RELATIVIDADE
O movimento é um conceito relativo que deve ser sempre referido a um referencial específico, escolhido pelo observador. Desde que diferentes observadores podem usar diferentes referenciais, é importante saber como relacionar suas observações. Um experimentador normalmente escolhe um referencial no qual a coleta e análise de dados sejam realizadas mais facilmente.
Durante séculos físicos e filósofos discutiram a possibilidade de definir-se um referencial absoluto. Durante este período foi introduzido o conceito de éter. Nesta parte do curso mostraremos a irrelevância desta discussão para definição de um referencial absoluto.
VELOCIDADE RELATIVA
Sejam dois objetos A e B, e um observador O, que usa como referencial os eixos XYZ (veja Figura 1).
Fig. 1 – Definição de velocidade relativa As velocidades de A e B relativas a O são:
= = ) 1 ( dt r d V dt r d V B B A A ! ! ! !
As velocidades relativas (variação dos vetores rAB ! e BA r! ) entre A e B são: = = ) 2 ( dt r d V dt r d V AB AB BA BA ! ! ! ! onde − = = − = = ) 3 ( B A AB A B BA r r A B r r r B A r ! ! ! ! ! ! ! !
sendo r!AB =−r!BA,assim V!BA =V!AB (4). Derivando as
equações (3) temos: − = − = dt r d dt r d dt r d dt r d dt r d dt r d B A AB A B BA ! ! ! ! ! !
. Usando as equações (1) e (2) obtemos:
− = − = ) 5 ( B A AB A B BA V V V V V V ! ! ! ! ! !
A equação (5) mostra que a velocidade relativa de dois corpos é a subtração das velocidades relativas ao observador.
Podemos analisar também como se determina a aceleração relativa. Derivando as equações (5) temos:
) 6 ( A B BA A B BA a a a dt V d dt V d dt V d! ! ! ! ! ! − = ⇒ − = Para AB temos: a!AB =a!A −a!B
MOVIMENTO RELATIVO DE TRANSLAÇÃO UNIFORME
Consideremos dois observadores O e O’, movendo-se um em relação ao outro, com movimento uniforme de translação. O observador O vê o observador O’ mover-se com velocidade V!, enquanto O’ vê O mover-se com velocidade V− !. A nossa intenção é descrever o movimento de um objeto visto pelos dois observadores, por exemplo, o caso de dois observadores, um na plataforma e outro no trem se deslocando em relação a plataforma, que observam o vôo de um avião. Consideremos a Figura 2 a seguir:
Fig. 2 – Referenciais em movimento relativo de translação uniforme.
Vamos admitir que para t =0, O coincide com O’, de modo que, sendo v!a velocidade constante de O’ com relação a O temos:
t v O O! '=!
Considerando ux,uy,uzcomo vetores unitários nas direções X, Y e Z respectivamente, podemos escrever:
v u
v= x
Analisando a Figura 2 temos OA! =OO!'+OA!. Como OA! =r!,OA! =r!' e OO!'=v!t, a relação entre os vetores posições das medidas de O e O’ é:
) 7 ( ' r vt r! = !−!
A equação (7) pode ser escrita na forma escalar da seguinte forma:
= = = − = ) 8 ( ' ' ' ' t t z z y y vt x x
Este conjunto de equações é denominado de TRANSFORMAÇÃO DE GALILEU. A velocidade V!de A relativa a O (medida por) é:
dt dz u dt dy u dt dx u dt r d V x y z ! ! ! ! ! + + = =
A velocidade 'V! de A relativa a O’ (medida por) é:
dt dz u dt dy u dt dx u dt r d V' ' !x' ' !y' ' !z' ' ! ! = = + +
Note que escrevemos
dt
dr' pois admitimos t=t', assim,
' ' ' dt dr dt dr = . Derivando a equação (7) temos: ) 9 ( ' V v V! = !−!
Escrevendo a equação (9) na forma escalar temos: ) 10 ( ' ' ' ' ' ' = = − = z z y y x x V V V V v V V
O conjunto de equações (10) representa a TRANSFORMAÇÃO DE GALILEU para as velocidades de um corpo medida por dois observadores em movimento relativo de translação.
Se o movimento de A é paralelo ao eixo OX temos; V'y'=Vy =V'z'=Vz =0, assim )
11 ( ' V v
V = −
Se o movimento de A é paralelo ao eixo OY, temos Vx =Vz =0, Vy =V,então , 0 ' ' , 'x'=−vV y'=V e V z'= V assim ) 12 ( ' V2 v2 V = +
As acelerações de A relativas a O e O’ são ' ',
dt V d a e dt V d a ! ! ! ! = = respectivamente. Derivando a equação (9) temos:
) 13 ( ' ' ' a a dt V d dt V d dt v d dt V d dt V d! = ! − ! ⇒ ! = ! ⇒ ! = ! pois =0 dt v d!
porque v!é constante. Na forma escalar podemos escrever:
= = = ) 14 ( ' ' ' ' ' ' z z y y x x a a a a a a
O conjunto de equações (14) mostra que a aceleração de uma partícula é a mesma para todos os observadores em movimento relativo de translação uniforme (referenciais inerciais).
Consideremos dois observadores O e O’ com movimento relativo de rotação e sem movimento relativo de translação. Admitamos, para simplificar, que os referenciais O e O’ têm origem coincidentes (veja Figura 3).
Fig. 3 – Referenciais em movimento de rotação uniforme.
O observador O, utilizando o referencial XYZ, nota que o referencial X’Y’Z’, ligado a O’, gira com velocidade angular ω!. Para O’, a situação é justamente contrária; O’ observa o referencial XYZ girar com velocidade angular ω!. O vetor posição da partícula A no referencial O é dado por:
) 15 ( z u y u x u r x y z ! ! ! != + +
A velocidade de A medida por O será:
) 16 ( dt dz u dt dy u dt dx u dt r d V !x !y !z ! ! + + = =
De modo análogo, o vetor de A em O’ é:
) 17 ( ' ' ' ' ' 'x u y u z u r! = !x +!y +!z
Note que nesta relação, o vetor r! é igual a 'r! , pois as origens são coincidentes. A
velocidade de A, medida por O’ será:
) 18 ( ' ' ' ' ' ' ' dt dz u dt dy u dt dx u dt r d V !x !y !z ! ! + + = =
O observador O’ admite que seu referencial X’Y’Z’ não gira, e portanto, considera os vetores unitários constantes em direção. Entretanto, o observador O observa o referencial X’Y’Z’ girando, e portanto os vetores unitários não são constantes em direção, assim a derivada temporal da equação (17) será:
" ) 19 ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' # # # # $ # # # # % & ! ! ! # # # # $ # # # # % & ! ! ! ! ! ! ! ! r x z y x V z y x V z dt u d y dt u d x dt u d dt dz u dt dy u dt dx u dt r d ω + + + + + =
As extremidades dos vetores ux',uy' e uz'
! !
! têm em relação a O um movimento circular uniforme com velocidade angular ω!. Isto significa que
dt u d!x'
velocidade de um ponto tangencial ao círculo de raio unitário de O, movendo-se em movimento circular uniforme, com velocidade angular ω!. Assim, utilizando que
r x V! =ω! !, temos: = = = ' ' ' ' ' z z y y x x xu dt u d u x dt u d u x dt u d ω ω ω ! ! ! ! ! ! ! !
Trabalhando os três últimos termos da equação (19) temos:
) 20 ( ) ' ' ' ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' r x z u y u x u x z u x y u x x u x z dt u d y dt u d x dt u d z y x z y x z y x ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ω ω ω ω ω + + = + + = = + +
Substituindo a equação (20) na equação (19) e utilizando as equações (16) e (18) obtemos: ) 21 ( ' xr V V! = !+ω! !
A equação (21) relaciona as velocidades V! eV!'de A, registradas pelos observadores O e O’, em movimento relativo de rotação.
Vamos analisar agora as acelerações. A aceleração de A medida por O será: ) 22 ( dt dV u dt dV u dt dV u dt V d a z z y y x x ! ! ! ! ! = = + +
A aceleração de A medida por O’(ignora a rotação) será:
Derivando a equação (21), considerando ω!constante obtemos: ) 24 ( ' dt r d x dt V d dt V d a ! ! ! ! != = +ω como V' ux' uy' uz' ! ! ! ! + + = podemos escrever : :
A soma dos 3 primeiros termos da equação acima é a!'(equação 23). A soma dos 3 últimos termos será:
, Portanto ' a' xV (25) dt V d! ! ! ! ω + = , porém V V xr dt r d! ! ! ! ! ω + =
= ' . Fazendo o produto vetorial desta expressão por ω! obtemos:
) 23 ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' dt dV u dt dV u dt dV u dt V d a z z y y x x ! ! ! ! ! = = + + ' ' ' # # # # # $ # # # # # % & ! ! ! # # # # # $ # # # # # % & ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' V x z u x z y u x y x u x x a z z y y x x V dt u d V dt u d V dt u d dt dV u dt dV u dt dV u dt V d z y x ω ω ω ω + + + + + =
(
V' xr)
xV x( )
xr (26) x dt r d x ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ω ω ω ω ω ω = + = +Substituindo as equações (25) e (26) na equação (24) obtemos:
( )
' 2 '( )
(27) ' ' ' #$ #% &! ! ! $ % &! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Centrípeta Coriolis r x x V x a a r x x V x V x a a = +ω +ω +ω ω ⇒ = + ω +ω ωA equação (27) relaciona as acelerações a!ea!'relativas aos observadores O e O’ em movimento relativo de rotação uniforme. O segundo termo é a aceleração de CORIOLIS e o terceiro termo é a aceleração CENTRÍPETA. As acelerações de Coriolis e Centrípeta resultam do movimento relativo de rotação dos observadores. Estas acelerações originam as denominadas forças FICTÍCIAS. Veja interessantes applts nos endereços a seguir:
http://www.atmos.uiuc.edu/courses/atmos100/applet_lists/applets/coriolis/cor.html http://www3.adnc.com/~topquark/fun/JAVA/coriolis/coriolis.html
A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ
No fim do século XIX, ainda se admitia o espaço vazio da matéria e cheio com o éter, houve muita discussão para saber-se como os corpos se moviam através deste éter e como esse movimento afetaria a velocidade da luz medida em relação a Terra. No início, os físicos admitiram que as vibrações deste éter hipotético estavam relacionadas com a luz, do mesmo modo que as vibrações do ar estavam relacionadas com o som. Supondo o éter estacionário, a velocidade da luz relativa ao éter tinha o valor c=2,9979x108ms−1. Se a Terra se movesse através do éter sem perturbá-lo, então a velocidade da luz relativa a Terra deveria depender da direção de propagação da luz. Por exemplo, seria c−vpara um raio de luz se propagando na mesma direção e sentido do movimento da Terra e c+v para uma propagação em sentido oposto. Todavia, se a trajetória da luz observada da Terra for perpendicular ao movimento terrestre sua velocidade relativa à Terra seria
2 2
v
c − .
Em 1881, os físicos Michelson e Morley iniciaram uma série de experimentos para medir a velocidade da luz em diferentes direções relativas à Terra. Eles verificaram que a velocidade da luz era a mesma em todas as direções. No entanto, a transformação de Galileu indicava que nenhum corpo poderia ter a mesma velocidade relativa a dois observadores em movimento uniforme relativo, e que a velocidade relativa depende da direção do movimento do observador. Alguns físicos da época tentaram dar outra explicação. A nova explicação supunha que a Terra arrastava o éter com ela, assim como arrasta a atmosfera; desse modo, próximo à superfície da Terra, o éter estaria em repouso relativo à Terra. Essa nova explicação não foi bem sucedida, pois o arrasto éter deveria se manifestar em outros fenômenos relacionados com a propagação da luz. Tais manifestações jamais foram observadas. Estes resultados decretaram o fim da idéia do éter.
1. Todas as leis da física devem ser as mesmas (devem permanecer invariantes) para todos os observadores em movimento relativo uniforme. 2. A velocidade da luz no vácuo é constante (c≅300.000km/s)
independentemente da velocidade da fonte ou do observador.
Einstein admite a velocidade da luz como um invariante físico, tendo o mesmo valor para todos os observadores. Admitida esta hipótese, a transformação de Galileu não é mais válida para situações que envolvam a velocidade da luz. Em particular a equação que relaciona o tempo (discutiremos isto mais adiante). Assim, devemos substituir a transformação de Galileu por outra transformação, de modo que a velocidade da luz seja invariante. Vamos admitir que os observadores O e O’ estejam em movimento com velocidade relativa v e que X e X’ estejam dirigidos ao longo do movimento relativo dos dois observadores, e que os eixos YZ e Y’Z’ permaneçam respectivamente paralelos (veja Figura 4).
Fig. 4 – Referenciais em movimento relativo de translação uniforme.
Admitamos também que ambos os observadores acertam seus relógios de modo que, quando estiverem em coincidência, t =t'=0.
Suponhamos também, que no instante t=0, um pulso luminoso seja emitido a partir da posição comum aos dois observadores
(
x= x'=0)
.Decorrido o intervalo de tempo t , o observador O notará que a luz alcançou o ponto A à distância r =ct, onde c é a velocidade da luz. Porém
) 28 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t c z y x z y x r = + + ⇒ + + =
Analogamente, o observador O’ notará que a luz atingiu o ponto A depois do intervalo de tempo t', mas também com velocidade c , a uma distância r'=ct'. No entanto
A simetria do problema mostra que y'= ye z'=z. O observador O admite que vt
OO'= , sendo assim, devemos ter x'=vt em x'=0. O problema agora consiste em determinar uma transformação que relacione as equações (28) e (29), para isto, vamos admitir que x'=k(x−vt) sendo k uma constante a ser determinada.
Também vamos admitir que t'=a
(
t−bx)
onde a e b são constantes a serem determinadas (note que para transformação de Galileu k =a=1eb=0). Fazendo as substituições na equação (29) temos:(
)
[
] [ ] [ ]
[
(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t c c v k a z y xt c ba v k x c a b k x b bxt t a c z y t v vxt x k bx t a c z y vt x k − = + + − − − + − = + + + − − = + + −Comparando este resultado com a equação (28) obtemos o seguinte sistema de equações: − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 c v k a c ba v k c a b k
A solução deste sistema (confira!) é:
) 30 ( 1 1 2 2 2 = − = = c v b c v a k
Com a determinação das constantes podemos agora escrever a nova transformação, compatível com a invariância da velocidade da luz:
(
)
(
)
) 31 ( 1 ' ' ' 1 ' 2 2 2 2 2 − − = − = = = − − = − = c v c vx t bx t k t z z y y c v vt x vt x k xEste conjunto de equações é denominado de TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ, o primeiro a obtê-las por volta de 1890).
Como todos nós sabemos a velocidade da luz c é uma velocidade muito grande quando comparada com as velocidade encontradas na Terra, no nosso dia a dia a razão
c
v é muito pequena, e os termos
2 2 2 c vx e c v são desprezíveis, e ké
Fig. 5 – variação de k com
c v .
Desta forma, não há diferença entre as transformações de Lorentz de Galileu. No entanto, para o estudo de partículas em altas velocidades devemos usar a transformação de Lorentz. A transformação de Lorentz representa uma mudança conceitual profunda com relação ao espaço e ao tempo.
TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES
A velocidade de A medida por O tem componentes:
= = = ) 32 ( dt dz V dt dy V dt dx V z y x
De modo análogo, as componentes da velocidade de A, medidos por O’ são:
= = = ) 33 ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' dt dz V dt dy V dt dx V z y x
Note que usamos dt'e não dt, pois t e t', neste caso, são diferentes. Derivando e trabalhando algebricamente as equações (40) obtemos (confira!):
− − = − − = = = − − = − − = ) 34 ( 1 1 1 ' ' ' 1 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dt c v c vV c v c vdx dt dt dz dz dy dy dt c v v V c v vdt dx dx x x
Na primeira e na última equação dx foi substituído por Vxdt de acordo com a equação (41). Assim, dividindo as 3 primeiras das equações (34) pela quarta, obtemos: − − = = − − = = − − = = ) 35 ( 1 1 ' ' ' 1 1 ' ' ' 1 ' ' ' 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 ' c vV c v V dt dz V c vV c v V dt dy V c vV v V dt dx V x z z x y y x x x
Este conjunto de equações constitui a transformação de Lorentz para as velocidades de um corpo, medida por dois observadores em movimento relativo de translação uniforme.
Para velocidades pequenas comparadas à velocidade da luz, as equações (44) ficam reduzidas às equações (10). Para partículas movendo-se na direção X, temos Vx =V,Vy =Vz =0. Assim, V'x'=V', pois as duas outras componentes de
'
V são nulas, logo substituindo nas equações (40) obtemos: ) 36 ( 1 ' 2 c vV v V V − − =
EXEMPLO: Qual a velocidade para o observador O’ de um sinal luminoso propagando-se na direção X
Solução: Neste caso temos V =c, utilizando a equação (45) obtemos
( )
( )
c c v c v c c vc v c V = − − = − − = 1 1 1 ' 2Este resultado é compatível com a afirmação de que a velocidade da luz é a mesma para os dois observadores O e O’.
CONSEQUÊNCIAS DOS POSTULADOS DE EINSTEIN O fator de escala 2 2 1 c v
k = − sugere que os comprimentos dos corpos nos intervalos de tempo entre eventos medidos por observadores em movimento relativo são diferentes.
CONTRAÇÃO DO COMPRIMENTO: Para o observador medir o comprimento de um objeto movendo-se relativamente a ele, as posições dos dois pontos extremos devem ser registrados simultaneamente. Consideremos uma barra em repouso relativo a O’ e paralela ao eixo O’X’. Se as extremidades forem a e b, seu comprimento medido por O’ é L'= x'b−x'a. A simultaneidade não é essencial para O’ porque ele vê a barra em repouso. No entanto, o observador O, que vê a barra em movimento deve medir as coordenadas xa exbdos pontos extremos no mesmo instante t , obtendo L= xb −xa. Utilizando a primeira das equações (31) obtemos:
− − = − − = ) 37 ( 1 ' 1 ' 2 2 2 2 c v vt x x c v vt x x b b a a
Note que escrevemos o mesmo t em ambas as expressões. Fazendo a subtração das equações (37) obtemos:
) 38 ( ' 1 1 1 1 1 ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c L v L c v L c v x x c v vt x c v vt x x x L b a b a a b ⇒ = − − = − − = − − − − − = − = Como o fator 2 2 1 c v
− é menor do que um, temos uma situação na qual L é menor do que 'L , ou seja, o observador O, que vê o objeto em movimento mede
um comprimento menor do que o observador O’, que vê o objeto em repouso.
DILATAÇÃO DO TEMPO: Consideremos dois eventos que ocorrem no mesmo
local x'relativo a um observador O’. O intervalo de tempo entre estes dois eventos é T'=t'b−t'a. Para o observador O, o qual O’ se move com velocidade v no sentido positivo do eixo X, o intervalo de tempo é T =tb −ta. Para determinarmos a relação entre os instantes de ocorrência dos dois eventos, registrados por ambos observadores, utilizamos a última equação (37), assim,
− + = − + = 2 2 2 2 2 2 1 ' ' 1 ' ' c v c vx t t c v c vx t t b b a a
Note que escrevemos o mesmo x' em ambas as expressões. Subtraindo t de a
b t obtemos: ) 39 ( 1 ' 1 ' 1 ' ' 1 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c v T c v t t c v c vx t c v c vx t t t T b a b a a b − = − − = − + − − + = − =
Para o observador O os dois eventos ocorrem em duas posições diferentes no espaço. Como o fator
2 2 1 1 c v −
é maior do que um, a equação (39) indica que T
é maior do que 'T . Desta forma, quando os eventos ocorrem em movimento
relação ao observador parecem ter uma duração maior do que quando ocorrem em repouso relativo ao observador. Veja interessantes applets nos sites a seguir: http://www.ecm.ub.es/team/Tiemporel.html
http://www.her.itesm.mx/academia/profesional/cursos/fisica_2000/FisicaII/PHYSE NGL/timedil1.htm
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/muon.html#c1 http://charmnt.evansville.edu/applets/relativity.html
A dilatação do tempo e a contração do comprimento são conseqüências diretas da invariância da velocidade da luz.
Podemos mostrar de uma forma mais detalhada a dilatação do tempo e a contração do comprimento. Consideremos dois observadores O e O’ em movimento relativo com velocidade v ao longo do eixo X (veja Figura 6).
Fig. 6 – Observação de um pulso luminoso por dois observadores em referenciais diferentes.
M’ é um espelho em repouso relativo a O’ e à distancia L da origem ao longo do eixo Y’. essa distancia é a mesma medida por O’, visto que o espelho está em uma posição perpendicular à direção do movimento. Suponhamos que, quando O e O’ estão em coincidência, um sinal luminoso é emitido a partir de suas origens comuns, em direção ao espelho. Para o referencial que vê o espelho em movimento, o sinal luminoso deve ser emitido em ângulo que depende da velocidade do espelho e da distância L . Sejam T eT' os tempos registrados por O e O’, que o sinal luminoso leva para voltar depois de ter sido refletido no espelho. No sistema O’, a luz voltará à origem, mas, no sistema O, a luz interceptará o eixo X a uma distancia vT da origem. Relativo a O’, o caminho do sinal luminoso é
L O M O' ' '= e o tempo decorrido é c L
T'=2 , pois para O’ a velocidade da luz é c . Relativamente ao observador O, para o qual a velocidade da luz também é c , o caminho do sinal luminoso é OPO', e assim, para O, a relação de tempo é:
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' 1 1 2 1 4 1 4 4 4 4 4 4 2 2 c v T T c v c L c v c L c v c L v c L T v c T L v c T L L T v T c L vT cT − = ⇒ − = − = − = − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ + = Este resultado corresponde a equação (39), e foi obtido como conseqüência da invariância da velocidade da luz para todos os observadores inerciais.
Suponhamos agora, que o espelho M’ colocado ao longo do eixo X’ e orientado perpendicularmente a ele. Consideremos o espelho em repouso no sistema O’ e colocado a distancia L’ de O’ (veja Figura 7). Veja interessante applet no seguinte endereço eletrônico:
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/relativity/relativity.html
Fig. 7 – Espelho se movendo em relação a dois referenciais diferentes. Novamente, quando O e O’ coincidem, um sinal luminoso é emitido em direção ao espelho. Os tempo T e 'T para luz voltar são medidos. Para O’ a velocidade da
luz é c e o intervalo de tempo
c L
mesma para o observador O é L . O tempo t , para luz ir de O ao espelho é obtida 1 na relação:
(
)
v c L t L v c t L vt ct vt L ct − = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = 1 1 1 1 1 1pois M’ percorre a distancia vt . Após a reflexão, O mede um tempo 1 t para luz 2
alcançar O’, que durante este tempo, percorre a distância vt . 2
(
)
v c L t L v c t L vt ct vt L ct + = ⇒ = + = ⇒ = + ⇒ − = 2 2 2 2 2 2Para O, o tempo total necessário para luz alcançar O’ será:
(
) (
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 c v c Lc T c v c Lc v c Lc v c Lv Lc Lv Lc v c v c L v c L v c L v c L t t T − = ⇒ − = − = − − + + = − − + + = − + − = + =Porém, T e T correspondem a dois eventos que ocorrem no mesmo local ' relativamente O’, e estão relacionados pela equação (39):
(
)
(
(
)
)
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ' 1 1 1 ' 1 1 ' 2 1 1 2 c v L L c v c v L L c v c L c v c L ⇒ = − − − = ⇒ − = −Este resultado corresponde à equação (38). Exercícios:
1. Um avião A voa para Norte a 300 km/h com relação ao solo. Durante isso, outro avião B voa na direção noroeste formando um ângulo de 60° com o norte a 200 km/h com relação ao solo. Calcular a velocidade de A relativa a B e de B relativa a A.
2. No ar a 25° C, a velocidade do som é 358 m/s. Calcular a velocidade relativa a um observador que se move a 90 km/h: a) afastando-se da fonte, b) aproximando-se da fonte, c) perpendicularmente, d) seguindo uma direção tal que o som pareça propagar-se transversalmente com relação ao observador móvel. Admita a fonte e o ar em repouso relativo ao solo.
3. Uma régua de 1 m move-se paralelamente ao seu comprimento com velocidade v=0,6crelativamente a você. a) Determine o comprimento da régua medida por você. b) Quanto tempo leva a régua para passar por você?
4. Jatos supersônicos atingem velocidade máximas de cerca de 3x10−6c. a) De que percentagem você observará tal jato contraído em comprimento? b)
Durante um tempo de 1 ano=3,16x107 segundo no seu relógio, que tempo transcorrerá no relógio do piloto? Quantos minutos são perdidos no relógio do piloto em um ano do seu tempo.
