ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO
DOS MANCAIS HIDRODINÂMICOS, ATRAVÉS DAS FORÇAS
TRANSMITIDAS PELO FLUIDO
Abdon Tapia Tadeo, ta_deo@yahoo.com.br1
1
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC-Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, Engenharia Mecânica
Campus Universitário de Cruz das Almas - Centro - Cruz das Almas/BA - 44.380-000.
Resumo: Quando se projeta um sistema mecânico é freqüentemente necessário ter um modelo matemático
representativo, para os propósitos de predição do comportamento dinâmico, sob diferentes condições de operação, para cada um dos componentes do sistema. Os mancais hidrodinâmicos são componentes cujas superfícies estão completamente separadas pelo filme lubrificante. Neste trabalho, o lubrificante é representado por um modelo mola-amortecedor e caracterizado por coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento diretos e cruzados respectivamente. Fazendo uso das forças que atuam em cada mancal, assim como, dos deslocamentos do eixo em cada posição dos mancais, as mesmas que foram medidas experimentalmente, para configuração básica do sistema
Rotor-Mancal. Implementou-se, um procedimento de ajuste de parâmetros que permite determinar os valores dos oito
parâmetros, para cada mancal e para cada rotação do sistema. O modelo matemático é implementado utilizando o método de elementos finitos para representar cada um dos componentes do sistema, sendo que os modelos são os mais simplificados propostos na literatura relacionada. Também, consideram-se somente as vibrações transversais.
Palavras-chave: Mancais hidrodinâmicos, ajustes de parâmetros, dinâmica de rotores.
1. INTRODUÇÃO
O sistema rotativo de uma máquina interage com as outras partes rotativas da mesma, assim como, com a estrutura estacionária da máquina, através de uma variedade de mecanismos. Os mais comuns são os rolamentos, mancais hidrodinâmicos, amortecedores, selos, acoplamentos e mecanismos de conexão aerodinâmica.
Entretanto os parâmetros representativos em termos de rigidez e amortecimento dos mesmos são pouco conhecidos na medida, do que os mesmos, dependem de vários fatores, assim, por exemplo, os coeficientes de rigidez e de amortecimento que representam os mancais hidrodinâmicos, dependem de fatores, tais como: tipo de fluido, temperatura do fluido, rotação do sistema, carga de trabalho, condições geométricas (folga, tamanho, forma, etc.) do mancal hidrodinâmico.
No trabalho de Tapia A. (2003), modela-se, o sistema mecânico Rotor-Acoplamento-Mancal, onde se pretendeu determinar os parâmetros de rigidez e do amortecimento, que representariam o acoplamento, utilizando a resposta ao desbalanceamento experimental do sistema, não se conseguiram resultados alentadores, na medida que os parâmetros representativos dos mancais hidrodinâmicos, eram também desconhecidos, com isto, aumentava-se o número de parâmetros a serem identificados no processo de ajuste, além disso os parâmetros dos mancais variam com a rotação do eixo do sistema. Neste sentido, neste trabalho apresenta-se um procedimento para estimar esses parâmetros dos mancais hidrodinâmicos, utilizando para isso as medidas experimentais de deslocamento do eixo dentro dos mancais, e das forças transmitidas na posição dos mancais nas direções horizontal e vertical.
2. MANCAIS HIDRODINÂMICOS
A modelagem de mancais hidrodinâmicos visa representar matematicamente seu filme de óleo, considerando: o carregamento devido ao peso do rotor, as características geométricas do mancal que definem a expressão para a espessura do filme de lubrificante responsável, e o campo de pressões e forças hidrodinâmicas de sustentação. O lubrificante é representado por um modelo mola-amortecedor, sendo caracterizado por coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento respectivamente (Kramer, 1993 e Nelson et al 1992), conforme representado na Fig. (1), onde se observa o esquema da montagem de um mancal hidrodinâmico, e o modelo físico simplificado do mancal hidrodinâmico onde: kXX, cXX e kZZ, cZZ são a rígidez e o amortecimento nas direções dos eixos X e Z respectivamente;
kXZ, cXZ são a rigidez e o amortecimento na direção X, porém com efeitos na direção do eixo Z; kZX, cZX correspondem à rigidez e amortecimento na direção Z, mas com efeitos na direção X; (ui,vi) e (uj,vj) são os deslocamentos do centro do eixo e do suporte do mancal respectivamente.
X uj Z kZX kXX cXX cZX kZZ cZZ cXZ kXZ vi i vj ui Y Z mancal Suporte do mancal Nó i do eixo Nó j do suporte Ω óleo
Esquema da Montagem do Mancal Hidrodinâmico Modelo Físico do Mancal Hidrodinâmico
Figura 1. Montagem e o Modelo físico dos mancais hidrodinâmicos.
No geral, as componentes das forças generalizadas nos mancais atuantes entre as estações i e j, como é mostrada pela Fig. (1), podem ser representadas pelas relações:
(
u
,
v
,
u
,
v
,
ω
)
f
F
X=
&
&
eF
Z=
f
(
u
,
v
,
u
&
,
v
&
,
ω
)
, (1)onde:
u
=
u
j−
u
i ,v
=
v
j−
v
i ,u
&
=
u
&
j−
u
&
i ,v
&
=
v
&
j−
v
&
i são os deslocamentos e as velocidades relativas entre as duas estações i e j; e ω é a rotação do eixo.Neste modelo físico do mancal hidrodinâmico, é assumido, que estes componentes de conexão só dependem das coordenadas de translação do munhão e do suporte do mancal, e que os efeitos tanto devido à flexão (rotações) como os devido à inércia dos mancais (suporte e óleo) são considerados desprezíveis. Porém, como no sistema Rotor-Mancal, considerado no presente trabalho a estrutura de suporte (fundação) é considerada rígida, os deslocamentos e as velocidades dos nós do suporte são nulas (uj=vj=0,
u
&
j=
v
&
j=
0
). Conseqüentemente, a equação de movimento dos mancais hidrodinâmicos pode ser escrita como:.
;
ZX ZZ ZX ZZ XZ XX XZ i i i Z i i i i i XX X
k
u
k
v
c
u
c
v
F
k
u
k
v
c
u
c
v
F
=
+
+
&
+
&
=
+
+
&
+
&
(2)Sendo: FX, FZ as forças atuando nos suportes fixos dos mancais nas direções X e Z no tempo; ZZ ZX ZZ ZX XZ XX XZ XX
k
c
c
k
k
c
c
k
,
,
,
,
,
,
,
os parâmetros de rigidez e amortecimento diretos e cruzados dos mancais hidrodinâmicos.Considerando as equações da Eq. (2), pode-se, determinar os 8 parâmetros, fazendo uso das forças que atuam em cada mancal, e os deslocamentos do munhão do mancal, as mesmas que serão medidas experimentalmente, através de sensores de deslocamento e células de carga.
De acordo aos trabalhos de Lund, J. e Thomsen, K. (1978), referente a mancais hidrodinâmicos do tipo cilíndrico com canais axiais de alimentação, o comportamento dos parâmetros de rigidez e amortecimento em função do numero de Sommerfeld para mancais cuja razão L/D=1, sendo L o comprimento axial do mancal, e D o diâmetro externo do munhão do mancal, são apresentados na Fig. (2). Observa-se, nessa figura que os parâmetros são adimensionalizados e apresentadas na escala logarítmica, porem alguns coeficientes de rigidez tem valores negativos em algumas faixas de valores do número de Sommerfeld, as mesmas que foram positivizadas para poder plota-los em escala logarítmica.
O número de Sommerfeld segundo Nelson, H. e Crandall, S. (1992), é definida pela seguinte expressão matemática:
D
L
W
P
e
R
Ν
S
2⋅
=
⋅
=
δ
µ
P
, (3)Onde: µ é a viscosidade absoluta do fluido do mancal, N a velocidade rotacional do eixo em rpm, P pressão no mancal, R raio do munhão do mancal, δ folga radial do mancal, W carga permanente do mancal, L comprimento axial do mancal, e D diâmetro externo do munhão do mancal.
Figura 2. Coeficientes de rigidez e de amortecimento para um mancal hidrodinâmico cilíndrico
2.1. Montagem Experimental
A montagem da bancada experimental foi de acordo ao esquema apresentado na Fig. (3). As medições experimentais levantadas foram: as forças nos mancais hidrodinâmicos 1 e 2; os sinais de deslocamento do munhão dos mancais hidrodinâmicos 1, 2; e os deslocamentos nos discos rígidos ou massas 1 e 2. Em cada ponto foi medida, na direção horizontal X e vertical Z.
Figura 3. Esquema da montagem experimental do sistema Rotor-Acoplamento-Mancal.
As propriedades físicas dos componentes (eixo, massas e mancais hidrodinâmicos) da bancada experimental:
Rotor-Mancal, são apresentadas na Tab. (1).
Tabela 1. Propriedades físicas e dimensões geométricas dos componentes da bancada experimental. DISCOS ou MASSAS EIXO Disco 1 Disco 2 Material: aço1020 Modulo de Elasticidade: 2*1011N/m2 Densidade: 7760 kg/m3 comprimento = 0.65m diâmetro externo = 12.00mm Material: aço1020 massa = 2.00kg diâmetro externo = 94.82mm diâmetro interno =12.00mm espessura = 43.00mm Material: aço1020 massa = 1.50kg diâmetro externo = 75.50mm diâmetro interno = 12.00mm espessura = 30.00mm MANCAIS HIDRODINÂMICOS
Mancal Hidrodinâmico 1 Mancal Hidrodinâmico 2
Fluido: Óleo AWS22
Viscosidade Absoluta = 3 micro Reynols (Norton, R. 2004)
Munhão: Material : aço1020
Dimensões: diâmetro externo = 30.680mm ; diâmetro interno = 12.00mm
A Figura (4), apresenta a forma dos sinais de força medidos experimentalmente em cada um dos mancais hidrodinâmicos, através das células de carga para uma rotação de 1200.0 rpm do eixo do sistema Rotor-Mancal.
Figura 4. Forças levantadas experimentalmente.
A Figura (5), apresenta a forma dos sinais de deslocamento medidos experimentalmente nos mancais, através dos sensores de proximidade, para uma rotação de 1200.0 rpm do eixo do sistema Rotor-Mancal. Observa-se, das figuras Fig. (4) e Fig. (5), que tanto os sinais de forças, quanto os de deslocamento, apresentam perturbações devido ao ruído e às componentes em freqüências diferentes à do desbalanceamento. Portanto, para nosso caso, faz-se necessário a utilização de filtragem destes sinais para poder, somente obter a resposta devido ao desbalanceamento, e poder trabalhar sobre estes.
Figura 5. Deslocamentos levantados experimentalmente.
2.2. Procedimento de Ajuste dos Coeficientes Lineares (rigidez, amortecimento) Equivalentes.
Assumindo funções periódicas (de senos e cossenos da mesma freqüência), para representar os deslocamentos de vibração do eixo, dentro dos mancais hidrodinâmicos, definidas pelas seguintes relações:
( )
t
U
U
Cos
( )
t
U
Sen
( )
t
u
=
o+
1ω
⋅
+
2ω
⋅
( )
t
V
V
Cos
( )
t
V
Sen
( )
t
v
=
o+
1ω
⋅
+
2ω
⋅
.Onde: Ui e Vi (com i = 0, 1, e 2) são os coeficientes das equações; t é o tempo; e ω é a freqüência de vibração do eixo dentro dos mancais. Considerando a definição da Eq. (4) para os deslocamentos, a velocidade de vibração do eixo dentro dos mancais, serão definida pelas relações (derivada no tempo das Eq.(4)):
( )
t
U
Sen
( )
t
U
Cos
( )
t
u
&
=
−
1⋅
ω
⋅
ω
⋅
+
2⋅
ω
⋅
ω
⋅
( )
t
V
Sen
( )
t
V
Cos
( )
t
v
&
=
−
1⋅
ω
⋅
ω
⋅
+
2⋅
ω
⋅
ω
⋅
. (5)Utilizando os valores medidos experimentalmente do deslocamento no eixo dentro do mancal, correspondente a u(t) e v(t), podem-se estimar os coeficientes da Eq. (4), através da biblioteca de mínimos quadrados “lsqcurvefit” do MatLabR2006b.
Considerando as medidas experimentais de deslocamento na direção horizontal e vertical no mancal hidrodinâmico 1 para uma rotação de 1560.00rpm., através dos sensores de proximidade, a Fig. (6), amostra os resultados do ajuste para os deslocamentos, assim como, os sinais de velocidades na direção vertical e horizontal, definidas utilizando os coeficientes (U1,U2,V1,V2) obtidos no ajuste, também se amostra as forças medidas no mancal hidrodinâmico 1, nas direções horizontal e vertical respectivamente, obtida através das células de carga.
Na Figura (6), observa-se um resultado de ajuste para os deslocamentos relativamente muito bons, em ambas as direções, as mesmas que serão melhores na medida que os sinais de deslocamento experimentais, se aproximem mais de um sinal harmônico, como é a resposta ao desbalanceamento de todo sistema mecânico rotativo.
Figura 6. Sinais experimentais e ajustados dos deslocamentos.
Em forma análoga às equações Eq. (4) e Eq. (5), são definidas as equações para o deslocamento e da velocidade de vibração, para outras rotações (10.0Hz a 48.0Hz) do eixo do sistema Rotor-Mancal.
Entretanto, fazendo uso das equações de deslocamento, de velocidades das vibrações nos mancais, podemos escrever as forças transmitidas à estrutura de suporte dos mancais hidrodinâmicos, de acordo com a relação matemática seguinte (Kramer, 1993 e Nelson et al 1992):
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
k
u
( )
t
k
v
( )
t
c
u
( )
t
c
v
( )
t
F
t
v
c
t
u
c
t
v
k
t
u
k
t
F
i zz i zx i zz i zx v i xz i xx i xz i xx u&
&
&
&
+
+
+
=
+
+
+
=
(6)Analisando os termos da Eq. (6), temos que: os deslocamentos, as velocidades, e as forças de vibração, que aparecem nessas equações até o momento são conhecidas. Os deslocamentos e as forças são dados experimentais e a
velocidade e deduzida através da Eq. (5). Portanto, os coeficientes de rigidez e de amortecimento, que representam os mancais hidrodinâmicos, são os únicos termos a serem identificados.
Utilizando a biblioteca de mínimos quadrados “lsqcurvefit” do MatLabR2006b, estimam-se, esses 8 coeficientes. Considerando as forças e os deslocamentos medidos no mancal hidrodinâmico 1, juntamente com as velocidades estimadas do sistema montado experimental, para uma rotação do eixo de 1560.00rpm, a Fig. (7), amostra as forças experimentais (FEx , FEz) e ajustadas (FAx , FAz) para este caso.
Figura 7. Sinais experimentais e ajustados das forças no mancal hidrodinâmico 1.
Os valores dos 8 coeficientes representativos do mancal hidrodinâmico 1, estimados no processo de ajuste para essa rotação do eixo, são apresentados na Tab, (2).
Tabela 2. Valores estimados dos coeficientes do mancal hidrodinamico 1 para a rotação de 1560.0rpm.
Rotação: rpm kxx:N/m kxz:N/m kzx:N/m kzz:N/m cxx:Ns/m cxz:Ns/m czx:Ns/m czz:Ns/m
1560.00 1952054.4 -208093.22061257.0 542743.1 12370.5 -5092.7 41049.3 3049.7
Seguindo o mesmo procedimento de ajuste descrito, foram estimados os valores dos coeficientes de rigidez e do amortecimento, para o mancal hidrodinâmico 1 do sistema da Fig. (3), para as diferentes condições de rotação do eixo do sistema Rotor-Mancal. Os resultados são apresentados na Fig. (8).
Os valores dos coeficientes de rigidez e amortecimento foram adimensionalizados, através dos parâmetros:
ω
δ
,W
,
e
( folga radial do mancal, carga permanente do mancal, rotação do eixo do sistema em rad/s), considerando as relações matemáticas:ω
δ
δ
⋅
⋅
⋅
W
c
W
k
ij;
ij . (7)Onde: kij representa cada um dos 4 coeficientes de rigidez; cij representa cada um dos 4 coeficientes de amortecimento. O erro obtido para cada rotação, no ajuste das forças experimentais em X e Z, foram determinadas utilizando a seguinte expressão matemática:
∑
∑
= =⋅
−
=
n i i n i i i i iFr
Fr
Fr
Fa
Fr
erro
1 1%
100
%
, (8)onde: n é número de pontos de cada função, Fri valor real i-esimo da função, Fai valor i-esimo da função ajustada, para cada rotação do sistema. Os resultados percentuais dos erros são apresentados na Fig. (9).
Figura 9. Erros percentuais no ajuste para cada rotação.
Finalmente algumas considerações que precisam ser mencionados, para o processo de ajuste ter bons resultados, os mesmos que foram tidos em consideração, para poder obter os resultado apresentados:
• Para cada processo de ajuste tenhamos quatro funções medidas experimentalmente, as mesmas eram semelhantes às apresentadas nas figuras Fig. (4) e Fig. (5), porem fazia-se necessário a filtragem das mesmas. O filtro aplicado a cada função devia ter as mesmas características para as quatro funções, devido ao problema de defasagem que produz a aplicação de filtros nos sinais medidos.
• O valor inicial para cada parâmetro estimado, influencia no resultado de ajuste, tiveram-se casos nas quais não se conseguiu um bom ajuste, senão até impor valores adequados de partida para cada um dos parâmetros estimados, conseguindo-se, com isto, um ajuste aceitável na faixa do 20.0% de erro.
• Na medida que o sinal filtrado, apresentar pouco amortecimento ou estar bem próximo de uma função harmônica bem definida ou pouco perturbada, obstem-se bons resultados no ajuste.
3. CONCLUSÕES
Finalmente, apresentou-se, a implementação de um processo de estimação dos parâmetros de rigidez e amortecimento, em função das forças e deslocamentos medidos experimentalmente nos mancais hidrodinâmicos, para um sistema Rotor-Mancal.
Na medida que foram consideradas vários regimes de operação do sistema, em relação à rotação do eixo, validando-se dessa forma o procedimento de ajuste, proposto no trabalho. Sendo os erros em torno de 20.0% na maioria dos casos considerados.
O procedimento de estimação dos coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais hidrodinâmicos é aplicável às vibrações induzidas ou produzidas devido ao desbalanceamento residual ou imposta do sistema. Portanto, as vibrações têm uma freqüência igual à primeira harmônica da rotação do eixo do sistema Rotor-Mancal.
Os resultados obtidos para os parâmetros de rigidez e de amortecimento em algumas faixas de rotação resultaram negativos, sendo positivizadas e adimensionalizadas para serem representadas em forma semelhante aos da Fig. (2), obtendo-se dessa forma os resultados apresentados na Fig. (8). Na qual, observa-se geralmente uma pouca variação ao longo da faixa de analise em relação ao valor do numero de Sommerfeld.
4. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao CNPq, UNICAMP e a UFRB pelo suporte fornecido para o presente trabalho, nas diferentes etapas do trabalho.
5. REFERÊNCIAS
Kramer, E., 1993, “Dynamics of Rotors and Foundations”, New York, Springer-Verlag. 381p.
Lund, J. W. e Thomsen, K. K. 1978, “A Calculation Method and Data for the Dynamic Coefficients of Oil-Lubricated Journal Bearings” Topics in Fluids Film Bearing and Rotor Bearing System Design and Otimization, ASME, New York, pp.1-28.
MatLabR2006b, “Curve Fitting Toolbox”, © 1994-2008 The MathWorks, Inc.
Nelson, H. D., Crandall, S. H., 1992, “Vibration Considerations in the Design of Rotating Machinery”. In: EHRICH, F. F., Handbook of Rotordynamics. United States of America, McGraw-Hill, Inc., Cap.1, pp. 1.1-1.150.
Norton, R. L., 2004, “Projeto de Máquinas: Uma abordagem Integrada”. Trad. João Batista de Aguiar, José Manoel de Aguiar, et al, 2ed., Bookman, Porto Alegre-Brazil, 921p.
Tapia, A. T., 2003, “Modelagem dos Acoplamentos Mecânicos nos Sistemas Horizontais Rotor-Acoplamento-Mancal”. Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 250p. Tese (Doutorado).
6. DIREITOS AUTORAIS
ESTIMATION OF STIFFNESS AND DAMPING´S PARAMETERS TO
HYDRODYNAMIC BEARINGS, USING THE FORCES TRANSMITTED BY
THE FLUID
Abdon Tapia Tadeo, ta_deo@yahoo.com.br1
1
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC-Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, Engenharia Mecânica
Campus Universitário de Cruz das Almas - Centro - Cruz das Almas/BA - 44.380-000.
Abstract. The project of mechanical systems frequently must to have a representative mathematical model, for the
purposes of prediction of the dynamic behavior, under different operation conditions, for each one of the components of the mechanical system. The hydrodynamic bearings are component whose surfaces are completely separate for the lubricating film. In this work, the lubricant is represented by a model spring-damper and characterized by equivalent coefficients of stiffness, damping direct and crossed respectively. Using of the forces that act in each bearing and the displacements of the shaft in each position of the bearing which were measured experimentally, for basic configuration of the system Rotor-Bearing. It was implemented, a procedure of adjustment of parameters that allows to determine the values of the eight parameters, for each bearing and for each rotation of the system. The mathematical model was implemented using the finite elements method to represent each one of the components of the system, and the models are the more simplified proposed in the literature. Also, was considered only the bending vibrations.
