Capítulo 1. Sistemas de Coordenadas, Forças e Momentos

(1)

Capítulo 1

Sistemas de Coordenadas, Forças e Momentos

1.1 Sistemas de Coordenadas

O estudo da dinâmica do voo e da navegação de uma aeronave requer raciocinar relativamente a sistemas de coordenadas (ou de referência).

1.1.1. Referência inercial, fixa ou terrestre

Referência: ℜ₀ =(xr₀,ry₀,zr₀)

1.1.2. Referência ligada à aeronave (presa à aeronave)

Referência: ℜ_b =(xr,yr,zr)

Rumo da aeronave =(O,Norte,xr) ("O" sendo o CG da aeronave)

1.1.3. Referência aerodinâmica

: velocidade aerodinâmica (vector velocidade)

V

Pode imaginar-se uma referência ℜ_a =(xr_a,ry_a,zr_a) com o eixo longitudinal suportado pelo vector da velocidade aerodinâmica da aeronave. Esta referência chama-se referência aerodinâmica.

) , (O xr_a

(2)

Rota da aeronave =(O,Norte,xr_a) ("O" sendo o CG da aeronave)

Ângulos:

• ângulo de ataque (α)

• ângulo de trajectória (γ )

• ângulo de arfagem (θ)

• ângulo de rolamento (φ)

• ângulo de guinada (ψ )

• ângulo de derrapagem (β)

1.1.4. Velocidade

α β β

α β

sin cos sin

cos cos

V w

V v

V u

=

Portanto:

2

tan 2

arcsin arctan

w u

v V

v u w

= +

=

β β α

Nota-se que V = u²+v²+w²

(3)

Com a velocidade, define-se a pressão dinâmica : Q 5 2

.

0 V

Q= ρ

ρ sendo a densidade do ar no ponto considerado. De facto, ρ depende da altitude do ponto considerado segundo a atmosfera padrão, e é calculada por:

h

[ ]

⎩⎨

⎧

<

−

×

<

×

= − ⁻ ₋

m h

se h

m h

se h h

20000 11000

) 11000 ( 10 576939464 .

1 exp 29707 . 0

11000 )

10 2558 . 2 1 ) (

( ₄

0

256060537 . 4 5 0

ρ ρ ρ

com ρ0 =1.225kg/m³ (densidade do ar ao nível do mar)

1.2 Superfícies de Controlo

1.2.1. Ângulos de manobra da aeronave

Figura 1. Ângulos de manobra

Arfagem: Isto é o movimento da aeronave em torno do seu eixo lateral )

,

(O yr . No entanto, o ângulo de arfagem é o ângulo entre (O,xr₀) e (O,xr) no plano vertical.

(4)

Rolamento: É o movimento da aeronave em torno do seu eixo longitudinal )

,

(O xr . O ângulo de rolamento é o ângulo entre (O,zr₀) e (O,zr) no plano vertical.

Guinada: É o movimento da aeronave em torno do seu eixo vertical (O,zr). Este é medido no plano horizontal. Na maioria das aeronaves, rolamento e guinada actuam acoplados (viragem coordenada).

1.2.2. Superfícies de controlo convencionais

As superfícies de controlo são: o elevador, o leme vertical (rudder) e os ailerons. Estas superfícies produzem forças e momentos aerodinâmicos em decorrer da alteração da sua configuração (deflexão da superfície).

Figura 2. Superfícies de controlo

Profundor (ou elevador): o profundor controla o movimento de arfagem da aeronave. Este é apenas a parte traseira móvel da cauda horizontal. O profundor é um dispositivo articulado preso a uma superfície fixa chamada estabilizador horizontal. O profundor e o estabilizador horizontal formam um aerofólio único, o profundor sendo a parte que altera a curvatura (perfil) deste aerofólio.

(5)

Leme vertical (rudder): o rudder controla o movimento de guinada da aeronave. O rudder é apenas a parte traseira móvel da cauda vertical. Este é um dispositivo articulado preso a uma superfície fixa chamada estabilizador vertical. O rudder e o estabilizador vertical formam um aerofólio único, o rudder sendo a parte que altera a curvatura (perfil) deste aerofólio.

Ailerons: estes controlam o movimento de rolamento da aeronave. Os dois ailerons mexem-se no sentido oposto um ao outro. O ângulo de deflexão do conjunto (dos ailerons) é portanto a média algébrica dos ângulos de deflexão em ambos lados.

1.3 Representação de Atitude

Na secção 1.1 foram definidas a referência terrestre ℜ₀ =(xr₀,yr₀,zr₀), a referência ligada à aeronave ℜ_b =(xr_b,ry_b,zr_b), e a referência aerodinâmica

) , , ( _a _a _a

a = xr yr zr

ℜ com o eixo longitudinal (O,xr_a) suportado pelo vector da velocidade aerodinâmica da aeronave.

A partir da definição dos ângulos nas secções anteriores, deduzem-se facilmente as seguintes matrizes de passagem entre as três referências mencionadas acima:

A matriz de passagem correspondente a ^{[ ]} b T

a⎯⎯→ℜ

ℜ é definida por:

(6)

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

α β

α

β β

α β

α

cos .

0 cos

. cos cos

. cos

sen sen sen

sen

sen sen

T (1)

Para ℜ_b⎯⎯→^{[ ]}^R ℜ₀, a matriz de passagem é:

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

− +

+ +

−

=

φ θ θ φ ψ φ ψ θ

φ ψ φ ψ

φ θ θ

φ ψ φ ψ θ

φ ψ φ ψ

θ θ

ψ θ

ψ

cos . cos .

cos . .

cos .

cos . cos .

. cos .

. cos

. cos .

. cos cos .

cos . cos

. cos

sen sen

sen sen sen

sen sen

R (2)

As matrizes

[ ]

^T ^e

[ ]

^R são invertíveis.

1.3.1. Atitude

A atitude da aeronave é definida, de modo convencional, pelos três ângulos de Euler θ,φ,ψ (o ângulo de ataque α e o ângulo de derrapagem β acrescentam-se na lista de ângulos de atitude nalguns manuais), sendo:

θ: o ângulo de arfagem;

φ: o ângulo de rolamento;

ψ : o ângulo de guinada.

Matrizes de rotação

ψ :

T matriz de rotação da guinada:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0

0 cos

ψ ψ

ψ sen

sen

T (3)

θ :

T matriz de rotação da arfagem:

(7)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

=

θ θ

θ

cos 0

0 1 0

0 cos

sen

T (4)

φ :

T matriz de rotação do rolamento:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

φ φ

φ

φ φ

cos 0

0 0

1

sen

T (5)

Todas as matrizes de rotação acima são invertíveis, portanto as matrizes inversas existem:

, ,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

=

−

1 0 0

0 cos

1 ψ ψ

ψ ψ

ψ sen

sen T

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

−

θ θ

θ

cos 0

0 1 0

0 cos

1

sen

sen T

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

−

φ φ

φ

φ φ

cos 0

0 0

1

sen

sen T

1.3.2. Dinâmica dos Ângulos (de atitude) de Euler

As taxas de atitude são as derivadas dos ângulos de atitude na referência (ligada à aeronave). Estas são:

ℜb

p: taxa de rolamento q: taxa de arfagem r: taxa de guinada

Seja Ωr

o vector da velocidade angular da aeronave com respeito à referência terrestre. Pela definição dos ângulos que definem a atitude da aeronave, tem-se:

(6)

b

a x

y

zr &r &r

&

r =ψ +θ +φ

Ω ₀

(8)

Do outro lado, na referência ℜb, tem-se:

b b

b qy rz

x

pr r r

r = + +

Ω (7)

Portanto, para ter a expressão das taxas de manobra p, q e r, é necessário exprimir zr0 e yra na equação (6) em função de xrb,yrbe zrb. Com a matriz de passagem

[ ]

^R ^{, tem-se:}

b b

b sen y z

x sen

zr₀ =− θ r +cosθ. φ r +cosθ.cosφr (8) Com a matriz ⎡⎣ ⎤⎦T⁻¹ (inversa da matriz

[ ]

^T na equação (1)), vem:

b b

a y sen z

yr =cosφ r − φ r (9)

Substituindo na equação (6) as expressões de zr0 e yraobtidas pelas equações (8) e (9), e tomando em conta a equação (7), chega-se as expressões das taxas de manobra p, q e r:

(10) φ

θ θ φ ψ

φ θ ψ φ θ

θ ψ φ

sen r

sen q

sen p

&

−

=

+

=

−

=

cos . cos

. cos cos

Deduz-se de (10) que:

θ φ ψ φ

φ φ

θ

θ φ φ

φ

cos cos cos

tan ).

cos (

r qsen

rsen q

r qsen p

= +

−

=

+ +

=

&

(11)

1.3.3. Quaterniões

A integração das equações (10) pode permitir saber a atitude da aeronave (neste caso, os ângulos de Euler) ao longo do tempo. No entanto devido ao facto de que os erros crescem ao longo do tempo a integração do sistema diferencial acima dá bons resultados só para relativamente

(9)

pequenos valores de θ, principalmente para θ entre -30º e +30º. Do outro lado para um ângulo de arfagem θ = ±90º, tanθ e 1 cosθ têm valores infinitos, portanto a integração do sistema de equações (10) torna-se impossível para este valor do ângulo de arfagem. Por isso, um outro sistema de equações é portanto necessário para contornar o problema de restrições no que respeita ao ângulo de arfagem. Isto é realizado graças aos quatro parâmetros simétricos de Euler para definir a atitude da aeronave.

Estes são os quaterniões elaborados não por Euler mas por Hamilton.

Pode mostrar-se que um conjunto de eixos (por exemplo a referência ℜ_b ligada à aeronave) pode ser movido para qualquer orientação desejada por uma orientação só em torno de um eixo convenientemente posicionado. Se

1, 2

σ σ e σ3 forem os ângulos definidos por este eixo com respeito aos eixos inerciais ( ,O xr₀), e

( ,O yr0)

( ,O Zr0)

, respectivamente e se μ for esta rotação única que faça mover este conjunto de eixos (por exemplo a referência ℜ_b ligada à aeronave) definido na referência inercial ℜ₀ =(xr₀,yr₀,zr₀) para coincidir com uma referência desejada ℜ =( , , )x y zr r r , então definem-se os quaterniões associados a esta rotação pelos seguintes quatro parâmetros:

0

1 1

2 2

3 3

cos( 2) sin( 2)

sin( 2) sin( 2)

η μ

η σ μ

=

(12.1)

Portanto a atitude da aeronave pode ser descrita com respeito à referência inercial ℜ₀ =(xr₀,ry₀,zr₀) com os elementos do vector de quaterniões:

(13.1)

0 1 2 3

( ^T

η = η η η η )

(10)

Uma vez que se utilizam quatro parâmetros enquanto só três são necessários, impõe-se a seguinte restrição sobre estes mesmos:

(13.2)

2 2 2 2

0 1 2 3 1

η η η η+ + + =

Deste modo, repara-se que cada um dos parâmetros varia entre -1 e 1.

Pode assim mostrar-se as seguintes equações que relacionam os quaterniões aos ângulos de Euler:

0 2 3 1

sinθ =2(η η η η− ) (14.1)

0 3 1 2

2 2 2

0 1 2 3

2( )

tanψ η η η η ₂ η η η η

= +

+ − − (14.2)

0 1 2 3

2 2 2

0 1 2 3

2( )

tanφ η η η η ₂ η η η η

= +

− − + (14.3)

A transformação dos ângulos de Euler para os quaterniões efectua-se pelas seguintes fórmulas:

0 cos( ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )sin( )

2 2 2 2 2 2

φ θ ψ φ θ ψ

η = +

1 sin( ) cos( ) cos( ) cos( )sin( )sin( )

2 2 2 2 2 2

φ θ ψ φ θ ψ

η = −

2 cos( )sin( ) cos( ) sin( ) cos( )sin( )

2 2 2 2 2 2

φ θ ψ φ θ ψ

η = +

3 cos( ) cos( )sin( ) sin( )sin( ) cos( )

2 2 2 2 2 2

φ θ ψ φ θ ψ

η = −

Pode também mostrar-se que:

(11)

0 1 2 3

1 0 3 2

2 3 0 1

3 2 1 0

1 2

p q r

η η η η

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥= ⎢ − ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

(15)

A equação (15) pode também ser reescrita da seguinte forma:

0 0

1

2 2

3 3

0 1 0 2 0

0

p q r

p r q

q r p

r q p

1

η η

− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥= ⎢ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ − ⎥⎦⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&

⎥⎥ (16)

As vantagens do sistema diferencial e da equação de restrição perante os três ângulos de EULER são:

• Aplicam-se a qualquer atitude

• Os erros de posicionamento são limitados

• Cada parâmetro está no intervalo [-1, 1]

Exercício 1: Sejam os seguintes dados no tempo t₀ =0:

0 1 2 3

0.9 1

0.3 , 0.01 ( / )

0.1 0.02

0.3

p

q ra

r η

η η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

d s

s

Utilizando o anexo A1, calcular os valores dos ângulos de Euler para a com um passo de discretização temporal

0 0

t = t_f =1s 0.01

Δ =t , assumindo que as taxas angulares permaneçam constantes.

(12)

1.4. Convenção de Sinal

Figura 3. Convenção de sinal

1.5. Forças e Momentos

1.5.1 Forças

As forças que actuam sobre a aeronave são designadas por X,Y e Z (figura 4) em correspondência com o sistema de referência ligada à aeronave. Os termos X,Y e Z podem ser visualizadas como componentes do vector resultante de todas as forças que estão a actuar no centro de gravidade da aeronave.

(13)

Figura 4. Forças e momentos na referência da aeronave

Com estas forças, definem-se os seguintes coeficientes aerodinâmicos:

QS

C_X = X (coeficiente da força longitudinal)

QS

C_Y = Y (coeficiente da força transversal ou lateral)

QS

C_Z = Z (coeficiente da força vertical)

onde é a pressão dinâmica, e a superfície de referência da asa. Q S

(14)

Olhando estas mesmas forças na referência aerodinâmica, obtêm-se:

Figura 5. Forças e momentos na referência aerodinâmica

L: a força de sustentação, D: a força de arrasto, T: a força de tracção,

mg

W = : peso da aeronave (m: massa da aeronave; g: aceleração da gravidade).

Tem-se:

L

QSC L=

D

QSC D=

CL sendo o coeficiente de sustentação e CDo coeficiente de arrasto.

(15)

Na fase estacionária (da tracção), a tracção pode ser expressada por:

.Tmax

T =δ_T

onde δ_T é a posição da manete, e a tracção máxima disponível. De facto, a tracção máxima disponível depende da altitude de voo e da velocidade aerodinâmica V da aeronave. Portanto, pode escrever-se:

Tmax

Tmax h

) , ( .T_max hV T =δ_T

Na fase transitória (da tracção), a variação da tracção T em função da posição δ_T ∈

[

0,1

]

da manete é modelada por uma equação diferencial da primeira ordem:

) ) , ( 1(

max hV T

T

T = δ_T −

& τ

onde τ é a constante do tempo do motor (ou do sistema de propulsão).

A tracção Tmax é calculada segundo a seguinte relação:

λ μ

ρ ρ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

0 2

, 0

* max max

) ) (

,

( h

t T t V h T

K K

Onde os parâmetros λeμcaracterizam o tipo de motor, e é a potência total do motor, e são respectivamente as temperaturas absolutas (graus Kelvin) na altitude de voo da aeronave e no nível do mar na atmosfera padrão. A tabela 1, em baixo, dá valores indicativos dos parâmetros do motor segundo o tipo de motor.

*

Tmax

tK t₀_,_K

(16)

Tabela 1: Parâmetros da tracção

Tipo de propulsor λ μ

Reactor subsónico 0 1

Reactor supersónico 1 1

Turbopropulsor, motor a pistão

-1 1

foguete 0 0

Reactor duplo fluxo entre –1 e 0 1

Nota-se também que em geral os valores de podem ser obtidos experimentalmente para vários valores de V e de como na tabela 2 em baixo. Neste caso pode criar-se uma função que aproxime o valor da tracção para dados valores de V e de que não estejam necessariamente na tabela.

Tmax

h

Tabela 2: Exemplo de tabela de tracção em função da velocidade (V) e da altitude (h)

h (m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 83.4 78.7 74.1 69.7 65.4 61.3 57.4 53.6 50.0 46.5 43.2 5 75.1 70.8 66.6 63.3 59.5 55.7 52.7 49.2 46.4 43.2 40.5 10 69.7 65.7 62.2 58.8 55.2 52.0 48.9 45.9 43.1 40.3 37.6 15 64.4 61.0 57.6 54.2 51.0 48.0 45.1 42.4 39.7 37.1 34.7 20 59.9 56.6 53.3 50.3 47.5 44.6 41.9 39.3 36.8 34.4 32.1

V m/s) 25 56.1 53.0 50.1 47.2 44.5 41.9 39.3 36.9 34.6 32.3 30.2

30 53.3 50.4 47.5 44.8 42.2 39.8 37.4 35.1 32.8 30.7 28.6 35 50.9 48.1 45.4 42.8 40.3 38.0 35.7 33.4 31.3 29.3 27.3 40 48.7 46.0 43.4 40.9 38.6 36.3 34.1 31.9 29.9 27.9 26.1 45 46.4 43.9 41.4 39.0 36.8 34.6 32.4 30.4 28.5 26.6 24.8 50 44.1 41.7 39.3 37.1 34.9 32.8 30.7 28.8 26.9 25.2 23.4 55 41.7 39.4 37.2 34.9 32.9 30.9 29.0 27.2 25.4 23.7 22.0 60 39.3 37.2 34.9 32.9 31.0 29.1 27.3 25.6 23.8 22.3 20.7

(17)

1.5.2 Momentos

Os momentos que actuam sobre a aeronave são (ver figura em cima):

L: momento de rolamento,

M : momento de arfagem,

N: momento de guinada,

Estes momentos permitem definir os seguintes coeficientes de momentos:

QSb

C_l = L (coeficiente do momento de rolamento)

c QS

C_m= M (coeficiente do momento de arfagem)

QSb

C_n = N (coeficiente do momento de guinada) onde é a envergadura de referência. b

1.6. Variáveis de Controlo Convencionais

O papel das superfícies de controlo acima referidas implica que as variáveis convencionais para o controlo da aeronave são:

δe: deflexão do elevador,

δr: deflexão do leme vertical (rudder), δa: deflexão dos ailerons,

δT: posição (fracção) da manete de potência,

(18)

Anexo A1 – Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

O modelo de um sistema controlado é descrito por:

) , (x u f x&=

onde x∈ℜⁿ é o vector de estado e u∈ℜ^r o vector de controlo.

Notações:

o passo da simulação.

: h

, , ) k=0,1,2,...

( _k

k x t

x ≡ t_k =t_k₋₁+h: o tempo no k^º passo;

; )

k

( _k

k u t

u ≡

1. Método de Euler

Assumindo x₀ dado, os estados do sistema em t₁,t₂,...,t_k,... são determinados por:

1 ( , )

k k k

x ₊ =x +hf x u

2. Método de Euler Modificado

(

1 ( , ) ( ( , ), )

k k 2 k k k k k k

h

)

x ₊ =x + f x u + f x +hf x u u

3. Algoritmo de Butcher

), , (

1 h.f xk uk

k =

), , 4 (

. ₁

2 h f xk k uk

k = +

), , 8 8 (

. ₁ ₂

3 h f xk k k uk

k = + +

), , 2 (

. ₂ ₃

4 h f xk k k uk

k = − +

), , 16 9 16 3 (

. ₁ ₄

5 h f xk k k uk

k = + +

).

, 7 8 7 12 7 12 7 2 7 3 (

. ₁ ₂ ₃ ₄ ₅

6 h f xk k k k k k uk

k = − + + − +

) 7 32 12 32 7 90(

1

6 5 4

3 1

1 x k k k k k

x_k₊ = _k + + + + +