11) I A — N.° — UMA DE

(1)

A DIFUSÃO DE NEUTRONS EM MEIOS MODERADORES E MULTIPLICADORES COM UMA FONTE PERIÓDICA DE

NEUTRONS — NOTA PREVIA

GERHARD JACOB

Publicação I E A — N.°

I 9 6 0

11)

INSTITUTO DE ENERGIA ATÔMICA Caixa Postal 11049 (Pinheiros) CIDADE UNIVERSITÁRIA "ARMANDO DE SALLES OLIVEIRA"

SÃO PAULO — BRASIL

(2)

CONSELHO N A C I O N A L DE PESQUISAS Presidente — Prof. Dr. João Christovão Cardoso Vice-Presidente — Prof. Dr. Athos da Silveira Ramos

UNIVERSIDADE DE SÃO P A U L O

Reitor — Prof. Dr. Gabriel Sylvestre Teixeira de Carvalho Vice-Reitor — Prof. Dr. Francisco João Humberto Maffei

INSTITUTO DE ENERGIA A T Ô M I C A DIRETOR

Prof. Dr. Marcello Damy de Souza Santos CONSELHO TÉCNICO-CIENTÍFICO

Representantes do Conselho Nacional de Pesquisas Prof. Dr. Luiz Cintra do Prado

Prof. Dr. Paulus Aulus Pompeia

Representantes da Universidade de São Paulo Prof. Dr. Francisco João Humberto Maffei Prof. Dr. José Moura Gonçalves

CONSELHO DE PESQUISAS

Prof. Dr. Marcello Damy de Souza Santos

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— Chefe da Divisão de Física de Reatores Prof. Dr. Fausto Walter Lima

— Chefe da Divisão de Radioquímica Prof. Dr. Rómulo Ribeiro Pieroni

— Chefe da Divisão de Radiobiología

(3)

A DIFUSÏO DE NEUTRONS EM MEIOS MODERADORES E MULTIPLICADORES COM UMA FONTE PERIODICA DE NEUTRONS - NOTA PREVIA*

GERHARD JACOB*+

PUBLICAÇÃO I.E.A. - N« 10 1960

Publicado nos Anais da Academia Brasileira de Ciências, 30t n⁹ 3» 1958

Comissionado no I.E.A. pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da U n i - versidade do Rio Grande do Sul, R.S.

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A DIFUSÃO DE NEUTRONS EM MEIOS MODERADORES E MULTIPLICADORES COM UMA PONTE PERIODICA DE NEUTRONS

Comunicação- P r é v i a¹

G-ALLONS, ORSONI E SALVETTI (1950, 1951 ) , em uma s é r i e de a r t i g o s , usaram métodos simbólicos de c á l c u l o para e s t u d a r a d i f u s ã o e a mui t i p l i c a ç ã o de neutrons» Em p a r t i c u l a r , estudaram e l e s a d i s t r i b u i ç ã o e s p a c i a l e temporal de neutrons t é r m i c o s em meios m u l t i p l i c a d o r e s com d i v e r s o s t i p o s de fontes de neutrons r á p i d o s como,por exemplo, fonte i n s t a n t â n e a e fonte c o n s t a n - te agindo durante um tempo f i n i t o »

¥o presente t r a b a l h o é considerado o caso de uma fonte de neutrons rápidos punetiforme e de i n t e n s i d a d e variando periodicamente no tempo*

0 método d e s e n v o l v i d o nos t r a b a l h o s c i t a d o s acima con - s i s t e no s e g u i n t e s nas c o n d i ç õ e s u s u a i s da t e o r i a da i d a d e e da d i f u s ã o , consi, derando apenas neutrons i n s t a n t â n e o s de f i s s ã o , a equação para a densidade de neutrons t é r m i c o s num meio m u l t i p l i c a d o r com uma fonte e x t e r n a de neutrons r á - pidos S⁰( r , t ) pode s e r e s c r i t a ;

l 2 1 ? 2 |0(rV

t)

+ j k e o exp

j V v

²

- l j

p(r*,

t)

p 1⁰ e x^P

[r

^o

V

²

]

S⁰( r ,

t) -

1⁰ ^t ^{y 6} ( 1 )

em que L é o comprimento de difusão dos neutrons térmicos no meio, /3(r*, t ) a densidade de neutrons t é r m i c o s , k t » o f a t o r de m u l t i p l i c a ç ã o i n f i n i t o , 1⁰ a v i - da média dos neutrons no moderador puro, p a p r o b a b i l i d a d e de escape a ressonân c i a e T e T^Q são r e s p e c t i v a m e n t e , as i d a d e s dos neutrons de f i s s ã o e da fonte ex

(5)

terna quando térmicos-.

Desenvolvendo a densidade de neutrons e o termo de fonte em série de autofunções da equação de autovalores

relativamente a condição de contorno

|^y ^(?)Jg-

^{= O} (ç~"sendo o contorno extra- polado do meio), isto i pondo

( 2 )

S0(r, t) *

X ^ ( t ) <p

ⁿ

(?)

obtém-se, tendo em conta que as Q (r*) são usualmente reaiss /0(?, t) = p 1 B „ ( v ) W [- % U ^ ] ^ ( ? ) exp [i y t]

0(C%) + i,i> 1⁰

(3)

(4)

com

1 +(ü)2n L2 » k os exp £ -rC0^ ]

Mo caso particular de uma fonte externa punctiforme de intensidade oscilando no tempo com frequência CO a partir de t = 0, i3to é, no - caso em que

S⁰(r*, t) - S⁰ <£(r) exp [iU) tj H(t)

onde & (r) ê a função delta tridimensional de Dirac e H(t).é a função de Heavi- side como está definida em MOR SE, P. M. E FESHBACH, H., 1953, a solução da equa- ção ( 4 ) escreve-se como

exp

[±u>

t] - exp

0 K )

^t

i« -

^{( 5 )}

(6)

Se o meio for crítico, tem-se <£>(<«>⁰) = 0 e 0 (6íⁿ) ^ 0 para n ^ 0 (<k>⁰ sendo o menor autovalor não nulo), de modo que todos os termos da so lução (5) exceto o primeiro decrescem exponencialmente no tempo. Logo,depois de um tempo suficientemente grande para as harmônicas de ordem superior se ex - tinguirem, a-primeira harmônica escreve-se

A ? , t) = (iüVS S⁰ <^(o) <p^e(r) exp

[r

^o^oòl

J^exp

^{[ ití}^t

J

- 1 ^ (6) No caso bem geral de uma fonte externa punctiforme de inten

sidade periódica no tempo, (com período T ) acesa durante um tempo^ T ( ( X ^ ^ l ) e apagada durante o restante do período (l -C K ) T, temos

So ^ » *) -^So (TCf)í(t)H(t).-

f(t) = - _ - c⁰ +

^ I

cos ffl Q) t + d^B sen m to t

I

em que os coeficientes podem ser determinados na maneira usual.

A solução é, então:

^ ( r , t) = (2ir)^{p 1}⁰^S^o| ^ ^ ( 0 ) <p^o(r) exp

[-^^"Ix

— u (<^i.t) + £ ( c^m v^m( Oⁿ,^t) + d^a w^m( H i f t ) ) I (7)

1 - exp X

u « Üⁿ, t ) = 2?r n ) ] "¹ I " exp ^ ^^t| j j v^m( G >ⁿ, t )

= 27f [ $ 6 >ⁿ) + m² o >² l ^ X

X |cos(m G) t -0^) - exp ^ | ^^{n )} t j cos A m } J

w

^m

( G )

ⁿ

, 0 *

-²*(4?(«>a> t m² < ü² 1²J"& x

x|sin(m 6) t

-0

^{m n}

)

+ exp - t

J

^{s i n ^}^{m n}^{| | cos}

^&

^m

^{^^}

ⁿ

⁾

^X

X £ <j>²(<i>ⁿ)⁺ m² Oi2

!2j )í

^?^{s i n}

^

^{m n}

=

m c o l o

j

^ ( ( 0 )⁺^m ²^a ⁾2

^ j f c

(7)

4.

No caso limite de criticalidade, tem-se /0(r, t) - p S „ p⁰ ( 0 ) cp^o (r) ezp - [TJ<U* ] |

J E ^ (mtí)"^ j* en sin m cj t + dm (l - cos m <ú t)J J (8) Os resultados obtidos podem, é claro, ser aplicados também a meios moderadores puros, bastando tomar p » i e k ^ = 0 .

Da análise do resultado obtido para um meio crítico, equação (8), pode-se chegar as; seguintes conclusões:

A densidade de neutrons cresce de t = 0 a t « ^ T , isto é, enquanto a fonte está acesa, e permanece constante durante o resto do período, is to é, enquanto a fonte está apagada; se o têrmcr de fonte tem um máximo, a densida de de neutrons tem, correspondente, um ponto de inflexão* Essas conclusões podem também ser^tiradas do,fato de ser, para um meio crítico, em qualquer instante t,

/*(*)- f S⁰(t«) dt».

•/o

Por outro lado, para um meio suberítico (e, em particular para um meio moderador puro), é .'ç(t)^. I ' S Q C Í¹ ) dt* e, portanto, o crescimento da densidade de neutrons será mais lento,haverá um máximo a esquerda do ponto t =^T

(pois para meio subcríticos a fuga de neutrons não é compensada pela produção de neutrons de fissão mais os da fonte externa) e depois do máximo, ao invés de a densidade de neutrons permanecer constante, decrescerá até um minimo, que será desv prezível se o período for grande comparado com a vida, média 10 dos neutrons..^

Em um trabalho posterior, será feita a análise do efeito dos neutrons atrazados de fissão sobre os resultados obtidos.

(8)

5.

AGRADECIMENTOS

Agradecimentos são devidos ao PROF. MARCELLO DAMY DE SOUZA SANTOS, que primeiro sugeriu o estudo desse problema e ao PROF. PAULO SARAIVA DE TOLEDO, por sugestões valiosas e orientação constante. Também desejo agrade, cer ao PROF. DARCY DILLEN3URG, por diversas discussões interessantes e ao SR. E DUARDO WILNER por sua ajuda nos cálculos numéricos.

RESUMO

0 método simbólico de cálculo desenvolvido por GALLONE, 0R- SONI E SALVETTI, é aplicado ao estudo da distribuição espacial e temporal deneu trons térmicos em meios moderadores e multiplicadores com uma fonte de neutrons rápidos de intensidade oscilante no tempo.

Ê considerado o caso geral de uma fonte de neutrons rápidos punctiforme e periódica no tempo por meio da análise de Fourier e são estudados os casos particulares de pulsos de neutrons rápidos de forma triangular, meia- onda senoidal e retangular produzidos em meios moderadores e multiplicadores e ^ féricos, cilíndricos e paralelepipédicos.

BIBLIOGRAFIA

6

GALLONE, S., SALVETTI, C. (l950), Nuovo Cimento, 7, 482.

GALLONE, S., S A L V E T T I , C (l950), Nuovo Cimento, 7, 626.

GALLONE, S., SALVETTI, C. (l950), Nuovo Cimento, Jj 901.

GALLONE, S., ORSONI, L., SALVETTI, C , (l95l), Nuovo Cimento, 8, 960.

MORSE, P. M., FESHBACH, H. (1953), Methods of Theorical Physics (Mc Graw-Hill Book Co., I n c . ) , _1, 414.