Análise de campo médio para um modelo epidêmico via passeios aleatórios em um gr...

modelo epidêmio via passeios

aleatórios em um grafo

Renato Jaob Gava

DISSERTAÇO APRESENTADA

AOINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO

PARA OBTENÇO

DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS

Área de Conentração: Estatístia

Orientador: Prof. Dr. Fábio Prates Mahado

São Paulo, setembro de 2007.

passeios aleatórios em um grafo

Este exemplar orresponde àredação

nal dadissertação devidamenteorrigida

e defendidaporRenato Jaob Gava

e aprovada pelaComissão Julgadora.

São Paulo, setembro de 2007.

Banaexaminadora:

Prof.Dr. Fábio Prates Mahado (IME-USP)

Prof.Dr. Mauríio ZuluagaMartinez (UFPE)

Esta dissertação teve a olaboração de muitos, desde os amigos que me

ao-lheram quando aqui heguei até aqueles om quem dividi as tarefas aadêmias.

Várias foram as pessoas om quem troquei idéias e aprendi, a todas agradeço,

emespeialaomeuorientadorProf. Dr. FábioPrates,peloempenhoeonança

dediados.

AgradeçoaMauríio Zuluaga,pelas sugestões queenriqueeram otrabalhoe

amizade.

APaulo Marques eFábioLopes, quemeajudaram omos álulos

omputa-ionais.

Aos meus pais, Reinaldoe Marlene,e a Débora, portudo.

AosolegasdaSeretaria dePós-graduação,peloprossonalismoegentilezas.

Estudamossistemas depasseios aleatóriossobre osvértiesde um grafo

om-pleto. Iniialmenteháuma partíulaemada vértie dografodas quaissomente

uma está ativa, as outras estão inativas. A partíula ativa realiza um passeio

aleatório simples a tempo disreto om tempo de vida que depende do passado

do proesso,movendo-se aolongo de elos. Quando uma partíulaativaenontra

uma inativa, esta se ativa; quando salta sobre um vértie já visitado, morre. O

objetivo desta dissertação é estudar a obertura do grafo ompleto, ou seja, a

proporção de vérties visitados aom doproesso, quando o número

n

de

vérti-es tende ao innito. Analisamos as equações de ampo médio para o proesso

desritoaima,omparandoosseus resultadosomosdomodeloaleatório. Aqui,

os resultados do ampo médio pareem reproduzir os do modelo aleatório.

De-pois, apresentamos um estudo similar entre o modelo estoástio e as equações

de ampomédio para o aso em que ada partíula possui

2

vidas. Finalmente, observamos a obertura do grafo ompleto para as equações de ampo médio

quando o número de vidas porpartíulas é maior quedois.

Palavras-have: ampomédio, obertura, grafosompletos, modelo dos sapos,

We study random walks systems on omplete graphs. Initially there is a

partileateahvertexof thegraph; onlyoneisativeand the otherareinative.

An ative partile performs a disrete-time simple random walk with lifetime

dependingonthepastoftheproessmovingalongedges. Whenanativepartile

hits an inative one, the latter is ativated. When it jumps on a vertex whih

has been visited beforeit dies. The goalof this work isto study the overage of

the omplete graph, that is, the proportion of visited verties at the end of the

proess, when the number of vertex goes to innity. We analyze the mean eld

equationstotheproess itedabove,omparingtheirresultswiththe onesof the

random model. Here the results of the mean eld approah seem to reprodue

the ones of the random model. After we present a similar study between the

stohastimodeland meaneldapproximationtothe asethat eah partilehas

2 lifes. Finally we observe the overage of the omplete graph to the mean eld

equations when the number of lifesby partileis bigger than two.

1 O modelo 1

1.1 Introdução . . . 1

1.2 Desrição domodelo e denições. . . 3

1.3 Análise ombinatóriae omputaional. . . 4

1.3.1 Uma vidapor partíula. . . 4

1.3.2 Duas vidasporpartíula . . . 8

2 Simulações 14 2.1 Umavida por partíula. . . 14

2.2 Duas vidaspor partíula . . . 15

3 Análise de ampo médio 17 3.1 Umavida por partíula. . . 17

3.2 Duas vidaspor partíula . . . 28

3.3 L vidaspor partíula . . . 35

O modelo

1.1 Introdução

Omodeloepidêmioabordadonestadissertação,maisonheidoomomodelo

dossapos,épartedeumavastaáreadaProbabilidade. Saberomosedifundeum

vírusnumarededeomputadores,porexemplo,éalgoquedespertaointeressede

probabilistaseissoexigemodelagens. Issoéoquenosmotivaeportantotentamos

reproduziradifusãode umvírusnaWeb. Lembramosquenossomodeloéapenas

mais um dentre os modelos epidêmios e, desse modo, não visa a enerrar as

busas sobre modelos de propagação de um vírus numa rede. Aqui trabalhamos

om o grafo ompleto, grafo no qual todos os vérties ("omputadores"), um

númeronitodeles,estãoligadosentresiporelos,eotempodevidadaspartíulas

("vírus")depende dopassado. Iniialmenteháumapartíulaemadavértiedo

grafo, mas somente uma está ativa, hamada raiz do proesso; as outras estão

umapartíulaativasaltasobreumainativa,estaseativa;quandosaltasobre um

vértie já visitado, perde uma de suas

L

vidas. Uma partíulaativase moveaté

não lhe restarem vidas. E essa é uma diferença importante deste modelo para

modelosnosquaisadapartíulapossuiumaprobabilidade

p

desobrevivere

1

−

p

de morrer a ada instante para depois possivelmente saltar, omo podemos ver

em [1℄, [2℄, [5℄.

Antes de [3℄ não se onhee referênias sobre este tipo de modelo, artigo no

qual baseia-se esta dissertação. Em [7℄ pode-se enontrar a versão dele a tempo

ontínuo, om a variação de que só uma partíula salta por vez e o tempo de

espera de ada salto tem distribuição exponenial, e a demonstração para este

asode umindíioquetambémtemosaqui: onformereseonúmerodevérties

astrajetóriasdoonjuntode vérties visitadosedoonjuntode partíulasativas

a ada instante onvergem para trajetórias determinístias.

A nalidadedeste trabalhoé estudara oberturado grafoompleto, ouseja,

a proporção de vérties visitadosao términodoproesso, quando onúmero

n

de

vérties tende ao innito. Limitamo-nos aos asos em que

L

= 1

e

L

= 2

. Para isso,avaliamosnoapítulo

3

asequaçõesdeampomédioparaoproessodesrito aima, omparando os seus resultados om os obtidos por simulação, os quais

1.2 Desrição do modelo e denições

Seja

K

n

o grafo ompleto de

n

vérties, ou seja, ada vértie está onetado

a todos os outrospormeio de elos. Seja

L

≥

1

um número inteiro xo. Poremos

K

n

uma dinâmia que evolui a tempo disreto: no instante iniial temos uma

partíula em ada vértie, todas om

L

vidas, porém somente uma está ativa.

Todas as outrasestão inativas.

Toda partíula ativa realiza um passeio aleatório simples a tempo disreto e

esolhe uniformente um vértie sobre o qual salta; se a partíula originalmente

oloada aí está inativa, então ambas (ou todas as que saltarem neste vértie)

tornam-seativas,asoontrárioapartíulaquepula(outodasasqueaípularem)

perdeumadas vidasrestantes. Cadapartíulaativatem trajetóriaindependente

e se move até perder as todas vidas.

Denimosagora,respetivamente,

A

t

, I

t

, D

t

omo onúmerode partíulas

ati-vas, o número de partíulas inativas e o número de partíulas mortas no tempo

t

.

A

t

+

I

t

+

D

t

=

n

para todo

t

. Da mesma forma,

A

i

t

,

i

= 1, ..., L

, orresponde ao número de partíulas ativas om

i

vidas no tempo

t

, om

A

t

=

P

L

i

=1

A

i

t

, e

V

t

=

A

t

+

D

t

ao número de vérties visitados no tempo

t

. Em geral, tomamos

A

0

= 2 =

A

L

0

,

A

i

quando o número

n

de vérties tende ao innito. Assim, onsideramoso modelo

de ampo médio referente ao proesso desrito aima para

L

= 1

e

L

= 2

, onfrontando os resultados de ambos os modelos. As equações de ampo médio

são umaaproximaçãodaanálisedoproesso,já quedesrevemoomportamento

dele pormeio de médias enão onsideram asorrelações que nele existem, além

de não observarem o desloamentode adapartíula ativa.

Tais equações, apresentadas no apítulo

3

, omo no modelo original, têm as seguintes araterístias:

a

t

, i

t

, d

t

representam, respetivamente, a proporção de

partíulas ativas,a proporção de partíulas inativas e a proporção de partíulas

mortas no tempo

t

.

a

t

+

i

t

+

d

t

= 1

para todo

t

. Similarmente,

a

i

t

,

i

= 1, ..., L

, orresponde à proporção de partíulas ativas om

i

vidas no tempo

t

, om

a

t

=

P

L

i

=1

a

i

t

,e

v

t

=

a

t

+

d

t

àproporçãode vérties visitadosnotempo

t

. Usualmente, tomamos

a

0

= 2/n

=

a

L

0

,

a

i

0

= 0

,

i

= 1, ..., L

−

1

,e

d

0

= 0

, jáqueapósoprimeiro instantesempre existem duas partíulas ativase om

L

vidas.

1.3 Análise ombinatória e omputaional

1.3.1 Uma vida por partíula

Seja

(A

=

a, I

=

i, D

=

d)

ou

(a, i, d)

um possível estado deste modelo que nos diz o número de partíulas ativas, inativas e mortas, respetivamente.

de partíulas inativasderese,

a

+

i

+

d

=

n

, ada estado possível sóé atingido no máximo uma vez, o número de partíulas ativas pode no máximo dobrar de

um instante para outro, o número mínimo de partíulas ativas, se as temos, é

duas.

Observemos então que não é possível passar de um estado daforma

(a

′

, i, d

′

)

para um estado da forma

(a, i, d)

(mesmo número de partíulas inativas)se

a

6

=

0

, pois não aordar nenhuma partíula signia que todas as partíulas ativas

pularam sobre sitíos ujas partíulas originais já foram aordadas e portanto

todas morreriam.

Seja

P

a medidade probabilidadedeste proesso. Então as ondiçõesiniiais

são:

P

(2, n

−

2,

0) = 1

,

P

(1, n

−

2,

1) = 0

,

P

(0,

0, d) = 0

. Também

P

(a, i, d) =

X

P

(a

′

, i

′

, d

′

)P

(

passarde

(a

′

, i

′

, d

′

)

para

(a, i, d)

|

(a

′

, i

′

, d

′

)),

ondeasomaésobreosestados

(a

′

, i

′

, d

′

)

quepodempassarpara oestado

(a, i, d)

.

Notemos, pelo desrito aima, que para passar do estado

(a

′

, i

′

, d

′

)

para o

estado

(a, i, d)

(

a

6

= 0

) preisamosde que

d

′

≤

d

,

i

′

> i

e

a

+

i

+

d

=

a

′

+

i

′

+

d

′

,

o que equivalentemente orresponde a

0

≤

d

′

≤

d

,

i

′

=

i

+

j, j

∈ {

1,

2, ..., n

}

e

a

′

= (a

−

j) + (d

−

d

′

)

. Das

a

′

partíulasativas

d

−

d

′

morrerão

(d

′

+ (d

−

d

′

) =

d!!)

e

a

−

j

aordarão

j

das

i

+j

partíulasinativas

((a

−

j)+

j

=

a!!)

. Comotinhamos

i

+

j

partíulas inativase aordamos

j

, amosom

i

partíulas inativas.

Iniialmenteapresentamos o lema abaixo, que será útil nos teoremas que

que saltam sobre o onjunto de partíulas inativas e as

j

urnas, das partíulas

inativasque serão aordadas.

Lema 1.1 Se queremos oloar

s

bolas distinguíveis em

j

urnas o número de

maneiras diferentes de fazer-seisto é:

f

(s, j) :=

j

−

₁

X

r

=0

(

−

1)

r

j

r

(j

−

r)

s

.

(1.1)

Prova: ConformeFeller (1968), seja

A

k

o evento de quea

k

−

ésima urna esteja

vazia,

k

= 1, ..., j

. Sejam

A

=

A

1

A

2

∪

...

∪

A

j

e

p

i

=

P

(A

i

)

,

p

ij

=

P

(A

i

A

j

)

,

p

ijk

=

P

(A

i

A

j

A

k

)

, ..., onde o ordem dos índies não importa e dois índies

nuna têm o mesmo valor. Denimos

S

1

=

P

p

i

,

S

2

=

P

p

ij

,

S

3

=

P

p

ijk

,

.... Então

P

(A) =

S

1

−

S

2

+

S

3

−

S

4

+

...

±

S

j

, pelo teorema da união de eventos. Agora enontremos os valores de

S

i

: admitindo quea ada arranjoestá

assoiada à probabilidade

j

−

_s

, deseja-se enontrar a probabilidade

p

m

(s, j)

de termosexatamente

m

ompartimentosvazios. Paraumarealizaçãode

A

k

existem

(j

−

1)

s

maneirasdistintas de oorrer. Similarmente, para se deixar duas urnas

prexadasvaziastemos

(j

−

2)

s

formas,et. Logo

p

i

= (1

−

1/j)

s

,

p

ij

= (1

−

2/j)

s

,

... e

S

q

=

j

q

(1

−

q

j

)

s

para

q

≤

j

. Então

p

0

(s, j

) = 1

−

S

1

+

S

2

−

...

=

j

−

₁

X

r

=0

(

−

1)

r

j

r

(1

−

r

j

)

Lema 1.2

P

(a, i,

0) =

[

a/

2]

X

j

=1

i

+

j

i

1

n

−

1

a

−

j

f

(a

−

j, j)P

(a

−

j, i

+

j,

0).

Prova: Do estado

(a

′

, i

′

, d

′

)

podemospassarpara oestado

(a, i,

0)

se, esomente

se,

d

′

= 0

,

i

′

=

i

+j

,

a

′

=

a

−

j

e

a

−

j

partíulasativasaordam

j

(

f

(a

−

j, j

)

)das

i+j

(

i

+

j

i

=

i

+

_j

j

)partíulasinativas. E

1

n

−

1

orrespondeàprobabilidadedeuma

partíula ativaaordar uma partíula inativa xada. Alémdisso,

1

≤

j

≤

[a/2]

, poisse

j >

[a/2]

, então

2a

′

< a

, mas

2a

′

≥

a

, onde

[x]

denota a parte inteira de

x

.

Teorema 1.3

P

(a, i, d) =

d

X

d

′

₌₀

[

a/

2]

X

j

=1

d

−

d

′

+

a

−

j

d

−

d

′

i

+

j

i

1

n

−

1

d

−

_d

′

₊

_a

−

_j

(d

+

a

−

j

−

1)

d

−

_d

′

f(a

−

j, j

)P

(a

−

j

+

d

−

d

′

, i

+

j, d

′

).

Prova: Do estado

(a

′

, i

′

, d

′

)

podemos passarpara oestado

(a, i, d)

se, esomente

se,

0

≤

d

′

≤

d

,

i

′

=

i

+

j

,

a

′

= (a

−

j) + (d

−

d

′

)

edas

(a

−

j) + (d

−

d

′

)

partíulas

ativas morrem

d

−

d

′

(

d

−

_d

′

₊

_a

−

_j

d

−

_d

′

) partíulas;

d

+

a

−

_j

−

₁

n

−

₁

é a probabilidade de uma

partíula ativa morrer, as

a

−

j

que permaneem ativas aordam

j

das

i

+

j

partíulas ativas, e

1

inativa xada. Mais ainda:

1

≤

j

≤

[a/2]

, poisse

j >

[a/2]

,então

2(a

−

j)

< a

, mas

2(a

−

j)

é onúmeromáximo de partíulas quepodem ar ativas.

Teorema 1.4

P

(0, i, d) =

d

X

a

=2

d

−

1

n

−

1

a

P

(a, i, d

−

a).

Prova: Do estado

(a

′

, i

′

, d

′

)

podemospassarpara oestado

(0, i, d)

se, esomente

se,

d

=

d

′

+

a

′

e

i

=

i

′

, istoé, setodas as partíulas ativasmorrem. Observemos

que

d

−

1

n

−

₁

é a probabilidadede uma partíulaativamorrer eque onúmeromínimo

de partíulas ativasé

2

.

Notemosque a probabilidadede obrir totalmente

K

n

édada por

ρ

n

= 1

−

n

−

₁

X

d

=2

P

(0, n

−

d, d).

Usando as fórmulas anteriores omputamosvalores de

ρ

n

para vários valores

de

n

≤

200

. Os valores são apresentados natabela 1.1, que pode ser enontrada em [3℄. Conjeturamosque

ρ

n

→

0

quando

n

→ ∞

.

1.3.2 Duas vidas por partíula

Seja

(A

1

=

a

1

, A

2

=

a

2

, I

=

i, D

=

d)

ou

(a

1

, a

2

, i, d)

umpossívelestado deste modeloquenos dizonúmerode partíulasativasomumavida,ativasom duas

vidas, inativas e mortas, respetivamente. Fatos próprios desta dinâmia são: o

n

ρ

n

10

2,

38561

×

10

−

₁

25

2,

43941

×

10

−

2

50

5,

36173

×

10

−

4

75

1,

17556

×

10

−

₅

100

2,

57646

×

10

−

₇

200

5,

95080

×

10

−

₁₄

Tabela1.1: Valores de

ρ

n

.

a

1

+

a

2

+

i

+

d

=

n

, ada estado possível só é atingido no máximo uma vez, o

número de partíulas ativas

a

1

+

a

2

=

a

pode no máximodobrar de um instante para outro.

Temos aqui pequenas diferenças em relação ao modelo anterior: é possível

passar de um estadoda forma

(a

′

1

, a

′

2

, i, d

′

)

para um estado da forma

(a

1

, a

2

, i, d)

(mesmo número de partíulas inativas) desde que

a

′

2

6

= 0

, pois não aordar nenhumapartíulasigniaquetodas aspartíulasativaspularamsobresitíos já

visitados e perderam uma vida. Daí,

d

=

d

′

+

a

′

1

,

a

1

=

a

′

2

, oque garante-nos que

a

=

a

1

+

a

2

6

= 0

.

Seja

P

a medidade probabilidadedeste proesso. Então as ondiçõesiniiais

são:

P

(0,

2, n

−

2,

0) = 1

,

P

(0,

1, n

−

2,

1) =

P

(1,

0, n

−

2,

1) =

P

(1,

1, n

−

2,

0) = 0

,

P

(1,

0, n

−

1,

0) =

P

(0,

0, n

−

1,

1) = 0

e

P

(0,

1, n

−

d

−

1, d) = 0

. Também

P

(a

1

, a

2

, i, d) =

X

P

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)P

((a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

→

(a

1

, a

2

, i, d)

|

(a

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)),

ondeosomatórioésobreosestados

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

(a

1

, a

2

, i, d)

.

Notemos, onforme exposto aima, que para passar do estado

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

para o estado

(a

1

, a

2

, i, d)

(

a

6

= 0

) preisamos de que

d

′

≤

d

,

i

′

≥

i

e

a

1

+

a

2

+

i

+

d

=

a

′

1

+

a

′

2

+

i

′

+

d

′

, o que equivalentemente orresponde a

0

≤

d

′

≤

d

,

i

′

=

i

+

j, j

∈ {

0,

1,

2, ..., n

}

e

a

′

1

= (a

+

a

′

2

−

j

) + (d

−

d

′

)

. Das

a

′

1

partíulas

ativasom uma vida

d

−

d

′

morrerão

(d

′

+ (d

−

d

′

) =

d!)

; das

a

′

2

partíulasativas

om duas vidas

k

delas perderão uma vida. Logo,

a

′

−

(d

−

d

′

)

−

k

aordarão

j

das

i

+

j

partíulas inativas

((a

′

−

(d

−

d

′

) +

j

=

a!!)

. Como tinhamos

i

+

j

partíulas inativas e aordamos

j

, amos om

i

partíulas inativas. Ademais,

a

2

= (a

′

2

−

k) +

j

e

a

1

=

a

′

1

−

(d

−

d

′

) +

k

.

Apresentamos neste momento as fórmulas para qualquer possível estado,

ad-mitindo aquique

f(s, j

) = 0

quando

s < j

para failitara esrita daexpressão.

Lema 1.5

P

(a

1

, a

2

, i,

0) =

[

a/

2]

X

j

=1

a

1

X

k

=0

a

2

+

k

−

j

k

i

+

j

i

1

n

−

1

a

−

_j

−

_k

a

−

j

−

1

n

−

1

k

f(a

−

j

−

k, j)P

(a

1

−

k, a

2

+

k

−

j, i

+

j,

0),

onde

a

2

>

0

.

Prova : Passamos do estado

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

para o estado

(a

1

, a

2

, i,

0)

se, e

somente se,

d

′

= 0

,

i

′

=

i

+

j

,

a

′

=

a

−

j

,

k

das

a

′

2

perdem uma vida (

a

2+

k

−

j

k

),

0

≤

k

≤

a

′

2

,e

a

′

1

+a

′

2

−

k

=

a

1

+a

2

−

j

−

k

partíulasativasaordam

j

(

f

(a

−

j

−

k, j)

) das

i

+

j

(

i

+

j

i

=

i

+

_j

j

) partíulas inativas,onde

a

′

1

=

a

1

−

k

e

a

′

E

1

n

−

₁

orresponde àprobabilidadede umapartíulaativaaordaruma partíula

inativa xada e

1

−

i

′

n

−

₁

=

a

−

j

−

1/n

−

1

à probabilidade de uma partíula ativa perderuma vida. Ademais,

j

≤

[a/2]

, poisse

j >

[a/2]

, então

2a

′

< a

,mas

2a

′

≥

a

. E

1

≤

j

, poisse

j

= 0

,então

a

2

= 0

.

Lema 1.6

P

(a

1

,

0, i, d) =

d

X

d

′

₌₀

a

1

+

d

−

1

n

−

1

a

1+

d

−

_d

′

P

(d

−

d

′

, a

1

, i, d

′

),

onde

d

≥

0

.

Prova: Do estado

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

podemos passar para oestado

(a

1

,

0, i, d)

se,

esomentese,

d

′

≤

d

,

j

= 0

, jáque

a

2

= 0

,e

a

1

=

k

=

a

′

2

, poistodas aspartíulas

ativas perderam uma vida. E

a

1

+

d

−

1/n

−

1

éprobabilidadede uma partíula ativa perder uma vida.

Teorema 1.7

P

(a

1

, a

2

, i, d) =

d

X

d

′

₌₀

[

a/

2]

X

j

=1

a

1

X

k

=0

d

−

d

′

+

a

1

−

k

d

−

d

′

a

2

+

k

−

j

k

i

+

j

i

1

n

−

1

a

−

_j

−

_k

d

+

a

−

j

−

1

n

−

1

k

+

d

−

_d

′

f

(a

−

j

−

k, j)P

(a

1

−

k

+

d

−

d

′

, a

2

+

k

−

j, i

+

j, d

′

),

onde

a

2

>

0

.

Prova : Passamos do estado

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

para o estado

(a

1

, a

2

, i, d)

se, e

somentese,

0

≤

d

′

≤

d

,

i

′

=

i+j

,

a

′

1

+a

′

2

=

a

1

+a

2

−

j

+(d

−

d

′

)

,

k

das

a

′

perdemumavida(

a

2

+

k

−

j

k

),

0

≤

k

≤

a

′

2

,das

a

′

1

=

a

1

−

k

+(d

−

d

′

)

partíulasativas om umavida

d

−

d

′

morrem(

a

1

−

k

+(

d

−

d

′

)

d

−

_d

′

);

d

+

a

−

j

−

1

n

−

₁

= 1

−

i

′

n

−

₁

éaprobabilidade

de umapartíulaativaperderuma vida,

a

′

1

+

a

′

2

−

(d

−

d

′

)

−

k

=

a

1

+

a

2

−

j

−

k

partíulas ativasaordam

j

das

i

+

j

partíulas ativase

1

n

−

₁

éa probabilidadede

uma partíula ativaaordaruma inativaxada. Maisainda:

1

≤

j

≤

[a/2]

, pois se

j >

[a/2]

, então

2(a

−

j

)

< a

, mas

2(a

−

j)

é o número máximo de partíulas que podemar ativas,ese

j

= 0

,então

a

2

= 0

.

Teorema 1.8

P

(0,

0, i, d) =

d

−

₁

X

d

′

₌₀

d

−

1

n

−

1

d

−

_d

′

P

(d

−

d

′

,

0, i, d

′

).

Prova : Do estado

(a

′

1

, a

′

2

, i

′

, d

′

)

podemos passar para o estado

(0,

0, i, d)

se, e

somentese,

i

=

i

′

,

a

′

2

=

k

=

a

1

= 0

e

d

=

d

′

+

a

′

1

, pois todas as partíulas ativas

perdemuma vida. Observemos que

d

−

₁

n

−

1

é aprobabilidadede uma partíulaativa

morrer eque o número mínimode partíulas ativas neste aso é

1

.

A probabilidadede obrir totalmenteo grafo

K

n

é dada por

ρ

n

= 1

−

n

−

1

X

d

=2

P

(0,

0, n

−

d, d).

Com asexpressões matemátiase as ondiçõesde ontorno dadas aima

al-ulamosvaloresde

ρ

n

paravários valores de

n

≤

75

. Osvalores são apresentados na tabela 1.2. Pelo omportamento de

ρ

n

, que nos dá sinais de que deai

n

ρ

n

5

0,

845888

6

0,

807024

7

0,

770539

8

0,

736093

9

0,

703361

10

0,

672157

25

0,

340764

50

0,

109927

75

0,

035467

Simulações

2.1 Uma vida por partíula

Realizamos simulações do proesso om uma vida por partíúla

n

= 500

,

1000

,

2000

e

5000

e notamosos valores de

a/n

e

(m

+

a)/n

emada instantede

tempo. Observamos que o omportamento do proesso se altera pouo quando

omparamos os valores alançados pelas simulações para diferentes valores de

n

(gura 2.1). Nosso trabalho leva-nos a areditar que os máximos de

a/n

e

(d

+

a)/n

estão perto de

0,

35

e

0,

83

, respetivamente. Outro fato observado

nos diz queaté um instanteum pouoalém do máximode

a/n

oresimentode

(d

+

a)/n

é rapido, pois há ainda um onjunto substanial de vérties inativos,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

=

2000

At



n

Vt



n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

=

5000

At



n

Vt



n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

₌

500

At



n

Vt



n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

₌

1000

At



n

Vt



n

Figura2.1: Evolução de

a/n

e

(d

+

a)/n

emsimulaçõespara

n

=

500,1000, 2000 e 5000. Linhas de 0,36 e 0,83 são indiadas.

2.2 Duas vidas por partíula

Assimulaçõesdomodeloestoástioomduasvidasporpartíúlaforam

reali-zadaspara

n

= 500

,

1000

,

2000

e

5000

enotamososvaloresde

a/n

e

(m

+a)/n

em ada instantede tempo. Observamos de novoque o omportamentodo proesso

se alterapouoquando omparamos osvalores alançados pelas simulaçõespara

diferentes valores de

n

(gura2.2). Cremos que os máximos de

a/n

e

(d

+

a)/n

estão próximos a

0,

63

e

0,

95

, respetivamente. Aqui também notamos que até um pouo além do máximo de

a/n

o resimento de

(d

+

a)/n

é rapido,poishá aindauma proporçãosigniativade vértiesinativos,mas algunsinstantes após

As-sim omo para proesso emque

L

= 1

,em virtude dodesloamento dos gráos para a direitaquando

n

rese, háindíiosde que

a/n

e

(d

+

a)/n

onvirjamem distribução.

Análise de ampo médio

3.1 Uma vida por partíula

Analisemosadinâmiaem

K

n

sob aótia daanálisede ampomédio, aqual

não leva em onta a dependênia entre as trajetórias das partíulas e narra o

desenvolvimento dessa dinâmia através de médias. A forma omo deniremos

a proporção de partíulas ativas, inativas e mortas está totalmente motivada

pelo que aonteeria no grafo ompleto se tivessemos independênia. Seja

a

0

∈

(0,

1)

pequeno em

t

= 0

; ada partíula inativa aorda om probabilidade

a

0

independente das outras e denimos

d

0

= 0

. Logo em

t

= 0

aordam em média

a

0

n

partíulas. Agora denimos adinâmiapara

t

+ 1

:

1. Cada partíula ativa pode morrer ou pode sobreviver, morre om

proba-bilidade

d

t

+

a

t

independente das outras e sobrevive om probabilidade

1

−

d

t

−

a

t

independente das outras, onde

d

t

e

a

t

são a proporção de

média

(d

t

+

a

t

)a

t

n

partíulas e sobrevivem em média

(1

−

d

t

−

a

t

)a

t

n

partíulas.

2. Cada partíula inativa pode aordar ou não, aorda om probabilidade

(1

−

exp(

−

a

t

))

independente das outras. Logo aordam em média

(1

−

d

t

−

a

t

)n(1

−

exp(

−

a

t

))

partíulas. Observe que

(1

−

d

t

−

a

t

)

é a

proporção de partíulas inativas no instante

t

e

(1

−

d

t

−

a

t

)n

é o número de partíulas inativas noinstante

t

.

Vejamos amotivação: seja

(a, i, d)

um estadodomodeloestoástionografo ompleto, então

a

partíulas saltaram,

v

= (d

+

a)/n

é a proporção oberta, ou seja, o onjunto de vérties visitados,

1

−

v

é proporção de partíulas ainda inativase

(1

−

v

)n

énúmero de partíulas quepermaneeminativase emmédia

(1

−

v)a

partíulassaltaramesobreviveram,istoé,aordarampartíulasinativas.

Seja

a

=

βn

,onde

β

éaproporção de partíulas ativas. Aprobabilidadede uma partíulainativaxa ser aordada poruma das

(1

−

v)a

partíulas quesaltam e sobrevivem é

1/(1

−

v

)n

. Logo

1

−

1

(1

−

v)n

(1

−

_v

₎

_βn

é aprobabilidadede umapartíula inativaxa não ser despertadapornenhuma

das

(1

−

v)a

partíulasquesaltaramesobreviveram,quetendea

exp(

−

β)

quando

n

tendea innito. Então aordamemmédia

t

+ 1

asproporções, emmédia,departíulasmortaseativassão,respetivamente,

d

t

+1

=

d

t

+ (d

t

+

a

t

)a

t

,

a

t

+1

= (1

−

d

t

−

a

t

)(1

−

exp(

−

a

t

)) + (1

−

d

t

−

a

t

)a

t

= (1

−

d

t

−

a

t

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

)).

Isso nos diz que para os primeiros instantes de tempo

a

t

quase dobrará seu

valor, o que notamos através das simulações, pois

exp(

−

a

t

)

é próximo de

1

−

a

t

quando

a

t

é pequeno. Observamos que, omo

1

−

x <

exp(

−

x)

<

1

−

x

+

x

2

_/2

,

x

∈

(0,

1)

, temos que

a

t

+1

= (1

−

m

t

−

a

t

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

))

<

2a

t

e

(1

−

m

t

−

a

t

)(a

t

−

(a

t

/2)

2

)

<

(1

−

m

t

−

a

t

)(1

−

exp(

−

a

t

))

⇒

(1

−

m

t

−

a

t

)(2a

t

−

(a

t

/2)

2

)

<

(1

−

m

t

−

a

t

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

)) =

a

t

+1

.

Logo,

(1

−

m

t

−

a

t

)a

t

(2

−

a

t

/2)

< a

t

+1

<

2a

t

.

Portanto,se

t < t

1

e

0,

001

≤

a

t

1

<

0,

002

valem as desiguladades

1,

994a

t

<

(1

−

0,

000006

−

0,

002)2a

t

≤

a

t

+1

<

2a

t

,

onde

0,

000006

provém dofatode que

d

t

<

0,

003a

t

,que serádemonstrado poste-riormente,e

a

0

≤

a

1

≤

...

≤

a

t

1

. Esses fatos serãoúteis mais adiantenaprovade

Voltemos e observemos que

n

, o número de vérties, está xo e que

t

varia.

Notemos que

v

t

=

d

t

+

a

t

, a proporção de vérties visitados om esta nova di-nâmia, deveria ser denotada por

v

t

(n) =

d

t

(n) +

a

t

(n)

. A Figura 3.1 mostra a evolução de

a

t

e

v

t

para

n

= 500

,

1000

,

2000

e

5000

, que omparamos om a Figura 2.1: as orrelações não estragam o omportamento global do proesso

quando omparado omeste noqual temosindependêniae trabalhamosom as

médias.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

₌

2000

at

vt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

₌

5000

at

vt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

=

500

at

vt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

=

1000

at

vt

Figura 3.1: Evolução de

a

t

e

v

t

para

n

=

500, 1000, 2000 e5000. Linhas de 0,36 e 0,83 são indiadas. (

a

0

= 2/n

e

d

0

= 0

).

Isso motivanosso objetivo,demonstrado apósos lemas 3.2e 3.3:

Teorema 3.1 (1) Seja

lim

t

→∞

v

t

=

v

=

v(n)

. Então

v

(n)

perteneaointervalo

(2) Existe

a

M

=

a

M

(n)

, o máximo dos

a

t

, e este máximo pertene ao intervalo

(0,

3407; 0,

3548)

para todo

n

.

(3)

a

M

se onsegue num

t

=

t(n)

que é da ordem de

log

n

pois

log(0,

0005n)/log 2

< M <

log(0,

001n)/log 1,

994 + 30

Essesresultados apturammuitobemoqueaonteenas simulaçõesdografo

ompleto. Eslareemos que

a

0

deve ser pequeno pois nografo ompleto sempre

omeçamos om duas partíulas ativas, logo a proporção iniial de partíulas

aordadas é

2/n

. Porémpodemostomar

a

0

∈

(0,

1)

à vontade. Quando

a

0

= 2/n

e

d

0

= 0

os álulos omputaionais indiam que

v

é onstante para todo

n

,

0,

825455...

,istoé, que

lim

n

→∞

lim

t

→∞

v

t

existe e que

a

t

atinge um máximo, que

variaom

n

, nointervalo

(0,

3407; 0,

3548)

.

Ospróximosdois lemas são fundamentaisnademonstração doteorema3.1.

Lema 3.2 (1) Existe

M

=

M(n)

tal que

a

0

≤

a

1

≤

...

≤

a

M

−

₁

≤

a

_M

> a

_M

₊₁

> a

_M

₊₂

> ...

(2)

0,

15

≤

a

M

.

(3)

lim

t

→∞

v

t

= lim

t

→∞

d

t

=

v

=

v(n)

<

1

.

(4) Se

a

t

≤

0,

002

então

d

t

<

0,

003a

t

.

Oseguinte resultado é onseqüênia imediatadas fórmulas

para

d

t

+1

e

a

t

+1

que independam de

n

.

Lema 3.3 Se

z < a

t

< w

e

y < d

t

< u

, então

y

+ (y

+

z)z < d

t

+1

< u

+ (u

+

w)w

(1

−

w

−

u)(1 +

z

−

exp(

−

z))

< a

t

+1

<

(1

−

z

−

y)(1 +

w

+ exp(

−

w)).

Aprovadoteorema3.1baseia-senos dois lemasanteriores. As simulaçõesno

grafo ompleto são nossa bússola, dizem-nos que a ação se desenrola em pouas

unidades de tempo, menos do que

30

deles. A idéia é esta: omo

0,

15

≤

a

M

, existe

t

1

< M

para o qual

0,

001

< a

t

1

<

0,

002

(

a

t

<

2a

t

−

1

). Agora dividimos o segmento

(0,

001; 0,

002)

emsegmentosdeomprimentomuitopequenoefazemos, para ada um desses subintervalos, om que

z

e

w

tomem os valores extremos

desses subintervalos, om

y

= 0

e

u

= 0,

000006

. Em seguida, apliamos o lema anterior am de obtermos novos valores para

z

,

w

,

y

e

u

para ada subintervalo

de

(0,

001; 0.002)

. Comistoobteremosotas,dependentes deadasegmento,para

a

t

1+1

, a

t

1+2

, ..., a

t

1

+30

e para

d

t

1+1

, d

t

1

+2

, ..., d

t

1+30

que são suientes para

enon-trarmosum intervalonoqual

lim

t

→∞

d

t

=

v

está ontido. Após feitososálulos para todosubintervalo de

(0,

001; 0,

002)

,temospares de limitantesinferior e su-perior para

v

que dependem de ada subintervalo. Basta agora tomarmos omo

Demonstração do teorema 3.1

Prova:

(3)

: Dadoque

a

M

≥

0,

15

,existe

t

1

< M

talque

0,

001

< a

t

1

<

0,

002

. Mas se

t < t

1

, então

1,

994a

t

≤

a

t

+1

<

2a

t

. Como

a

0

= 2/n

, teremos que

0,

001

< a

t

1

<

2/n2

t

1

e

2/n1,

994

t

1

< a

t

1

<

0,

002

. Logo

t

1

é da ordem de

log

n

. Antes de demonstrarmos

(1)

e

(2)

, vejamos omo foram alulados as otas para

a

t

e

d

t

onformeo lema 3.3:

Sejam

h

∈ {

5,

6, ...

}

e

r

= 1/10

h

. Teremos então

(0,

002

−

0,

001)/r

subinter-valos. Esrevemos

z

= 0.001 + (k

−

1)r

,

w

= 0.001 +

kr

,

k

∈ {

1,

2, ...; 0,

001/r

}

, om

y

= 0

e

u

= 0,

000006

. Logo podemos alular novos limitantes para

a

t

+1

e

d

t

+1

e assimsuessivamente.

(2)

: Umáluloomputaionalmostra-nosque

30

iterações,para

h

= 8

etodo

subintervalo de

(0,

001; 0.002)

, são suientes para armar que o máximo se dá emalgum

t

∈ {

t

1

+ 1, t

1

+ 2, ..., t

1

+ 30

}

epertene aointervalo

(0,

3407; 0,

3548)

. Armamos também que este máximo oorre em

t

1

+ 10

ou

t

1

+ 11

, dependendo de ada subintervalo,o queem qualquer aso é de ordem

log

n

.

(1)

: Observemos que

d

t

< d

t

+1

e

d

t

+1

=

d

t

+ (d

t

+

a

t

)a

t

< d

t

+

a

t

⇒

d

t

+

i

< d

t

+

i

−

₁

X

j

=

t

a

j

.

Logo

d

t

1+30

<

lim

t

→∞

d

t

≤

d

t

1+30

+

P

∞

i

=

t

1

+30

a

i

. Como

a

t

1

+30

<

7.10

−

₉

se

h

= 8

e para

M

+ 1

observamos

v

M

+1

>

0,

60

, resultado este alulado

d

t

1+30

∈

(0,

8248; 0.82609)

e

P

∞

i

=

t

1

+30

a

i

<

5a

t

1

+30

.

Agoraomeçamosasprovasdoslemas3.2e3.3. Umargumentoprobabilístio

é válido para o seguinte lema.

Lema 3.4 Para todo

t

∈ {

0,

1,

2, ...

}

temos que

a

t

>

0

,

d

t

≥

0

e

0

< v

t

<

1

para todo

n

.

Prova:

a

0

>

0

,

d

0

= 0

e

v

0

=

a

0

. Suponhamos que

a

t

>

0

,

d

t

≥

0

e

0

< v

t

<

1

, então

d

t

+1

=

d

t

+ (d

t

+

a

t

)a

t

>

0.

Agora

0

< a

t

≤

d

t

+

a

t

=

v

t

= 1

−

x <

1

, para algum

x >

0

, logo

v

t

+1

=

d

t

+1

+

a

t

+1

=

d

t

+

a

t

+ (1

−

d

t

−

a

t

)(1

−

exp(

−

a

t

))

= 1

−

x

+ (1

−

d

t

−

a

t

)(1

−

exp(

−

a

t

))

<

1

−

x

+

x

= 1.

Também

a

t

+1

= (1

−

v

t

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

))

>

0

Comooroláriodolemaanterior temososeguinte:

lim

t

→∞

v

t

=

v

(existe para ada

n

)pois

0

< v

t

<

1

e

v

t

< v

t

+1

. Alémdisso,

0

≤

d

t

< v

t

<

1

e

d

t

< d

t

+1

, logo

lim

t

→∞

d

_t

=

d

(existe para ada

n

).

Nosso primeiro resultado importante na prova dos Lemas 3.2 e 3.3 é

Lema 3.5

lim

t

→∞

a

t

= 0

.

Prova : Suponhamos que exista uma subseqüênia innita

{

t

k

}

tal que,

∀

t

k

,

a

t

k

> ǫ

,então

d

t

k+1

=

d

t

k

+(d

t

k

+a

t

k

)a

t

k

,oqueimpliaque

d

t

k+1

> d

t

k

+(d

t

k

+ǫ)ǫ

.

Portanto teríamosque

d

≥

d

+ (d

+

ǫ)ǫ

, oque é absurdo. Logo tal subseqüênia não existe e

lim

t

→∞

a

t

= 0

.

Portanto,

lim

t

→∞

d

t

=

v

eexiste

t

0

talque

a

t

0

> a

t

0+1

,poisaseqüêniados

a

t

não pode ser resente. Seja

M

oprimeiro

t

talque

a

t

> a

t

+1

. Agora observemos

que

g

(x) = 1 +

x

−

exp(

−

x)

é resente em

(0,

1)

, já que

g

′

(x)

>

0

. Esses fatos

serão usados nopróximo resultado.

Lema 3.6

a

M

> a

M

+1

> a

M

+2

> ...

Prova:

a

M

+2

= (1

−

v

M

+1

)(1 +

a

M

+1

−

exp(

−

a

M

+1

))

<

(1

−

v

M

)(1 +

a

M

+1

−

exp(

−

a

M

+1

))

<

(1

−

v

M

)(1 +

a

M

−

exp(

−

a

M

))

=

a

M

+1

,

eos outros asos seguempor indução.

Portanto,

v

≥

1/2

, pois

(1

−

d

t

−

a

t

)a

t

(2

−

a

t

/2)

< a

t

+1

, o que implia que

lim

t

→∞

(1

−

d

_t

−

a

_t

)(2

−

a

_t

/2) = (1

−

v

)2

≤

1

⇔

1/2

< v

. Ademais,

v

M

−

1

<

1/2

A seguir vamos obter um limitante infeior para

d

t

+1

que nos será útil para

obter um limitantepara

a

M

.

Lema 3.7

d

t

+1

= (a

t

)

2

+

(a

t

−

1

)

2

_{(1 +}

_a

t

)

+

(a

t

−

₂

)

2

(1 +

a

_t

−

₁

)(1 +

a

_t

)

+

...

+

(a

0

)

2

(1 +

a

1

)...(1 +

a

t

).

Prova:

d

t

+1

=

d

t

+ (d

t

+

a

t

)a

t

=

d

t

(1 +

a

t

) + (a

t

)

2

= (d

t

−

₁

(1 +

a

_t

−

₁

) + (a

_t

−

₁

)

2

)(1 +

a

_t

) + (a

_t

)

2

=

d

t

−

1

(1 +

a

t

−

1

)(1 +

a

t

) + (a

t

−

1

)

2

_{(1 +}

_a

t

) + (a

t

)

2

= (a

t

)

2

+ (a

t

−

₁

)

2

_{(1 +}

_a

t

) + (a

t

−

₂

)

2

_{(1 +}

_a

t

−

₁

)(1 +

a

_t

) +

...

+ (a

0

)

2

(1 +

a

1

)...(1 +

a

t

)

Logo

d

t

+1

>

P

t

i

=0

(a

i

)

2

. Como

a

t

<

2a

t

−

1

, temos que

a

t

<

2

i

_a

t

−

i

. Daí

d

t

> a

2

t

/2

2

t

+

a

2

t

/2

2(

t

−

₁₎

+

...

+

a

2

t

/2

2

> a

2

t

(1/4 + 1/16)

. Portanto,

d

t

>

5/16(a

t

)

2

Agora será fáil mostrar, usando o resultado anterior, que

a

M

<

0,

41

, pois

0

< g(x) = (1

−

x

−

5/16x

2

_{)(1 +}

_x

₋

_exp(

₋

_x))

_<

_0,

₄₁

nointervalo

(0; 0,

41)

.

Lema 3.8

a

t

<

0,

41

.

Prova: Tomemos

a

0

<

0,

41 (a

0

= 2/n)

. Agora suponhamos

a

t

<

0,

41

,logo

a

t

+1

= (1

−

v

t

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

))

<

(1

−

a

t

−

5/16(a

t

)

2

)(1 +

a

t

−

exp(

−

a

t

))

<

0,

41

Vimosque

a

M

<

0,

41

,e agora saberemos que

0,

15

≤

a

M

<

0,

41

. Este resul-tadonosdizque,paraada

n

,aseqüênia

{

a

t}

passapelointervalo

(0,

001; 0,

002)

.

Lema 3.9

a

M

≥

0,

15

.

Prova : Suponhamos

a

M

<

0,

15

e vejamos que

d

t

< a

t

para todo

t

. Pri-meiramente sabemos que

a

0

> m

0

. Suponhamos agora que

a

t

> m

t

. Como

d

t

+1

< a

t

(1 + 2a

t

)

<

1,

3a

t

e

a

t

+1

>

(1

−

d

t

−

a

t

)a

t

(2

−

a

t

/2)

>

0,

7a

t

(2

−

0,

15/2)

>

1,

3a

t

, então

d

t

+1

< a

t

+1

. Porém isto ontradiz o fato de que

lim

t

→∞

d

t

=

v

e

lim

t

→∞

a

_t

= 0

. Portanto,

a

M

≥

0,

15

.

Já obtivemos um limitante inferior para

d

t

, agora obteremos um limitante

Lema 3.10 Se

a

t

≤

0,

002

então

d

t

<

0,

003a

t

.

Prova : Iniialmente, temos que

d

0

<

0,

003a

0

. Suponhamos que

d

t

<

0,

003a

t

. Logo

0,

003a

t

+1

−

d

t

+1

>

0,

003(1

−

0,

003a

t−

a

t

)(1+a

t−

exp

−

a

t

)

−

(0,

003a

t

+(0,

003a

t

+a

t

)a

t

)

= 0,

003(1

−

0,

003a

t

−

a

t

)(1 +

a

t

−

exp

−

a

t

)

−

a

t

(0,

003 + (0,

003 + 1)a

t

)

>

0

, para

a

t

≤

0,

002

. Portanto,

0,

003a

t

−

d

t

>

0

.

3.2 Duas vidas por partíula

Similarmenteà seção anterior, podemos denir as equações de ampo médio

para o aso em que ada partíula possui

2

vidas. Uma diferença que podemos notar iniialmente diz respeito à perentagem de partíulas mortas: de um

ins-tante a outro ela só pode ser aresida das partiulas ativasom uma vida (

a

1

t

)

que morreram,poisaspartíulas ativasomduas vidas(

a

2

t

)não podemperder

2

numa úniapassagem. Daí

d

t

+1

=

d

t

+ (d

t

+

a

t

)a

1

t

.

Da mesma maneira, a equação que rege as partíulas inativas é dada por

i

t

+1

=

i

t

−

i

t

(1

−

exp(

−

a

t

)) =

i

t

exp(

−

a

t

)

, onde aqui

a

t

=

a

1

t

+

a

2

t

. Logo