n. 4 – SISTEMAS LINEARES
Sistema linear homogêneo
Quando os termos independentes de todas as equações são nulos.
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível.
Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.
Exemplo: O sistema {
é determinado, pois possui a solução .
Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m equações e n incógnitas (número de linhas maior que número de colunas)
m n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
Forma Matricial: A. x = b
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
xn
x x
2 1
bm
b b
2 1
Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema
B [ Ab]
m mn m
m
n n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
.
Onde:
A matriz dos coeficientes;
x vetor das incógnitas (ou vetor solução);
b vetor dos termos independentes.
Classificação dos Sistemas
Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:
SPD – Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução e número de equações é igual ao número de incógnitas.
e (equações) = i (incógnitas) Quando o det ≠ 0 SPD
SPI – Sistema possível indeterminado: existem inúmeros conjuntos solução e número de equações é menor que o número de incógnitas.
e (equações) ˂ i (incógnitas) Quando o det = 0
Num sistema possível e indeterminado, calculando por Cramer teremos det = 0 (determinante igual à zero) e cada um dos determinantes (det x, det y, det z) iguais à zero, logo teremos uma indeterminação:
SI – Sistema impossível: não é possível determinar um conjunto solução.
0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = β Logo, ∄ Quando o det = 0
Num sistema impossível teremos det = 0 (determinante igual a zero) mas cada um dos determinantes (det x, det y, det z) é diferente zero:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2 X 2
Sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas representam retas no plano.
As retas no plano podem ser: concorrentes; paralelas coincidentes e paralelas distintas.
Podemos conhecer a posição das retas por meio dos coeficientes das equações: n = (a, b) n’ = (a’, b’).
Logo, n = (a, b) n’ = (a’, b’) são os vetores normais a r e a s. Então:
| | | |
Quando
as retas são paralelas coincidentes e quando
as retas são paralelas distintas
Exemplos
1. Resolva e interprete geometricamente a solução dos sistemas:
a. { b. {
c. {
Resolução das questões a. {
Solução: S.P.D.
x = 3 e y = -1
Como o sistema tem solução única, o sistema é possível e determinado – SPD.
A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são: 2x y 5 e x 3y 6.
b. { Solução: S.P.I.
{
x depende dos valores atribuídos a y
se
Como o sistema tem infinitas soluções, o sistema é possível e indeterminado – SPI. A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são:
5
2x y e 6x3y 15 (retas paralelas coincidentes).
c. {
Como as retas cujas equações gerais são:
são paralelas não coincidentes,
ou distintas, o sistema não tem solução.
Equação 1 Equação 2
x y x y
-1 7 -1 16/3 = 5,33
0 5 0 10/3 = 3,33
1 3 1 4/3 = 1,33
O sistema não tem solução, portanto é um Sistema Impossível – SI.
Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3 x 3
Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:
3 3
33 2
32 1
31
2 3
23 2
22 1
21
1 3
13 2
12 1
11
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
Cada equação representa um plano no espaço tridimensional.
Assim, cada equação do sistema representa um plano:
As soluções do referido sistema pertencem à interseção desses planos.
Sistema possível e indeterminado: interseção é uma reta
Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é
Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
Exemplo:
6 4
2 5
3 2
1
z y
x
z y
x
z y
x
Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.
Exemplo:
9 6
3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e quaisquer pontos dos planos é uma solução do sistema.
Exemplo:
9 3
6 3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Sistema impossível: interseção é vazia
Três planos são paralelos. Neste caso o sistema é impossível.
Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
8 3
6 3
6 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Os planos e são paralelos e o plano os intersecta segundo duas retas paralelas. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
9 2
5 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas , e , paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
6 6
8
2 3
1 3
2
z y
x
z y
x
z y
x
Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível.
Exemplo:
5 3
6 3
4 2
4 2
3 2
z y
x
z y
x
z y
x
Sistema possível e determinado
Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível e determinado (solução única).
Exemplo:
1 2
3
2 2
1 3
2
z y
x
z y
x
z y
x
Exercícios:
1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:
a. {
b. {
c. {
Resolução das questões:
a. {
[
] {
[
]
[
] { [
]
{
Logo, y =
e x + 2y +z = 4 x =4 - – z x =
Portanto, o sistema é compatível e indeterminado, pois para cada valor real de z, obteremos uma das infinitas soluções que o sistema linear admite.
As soluções são as infinitas ternas ordenadas { } | z ∈ℝ
b. {
[
] {
[
]
[
] { [
]
{
Como ∄
Portanto, o sistema é incompatível, pois 0x + 0y + oz = 1, o sistema de equações não tem solução.
c. {
[
] {
[
]
[
] { [
]
{
Logo, z = 1 y = 1 e x = 1
Portanto, o sistema é compatível e determinado admitindo uma única solução S:{(1,1,1)}
Lista de exercícios:
1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares:
{
{
{ {
{ {
{ {
{ {
{
{
R: {(1,1,1)} - SPD
{
{( )} {
{
R: SI
{
{
Resolução:
{
[
] { [ ]
[ ] { [
]
{
{
{
[
]
{
{
{
[
] { [
]
[
] { [
]
{
{
{ [
] { [ ]
{
{
{
[ ] { [
]
{
{
{
[
] { [ ]
{
{
{
[
] {
[
]
[
] { [
]
{
R: {(1,1,1)} - SPD
{
[
] {
[
]
[
] { [ ]
{
{
{
{
{
R: { {( )}
{
[
] {
[
]
[
] { [ ]
{
{
∄
O que é impossível!
Portanto, SI.
Referências
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro:
Prentice-Hall, 1998.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.
