Projeto: Curiosidades.
Lista de Exerc´ıcios Resolvidos
Ara´ ujo, Pedro Miranda. e-mail: igf23@yahoo.com.br Santana-AP, 10 de outubro de 2013. † † †
E
xerc´ıcio 1 (UNIFAP). Seja um cilindro (ou obliquo), fechado, ou seja, com tampas de base circular e limitada pela circunferˆencia1 x2+y2−2x+ 6y+ 6 = 0, de altura h e raio r, onde este cilindro faz com o plano de base um ˆangulo de 60o que ´e o ˆangulo de inclina¸c˜ao do cilindro.(a) (b)
Figura 1: Cilindro inclinado em esquema
Pergunta-se: a) A superf´ıcie do cilindro b) O volume do cilindro c) A raz˜ao entre a superf´ıcie lateral e o volume do cilindro.
S
olu¸c˜ao. a) A superf´ıcie do cilindro: Observe a seguinte equa¸c˜ao2.(x−a)2+ (y−b)2 =r2 (1)
Por compara¸c˜ao.
x2 +y2 −2ax−2by+a2+b2−r2 =x2+y2−2x+ 6y+ 6 a= 1 , b =−3 e a2+b2−r2 = 6 =⇒ r= 2 Observe atrav´es de (b) que tan 60o = h
2 =⇒ h= 2√
3. Ent˜ao, Sℓ=C·h= 4π·2√
3 = 8π√
3 ∴ Sℓ = 8π√ 3
1Circunferˆencia: Geom. Lugar geom´etrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo.
2Equa¸c˜ao da circunferˆencia.
b) O volume do cilindro: Considere o cilindro (ou obliquo) da Figura 1 semelhante3 a um cilindro reto de altura 2√
3, ou seja, com mesma base e ´area lateral. Observe as f´ormulas a seguir.
Ac =πr2 e Vc =Ac·h (2) As f´ormulas correspondem `a ´area e ao volume do cilindro, respectivamente.
Figura 2: Cilindro reto de altura 2√ 3 Logo, Vc = 4π·2√
3 = 8π√
3 ∴ Vc = 8π√ 3
c) A raz˜ao entre a superf´ıcie lateral e o volume do cilindro: A alternativa ´e resolvida atrav´es das considera¸c˜oes anteriores.
Sℓ
Vc
= 8π√ 3 8π√
3 = 1 ∴ Raz˜ao = 1
E
xerc´ıcio 2(UEAP). Considerep(x) um polinˆomio do 2ograu. Sendo p(0) =−10, p(1)+p(2) =−9 e p(1)−3p(2) = 3. Calcule o conjunto de todos x para os quais p(x)>0.
S
olu¸c˜ao. A equa¸c˜ao do 2o grau ´e definida como,p(x) = ax2+bx+c (3)
Caso 1: p(0) =−10.
p(0) =a(0)2+b(0) +c=−10 =⇒ c=−10 Caso 2: p(1) +p(2) = −9.
a(1)2+b(1)−10 +a(2)2+b(2)−10 =−9 a+b−10 + 4a+ 2b−10 =−9 =⇒ 5a+ 3b = 11 Caso 3: p(1)−3p(2) = 3.
3Princ´ıpio de Cavalieri.
a(1)2+b(1)−10−3·[a(2)2+b(2)−10] = 3
a+b−10−3·(4a+ 2b−10) = 3 =⇒ 11a+ 5b = 17 Atrav´es dos resultados anteriores,
5a+ 3b = 11 =⇒ a= 11−3b
5 (1)
11a+ 5b= 17 (2)
Usando o resultado de (1) em (2).
11·
11−3b 5
+ 5b = 17 =⇒ 112
5 −33b
5 + 5b= 17
b·
5− 33 5
= 17− 112
5 =⇒ b = 9
2
Em(1) temos 5a+ 3· 9
2 = 11 =⇒ a=−1 2 A equa¸c˜ao que satisfaz os trˆes casos ´e p(x) = −1
2·x2+ 9
2·x−10.
Atrav´es dos zeros da fun¸c˜ao podemos definir o conjunto dos x para os quais p(x)>0.
−1
2·x2 +9
2 ·x−10 = 0 =⇒ −x2+ 9x−20 = 0
∆ = (9)2−4(−20)(−1) =⇒ ∆ = 1
Sabe-se que x= −b±√
∆
2a . Logo x= −(9)±√ 1
2(−1) =⇒ x1 = 4 e x2 = 5
Figura 3: Sinal da fun¸c˜ao
Temos como solu¸c˜ao S ={x∈R| 4< x <5}.
E
xerc´ıcio 3 (EsSa). No ano “A”, as idades de um sargento e seu irm˜ao eram, numericamente, as ra´ızes da equa¸c˜ao do 2o grau dada por m1x2+m2x+ 105 = 0. A diferen¸ca entre suas idades ´e de 6 anos e, nesse mesmo ano “A”, o produto das idades desses irm˜aos era 315. Assim, podemos afirmar que o produto m1·m2 ´e?S
olu¸c˜ao. O primeiro passo ´e descobrir a idade dos irm˜aos, no caso “a” e “b”, que s˜ao os zeros da fun¸c˜ao. Segue,( a−b = 6 =⇒ a= 6 +b a·b = 315
Atrav´es do sistema temos b2+ 6b−315 = 0 com ra´ızes iguais a b1 = 15 e b2 =−21.
Como b2 n˜ao responde o problema a idade de b ´e igual a 15 anos. Consequentemente, a= 21 anos.
Usando os zeros na fun¸c˜ao.
( 441m1+ 21m2+ 105 = 0 (1) 225m1+ 15m2+ 105 = 0 (2)
Uma das formas de resolver o sistema ´e usando a regra da adi¸c˜ao. Para isso multiplique (2) por (−1,4). Veja,
( 441m1+ 21m2+ 105 = 0
−315m1−21m2−147 = 0
Somando os valores das colunas obtemos m1 = 1
3 e em (1) m2 = −12. Com isso podemos responder o problema.
m1·m2 = 1
3 ·(−12) =−4, o produto ´e igual a −4.
E
xerc´ıcio 4 (EsSa). A ´area do circuloinscrito em um triˆangulo retˆangulo de lados 9, 12 e 15?S
olu¸c˜ao. Observe a Figura 4, p´ag. 5.Sabe-se que At= altura·base
2 (´area do triˆangulo).
Ent˜ao A= 9·12
2 = 54 =⇒ 54 = r2+r·(12−r)
2 + 15·r
2 + r·(9−r)
2 .
54 = r2+ 6r− r2
2 +15r 2 + 9r
2 −r2
2 =⇒ r= 3
Temos Ac =π·r2 =⇒ Ac = 9π
Figura 4: Triangulo retˆangulo com circulo inscrito
E
xerc´ıcio 5 (EsSa). Estando afastado 6 metros de um muro de 3 metros de altura, um menino chuta uma bola que cai exatamente sobre o citado muro, ap´os percorrer a trajet´oria descrita pela equa¸c˜ao y = ax2+ (1−4a)x, em rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas usual. Nestas condi¸c˜oes, a altura m´axima atingida pela bola ´e?S
olu¸c˜ao. O problema fornece como coordenada o ponto (6,3) que corresponde a posi¸c˜ao da bola.Temos 3 = a·(6)2+ (1−4a)·6 que implica em a=−1 4. A equa¸c˜ao da trajet´oria ´e y=−1
4·x2+ 2x.
O v´ertice da fun¸c˜ao ´e Vy =−∆
4a =⇒ Vy =− 4
−1 4 ·4
= 4. A altura m´axima atingida pela bola ´e igual a 4 metros.
E
xerc´ıcio 6 (UNIFAP). Considere 832·255028 ·510 =a·10n, com 1≤a <9, sendo n ∈N e a∈R. Ent˜ao podemos dizer que (10·n)2−8892 ´e?
S
olu¸c˜ao. O problema pode ser resolvido atrav´es de compara¸c˜ao.832·2550
28·510 = (23)32·(52)50
28·510 = 296−8·5100−10= 288·588·(10·2,5) (2·5)88·10·2,5 = (10)89·2,5 =a·10n =⇒ 2,5·1089=a·10n Ent˜ao a= 2,5 e n= 89. Segue a resposta.
(10·n)2−8892 = (10·89)2−8892 = 1779
E
xerc´ıcio 7 (UNIFAP). Considere um trap´ezio is´osceles de v´ertices ABCD em que o valor da medida, das bases, menor e maior ´e AB = 5 e DC = 8 respectivamente e a medida doˆangulo ADCb ´e a ter¸ca parte da medida do ˆangulo DAB, pergunta-se: qual ´e o valor da ´areab deste trap´ezio?
S
olu¸c˜ao. A soma dos ˆangulos internos de um pol´ıgono de 4 lados ´e igual a 360o.Figura 5: Trap´ezio is´osceles
Note que DABb =ABCb e BCDb =CDA. Sabe-se queb θ =ϕ/3.
2θ+ 2ϕ = 2· ϕ
3
+ 2ϕ = 360o =⇒ ϕ = 135o e θ= 45o
O comprimento Ap (DbpA= 90o) ´e encontrado atrav´es do ˆangulo θ.
tanθ = tan 45o = 1 = Ap
3/2 =⇒ Ap= 3 2 Temos a ´area do trap´ezio AT = 2·3/2·3/2
2 + 5· 3
2 = 9,75
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xerc´ıcio 8 (UNIFAP). Considere o retˆangulo de v´ertices ABCD, sendo as medidas de seus lados AD = ℓ e AB = 2ℓ. Agora considere um ponto p1 ∈ DC, tal que Dp1 = 34 ·DC.
Considere tamb´em um ponto p3 ∈AB, tal que p1p3 seja perpendicular a BD que ´e a diagonal do retˆangulo, sendo o ponto de intersec¸c˜ao de p1p3 e BD o ponto p2. Dadas estas informa¸c˜oes pergunta-se: qual ´e a medida da ´area do triˆangulo de v´ertices Dp3p2?
S
olu¸c˜ao. Note que BDCb =ABDb =θ.cosθ = Dp2 3 2 ·ℓ
= 2ℓ
DB, pois 3
4·DC = 3 2·ℓ
Por Pit´agoras temos (2ℓ)2 +ℓ2 = (DB)2 =⇒ DB =ℓ√ 5
Dp2·(DB) = 3ℓ2 =⇒ Dp2·(ℓ√
5) = 3ℓ2 ∴ Dp2 = 3√ 5ℓ 5
Logo, P2B = 2√ 5ℓ
5 , pois Dp2+p2B =ℓ√
5. Observe a Figura 6.
Figura 6: Detalhes do problema
cosθ= p2B
p3B = Dp2 3 2·ℓ
=⇒
2√ 5ℓ 5 p3B =
3√ 5ℓ 35 2·ℓ
∴ p3B =Ap3 =ℓ
Ent˜ao (AD)2+ (Ap3)2 = (Dp3)2 =⇒ Dp3 =ℓ√ 2
e (Dp3)2 = (Dp2)2+ (p2p3)2 =⇒ p2p3 = ℓ√ 5 5 Concluindo, ADp2p3 = (3√
5ℓ)/5·(ℓ√ 5)/5
2 = 3ℓ2
10
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xerc´ıcio 9 (UNIFAP). Considere a matriz A do tipo 6 por 7, ou seja, 6 linhas e 7 colunas e a matriz do tipo 7 por 3, ou seja, 7 linhas e 3 colunas. Sendo A = (ai,j), onde ai,j = i+j e B = (bi,j), onde bi,j = i−j. Al´em disso, considere a matriz C = (ci,j) que ´e o resultado do produto das matrizes A por B. Qual ´e o elemento c5,2?S
olu¸c˜ao. Para evitar a constru¸c˜ao completa das matrizes A, B e C trabalharei somente com as linhas e as colunas necess´arias. O leitor deve conhecer previamente a regra de multiplica¸c˜ao de matrizes, pois a mesma n˜ao ser´a explicada nesse problema.Caso 1: A linha 5 da Matriz A ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao ai,j = i+j. Observe a linha em quest˜ao.
h
a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 i Ap´os a aplica¸c˜ao da regra obtemos a seguinte linha.
h
6 7 8 9 10 11 12 i
A coluna 2 daMatrizB´e conseguida de forma semelhante atrav´es da equa¸c˜aobi,j =i−j.
b12 b22 b32 b42 b52 b62 b72
=
−1 0 1 2 3 4 5
O passo seguinte ´e simples e consiste na multiplica¸c˜ao da linha 5 daMatriz Apela coluna 2 da Matriz B.
c5,2 = 6·(−1) + 7·0 + 8·1 + 9·2 + 10·3 + 11·4 + 12·5 = 154
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xerc´ıcio 10 (EsSa). O Sargento Nilton recebeu a miss˜ao de distribuir 33 caixas de muni¸c˜ao, com 100 cartuchos cada, para 46 soldados distribu´ıdos em 3 grupamentos. No grupamento “A”cada soldado dever´a receber 100 cartuchos e nos grupamentos “B” e “C”, 50 cartuchos cada um dos soldados. Mas, na hora da distribui¸c˜ao, os grupamentos trocaram de posi¸c˜ao e o sargento distribuiu 100 cartuchos para cada soldado do grupamento “C” e 50 cartuchos para cada um dos soldados dos grupamentos “B” e “A”. Isso fez com que sobrassem 400 cartuchos. Percebendo o erro, o Sargento refez a distribui¸c˜ao de modo correto e notou que n˜ao sobrou nenhum cartucho.
Baseando-se nessa situa¸c˜ao, pode-se afirmar que o n´umero de soldados do grupamento “B” ´e?
S
olu¸c˜ao. Observe o sistema.
A+B+C = 46 (1) 100A+ 50B+ 50C = 3300 (2) 50A+ 50B + 100C = 2900 (3) Usando (1)em (2).
100A+ 50·(46−A) = 3300 =⇒ A= 20, pois (B+C) = 46−A Usando (1)em (3)
50·(46−C) + 100C = 2900 =⇒ C = 12, pois (A+B) = 46−C Usando os resultados de (2) e(3) em (1).
A+B+C = 46 ⇐⇒ 20 +B+ 12 = 46 ∴ B = 14.
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xerc´ıcio 11 (EsSA). Dividiu-se uma heran¸ca de R$ 62.000,00 entre dois herdeiros de 7 e 13 anos, sendo as quantias depositadas em um banco a juros simples de 5% ao ano, de tal modo que ao completarem 21 anos tenham quantias iguais. A parte da heran¸ca, em reais, que deve ser deixada ao mais mo¸co ´e?S
olu¸c˜ao. Temos as seguintes informa¸c˜oes.Capital = 62000 a= 7anos b= 13anos
Note que Ca·5·(21−7)
100 +Ca = Cb·5·(21−13)
100 +C2 =⇒ 17Ca= 14Cb. Capital =Ca+Cb = 62000 =⇒ 17Ca = 14·(6200−Ca)
17Ca+ 14Ca = 86800 =⇒ Ca = 28000
E
xerc´ıcio 12 (EsSA). Considere duas circunferˆencias de raios iguais a 2 tal que, sobrepostas, cada uma passa pelo centro da outra. A ´area da regi˜ao comum a ambas ´e?S
olu¸c˜ao. Observe a figura.Figura 7: Circunferˆencias sobrepostas
Note que r2 = r
2 2
+x2 =⇒ x= r 2 ·√
3 ∴ x=√
3.
sinθ = x r =
√3
2 =⇒ θ = 60o. Segue, 360o −→ π·r2
120o −→ m Temos4 m= π·r2·120
360 =⇒ m= π·r2 3 .
4Area referente ao arco de 120´ o.
O restante ´e encontrado atrav´es da ´area do triˆangulo retˆangulo.
4·AT+n =m =⇒ n = π·r2 3 −2√
3
Area comum,´ Ac =n+m= π·r2 3 −2√
3 + π·r2 3 = 8π
3 −2√
3
E
xerc´ıcio 13 (EsSA). No triˆangulo ABC abaixo, se M e N s˜ao pontos m´edios e a ´area do triˆangulo DMC ´e 1dm2, ent˜ao a ´area, em dm2, do triˆangulo ABD ´e?Figura 8: Triˆangulo e pontos m´edios
S
olu¸c˜ao. O problema ´e resolvido atrav´es da no¸c˜ao de baricentro e da f´ormula da ´area de um triˆangulo qualquer.D
efini¸c˜ao(Baricentro). As trˆes medianas de um triˆangulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que cont´em o v´ertice ´e o dobro da outra.Tome AM Cc =DM Cc =θ e AT = a·b
2 ·sinC.b Note que ADM C = DM ·M C
2 ·sinθ= 1 e AAM C = 3·DM ·M C
2 ·sinθ.
sinθ = 2
DM ·M C =⇒ AAM C = 3·DM ·M C
2 · 2
DM ·M C = 3
O leitor deve perceber que AM Cc +BM Ac = 180o. Se os mesmos procedimentos forem aplicados a ABM os mesmos resultados ser˜ao obtidos, pois sin(180o−θ) = sinθ.
ABM ∼AM C e BDM ∼DM C =⇒ AABD =AAM C−ADM C = 3−1 = 2
E
xerc´ıcio 14 (UNIFAP). Considere uma esfera de raio √2 inscrita em um cilindro reto que est´a inscrito numa esfera. Pergunta-se: qual ´e o valor da express˜ao VE −Ve
Vc
?