalo de valores numéricos conhecidos [10, 11]. Este fato pode acontecer por alguns motivos, por exemplo, desgaste natural de algum componente, quebra por fatores externos, manuseio incorreto, entre outros. Então é fato que a dificul- dade existe, e sistemas com esta característica são denomina- dos sistemas sujeitos a falhas estruturais e os mesmos podem ser modelados usando combinação convexa, descritas por incertezas do tipo politópicas [12].

Acompanhando esta tendência, a pesquisa relacionada a

1Parallel Distributed Compensation.

esta área cresce a cada dia. O propósito é obter soluções inovadoras, projetando sistemas de controle confiáveis que garantam a estabilidade robusta de plantas não-lineares su- jeitas a falhas estruturais. Com isso, alguns trabalhos têm sido publicados para este tipo de problema [13, 14].

Entretanto, os trabalhos acabam tratando as incertezas e não-linearidades de forma idêntica. Se tratando de sistemas que possuem em sua estrutura elementos com característi- cas não-lineares e incertas, o ideal seria fazer a distinção de ambas às complicações, para que sejam analisadas de forma diferente, a fim de se obter um resultado satisfatório e seguro, pois se não houver esta manipulação os resultados alcança- dos serão de uma forma em geral considerados conservadores [10, 11, 15].

A motivação deste trabalho se baseia na metodologia apresentada em [10], onde os autores apresentam uma téc- nica para o projeto de controladores em sistema T-S sujeitos a falhas, levando em consideração a separação dos elementos não-lineares dos incertos. A metodologia considera o projeto de controladores fixosK, porém esta técnica ainda pode levar a resultados conservadores. Neste trabalho são propostas condições suficientes para o projeto de controladores usando o procedimento conhecido como Compensação Distribuída Paralela (do inglês, Parallel Distributed Com- pensation (PDC)) [3]. Esse procedimento consiste em pro- jetar controladores lineares para cada um dos modelos locais e o controlador global, que é não linear em geral, é obtido através da combinação fuzzy dos controladores locais.

Alem disso, nesse trabalho, o projeto de controladores são formulados por problemas na forma de LMIs. Numerica- mente LMIs podem ser resolvidas eficientemente por meio de algumas ferramentas poderosas disponíveis na literatura de programação matemática [12]. Para o projeto dos controladores e a simulação do sistema controlado, é utilizado o software MATLAB [16].

O propósito final é estudar e analisar questões sobre estabilidade quadrática e propor um método para o projeto de

(2)

controladores via PDC utilizando a realimentação dos estados para uma classe de sistemas não-lineares que apresentam em sua estrutura parâmetros sujeitos a falhas estruturais.

Para verificar a viabilidade do método, um exemplo nu- mérico é apresentado, resolvido e simulado.

2. CONDIÇÃO INICIAL

Podemos destacar que todos os tipos de sistemas e equi- pamentos estão sujeitos a apresentar uma interrupção perma- nente não desejada ao realizar uma determinada função. De- nominamos este evento como sendo falhas estruturais, que podem ser inseridas no modelo dinâmico da planta através de incertezas do tipo politópicas. Considere um sistema não- linear incerto, descrito da seguinte forma:

˙

x(t) =A(α, β)x(t) +B(α, β)u(t), (1) sendoA(α, β) ∈ ^n×n eB(α, β) ∈ ^n×m, matrizes que representam a dinâmica do sistema não-linear incerto, sendo que as não-linearidades são representadas porαe as incertezas porβ,u(t) ∈ ^mé a entrada de controle do sistema e x(t)∈ ⁿé o vetor de estados.

A próxima hipótese, denominada como “etapa de separa- ção”, é uma condição necessária para que os sistemas sejam controlados pelos controladores obtidos com o uso do mé- todo proposto.

Hipótese 1. Considere como exemplo e sem perda de generalidade as matrizes(A, B)(α, β), descritas abaixo:

A(α, β) =

⎡

⎣ a₁₁(α) a₁₂(α) a₁₃(β) a₂₁(β) a₂₂(β) a₂₃(α) a31(α, β) a32(β) a33(α)

⎤

⎦, (2)

B(α, β) =

⎡

⎣ b11(α) b₂₁(β) b₃₁(α, β)

⎤

⎦, (3)

realizando a separação das não-linearidades e das incertezas, faz-se uma decomposição das matrizes(A, B)(α, β), sendo que agora as matrizes(A, B)(α)são compostas somente pelos elementos não-lineares e as matrizes(A, B)(β)somente pelos elementos incertos

A(α, β) =

⎡

⎣ a11(α) a12(α) 0

0 0 a23(α)

¯

a31(α) 0 a33(α)

⎤

⎦

A(α)

+

⎡

⎣ 0 0 a13(β) a21(β) a22(β) 0

˜

a31(β) a32(β) 0

⎤

⎦

A(β)

, (4)

sendoa31(α, β) = ¯a31(α) + ˜a31(β),

B(α, β) =

⎡

⎣ b11(α)

¯ 0 b31(α)

⎤

⎦

B(α)

+

⎡

⎣ 0 b21(β)

˜b31(β)

⎤

⎦

B(β)

, (5)

sendob₃₁(α, β) = ¯b₃₁(α) + ˜b₃₁(β).

Então, concluindo a etapa de separação, chega-se a uma nova representação na qual as matrizes podem ser decompos- tas da seguinte forma:

A(α, β) =A(α) +A(β) e B(α, β) =B(α) +B(β).

Observação 1. No momento em que houver a separação das matrizes(A, B)(α, β), os elementos constantes das mes- mas podem ser alocados em quaisquer matrizes, ou divi- didos em parcelas para que se evitem matrizes nulas (evi- tar a não controlabilidade na parcela), ou seja, os elemen- tos poderão fazer parte das matrizes que contém as não- linearidades(A, B)(α), ou das matrizes que contém as in- certezas(A, B)(β), ou ainda, suas parcelas fazerem parte de ambas as matrizes, não diferindo do resultado final.

Desta forma, o sistema (1) pode ser representado por mo- delos fuzzy T-S da seguinte maneira [1]:

˙ x(t) =

r i=1

p k=1

αi(z(t))βk

A(α_i,β_k)x(t) +B(α_i,β_k)u(t)

= r i=1

p k=1

αi(z(t))βk

(Aαi+Aβk)

−(Bαi+Bβ_k)^r

j=1

αj(z(t))Kj

x(t)

= r i=1

p k=1

α²_i(z(t))βk

Aαi+Aβk−(Bαi+Bβk)Ki

x(t)

+ r i=1

i<j

p k=1

αi(z(t))αj(z(t))βk

Aαi+Aβk−(Bαi

+Bβ_k)Kj

+

Aαj+Aβ_k−

Bαj +Bβ_k Ki

x(t), (6)

sendoz(t)∈ ^rdenominado de vetor premissa. As matrizes Aαi ∈ ^n×neBαi∈ ^n×msão os parâmetros dos modelos locais e as variáveisαi(z(t))são as funções de pertinência dos modelos locais, e satisfazem a relação:

(A, B)(α) = ^r

i=1αi(z(t)) (A, B)αi, αi(z(t))≥0, i= 1,2, ..., r, ^r

i=1αi(z(t)) = 1,

α= [ α1(z(t)) α2(z(t)) . . . αr(z(t)) ]^T.

⎫⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭

modelos f uzzy T S com αi

conhecido

(7) NOTA: Apenas por facilidade de notação, em todo o texto o termoαi(z(t))será representado porαi.

As matrizesA_β_k∈ ^n×neB_β_k ∈ ^n×msão os parâme- tros dos modelos locais incertos e as variáveisβksão funções desconhecidas, e satisfazem a relação:

(A, B)(β) = ^p

k=1βk(A, B)β_k, βk≥0, k= 1,2, ..., p, ^p

k=1βk= 1, β= [ β1 β2 . . . βp ]^T.

⎫⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭

modelos de incertezas com βk

desconhecido

(8) O ponto de equilíbriox= 0do sistema (6), é obtido en- contrando matrizes constantesK1, K2, ..., Kr∈ ^m×ncom

(3)

a entrada de controle u(t) =−^r

i=1

αiui(t) =−^r

i=1

αiKix(t),

=−K(α)x(t).

(9)

3. PROJETO DO CONTROLADOR FUZZY PARA SISTEMAS NÃO-LINEARES INCERTOS

O projeto do controlador fuzzy T-S é formulado substi- tuindo (9) em (6), deste modo o sistema em malha fechada é dado por:

x˙(t) =A(α, β)x(t) +B(α, β)

−K(α)x(t) , ⇔ x˙(t) = (A (α, β)−B(α, β)K(α))

Aψ

x(t).

(10) Assim, a análise de estabilidade quadrática do sistema (10), pode ser realizada verificando as condições de existên- cia de uma matriz simétricaP ∈ ^n×n, satisfazendo as con- dições de Lyapunov [12]:

A^T_ψP+P Aψ <0, P >0.

. (11)

Desta maneira, o problema pode ser reduzido ao estudo de factibilidade de LMIs. LMIs quando factíveis, podem ser facilmente resolvidas em microcomputadores, usando por exemplo, o software MATLAB [16]. Para o projeto do con- trolador, o próximo teorema encontra condições suficientes que garante a estabilidade quadrática e assintótica do sistema (10).

Teorema 1. Se existir uma matriz simétricaX ∈ ^n×n e matrizesMi∈ ^m×nsatisfazendo as LMIs,

X >0, (12)

XA^T_α_i+XA^T_β_k−M_i^TB^T_α_i−M_i^TB_β^T_k

+A_α_iX+A_β_kX−B_α_iM_i−B_β_kM_i<0, (13) XA^T_α_i+XA^T_β_k−M_j^TB_α^T_i−M_j^TB_β^T_k

+A_α_iX+AβkX−BαiMj−BβkMj

+XA^T_α_j+XA^T_β_k−M_i^TB_α^T_j −M_i^TB^T_β_k +AαjX+AβkX−BαjMi−BβkMi ≤0,

(i < j),

(14)

sendo,i, j = 1,2, ..., r ek = 1,2, ..., p. Então, o sistema (10) é estabilizável via PDC. Os ganhos locais que resolvem o problema podem ser dados porKi =MiX⁻¹, e a matriz K(α)que garante a estabilidade é dada por

K(α) = r

i=1

αiKi. (15) Demonstração. Multiplicando a equação (13) por α²_iβk, (14) porαiαjβk e somando todas as LMIs, segue de (7) e (8) que:

r i=1

r j=1

p k=1αiαjβk

XA^T_α_i+XA^T_β_k−M_j^TB_α^T_i−M_j^TB^T_β_k +A_α_iX+A_β_kX−B_α_iM_j−B_β_kM_j

=

X _r

i=1αiA^T_α_i+ ^p

k=1βkA^T_β_k

−^r

i=1αiM_i^T _r

i=1αiB_α^T_i+ ^p

k=1βkB_β^T_k

+ _r

i=1α_iA_α_i+ ^p

k=1β_kA_β_k

X

− _r

i=1αiBαi+^p

k=1βkBβk

_r

i=1αiMi<0.

(16)

Substituindo^r

i=1αiMi=^r

i=1αiKiXe sabemos que:

A(α, β) = _r

i=1αiAαi+ ^p

k=1βkAβk

, B(α, β) =

_r

i=1αiBαi+ ^p

k=1βkBβk

, K(α) =

_r

i=1αiKi

,

⎫⎪

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎭ (17)

então de (16), chega-se em:

X

A(α, β)_T

−XK(α)^T

B(α, β)_T +A(α, β)X−B(α, β)K(α)X <0.

(18)

Agora multiplique (18) à esquerda e a direita porX⁻¹e fazendoX⁻¹=P, obtenha

A(α, β)−B(α, β)K(α)_T P +P

A(α, β)−B(α, β)K(α)

<0.

(19)

Agora, quando (12) é factível, tem-se queX =P⁻¹ >

0 ⇔ P > 0. Considerando esse fato, conclui-se que (19) é equivalente as condições de Lyapunov (11) para o sistema (10). Portanto quando (12), (13) e (14) são factíveis, o ponto de equilíbriox= 0do sistema (10) é globalmente assintoti- camente estável. E um controladorK(α)desejado pode ser obtido com (15).

4. EXEMPLO - SIMULAÇÃO DIGITAL

Para resolver o exemplo e a simulação através de mi- crocomputadores, foi usado o pacote “LMI control toolbox”

presente no software MATLAB [16]. Através da solução ob- tida com o Teorema 1, a resposta dinâmica do sistema realimentado para uma determinada condição inicial é plotada.

4.1. Sistema mecânico (massa-mola-amortecedor) Considere o sistema massa-mola-amortecedor ilustrado na Figura 1 [17].

Cujo modelo dinâmico pode ser descrito por:

x˙₁(t) x˙2(t)

=

0 1

−km

m −c m

x₁(t) x2(t)

+

0 1 m

u(t).

(20) O vetor de estados é definido por x(t) = [ x1(t) ˙x1(t) ]^T. Vamos supor que a mola do sistema seja

(4)

(t)

(t) m

c x

1

u

k

m Figura 1 – Sistema massa-mola-amortecedor.

não-linear, então km implica em uma força não-linear da mola e será representado por [18]:km=kx(1 +d²x1(t)²), sendo kx o coeficiente de elasticidade, d a constante de dureza ex1(t)o deslocamento da massam.

O problema consiste em atenuar as oscilações da massa m, deslocadax1(t)do ponto de equilíbrio através da entrada de controleu(t). Considerando que o coeficiente de amorte- cimentocé incerto e pertence ao intervalo0< c <4(Ns/m) (ou seja, o amortecedor pode quebrar depois de algum tempo de uso,c= 0),m= 2Kg,kx= 20N/m,d= 1e que a variá- vel de estadox1(t)é limitada no intervalo−2≤x1(t)≤2.

Desta forma, podemos reescrever (20) como sendo, A(α, β) =

0 1 f˜21(x1(t)) ˜I22(β)

, e _B_{(α, β) =} 0

1 m

.

sendo,f˜21(x₁(t)) =−k_x(1 +d²x₁(t)²)

m a função que con- tém a não-linearidade do sistema, e˜I22(β) = −c

m a função que contém o elemento sujeito a falha do sistema.

Agora de acordo com o propósito, deve-se separar o elemento não-linear do elemento incerto das matrizes. Portanto, as matrizes serão:

A(α) =

0 0,5 f˜21(x1(t)) 0

eA(β) =

0 0,5 0 ˜I22(β)

,

B(α) = 0

1 2m

e B(β) = 0

1 2m

, sendo que,B(α)eB(β)foram feitos dessa forma para que nenhum vértice seja não controlável.

Nesse exemplo, o termo não-linear depende dex1(t), su- pondoz(t) =x1(t), e de acordo com [19], pode-se encontrar os modelos locais para a modelagem exata da seguinte forma:

e211= max

x1(t)

f˜21(x₁(t))

=−10, e212= min

x1(t)

f˜21(x1(t))

=−50. (21) f˜21(x1(t)) =ξ211(x1(t))e211+ξ212(x1(t))e212,

ξ211(x₁(t)) +ξ212(x₁(t)) = 1,

(22)

logo, de (22)

ξ211(x₁(t)) = f˜₂₁(x₁(t))−e₂₁₂ e211−e212 , ξ212(x₁(t)) = f˜21(x₁(t))−e211

e212−e211 .

(23)

Sejam

α₁(x₁(t)) =ξ₂₁₁(x₁(t)),

α2(x₁(t)) =ξ212(x₁(t)), (24) as funções de pertinências para este sistema. Nota-se que, parai= 1,2:

αi(x₁(t))≥0 e 2 i=1

αi(x₁(t)) = 1. (25)

Logo, os modelos locais para o sistema são:

A_α₁ =

0 0,5

−10 0

, A_α₂=

0 0,5

−50 0

Bαi = 0

0,25

, i= 1,2.

Agora para o parâmetro incertocdo sistema, os vértices do politopo encontrados foram:

A_β₁ =

0 0,5

0 0

, A_β₂ =

0 0,5 0 −2

,

Bβk = 0

0,25

, k= 1,2.

As soluções encontradas pelo Teorema 1 foram:

P =X⁻¹=

5,0563 17,4810 17,4810 74,3448

, M1=

−20,5640 5,6345 , M2=

−105,1408 25,5214 . O controlador (15) obtido foi:

K(α) =α1(x1(t))

−5,4807 59,4148 +α2(x1(t))

−85,4807 59,4148

. (26) Sem essa realimentação, note que sistemas mecânicos com estas características são estáveis por natureza. Contudo, quando ocorre uma falha estrutural, ou seja, para este caso o amortecedorc se rompe, observe que o sistema se torna largamente oscilatório, isso é visto na Figura 2. No entanto esse problema é resolvido ao realimentar o sistema com o controlador (26) obtido. A resposta do sistema realimentado para a condição inicial de simulaçãox(0) = [1 0]^T com o amortecedorcfuncionando e com o amortecedor quebrado (c= 0) pode ser vista na Figura 3.

Observando a Figura 3, nota-se que o comportamento do sistema controlado praticamente não muda, mesmo que o amortecedorc se quebre. Em ambos os casos o sistema possui um tempo de duração do transitório em torno de 20s.

(5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−2 0 2 4

Tempo [s]

x1(t)sem falhas x2(t)sem falhas

x1(t)com falhas x2(t)com falhas

Figura 2 – Simulação do sistema (20) sem entrada de controle.

0 5 10 15 20

0 0.5 1

0 5 10 15 20

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 10 20 30 40

Tempo [s]

Deslocamento[m] Velocidade[m/s]

SinaldeControle[N]

x1(t)sem falhas x1(t)com falhas

x2(t)sem falhas x2(t)com falhas

u(t)sem falhas u(t)com falhas

Figura 3 – Sistema controlado com o Teorema 1.

Logo o controlador (26) foi capaz de garantir a estabilidade do sistema mesmo após a ocorrência de falha no amortecedor. Ainda, na Figura 4, é plotado o comportamento das fun- ções de pertinência, note que em ambos os casos, ou seja, com o sistema funcionando e com o sistema com falhas, as mesmas ficam bem próximas.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo [s]

FunçõesdePertinênciaFunçõesdePertinência α1sem falhas

α2sem falhas

α1com falhas α2com falhas

Figura 4 – Comportamento das funções de pertinência.

5. CONCLUSÕES

Neste artigo foi proposta uma metodologia para o projeto de controladores fuzzy via PDC, para uma classe de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais. Foi possível através

de LMIs e utilizando os modelos fuzzy Takagi-Sugeno, pro- jetar de maneira relativamente simples o controlador para a solução do problema. Apenas a condição de estabilidade foi abordada neste trabalho, porém a técnica permite facilmente a inclusão de restrições de desempenho no projeto do controlador, tais como: restrição na taxa de decaimento e restrição no valor de entrada [10]. Esta técnica de projeto modelada na forma de LMIs pode ser facilmente resolvida utilizando- se algoritmos de convergência polinomiais, resolvidos atra- vés de microcomputadores. A eficácia da técnica pode ser verificada pela solução do exemplo numérico.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq²e a FAPESP³pelo apoio financeiro a este trabalho.

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2Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.

3Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo.

(6)

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