Robótica Móvel Controle Cinemático. Prof. Douglas G. Macharet

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Prof. Douglas G. Macharet

douglas.macharet@dcc.ufmg.br

Controle – Cinemático

Robótica Móvel

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Introdução

▪ Modelo cinemático

▪ Cinemática direta → Geometria

▪ Cinemática inversa → Controle

▪ Controle cinemático

▪ Considerando um certo robô e seu modelo cinemático, o objetivo é determinar um conjunto de entradas (velocidades) apropriadas para levar ele de uma posição/configuração inicial até uma final

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Malha aberta

Controle cinemático

▪ Como resolver esse problema em malha aberta?

▪ Especificar um caminho e dividir em segmentos

▪ Formas/trechos bem definidos

▪ Segmentos de reta e arcos de circunferência

▪ Problema de controle

▪ Retas: aplicar uma velocidade de 0,25 m/s durante 4s

▪ E as velocidades nos arcos?

▪ Direção, comprimento

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Malha aberta

Controle cinemático

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Malha aberta

Controle cinemático

▪ Problemas

▪ Não é fácil pré-calcular uma trajetória viável

▪ Limitações e restrições dos robôs

▪ Considerar as velocidades/acelerações que podem ser usadas

▪ Trajetória não é suave (troca entre estados)

▪ Ocorre uma descontinuidade no perfil de aceleração (curvatura)

▪ A trajetória calculada é estática

▪ Não considera possível mudanças e incertezas

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Malha fechada – Holonômico

Controle cinemático

▪ Controle bem simples no caso holonômico

ሶq 𝑡 = G q 𝑢(𝑡)

▪ Se G for quadrada e invertível, é possível obter-se uma relação direta entre a entrada de controle 𝑢 e o erro 𝑒

▪ Lembrando

▪ ሶq 𝑡 : Derivada da configuração do robô

▪ G q : Matriz de transformação

▪ 𝑢(𝑡) : Vetor de controle

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Controle cinemático

▪ Por exemplo, considerando-se uma matriz G identidade e o uso de um controle proporcional, temos:

ሶq = 𝑢, onde 𝑢 = 𝐾_𝑃 ⋅ 𝑒

▪ Logo

ሶ𝑥 ሶ𝑦 ሶ𝜃

=

𝐾_𝑃_𝑥 0 0 0 𝐾_𝑃_𝑦 0 0 0 𝐾_𝑃_𝜃

(𝑥_𝑔 − 𝑥) (𝑦_𝑔 − 𝑦) (𝜃_𝑔 − 𝜃)

Com esses valores podemos determinar as velocidades das rodas.

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Controle cinemático

𝜔₁ 𝜔₂ 𝜔₃ 𝜔₄

= ¹

𝑟

1 −1 −(𝑙 + 𝑤) 1 1 (𝑙 + 𝑤) 1

1

−1 1

(𝑙 + 𝑤)

−(𝑙 + 𝑤)

(1)

(2) (3)

(4)

𝜔₁ 𝜔₂ 𝜔₃

= 1 𝑟

− 3/2 1/2 𝐿

0 −1 𝐿

3/2 1/2 𝐿

ሶ𝑥_𝑅 ሶ𝑦_𝑅 ሶ𝜃_𝑅

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Controle cinemático

▪ Maioria dos robôs são não-holonômicos

▪ Não é possível atuar em todos os DoF

▪ O controle não é tão simples e direto

▪ A matriz G não é quadrada

▪ Diversos controladores na literatura

▪ Vamos ver alguns, mas o projeto não é nosso foco

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Malha fechada – Não-holonômico (Configuração)

Controle cinemático

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Controle cinemático

▪ Encontrar uma matriz 𝐾

𝐾 = 𝑘₁₁ 𝑘₁₂ 𝑘₁₃

𝑘₂₁ 𝑘₂₂ 𝑘₂₃ , onde 𝑘_𝑖𝑗 = 𝑘(𝑡, 𝑒)

▪ tal que o controle de v(𝑡) e 𝜔(𝑡)

v(𝑡)

𝜔(𝑡) = 𝐾 ⋅ 𝑒 = 𝐾 ⋅ ^𝑅 𝑥 𝑦 𝜃 ^𝑇

▪ leve o erro 𝑒 para zero:

𝑡→∞lim 𝑒(𝑡) = 0

Erro no referencial do robô, que representa a coordenada alvo

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Controle cinemático

▪ Assumindo que o objetivo (goal) está na origem do referencial inercial, a cinemática do robô descrita em {𝑋_𝐼, 𝑌_𝐼, 𝜃} é dada por

▪ onde ሶ𝑥 e ሶ𝑦 são as velocidades lineares nas direções 𝑋_𝐼 e 𝑌_𝐼

𝐼 ሶ𝑥 ሶ𝑦 ሶ𝜃

=

cos 𝜃 0 sin 𝜃 0

0 1

v 𝜔

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Controle cinemático

▪ Transformação: Coordenadas Cartesianas → Polares

▪ Descrição mais fácil para esse problema específico

▪ Quais informações do alvo o controlador precisa?

▪ Posição (dist.) → para decidir a velocidade do veículo

▪ Direção → para alinhar o veículo com a posição alvo

▪ Orientação → para ajustar ao ângulo final desejado

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Controle cinemático

𝜃_𝐺

Atenção, os ângulos 𝛼 e 𝛽 devem ser expressos

no domínio −𝜋, 𝜋 !

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Controle cinemático

▪ Seja 𝛼 o ângulo entre o eixo 𝑋_𝑅 e o vetor 𝑥ො que liga a origem do referencial do robô (centro do eixo) até a posição alvo

▪ Se 𝛼 ∈ − ^𝜋

2 , ^𝜋

2 , o erro em coordenadas polares é

▪ 𝜌 = Δ𝑥² + Δ𝑦²

▪ 𝛼 = −𝜃 + atan2 Δ𝑦, Δ𝑥

▪ 𝛽 = −𝜃 − 𝛼 𝜃_𝐺 − atan2 Δ𝑦, Δ𝑥

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Controle cinemático

ሶ𝜌

ሶ

𝛼 ሶ𝛽

=

− cos 𝛼 0 sin 𝛼

𝜌 −1

− sin 𝛼

𝜌 0

v 𝜔 ሶ𝑥

ሶ𝑦 ሶ𝜃

=

0 1

v 𝜔

Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares

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Controle cinemático

▪ Se o alvo está atrás do robô, “redefinimos a frente” → 𝑣 = −𝑣

ሶ𝜌

ሶ

𝛼 ሶ𝛽

=

− cos 𝛼 0 sin 𝛼

𝜌 −1

−sin 𝛼

𝜌 0

v 𝜔

ሶ𝜌

ሶ

𝛼 ሶ𝛽

=

cos 𝛼 0

− sin 𝛼

𝜌 1

sin 𝛼

𝜌 0

v 𝜔

𝛼 ∈ 𝐼₁, onde 𝐼₁ = −^𝜋

2 ,^𝜋

2 𝛼 ∈ 𝐼₂, onde 𝐼₂ = −𝜋, −^𝜋

2 ⋃ ^𝜋

2, 𝜋 Robô de frente para o goal. Robô de costas para o goal.

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Controle cinemático

𝛼 ∈ 𝐼₁ 𝛼 ∈ 𝐼₂

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Controle cinemático

▪ Considerando a lei de controle linear

𝑣 = 𝑘_𝜌𝜌 e 𝜔 = 𝑘_𝛼𝛼 + 𝑘_𝛽𝛽

▪ o seguinte controlador

▪ leva o robô até 𝜌, 𝛼, 𝛽 = (0,0,0)

ሶ𝜌

ሶ

𝛼 ሶ𝛽

=

−𝑘_𝜌𝜌 cos 𝛼

𝑘_𝜌 sin 𝛼 − 𝑘_𝛼𝛼 − 𝑘_𝛽𝛽 𝑘_𝜌 sin 𝛼

𝜔_𝑅 = 𝑣

𝑟 + 𝜔𝐿 2𝑟 𝜔_𝐿 = 𝑣

𝑟 − 𝜔𝐿 2𝑟

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Controle cinemático

𝑘 = 𝑘_𝜌, 𝑘_𝛼, 𝑘_𝛽 = (3, 8, −1.5)

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Controle cinemático

▪ O sinal de controle 𝑣 possui valor constante

▪ A direção se mantém positiva ou negativa

▪ Movimento é feito de maneira suave

▪ Estabilidade

▪ Garante que o robô não irá mudar de direção

▪ 𝑘_𝜌 > 0; 𝑘_𝛽 < 0; 𝑘_𝛼 − 𝑘_𝛽 > 0

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Malha fechada – Não-holonômico (Posição)

Controle cinemático

▪ [De Luca e Oriolo, 1994]

=

0 1

𝑢₁ 𝑢₂

𝑢₁ = 𝑘_𝜌 ሶ𝑥_𝑑 cos 𝜃 + ሶ𝑦_𝑑 sin 𝜃 𝑢₂ = 𝑘_𝜃(atan2 ሶ𝑦_𝑑, ሶ𝑥_𝑑 − 𝜃)

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Malha fechada – Não-holonômico (Posição)

Controle cinemático

▪ [Desai et al., 1998]

𝑣

𝜔 =

cos 𝜃 sin 𝜃

− sin 𝜃 𝑑

cos 𝜃 𝑑

ሶ𝑥 ሶ𝑦

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Considerações finais

▪ Esse controle não é suficiente para tarefas mais complexas

▪ Planejamento de alto nível → Navegação