Lógica Nebulosa (Fuzzy Logic) (Introdução)

Universidade Estadual Paulista – UNESP Campus de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Elétrica

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Carlos R. Minussi

Anna Diva Plasencia Lotufo

Ilha Solteira-SP, junho-2011.

Lógica Nebulosa (Fuzzy Logic)

Lógica Nebulosa: Resumo

• Lotfi Zadeh (1965) desenvolveu o conceito de conjunto

nebuloso

(fuzzy set) baseado em pesquisas

desenvolvidas por Lukasiewisz;

• O cérebro humano consegue resolver questões que

envolvem imprecisões:

• Fuzzy set: modelagem matemática destes eventos;

• Mais recentemente surgiu o conceito de Rough Set (FL

é um caso particular de RS)

Lógica Binária Lógica Nebulosa Rough Sets Conjuntos Rústicos (Lógica Rústica)

• Projetos: - entrada / saída;

- facilmente implementados (sistemas não­

lineares;

-

utilização de declarações if – then

-

variáveis lingüísticas.

• Grau (função) de Pertinência: m ˛ [0, 1]

Pertinência nula Pertinência completa

• Exemplo:

Variável

“Temperatura pode ter vários estados:

Fria, fresca, moderada, morna, quente, muito

quente

Variáveis lingüísticas

• A mudança de um estado para outro não precisa ser

rigorosamente definida;

• A idéia de : que é muito frio

que é morno

ou que é quente

está sujeita a diferentes interpretações.

• Regras:

se

<

proposição nebulosa

>,

então

, <

proposição nebulosa

>

if

then

• Exemplo:

“X é Y”ou “X não é Y”, X sendo uma variáveis escalar

e Y sendo um conjunto nebuloso associado com a

variável X.

• Formas de Funções de Pertinência:

1) Triangular

Exemplo:

m(15

o

)

_baixo

=

m(15

o

)

_moderado

=

m(15

o

)

_médio

=

m(15

o

)

_alto

=

0,7

0,3

0

0

2) Gaussiana

3) Trapezoidal

4). Etc.

4

1. Controlador Nebuloso

Figura 1.1.

1.1. Controlador Nebuloso – Exemplo 1

Problema:

Determinar o valor da variável de controle (u(tk)) correspondente ao estado

medido em um instante tk, considerando-se os dados e ilustrações a seguir

relacionados:

e(tk) = 0,25

Δe(tk) = 0,5.

sendo:

e(tk) = erro do processo medido em tk

Δe(tk) = variação do erro do processo medido em tk

Δ e(tk) – e(tk-1).

Suposição: Considerar as funções de pertinência para o erro, variação do erro e

controle iguais. Esta suposição é válida, tendo em vista que as variáveis envolvidas encontram-se normalizadas (X / alguma norma).

Figura 1.1.2. Funções de pertinência.

Quadro 1.1.1. Conjunto de regras.

Regra Sentença

1 IF e = ZE AND Δe = ZE, THEN u = ZE

2 IF e = ZE AND Δe = SP, THEN u = SN

3 IF e = SN AND Δe = SN, THEN u = LP

4 IF e = LP OR Δe = LP, THEN u = LN

Quadro 1.1.2. Matriz discreta: Relação entre variáveis (estado ou controle) e os graus de pertinência associados.

μ \ Variável -1 -0,75 -0,5 -025 0 0,25 0,5 0,75 1 μLP 0 0 0 0 0 0 0,3 0,7 1 μSP 0 0 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3 μZE 0 0 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0 μSN 0,3 0,7 1 0,7 0,3 0 0 0 0 μLN 1 0,7 0,3 0 0 0 0 0 0 ↑ ↑ e Δe

Quadro 1.1.3. Valores do grau de pertinência. μ e = 0,25 Δe = 0,5 μLP 0 0,3 μSP 0,7 1 μZE 0,7 0,3 μSN 0 0 μLN 0 0

Quadro 1.1.4. Cálculo da saída (ação de controle).

Regra Antecedente U μ μ u 1 ZE 0 0,3 0 2 SN -0,5 0,7 -0,35 3 LP 1 0 0 4 LN -1 0,3 -0,3 Total -0,65

u(tk) (Método Centroide) = -0,65 / (0,3 + 0,7 + 0 + 0,3)

= -0,5.

1.2. Controlador Nebuloso – Exemplo 2

Turbina à Vapor Entrada : Temperatura (T) e pressão (P)

Saída : Abertura da válvula (controle do fluxo de vapor) (V) Regras :

1 Se Pressão é Baixa e Temperatura é Fria, então, Abertura da Válvula é PM 2 Se Pressão é OK e Temperatura é Fria, então, Abertura da Válvula é ZR

Figura 2.1.1. sendo: NL = Negative Large NM = Negative Medium NS = Negative Small ZR = ZeRo PS = Positive Small PM = Positive Medium PL = Positive Large.

Figura 2.1.2.

NB. V corresponde ao valor da projeção do centro inércia na figura gerada pelo

conjunto de regras no eixo das abscissas.

3. Modificação das funções de pertinência

(Busca da otimização do desempenho do Controlador nebuloso)

• Existem vários caminhos para otimizar os controladores nebulosos. Entre eles, destacam-se:

1. modificar as funções de pertinência, aumentando, diminuindo ou modificando as inclinações das funções de pertinência em certas regiões em particular.:

♦ este método é particularmente utilizado quando se trabalha com sistemas não-lineares. Alguns controladores nebulosos possuem algoritmos (baseados em aprendizados) que modificam as funções de pertinência visando obter uma melhor resposta dinâmica do sistema;

4. Modificando as Inclinações das Funções de Pertinência

(Para funções de pertinência triangulares)

• Do exemplo de controle anterior (Exemplo 1) estreitando-se ZE, por exemplo, aumenta a resolução do controle em torno do set point

• A mudança em LP e SP, por outro lado, intensifica a resposta do controle quando e é positivo.

Figura 4.1. Funções de pertinência modificadas.

5. Emprego de Dispositivos Hedges

• Genericamente é da forma:

m A

sendo: m = agente modificador (advérbio)

A = conjunto nebuloso.

• Uso de palavras “muito”, “extremamente”, “mais ou menos”, etc., • Exemplo:

♦ very A = A2 ♦ more or less A = A1/2

♦ not A = 1 – A.

♦ μ A2 (X) = {μ A(x)} 2

♦ μ A1/2(X) = {μ A(x)} 1/2

♦ μ A - 1(X) = 1 - μ A(x).

Figura 5.1.

NB: na regra IF e = SP THEN u = LP, usando-se um hedge: IF e = very SP

THEN u = LP (very é um operador quadrático da função de pertinência sobre SP) proporciona variações (relativas):

- pequenas para valores de μ próximos de 1 - grandes para valores de μ pequenos.

Vantagens:

1. ao invés de modificar o conjunto de regras, o hedge modifica somente uma regra, enquanto que a modificação da inclinação da função de pertinência afeta todas as regras.

6. Sistemas Nebulosos Adaptativos

• Sistemas capazes de se adaptarem em consequência das mudanças ambientais.

• No caso do controle, são dispositivos capazes de se adaptarem em função de mudanças como parâmetros e condições operativas, e.g.:

♦ envelhecimento de componentes (mecânicos, elétricos, eletrônicos)

♦ em sistemas de energia elétrica (modelos não-lineares), o ponto de operação é alterado, ao longo do tempo, visando atender a demanda (consumo de energia);

♦ Exemplo: Durante o governo de Carter (Estados Unidos), por ocasião da tentativa de libertar americanos seqüestrados (em um avião) no Irã, um helicóptero caiu no deserto por motivo de que dispositivos de navegação e de controle falharam causados por condições ambientais adversas (mudança intensa de temperatura, umidade, etc.).

• Sistemas nebulosos convencionais apresentam desempenho semelhante aos controladores PID (Proporcional + Integral + Derivativo). Neste caso, podem não se adaptarem às mudanças graduais em seus ambientes de trabalho; • Deste modo, surge a necessidade de desenvolver controladores adaptativos.

No caso de controladores nebulosos adaptativos.

• O controlador nebuloso adaptativo, contém a mesma estrutura do controlador nebuloso convencional, acrescido de um mecanismo que permite implementar e gerenciar as modificações no conjunto de regras (mudança na inclinação das funções de pertinência (triangulares) e dispositivos hedges).

7. Problemas no Processo de Desnebulização Quando se

Utiliza o Método Baricentro (Centro de Gravidade)

Problemas:

1. tratamento de regras redundantes (cotas g1, g3, g4 e g7)

2. interseções entre conjuntos consequentes (áreas na cor cinza escuro).

• Considere o seguinte conjunto de regras nebulosas:

X--- Antecedente ---X X- Consequente-X Regra 0: If x0 = A0 and X1 = A1 and x2 = A2, then y = P0

Regra 1: If x0 = B0 and x2 = B2, then y = P0

Regra 2: If X1 = C1 and x2 = C2, then y = P1

Regra 3: If x0 = D0 and X1 = D1 then y = P2

Regra 4: If x0 = E0 and x2 = E2, then y = P2

Regra 5: If x0 = F0 and X1 = F1 and x2 = F2, then y = P2

Regra 6: If X1 = G1 and x2 = G2, then y = P3

Regra 7: If x0 = H0 then y = P3

• a figura gerada pelo conjunto de regras corresponde a figura em com cinza, cuja projeção do baricentro sobre o eixo das abscissas é valor da ação de controle “recomendada”;

• as cotas (alturas) (g0, g2, etc.) correspondem aos graus de pertinência,

respectivamente das regras 0, 1, 2, etc.;

• observa-se que somente g0, g2, g5 e g6 afetam a inferência que são as maiores

cotas sobre cada conjunto nebuloso (P0, P1, P2 e P3).

Solução: Empregar, por exemplo, o método Centroide Min-Max. Este método não será tratado aqui, visto que ele é habitalmente abordado na literatura especializada.

Abordagem Alternativa

• o centroide pode ser estimado da seguinte forma:

Centroide = = = n 1 i n 1 i μi / ) ui i μ ( sendo: n = número de regras

μi = grau de pertinência da regra i

ui = ação de controle recomendada referente à regra i.

NB: A ação recomendada (ui) aqui é considerada como sendo o valor da

projeção sobre a abscissa, correspondente ao valor máximo do conjunto nebuloso (μ = 1):

Figura 7.1.

NB.: 1. Os controladores via métodos de desnebulização baseados no centro de

gravidade possuem comportamento semelhante ao controladores PI (Proporcional+Integral).

Exemplo (já abordado anteriormente):

X = 3,9231 (cálculo exato)

Figura 7.2. X = (0,4 x 2 + 0,8 x 4) / (0,4 + 0,8)

= 3,34.

NB.: 1. Contudo este procedimento não elimina regras redundantes. Portanto, há

necessidade prévia de estabelecer corretamente o conjunto de regras (isento de redundâncias).

8. Granulação

• Como já abordado anteriormente, o uso das palavras pode ser visto como uma forma de quantização nebulosa ou, mais genericamente, como

granulação.

• Basicamente, a granulação envolve a substituição de uma restrição da forma: X = a

por uma restrição da forma:

X é A

sendo:

A = um subconjunto de U (conjunto universo de X)

Exemplo:

X = 2

pode ser substituído por:

X é pequeno.

• Na lógica nebulosa, a declaração X é A é interpretada como a caracterização de possíveis valores de X, em que A representa a distribuição de possibilidades. Assim, a possibilidade que X pode possuir um valor u é dada por:

poss{X = u} = μ A(u).

• Isto é, no senso em que X é μ A(u), com possibilidade sendo interpretada uma

fácil realização, podendo, também, ser interpretada como sendo uma restrição elástica sobre X.

X = 2 0 < X < 5 X é pequeno Temp = 85o temp > 85o temp é quente

X = a X ∈ A X é A*.

Outras generalidades ⎯⎯⎯⎯→

Figura 8.1 sendo:

singular, c granular e f granular = modos de granulação.

temp = temperatura

c Granular = granulação crisp

f Granular = granulação fuzzy (nebulosa).

9. Principais Conceitos

9.1. União

μ

A∪B

(x) =

μ

A

(x) ∨ μ

B

(x)

9.2. Interseção

μA∩B

(x) =

μA(x) ∧ μB(x)

9.3. Complemento

μ

_A

(x) = 1 − μ

A(x)

9.4. Relação de Equivalência

A = B ↔ μ

A(x) = μB(x)

9.5. Relação de Inclusão

A

⊂ B ↔ μ

A(x) < μB(x)

9.6. Lei de Negação Dupla

9.7. Leis de Morgan

____

B

A

∪ =

A

_

∩

B

_

____

B

A

∩

=

A

_

∪

B

_

Figura 9.1.

10. Operações Com Conjuntos Nebulosos

10.1.

Soma Algébrica

A

[+] B ↔ μ

A [ +] B(x) = μA(x) + μB(x) − μA(x) μB(x)

10.2.

Produto Algébrico

A

• B ↔ μ

A • B

(x) = μ

A

(x) . μ

B

(x)

10.3.

Soma Limitada

A

⊕ B ↔ μ

A ⊕ B

(x) = (μ

A

(x) + μ

B

(x)) ∧ 1

10.4.

Diferença Limitada

A

Θ B ↔ μ A Θ B

(x) = (μA(x) - μB(x)) ∨ 0

10.5.

λ-Complemento

_

A

λ

↔ μ

_

Aλ

(x) =

(1

-

μ

A

(x)) / ( 1+ λ μ

A

(x))

10.6.

As leis de Morgan aplicam-se à soma algébrica,

diferença algébrica e complemento:

_____ _ _

A

[+] B = A • B

____ _

_

A

• B = A [+] B

10.7.

No caso de λ-complemento, as leis de Morgan são:

____ _ _

(A

∪ B)

λ

_{= A}

λ

_{∩ B}

λ

____ _ _

(A

∩ B)

λ

= A

λ

∪ B

λ

10.8.

Lei de Morgan referente à dupla negação:

____

__

(A

λ

)

λ

= A .

10.9.

Quando o conjunto suporte é um conjunto finito, torna-se

conveniente utilizar as seguintes expressões:

Considere:

X

=

{

x

1

, x

2

, x

3

, ..., x

n

}.

O subconjunto A de X pode, então, ser expresso por:

A

=

n

(

x

_i

)

/

x

_i

1

i

μ

A

∑

=

=

μ

A(x1) / x1 + μA(x2) / x2 + ... +

μ

A(xn) / xn

10.10. Os termos de grau zero são eliminados.

O símbolo (+) significa

or

, por exemplo:

a / x1+ b /x1 = a ∨ b / x1

↑

Associado ao operador

max

.

10.11.

Assim, a

união

de dois conjuntos é encontrada através

da conexão com um símbolo (+).

Exemplo: Considere um conjunto que pode ser chamado

de grande composto por graus de pertinência em uma

variação de números inteiros compreendidos entre 1 e

10:

grande = 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1/9 + 1/10

e o conjunto em torno do valor médio é expresso por:

em torno do valor médio

= 0,4/3 + 0,8/4 + 1/5 + 0,8/6 + 0,4/7

então:

grande ∪ em torno do valor médio =

(0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1/9 + 1/10) +

(

0,4/3 + 0,8/4 + 1/5 + 0,8/6 + 0,4/7

)

= 0,4/3 + 0,8/4 + (0,2 ∨ 1)/5 + (0,4 ∨ 0,8)/6 + (0,7 ∨ 0,4)/7

+ 0,9/8 + 1/9 + 1/10

= 0,4/3 + 0,8/4 + 1/5 + 0,8/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1/9 + 1/10.

11. Regras Básicas de Inferência

1. x é A

A ⊂ B

⎯⎯⎯

x é B

2. Usualmente (x é A)

A ⊂ B

⎯⎯⎯⎯⎯⎯

usualmente (x é B)

3. Idade (Maria) é Jovem

sendo: Jovem é interpretada como sendo um conjunto

nebuloso ou, equivalentemente, como um predicativo

nebuloso. Portanto, podendo ser interpretado como:

“Maria não é velha”,

Jovem é um subconjunto do complemento de velho, que é:

μ

jovem

(u) ⊂ (1 - μ

velho

(u)), u ∈, e.g., [0, 100].

sendo:

μ

jovem

(u) e μ

velho

(u) são, respectivamente, funções de

pertinência de Jovem e de Velho considerando-se o

universo de abrangência o intervalo [0,100].

4. Regra Conjuntiva

x é A

x é B

⎯⎯⎯

x é A ∩ B

5. Produto Cartesiano

x é A

y é B

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(x, y) é A

x

B

sendo: (x, y) é uma variável binária e A

x

B é definida por:

μ

A x B(u,v) = μA(u) ∧ μB(v)

u ∈ U , v ∈ V

6. Regra de Projeção

(x, y) é R

⎯⎯⎯⎯

x é

x

R

sendo:

x

R a projeção da relação binária R no domínio de x

e definida por:

μ

xR (u) = supv μR (u,v)

u ∈ U e v ∈ V

em que:

μ

R

(u,v) = função de pertinência de R

sup

= supremo sobre v ∈ V.

7. Regra Composicional

X é A

(x,y) é R

⎯⎯⎯⎯

y é A

ο

R

sendo:

A

ο

R = composição da relação binária A com a relação

binária R defina por:

μ

A ο R

(v) 0 sup

u

(μ

A

(u)

∧

(μ

B

(u))

8. Modus Ponens

Proposição

1. Se x é A, então, y é B

Proposição

2. x é A’

Conclusão:

y é B’

(A e A’), (B e B´) não são necessariamente iguais.

9. Modus Ponens Generalizado

Proposição

1. x é A

Conclusão:

y é B

Exemplo: Se tomate é vermelho, então, tomate é maduro

Se tomate for muito vermelho, então, tomate

será muito maduro.

12. Matrizes e Grafos Nebulosos

• Matriz nebulosa:

A relação nebulosa R definidade sobre o espaço X

x

Y,

sendo:

X = { x

1

, x

2

, ..., x

n

}

Y = { y

1

, y

2

, ..., y

n

}

pode ser expressa na forma matricial:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

)

n

x

,

n

x

(

R

...

)

2

x

,

n

x

(

R

)

2

x

,

n

x

(

R

...

...

...

...

)

n

x

,

2

x

(

R

...

)

2

x

,

2

x

(

R

)

2

y

,

2

x

(

R

)

n

n

,

1

x

(

R

...

)

2

y

,

1

x

(

R

μ

)

1

y

,

1

x

(

R

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

μ

Exemplo

1:

A relação nebulosa “x possui forma

semelhante a y” pode ser expressa pela

matriz:

Pera

Banana

Maçã

Bola

Pera 1 0,2 0,6 0,6

Banana

0,2 1 0,1

0,1

Maçã 0,6 0,1

1 0,8

Bola 0,6 0,1 0,8 1

Exemplo

2: Quando a relação nebulosa sobre X = {a, b, c}

é:

R = 0,2/(a,a) + 1/(a,b) + 0,4/(a,c) + 0,6/(b,b) + 0,3/(b,c) +

1/(c,b)

+

0,8/(c,c)

a b

c

a 0,2 1

0,4

b 0 0,6 0,3

c 0 1 0,8

(Matriz

nebulosa)

(Grafo

nebuloso)

13. Operações com Relações Nebulosas

• Se R for uma relação em X

x

Y e S uma relação em Y

x

Z,

a composição de R e S, R, R

ο

S, é a relação em X

x

Z

definida por:

R

ο

S ↔ μ

_Rο S(x,z) =

∨ {μ

R (x,y) ∧ μS (y,z)}

y

(Composição max-min)

• Exemplo: Considere

X

= {x1, x2}, Y = {y1, y2, y3}, Z = {z1, z2}.

Se as relações nebulosas R e S são expressa

pelas seguintes matrizes, a composição R

ο

S

pode ser determinada como segue:

R

=

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

,

0

1

9

,

0

0

6

,

0

4

,

0

, S =

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

6

,

0

0

1

1

,

0

8

,

0

5

,

0

R

Ο

S =

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

,

0

1

9

,

0

0

6

,

0

4

,

0

Ο

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

6

,

0

0

1

1

,

0

8

,

0

5

,

0

=

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ) 6 , 0 1 , 0 ( ) 1 1 ( ) 8 , 0 9 , 0 ( ) 0 1 , 0 ( ) 1 , 0 1 ( ) 5 , 0 9 , 0 ( ) 6 , 0 0 ( ) 1 6 , 0 ( ) 8 , 0 4 , 0 ( ) 0 0 ( ) 1 , 0 6 , 0 ( ) 5 , 0 4 , 0 (

=

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ) 1 , 0 ( ) 1 ( ) 8 , 0 ( ) 0 ( ) 1 , 0 ( ) 5 , 0 ( ) 0 ( ) 6 , 0 ( ) 4 , 0 ( ) 0 ( ) 1 , 0 ( ) 4 , 0 (

=

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 5 , 0 6 , 0 4 , 0

.

NB

.: Outros tipos de composições podem ser considerados,

por exemplo:

• Composição min-max

R



S ↔ μ

R S(x,z) =

∧ {μ

R (x,y) ∨ μS (y,z)}

Y

____

_

_

R



S = R

Ο

S

14. Conjunto Nebuloso Normal

• Um conjunto nebuloso, cuja função de pertinência possui

grau 1, é chamada normal, ou seja:

A é chamado conjunto “normal” ↔ max μ

A

(x) = 1

x

∈ X

Figura 14.1 Conjuntos nebulosos normal e não-normal.

15. Conjunto nebuloso Convexo

• Quando o conjunto suporte é um conjunto de números

reais e a seguinte propriedade para todo x ∈ [a,b]:

μ

A

(x) > μ

A

(a) ∧ μ

A

(b), então,

A é chamado conjunto convexo.

Figura 15.1. Conjunto convexo.

A

é um conjunto convexo em [a,b].

16. Produto Direto de Conjuntos Nebulosos

• Quando A ⊂ X e B ⊂ Y, o subconjunto A x B de X x Y é

chamado de produto direto de A x B:

A x B ↔ μ

AxB

(x,y) =μ

A

(x) ∧ μ

B

(y).

17. Conceito α - Corte

Aα

Δ { x ⏐μ

A(x) > α }; α ∈ [0,1) (α-corte fraco)

A

α

Δ { x ⏐μ

A(x) > α }; α ∈ (0,1] (α-corte forte)

é

chamado

α-corte fraco e α-corte forte, respectivamente.

Figura 17.1. Representação gráfica de um α-Corte fraco.

NB.: 1. A diferença entre α-corte fraco e α-corte forte reduz-se

apenas no sinal de igualdade

2. se a função de pertinência é contínua, a distinção entre

estes α-cortes não se faz necessária.

18. Princípio da Resolução

• Necessidade: 1. conjunto nebuloso normal

2. conjunto nebuloso convexo.

• O princípio da resolução é definido como:

μ

A

(x) = sup [α ∧ χ

Aα

(x)]

α ∈ [0,1)

=

sup

[α ∧ χ

Aα

(x)]

α ∈ (0,1].

sendo:

sup =

supremo

χ

E

(x)

=

função característica de E

Δ 1, se x ∈ E

0, se x ∉ E.

• Usando-se o princípio da resolução, a função de

pertinência pode ser expressa via uso do conceito α-corte;

• considera-se que χ

Aα

(x) é a função característica de

A

α , então, tem-se:

para

x

∈ A

α

, ↔ μ

A

(χ) > α (χ

A

(x) = 1)

para

x

∉ A

α

, ↔ μ

A

(χ) < α (χ

A

(x) = 0).

• portanto, tem-se:

sup

[α ∧ χ

Aα(x)] =

sup

[α ∧ χ

Aα

(x)]

α ∈ [0,1)

α ∈ (0,1]

=

sup

[α ∧ χ

Aα

(x)]

α ∈ (0, μ

A

(x)]

∨

sup

[α ∧ χ

Aα

(x)]

α ∈ (μ

A

(x),1]

=

sup

[α ∧ 1] ∨ sup [α ∧ 0]

α ∈ (0,μ

A

(x)]

α ∈ (μ

A

(x),1]

=

sup

α

α ∈ (0,μ

A

(x)]

=

μ

A

(x).

• Se definirmos o conjunto α A

α como sendo:

αA

α

↔ μ

αAα = α ∧ χAα

(x),

então, o princípio da resolução pode ser expresso por:

A =

(

]

U

1

,

0

α

∈

αA

α

.

• Ou seja, um conjunto nebulosos A é decomposto em

αA

α ,

α ∈ (0,1] e é expresso como uma união destes

(αA

α

). Este é o significado do princípio da resolução.

Figura 18.1. Decomposição de um conjunto nebuloso.

• A partir da Figura 18.1, se α

1

< α

2

, então, Aα

1

⊃

Aα

2

.

• Dado os conjuntos nebulosos na forma de Aα

1 e Aα2,

pode-se recuperar a função de pertinência original do conjunto

nebuloso A:

μA(x) ↔ A

α ,

α ∈ (0,1],

ou seja, um conjunto nebuloso pode ser expresso em

termos do conceito de α-cortes sem recorrer a função de

pertinência.

19. Números Nebulosos

• Para um conjunto nebuloso normal e convexo, se um

α-corte fraco é um intervalo fechado, ele (α-α-corte fraco) é

chamado de número nebuloso;

• números nebulosos possuem funções de pertinência

semelhantes às mostradas na Figura 19.1;

Figura 19.1. Números nebulosos.

NB.: x

é um número nebuloso com função de pertinência,

por exemplo, mostrado na Figura 19.1 (cor azul). f(x)

é mostrada na cor vermelha.

• se a função de pertinência é contínua, o α-corte fraco

será um intervalo fechado.

• Considere:

f(x) = 2 x +1

• agora, se x não é um valor único, mas sim que varia entre

2 e 4, o valor de f(x) de 5 até 9:

f([2,4]) = 2 . [2,4] +1

= [2 . 2, 2. 4] +1

=

[4+1,8+1]

=

[5,9]

• o que acontece com os valores de f(x) se os valores de x

são ambíguos, e.g., “em torno de 3” ao invés do intervalo

[2,4]?

• os números do tipo “em torno de 3” em “em torno de 5”

são chamados números nebulosos, com grafia

~

3

e

~

5

,

respectivamente.

• expressar “em torno de 3”: substituir x em f(x) com

~

3

,

obtém-se:

f(

~

3

) = 2 .

~

3

+1

=

~

7

• se calcularmos f(

~

3

) usando o princípio de extensão (a

partir da Figura 19.1), obtém-se:

~

3 α

= 3,

para

α = 1

= [2,5, 3,5],

para

α = 0,8

=

[2,4]

para

α = 0,3.

f(

~

3

)

_α

= 7,

para

α = 1

= [6, 8],

para

α = 0,8

=

[5,9], para

α = 0,3.

• Se desenharmos a função de pertinência de f(3)

usando-se estes resultados, obtém-usando-se o número nebuloso 7 como

mostrado na curva vermelha (Figura 19.1);

• Neste sentido, calculam-se as extensões de funções

simples usando o conceito de α-cortes;

• quando o conjunto suporte do conjunto nebuloso é finito,

os cálculos são sempre mais simples se realizados

diretamente pelo uso da definição de função estabelecida

pelo princípio da resolução.

20. Operações com Números Nebulosos

• Considere uma função com duas variáveis:

g: X x Y → Z

sendo:

x

∈ X e y ∈ Y em g(x,y) são substituídos por conjuntos

nebulosos A ⊂ X e B ⊂ Y, assim:

μ

g(A,B)

(z) = sup [μ

A

(x) ∧ μ

B

(y)]

z = g(x,y)

• isto expressa o produto direto de A e B (operação entre

parênteses);

• o operador sup é efetivo em relação a x e y de z = g(x,y)

para um dado valor z;

• o conjunto nebulosos g(A,B) de Z é representado por:

g(A,B) =

∫

z

[μ

A

(x) ∧ μ

A

(y)] / g(x,y)

• usando-se o conceito de α-corte, torna-se:

g(A,B)

α

= g(A

α

,B

α

).

Exemplo. Supondo-se:

g(x,y) = x+ y

sendo:

x

e y são números reais que correspondem à

obtenção da soma de números nebulosos A e B. Por

exemplo, pode-se usuar:

g(

~

2

,

~

3

) =

~

2

+

~

3

=

~

5

isto confirma que o resultado refere-se “em torno de 5”.

• Para x e y, g é uma função contínua, assim usando-se o

conceito de α-corte fraco, tem-se:

(

~

2

+

~

3

)

_α

=

~

2 α

+

~

3

_α

.

• desde que o α-corte de números nebulosos está em um

intervalo, o cálculo corresponde à soma de 2 intervalos

[a,b] e [c,d]:

• ou seja, se u e v são números que podem variar dentro

dos intervalos [a,b] e [c,d], respectivamente, suas somas

é, então:

[a,b] + [c,d] =[a+ c, b + d].

• O α-corte de 3, como anteriormente abordado, será:

~

3 α

= 3,

para

α = 1

= [2,5, 3,5],

para

α = 0,8

=

[2,4]

para

α = 0,3.

e

o

α-corte de 2 será:

~

2

_α

= 2,

para

α = 1

= [1,5, 2,5],

para

α = 0,8

=

[1,3]

para

α = 0,3.

(

~

2 α

+

~

3 α

) = 5,

para

α = 1

=

[4,6],

para

α = 0,8

=

[3,7],

para

α = 0,3.

este é o número nebuloso

~

5

.

Figura 20.1. Adição dos números nebulosos

~

5

=

~

2

+

~

3.

• Em geral, quando pensamos de g(x,y) como uma

operação binária de x e y da forma:

g(x,y) = x ∗ y

• a expressão para números nebulosos A e B é:

A ∗ B =

∫

[μ

A

(x) ∧ μ

B

(x)] / (x∗y)

(A ∗ B)

α

= A

α

∗ B

α

aqui a operação ∗ para ambos os intervalos é:

[a,b] ∗ [c,d] = {ω⏐ω = u ∗ v; u ∈ [a,b]; v ∈ [c,d]}.

Exemplo: Calcular (

~

3

-

~

2

), em que:

[a,b]-[c,d] = [a - d, b-c] = [p,q]

a

= 2

b

= 4

c

= 1

d

= 3

p

= -1

q

= 3.

Figura 20.2. Número nebuloso

~

2

,

~

3

e (

~

3

-

~

2

).

(

~

3

−

~

2

)

_α

= 1,

para

α = 1

=

[0,2],

para

α = 0,8

=

[-1,3],

para

α = 0,3.

NB.: A operação com números nebulosos de subtração

não é uma operação reversa de adição. Ou seja:

(3 – 2) + 2 = 3 é uma relação verdadeira, porém:

((

~

3

-

~

2

) +

~

2

)

_α

= 3,

para

α = 1

=

[1,5;4,5],

para

α = 0,8

=

[0;6], para

α = 0,3.

• Contudo:

~

3

_α

= 3,

para

α = 1

= [2,5, 3,5],

para

α = 0,8

=

[2,4]

para

α = 0,3.

• Portanto:

~

3

_α

≠ {(

~

3

-

~

2

) +

~

2

}

_α

.

p

= -1

q = 3. (intervalos de (

~

3

-

~

2

))

c

= 1

d

= 3 (intervalos de

~

2

)

Intervalos de {(

~

3

-

~

2

)) +

~

2

} = [p+c, q+d]

=

[-1+1,3+3]

=

[0,6]

Figura 20.3. Números nebulosos (

~

3

-

~

2

) e

~

3

.

Universidade Estadual Paulista – UNESP Campus de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Elétrica

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Disciplina: Lógica Nebulosa

Carlos R. Minussi

Ilha Solteira-SP, junho-2010.

21. ARITMÉTICA DE INTERVALOS FUZZY

A aritmética de intervalos tenta obter um intervalo resultante de uma operação fuzzy, de tal forma que nele contenha todas as possíveis soluções. Neste caso, estas regras operacionais são definidas num sentido conservativo, no senso em que se obtêm intervalos maiores do que o necessário, evitando, deste modo, perdas de informações em relação às soluções verdadeiras. Por exemplo:

[1, 2]  [0, 1] = [0, 2] significa que, para parâmetros a  [1, 2] e b  [0, 1], garante-se que a  b  [0, 2].

Figura 21.1. Notação de intervalo fuzzy:

[s, s ]  s  s  s , sendo:

s = limite inferior; s = limite superior.

21.1. Aritmética de Intervalos

As operações com intervalos fuzzy mais usuais são: z = x  y, sendo x e y dois conjuntos

fuzzy e ()  (+ ,  , . , /, min, max), ou seja:

(1) Adição [s1, s ] + [s1 2, s ] = [s2 1, + s2, s1+s ]. 2 (2) Subtração [s1, s ]  [s₁ 2, s ] = [s₂ 1, s , ₂ s₁ s2]. (3) Reciprocidade Se 0  [s, s ], então, [s, s ]1 = [1/s , 1/s];

Se 0  [s, s ], então, [s, s ]1 é indefinido. (4) Multiplicação [s1, s ] . [s₁ 2, s2] = [p, p ]. sendo: p = min{ s1 s2, s1 s2, s s1 2, s1s2} p = max{ s1 s2, s1 s2, s s1 2, s₁s2}. (5) Divisão [s1, s ] / [s₁ 2, s₂] = [s1, s ] . [s₁ 2, s₂]1 desde que 0  [s2, s₂]. (6) Máximo max{ [s1, s ], [s₁ 2, s2]} = [p, p ] sendo: p = max{ s1, s2 } p = max{s , ₁ s₂}. (7) Mínimo mim{ [s1, s ], [s₁ 2, s2]} = [p, p ] sendo: p = min{s1, s2 } p = min{s , ₁ s2}.

22. Exercícios Ilustrativos: Notação de -Corte e Princípio da Resolução Exercício 1 (Adição). Considerando-se x e y dois conjuntos fuzzy (vide Figura 22.1), tais que:

Figura 22.1. Funções de pertinência x e y.

X = [-5, 1] e Y = [-5, 12], sendo que as funções de pertinências associadas são assim calculadas:

X(x) = a x +b (trecho à esquerda)  0 = a(-5) + b  1 = a (-2) + b, assim: a = 1/3 b = 5/3 X(x) = a x +b (trecho à direita)  1 = a(-2) + b  0 = a (1) + b, assim: a = -1/3 b = 1/3. Ou seja: X(x) =

Y(y) = a y +b (trecho à esquerda) 

0 = a(-3) + b  1 = a (4) + b, assim: a = 1/7

b = 3/7

Y(y) = a y +b (trecho à direita) 

1 = a(4) + b  0 = a (12) + b, assim: a = -1/8

b = 12/8.

Ou seja: Y(y) =                     12 y 4 , 8 12 8 y 4 y 3 , 7 3 7 y 3 y 5 , 0

Então, determine o conjunto Z = X + Y = [-5, 1] + [-5, 12] = [-10,13].

Figura 22.2. Notação de -corte dos conjuntos x e y.

Aplicando-se a notação de -corte, os pontos x1, x2 valem:  = x1/3 +5/3 

x1 = 3  -5

 = -x2/3 +1/3 

x2 = -3  + 1

Então, o intervalo de projeção de x é: (X) = [x1, x2] = [3 -5, -3 +1]

Similarmente, em relação a y1 e y2: (Y) = [y1, y2] = [7-3, -8+12].

O intervalo de projeção de Z é: (Z) = [z1, z2] = [10 - 8, -11 +13].

Variando-se  entre 0 e 1, obtém-se a função de pertinência X(z) (vide Figura

Tabela 22.1. Notação -corte aplicada à construção de Z.  z1 z2 0 -8 13 0,2 -6 10,8 0,4 -4 8,6 0,6 -2 6,4 0,8 0 4,2 1 2 2

Figura 22.3. Construção de Z via notação de -corte.

Z(z) =                     13 z 2 , 11 13 11 z 2 z 8 , 10 8 10 z 8 z 10 , 0

Figura 22.4. Função de pertinência de Z = X + Y.

Exercício 2. (Subtração). Considerando-se, agora, x e y dois conjuntos fuzzy, conforme é ilustrados na Figura (22.5), obter Z = {z = x-y, x X, y Y, sendo X =[0,20], Y = [0,10].

Figura 22.5. Funções de pertinência de x e de y.

NB: X = [p,q], Y = [r,s],  X-Y = [p-s, q-r].

X = [0, 20] e Y = [0, 10], sendo que as funções de pertinências associadas são assim calculadas: X(x) = a x +b (trecho à esquerda)  0 = a(7) + b  1 = a (14) + b, assim: a = 1/7 b = -1 X(x) = a x +b (trecho à direita)  1 = a(14) + b  0 = a (19) + b, assim: a = -1/5 b = 19/5. Ou seja: X(x) =                    20 x 19 , 0 19 x 14 , 5 19 5 x 14 x 7 , 1 7 x 7 x 0 , 0

Y(y) = a y +b (trecho à esquerda) 

0 = a(3) + b  1 = a (5) + b, assim: a = 1/2

b = -3/2

Y(y) = a y +b (trecho à direita) 

1 = a(5) + b  0 = a (10) + b, assim: a = -1/5 b = 2. Ou seja: Y(y) =                  10 y 5 , 2 5 y 5 y 3 , 2 3 2 y 3 y 0 , 0

Então, determinar o conjunto Z = X - Y = [0, 20] + [0, 10] = [-10,20].

Figura 22.5. Notação de -corte dos conjuntos x e y. Aplicando-se a notação de -corte, os pontos x1, x2 valem:

 = x1/7 -1 

x1 = 7  + 7

 = -x2/5 +19/5  x2 = -5  + 19

Então, o intervalo de projeção de x é: (X) = [x1, x2] = [7 +7, -5 +19]

Similarmente, em relação a y1 e y2: (Y) = [y1, y2] = [2+3, -5+10].

(Z) = [z1, z2]

= [x1-y2, x2-y1] = [12 -3, -7 +16].

Variando-se  entre 0 e 1, obtém-se a função de pertinência X(z) (vide Figura

22.6):

Tabela 22.2. Notação -corte aplicada à construção de Z.

 z1 z2 0 -3 16 0,2 -0,6 14,6 0,4 1.8 13,2 0,6 4,2 11,8 0,8 6,6 10,40 1 9 9

Figura 22.6. Construção de z via notação de -corte.

Z(z) =                      20 z 16 , 0 16 z 9 , 7 16 , 7 z 9 z 3 , 12 3 12 z 3 z 10 , 0

Exercício 3. (Multiplicação). Considerando-se X = [2, 5] e Y = [3, 6] com funções de pertinência ilustradas na Figura 22.7, determine:

Z = { z z = x y, x  X e y  Y}. NB. Z(z) = y x z  {X(x)  Y(y)}

Figura 22.7. Funções de pertinência dos conjuntos x e y.

Então, as funções de pertinência de x e de y, a partir da Figura são definidas do seguinte modo: X(x) =            5 x 3 , 2 5 2 x 3 x 2 , 2 x Y(y) =            6 y 5 , 6 y 5 y 3 , 2 3 2 y Na notação de -corte: (Z) = (X) .(Y). Fazendo-se:  = x1 -2 e  = -x2/2 + 5/2, tem-se: x1 =  + 2 x2 = - + 5. Similarmente: y1 = 2 + 3 y2 = - + 6.

Os intervalos das projeções de x e de y valem: (X) = [ + 2, -2 + 5]

(Y) = [2 + 3, - + 6]

(Z) = [ + 2, -2 + 5] . [2 + 3, - + 6] = y x z {X(x)  Y(y)} = [p(), p( ] ) sendo: p() = min[c, d, e, f] ) ( p  = max[c, d, e, f] c = ( + 2) (2 + 3) = 22 +7 +6 d = ( + 2) (- + 6) = -2 + 4  +12 e = (-2 + 5) (2 + 3) = -42 + 4 +15 f = (-2 + 5) (- + 6) = 22 - 17 +30.

Figura 22.8. Gráficos de c a f em função de .

Por conseguinte: p() = 22 _{+7 +6} ) ( p  = 22 - 17 +30. (Z) = [22 +7 +6 , 22 - 17 +30] Fazendo-se z1 = 22 +7 +6 z2 = 2 2 _{- 17 +30,} obtém-se:

 = 4 z 8 1 7  ₁  ou  = 4 2 z 8 49 17  consequentemente: Z(z) =                30 z 15 , 4 z 8 49 17 15 z 6 , 4 z 8 1 7

Tabela 22.3. Notação -corte aplicada à construção de Z.

 z1 z2 0 6 30 0,2 7,48 26,68 0,4 9,12 23,52 0,6 10,92 20,52 0,8 12,88 17,68 1 15 15

Figura 22.9. Resultado da função de pertinência de z (operação de multiplicação).

Exercício 4. (Divisão). Considerando-se X = [18, 33] e Y = [5, 8] com funções de pertinência ilustradas na Figura 22.10, determine:

Figura 22.10. Funções de pertinência dos conjuntos x e y.

Então, as funções de pertinência de x e de y, a partir da Figura são definidas do seguinte modo: X(x) =             33 x 22 , 3 11 x 22 x 18 , 4 18 4 x Y(y) =            8 y 6 , 4 2 y 6 y 5 , 5 y Fazendo-se:  = x1/4 -18/4 e  = -x2/11 + 3, tem-se: x1 = 4  + 18 x2 = -11 + 33. Então: (X) = [4  + 18, -11 + 33] Similarmente: (Y) = [ + 18, -11 + 33] Então: (Z) =   ) Y ( ) X ( = ] 8 2 , 5 [ ] 33 11 , 18 4 [          = ] f , e [ ] d , c [ = [ f c , e d ]

ou seja: (Z) = [ 8 2 18 4      , 5 33 11      ] Fazendo: z1 = 8 2 18 4      z2 = 5 33 11      obtém-se:  = 4 z 2 18 z 8 1 1   e  = 11 z 33 z 5 2 2    . Assim, tem-se: Z(z) =                5 33 z 3 11 , 11 z 33 z 5 3 11 z 4 9 , 4 z 2 18 z 8

Tabela 22.4. Notação -corte aplicada à construção de Z.

 z1 z2 0 2,25 6,6 0,2 2,4737 5,9231 0,4 2,7222 5,2963 0,6 3 4,7143 0,8 3,3125 4,1724 1 11/3 = 3,6667 3,6667

Universidade estadual Paulista – UNESP Campus de Ilha Solteira

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Disciplina: Lógica Nebulosa

Carlos Roberto Minussi

Ilha Solteira-SP, agosto-2009.

1

PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA NEBULOSA

Problema:

Min (max) FO = f(x)

s.a. restrições com ambigüidade.

sendo:

max = maximização

min = minimização

FO = função objetivo

s.a. = sujeito a

f(x) = função objetivo (linear ou não-linear)

ou seja, determinação de solução ótima (maximização ou

minimização) de um problema com restrições.

•

Funções objetivos e restrições são flexíveis.

Conceitos Básicos e Formulação Geral

•

Funções objetivos e restrições podem ser expressas pelos

conjuntos nebulosos G e C, respectivamente.

•

Funções de pertinência:

µ

G

(x)

←

Função objetivo

µ

C

(x)

←

Restrições.

•

neste caso, o conjunto de decisão nebuloso D pode ser definido

por:

D = C

∩

G

µ

D

(x) =

µ

C

(x)

∧

µ

G

(x).

sendo:

∧

= operador min.

2

•

Isto significa que deve satisfazer tanto as restrições, assim como

as funções objetivos.

•

A função de pertinência do conjunto de decisão nebulosa D,

µ

_D

(x),

expressa o grau (ou margem) que a solução se encontra em D.

•

Se

µ

D

(x) <

µ

D

(x’) (sentido maximização), então, x’ é uma melhor

decisão de x.

•

Deste modo, pode-se selecionar x* tal que:

max

µ

D

(x) = max

µ

C

(x)

∧

µ

G

(x) =

µ

C

(x*)

∧

µ

G

(x*)

(1)

x x

sendo:

x* = solução ótima (maximização).

•

A decisão maximizada é definida por operações max e min.

•

Assume-se que existem dois conjuntos nebulosos

µ

₁

(x) e

µ

₂

(x), e

funções f e g que combinam

µ

1

e

µ

2

com AND e OR definidas como

f e g:

[0,1] x [0,1]

→

[0,1], mais especificamente:

(

µ

₁

AND

µ

₂

) (x) = f(

µ

₁

(x),

µ

₂

(x))

(associada ao operador min)

(

µ

₁

OR

µ

₂

) (x)

= g(

µ

₁

(x),

µ

₂

(x))

(associada ao operador max)

•

Por simplicidade de notação, fazem-se

µ

1

(x) =

α

e

µ

2

(x) =

β

. Por

conseguinte, as funções f e g são expressas como f(

α

,

β

) e g(

α

,

β

).

Axiomas para f e g

(Axioma = Premissa imediatamente evidente que se admite como

universalmente verdadeira sem exigência de demonstração).

(1) f e g são funções contínuas e não-descendentes

(2) f e g são simétricas para

α

e

β

:

3

g(

α

,

β

) = g(

β

,

α

)

(3) f(

α

,

α

) e g(

β

,

β

) são funções estritamente crescentes

(4) f(

α

,

β

) < min[

α

,

β

] e g(

α

,

β

) > max [

α

,

β

]

(5) f(1,1) = 1 e g(0,0) = 0

(6) {

µ

1

AND (

µ

2

OR

µ

3

)}(x) = {(

µ

1

AND

µ

2

) OR (

µ

1

AND

µ

3

)}(x).

Teorema. As funções f e g que satisfazem os Axiomas (1)

−

(6)

são limitadas para:

f(

µ

1

,

µ

2

) =

µ

1

∧

µ

2

, e g(

µ

1

,

µ

2

) =

µ

1

∨

µ

2

,

•

O problema de maximização (1) pode ser transformado no seguinte

problema de maximização, através do uso de conjuntos

α

-cortes:

sup

µ

_D

(x) = sup

[

α

∧

sup

µ

_G

(x)]

(2)

x

α

∈

[0,1]

x

∈

C

α

sendo:

C

α

= {x

µ

_C

(x) >

α

}

•

Se

α

₁

<

α

₂

, tem-se:

sup

µ

G

(x) > sup

µ

G

(x)

x

∈

C

α

₁

x

∈

C

α

₂

isto porque: C

α

₁

⊃

C

α

₂

.

•

Fazendo-se:

sup

µ

_G

(x) =

φ

(

α

)

x

∈

C

α

se a função

φ

(

α

) for contínua para

α

, a função

α

* é obtida de:

4

se

φ

(

α

) é contínua, então, tem-se o seguinte problema de

otimização:

sup

µ

_G

(x),

µ

_C

(x) >

µ

_G

(x)

(3)

x

para o problema (2). Reduz-se, portanto, a um problema standard

de programação matemática que não inclui o operador lógico

∧

.

•

O conjunto nebulosos C é um conjunto nebulosos fortemente

convexo, se e somente se a seguinte relação for observada:

µ

C

(

λ

x + (1 -

λ

) y) >

µ

C

(x)

∧

µ

C

(y);

∀

λ

∈

[0,1].

•

Se a função

φ

(

α

) é contínua, o problema de programação

matemática nebulosa pode ser resolvido através da obtenção de

α

*

tal que:

α

= sup

µ

G

(x)

x

∈

C

α

.

Algoritmo

(1)

∀

∂

_k

é estabelecido para k = 1

(2) calcule

µ

G k

(x*) = max

µ

_G

(x)

x

∈

C

α

k

.

(3) se

ε

_k



=

α

_k

-

µ

_Gk

(x*)



>

ε

, vá para o passo (4), e se

ε

_k



<

ε

,

vá para o passo (5).

(4) faça:

α

k+1

= a

k

- r

k

ε

k

e k = k +1 e vá para o passo (2),

sendo:

5

0 <

α

_k+1

< 1 seja observado.

(5) faça:

α

* =

α

_k

, encontre x* tal que:

max

µ

_G

(x) =

µ

_G

(x*)

x

∈

C

α

k

e finalize o processo.

•

No algoritmo anterior, Passo (2), a solução é encontrada através

de programação matemática convencional.

Programação Linear Nebulosa

•

PL (Programação Linear) nebulosa usando desigualdades

nebulosas.

•

Um problema de PL pode ser expresso por:

min ou max FO = < c, x >

s.a: A x < b

X > 0

sendo:

<. , . > = produto interno.

•

Em termos da lógica nebulosa, este problema pode ser formulado

do seguinte modo:

< c, x > = c

T

x

~ <

z, A x

~ <

b, x > 0,

sendo:

~

<

= é uma desigualdade nebulosa;

Exemplos:

A x é uma expressão em torno de b ou menor e

c

T

x é uma expressão em torno de z ou menor.

6

Programação Linear Nebulosa

Problemas de PL nebulosa usando desigualdades

•

O problema: Funções objetivos / restrições são dadas pelo

seguinte sistema:

min z = c

T

_x

s.a

A x < b

x > 0.

↑

↓

c

T

x

~

<

z

s.a

A x

~

<

b

x > 0.

PL nebuloso

sendo:

c

T

x

↔

“em torno de z ou menor (about z or less)”

A x

↔

“em torno de b ou menor (about b or less)”.

•

As funções objetivos e restrições são expressas por inequações da

seguinte forma:

B x < b

B = matriz A aumentada (inclusão das linhas das funções

objetivos).

A i-ésima inequação “em torno de b

_i

ou menor” é definida através

das seguintes funções de pertinência:

7

µ

i

([Bx]

i

) = 1, para [Bx]

i

< b

i

0 <

µ

_i

([Bx]

_i

) < 1, para b

_i

< [Bx]

_i

< b

_i

+ d

_i

µ

i

([Bx]

i

) = 0, para [Bx]

i

> b

i

+ d

i

sendo:

µ

i

= função de pertinência da i-ésima inequação

di = valor máximo possível do lado direito da desigualdade

(constante escolhida considerando-se as violações

admissíveis).

•

O problema de decisão maximizada:

max

µ

D

(x) = max

µ

C

(x)

∧

µ

G

(x) =

µ

C

(x*)

∧

µ

G

(x*)

x x

|

_________

|

associado ao min {

µ

CG

(x)}

↔

min{[Bx]}

consiste em encontrar x tal que:

max min {

µ

i

([Bx]

i

) }

(4)

x > 0 i

sendo:

µ

i

([Bx]

i

) = 1, para [Bx]

i

< b

i

µ

i

([Bx]

i

) = r

i

[Bx]

i

+ s

i

= 1 – ([Bx]

i

- b

i

) / d

i

, b

i

< [Bx]

i

< b

i

+ d

i

µ

i

([Bx]

i

) = 0, para [Bx]

i

> b

i

+ d

i

NB.:

fazendo-se:

r

i

(b

i

) + s

i

= 1

r

_i

(b

_i

+d

_i

) + s

_i

= 0

r

_i

(b

_i

) + s

_i

= 1

-r

_i

(b

_i

+d

_i

) - s

_i

= 0

_____________ (+)

r

_i

(b

_i

- b

_i

- d

_i

) = 1

8

r

_i

= - 1/ d

_i

s

_i

= 1 - r

_i

b

_i

s

i

= 1 + b

i

/ d

i

então:

r

_i

[Bx]

_i

+ s

_i

= - [Bx]

_i

/ d

_i

+ 1 + b

_i

/ d

_i

= 1 – ([Bx]

_i

– b

_i

) / d

_i

•

Fazendo-se a normalização das equações:

b

i

’ = b

i

/ d

i

,

[B’]

_ij

= [B]

_ij

/ d

_i

e

considerando-se que as restrições são lineares, o problema (4)

torna-se:

max min {b

i

’ – [B’ x]

i

}

(5)

x > 0 i

•

Este problema (equação (5)) é equivalente ao seguinte problema

de PL padrão (standard):

max

λ

(6)

λ

< b

_i

’- [B’x]

_i

9

NB.:

fazendo-se:

µ

= r [Bx] + s

r (b) + s = 0

r (b+d) + s = 1

-r (b) - s = 0

r (b + d) + s = 1

_____________ (+)

r (b + d - b) = 1

r = 1/ d

s = - r b

s = - b / d

então:

µ

= ([Bx] – b) / d

µ

i

([Bx]

i

) = 0, para [Bx]

i

< b

i

µ

i

([Bx]

i

) = r

i

[Bx]

i

+ s

i

= ([Bx]

i

- b

i

) / d

i

, b

i

< [Bx]

i

< b

i

+ d

i

µ

i

([Bx]

i

) = 1, para [Bx]

i

> b

i

+ d

i

10

max min {

µ

i

([Bx]

i

) }

x > 0 i

sendo:

µ

i

([Bx]

i

) = 1, para [Bx]

i

< b

i

µ

i

([Bx]

i

) = r

i

[Bx]

i

+ s

i

= 1 – ([Bx]

i

- b

i

) / d

i

, b

i

< [Bx]

i

< b

i

+ d

i

µ

i

([Bx]

i

) = 0, para [Bx]

i

> b

i

+ d

i

max

λ

(6)

λ

< b

_i

’- [B’x]

_i

para i = 1,2,3, ..., m.

11

max min {

µ

_i

([Bx]

_i

) }

x > 0 i

sendo:

µ

i

([Bx]

i

) = 0, para [Bx]

i

< b

i

µ

i

([Bx]

i

) = r

i

[Bx]

i

+ s

i

= ([Bx]

i

- b

i

) / d

i

, b

i

< [Bx]

i

< b

i

+ d

i

µ

i

([Bx]

i

) = 1, para [Bx]

i

> b

i

+ d

i

max

λ

(6)

λ

<

−

b

i

’+ [B’x]

i

para i = 1,2,3, ..., m.

12

Exemplo:

PL standard (Problema de transporte: 4 caminhões trucks)

Min z = 41400 x

1

+ 44300 x

2

+ 48100 x

3

+ 49100 x

4

x

sa:

0,84 x

1

+ 1, 44 x

2

+ 2,16 x

3

+ 2,4 x

4

> 170

16 x

₁

+ 16 x

₂

+ 16 x

₃

+ 16 x

₄

> 1300

x

₁

> 6

•

Solução via PL convencional:

x

1

* = 6

x

₂

* = 17,85

x

3

* = 0

x

4

* = 58,64

z* = 3918850 (função objetivo).

•

Considerando-se, agora, a ambigüidade das restrições e os dados

apresentados na seguinte tabela:

Restrição

nebulosa

Item

Restrição

não-nebulosa

µ

= 0

µ

= 1

d

FO

−

4.200.000

3.700.000

+500.000

1

ª

restrição

170

170

180

10

2

ª

_restrição

₁₃₀₀

₁₃₀₀

₁₄₀₀

₁₀₀

3

ª

restrição

6

6

12

6