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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA BACHARELADO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO JOÃO GABRIEL QUEIROZ DE ARAÚJO CONTROLE POR MODO DESLIZANTE DE FREIOS AUTOMOTIVOS ABS FEIRA DE SANTANA 2013

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA BACHARELADO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO

JOÃO GABRIEL QUEIROZ DE ARAÚJO

CONTROLE POR MODO DESLIZANTE DE FREIOS AUTOMOTIVOS ABS

FEIRA DE SANTANA 2013

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JOÃO GABRIEL QUEIROZ DE ARAÚJO

CONTROLE POR MODO DESLIZANTE DE FREIOS AUTOMOTIVOS ABS

Trabalho de Conclusão de Curso elaborado como um requisito para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Computação pela Universidade Estadual de Feira de Santana.

Orientador(a): Marcia Lissandra Machado Prado

FEIRA DE SANTANA 2013

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DEDICATÓRIA

“Dedico este trabalho aos meus pais Eduardo e Benedita pelo amor, pela confiança e pelos sacrifícios que fizeram para cuidar e educar a mim e aos meus irmãos. Aos meus irmãos João Rafael e Maria Eduarda pela alegria e força nos momentos de dificuldade e aos meus tios Maria Amélia, Ubiratan, Maria Auxiliadora e André Felipe que foram fundamentais, pelo carinho e pela ajuda, para que eu conseguisse chegar onde estou hoje”.

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AGRADECIMENTOS

A Deus, por me dar a vida, força e oportunidades para realizar meus sonhos e objetivos. Aos meus pais, Eduardo e Benedita por nunca deixarem de acreditar em mim e por fazerem com que a minha vida seja repleta de amor e compreensão.

Aos meus irmãos, João Rafael e Maria Eduarda, por fazerem com que minha vida seja mais alegre.

Aos meus tios, Maria Amélia e Ubiratan, pelo carinho com que me acolheram aqui em Feira de Santana.

Aos meus tios Maria Auxiliadora e André Felipe pela alegria e força nos momentos de dificuldade.

A minha orientadora, Prof.ª Dr.ª Marcia Lissandra Machado Prado, pela confiança, pelo conhecimento compartilhado e pela paciência.

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“Agradeço todas as dificuldades que enfrentei; não fosse por elas, eu não teria saído do lugar. As facilidades nos impedem de caminhar. Mesmo as críticas nos auxiliam muito”. (Chico Xavier)

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RESUMO

Esse trabalho apresenta um estudo da utilização de controladores em Modo Deslizante para freios automotivos com ABS (Antilock Brake Systems) e compara os seus resultados com a frenagem do veículo com apenas freios convencionais, sem uso de nenhum tipo de controlador no modelo implementado. Os freios com ABS estão cada vez mais sendo utilizados em veículos de passeio por proporcionar maior segurança ao motorista em momentos de colisão iminente, impedindo as que as rodas do veículo travem em uma freada brusca e ao mesmo tempo diminuindo a distância de parada do mesmo. Para que o ABS possa funcionar em qualquer terreno, a sua unidade de controle ECU (Electronic Control Unit) deve calcular o nível de escorregamento que a roda do veículo está passando naquele momento, o que não é trivial, pois o veículo pode passar por diversos tipos de terrenos com condições diferentes (seco, molhado, com gelo, lama entre outros), o que dificulta o cálculo de valores satisfatórios devido às não linearidades associadas a cada terreno anteriormente citado. O controlador em Modo Deslizante é um controlador robusto não linear de implementação relativamente simples que no momento de sua estabilidade (quando entra em Modo Deslizante) se comporta como um sistema de ordem reduzida.

Palavras-chave: Sistemas de Controle. Teoria de Controle. Freios. Sistema de Freios Antitravamento. Sistema de Controle Não-Linear.

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ABSTRACT

This paper presents a study of the use of Sliding Mode controllers for automotive brakes with ABS (Antilock Brake System) and compares its results with the braking of the vehicle with conventional brakes only, without the use of any controller in the implemented model. The brakes with ABS are increasingly being used in passenger vehicles by providing greater driver safety in the moment of imminent collision, preventing the wheels from locking on the vehicle to a halt while reducing the stopping distance of the same. To that ABS can work on any terrain, its unit ECU (Electronic Control Unit) control should calculate the level of the wheel slip of the vehicle is going at the moment, which is not trivial, because the vehicle can pass by several with different types of terrain (dry, wet, ice, mud and other) conditions, which complicates the calculation of satisfactory values due to nonlinearities associated with each terrain previously cited. The Sliding Mode controller is a nonlinear robust controller relatively simple implementation at the time of its stability (when entering Sliding mode) behaves as a system of reduced order.

Keywords: Control Systems. Control Theory. Brakes. Antilock Braking Systems. Nonlinear Control Systems.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Sistema de Freios ... 15

Figura 2: Pedal de freio ligado a um sistema de freio convencional. ... 16

Figura 3: Servo-freio ... 16

Figura 4: Cilindro mestre ... 18

Figura 5: Freio a tambor ... 19

Figura 6: Freio a tambor Simplex ... 19

Figura 7: Freio a tambor Duo-Servo ... 20

Figura 8: Freio a disco (a) Pinça fixa, (b) Pinça flutuante ... 21

Figura 9: Comportamento de um veículo de passeio durante a frenagem ... 22

Figura 10: Sistema de freios com ABS ... 24

Figura 11: Comportamento de um veículo de passeio em situação extrema... 24

Figura 12: Sistema massa-mola-amortecedor ... 27

Figura 13: Pêndulo simples ... 30

Figura 14: Superfície de deslizamento de um sistema ... 31

Figura 15: Computando limites em ... 33

Figura 16: Computando limites em ... 34

Figura 17: A condição de deslizamento ... 36

Figura 18: Gráfico de interpretação das equações (8) e (16) para n=2... 37

Figura 19: Representação da estabilidade do sistema. ... 38

Figura 20: Coeficientes de atrito utilizados para a simulação. ... 40

Figura 21: Sistema implementado no Simulink ... 45

Figura 22: Valor do torque para terreno seco. ... 46

Figura 23: Distância de parada para terreno seco. ... 46

Figura 24: Escorregamento do sistema em terreno seco. ... 47

Figura 25: Velocidade do veículo e da roda para terreno seco. ... 47

Figura 26: Torque do sistema com terreno molhado. ... 48

Figura 27: Distância de parada em terreno molhado. ... 49

Figura 28: Escorregamento do sistema em terreno molhado. ... 49

Figura 29: Velocidade do sistema com terreno molhado. ... 50

Figura 30: Torque do sistema em terreno com gelo. ... 50

Figura 31: Distância de parada em terreno com gelo. ... 51

(9)

Figura 33: Velocidade do sistema em terreno com gelo. ... 52 Figura 34: Escorregamento do sistema do MATLAB ... 52 Figura 35: Velocidade da roda e do veículo do modelo do MATLAB. ... 53

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LISTA DE TABELAS

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LISTA DE SIGLAS

ABS Antilock Braking System BBW Brake by Wire

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LISTA DE SÍMBOLOS

b Atrito com a parede do recipiente Bv Atrito viscoso do veículo

d Símbolo da derivada

D Região de Lyapunov

Força nominal do gradiente da estrada Ft Força de tração do veículo

g Gravidade

Gp Ganho de controle com uma constante positiva Jw Inércia de rotação da roda

k Constante da mola

m Massa de um corpo pequeno M Massa de um corpo grande Mv Massa do veículo

Nv Força nominal entre a roda e a estrada

Rw Raio da roda

t Tempo

Tb Torque do freio

Tt Torque gerado entre a roda e a estrada.

V Função de Lyapunov

Vo Velocidade inicial do sistema (km/h) Vv Velocidade do veículo

xn Estado do sistema

wv Velocidade angular do veículo ww Velocidade angular da roda

λ Escorregamento

λd Escorregamento desejado μ Coeficiente de atrito σ Superfície ou plano

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 12

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 14

2.1 Sistemas de Freios ... 14

2.1.1 Componentes de um sistema de freios ... 15

2.1.1.1 Pedal do freio ... 15 2.1.1.2 Servo-freio ... 15 2.1.1.3 Cilindro mestre ... 17 2.1.1.4 Freio a tambor ... 18 2.1.1.5 Freio a disco ... 20 2.2 Frenagem ... 21

2.3 Sistema de Freio Antitravamento ABS (Antilock Braking System) ... 22

2.4 Teoria de Controle ... 24

2.5 Teoria de Controle Moderno ... 25

2.5.1 Estado ... 25

2.5.2 Variáveis de estado ... 26

2.5.3 Estabilidade ... 27

2.6 Sistemas de Controle Lineares e Não-Lineares ... 28

2.6.1 Não linearidades ... 30

2.7 Modo Deslizante ... 31

2.7.1 Superfícies de deslizamento ... 32

2.8 Função de Lyapunov ... 37

3 METODOLOGIA ... 39

3.1 Equações da Dinâmica do ABS ... 39

3.1.1 Sistema de Controle em Modo Deslizante ... 41

(14)

3.3 Comparação dos Sistemas Implementados. ... 43

4 RESULTADOS OBTIDOS ... 44

4.1 Modelo Construído ... 44

4.2 Resultados da Simulação ... 45

4.2.1 Simulação com terreno seco ... 45

4.2.2 Simulação em terreno molhado ... 48

4.2.3 Simulação em terreno com gelo ... 50

4.2.4 Simulação do modelo do MATLAB® ... 52

5. CONCLUSÃO ... 54

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12 1 INTRODUÇÃO

A cada dia que passa, o número de acidentes com automóveis nas estradas do Brasil e do mundo aumenta de forma preocupante e, por mais treinado e habilidoso que possa ser o motorista, às vezes é inevitável que ele se envolva em algum acidente. Na maioria das vezes esses acidentes são causados por falha humana, ou pelo fato do motorista não conseguir desviar de um determinado obstáculo em tempo hábil para evitar uma colisão.

Pensando neste segundo problema, foram criados os freios do tipo ABS (Antilock Braking System) que foram projetados para evitar que as rodas do automóvel travem e que o motorista mantenha o controle do automóvel durante o processo de frenagem, principalmente em situações severas como em pista escorregadia e com freadas bruscas(LIMA, 2005).

O grande problema dos freios ABS é quanto à sua adaptação a diversos terrenos e condições climáticas. Dependendo de quais sejam as condições da pista ou do terreno em questão, o freio ABS deve se comportar de forma diferente para compensar o maior ou menor atrito que está sendo produzido pelo conjunto pneu-pista. Manter um nível de escorregamento do pneu aceitável nem sempre é possível com as abordagens de controle do freio utilizadas atualmente. Por exemplo, em uma pista seca o coeficiente de atrito é maior do que com a mesma pista molhada ou com gelo. Essas mudanças ocorrem de tal forma que não dá para fazer uma previsão matemática exata do comportamento do veículo em situações diferentes. Sem falar que o próprio sistema de freios ABS é um sistema não-linear, o que torna o projeto de um controlador específico muito mais complexo(LIMA, 2005).

Uma das abordagens que vem sendo utilizada para resolver este problema é a utilização de controladores em modo deslizante. Esse tipo de controlador, diferentemente dos controladores convencionais, trabalha com sistemas numéricos não-lineares podendo controlar melhor o nível de escorregamento que o sistema pneu-pista possa sofrer. Existem diversas pesquisas realizadas com esses controladores em conjunto com freios ABS e que utilizam formas diferentes para se chegar a um ponto de escorregamento aceitável como os trabalhos feitos por Lin & Hsu (2003), Siqueira (2005), Lima (2005) entre outros.

Este trabalho mostra a implementação do modelo de um veículo de passeio no software MATLAB®. Os modelos consideram freios convencionais e freios com ABS e foram utilizados para simular o comportamento do sistema durante o processo de frenagem. Assim, esse trabalho resulta na comparação do resultado da resposta do freio convencional com o modelo do veículo que utiliza um controlador em Modo Deslizante, mostrando a diferença de

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13 resultado entre eles. Para o modelo com ABS foi implementado um sistema de controle de malha fechada utilizando Modo Deslizante, enquanto o modelo convencional não faz uso de nenhum tipo de controlador para ajustar o escorregamento do sistema.

Esta monografia está dividida em 5capítulos, sendo o primeiro capítulo essa introdução. O Capítulo 2 é uma fundamentação teórica que abrange todos os conceitos que são utilizados nesta pesquisa. O capítulo 3 mostra a metodologia de estudo e simulação que foi utilizada para se chegar aos resultados do trabalho e o equacionamento utilizado na implementação. O capítulo 4 descreve os resultados obtidos mostrando um comparativo entre um modelo de veículo sem controlador no sistema de freio e outro que utiliza um modelo em modo deslizante para alguns tipos de terreno e o Capítulo 5 é a conclusão do trabalho com uma breve explanação sobre as dificuldades encontradas e os trabalhos futuros.

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14 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Na Fundamentação Teórica serão descritos alguns conceitos que foram utilizados para a elaboração do modelo matemático do veículo. Dentre esses conceitos estão o funcionamento do sistema de freios, o funcionamento do controlador Modo Deslizante, alguns conceitos básicos de Sistemas de Controle entre outros.

2.1 Sistemas de Freios

Sistemas de freios são elementos de um sistema automotivo, nos quais são geradas forças de oposição ao movimento ou a tendência de movimento do veículo, por exemplo, freios de fricção (disco ou tambor) ou desaceleradores (desaceleradores hidrodinâmicos ou eletrodinâmicos, freio motor) (BOSCH, 2005).

O sistema de freios (Figura 1) é concebido sob o ponto de vista tanto do veículo quanto do equipamento. Na concepção sob o ponto de vista do veículo, a força de frenagem que pode ser aplicada, sob um coeficiente específico de atrito entre os pneus e a superfície da pista, sem que ocorra bloqueio das rodas, é determinada pela posição do centro de gravidade do veículo e pela distribuição da força de frenagem entre os eixos dianteiro e traseiro (BOSCH, 2005).

Nos modernos automóveis de passeio, os sistemas de freios podem ser classificados como convencionais e eletrônicos (BAUER, 2003). Os sistemas de freios convencionais são comumente aplicados em quase toda totalidade dos carros de passeio, devido ao seu custo menor frente aos eletrônicos. A sequência de frenagem é iniciada aplicando uma força mecânica no pedal do freio que é transformada em uma pressão hidráulica pelo conjunto servo-freio/cilindro-mestre, que por consequência aciona os freios das rodas (KAWAGUCHI, 2005).

Os sistemas de freios eletrônicos buscam desempenhar basicamente duas funções que são: complementar as funções de segurança do motorista, quando aplicado em conjunto com freios convencionais e a realização da conexão entre o pedal de freio e freios de roda através de sinais elétricos, eliminando parcialmente ou completamente a pressão hidráulica. (KAWAGUCHI, 2005).

A Figura 1 mostra os componentes principais de um sistema de freios de um veículo de passeio comum que são (1) Servo-freio, (2) Cilindro mestre e reservatório do fluido de

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15 freio, (3) Disco de freio ventilado, (4) Pastilhas de freio, (5) Pinças do freio, (6) Panela do freio, (7) Sapatas e cilindros do freio, (8) Tambor do freio.

Figura 1: Sistema de Freios

Fonte: (PEUGEOT, 2012) 2.1.1 Componentes de um sistema de freios

2.1.1.1 Pedal do freio

O pedal do freio é uma alavanca que normalmente fica suspensa e se encontra localizada do lado esquerdo do pedal do acelerador. Sua função é transmitir a força de acionamento do motorista ao sistema de freio, trabalhando como uma alavanca multiplicadora de força, que aciona o sistema de atuação do freio composto pelo conjunto servo-freio e cilindro mestre. Estes, por sua vez, convertem a força mecânica de entrada em pressão hidráulica para os freios da roda (BAUER, 2003).

2.1.1.2 Servo-freio

O servo-freio é um sistema auxiliar que amplifica mecanicamente a força exercida pelo condutor do veículo durante o acionamento do pedal de freio, permitindo desacelerações maiores do veículo sem precisar aumentar o esforço ou deslocamento do pedal de forma não ergonômica e proporcionando maior conforto e segurança no uso do freio de serviço. Geralmente é fornecido junto com o cilindro mestre para facilitar o manuseio, manter a

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16 integridade e eliminar a necessidade de regulagem, formando o sistema de atuação(MÜLLER, 2009).

Outra classificação do servo-freio refere-se à quantidade das câmaras que o mesmo possui: servo freio de 2 câmaras ou servo freio de 4 câmaras (ou tandem). Porém, o princípio de funcionamento deles são similares (MÜLLER, 2009).

A Figura 2 mostra o conjunto do pedal de freio ligado ao próprio sistema de freios e como as forças aplicadas nele agem para acionar os freios do veículo (FORDGERAIS, 2007).

Figura 2: Pedal de freio ligado a um sistema de freio convencional.

Fonte: (FORDGERAIS, 2007)

A Figura 3 mostra um dispositivo de servo-freio destacando seus componentes (BOSCH, 2005).

Figura 3: Servo-freio

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17 Enquanto o pedal de freio não está acionado, a câmara de pressão com conexão (Item 2, Figura 3) e a câmara de trabalho (Item 8, Figura 3), encontram-se interligadas através de canais no corpo da válvula. Como a conexão da câmara de vácuo está conectada a uma fonte de vácuo (coletor de admissão do motor), logo ambas as câmaras estão com vácuo (MÜLLER, 2009).

Ao acionar o pedal do freio, a haste do pistão (Item 7, Figura 3) move-se em direção a câmara de vácuo e pressiona a válvula dupla (Item 5, Figura 3) contra seu assento, criando um isolamento entre as duas câmaras. Como consequência do movimento da haste de conexão, o pistão de reação afasta-se da junta da válvula dupla e permite a entrada do ar atmosférico na câmara de trabalho ao passar pelo filtro de ar (Item 6, Figura 3). Com o gradiente de pressão entre as câmaras, o diafragma (Item 3, Figura 3) pressiona o pistão de trabalho (Item 4, Figura 3). Este, conectado ao corpo da válvula, movimenta-se em direção a câmara de vácuo aumentando a pressão aplicada pelo pé do motorista, transmitida pela haste de acionamento do servo-freio (pertencente ao conjunto do pedal do freio). Assim, a pressão exercida pelo pé combinada a força de assistência, vence a força da mola de retorno do pedal e empurra a haste de pressão do cilindro mestre (Item 1, Figura 3) para frente e assim transmite uma força de saída ao mesmo (MÜLLER, 2009).

Depois de cessada a força exercida no pedal de freio, fecha-se a conexão entre o ar atmosférico e a câmara de trabalho e novamente esta é interligada a câmara de vácuo e o sistema volta à posição inicial com o trabalho de molas de retorno (MÜLLER, 2009).

2.1.1.3 Cilindro mestre

A função do cilindro mestre é converter a força exercida no pedal do freio pelo motorista, amplificada pela relação de pedal na haste de acionamento do servo-freio, e somada à força gerada pela assistência do próprio servo-freio, em pressão hidráulica no fluido de freio proporcional. Esta pressão hidráulica é distribuída pelas linhas de freio e servem para acionar os freios nas rodas. A Figura 4 mostra um típico cilindro mestre(BOSCH, 2005).

Quando o freio não está acionado, o furo para o reservatório de fluido (Item 11, Figura 4) permite a interligação entre a conexão para o reservatório do fluído de freio (Item 4, Figura 4) e câmara de pressão primária (Item 2, Figura 4). Da mesma forma, a válvula central (Item 7, Figura 4) está aberta, interligando a câmara de pressão secundária (Item 2, Figura 4) e a

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18 outra conexão para o reservatório do fluido de freio. Nesta condição, não há pressão no sistema (MÜLLER, 2009).

Com o acionamento do pedal, assim que a gaxeta primária (Item 9, Figura 4) fechar o furo de compensação, a câmara de pressão primária é isolada, iniciando-se o aumento gradual da pressão conforme o pistão de haste de pressão (Item 5, Figura 4) avança. Com uma pequena defasagem, o pistão intermediário (Item 6, Figura 4) fecha a válvula central, pressurizando a câmara de pressão secundária. Neste momento, a pressão é distribuída à linha de freios pelas conexões de pressão (Item 3, Figura 4) (MÜLLER, 2009).

Figura 4: Cilindro mestre

Fonte:(BOSCH, 2005)

Após cessar a frenagem, os êmbolos retornam rapidamente a posição de repouso devido à força das molas de retorno. Este retorno rápido cria uma diferença de pressão, que deforma as gaxetas de recuperação e permite o fluxo do fluido através de furos nos êmbolos, preenchendo as câmaras e eliminando o gradiente de pressão (MÜLLER, 2009).

2.1.1.4 Freio a tambor

O freio a tambor gera a força de frenagem no interior do tambor de freio, através do atrito entre a lona e a superfície do tambor. Os tipos mais comuns são o Simplex, que é utilizado em veículos de passeio e utilitários de pequeno porte, e o Duo-Servo que é utilizado em veículos utilitários de médio porte. A Figura 5 mostra um típico freio a tambor (BOSCH, 2012).

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19 Figura 5: Freio a tambor

Fonte:(BOSCH, 2012)

No freio hidráulico Simplex as sapatas agem independentemente umas das outras. As extremidades de ancoragem são livres para se movimentarem, deslizando sobre a ancoragem, daí a denominação flutuante. Essa flutuação resulta na centralização automática das sapatas no tambor. É um freio com menor torque por força exercida pelo pedal de freio. Quando o veículo se movimenta à frente, a sapata primária é mais solicitada do que a sapata secundária, com isso damos à sapata primária o nome de sapata energizada, e para a sapata secundária, damos o nome de sapata desenergizada.Com o veículo se movimentando para trás (em marcha a ré), a atuação das sapatas se inverte, energizando a sapata secundária e deixando a sapata primária desenergizada (BOSCH, 2012). A Figura 6 mostra um típico freio a tambor do tipo Simplex destacando seus principais componentes que são (1) Direção de rotação, (2) Efeito auto-energizamento, (3) Efeito auto-inibimento, (4) Torque, (5) Cilindro de roda de dupla ação, (6) e (7) Sapatas, (8) Ponto de ancoragem.

Figura 6: Freio a tambor Simplex

Fonte:(BAUER, 2003)

Nos freios tipo uni e duo-servo, o tipo de projeto é o mesmo, a diferença se deve ao fato de que o freio do tipo uni-servo possui cilindro com um único êmbolo, tendo, portanto,

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20 ação unidirecional atuando sobre a sapata primária, fazendo com que o freio tenha ação de servo somente quando o veículo se movimenta para frente. Já o tipo duo-servo, possui cilindro com dois êmbolos, portanto, com dois sentidos de aplicação atuando sobre as sapatas primárias e secundárias. Desta forma, a ação de servo atua tanto no movimento para frente como no movimento de ré. O freio duo-servo é conhecido pela servo-ação da sapata primária sobre a secundária e da secundária sobre a primária. A pressão exercida contra o tambor por uma das sapatas é aumentada substancialmente pela servo-ação da outra sapata; por exemplo, quando o veículo se movimenta para frente, aplicando-se o freio, o movimento do tambor de freio tende a arrastar a sapata primária (energização); essa força de arraste é então aplicada à sapata secundária, por intermédio do conjunto de regulagem automática, adicionando-se a força aplicada pelo cilindro de freio. Isto resulta numa multiplicação de forças e, consequentemente, numa diminuição do esforço por parte do motorista ao frear o veículo, daí a denominação “servo”(BOSCH, 2012).A Figura 7 mostra o esquema de um freio a tambor do tipo Duo-Servo, destacando seus principais componentes que são (1) Direção de rotação, (2) Efeito de auto-energizamento, (3) Torque, (4) Cilindro de roda, (5) Ponto de apoio, (6) Sapata de freio, (7) Pino de pressão.

Figura 7: Freio a tambor Duo-Servo

Fonte:(BAUER, 2003)

2.1.1.5 Freio a disco

Os freios a disco, basicamente fabricados com ferro fundido cinzento tem se tornado padrão nos últimos anos devido ao seu melhor desempenho de frenagem em carros de passeio pesados (com bastante carga distribuída) em relação ao freio a tambor. Geralmente o disco de freio é instalado no cubo da roda, requerendo uma adequada dissipação de calor por irradiação, convecção e condução térmica (BOSCH, 2005).

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21 As pinças de freio são subdivididas em pinças fixas e pinças flutuantes. As pinças fixas agarram-se ao disco de freio com uma carcaça rígida. Durante a frenagem, os pistões de pressão, em posições opostas, pressionam as pastilhas contra o disco de freio(BOSCH, 2005).

Para as pinças flutuantes, os dois desenhos que se tornaram padrão foram o de pinça de chassi flutuante e o de pinça de garra. Em ambos os desenhos, o cilindro ou os pistões de pressão atuam diretamente sobre as pastilhas alojadas do lado interno do veículo. As pastilhas externas são puxadas contra o disco de freio pelo chassi flutuante guiado ou através da garra que envolve o disco de freio. A Figura 8 mostra dois tipos de freios a disco, um com pinça fixa e outro com pinça flutuante, seus principais componentes estão numerados e listados na figura como (1) Pastilha de freio, (2) Pistão, (3) Disco de freio, (4) Carcaça, (5) Suporte.(BOSCH, 2005).

Figura 8: Freio a disco (a) Pinça fixa, (b) Pinça flutuante

Fonte:(BOSCH, 2005)

2.2 Frenagem

Para uma frenagem próxima do aceitável, em freios devidamente regulados, a sua eficiência deve ser de no mínimo 80%. Entretanto, para obter as distâncias de frenagem indicadas, os pneus devem aderir devidamente à estrada. Em geral é difícil avaliar a possibilidade de aderência de um pneu a um determinado tipo de terreno apenas pelo aspecto do mesmo (COSTA, 2010).

Teoricamente, o esforço de frenagem deveria ser distribuído entre as rodas dianteiras e as traseiras, de acordo com o peso que elas suportam. Esta distribuição varia de acordo com o modelo do automóvel (de motor na frente ou na parte traseira do veículo, por exemplo), com

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22 o número de seus ocupantes e com a quantidade de bagagem. Contudo, em consequência da frenagem, uma parte do peso é transferida para frente e acrescentada à carga aque estão sujeitas às rodas da frente, reduzindo-se assim a carga sobre as de trás (COSTA, 2010). A Figura 9 mostra o comportamento de um veículo quando está em velocidade normal (Figura 9, Item 1) e como se comporta no momento de uma frenagem (Figura 9, Item 2).

Quando o freio do automóvel é aplicado ao máximo, a transferência de peso para as rodas dianteiras é maior, o que pode fazer com que as rodas traseiras travem, devido à força excessiva aplicada ao sistema de freios. Esse bloqueio pode ocasionar a derrapagem da parte de trás do automóvel. Caso as rodas dianteiras venham a travar antes das rodas traseiras, o automóvel se deslocará em linha reta, no entanto, o automóvel perderá o controle, sendo impossível desviar de algum obstáculo que esteja à frente (COSTA, 2010).

Figura 9: Comportamento de um veículo de passeio durante a frenagem

Fonte:(COSTA, 2010)

2.3 Sistema de Freio Antitravamento ABS (Antilock Braking System)

Sistemas de Freios Antitravamento (ABS) são dispositivos de controle nos sistemas de freios que evitam o bloqueio das rodas na frenagem mantendo a dirigibilidade e a estabilidade. Em geral geram-se distâncias de frenagem menores em comparação com frenagens com rodas totalmente bloqueadas. Isso é o caso principalmente em situações com pista molhada. A redução das distâncias de frenagem pode ser de mais ou menos 10% dependendo de quão molhada esteja a pista, e do coeficiente de atrito pneu-pista(BOSCH, 2005).

Desde o final de 1978, os sistemas antitravamento ABS são fabricados em série. Segundo Bosch (2005) esses sistemas já estão funcionando em 80% dos veículos fabricados

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23 na Europa e na América do Norte e em quase 70% dos automóveis do mundo. Em muitos países do mundo, os freios com ABS já se tornaram padrão.

De acordo com Lima (2005) um sistema antibloqueio consiste das seguintes partes:

 Sensores das rodas: usualmente são componentes eletromagnéticos que fornecem um sinal digital com uma frequência proporcional à velocidade da roda.

Unidade de controle eletrônico (ECU) (Electronic Control Unit): dispositivo eletrônico responsável pelos cálculos para a geração do sinal de controle.

 Modulador de pressão no freio: dispositivo eletro-hidráulico ou eletro-pneumático para reduzir, armazenar e manter a pressão para os freios, independente do esforço no pedal realizado pelo motorista. Para freios eletromagnéticos o modulador de pressão no freio não é necessário.

O sistema ABS funciona da seguinte maneira: a ECU controla a força da frenagem que é aplicada ao pedal. Essa central recebe informações sobre a velocidade do veículo através de sensores que se encontram instalados nas rodas. Cada roda tem um sensor, já que cada roda, em geral, se comporta de maneira diferente, tendo assim velocidades diferentes. A força do pedal é controlada pelo modulador de pressão que emite a pressão necessária(SIQUEIRA, 2005).

A ECU (eletronic control unit) funciona como o cérebro do sistema, pois a mesma recebe as informações de cada roda, e em caso de travamento iminente, a ECU faz com que a eletroválvula aplique uma força ao pedal para evitar o travamento das rodas. Ela também é responsável por manter o desempenho de frenagem em um ponto ótimo e avisar ao usuário (geralmente através de luzes no painel) sobre o funcionamento do sistema (SIQUEIRA, 2005). A Figura 10 mostra um esquema simplificado de um ABS em um sistema de freios onde temos: (1) Sensor de velocidade da roda, (2) Módulo de controle do ABS, (3) Bomba hidráulica e válvulas.

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24 Figura 10: Sistema de freios com ABS

Fonte: (CARS PARADISE, 2010)

Com o ABS é possível diminuir a distância de frenagem, e principalmente não perder o controle da direção do veículo, sendo possível desviar de obstáculos que estejam na pista. A Figura 11 mostra o comportamento de um veículo com ABS (Figura 11, Item 1) e sem ABS (Figura 11, Item 2) em um momento de colisão iminente.

Figura 11: Comportamento de um veículo de passeio em situação extrema

Fonte:(NISSAN, 2012) 2.4 Teoria de Controle

Teoria de controle é a área de conhecimento que lida com os princípios básicos subjacentes à análise e projeto de sistemas de controle. Controlar um objeto significa influenciar seu comportamento de modo a atingir um objetivo desejado. A fim de implementar essa influência, os engenheiros constroem dispositivos que incorporam várias

(28)

25 técnicas matemáticas. Estes dispositivos variaram de motor a vapor de Watt, projetado durante a Revolução Industrial Inglesa, para os controladores de microprocessadores sofisticados encontrados em itens de consumo, tais como leitores de CD e automóveis ou em robôs industriais e pilotos automáticos de aviões(SONTAG, 1998).

Existem duas principais linhas de trabalho na teoria de controle, que às vezes pareciam prosseguir direções muito diferentes, mas que são na verdade complementares. Uma delas baseia-se na idéia de que um bom modelo do objeto a ser controlado é acessível, e que se pretende de algum modo otimizar o seu comportamento. Os princípios físicos e as especificações de engenharia podem ser e são utilizados a fim de calcular a trajetória de uma nave espacial, por exemplo, minimizando o custo da viagem e o consumo de combustível. As técnicas aqui são intimamente relacionadas com o cálculo clássico de variações e de outras áreas da teoria da otimização, o resultado final é tipicamente um plano de voo pré-programado. A outra linha de trabalho é que, com base nas restrições impostas pelas incertezas sobre o modelo ou sobre o ambiente no qual o sistema opera. A ferramenta central é o uso de realimentação (feedback), a fim de corrigir desvios do comportamento desejado. Por exemplo, vários sistemas de controle de realimentação são usados durante o voo espacial real, a fim de compensar os erros da trajetória pré-computadas. Matematicamente, a teoria da estabilidade, sistemas dinâmicos, e especialmente a teoria de funções de uma variável complexa, tiveram uma forte influência sobre esta abordagem (SONTAG, 1998).

2.5 Teoria de Controle Moderno

A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quanto ao desempenho dos sistemas de controle, o aumento da complexidade dos sistemas e a facilidade ao acesso de computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderno, iniciada por volta dos anos 60, como uma nova forma de analisar e projetar sistemas de controle complexos. Essa nova abordagem é baseada no conceito de estado. A teoria de controle moderno é aplicada a sistemas que podem ter múltiplas entradas e múltiplas saídas, lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo. Além disso, a teoria de controle moderno é uma abordagem essencialmente no domínio do tempo (OGATA, 2003).

2.5.1 Estado

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis em que o conhecimento desses valores em t = t0, de forma única, junto com o conhecimento dos sinais

(29)

26 de entrada para t ≥ t0 determina em qualquer instante t ≥ t0, de forma única, o comportamento do sistema (OGATA, 2003).

Outra definição diz que o estado de um sistema é um conjunto de variáveis cujo os valores, em conjunto com o sinal de entrada e as equações descrevendo a dinâmica, irão fornecer o estado e a saída futuros do sistema (DORF e BISHOP, 2009).

Uma definição que também deve ser citada é a definição de Espaço de Estado que é o espaço n-dimensional cujo os eixos coordenados consistem nos eixos x1, x2, ..., xn. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados (OGATA, 2003).

2.5.2 Variáveis de estado

Variáveis de estado são grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2,..., xn, para descrever completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então tais n variáveis são o conjunto de variáveis de estados (OGATA, 2003).

As variáveis de estado descrevem a configuração presente de um sistema e podem ser usadas para determinar a resposta futura, dadas às excitações de entrada e as equações descrevendo a dinâmica (DORF e BISHOP, 2009).

O conceito de um conjunto de variáveis que representa um sistema dinâmico pode ser ilustrado em termos do conjunto massa-mola-amortecedor (Figura 12). O número de variáveis de estado escolhido para representar esse sistema deve ser o menor possível a fim de evitar redundâncias nos valores das variáveis. Um conjunto de variáveis de estado suficiente para descrever este sistema inclui a posição e a velocidade da massa. Consequentemente, define-se um conjunto de variáveis de estado como (x1, x2), sendo y(t) a velocidade da mola(DORF e BISHOP, 2009):

Uma equação diferencial descreve o comportamento do sistema e para o sistema massa-mola-amortecedor pode ser descrita como (DORF e BISHOP, 2009):

(30)

27 onde M é a massa da mola, b é o atrito com a parede do recipiente, k é a constante elástica da mola e u é uma força aplicada ao sistema.

Para descrever a Equação 1 em função das variáveis de estado, os valores descritos acima são substituídos por suas respectivas variáveis de estado, obtendo (DORF e BISHOP, 2009):

(2)

Portanto, é possível escrever as equações diferenciais que descrevem o sistema massa-mola-amortecedor como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem (DORF e BISHOP, 2009): (3) e (4)

A Figura 12 mostra o esquema do sistema massa-mola-amortecedor. Figura 12: Sistema massa-mola-amortecedor

Fonte:(DORF e BISHOP, 2009)

2.5.3 Estabilidade

Dado um sistema de controle, a primeira pergunta que se faz, e que é a mais importante sobre as suas várias propriedades é se o sistema é estável, porque um sistema de controle instável normalmente é inútil e potencialmente perigoso. Um sistema é descrito como estável se o arranque do sistema em algum lugar próximo do seu ponto de funcionamento

(31)

28 desejado implica que vai ficar sempre em torno desse ponto. Cada sistema de controle linear ou não linear envolve um problema de estabilidade, que deve ser cuidadosamente estudado (SLOTINE e LI, 1991).

Definição: O estado de equilíbrio x = 0 é dito ser estável se, para qualquer R > 0, existe r > 0, de tal modo que se ||x(0)|| < r, então, ||x(f)|| < R para todo t > 0. Caso contrário, o ponto de equilíbrio é instável (SLOTINE e LI, 1991).

2.6 Sistemas de Controle Lineares e Não-Lineares

Teoria de controle linear predominantemente abrange o estudo de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) da forma

̇ (5)

com x sendo o vetor de estados e A sendo a matriz do sistema. Sistemas LTI têm propriedades bastante simples, como:

 Um sistema linear tem um único ponto de equilíbrio se A é não singular;

 O ponto de equilíbrio é estável se todos os autovalores de A têm parte real negativa, independentemente das condições iniciais;

 A resposta transiente de um sistema linear é composto dos modos naturais do sistema, e a solução geral, pode ser resolvida analiticamente;

Na presença de uma entrada externa u(t), com:

̇ (6)

a resposta do sistema tem uma série de propriedades interessantes. Primeiro, ele satisfaz o princípio da superposição. Em segundo lugar, a estabilidade assintótica do sistema (5) implica em estabilidade de entrada limitada e saída limitada, na presença de u. Em terceiro lugar, uma entrada senoidal leva a uma saída senoidal de mesma frequência (SLOTINE e LI, 1991).

Sistema de controle linear é um assunto muito amplo, que tem uma variedade enorme de métodos poderosos para solucionar diversos tipos de problemas nas mais diversas áreas, como a robótica, a aviação, engenharia biomédica entre outros. Entretanto, há um crescimento no interesse de engenheiros e pesquisadores na área de controle não linear devido a diversos motivos, como a dificuldade de linearização de certos sistemas. Muitos problemas de controle seriam resolvidos mais facilmente com o uso de técnicas não lineares (SLOTINE e LI, 1991).

(32)

29 Os métodos de controle linear dependem fundamentalmente de uma pequena gama de operações para validar o modelo do sistema. Quando essa gama de operações é grande, um controlador linear provavelmente terá um desempenho muito pobre ou então ficará instável, porque as não linearidades do sistema não serão adequadamente compensadas. Por outro lado, os controladores não lineares podem trabalhar diretamente com essa gama de operações grande sem perdas de desempenho e mantendo o sistema estável (SLOTINE e LI, 1991).

Outro motivo para utilizar controle linear em problemas não-lineares seria com a linearização do sistema através de métodos matemáticos. Entretanto, em muitos sistemas existem não-linearidades que a sua natureza descontínua não permite uma aproximação linear, essas são chamadas de “não linearidades pesadas”. Esses efeitos não podem ser derivados de métodos lineares, e uma técnica de análise não linear pode ser desenvolvida para prever o desempenho do sistema na presença de não-linearidades inerentes(SLOTINE e LI, 1991).

Na concepção de controladores lineares, normalmente é necessário considerar que os parâmetros do modelo do sistema são razoavelmente bem conhecidos. No entanto, muitos problemas de controle envolvem incertezas nos parâmetros do modelo. Isto pode ser devido a uma variação lenta de tempo dos parâmetros (por exemplo, da pressão do ar ambiente durante um voo de aeronaves), ou a uma mudança brusca de parâmetros (por exemplo, nos parâmetros de inércia de um robô, quando um novo objeto é agarrado). Um controlador linear com base em valores imprecisos ou obsoletos dos parâmetros do modelo pode apresentar significativa degradação do desempenho ou até mesmo instabilidade. Não-linearidades podem ser intencionalmente introduzidas para dentro da parte do controlador de um sistema de controle de modo que as incertezas do modelo possam ser toleradas. Duas classes de controladores não lineares para esta finalidade são os controladores robustos e os controladores adaptativos(SLOTINE e LI, 1991).

Bons projetos de controle não lineares podem ser mais simples e mais intuitivos do que suas contrapartes lineares. Este resultado a priori paradoxal vem do fato de que os projetos de controladores não lineares são muitas vezes profundamente enraizados na física das plantas que serão controladas. Para tomar um exemplo muito simples, considere um pêndulo (Figura 13) ligado a um eixo, no plano vertical. A partir de um ângulo inicial arbitrário, o pêndulo oscilará e progressivamente parará ao longo da vertical. Embora o comportamento do pêndulo possa ser analisado próximo do equilíbrio por linearização do sistema, fisicamente a sua estabilidade tem muito pouco a ver com os valores próprios de uma

(33)

30 matriz de sistema linearizado: provém do fato de que a energia mecânica total do sistema é progressivamente dissipada por várias forças de fricção, de modo a que o pêndulo vem repousar numa posição de mínimo de energia(SLOTINE e LI, 1991).

Figura 13: Pêndulo simples

Fonte:(UFPB, 2013)

Sistemas físicos são inerentemente não lineares. Assim, todos os sistemas são não lineares até certo ponto. Os sistemas de controle não lineares podem ser descritos por meio de equações diferenciais não lineares. No entanto, se o intervalo de funcionamento de um sistema de controle é pequeno e se as não linearidades envolvidas são suaves, o sistema a ser controlado pode ser razoavelmente aproximado para um sistema linear, cuja dinâmica é descrita por um conjunto de equações diferenciais lineares(SLOTINE e LI, 1991).

2.6.1 Não linearidades

Não linearidades podem ser classificadas como inerentes (naturais) e intencionais (artificiais). Não linearidades inerentes são aquelas que naturalmente vêm com o hardware do sistema. Normalmente, tais não linearidades têm efeitos indesejáveis, e os sistemas de controle têm de compensar adequadamente estes efeitos. Linearidades intencionais, por outro lado, são artificialmente introduzidas pelo projetista do sistema (SLOTINE e LI, 1991).

Não linearidades também podem ser classificadas em termos de suas propriedades matemáticas, como contínua e descontínua. Não linearidades descontínuas não podem ser localmente aproximadas por funções lineares, sendo também chamadas de não linearidades pesadas (SLOTINE e LI, 1991).

(34)

31 2.7Modo Deslizante

O Modo Deslizante é uma lei de controle chaveada em alta velocidade, que ocorre quando o estado do sistema cruza certas superfícies descontínuas no espaço de estados. Essas superfícies são projetadas de forma que a dinâmica dos estados obedeça a um comportamento desejado quando em deslizamento. A estrutura de controle é usualmente não linear e resulta em um sistema com estrutura variável que pode ser considerado como uma combinação de subsistemas, cada um com uma estrutura fixa e que opera em uma região específica do espaço de estados (UTKIN, 1977).

Considera-se um sistema descrito por equações de estado na qual uma das parcelas da entrada é descontínua através de uma hipersuperfície no espaço de estados. A técnica se baseia no fato de que, se esta lei de controle foi projetada de tal forma que todas as trajetórias que se iniciam dentro da mesma trajetória, permanecerão ali indefinidamente. Neste caso, as trajetórias permaneceram “deslizando” pela superfície, que é então chamada de superfície de deslizamento (sliding surface). Evidentemente, a superfície de deslizamento deve ser definida convenientemente de forma que as trajetórias dentro da mesma se dirijam assintoticamente para os valores desejados (set-points). Nesta fase do movimento (dentro da superfície de deslizamento) diz-se que o sistema está em regime (modo) de deslizamento(LIMA, 2005). A Figura 14 mostra o comportamento de uma superfície de deslizamento.

Figura 14: Superfície de deslizamento de um sistema

Fonte: (LIMA, 2005).

Outro aspecto que deve ser ressaltado é a robustez deste tipo de controlador. Se apesar das incertezas e das perturbações existentes, as trajetórias do sistema continuarem apontando

(35)

32 em direção à superfície de deslizamento, o sistema continuará entrando em modo deslizante, apresentando o mesmo desempenho, governado pela dinâmica referente à equação da superfície deslizante (OLIVEIRA, 2006).

2.7.1 Superfícies de deslizamento

A superfície de deslizamento ou superfície de chaveamento s(x) = 0 é um espaço fechado (n-m) dimensional em Rn, determinado pela intersecção de m superfícies de chaveamento de dimensão (n-m). As superfícies de chaveamento são projetadas tal que o sistema, restrito a superfície s(x) = 0, tenha comportamento desejado(RIBEIRO, 2006).

Seja a superfície de deslizamento dada por:

{ ( ) } (7)

Cada entrada ui(t) do controle chaveado u(t) Rm

tem a forma: { ( )

( ) (8) onde {x(t) | si(x(t)) = 0} é a i-ésima superfície de deslizamento associada com a superfície de deslizamento Equação (7) de dimensão (n-m). As superfícies de deslizamento são projetadas tais que a resposta do sistema restrito à {x(t) |s(x(t)) = 0} tenha o comportamento desejado(RIBEIRO, 2006).

Considere a dinâmica do sistema de entrada simples da equação (7) onde o escalar x é a saída de interesse, o escalar u é o controle da entrada e [ ̇ ] é o vetor de estados. Na equação (7) a função f(x) não é conhecida com exatidão, mas a extensão da imprecisão em f(x) é limitada acima por uma conhecida função de x; da mesma forma, o ganho do controle b(x) não é exatamente conhecido, mas seus sinais são conhecidos e são delimitados por funções conhecidas de x.

(9)

Seja ̃ o erro de trajetória calculado na variável x e seja

(36)

33 um vetor de erros de trajetórias. Além disso, vamos definir uma superfície variante no tempo s(t) no espaço de estados R(n) pela equação escalar s(x;t) = 0, onde

(

)

̃ (11)

e λ é uma constante sempre positiva. Por exemplo, se n = 2, então temos

̃̇ ̃ (12)

Dada uma condição inicial , o problema de trajetória é equivalente ao do restante da superfície s(t) para todo t > 0; de fato representa uma equação diferencial linear de quem a única solução é ̃ , dadas as condições iniciais . Assim, o problema de trajetória para um vetor de dimensão n, xd pode ser reduzido para manter a quantidade escalar s em zero (SLOTINE e LI, 1991).

Mais precisamente, o problema da trajetória do vetor n-dimensional xd pode ser substituído por um problema de estabilização de 1ª ordem em s. De fato, umavez que a partir de (11) a expressão de s contém ̃ , só precisamos diferenciar s uma vez para a entrada u aparecer (SLOTINE e LI, 1991).

Além disso, limites em s podem ser diretamente transladados dentro de limites no vetor de erro de trajetória ̃ e, portanto, o escalar s representa uma medida verdadeira do desempenho da trajetória. Especificamente, assumindo que ̃ , temos

| ̃ | (13) Figura 15: Computando limites em ̃

(37)

34 onde . De fato, pela definição de (10), o erro da trajetória de ̃ é obtido de s através de uma sequência de filtros passa-baixa de primeira ordem (Figura 15) onde p = (d/dt) é o operador de Laplace. Seja y1 a saída do primeiro filtro, então temos

(14)

De é feito

(15)

É possível aplicar o mesmo raciocínio para o filtro de segunda ordem, e assim por diante, até a ̃ Então é obtido

̃ (16)

Da mesma forma, ̃ pode ser obtido através da sequência da Figura 16. A partir do resultado anterior, tem-se , onde z1é a saída do (n-1-i)-ésimo filtro. Ainda, note que

(17)

Figura 16: Computando limites em ̃

Fonte: (SLOTINE e LI, 1991) vê-se que a sequência da Figura 16 indica que

(38)

35

| ̃ | ( ) ( ) (18)

Finalmente, no caso que ̃ , os limites de (13) são obtidos assintoticamente dentro de um tempo constante curto (n-1)/λ (SLOTINE e LI, 1991).

Assim, tem-se de fato a substituição de um problema de trajetória de ordem n por um problema de estabilização de 1ª ordem, e quantifica-se com (13) as transformações correspondentes das medidas de desempenho (SLOTINE e LI, 1991).

O problema de primeira ordem simplificado para manter as escalares de s em zero pode agora ser obtido escolhendo a lei de controle u (9), de modo que do lado de fora de s(t)

(19)

onde η é uma constante estritamente positiva. Essencialmente, (19) estipula que a "distância" quadrática da superfície, medida por s2, diminui ao longo do de todas as trajetórias do sistema. Assim, ela restringe trajetórias para apontar na direção da superfície s(t), conforme ilustrado na Figura 17. Com isso, uma vez que sobre a superfície, a trajetória do sistema permanece sobre ela. Em outras palavras, se a superfície satisfizer (19), ou condição de deslizamento, significa que a mesma é um conjunto invariante. Além disso, também deve ver que a equação (19) também implica que algumas perturbações ou incertezas dinâmicas podem ser toleradas, enquanto mantém a superfície como um conjunto invariante. Graficamente isto corresponde ao fato de que na Figura 17 as trajetórias fora da superfície podem "se mover" em direção a superfície. A superfície s(t) satisfazendo (19) é referida como superfície de deslizamento e o comportamento do sistema, uma vez sobre a superfície de deslizamento, é chamado regime ou modo de deslizamento (SLOTINE e LI, 1991).

(39)

36 Figura 17: A condição de deslizamento

Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)

Outro aspecto interessante do conjunto invariante s(t) é que uma vez sobre ele, a trajetória do sistema é definida pela equação do próprio conjunto, ou seja

(

)

̃ (20)

em outras palavras, a superfície s(t) é ao mesmo tempo um lugar e uma dinâmica. Esse fato é simplesmente a interpretação geométrica da nossa observação anterior de que a equação (11) permite-nos substituir um problema de ordem n por um sistema de 1ª ordem (SLOTINE e LI, 1991).

Finalmente, satisfazendo (19) garante-se que se a condição não é exatamente verificada, a superfície s(t) irá, contudo, ser alcançada em um tempo finito menor que |s(t=0)|/η. De fato, assuma, por exemplo, que s(t=0) > 0, e seja tr o tempo requerido para alcançar a superfície s = 0. Integrando (19) entre t=0 e t=tr

(21) o que implica que

(40)

37 Além disso, a definição de (11) implica que uma vez sobre a superfície, o erro de trajetória tende exponencialmente para zero, com uma constante de tempo (n-1)/λ, (a partir da sequência de (n-1) filtros de constantes de tempo igual a 1/λ) (SLOTINE e LI, 1991).

O comportamento típico do sistema, ao satisfazer a condição de deslizamento (16) é ilustrado na Figura 18 para n=2. A superfície de deslizamento é uma linha no plano de fase, de inclinação -λ e contendo o ponto [ ̇ ] . Começando a partir de qualquer condição inicial, a trajetória de estado atinge a superfície da variável no tempo em um tempo finito menor do que |s(t=0)|/η, e depois desliza ao longo da superfície para xd exponencialmente, com uma constante de tempo igual para 1/λ (SLOTINE e LI, 1991).

Figura 18: Gráfico de interpretação das equações (8) e (16) para n=2

Fonte: (SLOTINE e LI, 1991) 2.8 Função de Lyapunov

A função de Lyapunov é uma função escalar V(y) definida em uma região D que é contínua e positiva V(y) > 0 para todo y≠0 e tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em todos os pontos de D. A derivada de Vem relação ao sistema y´ = f(y) é definida como o produto escalar:

(23)

A existência da função de Lyapunov para que V*(y) ≤0 em alguma região de D contendo a origem, garante a estabilidade da solução de zero de y´ = f(y), enquanto que a existência de uma função de Lyapunov para os quais V*(y) é definida negativa para alguma região de D que contenha a origem garante a estabilidade assintótica da solução do zero de y´ = f(y) (WEISSTEIN, 2013).

(41)

38 Estabilidade assintótica significa que o equilíbrio é estável, e que, além disso, os estados que começaram próximos de 0 convergem a 0 a medida que o tempo t tende para infinito. A Figura 19 mostra que as trajetórias do sistema a partir de dentro do circulo (Figura 19) convergem para a origem. O circulo (Figura 19) é chamado domínio de atração do ponto de equilíbrio (enquanto o domínio de atração do ponto de equilíbrio refere-se a maior região, ou seja, para o conjunto de todos os pontos de tal forma que trajetórias iniciadas nestes pontos eventualmente convergem para a origem). Um ponto de equilíbrio que é Lyapunov-estável, mas não assintoticamente estável é chamado marginalmente estável (SLOTINE e LI, 1991).

Definição: Um ponto de equilíbrio 0 é assintoticamente estável se o mesmo for estável, e se, além disso, existe algum r > 0 tal que ||x(0)|| < r implica que x(t) → 0 quando t → ∞ (SLOTINE e LI, 1991).

A Figura 19 mostra a representação de um sistema assintoticamente estável (Figura 19, curva 1), um sistema marginalmente estável (Figura 19, curva 2) e um sistema instável (Figura 19, curva 3).

Figura 19: Representação da estabilidade do sistema.

(42)

39 3 METODOLOGIA

Este trabalho foi realizado em várias etapas, iniciando pela revisão bibliográfica dos assuntos referentes à pesquisa de controladores não lineares, Modo Deslizante, freios, controladores ABS e Teoria de controle. A seguir será apresentada a modelagem matemática do veículo.

3.1 Equações da Dinâmica do ABS

O equacionamento do funcionamento da dinâmica do veículo com ABS é o resultado da aplicação da lei de Newton às rodas e ao próprio veículo. A dinâmica é determinada pela soma de todas as forças aplicadas ao veículo durante o processo de frenagem. A equação da dinâmica é dada por Lin & Hsu (2003):

̇ [ ] (24)

Na Equação (24) temos Vv(t) que é a velocidade do veículo, Mv é a massa do veículo, Bv é o atrito viscoso do veículo, Ft(t) é a força de tração e Fθ(θ) é a força aplicada ao carro resultante de um gradiente vertical da estrada, de modo que esse valor é dado por:

(25)

onde θ é a inclinação da estrada e g é a aceleração da gravidade. A força de tração Ft(t) é dada por:

(26)

Na Equação (26), Nv(θ) equivale a:

(27)

onde Nv(θ) é a força nominal de reação entre a roda e a estrada e μ(λ) é o coeficiente de atrito. Para esse modelo assume-se que o peso do veículo está igualmente distribuído entre as 4 rodas e todo o chassi (LIN e HSU, 2003). A função μ(λ) foi obtida de forma empírica, baseado na Equação (28), encontrada em Lima (2005), em outras aplicações realizadas com ABS, e no próprio MATLAB®, obtendo o coeficiente de atrito para terreno seco, terreno molhado e terreno com gelo, todos no asfalto comum. A Figura 20 mostra estes coeficientes.

(43)

40 Figura 20: Coeficientes de atrito utilizados para a simulação.

(28)

Onde μp e λp são valores de pico do sistema.

Utilizando as leis da física para achar a velocidade angular do veículo, foi dividida a velocidade do veículo pelo raio Rw da roda, então temos (LIN e HSU, 2003):

(29)

Para achar a dinâmica da roda, os torques que são aplicados às rodas no momento da frenagem são somados, tendo então:

̇ [ ] (30)

em que ww(t) é a velocidade angular da roda, Jw é a inércia de rotação da roda, Tb(t) é o torque de freio e Tt(t) é o torque gerado dependendo do escorregamento entre a roda e a estrada que em geral é uma função da força de tração Ft(t)(LIN e HSU, 2003):

(31)

O objetivo do controle de ABS é regular o escorregamento da roda e de maximizar o coeficiente de atrito entre a roda e a estrada para qualquer dada superfície de estrada. Em geral, o coeficiente de atrito (μ) durante a operação de frenagem pode ser descrito como uma função do escorregamento (λ), a qual é definida como:

(44)

41

(32)

Durante a frenagem, o escorregamento da roda é definido de acordo com a Equação (32). Então, derivando-a no tempo, tem-se:

̇ ̇ ̇ (33)

Substituindo as equações (24), (29) e (30) na Equação (33), obtêm-se:

̇ (34)

onde:

( )

(35)

é uma função não linear dinâmica; Gp = 1/Jw é o ganho de controle com uma constante positiva e u(t) = Tb(t)/wvé o esforço de controle(LIN e HSU, 2003).

3.1.1 Sistema de Controle em Modo Deslizante

O objetivo do controle é encontrar uma lei de controle de modo que o escorregamento possa alcançar um valor desejado λd(t). Lin & Hsu (2003) definiram o erro associado ao escorregamento como:

(36)

onde λ(t) é a saída e λd(t) é o valor de referência que é especificado pelo comando da entrada λc(t) seguido por um modelo de referência, que é o modelo a ser seguido para que o sistema obtenha estabilidade.

Segundo Lin & Hsu (2003), a primeira etapa do projeto do controlador em Modo Deslizante é selecionar uma superfície de deslizamento que modela o desempenho de malha fechada desejada no espaço variável de estado. Em seguida, criar o controle de tal forma que as trajetórias de estado do sistema são forçadas a ir em direção à superfície de deslizamento e permanecer nele. Assim, ele define uma superfície de deslizamento para o controlador em Modo Deslizante para o ABS como:

(45)

42

(37)

em que k1é uma constante positiva. Unsal & Kachroo (1999) definiram a lei de controle em modo deslizante como:

(38)

Onde ueq(t) é um sinal de controle equivalente, dado por:

[ ̇ ] (39) e o sinal de controle de acertos uht(t) é projetado para dissipar as incertezas de forma que:

[ ] (40)

em que sgn(.) é uma função sinal e W é uma constante. Substituindo as Equações (38), (39) e(40) em (34), obtemos:

̇ ( ) ̇ (41)

Então, escolhendo uma função de Lyapunov, que garante a estabilidade do sistema, como:

. (42)

Diferenciando a equação de Lyapunov no tempo e usando a função anterior, obtemos: ̇ ̇

(43)

O sistema de controle em modo deslizante pode garantir a estabilidade com a função de Lyapunov, mesmo sobre variação de parâmetros. Entretanto, para satisfazer a condição de existência do sistema, um grande valor de limite de incerteza W deve ser escolhido. Neste caso o controlador geralmente resulta em uma vibração muito alta do sistema e um grande esforço de controle. O fenômeno de vibração é indesejável na maioria das aplicações de controle (LIN e HSU, 2003).

(46)

43 3.2 Desenvolvimento do Sistema, Controlador e Simulação.

Nesta etapa foi realizado o desenvolvimento do modelo do veículo e do controlador em Modo Deslizante. Para a implementação foram usados os softwares MATLAB® e Simulink® para realizar as simulações do modelo feito baseado nas equações mostradas na Seção 3.1. Durante o desenvolvimento do controlador foi constatado que o mesmo não seria viável usando a função sinal do modelo em Modo Deslizante na função de controle de acertos por causa do ruído gerado na saída do sistema. Com isso a solução sugerida por Lin & Hsu (2003) foi de substituir a função sinal pela função tangente hiperbólica para reduzir a quantidade de ruído gerado. A função tangente hiperbólica no sistema reduziu sensivelmente a quantidade de ruído gerado pelo sistema.

3.3 Comparação dos Sistemas Implementados.

Após a etapa de simulação é realizada a etapa de comparação dos resultados. Todas as respostas do sistema como a velocidade do veículo, a velocidade da roda, o escorregamento, o torque serão colocados em gráficos separados e comparados com resultados realizados na simulação do sistema sem controladores. Apenas o modelo do veículo e o freio tradicional sem ABS para os tipos de terreno asfalto seco, asfalto molhado e com gelo.

(47)

44 4 RESULTADOS OBTIDOS

Neste capítulo serão mostrados os resultados obtidos a partir da implementação das equações mostradas no Capítulo 3 feitas no Simulink. Os resultados são mostrados em forma de gráficos e separados por tipo de terreno no qual o controlador foi simulado.

4.1 Modelo Construído

Os resultados obtidos na simulação foram obtidos a partir do equacionamento dos modelos de veículo, da roda e do escorregamento propostos por Lin & Hsu (2003). A Figura 21 mostra como ficou o sistema implementado no Simulink. Cada equação do sistema (aceleração do veículo, da roda, escorregamento e controle) foi desenvolvida em subsistemas separados para facilitar a visualização e diminuir a perda de tempo caso seja necessário remover o controlador para algum teste, como nos testes sem controlador do freio convencional.

Tabela 1: Valores utilizados na simulação do sistema

Variável Valor Mv 1.368kg g 9,81m/s2 Vo 80km/h Bv 6 Jw 1,13 Tb(máximo) 1200N W 25 k1 100 Rw 0,33m λ(desejado) 0,2 Bw 4 θ 0

A Tabela 1 mostra os valores que foram utilizados na simulação. Esses valores de teste são propostos em outros trabalhos inclusive em Lin & Hsu (2003).

(48)

45 Figura 21: Sistema implementado no Simulink

4.2 Resultados da Simulação

Foram feitas simulações com três tipos de terrenos (asfalto seco, asfalto molhado e com gelo) com o sistema em diferentes condições. Primeiramente o sistema está com o controlador Modo Deslizante e para realizar um comparativo, foram feitos testes com o sistema sem controlador, apenas o equacionamento do comportamento do veículo é considerado.

4.2.1 Simulação com terreno seco

A Figura 22 mostra o comportamento do torque quando está em terreno seco. O torque é a resposta que o controlador envia para o subsistema da roda para que possa ocorrer a redução da velocidade. No sistema sem controlador, o valor do torque é colocado direto no subsistema da roda como 1200Nm, que é o valor máximo que o torque pode atingir.

É possível notar pela Figura 22 que no sistema com controlador não é necessário que o torque do sistema alcance o seu valor máximo. O tempo de parada também é menor no sistema com controlador em Modo Deslizante, o que pode ser visto na Figura 23.

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46 Figura 22: Valor do torque para terreno seco.

A Figura 23 mostra a distância de parada do veículo com o tempo. Neste gráfico é possível comprovar a melhor eficácia do controlador em Modo Deslizante com relação à distância também.

Figura 23: Distância de parada para terreno seco.

A Figura 24 mostra o comportamento do escorregamento do sistema para terreno seco. Com o controlador em Modo Deslizante é possível alcançar o valor desejado do escorregamento da roda, fazendo com que a mesma reduza cerca de 20% do seu escorregamento durante o processo de frenagem, enquanto no sistema sem controlador o valor do escorregamento chega imediatamente a 1, acusando o travamento total da roda durante o processo de frenagem.

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47 Figura 24: Escorregamento do sistema em terreno seco.

O gráfico da Figura 25 mostra o comportamento da velocidade do sistema. A velocidade inicial do sistema é de 80km/h para essa simulação, entretanto, para que o sistema calcule de forma correta esse valor é convertido para radianos por segundo.

Figura 25: Velocidade do veículo e da roda para terreno seco.

A Figura 25 mostra as velocidades do veículo e da roda para terreno seco. É possível notar que para o modelo sem controlador a velocidade da roda chega a zero bem antes da velocidade do veículo parar, acusando o travamento, enquanto no modelo com controlador a velocidade da roda se mantem reduzindo conforme a velocidade do veículo reduz.

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48 4.2.2 Simulação em terreno molhado

A simulação em terreno molhado foi feita da mesma forma que a simulação em terreno seco, apenas o que mudou foi a função μ(λ), que foi adequada para responder como o atrito pneu-pista de uma pista de asfalto molhado. A Figura 26 mostra o comportamento do torque do sistema em uma frenagem com uma velocidade inicial de 80km/h.

É possível notar que nestas condições a resposta do torque do sistema em controle deslizante é menor que a resposta em terreno seco devido ao menor atrito, consequentemente é obtida uma distância de parada maior para as mesmas condições iniciais anteriores.

Figura 26: Torque do sistema com terreno molhado.

A Figura 27 mostra a distância de parada do sistema com o controlador em Modo Deslizante e sem controlador. Pode-se notar que a diferença da distância de parada do sistema com controlador e sem controlador é menor que na simulação para terreno seco, entretanto o sistema com ABS e controle em Modo Deslizante mostra um desempenho melhor que o sistema sem controlador.

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49 Figura 27: Distância de parada em terreno molhado.

Como consequência do torque do sistema, foi obtido o escorregamento para terreno molhado, que também se manteve de acordo com o valor desejado de 20% de diminuição do escorregamento da roda como visto na Figura 28.

Figura 28: Escorregamento do sistema em terreno molhado.

Com isso, a Figura 29 mostra a redução de velocidade da roda e do veículo para as duas situações, com e sem controlador.

Referências

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