Metodologia para otimização do projeto de transmissões por engrenagens cilíndricas com correção de perfil

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Metodologia para otimização do projeto de transmissões por engrenagens cilíndricas com

correção de perfil

Paulo Sérgio Dias da Silva¹, Antônio Eustáquio de Melo Pertence² ¹Pós-Graduando em Engenharia Mecânica da UFMG, paulodias83@live.com, ²Professor do Departamento de Engenharia Mecânica da UFMG, pertence@demec.ufmg.br

Resumo – As engrenagens são elementos mecânicos fundamentais para os processos industriais. Estes componentes, quando bem dimensionados, cumprem suas funções de transmissão de potência e podem ter seu desempenho otimizado. Esta otimização é feita, basicamente, pelo ajuste dos perfis das engrenagens utilizando técnicas de deslocamento ou correção de perfil, propiciando nas mais variadas condições o aumento da capacidade de transmissão e a melhoria das condições de recobrimento e interferência. Por conseguinte o desenvolvimento de metodologias para otimização de projetos de engrenagens utilizando novas ferramentas torna-se essencial. O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de uma metodologia para otimização do projeto de transmissões por engrenagens cilíndricas com aplicação da correção de perfil utilizando a geração virtual customizada de transmissões de engrenagens em condições de engrenamento previamente definidas através do software Catia. É feita uma comparação qualitativa considerando a alteração de parâmetros de engrenamento tais como ângulo de pressão, número mínimo de dentes, tipos de correção de perfil (0, V0 e V), grau de recobrimento, interferência e relação de transmissão. Utiliza-se a simulação numérica pelo método de elementos finitos para validar e auxiliar os cálculos analíticos tradicionais.

Palavras-chave: Projetos de engrenagens, deslocamento ou correção de perfil, geração virtual customizada de transmissões de engrenagens.

Abstract – The gears are fundamental mechanical elements for industrial process. These components, when properly scaled, fulfill their duties of power transmission and can have their optimum performance. This optimization is done basically by fitting the profiles of gears using techniques of displacement or profile correction, providing in most varied conditions, increased transmission capacity and improving the coverage and interference. Therefore the development of methodologies for optimizing gear designs using new tools becomes essential. The objective of this work is to develop a methodology optimizing the design of cylindrical gear transmissions with application of profile correction using the customized virtual generation of transmissions gears with gearing conditions previously set by Catia software. A qualitative comparison considering the modification of gearing parameters such as pressure angle, minimum

number of teeth, types of profile correction (0, V0 and V), degree of coverage, interference and transmission ratio. We use numerical simulation by finite element method to validate and support the traditional analytical calculations.

Keywords: Designs gears, offset or correction profile, virtual generating gears transmissions.

I. INTRODUÇÃO

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engrenamento tais como ângulo de pressão, número mínimo de dentes, tipos de correção de perfil (0, V0 e V), grau de recobrimento, interferência e relação de transmissão. Este processo pode ser realizado neste caso, devido ao fato de que as engrenagens são elementos mecânicos cujas dimensões gerais e do perfil do dente, são definidos por relações matemáticas e de parametrização. Será possível a comparação qualitativa do nível de tensões na base do dente considerando o adelgaçamento gerado pela escolha abaixo ou acima do número mínimo de dentes e sua variação com a alteração do ângulo de pressão, utilizando a simulação numérica pelo método de elementos finitos para validar e auxiliar os cálculos analíticos tradicionais.

II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Como o foco do trabalho são engrenagens com perfil evolvente, pretende-se agora dar uma breve explicação acerca desse tipo de engrenagem.

A. Transmissões por engrenagens

As transmissões por engrenagens são a ligação entre dois elementos que tem certa relação de movimento e podem ser classificadas quanto ao tipo de dente, posição relativa entre eixos, relação de transmissão e tipos de engrenagens. Entre os tipos se destacam: engrenagens cilíndricas, cônicas, parafuso sem fim coroa, de corrente, etc. As engrenagens cilíndricas podem ser retas ou helicoidais. O módulo é uma grandeza que relaciona as várias grandezas, tais como o diâmetro primitivo, número de dentes e ângulo da hélice. Os perfis dos dentes das engrenagens mais utilizados são os cicloidais e evolvente de círculo. Este último pode ser expresso matematicamente e por isto é utilizado no desenvolvimento da técnica de correção de perfil, tais grandezas podem ser observadas na Figura 1.

A interferência é o fenômeno que acontece quando a cabeça do dente de uma engrenagem interfere provocando adelgaçamento no fundo do dente da outra engrenagem conjugada. Uma das causas da interferência é o uso de engrenagens com número mínimo de dentes abaixo do recomendado. A Figura 2 mostra este fenômeno entre a curva evolvente e trocoide. O grau de recobrimento informa quantos pares de dentes se encontram acoplados num engrenamento ao mesmo tempo. As engrenagens cilíndricas helicoidais têm recobrimento maior que as engrenagens cilíndricas retas.

B. Técnicas de correção de perfil

Para que se possam resolver os problemas de grandes relações de transmissão onde há possibilidade de interferência ou há necessidade de aumentar-se a capacidade de carga, mantendo-se a mesma distância entre centros utiliza-se a técnica de correção de perfil. [2] define esta técnica que consiste basicamente em utilizar no perfil do dente, a parte da curva evolvente de círculo mais apropriada de acordo com o caso,

conseguindo assim um melhor desempenho do engrenamento.

Figura 1 – Elementos presentes em uma engrenagem cilíndrica reta e a curva do perfil evolvente de círculo.

Fonte: Melconian, 2009 [5]. C. Cálculo das forças e tensões atuantes

Normalmente considera-se a força atuante no diâmetro primitivo e que todo o esforço de transmissão acontece em um só par de dentes, na linha de atuação do ângulo de pressão, embora o recobrimento mínimo aceito para as engrenagens cilíndricas retas seja de 1.2, o que pode ser evidenciado na Figura 14. O fator de concentração de tensão pode ser dado em função do número de dentes e do fator de correção do perfil. D. O computador no projeto e manufatura de um

componente

A utilização de ferramentas que auxiliam o homem nas mais variadas tarefas tem sido constante desde o início da humanidade, e o uso dos sistemas de informação para acelerar e ou multiplicar a velocidade da execução de rotinas aparece como um divisor, fazendo com que tais processos obedeçam a uma escala de crescimento exponencial, não somente pela criação e descoberta de novos conceitos, mas pela aceleração sofrida pelos atuais. “O ser humano necessita de ferramentas de apoio às mais diversas formas de trabalho. Há aproximadamente quatro décadas, duas ferramentas ou recursos geraram uma nova etapa no avanço tecnológico mundial: o hardware e o software” [9].

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A utilização do computador nas atividades de projeto, segundo [9] tem permitido a automatização de atividades repetitivas, diminuindo o tempo de projeto e execução, permitindo ao projetista um tempo maior para análise de diferentes alternativas de projeto.

[9] afirma que as atividades convencionais são alteradas através do auxilio do computador em cinco etapas: Definição do problema, modelamento geométrico, análise de engenharia, avaliação do projeto e automação dos desenhos.

“A utilização do computador no modelamento matemático geométrico, justifica-se, principalmente para as descrições matemáticas complexas envolvidas na formação de objetos tridimensionais” [9].

III. METODOLOGIA

Foram desenvolvidas planilhas eletrônicas em Excel® com equações relativas às relações geométricas das engrenagens cilíndricas retas e helicoidais visando auxilio e comparação com o modelo gerado pelo Catia. Foram considerados como dados de entrada o módulo, o número de dentes, o ângulo de pressão, o fator de correção de perfil, o ângulo da hélice e largura da engrenagem. A partir destes dados foram obtidas todas as grandezas gerais das engrenagens tais como diâmetro primitivo, diâmetro externo e diâmetro interno, diâmetro de base, passo e ângulo de simetria, etc. Considerou-se um modulo normal unitário e largura de 10 mm para todos os casos avaliados de engrenagens. Foram considerados neste estudo os seguintes ângulos de pressão no diâmetro primitivo: 14º 30’, 17º 30’, 20º, 22º 30’ e 25º que representam valores definidos por normas e industrialmente aplicados. Para cada ângulo de pressão considerado foi possível obter o número mínimo de dentes sem interferência, conforme pode ser vista na Tabela 1. Em seguida foram gerados os dados necessários para a construção da curva evolvente de círculo. Quando o número de dentes da engrenagem era igual ou inferior ao número mínimo de dentes estabelecido, foram utilizadas partes de uma curva tipo trocoide para obtenção do seguimento do fundo do dente e o adelgaçamento na base do dente correspondente, conforme pode ser observado na Figura 2, as curvas azul e vermelho representando a evolvente e trocoide, respectivamente.

Para a modelagem de todos os casos estabelecidos das engrenagens cilíndricas foram previamente desenvolvidos dois templates de engrenagens padrão do tipo reta utilizando o programa Catia V5 Release 19. Os modelos obedecem à ordem lógica de quando o diâmetro interno for menor que o diâmetro de base haverá o aparecimento da trocoide e consequente adelgaçamento.

Figura 2 – Planilha eletrônica com os dados de entrada e das grandezas gerais das engrenagens cilíndricas e gráfico gerado

representando o vão entre os dentes, com respectivas curvas evolvente e trocoide.

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A macro desenvolvida obedece esta relação. Caso o diâmetro interno seja maior que o diâmetro de base, abrirá o segundo arquivo, que elimina a trocoide.

A Figura 3 mostra a tela do Catia, template para construção de modelos e a janela de interação com usuário para inserção dos dados básicos da engrenagem. Com este procedimento foi possível obter-se uma árvore com as instruções onde são registradas as sequências da modelagem e uma tabela base onde ficam guardados os dados geométricos da engrenagem e que podem ser editados. Janelas de interação com o usuário foram criadas para dar entradas ao cálculo da geometria da engrenagem, através da utilização da linguagem Vbscript em [3] e [4].

Figura 3 – Template 3D que obedece a lógica: Ø interno > Ø base. Janela de interação com usuário para inserção dos dados básicos da

engrenagem.

Fonte: Acervo do autor

A Figura 4 mostra a janela de edição do arquivo gerador do modelo em linguagem Vbscript.

Figura 4 – Janela de edição do arquivo em linguagem VBScript.

IV. RESULTADOS E DISCUSSÃO A. Verificação do perfil do dente e geometria da

engrenagem para vários módulos

Sabe-se que o módulo é uma grandeza que relaciona as várias grandezas das engrenagens tais como o diâmetro primitivo, número de dentes e ângulo da hélice. A Figura 5 indica a comparação entre os perfis de engrenagens cilíndricas retas com 20 dentes, considerando o ângulo de pressão de 20º, variando-se apenas os módulos das mesmas. Pode ser observado que a grandeza módulo influencia exclusiva e diretamente na dimensão da engrenagem e do dente, alterando apenas em proporção, sem influência no perfil.

Figura 5 – Comparação do perfil do dente para vários módulos. Engrenagens cilíndricas retas com 20 dentes, ângulo de pressão de

20º e módulos 2, 3, 5, 8, 10, 12, 15 e 20.

B. Avaliação da influência da variação do ângulo de pressão no perfil do dente para uma engrenagem com um determinado numero de dentes

Para uma dada engrenagem, observa-se que a redução do adelgaçamento na base do dente, e por seguinte o nível de pressão, é melhor observada quanto maior a variação entre ângulos de pressão comparados. Na Figura 6, onde o número dentes da engrenagem é 32, este é o número mínimo para a engrenagem com ângulo de pressão de 14º 30', comparou-se os perfis de dentes com os ângulos: 14º 30', 17º 30’, 20º, 22º 30’ e 25º, pode ser comprovado a redução do adelgaçamento com o aumento do ângulo de pressão e uma variação entre os perfis gradativa e proporcional de um ângulo para o outro.

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Figura 6 - Comparação entre os perfis de engrenagens cilíndricas retas com 32 dentes para os ângulos de pressão de 14º 30' (preto), 17º

30’ (cinza), 20º (azul), 22º30’ (vermelho) e 25º (amarelo).

Figura 7 – Comparação entre os perfis de engrenagens cilíndricas retas com 11 dentes para os ângulos de pressão de 14º 30' (preto), 17º

30’ (cinza), 20º (azul), 22º30’ (vermelho) e 25º (amarelo).

Na medida em que o número de dentes de uma dada engrenagem cilíndrica é igual ou superior ao número mínimo de dentes, o efeito do adelgaçamento na base do dente será tanto menor, reduzindo o nível de concentração de tensões e, por conseguinte as tensões atuantes, quanto maior for o ângulo de pressão considerado. Na Figura 8 onde o número dentes da engrenagem é 60, não se observam adelgaçamentos para qualquer ângulo de pressão, pois o número de dentes já é bem superior ao número mínimo de dentes sem interferência para qualquer ângulo de pressão considerado e os perfis destas engrenagens tendem ao perfil da cremalheira.

C. Avaliação da influência do fator de correção no perfil, para um dado ângulo de pressão e a partir do numero mínimo de dentes

Considerando-se uma engrenagem cilíndrica com o número de dentes igual ou abaixo do número mínimo de dentes para um dado ângulo de pressão teremos a presença do adelgaçamento, que poderá ser reduzido e,

por conseguinte propiciar a redução do nível de tensões, aplicando a técnica de correção de perfil.

A Figura 9 visualizamos o “esboço” de construção dos perfis de um dente de uma engrenagem cilíndrica de dente reto 11 dentes, considerando os ângulos de pressão de 25º, sem fator de correção de perfil, com fator de correção positivo 0,25 e 0,5 e negativo -0,25 e -0,5. Assim há um adelgaçamento na base do dente com certo nível de concentração de tensões e o aumento das tensões atuantes para correção de perfil negativas e alargamento da base e consequente diminuição das concentrações de tensões atuantes para correção de perfil positiva.

Figura 8 – Comparação entre os perfis de engrenagens cilíndricas retas com 60 dentes para os ângulos de pressão de 17º 30’ (preto),

20º (branco), 22º30’ (amarelo), 25º (vermelho).

Figura 9 – Comparação entre os perfis de engrenagens cilíndricas retas com 17 dentes, considerando os ângulos de pressão de 25º, sem

fator de correção de perfil e vários fatores de correção de perfil.

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correção de perfil negativo, haverá a diminuição dos diâmetros de base, interno e externo. Isto tende a reduzir a base e aumentar o adelgaçamento, porém se o numero de dentes é grande e o perfil tende para a cremalheira e a influência da correção de perfil é pequena.

Figura 10 – Comparação entre os perfis da engrenagem cilíndrica reta com 17 dentes para o ângulo de pressão 20º, sem fator de correção de perfil (preto) e com fator de correção de perfil positivo

de 0.25 (amarelo).

D. Avaliação da influência do número de dentes na geometria da engrenagem e no perfil do dente, para um dado ângulo de pressão

A Figura 11 indica a comparação entre as geometrias e os perfis dos dentes de engrenagens cilíndricas retas com ângulo de pressão de 20º, com 12, 17, 22, e 45 dentes. Pode-se observar que o número de dente influenciam diretamente no tamanho da engrenagem, sendo maior quanto maior o número de dentes. Sabe-se que o módulo é uma grandeza que relaciona as várias grandezas das engrenagens tais como o diâmetro primitivo, número de dentes e ângulo da hélice. Conforme item 4.1, pode ser observado que a grandeza módulo influencia exclusiva e diretamente na dimensão da engrenagem e do dente, alterando apenas em proporção, sem influência no perfil.

Figura 11 – Comparação entre as geometrias de engrenagens cilíndricas retas com ângulo de pressão de 20º, com 12 (amarelo),

17(azul). 22(cinza) e 45(preto) dentes

Diferentemente do módulo e assim como a variação do ângulo de pressão, a variação do número de dentes

pode aumentar ou diminuir o adelgaçamento no pé do dente e influenciar nas pressões exercidas no mesmo. Quanto maior o número de dentes menor será o adelgaçamento.

Pode-se observar que há um adelgaçamento maior na engrenagem de 12 dentes e diminuindo para a engrenagem de 17 dentes e consequentemente para a de 22 e 45 dentes.

E. Avaliação do aparecimento da curva trocoide. O início da curva evolvente dar-se a partir do círculo base, em função disso existe ação conjugada do dente de engrenagem abaixo desse diâmetro. Se um perfil básico, conforme Figura 12, age contra um dente de engrenagem evolvente, e este estende-se abaixo do círculo base da engrenagem, a interferência entre o perfil básico e a engrenagem aconteceria se o dente da engrenagem não fosse aliviado. A curva trocoide, indica o caminho percorrido pela aresta do perfil básico no engrenamento. Portanto, o alívio da engrenagem, abaixo do diâmetro do círculo base, deve ter no mínimo formato da curva trocoide que é uma consequência do caminho percorrido pela ferramenta.

Figura 12 – Curva trocoide.

O aparecimento da trocoide deve ser evitado, pois há uma diminuição na resistência do dente quando reduz a espessura de sua base, pode também haver encurtamento da evolvente útil no pé do dente e, consequentemente, pode diminuir o recobrimento do par em engrenamento. O perfil trocoide pode ser evitado, na maioria dos casos, com correções de perfil.

A Tabela 1 mostra a comparação entre os raios de base e os raios inferiores de engrenagens com diversos ângulos de pressão. Pode ser observado a partir de qual número de dentes aparecerá a curva trocoide. Consequentemente a medida que cresce o número de dentes o raio de base diminui em relação ao raio interno até que o mesmo se torne superior ao de base. Vários trabalhos [1], [6], [8] e [10] descrevem formas para gerar perfis de engrenagens, através do qual baseiam-se nos métodos analíticos para determinação dos pontos que compõem a curva trocoide, percebe-se que a partir de um determinado número de dentes há o aparecimento da trocoide.

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Figura 13 – Visualização de engrenagens, com módulo unitário ângulo de pressão de 20º, com 10, 20, 30 e 38 dentes, sem correção

de perfil.

Tabela 1 – Comparação entre os raios de base e os raios inferiores de engrenagens com diversos ângulos de pressão.

Ângulo de pressão Número mínimo de dentes Número a partir do qual aparece a curva trocoide Raio de base Raio inferior 14º 30' 32 78 75,516 75,5 17º 30' 22 54 51,501 51,5 20º 17 41 38,527 38,5 22º 30 14 32 29,564 29,5 25º 11 26 23,564 23,5

F. Avaliação das tensões atuantes na base do dente Para o cálculo das tensões atuantes na base do dente utilizou-se método analítico e simulação por elementos finitos, considerando-se situações com ou sem correção de perfil. As restrições e as ações foram posicionadas junto aos furos das engrenagens, sendo aplicado momento de torção de 10 Nm. Foi escolhido para todos os casos o material aço SAE 1020 a partir do banco de dados do programa. Foram utilizadas engrenagens cilíndricas retas, pois não haveria diferença significativa com as engrenagens helicoidais com relação à avaliação da metodologia. As tensões atuantes resultantes, segundo o critério de Von Misses, para uma engrenagem de 16 dentes, sem aplicação da técnica de correção de perfil, podem ser observadas na Figura 14 e estão concentradas no pé do dente bem como na linha de atuação da engrenagem concorrente.

A Tabela 2 indica os valores de tensões atuantes, segundo critério de Von Misses, no pé do dente, obtidas através da análise por elementos finitos em comparação aos valores obtidos pelo método analítico nas condições previamente estabelecidas, bem como os respectivos valores de concentração de tensão segundo [7] para

engrenagens cilíndricas de 17 dentes, com e sem aplicação da técnica de correção de perfil.

Figura 14 – Tensões atuantes segundo Von Misses no pé do dente, para uma engrenagem de 17 dentes sem aplicação da técnica de

correção de perfil.

Tabela 2 – Tensões atuantes na base do dente considerando o método analítico e por elementos finitos.

Número de Dentes Ângulo de pressão (º) Fator de Correção Fator de concentração de tensão Método Analítico (N/m²) Método Elementos Finitos (N/m²) 17 20 0 2,90 3,41E+08 3,71E+08 17 20 + 0.25 2,50 2,94E+08 2,99E+08 17 20 - 0.25 3,60 4,24E+08 4,53E+08 60 20 0 2,33 7,77E+07 7,80E+07 60 20 + 0.25 2,25 7,50E+07 7,66E+07 60 20 - 0.25 2,50 8,33E+08 8,39E+08

Fonte: Acervo do autor V. CONCLUSÕES

A grandeza módulo influencia exclusiva e diretamente na dimensão da engrenagem e do dente, alterando apenas em proporção, sem influência no perfil. Para um dado ângulo de pressão, na medida em que o número de dentes da engrenagem cilíndrica cresce, maior a possibilidade de este ser superior ao número mínimo de dentes sem interferência e menor a possibilidade do aparecimento do adelgaçamento na base do dente.

Para um dado número de dentes, quanto maior o ângulo de pressão utilizado na engrenagem cilíndrica, menor a possibilidade do aparecimento do adelgaçamento na base do dente.

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Pode ser observado que o aparecimento da curva trocoide se dá a partir do momento em que o raio de base torna-se superior ao raio do pé do dente.

Ao analisarem-se as tensões atuantes, observa-se que a correção influencia diretamente e que quanto maior o número de dentes, menores são as variações das tensões na base do dente. Observa-se também que os valores alcançados, tanto na aplicação do método analítico, quanto do método por elementos finitos, são da mesma ordem de grandeza.

Pode-se afirmar que o a metodologia proposta para otimização do projeto de transmissões por engrenagens cilíndricas com correção de perfil utilizando a geração virtual customizada de engrenagens cilíndricas com aplicação da simulação numérica pelo método de elementos finitos mostrou-se satisfatória, podendo ser utilizada para validar e auxiliar os cálculos analíticos.

VI. AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio do Conselho Nacional de Pesquisa CNPq, Fundação de amparo a Pesquisa de Minas Gerais PAPEMIG e o Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica da UFMG.

REFERÊNCIAS

[1] BEZERRA, R. A; JUNIOR, F. I. S., Projeto de Engrenagens de Dentes Retos com Perfil Evolvental, (COBEM) Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, 2001.

[2] CASTRO, R. M., Critério de projeto para engrenagens helicoidais aplicadas em transmissões mecânicas veiculares, Dissertação de Mestrado apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (USP), 2005.

[3] COZZENS, R., Advanced Catia V5 workbook, knowledgeware and workbenches; Southern Utah

University. Disponível em

<www.suu.edu/cadcam>.Acesso em 15 Jan. 2014.

[4] INDUSOFT WEB STUDIO, VBScript reference

manual, 2007. Disponível em

<http://www.indusoft.com>. Acesso em 15 jan.

2014.

[5] MELCONIAN, S., Elementos de máquinas. São Paulo: Editora Érica, 10 ed., 2009.

[6] MILOVIC, M.; TURRIN, M. Traçado do Perfil de Engrenagens Cilíndricas de Evolvente, Mundo Mecânico, 1983.

[7] NIEMANN, G., Elementos de máquinas. São Paulo: Editora Edgard Blucher, v. 2, 2002.

[8] QUEIROZ, A. A.; BRAZZALLE, R. R., Determinação do Perfil de Engrenagens de Evolvente com minicalculadoras, Mundo Mecânico, 1978.

[9] SILVEIRA, Z. C. Desenvolvimento de um sistema computacional de auxílio ao cálculo e desenho de elementos de máquinas. Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade de São Paulo, 1998.

[10] SOUZA, G. R., Influência do ângulo de pressão em projetos de engrenagens. Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), 2003.