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Base Matemática Probabilidade

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Academic year: 2021

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(1)

Base Matemática

Probabilidade

Noções Básicas

Experimento Aleatório

• Resultado no lançamento de um dado;

• Hábito de fumar de um estudante sorteado

em sala de aula;

• Tempo de duração de uma lâmpada;

• Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao

acaso.

Noções Básicas

Espaço Amostral

• conjunto de todos os resultados possíveis de

um experimento aleatório

.

Exemplos

• Lançamento de um dado:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Exame de sangue (tipo sangüíneo):

= {A, B,

AB, O}

• Tempo de duração de uma lâmpada.

= {t: t

0}

Noções Básicas

Evento

• Subconjunto do espaço amostral

.

Exemplo

• Experimento Aleatório: lançamento de um dado. • Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Alguns eventos:

• A: face do dado é par  A={2,4,6} • B: face do dado é > 3  B = {4, 5, 6} 

(2)

Operação com eventos

A

B

:

união dos eventos A e B.

• Representa a ocorrência de pelo menos

um dos eventos, A ou B.

A

B

:

interseção dos eventos A e B.

• Representa a ocorrência simultânea dos

eventos A e B

.

Eventos Disjuntos

Definição.

A e B são disjuntos ou

mutuamente exclusivos quando não

têm elementos em comum, isto é,

A

B =

Eventos Complementares

Definição.

A e B são complementares

se sua interseção é vazia e sua união é

o espaço amostral, isto é,

• A

B =

e A

B =

•sair uma face par ou face 1

A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} • sair uma face par e face 1

A  C = {2, 4, 6}  {1} =  • sair uma face par e maior que 3

A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3

A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo

: Lançamento de um dado

• não sair face par

(3)

Probabilidade

Medida da incerteza associada aos

resultados do experimento aleatório

• Deve fornecer a informação de quão

verossímil é a ocorrência de um particular

evento

Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral?

Probabilidade

Através das freqüências de ocorrências

.

• O experimento aleatório é repetido n vezes

• Calcula-se a freqüência relativa com que

cada resultado ocorre.

Probabilidade

Através de suposições teóricas.

• Exemplo: lançamento de um dado

• Admite-se que o dado é perfeitamente

equilibrado

• P(face 1) =

...

= P(face 6) = 1/6.

Probabilidade

Definição. Uma distribuição de probabilidade Pr{}

sobre um espaço amostral S é uma função que mapeia cada evento de S em um número real de modo que (i) Pr(A)>=0 para todo evento A

(ii) Pr(S)=1

(4)

13

Probabilidade Condicional

Definição. Dados dois eventos A e B, com P(B)>0, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A|B) e definida por

. 0 P(B) , P(B) B) P(A B) | P(A   

Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades

B). | P(A P(B) B) P(A   Analogamente, se P(A) >0, . A) | P(B P(A) B) P(A   0,82. 101.850 48.249 101.850 39.577  39.577 / 48.249 = 0,82. Diretamente da tabela temos P(S | M) =

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser

alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?

P(M) M) P(S M) | P(S definição, Pela   

Sexo Alfabetizada Total

Sim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 Total 85.881 15.969 101.850

A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ???

Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores

ou árvore de probabilidades.

Exemplo:

Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3

vermelhas. Duas bolas são sorteadas

sucessivamente, sem reposição.

(5)

1 Total V V VB BV BB Probabilidade Resultados 25 4 5 2 5 2   25 6 5 3 5 2 25 6 5 2 5 3   25 9 5 3 5 3   Considere agora que as extrações são feitas com

reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos

5 3 5 2 B V 5 3 5 2 V B V B 5 3 5 2

ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração. e 5 2 25 6 25 4 P(A) = P(branca na 2ª) = Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = P(A)

5 2 ) A ( P 5 2

P(A | Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Eventos Independentes

Definição. Dois eventos A e B são independentes se e somente se

Pr(A B)=Pr(A)Pr(B)

Exemplo. A probabilidade de Jonas tirar nota maior que 7 é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos tirarem nota maior que 7? Evento A: Jonas tira nota maior que 7

Evento B: Madalena tira nota maior que 7 P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9

Variável Aleatória

Definição (intuitiva). Uma variável aleatoria X em um espaço amostral  é uma função que associa cada elemento do espaço amostral a um valor real

Exemplo.

Experimento: dois dados honestos com 6 faces são jogados Espaço amostral: ={(i,j)| 1 <=i<=6 e 1<=j<=6}

(6)

21

Variável Aleatória

Aplicações em Computação

Variáveis aleatórias relacionadas a propriedades de algoritmos aleatorizados

• X: tempo de execução de um algoritmo aleatorizado • X: qualidade da solução de um algoritmo aleatorizado

Valor Esperado

Valor Esperado. Dada uma variável discreta X, seu valor esperado E[X] é definido por :

Exemplo

• X(a,b) = max{a,b}, onde (a,b) é o resultado de lançamento de dois dados honestos

• E[X] = 1*1/36 +2*3/36+3*5/36+ 4*7/36 +5*9/36 + 6*11/36 Seção 6.3 do Cormen  E[X]j Pr[Xj] j0   24

Valor Esperado: Propriedades Importantes

Propriedade Útil. Se X é uma V.A. 0/1, E[X] = Pr[X = 1]. Pf.

Linearidade do Valor Esperado. Dada duas V.A. X e Y definidas sobre o mesmo espaço de probabilidade, E[X + Y] = E[X] + E[Y]. Propriedade pode simplificar bastante alguns cálculos!

 E[X]jPr[Xj] j0    jPr[Xj] j0 1   Pr[X1] 25

Guessing Cards

Game. Shuffle a deck of n cards; turn them over one at a time; try to guess each card.

Memoryless guessing. No psychic abilities; can't even remember what's been turned over already. Guess a card from full deck uniformly at random.

Claim. The expected number of correct guesses is 1.

Pf. (surprisingly effortless using linearity of expectation)

 Let Xi = 1 if ith prediction is correct and 0 otherwise.  Let X = number of correct guesses = X1 + … + Xn.  E[Xi] = Pr[Xi = 1] = 1/n.

(7)

26

Guessing Cards

Game. Shuffle a deck of n cards; turn them over one at a time; try to guess each card.

Guessing with memory. Guess a card uniformly at random from cards not yet seen.

Claim. The expected number of correct guesses is (log n).

Pf.

 Let Xi = 1 if ith prediction is correct and 0 otherwise.  Let X = number of correct guesses = X1 + … + Xn.  E[Xi] = Pr[Xi = 1] = 1 / (n - i - 1).

 E[X] = E[X1] + … + E[Xn] = 1/n + … + 1/2 + 1/1 = H(n). ▪ ln(n+1) < H(n) < 1 + ln n linearity of expectation

27 Linearidade do Valor Esperado

Exemplo. Qual é a o valor esperado do número de caras ao jogar uma moeda justa 100 vezes ?

X: número de vezes que o resultado é cara

Xi =1 se o resultado da i-ésima tentativa é cara e Xi =0,

caso contrário. 50 ] [ ] [ 2 / 1 ] [ 100 1   

i i i E X E X X E

Desigualdades de Cauda

• Como gerar limites superiores para a

probabilidade de uma variável aleatória se afastar da média?

Ferramenta fundamental para caracterizar o tempo de execução e/ou a probabilidade de sucesso de algoritmos

aleatorizados

Desigualdade de Markov

Lema. Seja X uma V.A. que assume somente valores não negativos. Então, para todo t positivo,

Prova. Considere a variavel 0-1 Y que assume valor 1 se X>=t e 0, caso contrário. Note que Y  X/t. Logo,

(8)

30 Desigualdade de Markov

Exemplo. Qual é a probabilidadade obtermos mais de 75 caras ao jogar uma moeda justa 100 vezes ? X: número de vezes que o resultado é cara

Xi :1 se o resultado da i-ésima tentativa é cara e 0 caso

contrário.

Aplicando Markov temos

Pr[X>75]  50/75=2/3 50 ] [ ] [ 2 / 1 ] [ 100 1   

i i i E X E X X E 31

Variância de uma distribuição

Definição. A variância de uma variável aleatória X é definida como

Var(X)= E[(X-E[X])2]

A variância mede o quanto a distribuição “foge” da média.

O desvio padrão de X, denotado por x , é a raiz quadrada da variância

32

Variância de uma distribuição

Propriedade importante:

Var(X)= E[(X-E[X])2] = E[(X 2 - 2XE[X]+ E[X] 2] =

E[(X 2 - 2XE[X]+ E[X] 2)] = E[X 2]- E[X] 2

33

Variância de uma distribuição

Definição. Duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se para qualquer par de reais x,y

Pr[X=x  Y=y] = Pr[X=x]Pr[Y=y] ,

ou seja os eventos X=x e Y=y são independentes para todo x,y

Lema: Se X e Y são V.A. independentes, então E[XY]=E[X]E[Y]

(9)

34

Desigualdade de Chebyschev

Lema. Seja X uma V.A. com desvio padrão x.. Então,

para todo t>0,

Prova.

Pr[|X- E[X] | ≥ t·x] = Pr[(X-E[X])2 ≥ tx2]

Se Y = (X- E[X])2 , por Markov temos,

Pr[(X- E[X])2 ≥ t2 Var(X)] = Pr[ Y ≥ t2 Var(X)] ≤

E[Y]/ (t2Var(X)) =Var(X)/ (t2Var(X)) = 1/ t2 2 1 ] ] [ Pr[ t t X E X  

X

Theorem. Expected number of comparisons is 2nln n.

Pf.

Theorem. [Knuth 1973] Stddev of number of comparisons is ~ 0.65N.

Ex. If n = 1 million, the probability that randomized quicksort takes less than 4n ln n comparisons is at least 99.4%.

Chebyshev's inequality. Pr[|X - |  k]  1 / k2.

The result is established by setting k= 2 ln(n)/0.65

Quicksort: Expected Number of Comparisons

Desigualdade de Chebyschev

Exemplo. Qual é a probabilidadade obtermos mais de 75 caras ao jogar uma moeda justa 100 vezes ? X: número de vezes que o resultado é cara Xi :1 se o resultado da i-ésima tentativa é cara e 0,

caso contrário

Aplicando Chebyschev temos

Pr[|X-50|  5x5] 1/25   4% Pr [ X  75 ]  2% (simetria) 25 ) ( ) ( e 50 ] [ 100 1 100 1    

  i i i i Var X Var X X X E Chernoff Bounds

Teorema. Asumma que X1, …, Xn são variáveis aleatórias 0-1

independentes. Seja X = X1 + … + Xn. Então, para todo  E[X] e para

todo  > 0, temos

Teorema. Assuma que X1, …, Xn são variáveis aleatórias 0-1

independentes. Seja X = X1 + … + Xn. Entao, para todo  E[X] e para

qualquer any 0 <  < 1, temos

Diretamente relacionado a lei dos grandes números...

                1 ) 1 ( ] ) 1 ( Pr[X e

A soma é bsatante concentrada próximo da média

(10)

38 Chernoff Bounds

Exemplo. Qual é a probabilidade obtermos mais de 75 caras ao jogar uma moeda justa 100 vezes ?

X: número de vezes que o resultado é cara

Xi :1 se o resultado da i-ésima tentativa é cara e 0 caso

contrário

Aplicando Chernoff temos

Pr[|X-50|>(1+0.5) x50]<=0.007  <= 0.7% 50 ] [ 100 1  

i i X X E

Hoeffding Bounds

Lema.

Sejam X

1

,...,X

n

variáveis aleatórias reais,

com X

i

assumindo valores no intervalo [a

i

,b

i

].

Além disso, seja X= X

1

+... +X

n

e

=(b

1

-a

1

)+....+(b

n

-a

n

)

Portanto,

Pr[ X – E[X]

t]

exp(-2t

2

/

)

e

Pr[ X – E[X]

-t]

exp(-2t

2

/

)

40

Union Bound

Union bound. Dados os eventos E1, …, En,



Pr

E

i i1 n













Pr[E

i

]

i1 n

41

Union Bound

Exemplo 1

Um dado honesto de 6 faces é jogado uma vez. Considere os seguintes eventos:

Evento A: resultado é um número primo Evento B: resultado é par

Evento C: resultado é impar Temos

(11)

42

Union Bound

Exemplo 2

A probabilidade de um sistema falhar ao utilizarmos ele uma vez é 0.001. Qual a probbilidade do sistema ter sucesso em 100 utilizações seguidas ?

• Espaço amostral: Resultado possíveis para os 100 usos: {F,S,F,F,S,....,F}

• Evento Ei: i-ésima utilização falhou

• Evento E: sistema falhou em alguma das 100 utilizações • Evento S: sistema teve sucesso em todas as 100 utilizações • Como Pr(Ei )=0.001, então

Pr[E}= <= 0.1 • Segue que Pr[S]=1-Pr[E] >=0.9

Referências

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