Probabilidade Aula 04

0303200 – Probabilidade – Aula 04

Magno T. M. Silva

Escola Polit´ecnica da USP

Mar¸co de 2017

A maior parte dos exemplos dessa aula foram extra´ıdos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estat´ıstica para engenharia e ciˆencias, tradu¸c˜ao da 8a edi¸c˜ao americana, Cengage, 2014

Sum´ario

3.1 Vari´aveis aleat´orias

3.1 Defini¸c˜ao de vari´avel aleat´oria

Para um determinado espa¸co amostral S de algum experimento, a vari´avel aleat´oria (v.a.) X ´e qualquer regra que associa um

n´umero com qualquer resultado s de S, ou seja, vari´avel aleat´oria ´e uma fun¸c˜ao que atribui um n´umero real X(s) = x a cada sa´ıda s do espa¸co amostral de um experimento aleat´orio.

•

• _x

X(s) = x S

s _{reta real}

X(s) = x significa que x ´e o valor associado ao resultado s pela v.a. X.

3.1 Exemplo 3.1

Quando um aluno liga para a Se¸c˜ao de Alunos da Poli para tirar d´uvidas de sua matr´ıcula, ele poder´a

◮ falar com algu´em imediatamente (I) ou ◮ ficar aguardando (A).

Com S = {I,A}, considere a v.a. X dada por X(I) = 1 X(A) = 0.

A v.a. X indica se o aluno pode (1) ou n˜ao pode (0) falar com algu´em de imediato.

3.1 Exemplo 3.2

Considere o experimento em que um n´umero de telefone em um determinado c´odigo de ´area ´e discado por meio de um discador aleat´orio (dispositivo muito usado por empresas de pequisa) e considere uma v.a. Y como

Y = 

1 se o n´umero selecionado n˜ao est´a na lista telefˆonica

0 se o n´umero selecionado est´a na lista telefˆonica Por exemplo,se 3091-5134 estiver na lista telefˆonica,

Y (30915134) = 0 enquanto Y (30910000) = 1 nos diz que o n´umero 3091-0000 n˜ao est´a na lista.

3.1 v.a. de Bernoulli

Qualquer vari´avel aleat´oria cujos ´unicos valores poss´ıveis s˜ao 0 e 1 ´e chamada de vari´avel aleat´oria de Bernoulli.

3.1 Exemplo 3.3

Voltando ao Exemplo 2.3. Neste exemplo, considerou-se um experimento no qual foi determinado o n´umero de bombas em uso em dois postos de gasolina com seis bombas cada. Considere as v.a.’s X, Y e U definidas como

◮ X = o n´umero total de bombas em uso nos dois postos ◮ Y = a diferen¸ca entre o n´umero de bombas em uso no Posto

1 e o n´umero em uso no Posto 2

◮ U = o m´aximo de bombas em uso nos dois postos

Se esse experimento for realizado e resultar em s = (2,3) ent˜ao ◮ X((2,3)) = 2 + 3 = 5, de modo que o valor observado de X

foi x = 5

◮ Y ((2,3)) = 2 − 3 = −1 ◮ U ((2,3)) = max{2,3} = 3

Nem sempre uma v.a. assume um n´umero finito de valores como aconteceu nos Exemplos 3.1 a 3.3.

3.1 Exemplo 3.4

Considere um experimento no qual pilhas de 9 volts s˜ao testadas at´e se obter uma com tens˜ao aceit´avel (A). O espa¸co amostral ´e

S = {A, FA, F FA, · · · } Considere uma vari´avel aleat´oria X definida como

X = a quantidade de pilhas testadas antes do t´ermino do experimento. Assim,

X(A) = 1, X(FA) = 2, X(F FA) = 3, · · · , X(F F F F F FA) = 7 etc Qualquer inteiro positivo ´e um valor poss´ıvel de X, de modo que o conjunto de valores poss´ıveis ´e infinito.

3.1 Tipos de vari´aveis aleat´orias

Define-se a imagem da vari´avel aleat´oria X como o conjunto SX = imagem de X = {x ∈ R : x = X(s) para algum s ∈ S}.

Diz-se que X ´e

◮ discretase a imagem de X for um conjunto enumer´avel (cont´avel). Nos Exemplos 3.1 a 3.4, temos vari´aveis aleat´orias discretas;

◮ cont´ınua se a imagem de X for um conjunto n˜ao enumer´avel (e.g., um intervalo da reta real)

3.1 Exemplo Adicional 1 (A1): v.a. discreta

Lan¸camento simultˆaneo de um dado e uma moeda: SX = {−6, − 5, · · · , − 1,1,2 · · · ,6} (C,1) (C,2) (C,3) (C,4) (C,5) (C,6) (K,1) (K,2) (K,3) (K,4) (K,5) (K,6) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 S x X C = cara K = coroa

3.1 Exemplo Adicional 2 (A2): v.a. cont´ınua

◮ Considere que as poss´ıveis sa´ıdas de um dado experimento s˜ao n´umeros reais entre 0 e 12: S = {0 < s ≤ 12}

◮ Vamos definir a seguinte v.a.: X = X(s) = s2. ◮ A v.a. X mapeia S no conjunto S_X = {0 < x ≤ 144}

0 3 9 9 6 12 144 36 x X

3.1 Exemplo A3 - Disco graduado

Suponha que um disco graduado possa ser girado em torno do seu centro. Se o disco for dividido em n setores iguais, qual a

probabilidade do disco parar no setor i?

PSfrag _n−1

0 1

2

◮ A probabilidade para todo ivaleP (i) = 1/n; ◮ Se o n´umero de setores for aumentado, teremos:

3.1 Exemplo A3 - Disco graduado (continua¸c˜ao)

◮ O que se pode calcular ´e a probabilidade do disco parar em um certo setor (um certo intervalo);

◮ Se definirmos a v.a. X como o ˆangulo em que o disco para, ent˜ao 0 ≤ X < 2π P (X = x) = 0,∀x mas P (θ₁ ≤ X ≤ θ₂) = θ2− θ1 2π Conclus˜ao:

Para uma v.a. cont´ınua X, nenhum valor poss´ıvel dessa v.a. tem probabilidade positiva, ou seja, P (X = x) = 0 para qualquer valor de x poss´ıvel

3.1 Exemplo 3.6

Suponha que selecionemos casais aleatoriamente e fa¸camos um teste sangu´ıneo em cada pessoa at´e encontrarmos um marido e mulher com o mesmo fator Rh.

Seja a v.a.

X = n´umero de testes a ser realizado. Os poss´ıveis valores de X s˜ao

SX = {2, 4, 6, 8, · · · }

Como os poss´ıveis valores de X foram listados em sequˆencia, X ´e uma v.a. discreta.

3.2 Defini¸c˜ao

Adistribui¸c˜ao de probabilidadede uma v.a. discreta ´e definida para todos os n´umeros x de modo que

P [X = x] = P (todos s ∈ S : X(s) = x) Para cada valor poss´ıvel x da v.a. X, a distribui¸c˜ao de

probabilidade especifica a probabilidade de observar aquele valor quando o experimento for realizado.

As seguintes condi¸c˜oes s˜ao necess´arias para todas as distribui¸c˜oes de probabilidade:

◮ P [X = x] ≥ 0 ◮ P

todos os poss´ıveis xP [X = x] = 1

Voltando ao Exemplo A1 (com dado e moeda honestos), temos P [X = −1] = 1

3.2 Exemplo 3.7

A Sala Para o Aluno da Poli tem seis computadores reservados para os alunos da disciplina de Probabilidade.

SejaX o n´umero de computadores que est˜ao em uso em determinado momento do dia. Suponha que a distribui¸c˜ao de probabilidade de X seja dada pela tabela a seguir

x 0 1 2 3 4 5 6

P [X = x] 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10 Deseja-se calcular a probabilidade de:

◮ no m´aximo 2 computadores estarem em uso ◮ pelo menos 3 computadores estarem em uso ◮ ter entre 2 e 5 (inclusive) computadores em uso ◮ ter mais que 2 e menos que 5 computadores em uso

3.2 Exemplo 3.7

Resolu¸c˜ao: Vamos calcular a probabilidade de: ◮ no m´aximo 2 computadores estarem em uso

P (X ≤ 2) = P (X = 0 ou X = 1 ou X = 2)

= P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] = 0,05 + 0,10 + 0,15 = 0,30 ◮ pelo menos 3 computadores estarem em uso

P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 0,30 = 0,70 ◮ ter entre 2 e 5 (inclusive) computadores em uso

P (2 ≤ X ≤ 5) = P (X = 2 ou X = 3 ou X = 4 ou X = 5) = 0,75 ◮ ter mais que 2 e menos que 5 computadores em uso

3.2 Exemplo 3.8

Seis lotes de componentes est˜ao prontos para serem entregues por um fornecedor. O n´umero de componentes com defeito em cada lote ´e mostrado a seguir

Lote 1 2 3 4 5 6

N´umero de componentes com defeito 0 2 0 1 2 0 Um desses lotes ´e selecionado aleatoriamente para entrega a um determinado cliente. SejaX o n´umero de pe¸cas com defeito no lote selecionado. Determine a distribui¸c˜ao de probabilidade de X.

3.2 Exemplo 3.8

Resolu¸c˜ao: Os trˆes valores poss´ıveis de X s˜ao 0, 1 e 2. Dos seis eventos igualmente simples, trˆes resultam em X = 0, um em X = 1 e outros dois em X = 2. Ent˜ao:

◮ P [X = 0] = P (se Lote 1 ou 3 ou 6 ´e selecionado) = 3 6 = 0,500

◮ P [X = 1] = P (se Lote 4 ´e selecionado) = 1

6 = 0,167 ◮ P [X = 2] = P (se Lote 2 ou 5 ´e selecionado) = 2

3.2 Exemplo 3.9

Vamos determinar se a pr´oxima pessoa a comprar um computador em uma loja de eletrˆonicos adquire um notebook ou um desktop. Seja

X = 

1 se o cliente compra um desktop 0 se o cliente compra um notebook Se 20% de todas as compras da semana correspondem a um desktop, determine a distribui¸c˜ao de probabilidade de X.

3.2 Exemplo 3.9

Resolu¸c˜ao: P [X = x] =    0,8 se x = 0 0,2 se x = 1 0 se x 6= 0 ou x 6= 1 Gr´afico de linhas da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

1 0 0,8 0,2 P [X = x] x

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao descreve como o total da massa de probabilidade igual a 1 ´e distribu´ıda nos diversos pontos ao longo do eixo dos poss´ıveis valores da v.a.

3.2 Exemplo 3.12

Iniciando em um hor´ario fixo, observamos o sexo de cada crian¸ca nascida em um determinado hospital at´e que nas¸ca um menino (H). Seja p = P (H), presuma que nascimentos sucessivos sejam independentes e considere a v.a.

X = n´umero de nascimentos observados. Determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X.

3.2 Exemplo 3.12

Resolu¸c˜ao: Observe que: P [X = 1] = P (H) = p P [X = 2] = P (M H) = P (M ) · P (H) = (1 − p)p P [X = 3] = P (M M H) = P (M ) · P (M ) · P (H) = (1 − p)2_p .. . ... P [X = x] =  (1 − p)x₋₁ p, x = 1, 2, 3, . . . 0, caso contr´ario

Oparˆametro p pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. A express˜ao geral de P [X = x] descreve afam´ılia de distribui¸c˜oes geom´etrica.