Efeitos de interferência envolvendo átomos de hidrogênio metaestáveis com e sem a presença de campo magnético externo

INSTITUTO DE FÍSICA

Efeitos de interferência envolvendo átomos de hidrogênio metaestáveis com e sem a presença de campo magnético

externo

Amanda Jéssica Teixeira Alencar

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Física do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisi- tos necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).

Orientador: Ginette Jalbert de Castro Faria Coorientador: François Michel Claude Impens

Rio de Janeiro Julho de 2018

Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com os dados fornecidos pelo(a) autor(a), sob a responsabilidade de Miguel Romeu Amorim Neto - CRB-7/6283.

TA368e

Teixeira Alencar, Amanda Jéssica

Efeitos de interferência envolvendo átomos de hidrogênio metaestáveis com e sem a presença de campo magnético externo / Amanda Jéssica Teixeira Alencar. -- Rio de Janeiro, 2018.

113 f.

Orientadora: Ginette Jalbert de Castro Faria.

Coorientadora: François Michel Claude Impens.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Física, Programa de Pós Graduação em Física, 2018.

1. Átomos metaestáveis. 2. Interferometria. 3.

Estrutura hiperfina. 4. Molécula de hidrogênio. 5.

Detecção. I. Jalbert de Castro Faria, Ginette, orient. II. Michel Claude Impens, François, coorient. III. Título.

Amanda Jéssica Teixeira Alencar

Orientador: Ginette Jalbert de Castro Faria Coorientador: François Michel Claude Impens

Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).

Foram estudados efeitos de interferência de ondas de matéria envolvendo átomos de hidrogênio metaestáveis no estado 2S1

2 provenientes da fragmentação da molécula de hidrogênio no estado duplamente excitado¹Σ⁺_g. Esta dissertação está dividida em dois estudos principais.

O primeiro deles é o estudo de aspectos do processo de fragmentação e detecção da molécula de hidrogênio, tendo, como um de seus objetivos principais, mostrar que o simples processo de detecção em coincidência dos átomos metaestáveis H(2S) é capaz de revelar certos aspectos do estado molecular de origem, o ¹Σ⁺_g. Ou seja, mostramos que o processo de detecção em coincidência nos trás mais informações sobre o estado molecular de origem do que um conjunto de duas detecções simples seria capaz de trazer, o que corresponde a um estudo de interferência sem interferômetro.

O segundo estudo apresentado nesta dissertação tem como finalidade o entendimento da interação de estados de estrutura hiperfina do átomo de hidrogênio com um campo magnético

externo a fim de determinar como este altera os tempos de vida de alguns destes estados. Para este estudo utilizamos o método de canais acoplados onde os tempos de vida são calculados considerando a perturbação devida ao campo elétrico sentido no referencial dos átomos, que têm velocidade da ordem de 30 km/s no referencial do laboratório. Tal compreensão nos pos- sibilita desenvolver o projeto para a construção do interferômetro Stern-Gerlach longitudinal.

No entanto, nesta dissertação nos concentraremos na proposta para a construção do polarizador, primeira etapa do interferômetro, que tem como finalidade selecionar o(s) estado(s) nas etapas seguintes do interferômetro. O estudo feito aqui será estendido considerando as características específicas de cada uma das etapas seguintes do interferômetro a serem projetadas.

Palavras-chave: 1. Átomos metaestáveis. 2. Interferometria. 3. Estrutura hiperfina. 4.

Molécula de hidrogênio. 5. Detecção.

Orientador: Ginette Jalbert de Castro Faria Coorientador: François Michel Claude Impens

Abstractda Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).

Matter wave interference effects involving metastable hydrogen atoms in the 2S1

2 state from the fragmentation of the hydrogen molecule in the¹Σ⁺_g doubly excited state were studied. This dissertation is divided into two main studies.

The first one of them is the study of some aspects of fragmentation and detection of the hydrogen molecule, having as one of its main goals to show that the simple process of detection in coincidence of the H(2S) metastable atoms can reveal some aspects of the molecular state of origin, the¹Σ⁺_g. That is, we showed that the process of detection in coincidence brings us more information about the molecular state of origin than a set of two simple detections would be able to. That corresponds to a study of interference without an interferometer.

The second study presented in this dissertation aims to understand the interaction of some hyperfine states of the hydrogen atom with an external magnetic field in order to determine how it changes the lifetimes of some of these states. For this study we used the coupled channel method where the lifetimes are calculated considering the perturbation due to the electric field

felt in the atoms’ frame of reference, which have a speed of the order of 30 km/s in the laboratory frame of reference. This understanding allows us to develop the design for the construction of the longitudinal Stern-Gerlach interferometer. However, in this dissertation we will focus on the proposal for the construction of the polarizer, the first stage of the interferometer, whose purpose is to select the state(s) in the following stages of the interferometer. The study done here will be extended considering the specific characteristics of each of the following steps of the interferometer to be designed.

Keywords: 1. Metastable atoms. 2. Interferometry. 3. Hyperfine structure. 4. Hydrogen molecule. 5. Detection.

de seguir a carreira que escolhi.

Agradeço também a todos os professores e colegas do IFBA, da UFBA e da UFRJ que fizeram parte da minha formação e sem os quais o caminho até aqui seria certamente menos agradável. Neste grupo cito especialmente Ginette Jalbert, Nelson Faria, Leonardo Santos, François Impens, Carlos Renato, Aline Medina e Italo Prazeres, pessoas que foram de muita importância para o desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço finalmente ao apoio financeiro do CNPq através da concessão da bolsa de mestrado, que é fundamental para que estudantes como eu possam dedicar importantes anos de suas vidas para o desenvolvimento de suas pesquisas.

Sumário

Sumário ix

Lista de Figuras xi

1 Introdução 1

2 Interferômetria Atômica 7

2.1 Ondas de matéria . . . 7

2.2 Interferometria atômica . . . 9

2.3 O experimento de Stern-Gerlach e a descoberta do spin . . . 11

2.4 Interferômetro Stern-Gerlach longitudinal . . . 15

3 O Átomo e a Molécula de Hidrogênio 21 3.1 O Átomo de Hidrogênio . . . 21

3.1.1 Estrutura Fina . . . 24

3.1.2 Estrutura Hiperfina . . . 26

3.1.3 Interação do átomo de Hidrogênio com radiação eletromagnética . . . . 28

3.2 A molécula de Hidrogênio . . . 37

4 Análise do processo de detecção 43 4.1 Função de onda molecular . . . 43

4.2 Detectores . . . 48

4.3 Detecção simples . . . 49

5.2 Ação de campo magnético externo sobre os estados de estrutura hiperfina . . . 67

5.2.1 Energia dos estados em função do campo elétrico . . . 72

5.3 Tempo de vida dos estados em função do campo magnético . . . 73

5.3.1 Aproximação para campo fraco . . . 79

5.4 Polarizador . . . 84

5.4.1 Análise da validade da aproximação para campo fraco . . . 87

6 Considerações Finais 90

Referências Bibliográficas 92

Lista de Figuras

1.1 CAD da linha experimental do LAG: A esquerda encontra-se a câmara experi- mental no centro da qual ocorre a dissociação da molécula de hidrogênio que é excitada por um feixe pulsado de elétrons [19]. . . 4 2.1 Superposições de ondas: (a) interferência construtiva; (b) interferência destru-

tiva; (c) interferência resultando em alteração de fase e amplitude da onda re- sultante. . . 9 2.2 Interferência de ondas na superfície da água. . . 9 2.3 Esquema do Interferômetro de Michelson. . . 10 2.4 Esquema do experimento de Stern-Gerlach mostrando o resultado esperado [35]. 13 2.5 Experimentos Stern-Gerlach sequenciais [37]. . . 15 2.6 Esquema do interferômetro Stern-Gerlach longitudinal através do qual passa um

átomo H(2S) oriundo de uma molécula de H₂. O polarizador (P) seleciona os estados de estrutura hiperfina nas próximas etapas do interferômetro, o divisor de feixes (D) transforma estes estados numa combinação linear dos estados

|F =1,M_F =−1,0,1i, o objeto de fase (O) introduz uma fase em diferente em cada um dos estados, o analisador (A) provoca o decaimento do estado com M_F =−1 com a emissão de um fóton que é medido pelo detector. A seta em cada caixa indica a direção do campo magnético na etapa correspondente. . . . 16 2.7 Ação do objeto de fase no movimento externo do átomo [20]. . . 19

cidência. O eixo Z no referencial do laboratório é definido pela linha que cruza o centro dos dois detectores. . . 48

4.2 Curva de energia potencialQ₂ ¹Σ⁺_g acima e curva de energia potencialQ₂ ¹Σ⁺_g - 28,886 eV (correspondente a energia no limite dissociativo) abaixo [16]. . . . 53

4.3 Distribuições de energia cinética,g²_N(E), para átomos H(2S) resultantes da dis- sociação da molécula de H₂ excitada para estados com energias E0 e E2. Na imagem, a curva azul corresponde a N=0 e a curva magenta a N=2. . . 54

4.4 Distribuições de momento linear, f_N²(k), para átomos H(2S) resultantes da dis- sociação da molécula de H₂ excitada para estados com energias E₀ e E₂. Na imagem, a curva azul corresponde a N=0 e a curva magenta a N=2. . . 54

4.5 Partes real (em preto) e imaginária (em vermelho) deS₀em função da energia. . 56

4.6 Parte real dee^{2i(δ2−δ0)}em função da energia. . . 57

4.7 (a) Probabilidade de detecção simples em termos do momento relativo. (b) Probabilidade de detecção simples em termos do tempo de voo para um detector com área de 1cm²localizado a uma distância de 18cmda região de dissociação. 58

4.8 Resultados para detecção em coincidência: (a) e (c) mostram a probabilidade de detecção em coincidência em termos do momento relativo e da diferença de tempo de voo, ∆t, respectivamente; (b) e (d) mostram a comparação entre a probabilidade de detecção (em azul), a probabilidade de detecção caso não houvesse termo de interferência (em magenta), e o módulo do termo de inter- ferência (em amarelo) em função do momento relativo e da diferença de tempo de voo, respectivamente, estando ambos os detectores alinhados em relação à região de dissociação com um deles à distância de 18 cm desta região e o outro à distância de 21 cm. . . 60 4.9 PropostaP₁para visualização de oscilações relacionadas à probabilidade de me-

dida em coincidência. Consideramos ambos os detectores alinhados em relação à região de dissociação com um deles distando 18 cm desta região e o outro distando 21 cm. . . 61 4.10 PropostaP₂para visualização de oscilações relacionadas à probabilidade de me-

dida em coincidência. Detectores alinhados a 18 e 21 cm da região de dissociação. 62 4.11 Ajuste para cos(2(δ₂−δ₀)) em função de∆t. Detectores alinhados a 18 e 21

cm da região de dissociação. . . 62 5.1 Níveis de energia de estados do átomo de hidrogênio com número quântico

principal igua a 2 [65]. . . 68 5.2 Desdobramento hiperfino de 2S1

2 sob ação de campo magnético. . . 69 5.3 Desdobramento hiperfino de 2P1

2 sob ação de campo magnético. . . 71 5.4 Desdobramento hiperfino de 2S¹

2 e 2P¹

2 sob ação de campo magnético. . . 72 5.5 Como a probabilidade de o átomo estar no estado 2S1

2 muda com o tempo para campo magnético de 300, 400, 500 e 597 G. A velocidade do átomo foi consid- erada, para fins ilustrativos, como sendo 100 km/s com direção perpendicular ao campo magnético. . . 76

Be^−r

1 2cos ^θ₂

t assumem o valor constante de aproximadamente 0.25 e o termo C(t)oscila entre aproximadamente−0,5 e 0,5. . . 78

5.8 Decaimento do estado de estrutura hiperfina |2S1

2,1,−1imodulado por expo- nencial no cruzamento (597G) com|2P1

2,1,0i. Em azul vemos a probabilidade de o átomo estar no estado 2S1

2 tendo ele velocidade de 100 km/s perpendicular ao campo magnético. Em magenta vemos a probabilidade de o átomo estar no estado 2S¹

2 tendo ele velocidade de 200 km/s perpendicular ao campo magnético. 78 5.9 Tempos de vida dos autoestados do sistema átomo(2S1

2)-campo em função do campo magnético para átomos viajando com velocidade de 28 km/s. . . 82

5.10 Comportamento do termo ^4|Vps|

2

¯

h ¹₄γ_2p² +ω² em função do campo magnético para áto- mos viajando com velocidade de 28 km/s. . . 83

5.11 (a) Probabilidade dequenchingem função da distância percorrida, com veloci- dade de 28 km/s, numa região de campo~Bcom intensidade de 350 G para os quatro estados 2S1

2. (b) Probabilidade dequenchingem função da distância per- corrida, com velocidade de 28 km/s, numa região de campo~Bcom intensidade de 450 G para os quatro estados 2S1

2. . . 85

5.12 (a) e (b) mostram a probabilidade de quenching em função da distância per- corrida em regiões de campo magnético com intensidades de 350 G e 450 G, respectivamente, para átomos com velocidade de 20 km/s. (c) e (d) mostram a probabilidade dequenching em função da distância percorrida em regiões de campo magnético com intensidades de 350 G e 450 G, respectivamente, para átomos com velocidade de 40 km/s. . . 86 5.13 Comparação entre as probabilidade de quenching dada por 1− |C_s(t)|² e sua

forma aproximada 1−e^−l/(vτE)em função da distância percorrida numa região de campo magnético de 350 G para os estados 2S1

2. (a) Estado 3, (b) Estado 1, (c) Estado 4 e (d) Estado 2. . . 87 5.14 Comparação entre as probabilidades dequenching dada por 1− |C_s(t)|² e sua

forma aproximada 1−e^−l/(vτE)em função da distância percorrida numa região de campo magnético de 450 G para os estados 2S1

2. (a) Estado 3, (b) Estado 1, (c) Estado 4 e (d) Estado 2. . . 88 5.15 Comparação, para tempos pequenos, entre as probabilidade dequenchingdada

por 1− |C_s(t)|² e sua forma aproximada 1−e^−l/(vτE) em função da distância percorrida numa região de campo magnético de 450 G para os estados 2S¹

2. (a) Estado 3, (b) Estado 1, (c) Estado 4 e (d) Estado 2. . . 89

O fato de a luz apresentar características tipicamente ondulatórias, como ser capaz de sofrer difração e interferência, como observado por Thomas Young no início do século IXX, encerrou (ainda que temporariamente) o duradouro debate acerca de sua natureza, se ondulatória ou cor- puscular. Sendo a luz uma onda, ela não poderia ser composta por corpúsculos como sugerido por Isaac Newton, pois radiação e matéria eram consideradas como essencialmente distintas.

Contudo, ao fim da terceira década do século XX, ambas podiam ser descritas por equações de onda com o advento da mecânica quântica.

No entanto, a descrição de sistemas físicos materiais através de uma função de onda dada pela mecânica quântica foi questionada por Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen em seu famoso artigo intitulado “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete" [1]. Neste artigo, também conhecido como EPR, os autores chegaram à conclusão de que a função de onda não é capaz de oferecer uma descrição completa de um sis- tema quântico, pois caso fosse, seria possível determinar posição e momento com precisão su- perior à permitida pelo princípio da incerteza de Heisenberg [2], uma consequência necessária da suposição que a função de onda e sua interpretação probabilística, proposta por Born [3], correspondem a uma descrição completa para o estado de um sistema quântico. Esta conclusão foi obtida a partir da análise de dois sistemas físicos hipotéticos separados espacialmente após uma interação. A descrição destes sistemas pela mecânica quântica mostra que uma correlação entre suas funções de onda permanece mesmo após a separação dos sistemas. Este fato im-

plica em o processo de medição de uma grandeza no primeiro sistema influenciar o estado do segundo sistema e, consequentemente, quaisquer medidas realizadas neste, ainda que o pro- cesso de medição no primeiro sistema esteja completamente fora do cone de luz da medição no segundo. Este suposto vínculo entre os sistemas, que possibilita interações não locais, foi denominado por Schrödinger de emaranhamento [4].

David Bohm, em seu livro "Quantum Theory"de 1951 [5], propôs um experimento de pensa- mento, semelhante ao discutido por Einstein, Podolsky e Rosen. Neste experimento, os sistemas interagentes são dois átomos que constituem uma molécula diatômica e deixam de interagir após a dissociação molecular. As grandezas consideradas para análise são diferentes componentes de spin, que assim como posição e momento, não comutam. Mesmo após não existir mais in- teração entre os átomos, eles mantêm um vínculo referente ao fato de o momento angular de spin do sistema permanecer inalterado.

Em 1964, John Bell [6] defendeu que deve haver mecanismos que possibilitem tal emaran- hamento, mas as primeiras evidências experimentais sobre esta questão surgiram apenas em 1982 com os experimentos de Alain Aspect [7, 8], mostrando então que a argumentação ap- resentada no artigo EPR de fato demonstra a existência de emaranhamento e não contradiz a descrição da realidade através da mecânica quântica. No entanto, os experimentos de Aspect apresentam os chamados loopholes, permitindo uma explicação alternativa compatível com o realismo local.

Alguns trabalhos já foram bem sucedidos em fazer medidas de emaranhamento com fó- tons [9–12] , fragmentos de condensados de Bose Einstein [13] e íons armadilhados [14]. No entanto, a produção e manipulação de pares de átomos emaranhados oriundos de uma molécula diatômica, tal como proposto por David Bohm, ainda não foi alcançada.

Queremos então projetar e construir um aparato experimental que seja capaz de produzir e manipular pares de átomos metaestáveis H(2S) para verificar o emaranhamento entre eles.

Queremos também verificar se é possível determinar a existência de emaranhamento entre áto- mos H(2S) oriundos da dissociação da molécula de H₂ sem a presença de qualquer aparato

vada experimentalmente pelo grupo em 2013 [15]. Tendo sido verificado que esta dissociação é proveniente dos estadosQ₂.

Em 2015, Leonardo O. Santos [16] realizou cálculos de curvas de estados simplesmente e duplamente excitados da molécula deH₂a partir de um estudo utilizando interação de configu- ração de multireferência baseado em orbitais multiconfiguracionais de campo autoconsistente, cálculos estes também reportados em sua tese de doutorado defendida em 2016. Em especial, foram calculadas curvas de potencial correspondentes aos estados Q₂. Dentre estes está o es- tado¹Σ⁺_g, de particular interesse para esta dissertação por ser o que pode levar à dissociação da molécula de hidrogênio em dois átomos metaestáveisH(2S). Este estado foi calculado desde a região de Franck-Condon até o limite dissociativo, tornando possível a determinação da Energia cinética relativa dos átomos no referencial de seu centro de massa. A identificação deste estado molecular possibilitou o estudo realizado no Capítulo 4 desta dissertação.

O grupo publicou, ainda em 2015, uma proposta para verificar o comportamento do par H(2S)−H(2S)na presença de campos magnéticos num aparato duplo de Stern-Gerlach longi- tudinal [17]. E em 2017, foi publicado um artigo com o cálculo da seção de choque de produção dos estadosQ₂feitos por Leonardo O. Santos [18].

No aparato experimental montado no Laboratório de Átomos Gêmeos (LAG), na UFRJ, objeto de estudo da dissertação de Italo Prazeres defendida em 2017, moléculas de H₂ são excitadas por um feixe pulsado de elétrons e sofrem dissociação em seguida. Os átomos ou

íons oriundos de cada dissociação saem então da região de dissociação e podem viajar em direção a um dos dois detectores alinhados perpendicularmente à direção do feixe de elétrons.

Nosso interesse particular é na detecção em coincidência de átomos H(2S) provenientes do estado molecular Q₂ ¹Σ⁺_g. Uma análise da dissociação da molécula neste estado nos mostra que os átomos saem com velocidades em direções aproximadamente opostas no referencial do laboratório, pois, em temperatura ambiente, a velocidade quadrática média das moléculas de H₂antes da colisão, e mesmo o aumento da velocidade referente ao momento transferido pelo elétron na colisão, são muito menores que a velocidade relativa dos átomos após a dissociação.

Um filtro de Fluoreto de magnésio polidoMgF₂, transparente a uma estreita faixa de frequências na região do ultravioleta, garante que apenas fótons referentes às transições de n=2 para n=1 sejam detectados, ou seja, apenas a presença de átomos H(2P) e H(2S) podem ser percebidas pelos detectores através do decaimento destes para o estado fundamental com a emissão de um fóton Lyman-α.

Figura 1.1: CAD da linha experimental do LAG: A esquerda encontra-se a câmara experimental no centro da qual ocorre a dissociação da molécula de hidrogênio que é excitada por um feixe pulsado de elétrons [19].

tudo sejam metaestáveis, como dito, já que devem ser capazes de atravessar o interferômetro antes do seu decaimento espontâneo.

No contexto exposto, este trabalho traz o estudo de aspectos do processo de fragmentação e detecção da molécula de hidrogênio, tendo, como um de seus objetivos principais, mostrar que o simples processo de detecção em coincidência dos átomos metaestáveis H(2S) é capaz de revelar certos aspectos do estado molecular de origem, o¹Σ⁺_g. Ou seja, queremos mostrar que o processo de detecção em coincidência nos trás mais informações sobre o estado molecular de origem do que um conjunto de duas detecções simples seria capaz de trazer.

O segundo objetivo desta dissertação é entender como o tempo de vida dos quatro esta- dos de estrutura hiperfina do H(2S) mudam em função de um campo magnético externo. Tal compreensão nos possibilita desenvolver o projeto para a construção do interferômetro Stern- Gerlach longitudinal. No entanto, nesta dissertação nos concentraremos na proposta para a construção do polarizador, primeira etapa do interferômetro, que tem como finalidade sele- cionar o(s) estado(s) nas etapas seguintes do interferômetro. O estudo feito aqui será estendido considerando as características específicas de cada uma das etapas seguintes do interferômetro a serem projetadas.

Esta dissertação será dividida em seis capítulos, sendo este o primeiro deles. O Capítulo 2 tem como objetivo apresentar a motivação para o estudo da interferometria atômica e também as principais características do interferômetro Stern-Gerlach longitudinal.

No Capítulo 3, nos familiarizamos um pouco mais com o átomo e com a molécula de hidrogênio, que são os nossos principais objetos de estudo. Este capítulo é muito importante para a compreensão dos capítulos de desenvolvimento 4 e 5, pois nele estudamos a molécula de hidrogênio e discutimos conceitos como a estrutura hiperfina do átomo de hidrogênio, regras de seleção e tempo de vida de estados excitados.

O primeiro dos dois estudos apresentados nesta dissertação é o elemento central do capítulo 4. Nele estudamos o processo de detecção dos átomos H(2S) provenientes diretamente da dis- sociação da molécula de hidrogênio no estado ¹Σ⁺_g sem que sofram manipulação por campos magnéticos externos. É feito um estudo comparativo da detecção de apenas um dos átomos com a detecção em coincidência de dois átomos oriundos da mesma molécula.

No Capítulo 5, apresentamos um estudo de como os autovalores de energia dos estados hiperfinos 2S1

2 e 2P1

2 são alterados pela presença de um campo magnético externo. Estudamos também como o campo elétrico no referencial do átomo que se desloca numa região de campo magnético altera os tempos de vida dos estados de estrutura hiperfina 2S1

2 de maneiras difer- entes, o que nos permite propor um polarizador que provoque o decaimento seletivo de estados fazendo com que nem todos sobrevivam para percorrer etapas posteriores do interferômetro.

Finalmente, as conclusões e perspectivas são apresentadas no capítulo 6.

2.1 Ondas de matéria

Einstein, em 1905, postulou que a luz poderia ser encarada como sendo constituída por pacotes de energia, que hoje conhecemos como fótons [21]. Essas partículas de luz teriam energia e momento bem definidos, relacionados à frequência da luz,ν, pelas expressõesE=hν ep=^hν_c , ondehé a constante de Planck ecé a velocidade da luz no vácuo. Com esta ideia, Einstein foi capaz de explicar o efeito fotoelétrico, o que lhe rendeu o prêmio Nobel de física de 1921.

A natureza corpuscular da luz também foi o princípio utilizado por Arthur Compton para estudar o espalhamento de raios X por elétrons [22], estudo este que lhe rendeu o prêmio Nobel em Física de 1927. Compton mostrou que as partículas de luz de fato possuem momento e que quando essas partículas atingem elétrons, parte desse momento pode ser transferido.

Louis De Broglie imaginou que, assim como a luz pode se comportar como partícula, todas as partículas fundamentais poderiam também se comportar como ondas, com comprimento de onda,λ, dado por

λ = h

p (2.1)

Essa ideia foi defendida por ele em sua tese de doutorado em 1924 [23] e abriu caminho para uma nova compreensão sobre radiação e matéria, antes vistas como completamente distintas e

sem superposição em termos de comportamento.

Como pode ser facilmente concluído a partir da equação (2.1), o comprimento de onda para objetos com massas e velocidades do cotidiano é imperceptível. Para partículas como um elétron, em contrapartida, podemos encontrar comprimentos de onda da ordem de nanômetros, portanto deveria ser possível observar seu comportamento ondulatório. Este foi observado em 1927, através da difração de elétrons por um cristal de níquel, por Davisson e Lester Germer, nos laboratórios Bell [24].

Inspirado na ideia de De Broglie, em 1925, o físico Austríaco Erwin Schrödinger formulou a famosa equação de Schrödinger [25], que é uma equação de movimento capaz de descrever como um sistema evolui com o tempo através de suas propriedades ondulatórias.

Schrödinger imaginou que, se a matéria pode se comportar como uma onda, ela também deve poder ser descrita por uma função de ondaΨ. A equação desenvolvida por Schrodinger é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem análoga à equação obedecida por uma onda eletromagnética, mas que leva propriedades da matéria em consideração.

HΨ=i¯h∂Ψ

∂t (2.2)

ondeΨ=Ψ(R,θ,φ,t)é a função de onda, aqui representada em coordenadas esféricas, ¯h= _2π^h é a constante de Planck reduzida eH=−_2m^¯h2∇²+V(R,θ,φ,t)é a hamiltoniana do sistema em questão.

A equação de Schrödinger é de grande importância para a física quântica e, apesar de não ser a única maneira de descrever sistemas quânticos, tem importância comparável à segunda lei de Newton para a mecânica clássica.

O conhecimento de que a matéria também se comporta como uma onda nos permite estudá- la de maneiras completamente novas. Uma dessas formas é através da interferometria das ondas a ela associadas, as ondas de matéria.

Figura 2.1: Superposições de ondas: (a) interferência construtiva; (b) interferência destrutiva;

(c) interferência resultando em alteração de fase e amplitude da onda resultante.

Quando se tem ondas que viajam em direções diferentes na superfície da água, por exemplo, o padrão observado de regiões onde a elevação da água é maior ou menor é resultado de uma interferência entre essas ondas.

Figura 2.2: Interferência de ondas na superfície da água.

Na óptica, uma configuração típica para interferometria é o Interferômetro de Michelson [26]. Este interferômetro consiste em uma fonte de luz coerente que emite em direção a um espelho semitransparente conhecido como divisor de feixe por dividir o feixe inicial em dois, estes são então refletidos de volta para o divisor de feixe que os recombina através do fenômeno de superposição mencionado. Esta reunião mostra a interferência dessas duas ondas na forma de franjas claras e escuras.

Figura 2.3: Esquema do Interferômetro de Michelson.

O interessante sobre essas franjas de interferência é que elas são sensíveis ao que acontece nos caminhos percorridos pelos dois feixes após a separação do feixe original. Quanto menor o comprimento de onda, maior a precisão das medidas que podem ser feitas a partir das franjas.

A interferometria de ondas de matéria consiste nos mesmos princípios que a interferometria feita com ondas de luz ou ondas acústicas, por exemplo. No entanto, as ondas em questão são as associadas ao movimento externo dos corpos. É necessário que: o estado inicial seja preparado;

a função de onda seja dividida de forma coerente em dois ou mais estados; haja alguma interação que afete os estados de forma diferente, geralmente devido ao fato de os caminhos percorridos serem diferentes, e que possa ser controlada experimentalmente; os estados sejam recombinados de forma coerente e que seja obtido um padrão de interferência.

Em interferômetros atômicos, em particular, a interferência pode ser obtida mesmo que os átomos percorram o mesmo caminho. Isto ocorre nos chamados interferômetros atômicos de

que os da luz visível (já que os momentos tendem a ser muito maiores), interferômetros de matéria têm o potencial de realizar medidas muito mais precisas.

Apesar de os princípios da interferometria serem os mesmos, independentemente da na- tureza das ondas que interferem, há grandes diferenças entre interferômetros atômicos e inter- ferômetros ópticos. Uma diferença importante é que não é possível utilizar espelhos semir- reflexivos como divisor de feixes para átomos, pois estes seriam simplesmente espalhados ou absorvidos pelo material. No caso de interferômetros atômicos, a construção de divisores de feixe é feita usando difração [28], absorção de fótons [29], transições de Raman [30], imãs Stern-Gerlach longitudinais [31] dentre outros métodos [32].

Nesta dissertação, serão discutidos os primeiros passos para a descrição teórica e posterior construção de um interferômetro atômico do tipo Stern-Gerlach longitudinal.

2.3 O experimento de Stern-Gerlach e a descoberta do spin

O famoso experimento de Stern-Gerlach [33] foi realizado pelos físicos Otto Stern e Walther Gerlach em Frankfurt no ano de 1922. O experimento tinha como objetivo determinar se, como sugerido pelo modelo atômico de Niels Bohr [34], os átomos possuem momento angular e, consequentemente, momento magnético.

No experimento, um feixe de átomos de prata passa por uma região de campo magnético inomogêneo na direção z (perpendicular ao feixe). Ao atravessar tal região, cada átomo que

constitui o feixe sofre uma força que depende do seu momento de dipolo magnético, ~µ da formaF_z=µz∂B

∂z, ondeBé o campo magnético e−~µ·~B=−µ_zB_z=−µ_zBé a energia do átomo no campo magnético. Diferentes orientações do momento magnético implicam em diferentes valores de µ_z, o que significa que a intensidade da força que age sobre o átomo vai depender especificamente do valor deµ_ze, portanto, da orientação de~µ. Por fim, um anteparo registra os locais onde é atingido por átomos do feixe.

Classicamente, não existe restrição para a direção ou magnitude do momento angular do átomo. Como o elétron possui carga elétrica, seu movimento em torno do núcleo deve produzir um campo magnético, estando a magnitude do momento magnético relacionada com o momento angular pela expressão~µ = _2m^−e

e

~L, ondeeé a carga do elétron,m_eé a massa do elétron e~Lé o momento angular. Vemos então que, classicamente,~µ também não possui direção ou magnitude preferenciais. Portanto, dever-se-ia obter uma distribuição contínua de átomos com um máximo na região correspondente ao centro do feixe inicial como resultado do experimento.

De acordo com a teoria quântica, em contrapartida, o momento angular do átomo é quan- tizado. Isto porque, segundo o modelo de Bohr, existe apenas um conjunto discreto de val- ores possíveis para o momento angular do átomo, como consequência das órbitas circulares quantizadas às quais os elétrons estariam restritos. Para explicar porque espectros de emissão apresentavam, por vezes, linhas múltiplas (a chamada estrutura fina do espectro), Sommerfeld concluiu que as órbitas dos elétron poderiam ser elípticas, além de circulares, e ocorrer num conjunto discreto de planos, não apenas em um. Ou seja, no modelo de Bohr-Sommerfeld as órbitas dos elétrons também são quantizadas quanto à orientação espacial. Assim, Sommerfeld introduziu um segundo número quântico,l, sendo os valores de l (0,1,2,3...) designados pelas letras s,p,d,f... Segundo a teoria de Bohr-Sommerfeld, bem aceita em 1922, o número de esta- dos correspondentes a um dadolé 2l+1. Neste caso o feixe deveria se dividir em 2l+1 feixes ao passar pela região de campo magnético inomogêneo.

Stern e Gerlach acreditavam que os átomos de prata de seu feixe apresentavaml=1. Logo, esperavam obter como resultado de seu experimento o feixe se dividindo em três. No entanto

Figura 2.4: Esquema do experimento de Stern-Gerlach mostrando o resultado esperado [35].

o resultado obtido foi a divisão do feixe de átomos de prata em dois, o que, apesar de carac- terizar um comportamento quântico e assim atingir o propósito do experimento de mostrar a natureza quântica do átomo, não era explicado pela teoria de Bohr-Sommerfeld ou qualquer outra existente na época.

Os resultados deste experimento só foram de fato entendidos alguns anos depois graças à proposta de George Eugene Uhlenbeck e Samuel Abraham Goudsmit de que o elétron possuía um momento angular intrínseco igual a _4π^h ou ¹₂h, o spin [36]. Tal movimento foi inicialmente¯ pensado como sendo análogo ao movimento de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo (mas, de fato, não o é). Neste caso o elétron teria um momento angular total, ~J, que é a soma de seu momento angular orbital ,~L, e de seu momento angular de spin,~S.

A existência do spin eletrônico foi capaz de explicar satisfatoriamente os resultados exper- imentais obtidos por Stern e Gerlach, apesar de, originalmente, Uhlenbeck e Goudsmit terem feito tal proposta para explicar algumas características de espectros atômicos que não eram compatíveis com a teoria de Bohr-Sommerfeld.

No experimento realizado por Stern e Gerlach os átomos do feixe apresentavaml=0, situ- ação para a qual nenhuma divisão do feixe seria esperada antes da proposta de Uhlenbeck e Goudsmit.

No entanto, como o átomo de prata possui 47 elétrons sendo apenas um deles desemparel- hado, ou seja, seu momento angular não é anulado por outro elétron de spin oposto, é esse único elétron que dá o momento magnético do átomo que é medido no experimento. Já que L=0, S= ¹₂eJ=L+S=1/2, o feixe deveria se dividir em 2(¹₂) +1=2, que é exatamente o que foi observado experimentalmente.

A pesar de não ter sido o experimento de Stern-Gerlach que motivou inicialmente a proposta do spin eletrônico feita por Uhlenbeck e Goudsmit, ele passou de um experimento que tinha como propósito determinar qual era a teoria correta, se a teoria clássica ou a teoria quântica de Bohr-Sommerfeld, para um experimento icônico que não só mostrou forte evidência de que o momento angular dos átomos é de fato quantizado, como também se tornou a mais famosa evidência experimental da existência do spin eletrônico.

É possível utilizar um aparato Stern-Gerlach, tal como o mostrado na Figura 2.4, para preparar um feixe de átomos num dado estado de spin. Isto porque o feixe é separado macro- scopicamente, na direção do gradiente do campo no aparato, em função dos momentos mag- néticos dos átomos que o constituem. Sendo assim, para um feixe de átomos que possuem momento magnético devido a apenas um elétron desemparelhado, pode-se obter um feixe de átomos com certo valor de spin através de uma filtragem.

No entanto, de forma bastante contraintuitiva, a realização de experimentos nos quais o feixe atômico passa por dois ou mais aparatos Stern-Gerlach em sequência, mostra que a medição da componente de spin em uma dada direção destrói completamente qualquer informação prévia sobre a componente de spin do feixe em uma direção perpendicular.

Como mostra a Figura 2.5, a primeira interação do feixe com o aparato orientado na direção z prepara o sistema em um dos dois estados possíveis e um experimento subsequente feito com o aparato orientado na mesma direção apenas confirma este estado (a). Se, no entanto, o feixe preparado na direção z passa por um segundo aparato orientado na direção x, deste emergem dois feixes correspondentes aos dois estados possíveis para o spin na direção x (b).

Se for então selecionado apenas um dos dois estados e este atravessar um terceiro aparato,

Figura 2.5: Experimentos Stern-Gerlach sequenciais [37].

novamente orientado na direção z, o estado eliminado durante a preparação inicial do feixe é

"recuperado"(c).

Este resultado mostra que existe algo fundamentalmente diferente sobre o estado de sistemas quânticos se comparado ao estado de sistemas clássicos. Não sendo, neste sistema quântico, possível conhecer simultaneamente e de forma precisa as componentes de spin ao longo de dois eixos diferentes. Na mecânica quântica, o processo de medição afeta o sistema sobre o qual é realizada a medida.

2.4 Interferômetro Stern-Gerlach longitudinal

Um interferômetro Stern-Gerlach longitudinal utiliza campos magnéticos para a manipulação de feixes atômicos. Se o gradiente do campo é transversal como na clássica experiência de 1922, a força sentida pelos átomos de um feixe que atravessa o aparato age de forma a sepa- rar o feixe inicial em tantos feixes quanto houverem projeções possíveis de momento angular para os átomos que o compõe, separação esta que ocorre na direção transversal a velocidade,

como o gradiente do campo, e torna uma recombinação coerente do feixe original muito com- plicada, necessitando de uma precisão para o gradiente do campo de cerca de uma parte em 10⁵para recuperar 0.99 da coerência do feixe inicial [27, 38, 39]. Já se o gradiente do campo é longitudinal, essa força não altera as trajetórias atômicas de maneira significativa, mas altera a velocidade com que os átomos passam pelo interferômetro. Em tal condição, a reunião coerente do feixe original é mais simples de ser alcançada já que os caminhos se sobrepõem, uma vez que os feixes são separados na direção longitudinal.

Apresentamos a seguir um resumo das etapas de um interferômetro Stern-Gerlach longitudi- nal. Esta descrição é baseada nos trabalhos do grupo dos professores Jacques Baudon e Jacques Robert, dentre os quais estão as referências [20, 31], tendo este sido o único grupo no mundo a desenvolver interferometria Stern-Gerlach longitudinal até então.

O Interferômetro Stern-Gerlach longitudinal consiste em cinco partes principais [40]: o polarizador; o divisor de feixes; o objeto de fase; um segundo divisor de feixe e o analisador.

Como mostra a Figura 2.6 abaixo.

Figura 2.6: Esquema do interferômetro Stern-Gerlach longitudinal através do qual passa um átomo H(2S) oriundo de uma molécula deH₂. O polarizador (P) seleciona os estados de estru- tura hiperfina nas próximas etapas do interferômetro, o divisor de feixes (D) transforma estes estados numa combinação linear dos estados|F=1,M_F =−1,0,1i, o objeto de fase (O) intro- duz uma fase em diferente em cada um dos estados, o analisador (A) provoca o decaimento do estado comM_F =−1 com a emissão de um fóton que é medido pelo detector. A seta em cada caixa indica a direção do campo magnético na etapa correspondente.

Polarizador

O propósito do polarizador é eliminar os estados indesejados do átomo sob estudo para que haja um feixe de estado bem definido nas próximas etapas do interferômetro. Ele funciona como um filtro que impede a passagem de átomos em alguns estados e permite a passagem de átomos em outros estados, como será discutido no capítulo 5.

Muitos métodos podem ser empregados para tal fim, tendo sido um deles proposto por Willis Eugene Lamb e Robert Curtis Retherford [41], que consiste em fazer com que os átomos H(2S)metaestáveis passem por uma região de campo magnético ~Bcom intensidade de cerca de 600 Gauss com uma velocidade~v transversal ao campo. No referencial do átomo, existe um campo elétrico proporcional ao produto vetorial da velocidade com o campo magnético que é capaz de acoplar dois dos estados do 2S1

2, os |F =0,M_F =0i e |F = 1,M_F =−1i, com estados do 2P1

2, que rapidamente decaem para o estado fundamental. Apesar de a polarização ser apenas parcial, já que dois estados sobrevivem ao processo e não apenas um, a operação do interferômetro não é comprometida. Outro método de polarização possível é a utilização de lasers para excitar apenas o(s) estado(s) desejado(s). No entanto, este último método citado não pode ser utilizado do caso específico dos estados de interesse, pois estes são inacessíveis, a partir do estado fundamental, por absorção de um fóton.

Um dos objetivos desta dissertação é estudar em detalhes a ação do campo magnético sobre

os estados de estrutura hiperfina de relevância para determinar uma maneira experimentalmente simples de construir o polarizador, como será discutido no Capítulo 5.

Divisor de feixe

Se um átomo se move numa região de campo magnético não homogêneo, ele sofre a ação da variação temporal deste campo em seu referencial. De acordo com o teorema adiabático, se a variação temporal do campo for suficientemente lenta, o estado do átomo permanece sendo autoestado da direção instantânea do campo magnético. Em contrapartida, se um átomo se encontra inicialmente no estado|M_Fiinuma região onde um certo campo magnético de pequena amplitude aponta numa certa direção e o campo muda abruptamente sua orientação através de uma rotação deπ/2, de forma que a frequência angular desta rotação seja muito maior que a frequência angular de Larmor, o eixo de quantização muda abruptamente, logo a descrição do estado do átomo também deve mudar.

Como o estado|M_Fii_z é caracterizado pela projeção do momento angular atômico ao longo do eixo dado pela direção do campo magnético (eixo z neste exemplo), se esta direção muda abruptamente por uma rotação de π/2, de forma que o estado não consiga acompanhar a ro- tação do campo, o mesmo estado inicial deve ser projetado agora na nova direção do campo, perpendicular à original. Assim o estado final projetado ao longo da nova direção do campo, neste exemplo a direçãox, é escrito agora como∑M_Fxα_MFx|M_Fi_x.

O papel do divisor de feixe é "produzir"uma superposição da forma∑_MFxα_MFx|M_Fi_xa partir do estado |M_Fii_z, preparado pelo polarizador, sem afetar o movimento externo do feixe. Um método para isto é utilizar transições não adiabáticas, conhecidas como transições majoranas [42–44].

Aqui, o eixo utilizado para a projeção do momento angular é o eixo ao longo da direção do campo magnético e por este motivo a direção do campo magnético é importante para a descrição do estado atômico. Após a mudança abrupta do campo magnético da direçãozpara a direçãox, a base que diagonaliza o hamiltoniano também muda.

longitudinal.

O gradiente de campo magnético no objeto de fase deve agir sobre o movimento externo do átomo aumentando ou diminuindo sua velocidade na direção de seu movimento.

Figura 2.7: Ação do objeto de fase no movimento externo do átomo [20].

Se o movimento externo do átomo for representado por uma onda plana da forma e^ikxx, sendo a energia cinética,E, dos átomos muito maior do que a energia Zeeman local, a ação do objeto fase pode ser representada como a criação de uma fase [20]

e^ikxx−→e^{ik(x−MFδx)} (2.3)

sendo

δx=gµ_B 2E

Z x 0

B(X)dX (2.4)

onde g o fator giromagnético de Landé, µ_B o magneton de Bohr e B o campo magnético no objeto fase. δxé a defasagem causadora da interferência a ser observada.

Segundo Divisor de feixe

O segundo divisor de feixes, assim como o discutido anteriormente, deve realizar uma rotação no eixo de quantização deπ/2 fazendo com que este volte a ser o eixoz.

Analisador

A construção do analisador pode ser semelhante a do polarizador. Ele tem o papel de causar o decaimento do estado|F =1,M_F =−1iatravés da emissão de um fóton Lyman-α que será então detectado.

Para entender melhor os processos no interferômetro e como este pode ser construído para a medida em coincidência do parH(2S)−H(2S)é necessário o estudo do átomo e da molécula de hidrogênio bem como de suas interações com campos e radiação eletromagnéticas.

Para o estudo da interferometria atômica com átomos de hidrogênioH(2S)oriundos de uma molécula deH₂, é importante que conheçamos bem a molécula, o átomo de hidrogênio e como se dá a interação deste com campos e radiação eletromagnética. Este estudo é fundamental para o entendimento de como o tempo de vida do estado 2S1

2 pode ser diminuído pela aplicação de campos externos, objetivo central do Capítulo 5 desta dissertação.

3.1 O Átomo de Hidrogênio

O átomo de hidrogênio é a estrutura mais simples em física atômica. Consiste apenas de um elétron e um próton que interagem através de forças colombianas. Mas, apesar de sua aparente simplicidade, experimentos como os que envolvem produção de seu espectro de emissão [45]

levam à conclusão de que não é possível estudá-lo através de qualquer descrição clássica, pois tal espectro indica que a energia do átomo não pode ser uma variável contínua.

Figura 3.1: Espectro de emissão visível do Hidrogênio.

O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio [34] traz o conceito de orbitas estacionárias

bem determinadas e, através de tal artifício, acaba por explicar a aparência de seu espectro de emissão discreto e “resolver"o problema da estabilidade atômica inerente ao modelo planetário proposto por Rutherford [46].

No entanto, as orbitas estacionárias que previnem o átomo de colapsar são postuladas. Não existem princípios fundamentais a partir dos quais tais orbitas estáveis são obtidas. Além disso, o conceito de orbitas determinadas vai de encontro ao princípio de incerteza de Heisenberg de acordo com o qual sempre há incertezas associadas à posição e ao momento de uma partícula.

Pelas razões mencionadas acima e por outras, como o fato de a teoria de Bohr não explicar graus de liberdade adicionais, como o spin, e não poder ser generalizada para átomos com mais elétrons, concluímos que o modelo de Bohr não é suficiente para entendermos quantitativamente o átomo de hidrogênio.

Para descrever o átomo de hidrogênio de maneira qualitativamente mais adequada, podemos usar a equação de onda de Schrödinger [25] na sua versão independente do tempo submetida ás condições de contorno adequadas e resolver o problema de autovalores e autovetores para o átomo de hidrogênio na representação da posição. A descrição da teoria do átomo de hidrogênio nesta dissertação tem como base o livro "Physics of atoms and molecules"de B. H. Bransden e C. J. Joachain [47].

− h¯²

2µ∇²− e² 4π ε₀r

ψ(r,θ,φ) =Eψ(r,θ,φ) (3.1) sendo −_{4π ε}^e2

0r =V(r)o potencial Coulombiano de interação entre o próton e o elétron e µ =

memp

me+m_p a massa reduzida das duas partículas.

Como o potencial de interação é central, a equação de onda pode ser separada da forma:

ψ_n,l,m(r,θ,φ) =R_n,l(r)Y_l,m(θ,φ) (3.2) ondeR_n,l é a parte radial da função de onda eY_l,m(θ,φ)é o harmônico esférico correspondente aos números quânticos de momento angular orbitall e ao número quântico magnéticom, com l>0 e|m|6l. A função radialu_n,l(r) =rR_n,l(r)satisfaz a equação radial de Schrödinger

d²

dr²u_n,l(r) +2µ

¯ h²

E+ e²

4π ε₀r−l(l+1)¯h² 2µr²

u_n,l(r) =0 (3.3)

2µr

A simetria esférica também garante que diferentes valores do número quânticompossuem a mesma função de onda radial e portanto a mesma energia, sendo esta dada por:

E_n=− e²µ

(4π ε₀)a₀m_e2n² (3.5) ondea₀= ^{4π ε0h¯2}

mee² é o raio de Bohr ené o número quântico principal, sendon>l. Ou ainda:

E_n=−µc²α²

2n² (3.6)

ondeα = _{4π ε}^e2

0¯hc≈1/137 é a constante de estrutura fina. Vale notar que, de acordo com (3.4) e (3.5), diferentes valores de l apresentam a mesma energia para um mesmo n, ou seja, os autovalores de energia são degenerados também em relação a l, não apenas em relação a m.

Isso porque, para um dado valor de n, hán−1 valores possíveis parale para um dado valor de l há 2l+1 valores possíveis param. A degenerescência total do nível de energiaE_né dada por:

n−1

∑

l=0

(2l+1) =n²

pois dados os valores denel, há 2l+1 funções de onda possíveis e dado apenas valor denhá n²funções de onda possíveis se todos os possíveis valores delforem levados em consideração.

Se levássemos em consideração também o spin do elétron, haveria o dobro de estados possíveis, já que há dois valores possíveis para o spin do elétron, +¹₂h¯ e −¹₂h. A influência do spin do¯ elétron será discutida na próxima seção.

De acordo com a notação espectroscópica, aos valores delsão associadas as letrass,p,d,f,g,h..., correspondendo a 0,1,2,3,4,5..., respectivamente. Precedendo a letra que indica o valore de l, vem o número que representa o valor den. Assim, o estado 3p, por exemplo, corresponde a n=3 el=1.

O estado fundamental do átomo de hidrogênio é o 1s, que corresponde an=1 el=0. Este estado possui apenas uma função de onda (além dos dois estados de spin).

3.1.1 Estrutura Fina

Como discutido no Capítulo 2, os elétrons possuem um momento angular intrínseco conhecido como spin, ao qual se associa o número quântico,~S, coms= ¹₂ e projeçõesm_s=±¹₂. O spin, até este ponto, não foi considerado na descrição do átomo de hidrogênio.

O Momento angular total do elétron é o vetor soma do momento angular orbital e do mo- mento angular de spin

~J=~L+~S (3.7)

e a ele está associado o número quântico j=l±s, sendo|~J|=h¯p

j(j+1). je sua projeçãom_j são números quânticos particularmente importantes, pois são estes os números que representam o momento angular total do elétron, que é uma grandeza conservada.

Em notação espectroscópica, o jtem seu valor representado como índice da letra que rep- resenta o valor de l. A notação espectroscópica é então da formanl_j. Um exemplo é o estado 2S1

2, particularmente importante nesta dissertação, para o qualn=2,l=0 e j=l+s=¹₂. Vale ressaltar que, no caso em quel=0, jsó pode ser igual al+s=s.

Levando agora o spin do elétron em consideração, o número total de estados possíveis paran eldados fica:

h 2

l+¹₂

+1

i +

h 2

l−¹₂

+1 i

=2(2l+1). O dobro da quantidade de estados obtida quando não se considera o spin, como esperado.

A presença do spin afeta também os autovalores de energia do átomo. Estudando o átomo de hidrogênio a partir do referencial do elétron, o próton, carregado positivamente com carga +e, orbita o elétron e cria um circuito de corrente que, por sua vez, gera um campo magnético,

∆E=−~µ_s·~B

E sendoµ_s proporcional ao momento angular de spin,~S, temos que

∆E∝~S·~L

Esta interação entre o momento angular orbital do próton e o momento angular de spin do elétron é conhecida como interação spin-órbita e como resultado desta interação, há mudanças nos níveis de energia do átomo de hidrogênio.

A correção ∆E associada aos níveis de energia é da ordem de α² e esta não é a única correção importante nesta ordem. O termo de Darwin, que afeta apenas orbitais s e é devido a flutuações quânticas no movimento dos elétrons, e a correção relativística para a velocidade do elétron na órbita são importantes na mesma ordem de grandeza. Estes três termos formam a chamada correção da estrutura fina e podem ser obtidos via teoria de perturbação.

Somando todas as correções da estrutura fina àE_n, os níveis de energia do átomo de hidrogênio ficam:

E_{n j} =E_n

1+α² n²

n

j+1/2−3 4

(3.8) sendo j=¹₂ sel=0 e j=l±¹₂ paral>0.

Sendo a constante de estrutura finaα≈1/137, é possível observar a partir da equação (3.8) que o termo referente à correção da energia devido a estrutura fina é da ordem de(1/α)²n²≈ 2×10⁴n²vezes menor do que o valor da energia sem esta correção.

Nesta ordem os estados com diferentes valores del, mas mesmo valore de j, têm a mesma energia. No caso n=2, os estados 2S¹

2 e 2P¹

2, por exemplo, são degenerados. O termo de Darwin eleva a energia do estado 2S1

2 fazendo com que este tenha a mesma energia do estado 2P1

2. Na realidade há uma pequena diferença entre as energias destes dois estados conhecida como "Lamb shift"em homenagem a Willis Eugene Lamb, que juntamente com Robert Curtis Retherford, determinou experimentalmente a existência desta diferença entre as energias e o seu valor [41].

Vale notar que o resultado expresso por (3.6) foi primeiramente obtido por Sommerfeld antes da formulação da mecânica quântica moderna.

3.1.2 Estrutura Hiperfina

Assim como o elétron, o núcleo (um próton no caso do átomo de hidrogênio) também possui spin, I, que assume valores seminteiros em unidades de ¯h, tal como sugerido por Wolfgang Pauli em 1924. Os autovalores do operador I² sãoI(I+1)¯h², ondeI é o número quântico de spin nuclear. Já os autovalores do operadorI_z, sãom_I tal que|m_I|6I.

A soma do momento angular total do elétron,~J=~L+~S, com o momento angular de spin do próton,~I, resulta do momento angular total do átomo

~F=J~+~I (3.9)

Tomando o estado 2S1

2,F pode ser igual a 0 ou 1, com degenerescência igual a 2F+1.

A estrutura hiperfina é resultado da interação dos momentos de multipolo do núcleo, com exceção do monopolo elétrico, com os campos internos do átomo gerados pelo elétron. O termo mais importante dentre estes momentos de multipolo do próton é o momento de dipolo magnético, associado ao spin nuclear.

Considerando o próton como um dipolo pontual com momento de dipolo magnético~µN

proporcional ao spin nuclearI, da forma

~µ_N =g_IµNI

h¯ (3.10)

escrever

H_HF =H_IL+H_IS

O termo H_IL, resultante da interação do momento de dipolo do núcleo~µ_N com o campo magnético criado no núcleo pelo movimento orbital do eletron, é dado por

~B=− µ₀e 4πm_er³

~L

O hamiltonianoH_ILé dado por

H_IL= µ₀e

4πm_er³~L·~µ_N Usando a equação (3.10) e lembrando queµB= _2m^e¯h

e,H_ILpode ser escrito como H_IL= µ₀g_Iµ_Bµ_N

2πh¯²m_er³

~L·~I,

sendo os elementos de matriz deH_ILnão nulos apenas paral6=0.

Já o termoH_IS, resultante da interação do momento de dipolo do núcleo~µ_N com o campo magnético,~B, criado no núcleo pelo spin do elétron, é dado por

H_IS=−~µ_S·~B onde~µ_S=−^gS_h¯^µB~S=−^2µ_h¯^B~S. Então

H_IS=−2µB

h¯

~S·~B (3.11)

O potencial vetor~A(r)devido a um dipolo pontual localizado na origem é

~A(r) =−µ0

4π

~µ_N×∇ 1

r

e o campo magnético,~Bassociado a este potencial vetor é

~B=∇×~A=−µ₀ 4π

~µN∇² 1

r

−∇(~µN·∇)1 r

. (3.12)

Substituindo (3.11) em (3.10), vem H_IS=µB

4π

~µ_S·~µ_N∇² 1

r

−(~µ_S·∇)(~µ_N·∇)1 r

=− µB

2πh¯²g_Iµ_Bµ_N

~S·~I∇² 1

r

−(~S·∇)(~I·∇)1 r

.

A correção na energia,∆E, causada pela perturbaçãoH_HF é

∆E= µ₀g_Iµ_Bµ_N

2πa³_µn³j(j+1)(2l+1)[F(F+1)−I(I+1)−j(j+1)] (3.13) ondea_µ =^a0me

µ eµ é a massa reduzida do elétron com relação ao próton.

Esta correção é ainda menor do que a referente à estrutura fina, já que o momento magnético do núcleo é muito menor que o do elétron.

Tendo o núcleo do átomo de hidrogênio o número quântico de spinI, os níveis de energia da estrutura fina do átomo correspondentes a certos valores dele jse dividem em componentes de estrutura hiperfina caracterizadas por F. Como as correções de energia não dependem de M_F, cada um dos níveis de energia de estrutura hiperfina possui degenerescência (2F+1), que corresponde ao menor dentre(2j+1)e(2I+1), já queF6|I− j|.

3.1.3 Interação do átomo de Hidrogênio com radiação eletromagnética

Os três principais processos de interação de átomos com radiação são: emissão espontânea de radiação quando o átomo passa de um estado excitado para um nível de energia mais baixa;

a absorção de um fóton que resulta em uma transição para um estado de energia mais alta;

e a emissão de fótons devida à influência de radiação, a chamada emissão estimulada. Estes processos são os responsáveis pelos espectros de emissão e absorção dos átomos.

correspondente à frequência angularω é

~A(ω;~r,t) =2~A₀(ω)cos(~k·~r−ωt+δ_ω), (3.16) onde~A₀é um vetor que descreve a intensidade e a polarização da radiação,~ké o vetor de onda eδ_ω é uma fase real. A condição∇·~A=0 é satisfeita se~A₀·~k=0 e como~Asatisfaz a equação de onda

ω =|~k|c=kc.

Os campos associados ao potencial vetor~Asão

~E(~r,t) =−2ωA₀(ω)εsen(ˆ ~k·~r−ωt+δ_ω)

~B(~r,t) =−2A₀(ω)(~k×εˆ)sen(~k·~r−ωt+δ_ω). (3.17) Tendo~A₀(ω)sido escrito comoA₀(ω)ε, onde ˆˆ ε dá a direção do campo elétrico e assim especi- fica a polarização da radiação.~E,~Be~ksão então perpendiculares entre si.

Como~A₀(ω) =A₀(ω)εˆ, podemos escrever

~A(~r,t) = Z

∆ω

A₀(ω)ε[eˆ ^{i(~k·~r−ωt+δω)}+e^{−i(~k·~r−ωt+δω)}]dω. (3.18) A equação de Schrödinger dependente do tempo para o átomo de hidrogênio num campo eletromagnético fica:

i¯h∂

∂tΨ(~r,t) =

− h¯²

2m_e∇²− e²

4π ε₀r−i¯he m_e

~A·∇+ e² 2m_e

~A²

Ψ(~r,t). (3.19)