Atratores para equações de reação-difusão em domínios arbitrários

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Atratores para equações de reação-difusão em

domínios arbitrários

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Atratores para equações de reação-difusão em domínios

arbitrários

Henrique Barbosa da Costa

Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo Carbinatto

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Junho de 2012

Data de Depósito: 18/06/2012

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com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

C837a

Costa, Henrique Barbosa da

Atratores para equações de reação-difusão em domínios arbitrários / Henrique Barbosa da Costa; orientadora Maria do Carmo Carbinatto. -- São Carlos, 2012.

86 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

1. Atratores globais. 2. Equações parabólicas. 3. Equações de reação-difusão. 4. Estimativas de

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podiam escutar a m´usica”.

(5)

(6)

Agradec¸o a minha fam´ılia pelas horas passadas em casa, que sempre foram confortantes,

independente do momento. Em especial `a minha m˜ae, que sempre me guiou e aconselhou nas

encruzilhadas que passamos. Fico feliz em dizer que ela cumpriu bem o seu papel, que segundo

ela mesma é “criar asas”para que possa ficar tão longe da fam´ılia e não me sentir triste e “manter

ra´ızes”para que sempre saiba onde procurar conselhos e se sentir em casa. E agradec¸o ao meu

pai pelos genes, afinal, a culpa por seguir esta profiss˜ao tem que ser de algu´em.

Agradeço aos meus irmãos. A quem eu deveria servir de exemplo, por ser o primogênito,

mas que, `as vezes, sinto que s˜ao mais exemplos para mim do que sou a eles.

Agradeço a minha namorada, que sempre fez tão bem pra mim, apesar da distância. Por me

apoiar, sustentar e me amar apesar de todos pesares. Eu sei que ´e dif´ıcil, mas se fosse f´acil, que

grac¸a teria?

Agradec¸o aos meus amigos. Os amigos de Sete Lagoas por serem meu escape. Como dizem,

os amigos s˜ao a fam´ılia que nos deixam escolher, e creio que escolhi meus irm˜aos muito bem.

E os amigos de S˜ao Carlos que tornaram minha moradia aqui quase nada complicada, fazendo

estudar matem´atica parecer f´acil e divertido (talvez tenha exagerado um pouco aqui).

Agradeço à minha orientadora, Maria do Carmo Carbinatto, pela paciência, devoção e

cui-dado. Por toda a orientação, que não teria como ser melhor. Pelo fim dessa jornada me sinto

orgulhoso em poder chama-la de amiga.

(7)

(8)

Neste trabalho estudamos a dinâmica assintótica de uma classe de equações diferenciais

de reação-difusão definidas em abertos de R3_{arbitrários, limitados ou não, com condições de}

fronteira de Dirichlet. Utilizando a t´ecnica de estimativas de truncamento, como nos artigos de

Prizzi e Rybakowski, mostramos a existˆencia de atratores globais.

Palavras-chave: Atratores globais, equações parabólicas, equações de reação-difusão,

(9)

(10)

In this work we study the asymptotic behavior of a class of semilinear reaction-diffusion

equations defined on an arbitrary open set of R3_{, bounded or not, with Dirichlet boundary}

conditions. Using the tail-estimates technic based on papers of Prizzi and Rybakowski, we

prove existence of global attractors.

(11)

(12)

Introduc¸˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Medidas espectrais . . . 3

1.2 Operadores de Nemytskiˇı . . . 7

1.3 Medida de n˜ao-compacidade de Kuratowski . . . 9

1.4 Operadoresm-dissipativos . . . 10

1.5 Operadores setoriais . . . 11

1.6 Semifluxos e atratores globais . . . 21

1.7 Equações diferenciais parabólicas . . . 24

2 O problema linear 31 2.1 Um resultado de an´alise funcional . . . 31

2.2 Resultados auxiliares sobre espaços de potências fracionárias . . . 34

2.3 O problema linear abstrato . . . 51

3 O problema n˜ao-linear 57 3.1 Estimativas n˜ao-lineares . . . 57

(13)

4 Dinˆamica assint´otica 69

4.1 Equações parabólicas semilineares . . . 69

4.2 Construção da função de Lyapunov . . . 73

4.3 Estimativas de truncamento . . . 76

4.4 Compacidade assint´otica e existˆencia de atrator . . . 80

5 Considerac¸˜oes finais 83

Referˆencias bibliogr´aficas 85

(14)

A teoria de sistemas dinˆamicos descreve fenˆomenos que evoluem com o tempo. Dessa

forma, sistemas dinâmicos servem de modelo para várias áreas das ciências aplicadas. Uma

questão que podemos colocar é entender o compartamento assintótico de um determinado

sis-tema dinˆamico. Neste contexto, podemos investigar a existˆencia de conjuntos invariantes com

determinadas propriedades ou, em particular, a existˆencia de atratores globais. O papel dos

atratores globais está diretamente relacionado com o estudo da dinâmica assintótica dos

siste-mas dinâmicos. A existência de um atrator global nos fornece a garantia de que o fenômeno se

aproxima de um padr˜ao no futuro.

Neste trabalho, estudamos uma classe de equações diferenciais parciais parabólicas e

apre-sentamos condições para existência de um atrator global. Mais especificamente, consideramos

a seguinte equação de reação-difusão semilinear

ut+β(x)u−∑i,j∂i(ai j(x)∂ju) = f(x,u), t≥0,x∈Ω,

u(x,t) =0, t_≥0,x_∈∂Ω, (ERD)

ondeΩé um aberto arbitrário emRN_{(limitado ou não),}_β_: _Ω_→R_e _f_: _Ω_×R_→R_{são funções}

dadas e Lu:=∑_i_,_j∂i(ai j(x)∂ju)´e o operador diferencial de segunda ordem na forma divergente.

Existe uma vasta literatura tratando da existência de atratores para equações de

reação-difusão em dom´ınios limitados (ver, por exemplo, os livros [14], [2], [7], [17] e [23]). Neste

caso, a compacidade assintótica das soluções é obtida da compacidade da inclusão de Sobolev

H1(Ω)_⊂L2(Ω).

Para caso de dom´ınios não limitados, esta inclusão não é compacta e necessitamos de

ou-tras ferramentas para obter a propriedade da compacidade assintótica das soluções. Nos

traba-lhos [3], [1], [21], [24] os autores mostram a existência de atrator global para uma equação de

(15)

reação-difusão definida em um dom´ınio não limitado. O objetivo deste trabalho é apresentar o

trabalho desenvolvido em [21].

Em [21], os autores mostram a existência de atrator global para a equação parabólica (ERD) definida em um dom´ınioΩnão limitado deR3_{(isto é,}_N₌_{3) sem supor qualquer condição de}

regularidade na fronteira∂ΩdeΩou nas func¸˜oesai j(·). No trabalho, os autores exploram da

técnica de estimativas de truncamento desenvolvida por Wang em [24] e o fato de que a equação

do calor admite um funcional de Lyapunov.

Observamos que sem hipóteses de regularidade sobre∂Ωe emai j(·)não é poss´ıvel estudar

(ERD) emLq(Ω)comq₆=2. Isso se dá porque não podemos usar a teoria de regularidade das equações el´ıpticas para caracterizar os espaços de potências fracionárias gerados pelo operador

−L+β(x)I. Contudo, de modo a trabalhar emL2(Ω), devemos impor condições de crescimento em f. No caso particular em queN=3 o expoente cr´ıtico éρ=5.

Para descrever o trabalho [21] organizamos a apresentac¸˜ao como segue. No Cap´ıtulo 1

enumeramos alguns conhecimentos preliminares importantes que foram estudados para o

de-senvolvimento do trabalho.

No Cap´ıtulo 2 apresentamos as Hip´oteses (HL1), (HL2) e (HL3). Com estas hip´oteses

o operador u_{7→ −}Lu+β(x)u define um operador positivo auto-adjunto A: D(A)_⊂X _→X, ondeX=L2(Ω). Apresentamos as propriedades importantes do operadorAe constru´ımos uma fam´ılia de operadores auto-adjuntosA₍_α₎,α _∈R_{tal que}_A₍_α₎_: _Xα _→_Xα−1_.

No Cap´ıtulo 3 apresentamos a Hip´otese (HNL) e determinamos umα _∈[0,1)tal que a partir

uma função f satisfazendo Hipótese (HNL) obtemos um operador de Nemytskiˇıf: H₀1(Ω)_→

X−α. Munido dos resultados sobre equações parabólicas apresentados no Cap´ıtulo 1 obtemos que (ERD) gera um semifluxo globalπ emH₀1(Ω).

Finalmente, no Cap´ıtulo 4, demonstramos o principal resultado deste trabalho que diz que

assumindo as Hip´oteses (HL1), (HL2), (HL3) e (HNL), o semifluxoπpossui um atrator global

(16)

1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentamos os diversos conceitos e resultados b´asicos estudados.

1.1 Medidas espectrais

As referências [10] e [16] foram consultadas para esta seção.

A teoria espectral para operadores fechados tem como objetivo representar operadores

li-neares fechados de um modo mais simples. SeX ´e um espac¸o de Banach eA: D(A)_⊂X _→X

´e um operador linear fechado, o elemento principal dessa teoria ´e o espectro do operador A,

σ(A).

Outra consequˆencia importante da teoria espectral, al´em de escrever o operador de forma

mais simples, é o cálculo operacional. Com o cálculo operacional podemos “aplicar” funções a

operadores lineares. Isso ´e, seA ´e um operador linear fechado e f: R_→R_{tem certas}

proprie-dades, poderemos definir f(A)que ser´a um operador linear limitado emL₍_X_{) =}_{_B_: _X _→_X_|

B´e linear e limitado_}.

As medidas espectrais ou fam´ılias espectrais se encontram nesse contexto. QuandoX é um espaço de Hilbert eAé um operador auto-adjunto podemos definir uma fam´ılia de subespaços de

X que se relaciona de modo biun´ıvoco com o operadorA. É poss´ıvel também aplicar o cálculo operacional para estas fam´ılias e realizar o cálculo de funções de operadores. No caso particular

estudado aqui, o cálculo operacional será importante na geração das fam´ılias de espaços de

(17)

potˆencias fracion´arias deX.

Dessa forma, no que segue X denota um espac¸o de Hilbert com produto interno _h·,_·iX.

Vamos ent˜ao, definir de uma forma mais abstrata, o conceito de fam´ılia espectral.

Seja_{E_λ_}_λ_∈Ruma fam´ılia de projec¸˜oes ortogonais emX. Dadox∈X definimos

E₋∞x= lim

λ→−∞Eλx,

E+∞x= lim

λ→∞Eλxe

E_λ₊₀x= lim

ε→0+Eλ+εx.

Definição 1.1.1. Uma fam´ılia_{Eλ}λ_∈Rde projeções ortogonais em X é chamadauma fam´ılia

espectralouresolução da identidadese satisfaz as condições:

(i) Eλ◦Eµ=Emin{λ,µ_}, para todoλ, µ∈R.

(ii) E₋∞=0e E+∞=I.

(iii) E_λ₊₀=E_λ para todoλ _∈R_.

Observamos que os limites acima s˜ao tomados na norma deX.

Proposição 1.1.2. Seja _{Eλ}λ_∈R uma fam´ılia espectral em X . Então para todo u, v∈X a

func¸˜ao

λ _∈R_{7→ h}_E_λ_u_,_v_i_X _∈R _(1.1.1)

é uma função de variação limitada em todo intervalo limitado da reta. Além disso, sua variação total V(λ;u,v)satisfaz

V(λ;u,v)_{≤ |}u_||v_|, para todo u, v_∈X eλ _∈R_.

Sejam[α,β]_⊂R _{um intervalo fechado de}R_, _f_: R_→C_{uma func¸˜ao e}_u_∈_X_{. Considere}

uma partic¸˜aoπ =_{α=λ1,λ2, . . . ,λn=β}do intervalo[α,β]. Defina anorma deπ por

kπ_k= max

(18)

Para cada j_{∈ {}1, . . . ,n_}sejaλ_j′_∈(λj,λj+1]. A soma n

∑

j=1

f(λ′_j)(E_λ_j₊₁₋E_λ_j)u

é chamada asoma de Riemann da função f com relação à partiçãoπ.

Proposição 1.1.3. Com a notação introduzida acima, suponha que f: R_→C_{seja uma função}

cont´ınua. O limite forte em X

lim

π_→0 n

∑

j=1

f(λ′_j)(Eλj+1−Eλj)u (1.1.2)

existe, para qualquer que seja a escolha deλ_j′no intervalo(λj,λj+1], j∈ {1, . . . ,n}.

Denotamos o limite (1.1.2) por

Z β

α f(λ)dEλu.

Seu_∈X e f: R_→C_{é uma função cont´ınua tal que os limites (forte em}_X₎

lim

α→−∞

Z β

α f(λ)dEλue limβ→∞

Z β

α f(λ)dEλu

existem, dizemos que a integral

Z +∞

−∞ f(λ)dEλuexiste.

Teorema 1.1.4. Sejam u_∈X e f: R_→C_{uma função cont´ınua. As seguintes afirmativas são}

equivalentes:

(i)

Z +∞

−∞

f(λ)dE_λu existe.

(ii)

Z +∞

−∞ |f(λ)|

2_d

|E_λu_|2<∞.

(iii) A aplicac¸˜ao v_7→F(v):=

Z +∞

−∞ f(λ)dhEλv,uiX ´e um funcional linear cont´ınuo.

Teorema 1.1.5. Seja f: R_→R_{uma func¸˜ao cont´ınua. Defina o seguinte subconjunto de X :}

D=

u_∈X_|

Z +∞

−∞ |f(λ)|

2

d_|E_λu_|2<∞

(19)

Ent˜ao D ´e denso em X . Definimos operador por

hTu,v_iX = Z +∞

−∞

f(λ)d_hE_λu,v_iX, u∈D e v∈X . (1.1.3)

Ent˜ao T ´e um operador auto-adjunto em X com dom´ınio D(T) =D.

Com a notac¸˜ao do Teorema 1.1.5, para o caso particular em que f(λ) =λ,λ _∈R_{, definimos}

hAu,v_iX = Z +∞

−∞ λdhEλu,viX, parau∈D(A)⊂X ev∈X,

onde

D(A) =

u_∈X _|

Z +∞

−∞ λ

2

d_|E_λx_|2<∞

.

No que segue o operadorAser´a denotado, simbolicamente, por

A=

Z +∞

−∞ λdEλ (1.1.4)

e chamamos (1.1.4)a representação espectral do operador auto-adjunto A no espaço de Hilbert X .

Reciprocamente, seA: D(A)_⊂X _→X ´e um operador linear auto-adjunto, podemos definir uma fam´ılia espectral_{E_λ_}_λ_∈Rcorrespondente ao operadorA. Descrevemos esta conex˜ao no

Teorema Espectral a seguir.

Teorema 1.1.6(Teorema Espectral). Sejam X um espaço de Hilbert complexo e A: D(A)_⊂X_→ X um operador auto-adjunto. Então existe uma única fam´ılia espectral_{E_λ_}_λ_∈Rassociada ao

operador A. Al´em disso para cadaλ _∈R_e_ξ _∈C_/R_temos

h(ξ₋A)−1u,v_iX = Z +∞

−∞

1

ξ₋λdhEλu,viX, para todo u, v∈X.

Finalmente obtemos

(20)

uma ´unica fam´ılia espectral_{E_λ_}_λ_∈Rtal que

hAu,v_iX = Z

Rλ

d_hE_λu,v_iX,

Au=

Z

R

λdE_λu.

Conclu´ımos observando que existe uma correspondˆencia entre operadores auto-adjuntos no

espaço de Hilbert X e fam´ılias espectrais. Dessa maneira, analogamente ao Teorema 1.1.4, podemos definir os operadores f(A). Se f for uma função emR_{a valores complexos limitada}

emσ(A), o espectro deA, ent˜ao f(A)´e um operador linear limitado emX e, ainda,

kf(A)_{k ≤} sup

λ∈σ(A)|

f(λ)_|.

Escrevemos, anolagamente à equação (1.1.4) e ao Corolário 1.1.7,

f(A) =

Z +∞

−∞ f(λ)dEλ.

(1.1.5)

f(A)u=

Z +∞

−∞

f(λ)dE_λu, para todou_∈X. (1.1.6)

1.2 Operadores de Nemytskiˇı

Para os conceitos apresentados e demonstrac¸˜oes dos resultados enunciados, sugerimos [12].

Sejam N _≥1 um n´umero natural e Ω_⊂RN _{um subconjunto aberto de} RN_{. Dizemos que}

f: Ω_×R_→R_{é uma}_{função de Carathéodory}_se

1) para cadas_∈R_{, a função}Ω_∋x_7→ f(x,s)é (Lebesgue) mensurável e

2) para q.t.p.x_∈Ω, a funçãoR_∋_s_7→ _f₍_x_,_s₎_{é cont´ınua em}R_.

Denotemos porM _{o conjunto das funções mensuráveis de}ΩemR_.

(21)

Portanto, uma função de Carathéodory f define uma aplicação fb: M _→M_{, chamada}

aplicac¸˜ao de Nemytskiˇı.

Muitos resultados importantes requerem que o subconjuntoΩdeRN _{seja limitado e como}

n˜ao estamos nos restringindo a apenas este caso enumeramos apenas alguns resultados que n˜ao

necessitem desta restric¸˜ao emΩ.

Teorema 1.2.2. Seja Ω um subconjunto aberto de RN _{e seja f}_: Ω_×R_→R _{uma func¸˜ao de}

Carath´eodory. Suponhamos que existam c>0, b_∈Lq(Ω),1_≤q_≤∞, e r>0tais que

|f(x,s)_{| ≤}c_|s_|r+b(x), para todo x_∈Ωe s_∈R_.

Então bf: Lqr(Ω)_→Lq(Ω) é uma função cont´ınua. Além disso a imagem de subconjuntos limitados é um conjunto limitado.

´

E impressionante saber que a condição suficiente do Teorema 1.2.2 é também necessária

para um função de Carathéodory definir uma aplicação de Nemytskiˇı. Mais precisamente temos:

Carath´eodory. Suponhamos que existam p, q _∈[1,∞) tais que bf: Lp(Ω) _→Lq(Ω). Ent˜ao existem c>0e b_∈Lq(Ω)tais que

|f(x,s)_{| ≤}c_|s_|p/q+b(x), para todo x_∈Ωe s_∈R_.

Para nossos objetivos precisamos, ainda, de condic¸˜oes que garantam a diferenciabilidade da

aplicação de Nemytskiˇı. Para isso enunciamos o seguinte resultado sobre diferenciação.

Carath´eodory. Suponhamos que existam c>0, b_∈Ln(Ω),1_≤n_≤∞e m>0tais que

∂f

∂s(x,s)

≤c|s|m+b(x), para todo x∈Ωe s∈R.

Então as aplicações de Nemytskiˇı

b

f: Lp(Ω)_→Lq(Ω)e fb′: Lp(Ω)_→Ln(Ω),

onde f′=∂f

∂s, p=mn, q= mn

(22)

diferenci´avel com Dfb: Lp(Ω)_→L₍_Lp₍_Ω₎_,_Lq₍_Ω₎₎_{definida por}

Dbf(u)[v] = bf′(u)v= f′(_·,u(_·))v(_·)), para todo u,v_∈Lp(Ω).

1.3 Medida de n˜ao-compacidade de Kuratowski

Nosso objetivo nesta seção é definir uma medida que nos mostre, dado um subconjunto

limitado de um espaço de dimensão infinita, o quão “não-compacto” é este conjunto. Uma

referência para o tópico é [11]. SejaX um espaço de Banach e denote por B _{o conjunto dos}

subconjuntos limitados emX.

No que segue dado um subconjuntoAdeX, diam(A)denota o diˆametro do conjuntoA. A bola aberta de centro ema_∈X e raior>0 ´e denotada porB(a,r).

DadoA_∈Bdefinimos

βK(A) =inf

(

d>0_|A_⊂

n [

j=1

Kjcom diam(Kj)≤d,j∈ {1, . . . ,n}

)

.

A aplicação βK: B →[0,∞) é chamada a medida de não-compacidade de Kuratowski.

DadoA_∈B _{podemos tamb´em definir}

βB(A) =inf

(

r>0_|existemaj∈X, j∈ {1, . . . ,n}, tais queA⊂ n [

j=1

B(aj,r)

)

.

A aplicaçãoβB: B→[0,∞)é chamada amedida de não-compacidade por bolas.

Com estas medidas definidas seguem os resultados que ser˜ao importantes no decorrer do

trabalho.

Proposição 1.3.1. Suponha que X seja um espaço de Banach de dimensão infinita e sejaB a fam´ılia de limitados de X eβ: B_→_[0_,∞)a medida de não-compacidade de Kuratowski ou a medida de não-compacidade por bolas. Então

(i) β(A) =0se, e somente se, A ´e compacto.

(23)

(iii) Sejam A1, A2 ∈ B tais que A1 ⊆ A2. Ent˜ao β(A1) ≤ β(A2) e β(A1 ∪A2) =

max_{β(A1),β(A2)}.

(iv) β(convA) =β(A), para todo A_∈B_{. Aqui}_conv_{A denota a envolt´oria convexa de A.}

(v) β ´e cont´ınua com respeito a distˆancia de HausdorffdH dada por

dH(A1,A2) =max

(

sup

x∈A1

inf

y∈A2|

x₋y_|,sup

x∈A2

inf

y∈A1|

x₋y_|

)

, A1, A2∈B.

Em particular,β(A) =β(A).

1.4 Operadores

m

-dissipativos

Nesta seção definiremos os chamados operadores dissipativos e m-dissipativos. Tais ope-radores são usualmente encontrados em exemplos e possuem boas propriedades para nossos

objetivos. As demonstrac¸˜oes dos resultados apresentados podem ser encontradas em [6]. No

que segue considereX um espac¸o de Banach.

Definição 1.4.1. Um operador A: D(A)_⊂X_→X em X é ditodissipativose

|u₋λAu_{| ≥ |}u_|, para todo u_∈D(A)e todoλ >0.

Definição 1.4.2. Um operador A: D(A)_⊂X _→X em X é dito m-dissipativo se as seguintes condições estão satisfeitas:

(i) A ´e dissipativo;

(ii) para todoλ >0e para todo v_∈X , existe u_∈D(A)tal que u₋λAu=v.

A proposição a seguir oferece uma condição necessária e suficiente para que um operador

dissipativo seja tamb´emm-dissipativo.

Proposição 1.4.3. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador dissipativo em X . As seguintes propri-edades são equivalentes:

(24)

(ii) Existe umλ0>0tal que para todo v_∈X , a equação u₋λ0Au=v possui uma solução u_∈D(A).

Agora, vamos restringir ao caso em que X é um espaço de Hilbert e analisar o conceito de dissipatividade e m-dissipatividade. SejaX um espaço de Hilbert. O produto interno definido em X será denotado por _h·,_·i. No que segue dado A: D(A)_⊂X _→ X um operador linear densamente definido, o seu operador adjunto será denotado porA∗.

Apresentamos um crit´erio de dissipatividade para operadores definidos em espac¸os de

Hil-bert:

Proposição 1.4.4. Um operador A: D(A)_⊂ X _→X é dissipativo em X se, e somente se,

hAu,u_{i ≤}0, para todo u_∈D(A).

Uma consequˆencia importante ´e o seguinte

Corolário 1.4.5. Seja A: D(A)_⊂X_→X um operador m-dissipativo em X . Então D(A)é denso em X .

Os resultados a seguir relacionam operadores dissipativos em-dissipativos com o operador adjunto e operadores auto-adjuntos.

Teorema 1.4.6. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador linear densamente definido e dissipativo em X . Então A é m-dissipativo se, e somente se, A é um operador fechado e A∗ é um operador dissipativo.

Corolário 1.4.7. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador auto-adjunto em X tal que_hAu,u_{i ≤}0, para todo u_∈D(A). Então A é m-dissipativo.

Proposição 1.4.8. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador simétrico e densamente definido tal que _hAu,u_{i ≤}0 para todo u_∈ D(A) em X . Então A é m-dissipativo se, e somente se, A é auto-adjunto.

1.5 Operadores setoriais

Operadores setoriais tˆem uma relevˆancia muito grande no estudo dos semigrupos

linea-res, pois estes s˜ao geradores dos conhecidos semigrupos anal´ıticos que possuem in´umeras

(25)

Nesta seção faremos uma breve exposição dos operadores setorias e apresentamos as

notações e resultados que serão utilizados no texto. Em [7], [8] e [15] encontramos mais

deta-lhes sobre o assunto.

Iniciamos recordando algumas definic¸˜oes e resultados da teoria geral de semigrupos.

Nesta seçãoX denota um espaço de Banach e denotamos porL₍_X₎_{o conjunto dos}

opera-dores lineares limitados deX emX.

Definição 1.5.1. Umsemigrupo de operadores lineraresou um C0-semigrupoé uma fam´ılia de operadores lineares_{T(t)_|t_≥0_}emL₍X)que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) T(0)x=x, para todo x_∈X .

(ii) T(t+s)x=T(t)T(s)x, para todo s, t _≥0e x_∈X .

(iii) T(t)x_→x, quando t_→0+, para todo x_∈X .

Definição 1.5.2. Umsemigrupo uniformemente cont´ınuo de operadoresé uma fam´ılia de ope-radores lineares_{T(t)_|t_≥0_}emL₍X)que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) T(0)x=x, para todo x_∈X .

(ii) T(t+s)x=T(t)T(s)x, para todo s, t _≥0e x_∈X .

(iii) _kT(t)₋I_{k →}0, quando t_→0+, para todo x_∈X .

´

E claro que todo semigrupo uniformemente cont´ınuo de operadores ´e umC0-semigrupo.

Teorema 1.5.3. Seja_{T(t)_|t _≥0_}um C0-semigrupo em X . Ent˜ao existem constantesω _≥0e M_≥1tais que

kT(t)_{k ≤}Meωt, para todo t _∈[0,∞).

O resultado acima nos mostra que umC0-semigrupo ´e uniformemente limitado em interva-los limitados da reta.

(26)

Seja_{T(t)_|t_≥0_}umC0-semigrupo emX e considere o conjunto

D=nx_∈X _| lim

t→0+

T(t)x₋x t existe

o

.

Definimos o operador linearA: D(A)_⊂X_→X, ondeD(A) =De

Ax= lim

t→0+

T(t)x₋x

t , parax∈D(A).

O operadorAdefinido acima ´e chamadogerador infinitesimal do semigrupo_{T(t))_|t_≥0_}em X.

Teorema 1.5.5. Sejam_{T(t)_|t_≥0_}um C0-semigrupo em X e A: D(A)_⊂X _→X seu gerador infinitesimal. As seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

1. lim

h→0+

1

h

Z t+h

t

T(τ)dτ=T(t)x, para todo x_∈X , t_∈[0,∞).

2.

Z t

0

T(τ)xdτ _∈D(A)e A

Z t

0

T(τ)xdτ=T(t)x₋x, para todo x_∈X , t_∈[0,∞).

3. T(t)x_∈D(A), se x_∈D(A)e t_∈[0,∞). Além disso, para x_∈D(A), a função[0,∞)_∋t_7→ T(t)x_∈X é diferenciável e

d

dtT(t)x=AT(t)x=T(t)Ax.

4. T(t)x₋T(s)x=

Z t

s

T(τ)Axdτ =

Z t

s

AT(τ)xdτ, para x_∈D(A)e t, s_∈[0,∞), com s_≤t .

Corol´ario 1.5.6. Se A: D(A)_⊂X _→X denota o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo

{T(t)_|t _≥0_}, ent˜ao A ´e um operador linear fechado e D(A) =X .

Passamos à definição de operadores setorias e listaremos alguns resultados importantes.

Dadosα _∈R_e_φ _∈₍₀_,_π_/_{2), definimos o setor}_S_α_,_φ _{do plano complexo por}

Sα,φ :={λ ∈C|φ ≤ |arg(λ−α)| ≤π,λ 6=α}.

(27)

(i) ρ(A)cont´em o setorSα,φ,

(ii) para cadaλ _∈Sα,φ vale a estimativa

k(λ₋A)−1_{k ≤} M

|λ₋α_|.

Proposição 1.5.7. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador linear fechado e densamente definido em X . As seguintes afirmativas são equivalentes:

(a) A+ωI ´e um operador setorial em X para algumω_∈R_.

(b) A+ωI ´e um operador setorial em X para todoω _∈R_.

(c) Existem constantes k, ω _∈R _{tais que o conjunto} _ρ₍_A_ω₎ _{cont´em o semiplano} _{_λ _∈C_|

reλ _≤k_}e

kλ(λI₋Aω)−1k ≤M, para todoreλ ≤k.

Aqui, Aω :=A+ωI.

Suponhamos que_{T(t)_|t _≥0_} seja umC0-semigrupo de operadores lineares emX e que existem um setor do plano complexo

∆_φ =_{z_∈C_{| |}_arg_z_|_<_φ_}_{, com 0}_<_φ _≤_π_/₂_,

e uma fam´ılia_{T(z)_|z_∈∆_φ_}de operadores emL₍X)que coincide comT(t)paraz=t_∈[0,∞) e tal que

(i) a aplicaçãoz_7→T(z) é anal´ıtica em∆_φ_\{0_},

(ii) T(z1+z2) =T(z1)T(z2), sez1,z2∈∆φ,

(iii) para todox_∈X, lim

z_→0 z∈∆_φ

T(z)x=x.

OC0-semigrupo_{T(t)_|t_≥0_}´e chamadosemigrupo anal´ıtico (fortemente cont´ınuo).

(28)

O teorema a seguir caracteriza os geradores de semigrupos anal´ıticos e uma prova detalhada

pode ser encontrada em [8].

Teorema 1.5.9. Seja A: D(A)_⊂X_→X um operador linear fechado e densamente definido. As seguintes afirmativas s˜ao equivalentes:

(i) A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo anal´ıtico.

(ii) ₋A ´e um operador setorial em X .

Lema 1.5.10. Seja 0<φ _≤π/2. Seja_{T(t)_|t _≥0_} um semigrupo anal´ıtico no setor∆_φ =

{z_∈C_{| |}_arg_z_|_<_φ_}_{, tal que para constantes C}_≥₁_{e a}_∈R_,

kT(z)_{k ≤}Ce−arez, z_∈∆_φ

e suponha que A: D(A)_⊂X _→X seja seu gerador infinitesimal. As seguintes propriedades est´ao satisfeitas:

(1) T(z) = 1 2πi

Z

Γe

λz₍_λ

−A)−1dλ, para z_∈∆Φ\{0}, ondeΓ ´e a curva consistente dos

se-guintes segmentos orientados conforme a parametrizac¸˜ao:

Γ₁=_{−a₋re−i(π/2+φ)_{| −}∞<r_≤1_}; Γ₂=_{−a+eiψ _{| −}π/2₋φ _≤ψ_≤π/2+φ_}; Γ₃=_{−a+rei(π/2+φ)_|1_≤r<∞_}.

(2) Para todo0<ε<φ e x_∈X , temos

T(z)x_→x, se z_→0e z_∈∆_φ₋_ε.

(3) Se t>0, ent˜ao T(t)x_∈D(A)para todo x_∈X e d

dtT(t)x=AT(t)x, para todo x∈X .

Nosso intuito agora é definirmos as potências fracionárias que são elementos importantes

no estudo das equações parabólicas e suas soluções.

(29)

(i) A ´e um operador fechado e densamente definido,

(ii) (₋∞,0]_⊂ρ(A)e

(iii) existe um N_≥1tal que

k(s₋A)−1_{k ≤} N

1+_|s_|, para todo s≤0.

O operadorAda definição acima também é ditooperador positivo do tipo N, ondeNé como em(iii).

Lema 1.5.12. Suponha que A: D(A)_⊂X _→X seja um operador positivo do tipo N. Ent˜ao o setor

Σ_N=

λ _∈C_|_{existe um s}_≤₀_{tal que}_|_λ₋_s_{| ≤} 1+|s|

2N

est´a contido emρ(A). Al´em disso

k(λ₋A)−1_{k ≤}2N+1

1+_|λ_|,para todoλ ∈ΣN.

Nas condic¸˜oes do Lema 1.5.12 pode ser mostrado que

λ _∈C_{| |}_arg_λ_{| ≥}_π₋_arcsen 1

2N

∪

λ _∈C_{| |}_λ_{| ≤} 1

2N

⊂Σ_N.

Lema 1.5.13. Seja A: D(A)_⊂X_→X um operador positivo do tipo N. Para cada z_∈C_{tal que}

rez_≤0, definimos

B(z) = −1 2πi

Z

Γλ

z₍_λ

−A)−1dλ, (1.5.1)

ondeΓ´e a curva emΣ_N_\(₋∞,0]que consiste dos trˆes segmentos

Γ₁=n₋se−iθ _|s_∈(₋∞,₋1/(4N))o,

Γ₂=(1/(4N))eiψ _{| |}ψ_{| ≤}θ ,

Γ₃₌nseiθ _|s_∈[1/(4N),∞₎o_,

ondeθ _∈[π₋arcsen(1/(2N)),π), orientada pela parametrização. Então para z fixado B(z)

(30)

Note que, o Teorema de Cauchy implica que podemos modificar o comportamento de Γ

em torno do 0_∈C_{. E, com o Lema 1.5.13, podemos definir as potˆencias fracion´arias de um}

operador positivo, se rez<0.

Definic¸˜ao 1.5.14. Seja A:D(A)_⊂X_→X um operador positivo do tipo N. Para z_∈Π₀=_{z_∈

C_|_re_z_<₀_}_{, definimos}

Az:= −1 2πi

Z

Γλ

z₍_λ

−A)−1dλ _∈L₍_X₎_, _(1.5.2)

ondeΓ ´e dada como no Lema 1.5.13 comθ _∈[π₋arcsen(1/(2N)),π).

No que segue utilizaremos a notaçãoA0=I, ondeIdenota a a aplicação identidade emX.

Proposição 1.5.15. Seja A: D(A)_⊂X_→X um operador positivo. Então

(i) Az1+z2₌_Az1_◦_Az2_{, para quaisquer z}

1,z2∈Π0∪ {0}.

(ii) Para n_∈N_{, temos A}−n_{= (}_A−1₎n_{, onde A}−1_{denota a inversa de A.}

(iii) Az ´e injetor, para cada z_∈C_com_re_z_<₀_.

Segue da Proposição 1.5.15 que podemos definir as potências fracionárias de um operador

positivo quando rez>0.

Definic¸˜ao 1.5.16. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador positivo. Definimos

Az= (A−z)−1: R(A−z)_⊂X_→X,

para z_∈C_com_re_z_>₀_.

Podemos também definir a potência fracionária de um operador positivo quando rez=0, porém este caso não será importante nos nossos estudos e portanto não será retratado nesta

seção. Abaixo, enumeramos fatos importantes sobre as potências fracionárias de um operador

positivo.

(31)

(1) Az ´e um operador fechado em X , para todo z_∈C_{, com}_re_z_>₀_,

(2) se z1,z2∈C, comrez1>rez2>0, ent˜ao D(Az1)⊂D(Az2)⊂X ,

(3) para cada z_∈C_{, com}_re_z_>₀_{, temos D}₍_Az_{) =}_{X .}

Dizemos que um operadorA: D(A)_⊂X_→X ´e umoperador setorial positivoseA´e setorial emX e reσ(A)>0.

Lema 1.5.18. Suponha que₋A: D(A)_⊂X_→X seja o gerador infinitesimal de um semigrupo

{T(t)_|t_≥0_}e que a>0e M_≥1sejam constantes positivas tais que

kT(t)_{k ≤}Me−at, para todo t_≥0.

Ent˜ao A ´e um operador positivo.

Observamos que em particular, segue do Lema 1.5.18 que se A é um operador setorial positivo, entãoAé um operador positivo.

Teorema 1.5.19. Seja ₋A: D(A)_⊂X _→X o gerador infinitesimal de um semigrupo _{T(t)_|

t_≥0_}e suponha que existam constantes a>0e M_≥1tais que

kT(t)_{k ≤}Me−at, para todo t_≥0.

Ent˜ao, se z_∈C_com_re_z_>₀_{, temos}

A−zx= 1 Γ(z)

Z ∞

0

tz−1T(t)xdt, x_∈X. (1.5.3)

Vamos agora restringir o estudo às potências fracionárias reais de operadores positivos. Seja

A: D(A)_⊂X _→X um operador positivo. Dadoα _≥0,Xα denota o espac¸oD(Aα) =R(A−α). EmXα consideraremos a com a norma

|u_|Xα =|Aαu|, u∈D(Aα).

(32)

Lema 1.5.20. Seja0_≤α _≤β, então Xβ é um subespaço denso de Xα e a inclusão Xβ _→Xα é cont´ınua, mais precisamente, existe uma constante C_≥0tal que

|u_|Xα ≤C|u|Xβ, para todo u∈Xβ.

Teorema 1.5.21. Seja A: D(A)_⊂X _→X um operador positivo. Se 0_≤α <1, ent˜ao existe uma constante c>0tal que para todo x_∈X1, temos

|x_|Xα ≤c|x|X1−α|x|α1.

Teorema 1.5.22. Sejam A um operador setorial positivo e_{T(t)_|t_≥0_}o semigrupo anal´ıtico gerado por₋A. As seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

(i) T(t): X_→D(Aα), para todoα _≥0e t>0.

(ii) T(t)Aαu=AαT(t)u, para todoα_≥0, u_∈D(Aα)e t_≥0.

(iii) AαT(t)_∈L₍_X₎_{. Al´em disso existe um a}_>₀ _{e para cada} _α _≥₀ _{existe uma constante}

positiva Cα tal que

kAαT(t)_{k ≤}Cαt−αe−at, para todo t>0.

(iv) Se0<α _≤1, ent˜ao

k(T(t)₋I)u_{k ≤} 1

αC1−αt

α

|Aαu_|, para todo u_∈D(Aα)e t>0,

onde C1−α ´e a constante positiva de(iii).

Proposição 1.5.23. Sejam α,γ _≥0 e θ _∈[0,1] . Escreva β = (1₋θ)α+θ γ. Então existe constante C_≥0tal que:

|Aβu_{| ≤}C_|Aαu_|1−θ_|Aγu_|θ, para cada u_∈X. (1.5.4)

O seguinte resultado ´e encontrado em [13] e [15].

Lema 1.5.24. Sejam X , Y espac¸os de Banach, A: D(A)_⊂X _→X um operador setorial com

(33)

que existamα _∈[0,1)e c_≥0tais que

|Bx_|Y ≤c|Ax|α|x|1−α, para todo x∈D(A).

Então para todoβ _∈(α,1], B possui uma única extenso a um transformação linear cont´ınua de Xβ em Y , isto é, BA−β é transformação linear cont´ınua.

Finalizamos esta sec¸˜ao enunciando alguns resultados sobre operadores setoriais para o caso

em queX for um espaço de Hilbert. A seguir apresentamos uma condição suficiente para que um operador seja setorial para espaços de Hilbert.

Proposição 1.5.25. Suponha que(X,_h·,_·i)seja um espaço de Hilbert. Seja A: D(A)_⊂X_→X um operador linar auto-adjunto, densamente definido e suponha que exista uma constante a_∈R

tal que

hAx,x_{i ≥}a_hx,x_i, para todo x_∈D(A). Ent˜ao A ´e setorial.

Corolário 1.5.26. Seja (X,_h·,_·i) seja um espaço de Hilbert. Se A: D(A)_⊂X _→X é auto-adjunto, densamente definido ereσ(A)>0, então A é setorial.

No caso particular em que X é um espaço de Hilbert, se A for auto-adjunto e definido positivo, entãoAserá setorial positivo, como enunciado no Corolário 1.5.26.

Finalmente, em vista da teoria espectral para operadores auto-adjuntos feita na Sec¸˜ao 1.1 se

Afor auto-adjunto, setorial positivo emX espac¸o de Hilbert, podemos escrever:

A−α =

Z

R

λ−αdE_λ (1.5.5)

onde_{E_λ_}_λ_∈R⊂L(X)representa a fam´ılia espectral gerada pelo operadorAemX. Portanto,

a partir de uma aplicação da Desigualdade de Hölder em (1.5.5), obtemos a

Proposição 1.5.27. Sejamα,γ _≤0, tais queα _≤γ, eθ _∈[0,1]. Escrevaβ = (1₋θ)α+θ γ. Então:

(34)

1.6 Semifluxos e atratores globais

Neste trabalho estamos interessados na existˆencia de atratores. Os atratores s˜ao importantes

objetos no estudo da dinâmica assintótica dos sistemas dinâmicos. Nesta seção vamos expor

os principais elementos para a definic¸˜ao dos atratores e listar suas propriedades importantes.

Também apresentaremos condições necessárias e suficientes para que um sistema dinâmico

possua atrator.

As referˆencias [5], [7], [14] e [17] apresentam a teoria de atrator global para sistemas

dinˆamicos n˜ao lineares.

Para esta seção, a referência [7] foi utilizada para o estudo dos atratores e o conceito de

semifluxo local ´e como apresentado em [22].

SejamX um espaço métrico eDum aberto de[0,∞)_×X. Uma aplicaçãoπ: D_→X é um

semifluxo local em X se

(a) para cada u_∈X, existe um ωu =ω(π,u)∈(0,∞] tal que (t,u)∈D se, e somente se,

t _∈[0,ωu);

(b) π(0,u) =u, para todou_∈X;

(c) sempre que(t,u)_∈De(s,uπt)_∈D, temos(t+s,u)_∈Deπ(t+s,u) =π(s,π(t,u)).

Escrevemosπ(t,u) =uπt, para(t,u)_∈D.

Se um semifluxo é tal queωu= +∞para todou∈X, então dizemos que este é umsemifluxo

global.

Dado um intervaloI_⊂R_{, uma aplicação}_σ_: _I_→R_{é chamada uma}_{solução de}_π_{se sempre}

quet_∈I es_∈[0,∞) são tais quet+s_∈I, entãoσ(t)πs é bem definido e σ(t)πs=σ(t+s). SeI=R_então_σ _{é chamada}_{solução global de}_π_.

Um subconjunto A de X é chamado π-invariante se para todo u_∈A existe uma solução globalσ tal queσ(R₎_⊂_A_e_σ_{(0) =}_u_.

(35)

Dados um semifluxo localπ emX e um subconjuntoN deX, dizemos queπ n˜ao explode em N se sempre queu_∈X euπ[0,ωu)⊂N, implicarωu= +∞.

No restante desta seçãoπ denota um semifluxo global definido num espaço de BanachX. A seguinte definição é apresentada em [7].

Definição 1.6.1. Dizemos que um subconjunto B_⊂X é (π-)eventualmente limitado se existe um tB∈[0,∞)tal que o conjunto{uπt|u∈B, t∈[tB,∞)} é limitado.

Pode ser encontrado na literatura o conceito desemifluxo (semigrupo) eventualmente limi-tado. Neste caso, dizemosπ é eventualmente limitado se todo limitado deX é eventualmente limitado conforme a Definição 1.6.1

SejaB_⊂X. A ´orbita positivadeBporπ ´e definida como o conjunto

γ+(B):= [

t∈[0,∞)

Bπt= [

t∈[0,∞)

{uπt_|u_∈B_}.

O conjunto

γ_t+(B):= [

s∈[0,∞)

Bπ(s+t) = [

s∈[t,∞)

Bπs

é chamadoa órbitadeBπt. O conjuntoω-limitedeB é definido como

ω(B) = \

t∈[0,∞)

γt+(B).

Proposição 1.6.2. Seja B_⊂X . Então

(i) ω(B) ´e fechado.

(ii) Seja v_∈X . Ent˜ao v_∈ω(B)se, e somente se, existem sequˆencias(tn)n em[0,∞)e(un)n

em B tais que tn→∞e unπtn→v quando n→∞.

Precisamos da noção de atração sobre o semifluxo π de modo a definirmos o conceito do

atrator. Mas primeiro vamos definir a semidistˆancia de Hausdorff entre dois conjuntos. Sejam

(36)

distH(A,B), por

distH(A,B) =sup u∈A

inf

v∈B|u−v|.

SejamAeBsubconjuntos deX. Dizemos queA atrai Bpela ac¸˜ao deπ se

lim

t→∞distH(Bπt,A) =0.

Proposição 1.6.3. Sejaπ um semifluxo global em X . Então A_⊂X éπ-invariante se, e somente se, Aπt=A, para todo t_∈[0,∞).

Um subconjunto A _de_X _{´e um}_{atrator global} _para _π_{, se}A _{´e um conjunto compacto,} _π

-invariante e que atrai subconjuntos limitados deX sob a ac¸˜ao deπ.

Definição 1.6.4. O semifluxo globalπ é chamadoassintoticamente suavese para cada subcon-junto B de X não-vazio, fechado e limitado tal que Bπt _⊆B para todo t _∈[0,∞), existir um conjunto não-vazio e compacto K_⊂B tal que K atrai B sob ação deπ.

Definição 1.6.5. O semifluxo global π é chamado assintoticamente compacto se para cada subconjunto B de X não-vazio e eventualmente limitado tal que para cada sequência(tn)nem

[0,∞)e cada sequência(un)nem B com tn→∞, a sequência(unπtn)npossui uma subsequência

convergente.

Os conceitos acima s˜ao equivalentes:

Proposição 1.6.6. Um semifluxo global é assintoticamente suave se, e somente se, é assintoti-camente compacto.

Teorema 1.6.7. Sejaπ um semifluxo global definido num espac¸o de Banach X . As seguintes afirmativas s˜ao equivalentes:

(i) π ´e assintoticamente compacto, existe um subconjunto limitado B de X tal que para cada u_∈X existe um tu≥0com uπtu∈B e todo conjunto limitado em X ´e π-eventualmente

limitado.

(37)

A seguir definiremos o que ´e conhecido por funcional de Lyapunov. Semifluxos que

pos-suem um funcional de Lyapunov s˜ao chamados de semifluxos gradientee possuem boas pro-priedades que nos levam a um teorema de existˆencia de atrator global mais direto do que o

Teorema 1.6.7.

Um funcionalL: X _→R_{cont´ınuo em}_X _{e limitado inferiormente ´e chamado}_{funcional de}

Lyapunovparaπse

1. para cadau_∈X a aplicação(0,∞)_∋t_7→L₍_u_π_t₎_∈R _{é não-crescente,}

2. seu_∈X ´e tal que existe umku∈Rcom

L₍uπt) =ku, para todot≥0,

ent˜aou´e um ponto de equil´ıbrio deπ.

Podemos agora, apresentar o teorema que ser´a utilizado para demonstrar a existˆencia de

atrator global no nosso trabalho.

Teorema 1.6.8. Sejaπ um semifluxo global definido num espac¸o de Banach X . Suponha que:

(a) π ´e assintoticamente compacto,

(b) todo subconjunto limitado em X ´e eventualmente limitado,

(c) o conjunto dos pontos de equil´ıbrio deπ ´e limitado e

(d) existe um funcional de Lyapunov para o semifluxoπ.

Ent˜ao existe um atrator global paraπ.

1.7 Equações diferenciais parabólicas

Nesta última seção apresentamos resultados utilizados sobre as equações diferenciais

(38)

Suponha 0_≤α < 1 e seja U um conjunto aberto em Xα. Seja g: U _→X uma função localmente Lipschitziana. Considere a equação:

du

dt +Au=g(u). (1.7.1)

Seja u0∈U et0 ≥0. Uma solução de(1.7.1) em(t0,t1) tal que em t0 vale u0 é uma função

cont´ınuau: [t0,t1)→X tal que

1. u(t0) =u0;

2. u(t)_∈U parat_∈(t0,t1);

3. u´e diferenci´avel em(t0,t1);

4. u(t)_∈D(A)parat_∈(t0,t1);

5. [t0,t1)∋t7→g(u(t))∈X ´e cont´ınua;

6. a equação (1.7.1) está satisfeita para todot_∈(t0,t1).

A definição de solução é como em [18].

A seguir apresentamos um teorema de existência e unicidade de soluções maximais para

a equação (1.7.1) com condição inicial u(t0) =u0 ∈U cuja demonstração é adaptada das

demonstrac¸˜oes de [15].

Teorema 1.7.1. Seja A um operador setorial em X e seja g: U _→X uma função localmente Lipschitziana, onde U é um conjunto aberto em Xα, para algum0_≤α <1. Então para todo t0≥0e para todo u0∈U , existe um intervaldo maximal[t0,ωu0), ondeωu0∈(0,∞]e uma única

soluc¸˜ao t_7→u(t,u0)de

du

dt +Au=g(u) tal que u(t0) =u0definida em[t0,ωu0).

No restante do texto se A: D(A) _⊂X _→X ´e um operador setorial em X, o semigrupo anal´ıtico gerado por₋Aser´a denotado por_{e−At_|t _≥0_}.

(39)

Lema 1.7.2. Seja u uma soluc¸˜ao do problema (1.7.1)em(t0,t1) com valor inicial u(t0) =u0.

Ent˜ao

u(t) =e−A(t−t0)_u

0+ Z t

t0

e−A(t−s)g u(s)ds, para t_∈[t0,t1). (1.7.2)

Reciprocamente, se u: [t0,t1)→Xα e [t0,t1)∋t 7→ g(u(t))∈ X são funções cont´ınuas, e a

equação integral(1.7.2)é satisfeita para t_∈(t0,t1), então u é uma solução da equação

diferen-cial(1.7.1).

Para a demonstrac¸˜ao do Lema 1.7.2, ver [15] e [18].

A fórmula (1.7.2) é conhecida como aFórmula da Variação das Constantes.

No que segue vamos supor que A é um operador setorial positivo, isto é, A é setorial e reσ(A)>0, g: Xα _→X uma função Lipschitziana em limitados de Xα, com 0_≤α <1 e, também, quet0=0. Para cadau0∈U et ∈[0,ωu0), definau0πt :=u(t,u0). Dessa forma π é

um semifluxo local emU.

Vamos assumir também queg:U _→X seja uma função Lipschitziana em limitados, isto é, dadoB_⊂U limitado existe uma constanteLB≥0 tal que

|g(u)₋g(v)_|X ≤LB|u−v|, para todou,v∈B.

A seguir enunciamos e demonstramos resultados gerais que ser˜ao utilizado nos pr´oximos

cap´ıtulos.

Proposição 1.7.3. Seja B_⊂U um subconjunto limitado tal que para cada u_∈B, uπt_∈B, para todo t_∈[0,ωu). Entãoωu= +∞.

Demonstrac¸˜ao. Sejau_∈B. Logo,uπt_∈B, para todot_∈[0,ωu). Suponhamos por absurdo que ωu<∞. Sejam 0<α <β <1 es∈(0,ωu).

(40)

Utili-zando a Fórmula da Variação das Constantes temos

|uπt_|_Xβ ≤ |e−Atu|_Xβ+ Z t

0 |

e−A(t−s)g(uπs)_|_Xβds

≤ |Aβ−αe−At_||Aαu_|+

Z t

0 |

Aβe−A(t−s)g(uπs)_|Xds

≤max_{C_β₋_α,C_βLB}(tβ−α|u|Xα+ Z t

0(

t₋s)−βds)

≤max_{Cβ₋α,CβLB,1}(tβ−α|u|Xα+t1−β).

Como[s,ωu)∋t 7→tβ−α|u|Xα+t1−β ´e limitada, a afirmativa est´a demonstrada.

Sejams_≤τ<t <ωu. A Fórmula da Variação das Constantes implica que

uπt₋uπτ=e−A(t−τ)₋Iuπτ+

Z t

τ e

−A(t−s)_g₍_u_π_s₎_ds_.

Portanto,

|uπt₋uπτ_|Xα ≤

1

β₋αC1−β+αkA −α

k(t₋τ)β−α_|u0πτ|Xβ+CαLB Z t

τ (t−s)

−α

ds

≤ _β 1

−αC1−β+αkA −α

k(t₋τ)β−α+CαLB(t−τ)1−α

≤Ce(t₋τ)β−α,

ondeCe=max_{ 1

β₋αC1−β+αkA −α

k,CαLB(t−τ)1−β}.

Como β >α, o Crit´erio de Cauchy implica que o limite, quando t _→ω_u−, existe. Seja

u1 o valor deste limite e defina v(t) =uπt, se t ∈[0,ωu) e v(ωu) =u1. Segue que v ´e uma

solução de (1.7.1) comv(0) =udefinida em[0,ωu]. Porém isso contradiz a maximalidade de ωu. Portanto,ωu= +∞para todou∈B.

O próximo resultado pode ser encontrado na Proposição 3.2.1 e Lema 3.2.1 em [7].

Proposição 1.7.4. Seja B_⊂Xα um subconjunto limitado em Xα. Então para todo t_∈(0,ωB),

Bπt ´e limitado em Xγ, para cadaα _≤γ _≤1.

Conclu´ımos o cap´ıtulo com um resultado de regularidade que pode ser encontrado em [15].

(41)

Lema 1.7.5(Desigualdade de Gronwall Singular). Sejam0_≤α <1,0_≤β <1, a_≥0, b_≥0

constantes e T _∈(0,∞). Se u: [0,T]_→R_{é uma função integrável tal que}

0_≤u(t)_≤at−α+b

Z t

0(

t₋s)−βu(s)ds, para quase todo t _∈[0,T],

ent˜ao existe uma constante positiva M tal que

0_≤u(t)_≤aMt−α, para quase todo t _∈(0,T].

Teorema 1.7.6. Assuma a notação apresentada acima. Seja u uma solução de(1.7.1)em[t0,t1]

eγ _∈(0,1). Ent˜ao du dt ∈X

γ _{e existe uma constante C}_>₀_{tal que}

du dt

_Xγ ≤

C(t₋t0)α−γ−1, para t0<t≤t1.

Demonstrac¸˜ao. Sejaβ >0 tal que max_{α,γ_}<β <1.

Denotemos f(t):=g(u(t)), parat_∈[t0,t1]. Como[t0,t1]´e compacto, sejamBeLconstantes

positivas tais que, para todot_∈[t0,t1]eh0≥0, comt0≤t≤t+h≤t1e 0≤h≤h0,

|f(t)_{| ≤}B, (1.7.3)

|f(t+h)₋ f(t)_{| ≤}L_|u(t+h)₋u(t)_|. (1.7.4)

Parat0<t<t+h≤t1temos:

u(t+h)₋u(t) =e−A(t+h−t0)u(t0) + Z t+h

t0

e−A(t+h−s)f(s)ds

−e−A(t−t0)u(t0)− Z t

t0

e−A(t−s)f(s)ds

= (e−Ah₋I)e−A(t−t0)u(t0) + Z t0+h

t0

e−A(t+h−s)f(s)ds

+

Z t

t0