MODELO MULTICRITÉRIO DE APOIO A DECISÃO PARA O PLANEJAMENTO DE MANUTENÇÃO PREVENTIVA UTILIZANDO PROMETHEE VI EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA.

A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

MODELO MULTICRITÉRIO DE APOIO A DECISÃO PARA O

PLANEJAMENTO DE MANUTENÇÃO PREVENTIVA UTILIZANDO

PROMETHEE VI EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA.

Cristiano Alexandre Virgínio Cavalcante

UFPE; Cx. Postal 7462, Recife -PE, 50.630-970, cristiano@ufpe.br Adiel Teixeira de Almeida

UFPE; Cx. Postal 7462, Recife -PE, 50.630-970, aalmeida@ufpe.br

Heldemarcio Leite Ferreira

CELPE; R

ua Isaac Marckman, 421 Bongi, CEP 50751-370 - Recife - PE heldemarcio@celpe.com.br

RESUMO

Ferramenta estratégica para redução dos custos e incremento da disponibilidade da planta, a Manutenção Preventiva, nos últimos anos, tem-se tornado bastante popular com um crescimento significativo de sua aplicação nas industrias. Apesar da existência de uma grande quantidade de modelos que tratam desta problemática, em muitas situações em que não se tem dados de falhas ou estes são pouco confiáveis e, além disso, deseja-se observar o comportamento de mais de um aspecto ao se estabelecer a periodicidade da manutenção preventiva, estes modelos fornecem resultados pouco satisfatórios. Neste contexto, este artigo trás um modelo de decisão que, fazendo uso do método multicritério PROMETHEE VI e de análise Bayesiana, permite que se estabeleça a periodicidade da manutenção preventiva, observando-se o parâmetro custo e confiabilidade, além disso, permite que a ausência de dados não seja um empecilho para a estipulação destes tempos.

Decisão Multicritério, Manutenção Preventiva, Políticas de Manutenção, Substituição. ABSTRACT

As a strategic tool to reduce costs and increment the availability of the plant, Preventive Maintenance has become quite popular over the last years due to the significant increase of its application in industries. Despite the great quantity of models that deal with that problem, these are less than satisfactory in many situations when failure data are inexistent or not too reliable and when the observation of the conduct of more than one aspect is desirable to establish the periodicity of Preventive Maintenance. In such context, this article offers a model of decision by making use of the multicriteria method PROMETHE VI and the Bayesian analysis, which allows to establish the periodicity of the Preventive Maintenance, observing the costs and reliability parameter and also permitting the lack of data not to be an impediment in the stipulation of those timings.

Multicriteria Decision, Preventive Maintenance, Maintenance Policies, Replacement. Introdução

particular, muitos são os modelos que estipulam um tempo mais adequado, para que equipamentos ou partes de equipamentos sejam substituídas por outros novos, a fim de se evitar que as falhas se dêem A este procedimento, chama-se política de substituição que merece destaque, uma vez que envolve investimentos altos e a sua não execução ou um planejamento inadequado geram prejuízos ainda maiores, ao longo do tempo.

A grande relevância da manutenção preventiva, aqui tomada como sendo o plano de substituição de equipamentos, se dá, pelo fato de que todos os equipamentos falham e estas falhas geram grandes conseqüências aos processos produtivos, as quais nem sempre são de mesma gravidade e, a depender da situação, relaciona-se com variáveis diferentes. Porém, a despeito do tipo de sistema de produção e de outras variáveis circunstanciais, o que se deseja, de forma geral, é se antecipar às falhas, a fim de que, os custos sejam reduzidos e a confiabilidade seja mantida em níveis admissíveis. Neste sentido, a Manutenção Preventiva exerce papel bastante relevante de preservar o sistema produtivo em estados específicos de performance e dar incrementos necessários a sua confiabilidade, através de ações que se antecedem as falhas evitando seus altos custos.

1. A Manutenção Preventiva

As ações que procurando prevenir a ocorrência de falhas, antecipam-se através da substituição de partes do sistema que apresentem grande probabilidade de falha, constituem a manutenção preventiva que na terminologia empregada neste trabalho refere-se ao plano de substituição de peças de equipamentos ou partes que podem falhar em operação, a menos que uma substituição seja feita a tempo. O problema do plano de substituição torna-se complicado, a medida em que as incertezas presentes no problema são consideradas. Tipicamente considera-se a incerteza quanto ao tempo de falha do equipamento (t), de modo que este tempo é considerado uma variável aleatória (Glasser, 1969). E como uma variável aleatória deverá ter sua distribuição de densidade obtida através dos dados de falhas. Uma dificuldade se impõe nos modelos clássicos de substituição de equipamento, uma vez que lhes é essencial que se conheça a distribuição de falhas, sob a hipótese que não há nenhuma incerteza quanto a mesma. Contudo, muito comum é a ausência completa ou a presença de uma quantidade insuficiente destes dados que com freqüência são, ainda, não confiáveis.

1.1 Estimação das Funções de Densidade dos Tempos das Falhas

Na construção de uma distribuição de falha deve-se partir de qualquer evidência empírica na forma de dados históricos, ou julgamento ou qualquer combinação de ambos. Muitas vezes quando existem dados aproveitáveis em grande quantidade, pode-se construir uma distribuição de probabilidade diretamente a partir dos dados Porém, nem sempre é fácil se fazer à descrição e associação dos dados com a teoria de planejamento de substituição, como também, nem sempre os dados são suficientes para descrever a probabilidade de falha em vários intervalos de tempo com uma boa precisão. Uma alternativa aproximada para se descrever uma função padrão de tempo até falhar é assumir uma distribuição de falhas e então estimar os parâmetros da função assumida. A adoção de tal padrão, muitas vezes, simplifica a análise matemática, na aplicação da teoria da substituição e traz vantagens estatísticas na obtenção dos dados. Aliás, já existem várias funções matemáticas que poderiam ser usadas para descrever uma distribuição de probabilidade de falhas. No entanto, cada função possui propriedades distintas, de sorte que uma análise consiste em escolher a função cujas propriedades mais se pareçam com os conhecimentos que se têm da situação de estudo (Kobbacy et al, 1997). Aqui se adota a distribuição Weibull que é útil em uma variedade de aplicações, particularmente para o modelo da vida de dispositivos. Esta, também tem sido muito usada como distribuição da resistência de certos materiais (Weibull, 1951). A distribuição Weibull também é um modelo adequado para sistemas de vários componentes, onde a falha seja decorrente da mais grave irregularidade ou imperfeição dentro de um grande número de imperfeições do sistema. Largamente usada, assume uma variedade muito grande de formas e por isso é bastante flexível, podendo ser empregada para diversos tipos de dados (Nelson, 1982).

β- parâmetro de forma η- parâmetro de escala

Pode-se observar um papel muito importante de β na função taxa de falhas, donde se deriva as diferentes fases da curva da banheira (Barlow e Prochan,1965).

β=1, a taxa de falhas é constante, tem-se a função exponencial como um caso particular. β>1, a taxa de falhas é crescente. Neste caso, a fase três da curva da banheira pode ser modelada.

β<1, a taxa de falhas é decrescente. Neste caso, a fase um da curva da banheira pode ser modelada.

Funções importantes relacionadas com a variável aleatória tempo até a falha (t) são mostradas logo abaixo:

Função densidade de probabilidade:

[ ]

_β

[

( _η)β

]

η

η

β

1 / / ) / ( ) (_{t t e} t f = − − 1

A função confiabilidade é dada por:

( )

[

_/ηβ

]

)

(_{t e} t

R = − 2

A função relativa à taxa de falhas cuja densidade é uma Weibull é a seguir apresentada:

[ ]

1

/

)

/

(

)

(

=

β

η

η

β−

λ

t

t

3

2. Aspectos da Manutenção Preventiva

A manutenção preventiva é apropriada para equipamentos cujas taxas de falha crescem com o uso. Não há sentido em se efetuar a substituição ou manutenção preventiva na fase operacional de um item, quando a função taxa de falhas é constante, uma vez que não há contribuição alguma para o sistema com esta ação e, desta forma, isto se revela como antieconômico. Primeiro, porque se esta taxa de falhas é constante não iria diminuir e, depois, se a taxa de falhas for decrescente, a substituição provocaria um incremento na taxa de falhas inicial. Consequentemente, a distribuição exponencial não é útil nos problemas para os quais o planejamento de substituição é adequado ( Glasser, 1969; Goldman & Slattery, 1977; Lewis, 1997).

Neste contexto, é considerado neste trabalho o modelo apresentado na Figura 1, em que: A taxa de falha dos equipamentos é crescente com o tempo;

Os equipamentos tendo seus dispositivos substituídos, voltam ao estado de novo e suas falhas podem ser melhor representadas pelas seguintes distribuições: WEIBULL, NORMAL TRUNCADA e a GAMA, que se caracterizam por poderem representar o desgaste de um item, próprio da fase 3 da curva da banheira (Almeida & Souza, 2001).

Figura 1 – Comportamento da taxa de falhas com a substituição mi realizadas em

diferentes instantes 2.1 Políticas de substituição

Os métodos e os modelos de substituição são aspectos bastante importantes na manutenção preventiva, eles garantem uma diminuição dos custos referentes às substituições, procurando, de uma melhor forma, atender às necessidades de sistemas diferentes.

baixo, o que acarreta vários custos operacionais, e o equipamento estiver obsoleto. (Dekker, 1996). Desta forma, novamente, observa-se a importância do monitoramento simultâneo da confiabilidade e do custo, na tomada de decisão quanto ao momento adequado para se fazer a substituição de um dispositivo. Há vários modelos que tratam desta problemática, contudo, se caracterizam como procedimentos de otimização onde se deseja minimizar o parâmetro custo através da escolha de um tempo ótimo.

3. O problema

Como já se pode perceber, o problema principal no estabelecimento de uma política de manutenção preventiva repousa na escolha do tempo entre estas manutenções ou na freqüência com que elas são feitas, uma vez que o estabelecimento do tempo conduz a diferentes comportamentos dos aspectos mais importantes envolvidos com o funcionamento do equipamento, sejam estes: confiabilidade ou custos de manutenção e, não obstante, estes aspectos são conflitantes, corroborando, desta forma, o caráter multicritério deste problema, onde os diferentes aspectos são os critérios, na linguagem desta metodologia; e os diferentes tempos são as alternativas, e, além disso, se deve levar em conta aspectos subjetivos do decisor para o estabelecimento de uma decisão mais adequada, tais como: a importância de cada critério ou qual a sua percepção de prejuízo ou benefício destes.

Devido à natureza aleatória do comportamento das falhas, o problema ganha um salto de complexidade bastante significativo, inserindo-se dentro do problema principal, diversos outros problemas. Considera-se, então, sob esta visão, que as diversas abordagens clássicas existentes no tratamento para o estabelecimento de uma política de substituição solucionam apenas parte dos problemas, sem alcançar o problema principal que requer uma solução de compromisso entre os diversos critérios. Elas tomam um critério ou uma relação entre dois destes inúmeros aspectos, tal como a razão, e estabelecem um modelo que permite escolher um tempo entre substituições (tp) que maximize ou minimize o critério ou a relação avaliada.

Além do mais, como hipóteses mais comuns nestes modelos, tem-se a consideração que os dados são grandes o suficiente, para se obter a distribuição que modela o comportamento das falhas destes equipamentos, não havendo nenhuma dúvida referente aos parâmetros desta; uma outra hipótese é, que as atividades de manutenção preventiva podem ser realizadas a qualquer tempo, o que constitui um conjunto contínuo de alternativas de tempo.

Todavia, na vida real é muito comum não haver dados sobre as falha de equipamentos, no ambiente de manutenção e, além disso, sabe-se que há uma dificuldade deveras grande para se agendar uma tarefa de manutenção preventiva, uma vez que a produção resiste fortemente às paradas de máquina. Tais constatações, dificultam o uso dos modelos que têm como base as hipóteses acima e, por outro lado, revelam um grande espaço, para a criação de novos modelos que tratem das dificuldades supracitadas.

No que diz respeito ao tratamento da carência de dados e conseqüente incerteza quanto as distribuições ou sobre os parâmetros de uma distribuição especifica, faz-se aqui a proposição de modelos multicritério que têm como uma das etapas principais o tratamento de situações de ausência de dados, através da análise Bayesiana.

4. Abordagem Multicritério

Sendo assim, objetivando considerar o custo (Cm) e a confiabilidade (R) na decisão sobre a periodicidade das ações de manutenção preventiva, toma-se o método PROMETHEE VI da família de métodos PROMETHEE, isto porque ele tem como característica principal a apropriação a situações em que o decisor não consegue ou não quer estipular um valor fixo de peso para cada critério, seja por qualquer motivo relacionado a quem decide ou pelo fato que o decisor não se resume em uma única pessoa e, sim, numa comissão de decisão que não consegue chegar num consenso entre seus participantes sobre um valor fixo de peso para cada critério. Sem embargo, estabelecendo-se uma faixa de valores, a tarefa torna-se mais fácil. Assim, o decisor pode escolher faixas de pesos em que é mais provável alcançar o valor certo do peso ou importância de cada critério. Como resultado deste modelo, têm-se ordenamentos completos para diversas faixas de valores de pesos.

O método PROMETHEE (Preference Ranking Method for Enrichment Evaluation) (Brans & Vincke, 1985), consiste em construir uma relação de sobreclassificação de valores (Vincke, 1992).

Os métodos PROMETHEE foram propostos pela primeira vez em 1982 e desde então não cessaram de ser objeto de desenvolvimento e adaptações complementares (Brans & Mareschal, 2002).

Eles são utilizados em problemas multicritério do tipo:

Max{ f1(x), f2(x), ...., fj(x), ...., fk(x)

∀

x

∈

A}

Onde A é um conjunto finito enumerável de n ações potenciais em fj(.), j=1,2,...,k, k critérios que são as aplicações de A sobre o conjunto dos números Reais, cada critério tem unidades próprias e não tem restrições no caso em que certos critérios são para maximizar e outros são para minimizar.

A utilização do PROMETHEE exige o conhecimento de alguns conceitos utilizados na construção de uma relação de sobreclassificação, tais conceitos são apresentados a seguir:

• wj é o peso de cada critério, é apresentado em uma escala de razão e este significa a importância que o critério tem.

• fj(a) é o valor ou o desempenho da alternativa a em relação ao critério j.

• Fj(a,b) é a função de preferência, chamada também de critério generalizado, valor

que varia de zero a um e representa o comportamento ou atitude do decisor frente às diferenças proveniente da comparação par a par entre as alternativas, para um dado critério. Comumente são apresentadas seis formas mais utilizadas.

• q representa um limite de indiferença, o maior valor para [fj(a) - fj(b)] abaixo do qual existe uma indiferença.

• p representa o limite de preferência, o menor valor para [fj(a) - fj(b)] acima do qual existe uma preferência estrita.

• π(a,b) é o grau de sobreclassificação de a em relação a b. É calculado por:

( )

, ( , ) 1 1 _{w F a b} b a n j j j W

∑

= =

π

onde,

∑

= = n j j w W 1 4

• Φ+_{(a) é chamado de fluxo de saída e representa a média de todos os graus de}

sobreclassificação de a com respeito a todas as outras alternativas, é dado pela expressão: Φ+_{(a) =}

∑

( )

∈A

−

b

n

b

a

1 ,

π

5 Quanto maior Φ+_{(a), melhor a alternativa.}

• Φ-_{(a) é chamado de fluxo de entrada, representa a média de todos os graus de}

sobreclassificação de todas as outras alternativas sobre a, é dado pela expressão:

O decisor deve estabelecer para cada critério um peso wj que aumenta com a importância do critério. O PROMETHEE apresenta seis formas diferentes de o decisor representar suas preferências, não necessariamente usando a mesma forma para todos os critérios, são critérios gerais, usados para identificar a intensidade da preferência. De acordo com o modo com que a preferência do decisor aumenta com a diferença entre o desempenho das alternativas para cada critério [fj(a) - fj(b)], ele pode definir uma função Fj(a,b) que assume valores entre zero e um. Estes valores aumentam se a diferença de desempenho, ou a vantagem de uma alternativa em relação à outra aumenta, e, é igual a zero, se o desempenho de uma alternativa é igual ou inferior ao da outra.

Estabelecidas as intensidades de preferências, obtém-se o grau de sobreclassificação

( )

a,b

π

para cada par de alternativas (a,b).

Em seguida as alternativas são ordenadas de diferentes formas, conforme a percepção do decisor e o seu resultado esperado.

5. Abordagem Bayesiana

Além da metodologia multicritério adotada afim de se poder tratar simultaneamente mais de um critério, foi adotada a metodologia Bayesiana, quando não há dados o suficiente ou ausência completa de dados, de modo a se obter os parâmetros da distribuição, que sobre as evidências de experiência anterior modelam bem estes tipos de dados. Desta forma, os parâmetros da distribuição Weibull são considerados variáveis aleatórias θ1 e θ2 então deve-se elicitar as distribuições a priori do conhecimento do especialista sobre estas variáveis π(θ1) e

π(θ2).

O modelo do conhecimento a priori de um especialista se baseia na hipótese de que um especialista tem uma idéia razoável, ou seja, uma expectativa sobre a distribuição de probabilidade subjetiva de uma variável θ representativa do estado da natureza, a qual pode ter um caráter aleatório ou não. (Martz & Waller, 1982).

6. Estrutura do Modelo de Decisão

De uma forma geral, deseja-se estabelecer uma relação de compromisso “ trade off” entre os critérios envolvidos dentro da problemática de escolha de um tempo entre substituição ou problemática de ordenamento das alternativas destes tempos. A política de substituição, aqui considerada, é a de substituição por idade, em que um dado equipamento é escolhido, devido a sua importância dentro da planta industrial e os tempos de suas falhas devem ser cuidadosamente registrados em um banco de dados. Nesta política, um equipamento é substituído ao atingir uma idade preestabelecida tp e na ocorrência de uma falha. Em ambos os casos, o equipamento novo é submetido as mesmas regras.

O modelo proposto aqui se visto de forma criteriosa, conserva bastantes vantagens dos modelos clássicos de substituição de equipamentos - que surgiram a partir de uma derivação do modelo de substituição por idade inicialmente proposto por Barlow e Prochan (1965). E mais recentemente é apresentado num Survey abrangendo diversos modelos de substituição (Dekker, 1996) – e, por isto, utiliza muitos dos elementos conceituais e pode ser considerado um modelo de substituição por idade híbrido em que a confiabilidade, além do custo de manutenção esperado por unidade de tempo, pode ser considerada como critério de escolha, sem olvidar às situações em que há incertezas quanto aos parâmetros da distribuição de falhas e quando o conjunto de alternativas de tempos tp for discreto.

Considera-se que a manutenção é feita sob oportunidade, sendo assim, há um número finito de alternativas de tempos de substituição que correspondem a algumas datas ou valor de tempo decorrido cuja substituição far-se-ia oportuna, são os momentos em que se tem disponibilidade de se fazer além da manutenção, outra atividade extra. Como as atividades extras são efetuadas a uma periodicidade fixa, as alternativas deverão ser, assim, valores de tempo que, sejam múltiplos desta periodicidade.

significam respectivamente o custo de manutenção corretiva, devido a uma falha que se deu antes do tempo previsto para substituição tp e o custo da manutenção preventiva, devido às ações que são efetuadas antes que a falha se dê incluindo a aquisição do equipamento. Através destes, obtém-se a relação K que significa a razão entre Ca/Cb (o custo relativo). Além desses dados de entrada, a distribuição de densidade de probabilidade que modela os tempos até as falhas dos equipamentos deve ser fornecida, caso se assuma que se têm dados de falhas o bastante para obtê-la, caso não, aplica-se a metodologia Bayesiana citada no tópico anterior.

6.1 Parâmetro Custo Esperado por Unidade de Tempo

Para se entender o aspecto custo esperado de manutenção por unidade de tempo, aqui considerado como um dos critérios de decisão, faz-se necessário voltar a abordagem clássica do modelo de substituição por idade, em que esta grandeza é considerada a função objetivo que se queria minimizar.

O custo esperado relativo a utilização de uma política de substituição por idade é dado pela expressão abaixo:

[

1 ( )

]

) ( ) ( ) ( ) ( 0 t F c t F c dx x f c dx x f c t C b a t t b a − + = + =

∫

∫

∞ 7 Como a substituição pode ser dada em duas situações, quais sejam, quando o item falha antes do tempo t e quando o item atinge um tempo de vida t, a expressão do custo deve refletir estas duas situações. Na expressão acima, o custo relativo a uma falha antes do tempo t é dado pelo primeiro termo da expressão, já a outra situação é expressa pelo segundo termo da expressão. Na verdade, o custo esperado unitário é composto pelos dois custos Ca e Cb ponderados por suas respectivas probabilidades de ocorrência.

Um outro conceito bastante importante é o período esperado de uso que expressa o tempo médio de uso de um determinado equipamento. Sabendo-se que um equipamento pode ser usado até que falhe ou até que seja substituído, a expressão do uso esperado deve refletir, também, estas duas situações:

∫

+

∫

∞ = t t dx x f t dx x xf t T 0 ) ( ) ( ) ( 8

Custo Esperado por Ciclo Esperado 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0 5000 10000 15000 20000 25000 Tp C m (tp )

Figura 2 – comportamento do parâmetro Cm (razão do custo em unidade monetária pelo tempo em hora) com o Tp (tempo em hora).

6.2 O parâmetro confiabilidade R(tp)

Com a finalidade de se estudar o comportamento da confiabilidade, faz-se a observação dos valores de confiabilidade para os valores de tempo entre substituições dos equipamentos que constam no conjunto de alternativas. A confiabilidade tem o comportamento de uma função monotonicamente decrescente, ou seja, ao se prolongar os tempos entre substituição, a probabilidade do equipamento falhar aumenta e quanto menor o tempo que um equipamento leva para ser substituído mais confiável ele é. Através da figura 3, pode-se observar este comportamento. C o n f ia b ilid a d e X T p 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0 T p R(Tp)

Figura 3 – Comportamento da confiabilidade com os tps dados em hora 6.3 Tratamento de Incertezas do Modelo Multicritério de Apoio a Decisão

O que se deseja neste momento é superar as incertezas, caso existam, e considerar os dois critérios simultaneamente, maximizando o critério que se faz favorável e minimizando o que gera desconforto. Neste sentido, não se deseja o crescimento do custo, desta forma, o decisor tentará, em suas ações, minimiza-lo. Contudo, por outro lado, a confiabilidade tanto é melhor quanto maior for o seu valor, neste contexto, deseja-se maximizar este critério. Considera-se então as expressões abaixo:

)

(

Cm

tp

Minimizar

9

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∞ ∞+ ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − + + t t t t b a d dxd x f t d dxd x xf d dxd x f c d dxd x f c 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

β

η

η

π

β

π

β

η

η

π

β

π

β

η

η

π

β

π

β

η

η

π

β

π

10

O aumento da confiabilidade dos equipamentos é uma busca incessante no ambiente de manutenção. Desta forma, o seu crescimento representa uma situação bastante agradável, razão pela qual, o decisor tentará maximiza-la em suas ações.

)

(

tp

R

Maximizar

11

No caso de incerteza em ambos os parâmetros da distribuição Weibull, a expressão acima toma a seguinte forma:

∫ ∫ ∫

∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ −

−

t

π

(

β

)

π

(

η

)

f

(

x

)

dxd

η

d

β

1

12

Ambos os processos de maximização de R e minimização de Cm, se dão pela escolha de um valor de t que representa a variável tp dentro das expressões.

Neste ponto, os valores de tempo recebem avaliações quanto ao custo de manutenção por unidade de tempo (Cm) e quanto ao critério confiabilidade (R). Gerando-se, neste caso, a matriz de desempenho dos critérios, ou seja, da confiabilidade e do custo esperado por unidade de tempo.

f

_ij , que corresponde a avaliação da alternativa i sobre o critério j.

Tabela 1 – Desempenho das alternativas

R F2 A1 R(a1) Cm(a1) A2 R(a2) Cm(a2) : : : Ai R(ai) Cm(ai) : : : An R(an) Cm(an)

Em geral, os dados da tabela 1 não induzem um ranke das alternativas de A e nenhuma alternativa é ótima em todos os critérios simultaneamente, devido aos conflitos existentes. Neste contexto, faz-se necessário o uso de uma abordagem multicritério. (Chareonsuk et al, 1997)

Como largamente já discutido, anteriormente, a metodologia PROMETHEE, apesar de não se tratar de uma teoria fundamentada em axiomas, foi escolhida face a forma com que avalia as alternativas: através de comparações relativas, onde uma alternativa não pode ser julgada boa por si só, pois é necessário que seja observado o desempenho desta alternativa frente as outras. Sendo assim, como se dá em muitos processos de julgamento de valor pessoal, na vida real, o decisor, observando duas alternativas (a,b), visualiza a diferença entre elas dj(a,b) com respeito aos desempenhos respectivos para um dado critério j, e então afirma sob seu ponto de vista, representado por uma função chamada de critério generalizado Fj(dj(a,b)), se uma alternativa é melhor (aPjb), é tão boa quanto (aIjb), é pior (bPja) ou se não podem ser comparadas (aRj’b). A partir de então, pode-se rankear as alternativas, considerando não apenas um critério, mas todos eles.

O rankeamento é obtido, através dos fluxos líquidos, as alternativas com fluxos líquidos maiores são consideradas melhores e estas podem ser ordenadas. No PROMETHEE VI os rankes são obtidos para diferentes intervalos de pesos. Sendo assim, o resultado final é uma tabela de intervalos com diferentes ordenamentos. A melhor alternativa para cada um dos ordenamentos é a de maior fluxo líquido.

Baseado em uma aplicação feita no contexto de uma empresa de distribuição de energia, faz-se a aplicação numérica que é formulada com valores próximos da realidade. Para apresentação dos dados iniciais de entrada, pode-se utilizar uma tabela:

Tabela 2– Dados De Entrada Modelo Tempos de Vida Weibull β Desconhecido η Desconhecido Custos Custo de Subs 400 Custo de Falha 4400

Na tabela 2, consta o custo da substituição de uma unidade, antes que a falha se dê e o custo gerado na ocasião de uma falha, mais conhecidos por ca e cb, respectivamente, contudo, os parâmetro da distribuição de falhas não se encontram na tabela, uma vez que estes são desconhecidos. Nesta aplicação em particular, o conjunto de tps são mostrados na tabela 3, estes tempos correspondem aos tempos mais oportunos para que as manutenções preventivas sejam feitas e estão apresentados em duas diferentes unidades.

Tabela 3 - Conjunto De Ações Alternativas Tempo em hora Tempo em mês

T1 720 1 T2 1440 2 T3 2160 3 T4 2880 4 T5 3600 5 T6 4320 6 T7 5760 8 T8 7200 10 T9 7920 11 T10 8640 12 Tabela 4 – Parâmetros Do Método Promethee

Critérios R Cm

Função preferência Tipo V Tipo V

Limiar de indiferença 0,02 0,04

Limiar de preferencia 0,1 0,15

Uma vez escolhidas as funções de preferências para cada critério, fazendo-se uso aqui da função de preferência chamada de tipo V nas principais referências sobre o método PROMETHEE, função está que corresponde a uma função linear cujo valor mínimo é zero e o valor máximo 1 e os seus respectivos parâmetros correspondem as abscissas do valor mínimo e máximo. Aplicam-se as funções para as amplitudes de diferenças das avaliações dos pares de alternativas para o critério R e Cm. Porém, devido a existência de incertezas relativas aos parâmetros da distribuição das falhas, antes de se calcular o desempenho de cada alternativa em cada critério, deve-se, antes fazer o processo de elicitação para os parâmetros de incerteza. E, neste caso, utiliza-se da análise bayesiana, a fim de se obter as distribuições a priori de cada um dos parâmetro desconhecidos da Weibull que modela os tempos de falhas

própria distribuição weibull são modelados, cada um deles, por outra distribuição weibull, sendo assim, é fácil se fazer confusão.

Contudo. considera-se, agora, que há incerteza quanto aos parâmetros η e β da distribuição weibull, ou seja, não se tem certeza das magnitudes dos tempos de falhas, representadas pelo η, nem do formato da curva, representado pelo β. Desta forma, pode-se, fazer uso de uma metodologia Bayesiana. Faz-se, então a elicitacão da distribuição a priori sob o conhecimento do especialista, para os dois parâmetros. Conservando valores dentro da realidade, apresenta-se, então, uma simulação do processo de educão das distribuições do conhecimento a priori do especialista.

Desta forma, como se pode verificar foi obtida como distribuição a priori uma distribuição weibull, com parâmetros expostos na tabela 5.

Tabela 5 - Parâmetros Da Distribuição Weibull Para O η Desconhecido Parâmetros da Função Weibull

β 5,338691

η 12230,575

Coef.cor 0,984207

Curva a priori do Especialista

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0 5000 10000 15000 20000 X W eib u ll( x) Distribuição Acumulada d _Especialista 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 5000 0 10000 15000 20000 Parâmetro de Incerteza P ro b ab ilid ad e A cum ul ad a

Figura 5- Curva De Distribuição A Priori Sob O Conhecimento Do Especialista De forma similar para o parâmetro anterior, obtém-se as distribuição dos parâmetros da Weibull para os valores de β. Deste modo, utilizando-se o procedimento em que o especialista informa a média e o desvio padrão da curva, afim de se chegar aos parâmetros da mesma, obtém-se a distribuição weibull para os βs cujos parâmetros são:

Tabela 6 – Parâmetros Da Distribuição A Priori Do β Parâmetros da Função Weibull

β 3,12

η 3,4

µ 3,042

σ 9,59

Os valores de custo unitário e de confiabilidade para o caso de dupla incerteza são obtidos através das expressões 10 e 12 respectivamente, sendo exibidos os valores para cada alternativa na tabela 7.

Tabela 7 – Avaliação Das Alternativas Para Cada Critério No Caso De Incerteza Em β E Em η

Alternativas Tp(h) R(tp) Cm(tp)

T4 2880 0.95415 0.207771 T5 3600 0.930124 0.194889 T6 4320 0.899483 0.193471 T7 5760 0.817645 0.209724 T8 7200 0.711189 0.239689 T9 7920 0.651212 0.257212 T10 8640 0.588658 0.275444

Na tabela 8, apresentam-se os ordenamento resultantes do método PROMETHEE VI, cada intervalo de peso corresponde a um ordenamento diferente das 10 alternativas, pode-se perceber que as melhores alternativas variaram da alternativa T4 a T1. Para intervalos de pesos com valores maiores para o custo, os melhores tempos tenderam ser maiores e, a mediada que o critério confiabilidade teve intervalos de pesos com valores maiores, os melhores tempos de substituição tenderam a diminuir. Observa-se também que apenas as alternativas extremas concorreram para a pior colocação. Desta forma, a partir desta análise, o decisor faria a escolha do intervalo de peso mais adequado para ele e observaria o ordenamento, a fim de fazer a opção de seu melhor tempo.

Tabela 8 – Ordenamento Para Os Intervalos De Peso No Caso De Incerteza Em η e β para K igual a

Onze

K Intervalo de variação dos pesos dos critérios Confiabilidade (Wr) e Custo (Wc) Ordenamento 11 Wr [9,07 – 20,51]% Wc [79,99 – 90,93]% T4>T5>T3>T6>T2>T7>T8>T9>T10>T1 11 Wr[20,51 – 35,45]% Wc[64,55 – 79,49]% T4>T3>T5>T2>T6>T7>T8>T9>T10>T1 11 Wr[35,45 – 39,03]% Wc[60,97 – 64,55]% T4>T3>T2>T5>T6>T7>T8>T9>T10>T1 11 Wr[39,03 – 54,49]% Wc[45,51 – 60,97]% T3>T4>T2>T5>T6>T7>T8>T9>T1>T10 11 Wr[54,49 – 68,98]% Wc[31,02 – 45,51]% T3>T2>T4>T5>T1>T6>T7>T8>T9>T10 11 Wr[68,98 – 69,62]% Wc[30,38 – 31,02]% T3>T2>T4>T5>T1>T6>T7>T8>T9>T10 11 Wr[69,62 – 80,88]% Wc[19,12 – 30,38]% T2>T3>T4>T5>T1>T6>T7>T8>T9>T10 11 Wr[80,88 – 90,26]% Wc[9,74 – 19,12] % T2>T3>T4>T1>T5>T6>T7>T8>T9>T10 11 Wr[90,26 – 95,42]% Wc[4,58 – 9,74] % T2>T3>T1>T4>T5>T6>T7>T8>T9>T10 11 Wr[98,38 – 100]% Wc[0 – 1,62] % T1>T2>T3>T4>T5>T6>T7>T8>T9>T10 8. Conclusões

Em tópicos anteriores foram enfatizados algumas dificuldades encontradas no uso de alguns modelos clássicos de política de manutenção preventiva. Neste artigo foi proposto um modelo multicritério de apoio a decisão que é capaz de contornar as duas principais dificuldades relacionadas com tal problemática, quais sejam: poder decidir qual a periodicidade das substituições para um determinado item com base em mais de um critério e poder, mesmo quando não houver dados de falhas e mesmo quando faltar conhecimento aprofundado do decisor sobre os parâmetros de decisão, se ter um apoio adequado a difícil tarefa de decidir o tempo mais oportuno para a substituição de um item.

Agradecimentos

Referências

Almeida, A. T. & Souza, F. C. M. (2001). Gestão da manutenção na direção da

Competitividade. Recife, Editora Universitária.

Barlow, R. E.; Proschan, F. (1965). Mathematical Theory of Reliability, John Wiley & Sons. Brans, J. P.; Mareschal, B. (2002). Promethee-Gaia, une Methodologie d´Aide à la Décision em

Présence de Critères Multiples. Bruxelles, Éditions Ellipses.

Brans, J.P., Vincke, P.H., (1985). A preference ranking organization method, the PROMETHEE method for MCDM. Management Science. Vol. 31 pp. 647-656.

Chareonsuk, C.; Nagarura, N.; Tabucanona, M. T. (1997). A multicriteria approach to the selection of preventive maintenance intervals - Intemational Joumal of Production

Economics, Vol. 49, N. 1 pp. 55-64.

Dekker, R. (1996). Application of Maintenance optimization models: review and analysis,

Reliability Engineering and System Safety. Vol. 51, pp 229-240.

Glasser, G. J. (1969). Planned Replacement: Some Theory and its Application. Journal of

Quality Technology. Vol. 1, N. 2 pp 110-119.

Goldman, A. S.; Slattery, T. B. (1977). Maintainability: A Major Element of System

Effectiveness, Robert E. Krieger, New York..

Kobbacy, K. A. H.; Percy, D. F.; Fawzi, B. B.(1997). Small Data Sets And Preventive Maintenance Modeling. Journal of Quality in Maintenance. Vol. 3, N. 2 pp 136-142. Lewis, E. E. (1987). Introduction To Reliability Engineering, John Wiley & Sons.

Martz, H. F.; Waller, R. A. (1982). Bayesian Reliability Analysis, John Wiley & Sons. Nelson, W. (1982). Applied Life Data Analysis, Wiley & Sons.

Vincke, P. Multicriteria decision-aid. John Wiley & Sons. ISBN: 0-471-93184-5.