TEORIA DOS JOGOS COM MODELAGEM EM EXCEL
Giancarlo F. Aguiar,
Depto de Matemática, Instituto Federal do Paraná, IFPR 82530-230, Curitiba, Pr
E-mail: giancarlo.aguiar@ifpr.edu.br
Volmir E. Wilhelm,
Bárbara C. X. C. Aguiar
Universidade Federal do Paraná - Departamento de Matemática80060-000, Curitba, Pr
Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre a Teoria dos Jogos Cooperativos, discorrendo sobre o equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas, tratando de soluções utilizando o teorema Minimax de John Von Neumann, ilustrando a modelagem matemática de um problema de Teoria dos Jogos, e finaliza mostrando a solução do modelo de programação linear utilizando para isto sua modelagem na planilha eletr ônica Microsoft Excel.
1. EXPOSIÇÃO DO PROBLEMA
Entender o comportamento de empresas em situações de mercado vem ocupando destaque entre economistas, matemáticos e interessados. Segundo LEEFLANG (2008), o impacto das decisões em organizações é interdependente e vem sendo amplamente discutido na literatura microeconômica desde o século XIX.
Atualmente muitas empresas tem tratado sua relação de prestadoras de serviços aos consumidores como um jogo, e o jogo como tal, leva em consideração as atitudes de seus jogadores que objetivam a maximização de seus interesses. Segundo ORTI (2008) o jogo vem obtendo maior destaque como metodologia e deve preparar os jogadores para tornar suas empresas competitivas em relação ao mercado.
Por sua vez, como as atitudes dos jogadores podem ser dotadas de pensamento racional, concluímos que o jogo ocorre a cerca de estratégias, o que nos leva a moderar a utilização da Teoria dos Jogos como ferramenta para entender tal comportamento.
A teoria dos jogos tem amadurecido em importância a cerca do pensamento econômico moderno, ela pode ser considerada como uma metodologia e vem sendo utilizada nos vários campos da ciência: biologia (GATENBY e VINCENT, 2003), engenharia (PELDSCHUS, 2008), economia (RABIN, 1993, ROTH, 2002), política (MUNCK, 2000, MESQUITA, 2006), entre outras, com a finalidade de organizar matematicamente as possíveis decisões dos jogadores em meio a um jogo.
2. MÉTODO E FORMULAÇÃO
A seguir teceremos um embasamento teórico sobre a Teoria dos Jogos
Cooperativos, ilustrando o equilíbrio de Nash em estratégias puras e mistas, tratando de
soluções para um jogo utilizando os teoremas Minimax e Maxmin de John Von
Neumann, e ilustrando a modelagem matemática (programação linear) de um problema
com sua solução através da modelagem na planilha eletrônica Microsoft Excel.
2.1. Solução Estratégica ou Equilíbrio de Nash
Definição (Equilíbrio de Nash) Podemos dizer que um perfil de estratégia
é um equilíbrio de Nash se
e com .
Onde é a função de utilidade ou recompensa de um jogador , é uma determinada
estratégia do jogador , é uma estratégia dos demais jogadores que não seja o jogador , e
o sinal (*) representa que a estratégia é um equilíbrio de Nash.
Uma estratégia de um jogador é considerada a melhor jogada a uma determinada
estratégia de outro jogador se não existe outra estratégia disponível para o jogador que
lhe forneça uma recompensa melhor à estratégia escolhida. Esse conceito deve ser estendido para todos os jogadores, ou seja, o Equilíbrio de Nash é uma solução para o jogo em que todas as estratégias tomadas por todos os jogadores sejam sempre as melhores soluções estratégicas para as estratégias adotadas pelos outros jogadores.
Dentre os problemas clássicos apresentados na literatura sobre a Teoria dos Jogos, a batalha dos sexos (FIANI, 2009, CAMERER, 2011) é uma situação fictícia, onde um casal tem de decidir qual será o programa que eles irão participar, por exemplo, no período noturno. O problema descreve três opções de programa: ir a uma partida de futebol; ir ao teatro ou não ir a lugar algum. Este problema está classificado como um problema de estratégias puras.
Quando um jogador decide escolher alternadamente uma estratégia dentre todas as
suas outras estratégias, atribuindo a cada uma delas um peso (probabilidade) e não decide por escolher uma estratégia qualquer (pura), dizemos que o jogador está utilizando uma estratégia mista. Todas as considerações elementares utilizadas para os jogos com estratégias puras podem ser estendidas para as estratégias mistas.
Segundo SARTINI et al (2004), uma estratégia mista para o jogador é uma
distribuição de probabilidades sobre o conjunto de estratégias puras do jogador, isto é, é
um elemento do conjunto
Assim, se , então
O espaço de todos os perfis de estratégia mista é o produto cartesiano, , e é denominado espaço de estratégia mista. Um vetor é chamado um perfil de estratégia mista. Assim como em estratégias puras, utilizaremos a notação para representar as estratégias de todos os jogadores, menos o próprio jogador . Cada perfil de estratégia mista determina um payoff esperado, uma média
Mais exatamente, se
Então
Um jogo de estratégias mistas muito discutido na literatura é o jogo de escolha
entre cara e coroa em moedas, conhecido como
Matching Pennies, que pode ser
estudado em (GOEREE, HOLT e PALFREY, 2003, FIANI, 2009).
2.2. Teorema Minimax e as Estratégias Mistas
A seguir está ilustrado o teorema Minimax de John Von Neumann para problemas com
estratégias mistas.
Teorema Minimax: Se estratégias mistas são permitidas, o par de estratégias mistas que é ótimo
de acordo com o critério Minimax fornece uma solução estável , de tal maneira que
nenhum jogador pode melhorar sua situação mudando a sua estratégia.
Teorema: Um perfil de estratégia é um equilíbrio de Nash de um jogo de dois
jogadores com soma constante definido pela matriz de payoffs do jogador linha
se, e somente se,
Teorema (Minimax de Von Neumann): para todo jogo de soma zero com dois jogadores,
representado pela matriz de payoffs do jogador linha, sempre existe um perfil de estratégia
mista satisfazendo
Em particular é um equilíbrio de Nash do jogo (OLIVEIRA E ARAUJO, 2012).
2.3. Modelagem Matemática de um Jogo
Trataremos aqui um jogo de dois jogadores com três estratégias cada. A matriz de payoff
dos jogadores está ilustrada conforme o quadro 1 a seguir.
Quadro 1 O Jogo da Campanha Política
Politico 2
Um dia em cada bairro
Dois dias no B
Dois dias no CC
Político 1
Um dia em cada bairro 0 -2 2
Dois dias no B 5 4 -3
Considere o jogo entre dois candidatos a prefeitura da cidade de Curitiba. É fundamental realizar o planejamento dos dois últimos dias de campanha. Os políticos pretendem fazer campanha em dois bairros diferentes (Boqueirão-B e Campo Comprido-CC). Cada candidato pode realizar três estratégias: campanha dois dias no Boqueirão, campanha dois dias no Campo Comprido ou campanha um dia em cada bairro.
Com uma breve análise conclui-se que este jogo não possui uma solução Minimax em estratégias puras por se tratar de um jogo sem ponto de sela. Escolhendo o resultado máximo da linha um (2), máximo da linha dois (5) e o máximo da linha três (3), e em seguida o mínimo desses máximos (2), obtemos o valor . Agora escolhendo o resultado mínimo da coluna um (0), mínimo da coluna dois (-2) e o mínimo da coluna três (-4), e em seguida o máximo desses mínimos (0), obtemos o valor . Como , então o jogo não possui uma solução em estratégias puras. Vamos recorrer neste momento a Programação Linear.
Segundo AGUIAR et al (2006) os problemas de programação linear são situações empresariais (problemas de produção, alocação de recursos, planejamento de pessoal, entre outros) que podem ser descritos/modelados matematicamente de forma organizada através de funções e equações, podendo assim, com suas soluções simular situações reais e encontrar alternativas junto às necessidades das organizações. Então o problema do jogador A pode ser escrito como:
v livre
3. MODELAGEM EM EXCEL (SOLUÇÃO DO JOGO)
O modelo anterior pode ser resolvido utilizando algum software de programação linear, contudo neste momento, utilizaremos a ferramenta eletrônica Microsoft Excel para auxiliar no processo de modelagem e resolução (objetivo do trabalho). A figura 1 ilustra os dados inseridos na planilha eletrônica Microsoft Excel. As únicas células que terão fórmulas são as células D3 (=G4) que é a célula da função objetivo e recebe o valor da variável “v”, J9 (=D9*G4+E9*H4+F9*I4+G9*J4) que é a restrição um do modelo, J10 (=D10*G4+E10*H4+F10*I4+G10*J4) que é a segunda restrição do modelo, J11 (=D11*G4+E11*H4+F11*I4+G11*J4) que é a terceira restrição do modelo e J12 (=D12*G4+E12*H4+F12*I4+G12*J4) que é a quarta restrição do modelo.
Na sequência clica-se na ferramenta/aba dados, e em seguida na ferramenta/aba solver (caso não exista a aba solver, o usuário deve personalizar a sua barra de ferramentas no menu principal, procurando a aba mais comandos, em seguida, suplementos, e clicando em solver). A figura 2 (esquerda) ilustra a nova janela que irá abrir. O usuário deverá definir o objetivo clicando na célula D3, em seguida definir se o problema é de máximo ou mínimo (neste caso máximo). Em Alterando Células Variáveis o usuário deverá colocar as células das variáveis ($G$4:$J$4) e em seguida clicar em Adicionar. Uma nova janela irá abrir e o usuário deverá em Referência de Célula clicar na célula (J9), a desigualdade (<=) já estará correta e em Restrição o usuário deverá clicar na célula K9. Clicar em Ok. Realizando o procedimento análogo para as demais restrições, veremos a janela como a da figura 2 (direita).
Figura 2 Ferramentas do Solver
Agora resta clicar em resolver e em seguida Ok, e a solução aparecerá como ilustrado na figura 3 a seguir.
Figura 3 Solução para o jogo
A planilha ilustra a seguinte solução para o jogador A
. Ou seja, o jogador A deve
utilizar a estratégia um sete vezes em cada onze tentativas, a estratégia dois quatro vezes em cada onze tentativas e descartar a terceira estratégia, obtendo o payoff . A solução para o
jogador B pode ser construída de forma análoga.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho mostrou um tratamento teórico para os iniciantes que objetivam conhecer a Teoria dos Jogos, ilustrando um jogo e uma discussão de sua solução (Equilíbrio de Nash para estratégias puras) e um jogo e uma discussão de sua solução (Equilíbrio de Nash para estratégias mistas).
jogadores pode não ter entendido de forma clara as prioridades de seu opositor, ou um deles pode não ter entendido o jogo ou não estar sendo racional em suas decisões.
Neste trabalho também foi ilustrado o teorema Minimax de John Von Neumann e um exemplo de problema com dois jogadores e três estratégias. Mostramos aqui como formalizar a modelagem matemática do problema e como construir passo a passo a modelagem utilizando a planilha eletrônica Microsoft Excel.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] AGUIAR, Giancarlo de França; AGUIAR, Bárbara de Cássia Xavier Cassins; WILHELM, Volmir Eugênio. “Obtenção de Índices de Eficiência para a metodologia Data Envelopment Analysis Utilizando a planilha Eletrônica Microsoft Excel”. Revista daVinci, vol. 3, n. 1, pág. 157-170, Curitiba, Pr, 2006. [2] CAMERER, Colin, F. “Behavioral Game Theory – Experiments in Strategic Interaction”. Published by Princeton University Press, USA, 2011.
[3] FIANI, Ronaldo. “Teoria dos Jogos com Aplicações em Economia, Administração e Ciências Sociais”. Ed. Campus, 3a ed., 8a Tiragem, Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
[4] GATENBY, Robert, A.; VINCENT, Thomas, L. “Application of Quantitative Models from Population Biology and Evolutionary Game Theory to tumor Therapeutic Strategies”. Molecular Cancer
Therapeutics, vol. 2, pág. 919-927, October 2003.
[5] GOEREE, Jacob, K.; HOLT, Charles, A.; PALFREY, Thomas, R. “Risk Averse Behavior in Generalized Matching Pennies Games”. Games and Economic Behavior, vol. 45, issue 1, pág. 97-113, October 2003.
[6] LEEFLANG, Peter S. H. “Modeling Competitive Reaction Effects”. Schmalenbach Business Review, vol. 60, october, 2008.
[7] MESQUITA, Bruce Bueno. “The Evolution of Political Science”. American Political Science Review, vol. 100, issue 4, pág. 637-642, November 2006.
[8] MUNCK, Gerardo, L. “Teoria dos Jogos e Política Comparada: Novas Perspectivas, Velhos Interesses”. DADOS – Revista de Ciências Sociais, vol. 43, n. 3, IUPRJ, Rio de Janeiro, 2000.
[9] OLIVEIRA, Fabrício Alvez; ARAÚJO, Maria Angélica. “O Teorema Minimax de Von Neumann”. Anais do XXXIII CNMAC, Águas de Lindóia, SP, 2010.
[10] ORTI, Paulo Sérgio, RODRIGUES, José de Souza, ALBINO, João Pedro. “Fatores Críticos de Sucesso em Jogos de Empresas”. XV SIMPEP, UNESP, Bauru, 2008.
[11] PELDSCHUS, Friedel. “Experience of the Game Theory Application in Construction Manegement”. Technological and Economic Development of Economy, vol. 14, issue 4, pág. 531-545, Nov. 2008. [12] RABIN, Matthew. “Incorporating Fairness into Game Theory and Economics”. The American Economic Review, vol. 83, n. 5, Dec. 1993.
[13] ROTH, Alvin, E. “The Economist as Engineer: Game Theory, Experimentation, and Computation as Tools for Design Economics”. Econometrica, vol. 70, issue 4, pág. 1341-1378, July 2002.