ROBÓTICA (ROB74) AULA 2. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS PROF.: Michael Klug

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ROBÓTICA (ROB74) – AULA 2

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS

PROF.: Michael Klug

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PROGRAMA

• Transformações Geométricas e Coordenadas Homogêneas

– Notações Introdutórias

• Vetores, matrizes, pontos e referenciais

– Transformações Geométricas Elementares – Coordenadas Homogêneas

– Matrizes de Transformação a 3 dimensões

– Orientação e Ângulos de Euler (RPY)

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Ponto e Vetor

• Representado por um vetor coluna

• Vetor associado a um conceito de movimento

ou deslocamento em dada direção e sentido

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Operações

• Produto de um escalar por uma matriz

• Inversão de uma matriz

• Produto Interno (escalar) de vetores

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Operações

• Produto Externo de vetores (produto vetorial)

onde é a base ortonormal do sistema de coordenadas

Obs: anti‐comutatividade

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Referenciais

• Qualquer ponto no espaço pode ser visto de diferentes formas consoante o referencial utilizado

– Sejam os referenciais R e N, tem‐se:

Relação: posição e orientação entre os dois referenciais, ou seja, da forma como se obtém um a partir do outro

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Movimentação de Pontos

• Movimento de q1 para q2 (do mesmo referencial) – translação

• Para um segmento de reta

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Movimentação Complexa

• Translação de figuras mais complexas implica em recalcular todas as novas posições de todos os pontos relevantes.

– Alternativa: definição de um segundo referencial solidário com o objeto a mover

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Transformações Geométricas Elementares

Translação e Rotação:

No espaço: 3 translações e 3 rotações elementares: Trans(x,a),

Trans(y,a), Trans(z,a), Rot(x,α), Rot(y,α) e Rot(z,α)

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Transformações Genéricas

• Notação Genérica:

• p/ Translação: “T=I”

• p/ Rotação

T p

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• Exemplo: Rotação de 90 graus

Transformações Genéricas

Novos Pontos:

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• Forma aumentada de definir as coordenadas de um vetor:

• Matriz de transformação homogênea:

Coordenadas Homogêneas

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• Uma sucessão de transformações traduz‐se na multiplicação das diversas transformações

• IMPORTANTE!!! A ordem das multiplicações (operação das transformações) não é necessariamente comutativa (apenas para os casos de translações e rotações puras)

Transformações Compostas

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Significados da matriz de Transformação:

1) movimentação de ponto:

2) relação de coordenadas em dois referenciais 3) transformação de referenciais

Transformações a 3 dimensões

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• Rotações:

Transformações a 3 dimensões

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• Sejam T1=Rot(45) e T2=Trans(x,a) usadas para criar novos referenciais

• OBS: nestes casos as transformações foram realizadas em relação ao referencial original xy

Pós e Pré Multiplicação

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• Alternativa: aplicar as transformações em relação a cada referencial recém‐criado. Ex: aplicar a rotação e depois a translação ao longo do referencial resultante da rotação

• Conclusão:

– Pré: equivale a aplicar a segunda transformação no referencial global – Pós: equivale a aplicar a segunda no novo referencial

Pós e Pré Multiplicação

Coincide com o segundo caso anterior, Tb.

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• Exercício: Determinar o novo referencial depois de translacionar o original de uma unidade em cada eixo, depois rodá‐lo 90 graus em torno do novo eixo dos yy, translacionar 1 unidade no novo eixo dos xx, e depois translacionar 1 unidade negativa no eixo do zz da referência original.

T=????

Transformações a 3 dimensões

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• Solução:

Obs: Passo 4 – pré‐multiplicação (referencial global), Passos 2 e 3 – pós‐multiplicação (novo referencial)

Transformações a 3 dimensões

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• Obtenção de um ponto (original) a partir de outro (o que era designado de novo)

Transformações Inversas

RELAÇÕES

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• Propriedades Particulares:

Se:

Então:

Transformações Inversas

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Referenciais: W: referencial global de trabalho (bancada ou sala), R: referencial da base do robo, H: referencial do end‐

effector, O: referencial do objeto a pegar, G: referencial do ponto de contato no objeto

Montagem e Grafos

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Montagem e Grafos

• Exemplo: Determinar a transformação a aplicar no

paralelepípedo, e do seu ponto de vista, de tal modo que encaixe

na peça mãe ao longo das arestas assinaladas. Escolheram‐se os

pontos A e B para origem dos referenciais respectivos e

assinalaram‐se os eixos como indicado para satisfazer os

requisitos de alinhamento final.

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Montagem e Grafos

• Exemplo (continuação):

Sabendo que e determinar a transformação necessária a aplicar à peça, do seu ponto de vista, para ela

encaixar, isto é, determinar

^B

T

_A

.

DICA:

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Montagem e Grafos

• Solução:

e portanto

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Orientação e Ângulos de Euler

• Ângulos de Euler: ângulos de rotação em torno de cada um dos três eixos (seu significado depende da combinação de rotação utilizadas). Número de combinações distintas é 12.