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AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
OTIMIZAÇÃO DA EFICIÊNCIA DO MODO TEMooEM LASERS
DE Nd:LF DE ALTA POTÊNCIA BOMBEADOS
LATERALMENTE
EDUARDO COLOMBO SOUSA
Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do Grau de Mestre em Ciências na Área de Tecnologia Nuclear - Materiais.
Orientador:
Dr. Niklaus Ursus Wetter
São Paulo
2008
Autarquia associada à Universidade de São Paulo
O T I M I Z A Ç Ã O D A E F I C I Ê N C I A D O M O D O TEMoo E M L A S E R S D E N d : Y L F D E A L T A P O T Ê N C I A B O M B E A D O S L A T E R A L M E N T E
E D U A R D O C O L O M B O S O U S A / .
Dissertação apresentada c o m o parte dos requisitos para a obtenção do grau de M e s t r e em Ciências na Área de Tecnologia N u c l e a r - Materiais. Orientador: Dr. Niklaus Ursus W e t t e r São P a u l o 2 0 0 8
À minha família pelo apoio e carinho incessantes.
Ao Dr. Niklaus Ursus W e t t e r por t o d o o conhecimento transmitido.
A o s companheiros de laboratório Fabiola, Jonas, M a r c o , Alessandro, Paulo e Ilka pelo apoio em t o d o s os m o m e n t o s e à amizade conquistada.
A o s amigos da F A T E C Daniel, D o u g l a s e Rogério.
A t o d o s o s colegas bolsistas d o C L A pela a m i z a d e e convivio.
À F A P E S P pelo apoio financeiro e à bolsa concedida.
A toda a equipe de funcionários do C L A pela ajuda constante.
E um agradecimento especial a minha familia e amigos, q u e sempre estiveram ao meu lado.
O T I M I Z A Ç Ã O D A E F I C I Ê N C I A D O M O D O TEM«o E M L A S E R S D E N d : Y L F D E A L T A P O T E N C I A B O M B E A D O S L A T E R A L M E N T E
E D U A R D O C O L O M B O S O U S A
R E S U M O
Para muitas aplicações de u m laser, é necessário u m feixe c o m boa qualidade no m o d o flindamental. N e s t e trabalho são investigadas as condições para se obter alta eficiência e qualidade do feixe, otimizando o acoplamento do m o d o fundamental com a região do meio ativo excitada pelo b o m b e a m e n t o , por meio da utilização de cavidades inovadoras. A maior eficiência j á reportada para u m laser de N d : Y L F com oscilação em 1053 nm sob b o m b e a m e n t o transversal por diodo é demonstrada u s a n d o u m a cavidade compacta baseada em uma reflexão interna total na face de b o m b e a m e n t o , obtendo-se uma potência m á x i m a de saída m u l t i m o d o de 9,5W para 2 1 W de b o m b e a m e n t o , o que corresponde a 4 5 % de conversão óptica. U m a m e l h o r a significativa na qualidade d o feixe é d e m o n s t r a d a por meio do desenvolvimento de u m a cavidade com duas reflexões no meio a ü v o , obtendo-se u m a potência m á x i m a no m o d o fiandamental de 6,9W com fator de qualidade do feixe igual a 1,16 x 1,05 nas direções horizontal e vertical, respectivamente.
P U M P E D N d : Y L F L A S E R S
E D U A R D O C O L O M B O S O U S A
A B S T R A C T
F o r many laser applications high beam quality in fundamental m o d e is necessary. In this w o r k w e study the conditions that achieve high efficiency and high b e a m quality by optimizing the overlap between the flindamental m o d e and the excited region inside the active medium, using novel cavities. The highest efficiency reported so far for diode side p u m p e d 1053 nm N d : Y L F lasers is demonstrated using a compact cavity design based on total internal reflection at the p u m p e d face, obtaining a m a x i m u m output p o w e r of 9,5W in multimode operation for 21W of p u m p power, which represents 4 5 % of optical efficiency. B e a m quality i m p r o v e m e n t is demonstrated using a cavity with t w o b o u n c e s at the active medium, achieving a m a x i m u m output p o w e r of 6,9W during fundamental operation with beam quality factor of 1,16 x 1,05 in the horizontal and vertical directions, respectively.
S U M A R I O P á g i n a 1. I N T R O D U Ç Ã O 11 2. O B J E T I V O S 13 3. L A S E R S D E E S T A D O S Ó L I D O H 3.1 D i n â m i c a da p o p u l a ç ã o d o meio ativo 14
3.2 M o d o s trans ver sai s 20 3.2.1 Características de u m feixe gaussiano 22
3.2.2 M o d o s d e o r d e m superior 23 3.2.3 Distribuição de intensidade do m o d o TEMoo 24
3.2.4 Distribuição de intensidade do m o d o TEMio 26 3.3 E q u a ç õ e s de taxa para um laser m u l t i m o d o 27 3.4 Solução analítica do limiar de oscilação para m o d o s transversais isolados 31
3.4.1 Limiar do m o d o TEMoo sob b o m b e a m e n t o lateral 31 3.4.2 Limiar do m o d o TEMjo sob b o m b e a m e n t o lateral 33
4. M E I O A T I V O E B O M B E A M E N T O 36 4.1 M e i o ativo 36 4.2 B o m b e a m e n t o 42 5. M A T E R I A I S E M É T O D O S 45 5.1 Meio ativo 45 5.2 B o m b e a m e n t o 48 5.3 Arranjo laser 51 5.3.1 Cavidade c o m u m a dobra 53 5.3.2 C a v i d a d e com duas dobras 56
6. R E S U L T A D O S 59 6.1 C a v i d a d e com u m a d o b r a 59
6.2 Cavidade com u m a d o b r a e lâmina intracavidade 62
6.3 Cavidade com duas dobras 63
7. C O N C L U S Õ E S 70 8. A P Ê N D I C E A - O p e r a ç ã o em regime contínuo 71
10. A P Ê N D I C E C - M e d i d a s de lente térmica 78 11. A P Ê N D I C E D - Produção Bibliográfica 83 12. R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S 84
L I S T A D E F I G U R A S
F I G U R A 1 : D i a g r a m a de níveis simplificado em u m sistema de quatro níveis 18
F I G U R A 2: Configuração dos m o d o s transversais retangulares [2] 21
F I G U R A 3: P r o p a g a ç ã o de um feixe gaussiano 22 F I G U R A 4: Configuração da cavidade com reflexão interna total 25
F I G U R A 5: R a z ã o entre o limiar de oscilação do m o d o TEMoo e do m o d o TEMuj 35
F I G U R A 6: D i a g r a m a de níveis de energia simplificado do Nd: Y L F 40 F I G U R A 7: E s p e c t r o de absorção do cristal d e N d : Y L F d o p a d o com 0,8mol% de
n e o d i m i o 45 F I G U R A 8: Processo de preparação de amostras de cristais laser - Corte (centro superior),
lapidação (esquerda) e polimento (direita) 47 F I G U R A 9 : Cristal d e N d : Y L F preparado com d i m e n s õ e s de 14mm x 13mm x 3,7mm... 48
F I G U R A 10: E s p e c t r o de emissão d o diodo de 2 0 W sob regime pulsado 49 F I G U R A 11 : Porcentagem de potência absorvida em função da proflindidade da radiação
de b o m b e a m e n t o 50 F I G U R A 12: Seleção da polarização o por meio d o ângulo de Brewster 52
F I G U R A 13: D i a g r a m a da cavidade com u m a dobra. M l é o espelho curvo altamente
refletor, M 2 é o espelho plano de saída e f é a lente esférica de b o m b e a m e n t o 54
F I G U R A 14: F o t o da cavidade laser com u m a d o b r a 54 F I G U R A 15: D i a g r a m a da cavidade com duas dobras. M l é o espelho curvo altamente
refletor, M 2 é o espelho plano de saída, M J é o espelho plano altamente refletor e f é a
lente esférica de b o m b e a m e n t o 56 F I G U R A 16: F o t o da cavidade laser com duas d o b r a s 5 7
F I G U R A 17: Distância d entre as duas passagens d o feixe intracavidade na configuração
com duas dobras 58
F I G U R A 19: Potencia de saída em função da potência de b o m b e a m e n t o da cavidade c o m
u m a dobra usando diferentes transmissões (T) do espelho de saída 60 F I G U R A 20: Perfil do feixe de saída na cavidade c o m u m a dobra 60 F I G U R A 2 1 : Qualidade d o feixe laser na horizontal (esquerda) e na vertical (direita) para a
cavidade com u m a dobra 61 F I G U R A 22: Análise de Findlay-Clay para a cavidade com u m a dobra 61
F I G U R A 2 3 : Potência de saída em função da potência de b o m b e a m e n t o do arranjo com
u m a dobra usando lâmina intracavidade para obtenção do m o d o fiandamental 62 F I G U R A 24: Qualidade do feixe laser na horizontal (esquerda) e na vertical (direita) com
u m a dobra e lâmina intracavidade 63 F I G U R A 2 5 : Potência de saída em função da potência de b o m b e a m e n t o da cavidade com
duas d o b r a s na configuração c o m maior eficiência 64 F I G U R A 26: Análise de Findlay-Clay para a cavidade com d u a s d o b r a s na configuração
com maior eficiência 64 F I G U R A 27: Perfil do feixe de saída na cavidade com duas dobras na configuração c o m
maior eficiência 65 F I G U R A 2 8 : Qualidade do feixe laser para a cavidade com duas dobras na configuração
com m a i o r eficiência 65 F I G U R A 29: Perfil d o feixe na cavidade com duas dobras no m o d o fundamental 65
F I G U R A 30: Potência de saída em função da potência de b o m b e a m e n t o da cavidade c o m
duas dobras no m o d o fundamental 66 F I G U R A 3 1 : Qualidade do feixe laser para a cavidade c o m duas dobras no m o d o
fundamental 66 F I G U R A 32: Análise de Findlay-Clay para a cavidade c o m duas dobras no m o d o
fundamental 67 F I G U R A 3 3 : Secções xy d o cristal na região de b o m b e a m e n t o , a) distribuição da
intensidade de b o m b e a m e n t o ; b) distribuição da intensidade d o s m o d o s TEMoo paralelos
F I G U R A 34; Limiar de oscilação d o m o d o TEMio em função da distância entre as duas passagens do feixe na configuração com duas dobras: simulação (linha) e resultados
experimentais (pontos) 69 F I G U R A 35: R e p r e s e n t a ç ã o do suporte para refi-igeração do cristal 72
F I G U R A 36: Potência de saída em fijnção da potência de b o m b e a m e n t o do arranjo c o m
uma dobra sob regime continuo 72 F I G U R A 37: D i a g r a m a da cavidade com u m a dobra e emissão em 1047nm. M l é o
espelho curvo altamente refletor, M 2 é o espelho plano de saída e f é a lente esférica de
b o m b e a m e n t o 74 F I G U R A 38: Espectro de absorção do cristal de Nd: Y L F d o p a d o c o m l , 3 m o l % de
neodímio 75 F I G U R A 39: Espectro de emissão d o laser na polarização TU 76
F I G U R A 40: Potência de saída em função da potência de b o m b e a m e n t o do arranjo c o m
emissão em 1047nm 76 F I G U R A 4 1 : Arranjo experimental para a determinação da distância focal da lente térmica
no cristal 79 F I G U R A 42: Diferença entre o raio do feixe de H e N e antes e a p ó s o b o m b e a m e n t o {rj
-em virtude da lente térmica. O s valores sobre a curva indicam a distância focal
calculada 80 F I G U R A 4 3 ; Arranjo experimental para a determinação do raio de curvatura da superficie
de b o m b e a m e n t o 81 F I G U R A 44: Diferença entre o raio d o feixe de H e N e antes e após o b o m b e a m e n t o (r2'
-ri), em virtude da curvatura da face de b o m b e a m e n t o . O s valores sobre a curva indicam o
1. I N T R O D U Ç Ã O
A cada dia o laser se consolida c o m o u m a s das principáis ferramentas de alta tecnologia existentes, estando presente nos mais diversos ramos da atividade humana. Desta forma, está em constante p r o c e s s o de inovação, n u m a busca incessante p o r melhor d e s e m p e n h o . O desenvolvimento de lasers d e e s t a d o sólido baseia-se na c o n c e p ç ã o de arranjos inovadores que possibilitem a obtenção d e alta eficiência e alta qualidade de feixe. E m geral, o m o d o fundamental é o mais almejado em aplicações laser. P a r a a o b t e n ç ã o do m o d o fiandamental com alta eficiência, um dos e l e m e n t o s mais importantes é a otimização da sobreposição entre o v o l u m e do feixe intracavidade e a região do meio ativo excitada pela fonte de b o m b e a m e n t o . N e s t e trabalho, é m o s t r a d o o desenvolvimento de uma cavidade inovadora, que demonstrou a maior eficiência j á reportada em um laser de Nd: Y L F com transição em 1053 n m sob b o m b e a d o transversal por diodo laser.
N a busca por lasers c o m p a c t o s e de alto d e s e m p e n h o , a utilização de lasers de diodo como fonte de b o m b e a m e n t o se justifica em vista das vantagens inerentes à melhor utilização da energia de b o m b e a m e n t o , acarretando na diminuição do calor depositado no meio ativo. D e s t a forma, além d o a u m e n t o da eficiência de operação, o uso do d i o d o laser também diminui o s efeitos térmicos decorrentes do b o m b e a m e n t o , permitindo a obtenção de melhor qualidade do feixe de saída. O b o m b e a m e n t o longitudinal é a configuração mais eficiente para a transferência de energia ao meio ativo. C o n t u d o , sua utilização com d í o d o s de alta potência é restringida pela necessidade de c o m p l e x o s arranjos para a reconfiguração do feixe de b o m b e a m e n t o . Além disto, para p r o m o v e r o acoplamento com o m o d o fundamental, torna-se necessário concentrar a energia de b o m b e a m e n t o em u m a área diminuta, o que limita a potência de b o m b e a m e n t o devido ao risco de fratura por t e n s õ e s térmicas. O cristal de N d : Y L F possibilita a o b t e n ç ã o de alta qualidade do feixe de saída, especialmente pela sua baixa lente térmica, contudo, possui a desvantagem de um baixo limiar de fratura. Desta forma, o uso do b o m b e a m e n t o transversal se torna mais propício para esta matriz, por permitir a utilização de arranjos mais simples e o a u m e n t o da potência de b o m b e a m e n t o depositada no meio afivo, ao custo de u m a pior sobreposição com o feixe laser.
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Para a obtenção de alta eficiência sob b o m b e a m e n t o transversal, este trabalho mostra o desenvolvimento de uma configuração inovadora utilizando incidência em ângulo de B r e w s t e r para a reflexão interna total na face de b o m b e a m e n t o . P a r a otimizar o a c o p l a m e n t o c o m o m o d o fundamental é m o s t r a d a u m a configuração inovadora c o m duas reflexões internas na face de b o m b e a m e n t o .
Diversas configurações, utilizando múltiplas reflexões d o feixe dentro d o meio afivo, j á foram reportadas para lasers c o m b o m b e a m e n t o transversal p o r diodo. E m geral, estas configurações possuem a radiação d e b o m b e a m e n t o b e m distribuida n o meio ativo. O laser desenvolvido neste trabalho se diferencia de outros por fazer uso de u m a configuração proposta para meios de alto g a n h o que p r o m o v e um melhor aproveitamento da alta inversão de população concentrada próxima à face de b o m b e a m e n t o , onde o feixe intracavidade realiza a reflexão interna total. N o entanto, c o m o o N d : Y L F possui baixa absorção, é possivel introduzir u m a inovação pela incidência em ângulo de Brewster, que é utilizado para minimizar a perda por reflexão sem a necessidade de utilização de filmes-finos anti-refletores. Desta forma, a configuração demonstrada neste trabalho reúne alta eficiência e simplicidade, em conjunto c o m as vantagens oferecidas pelo cristal d e N d : Y L F , principalmente a baixa lente térmica observada em 1053 nm.
O presente trabalho aborda o processo de d e s e n v o l v i m e n t o do laser em suas c o n c e p ç õ e s prática e teórica. Inicialmente, é mostrada a teoria e os conceitos gerais a respeito de lasers d e estado sólido e m o d o s transversais em u m a cavidade ressonante, b e m c o m o os m e c a n i s m o s necessários para a otimização da qualidade do feixe de saída, e x p o n d o - s e as equações de taxa para determinação dos limiares de oscilação dos m o d o s transversais. E m seguida, é mostrado o desenvolvimento experimental durante a preparação das amostras de cristais e m p r e g a d a s na cavidade e a m o n t a g e m d o protótipo do laser de N d : YLF b o m b e a d o transversalmente por díodo, expondo-se, ao final, os resultados encontrados.
2. O B J E T I V O S
O objetivo deste trabalho é a otimização da eficiência e da qualidade d o feixe em lasers d e N d : Y L F b o m b e a d o s transversalmente por diodo, por meio da otimização d o acoplamento d o m o d o fundamental c o m a região do meio ativo excitada pela fonte de b o m b e a m e n t o , utilizando cavidades inovadoras com incidência em ângulo de B r e w s t e r para a reflexão interna total na face de b o m b e a m e n t o .
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3 . L A S E R S D E E S T A D O S Ó L r o O
3.1 D i n â m i c a da população do meio ativo
Segundo os postulados da teoria quântica, sistemas a t ô m i c o s e moleculares só p o d e m existir em certos estados permitidos, caracterizados por níveis discretos de energia. Em u m sistema de á t o m o s similares e m equilíbrio térmico à temperatura T, o número relativo de partículas em dois estados de energia diferentes é d a d o pela relação de Boltzmann [1]
N , _ g .
" ' ^ (1) N , g,
onde k é a constante de B o l t z m a n n ( k = 1,38-10'^ J - K ) e Ni e N2 são o n ú m e r o de partículas n o s estados de energia Ei e E2, respectivamente, sendo E2 > E i . Q u a n d o dois ou mais e s t a d o s possuem a m e s m a energia, o nível é dito degenerado e t o d o s o s estados de m e s m a energia são igualmente populados. A degenerescencia d o s estados de m e n o r e maior energia é representada por gi e gi respectivamente.
D e s t a forma, a relação de B o l t z m a n n p r e v ê que, em um sistema de dois níveis em equilíbrio térmico, o nível de m e n o r energia é mais d e n s a m e n t e populado que o nível de maior energia. N o entanto, na presença de u m c a m p o eletromagnético c o m densidade de energia p ( v ) e freqüência v ressonante, o s á t o m o s p o d e m ser excitados para o estado de maior energia por meio da absorção de fótons c o m a exata diferença d e energia hv entre os níveis (AE = E2 - Ei = h v ) , sendo h a constante de Planck ( h = 6,62 • 10"'^ J • s ) .
A probabilidade de transição d o estado de energia inferior para o superior em virtude do efeito do c a m p o eletromagnético é dada por uma constante de proporcionalidade B!2 (com d i m e n s õ e s cm-'/(s^ J)) m u h i p l i c a d a pela densidade de energia da radiação aplicada.
^ = B , - p ( v ) . N , = W „ - N , (2) dt
em q u e W n é a taxa de absorção pelos á t o m o s dada em s"'.
U m á t o m o no estado excitado pode retornar naturalmente ao estado de energia mais baixo p o r meio d o processo de emissão espontânea, emitindo u m fóton com energia h v igual à diferença de energia entre os níveis. A emissão espontânea é caracterizada pelo t e m p o de vida do estado excitado, reduzindo a população do nível superior n u m a taxa proporcional à constante A21 (em u n i d a d e de s''), que representa a probabilidade de transição espontânea e é igual ao recíproco do t e m p o de vida do nível ( T 2 1 ) .
— - = - A . , - N . = (3)
d t T , ,
O s fótons emitidos por emissão espontânea pelos diferentes á t o m o s p o s s u e m direções aleatórias e constituem processos individuais; por isso, não possuem relação de fase, sendo incoerentes.
U m á t o m o num estado excitado t a m b é m p o d e transitar para u m e s t a d o de m e n o r energia através de outro mecanismo, conhecido c o m o emissão estimulada. N e s t e caso, u m fóton incidente de energia h v estimula o á t o m o a retornar ao estado de energia mais baixo e dois fótons coerentes e de m e s m a energia h v emergem. A probabilidade de decaimento estimulado, em contraste à emissão espontânea, é proporcional à densidade de energia d o c a m p o incidente, b e m c o m o à constante de proporcionalidade B21. Assim, a emissão estimulada reduz a população d o nível superior em u m a taxa dada por
d N , , .
- ^ = - B 3 , • p ( v ) - N , = - W „ - N 3 (4)
onde W21 é a taxa de emissão estimulada dada em s"'.
Assim, a taxa c o m que a p o p u l a ç ã o do nivel superior aumenta devido à absorção é dada por
16
taxa de emissão _ N , -[A,, + B , , •p(v)] _ ^
taxa de absorção N | B ] 2 p ( v ) (5)
por
Tem-se, então, que a densidade d e energia d o c a m p o incidente p o d e ser dada
P(v) =
B . , (6)
Ufilizando-se a relação de Boltzmann, dada na e q u a ç ã o 1 , tem-se
P(v) = A ^ B , 21
g - B
(7)
E s t a equação deve ser consistente com o espectro de radiação do corpo negro de Planck mostrada na equação 8.
P(v) = STthv' e ^ T - 1 (8)
onde c é velocidade da luz. C o m p a r a n d o - s e a e q u a ç ã o 7 c o m a relação de Planck (8), obtém-se as relações d o s coeficientes d e Einstein:
B 2 , = ^ B , 3
A,, _ 8jthv-' B „ c '
(9)
(10)
A probabilidade total de u m á t o m o passar do estado excitado para o estado fundamental é igual à soma da probabilidade de emissão espontânea e de e m i s s ã o estimulada. C o n s i d e r a n d o que os á t o m o s d o sistema estão em equilíbrio térmico, a taxa c o m que os á t o m o s são excitados ao nível de m a i o r energia é igual á taxa total de e m i s s ã o c o m que o átomo retorna ao estado fiandamental:
P o r meio da relação 9 pode-se constatar que, quando dois niveis não possuem degenerescências, a probabilidade d e e m i s s ã o estimulada é igual à probabilidade d e absorção. D e s t a forma, a e q u a ç ã o 5 p o d e ser reescrita c o m o
taxa de emissão taxa de absorção 1+ " B , , . p ( v ) J N N (11)
Através da e q u a ç ã o de Planck, a relação 10 t a m b é m pode ser explicitada c o m o
A ^
"^^^ = e ^ r - l (12)
mostrando que, para á t o m o s em equilibrio térmico, a emissão espontânea é mais provável do que a emissão estimulada se h v » k T . N o entanto, a emissão estimulada p o d e ser preponderante se h v « k T . N e s t a condição, a e q u a ç ã o 12 t o m a - s e nula de forma que a relação entre as taxas de e m i s s ã o e absorção fica exclusivamente dependente da população d o s níveis:
taxa de emissão N , ^^^^ taxa de absorção N ,
Observa-se, então, que em situações fora d o equilíbrio térmico, se a população d o s estados é invertida de forma q u e a população do nível superior seja maior do que a do nível inferior ( N 2 > N i ) , a taxa de emissão será maior que a taxa de absorção, implicando na amplificação da intensidade da radiação aplicada. Isto t a m b é m p o d e ser constatado por meio da lei de L a m b e r t - B e e r dada em função da secção de choque de emissão estimulada
(021) e da densidade de população (n) d o s níveis, d a d a em unidades d e cm"'
Conforme visto anteriormente, de a c o r d o com a relação de Boltzmann, quando o sistema estiver em equilíbrio térmico, p o u c o s á t o m o s ocuparão o nível de maior energia. C o m o n i » n 2 , a diferença de p o p u l a ç ã o (ni - n2) é positiva, de forma q u e a Lei de
18
n = An,, = U T ~- n > 0 (15)
A maioria d o s sistemas lasers apresenta estrutura bem mais c o m p l e x a que o sistema de dois níveis, em virtude da eficiência para se atingir u m a inversão de população. E m geral, sistemas d e quatro níveis p o d e m ser altamente eficientes. N a figura 1, p o d e - s e observar o diagrama simplificado dos níveis de energia em u m sistema de quatro níveis.
FIGURA 1: Diagrama de níveis simplificado em um sistema de quatro níveis.
Num sistema de quatro níveis, os átomos no estado fundamental Eo são excitados p o r u m c a m p o eletromagnético externo com energia E03 = E 3 - EQ para o nível
L a m b e r t - B e e r descreve a absorção exponencial da radiação incidente ao longo d o material. P o r é m , sendo possivel ocorrer uma inversão de população, a diferença entre as p o p u l a ç õ e s torna-se negativa e a a b s o r ç ã o é convertida em emissão estimulada, o c o r r e n d o amplificação da radiação. Tal p r o c e s s o reduzirá a p o p u l a ç ã o do nível superior até que o equilíbrio se restabeleça. Para m a n t e r o processo de emissão estimulada é necessário conservar a inversão d e p o p u l a ç ã o injetando-se energia n o sistema por meio de u m m e c a n i s m o de b o m b e a m e n t o .
dn;, " d T í ^ \ 8 2 " 2 ^" " 1 n , n . (16) 20
Segundo a equação 16, a p o p u l a ç ã o d o nível laser superior a u m e n t a devido ao b o m b e a m e n t o e diminui devido à e m i s s ã o estimulada e à emissão espontânea. O termo Wpno foi adicionado para caracterizar o efeito d o b o m b e a m e n t o , representando o n ú m e r o de á t o m o s transferidos d o nível fundamental para o nível laser superior (em unidade d e cm'^'s"'), o n d e Wp é a taxa de b o m b e a m e n t o levando em consideração a eficiência d e transferência do nível p a r a o nível n2. O segundo t e r m o d o lado direito da e q u a ç ã o representa a emissão estimulada e a a b s o r ç ã o , d a d o em função da inversão de população e Es. Os átomos excitados r a p i d a m e n t e d e c a e m por emissão não-radiativa para o nível laser superior (E2). A transição laser o c o r r e com o decaimento estimulado d o nível E2 para o nível laser inferior Ei por emissão radiativa. N o nível E i , os átomos decaem por emissão não-radiativa para o estado fiandamental. O t e m p o de relaxação entre o nível Ei e o nível fiandamental (xjo) é caracterizado por ser muito rápido c o m p a r a d o c o m o t e m p o de vida d e fluorescência ( T 2 1 ) , ou seja, xio « X21
Transições não-radiativas se caracterizam por possuírem curtos tempos de vida e ocorrem entre níveis m u i t o próximos, emitindo fônons na rede cristalina O s fônons são os responsáveis pelo a q u e c i m e n t o d o material hospedeiro. E m níveis c o m m a i o r e s diferenças de energia, a probabilidade de d e c a i m e n t o não-radiativo é menor, p o d e n d o ocorrer decaimento radiativo ou m ú h i p l o s processos não-radiativos. Q u a n d o u m nível apresenta muitas transições proibidas, de a c o r d o com as regras de seleção, a probabilidade de ele decair para um nível de m e n o r energia p o d e diminuir, apresentando, portanto, um maior t e m p o de vida e sendo d e n o m i n a d o metaestável. A existência d o nível metaestável é de vital importância para ação laser por permitir a ocorrência de inversão de população.
Para ocorrer inversão de p o p u l a ç ã o no nível metaestável, outras condições devem ser respeitadas. Para que os elétrons excitados ao nível E3 sejam transferidos para o nível E2 ao invés de retornar ao nível fundamental, é necessário q u e X30 » X32. C o n s i d e r a n d o que o t e m p o de vida é muito pequeno e que ocorre somente decaimento ao nível E2, pode-se negligenciar a p o p u l a ç ã o d o nível E3, isto é, n 3 « 0. D e s t a forma, a equação de taxa que descreve o nível superior laser em u m sistema de quatro níveis é dada pela e q u a ç ã o 16 [2].
2 0
dn,
lit
n , - n , + (17) "^21 "^ind e m o n s t r a n d o q u e a população a u m e n t a c o m a e m i s s ã o estimulada e a e m i s s ã o espontânea do nível laser superior e c o m a absorção, m a s diminui devido a um processo de relaxação não-radiativo para o nível fundamental caracterizado pelo t e m p o de d e c a i m e n t o iio.
E m u m laser de quatro níveis o t e m p o de d e c a i m e n t o Xio é caracterizado p o r ser muito rápido. D e s t a forma, considerando X i o « O, segue que ni = 0. Assim, a inversão de população n p o d e ser aproximada para a d e n s i d a d e de á t o m o s n 2 d o nível laser superior, obtendo-se da equação 16 a equação de taxa para um sistema de quatro níveis ideal:
= W - n , , - c a. j S- n (18)
dt
considerando o t e m p o de fluorescência d o nível laser superior dado por
1 1 1
- + — (19)
3.2 M o d o s transversais
O s m o d o s são classificados conforme a variação do c a m p o eletromagnético perpendicularmente e ao longo d o eixo do ressonador. As características espectrais de u m laser são determinadas principalmente pelos m o d o s longitudinais, a o passo que as características espaciais c o m o a divergência, o diâmetro e a distribuição de energia d o feixe são determinados pelos m o d o s transversais. E m geral, em um r e s s o n a d o r óptico p o d e haver mais de u m m o d o , tanto transversal q u a n t o longitudinal.
da taxa de e m i s s ã o W21 = C G 2 1 S , em que s é a d e n s i d a d e de fótons p o r unidade de área. T a m b é m foram adicionados os t e r m o s referentes à e m i s s ã o espontânea d o nível laser superior para o nível laser inferior e para o nível fundamental, relacionando a população d o nível c o m o t e m p o de decaimento X21 e T20 em c a d a u m a destas transições respectivamente.
D a m e s m a forma, a população do nível laser inferior é descrita pela seguinte equação de taxa
II III INI
00 10 20 m #«!•
• 1 ! • 11 21 3 3 30 04FIGURA 2: Configuração dos modos transversais retangulares [2].
E m coordenadas retangulares, a intensidade de um m o d o TEMmn é dada por
H . w • exp í 2 A - X W H . y w ( z ) • exp í 2 ^ ' - y w (20)
As funções Hm(s) e H„(s) são os polinomios de H e r m i t e de ordem m e n, ao passo q u e w{z) é o raio do feixe de menor ordem q u a n d o sua intensidade diminui a 1/e^ do valor m á x i m o [3]. Sendo s = V2 • x / w ( z ) , os polinomios de H e r m i t e são representados por
H o ( s ) = l H , ( s ) = 2 s H , ( s ) = 4 s ^ - 2 H 3 ( s ) - 8 s ' - 1 2 s H , ( s ) = 1 6 s ' - 4 8 s ' + 1 2 (21) (22) (23) (24) (25)
COMISSÃO MAC;.^,v,. .:.L.-fe"í-, .A.CLG^R/SP^PEa'
Os m o d o s transversais que oscilam em u m a cavidade laser são designados pela sigla TEMmn para coordenadas cartesianas, em que os índices m e n são inteiros q u e indicam, para u m a secção transversal arbitrária d o feixe emergente, o n ú m e r o de linhas nodais de intensidade d o feixe nas direções vertical e horizontal, respectivamente. N a figura 2 é possível observar e x e m p l o s de alguns m o d o s transversais retangulares, em q u e a ordem do m o d o (m ou n) indica o n ú m e r o de regiões claras na direção x ou y.
22
l ( r , z ) = I, • exp - r" w
(26)
o n d e w é o raio d o feixe em que a intensidade diminui a 1/e^ d o valor máximo. D e s t a forma, a secção transversal definida pelo raio r = w contém 8 6 , 5 % da energía total d o feixe gaussiano.
Durante a p r o p a g a ç ã o d e u m feixe gaussiano a o longo d e u m eixo na direção z (figura 3), o feixe se contrai para u m diámetro mínimo 2wo na cintura e, então, se expande c o m o u m a hipérbole da seguinte forma:
w ( z ) = w „ • 1 +
V
(27)
FIGURA 3: Propagação de um feixe gaussiano.
3.2.1 Características de u m feixe gaussiano
O m o d o de ordem mais baixa em u m a cavidade ressonante é d e n o m i n a d o c o m o m o d o fundamental ou m o d o TEMoo e a sua intensidade o b e d e c e a u m a distribuição gaussiana. O m o d o fundamental é o mais almejado em aplicações laser devido a diversas razões, dentre elas: possui alta coerência espacial; a divergência angular d o feixe é m í n i m a ; e, quando focado, o diâmetro transverso d o v o l u m e focal é m í n i m o [4] A intensidade e m u m feixe gaussiano decresce radialmente c o m a distância r c o m o mostrado na equação 26.
b = ^ ^ ^ (28)
F o r a da região definida pelo parâmetro confocal, o feixe diverge com o seguinte ângulo
e = l i m ^ = - ^ (29)
3.2.2 M o d o s de o r d e m s u p e r i o r
O m o d o fijndamental possui o menor diâmetro e a menor divergência de feixe no ressonador, características q u e a u m e n t a m para m o d o s d e ordem superiores. Assim, o raio w ' ( z ) de u m feixe de o r d e m superior aumenta por u m fator M e m relação ao raio do m o d o fundamental, conforme mostrado na equação 30.
w ' ( z ) = M - w ( z ) (30)
Analogamente, a divergência de u m m o d o de ordem superior ( 6 ' ) t a m b é m a u m e n t a segundo o fator M.
e ' = M - e (31)
Multiplicando a divergência pelo diâmetro mínimo do feixe, obtém-se
e ' - w V , ( z ) = M - e - w „ ( z ) = M ^ . - (32)
71
O intervalo definido entre os dois pontos ao lado da cintura do feixe em q u e w ( z ) = V2w„ é conhecido c o m o parâmetro confocal, s e n d o uma região onde o diâmetro d o feixe varia muito p o u c o , sendo freqüentemente utilizado para a caracterização do feixe gaussiano. O parâmetro confocal é d a d o pela expressão 28.
24
w ' ( z ) = w',.. 1 + M - X - ( z - z „ y 7t-W ,
(33)
O parámetro é u m fator de qualidade do feixe reconhecido m u n d i a l m e n t e e compara a divergência de u m feixe com distribuição arbitrária com a divergência do feixe no m o d o fundamental. D e s t a forma, o fator indica o n ú m e r o de vezes que a divergência do feixe supera a divergência do m o d o fundamental. O fator d e qualidade no m o d o fundamental é idealmente igual a 1, a u m e n t a n d o gradativamente para m o d o s de o r d e m superior. N a prática, o M ^ do m o d o fimdamental é adotado entre 1 e 1,5.
3.2.3 Distribuição de intensidade do m o d o T E M o o
A intensidade do m o d o fundamental p o d e ser obfida substituindo, na e q u a ç ã o genérica 20, o polinomio de Hermite para ordem zero, expresso na equação 2 1 , obtendo-se então loo = I o - exp 2 x -w • exp - 2 y w Hz). (34)
Para a configuração da cavidade utilizada neste trabalho (figura 4) é preciso complementar esta teoria, pois, q u a n d o o feixe intracavidade realiza u m a dobra no interior do meio ativo, é necessário considerar a sobreposição do feixe sobre si mesmo. Desta forma, para o m o d o TEMoo a distribuição da intensidade do m o d o passa a ser dada pela equação 35. loo = I o i exp -2{x-Dy wHz) + exp - 2 - ( x + D)^ • exp
-2r
w = (z). (35)onde D é a distância do feixe à borda do cristal no centro de bombeamento.
Desta forma, um feixe de ordem superior se expande na p r o p a g a ç ã o ao longo da direção z conforme descrito na equação 3 3 .
O valor de lo pode ser obtido por meio da normalização da gaussiana e m cada uma das direções, tal c o m o é mostrado na equação 36 para a direção x.
uu
exp - 2 ( x - D ) - + exp -2.{x + Df w ^ ( z )
(36)
A solução da integração da gaussiana é dada por
e - ^ d x = i , p
2 V a
(37)
Sob incidência rasante pode-se estimar que D = 0. Portanto, aplicando esta solução á normalização do modo, obtém-se
^ ° - ~ y ^ w ( z )
(38)
O mesmo procedimento se aplica à normalização na direção y para o intervalo de integração de -oo a +qo, de tal forma que Io,x = Io,y. Considerando o diâmetro do feixe laser ( W L ) constante ao longo do eixo z, a normalização nesta direção gera um fator lo,z = l//cav, onde /cav é o comprimento da cavidade laser. Substituindo estes dados na equação 34, chega-se à expressão de intensidade do modo TEMoo.
Ioo =
W / - 7 1 - 1
•exp ^ - 2 x ^ ^ exp •2y=
FIGURA 4: Confíguração da cavidade com reflexão interna total
2 6 ^ l o Iq 8x^ w - ( z ) 2 ( x D ) -w ^ ( z ) + exp - 2 - (x +d ) ^ w ^ ( z ) •exp - 2 y w ^ ( z ) (40)
O valor de Io e m x p o d e ser obtido p o r meio da normalização d o m o d o nesta direção. r 8x^ w exp 2 ( x - D y w = ( z ) + exp - 2 - ( x - f D ) ^ w ^ ( z ) •dx = l (41)
Sendo a solução da integral 41 dada p o r
X • e • dx = a ' - (42)
encontra-se q u e Io,.k é dado de acordo com a e q u a ç ã o 4 3 , q u a n d o D = 0.
71 2 w ( z ) (43)
C o m o na direção y a o r d e m é zero, a n o r m a l i z a ç ã o em y é a m e s m a realizada para o m o d o fundamental e Io,y é d a d o de a c o r d o com a e q u a ç ã o 38. O diâmetro do feixe laser é considerado constante ao longo d o eixo z, sendo w l o raio do feixe no m o d o fundamental. D e s t a forma, substituindo os resultados na equação 4 0 , obtém-se a distribuição d e intensidade d o m o d o TEMio.
1,0 = W , - T l - l , • X "• • exp - 2 x • exp ^ - 2 y ^ ^ V W l y (44) 3.2.4 Distribuição de intensidade do m o d o T E M i o
U m p r o c e s s o similar p o d e ser realizado p a r a se determinar a distribuição d e intensidade para outros m o d o s . Desta forma, a intensidade do m o d o TEMio p o d e ser obtida substituindo na e q u a ç ã o 2 0 o polinomio de o r d e m 1 p a r a a direção x e o polinomio d e o r d e m zero para a direção y, o q u e resulta em
d n ( x , y , z ) / X x-^ / X n ( x . Y , z )
\ = r ( . . . y . z ) - c • a „ • n ( x , y . z ) • s, ( x y . z ) — = 0 ( 4 5 )
dt ^
T,-R e s o l v e n d o a equação 4 5 para a densidade de fótons tem-se
n ( . . v . z ) = ^ " t ^ ^ , ^ ( 4 6 ) l + 2 ] S i ( . . , y . z ) / l , em q u e lo é definido c o m o 1 Io = — ( 4 7 ) c - a , , - T ,
A equação q u e descreve a densidade d e fótons é dada e m ftinção d o decaimento estimulado subtraído das perdas.
dS. rrr
= JJJ c • a , , • n ( x , y , z ) • s, ( . . . y . z ) • d V - y , • S , = o ( 4 8 )
cavidade
sendo Si o número total de fótons do m o d o laser c o m p o s t o por i m o d o s transversais
S, = J s , ( x y , z ) d V ( 4 9 ) cavidade
3.3 E q u a ç õ e s d e taxa para u m laser m u l t i m o d o
A e q u a ç ã o de taxa q u e descreve a inversão de população em u m laser ideal d e quatro níveis, m o s t r a d a na equação 18, p o d e ser reescrita n o estado estacionario levando em consideração a distribuição espacial d o feixe laser e d o feixe d e b o m b e a m e n t o . Para tanto, a equação é dada e m função d a taxa d e b o m b e a m e n t o r(x,y,z) ( e m u n i d a d e d e cm'^s'') e da densidade de fótons do i-ésimo m o d o transversal Si (x,y,z) [5, 6 ] .
28
Y i = =
21.
(50)
Substituindo, na e x p r e s s ã o 4 8 , a densidade d e inversão d e p o p u l a ç ã o obtida e m 46, o b t é m - s e a relação entre a intensidade d o s m o d o s e a taxa d e b o m b e a m e n t o , c o n s i d e r a n d o as distribuições espaciais d o feixe laser e d o feixe de b o m b e a m e n t o . R e l a ç ã o q u e d e m o n s t r a o c o m p o r t a m e n t o de u m m o d o i na presença de outros m o d o s j .
S „ , ( x , y . z ) - I ^ - , ( x , y . z ) _ ^ h ' 1,
cavidade l + X S j - S „ ^ j ( x , y , z ) / I o R
(51)
A densidade d e fótons e a t a x a d e b o m b e a m e n t o p o d e m ser expressas p o r
S , ( . . . y . z ) = S, • S o , , ( N . y . z )
r ( . , v , z ) - R - i ; , ( x , y . z )
(52) (53)
o n d e so^i e ro são distribuições normalizadas.
JJJs,,,(x.y,z).dV= JJJr,(.vy,z).dV = l
cavidade cavidade
(54)
P a r a o caso de oscilação s o m e n t e d e u m d e t e r m i n a d o m o d o na cavidade, a densidade d e fótons ( S ) dos demais m o d o s é nula. D e s t a forma, a partir da e q u a ç ã o 50 o b t é m - s e a equação 55.
líí
S o , i ( x . y - z ) - r „ ( x . y . z )cavidade ^ ^ ^ i ' ^ O j ( • ' ' • y - ^ ) / ! ^ !
•dV =
R (55)
A taxa d e p e r d a s d e fótons d o m o d o (yí) é caracterizada pela p e r d a p o r duplo passo (Li), q u e inclui a transmissão d o s espelhos, em u m a cavidade d e c o m p r i m e n t o /¿av.
L
P P
R = - ^ = - - ^ - r i , • ( 5 7 )
h- U p h- U p
o n d e Vp e V L são as freqüências d e b o m b e a m e n t o e d e emissão do laser, respectivamente, T é a transmissão d o espelho d e saída e q» é a eficiência d e absorção. A potência absorvida pelo meio ativo está relacionada diretamente com a potência total d e b o m b e a m e n t o (Pp) por meio d a eficiência d e a b s o r ç ã o , o q u e p o d e ser expressa d a seguinte maneira
P a b s = P p - T „ ( l - e - « ' 0 ( 5 8 )
sendo a transmissão da superficie d e b o m b e a m e n t o , a o coeficiente de absorção e 4 o c o m p r i m e n t o do meio ativo na direção d e b o m b e a m e n t o .
O limiar d e oscilação d o m o d o i p o d e ser obtido resolvendo a equação 55 quando S i = 0.
l o - Y ,
Ru,.. = • r r r , " . . ( 5 9 )
J J s „ , i ( x . . y , z ) - r „ ( . x , y , z ) - d V
cavidade
Assim, utilizando a relação 57, obtém-se a potência de b o m b e a m e n t o n o limiar de oscilação d o m o d o i oscilando isoladamente na cavidade.
2-LCAV • < 7 2 1 - - TIA
em q u e V e f r é o v o l u m e efetivo d o m o d o , levando em consideração a sobreposição d o feixe
laser e d o feixe de b o m b e a m e n t o .
S i e R são e x p e r i m e n t a l m e n t e relacionados c o m a potência d e saida d o laser (Poui) e c o m a potência d e b o m b e a m e n t o absorvida (Pabs), respectivamente, conforme
30
] ] s o , ( x , , . x ) - r , ( x . y . O - d V
(61)
cavidade
N a região p r ó x i m a ao limiar, e m que Si é muito pequeno, pode-se utilizar a seguinte a p r o x i m a ç ã o para a equação 55
l o - T , ^ fff S , , , ( x . v . z ) - r , ( x , y , z ) 1 - S , • S o , ( x , y . z ) / I „ 1 + S , • S o , . ( x , y , z ) / l , 1 - S , • S o , , ( x , y , z ) / I o R Iq- T . ^ R cavidade S„ , ( x , y , z ) - r ; , ( x . y . z ) . ( l - S, - S. „ ( x . y . z ) / l „ ) - d V cavidade R e s o l v e n d o a e q u a ç ã o 63 para Si, o b t é m - s e (62) (63) S; = J s , j , ' ( x , y . z ) - r , . , ( x , y , z ) - d V S o, ( K , y. z) - r , . , ( x . y, z) d V -»^ cavidade R (64) cavidade
A o utilizar o limiar oscilação d o m o d o obtido n a equação 59, a expressão 64 passa a ser d a d a p o r S,. = ] J s , , ( x . y . z ) - r „ ( x . y , z ) - d V _ |_ cavidade y, • ' j J s o , - ( x . y , z ) - r , , ( x , y . z ) - d V • ( R - R . H J (65) cavidade
Substituindo este resultado na e q u a ç ã o 56 e, então, utilizando a e q u a ç ã o 57, obtém-se a relação entre a potência de saída e a potência d e b o m b e a m e n t o para oscilação do m o d o i p r ó x i m o a o limiar. J ] J s „ , , ( x . y , z ) - 1 7 , ( x . y . z ) - d V cavidade L. - " p J / J s„ / ( , . , , z) . r „ ( „ , , ) . d V cavidade • n a ( P p - P „ . , ) (66)
H e = j] ] s , , , ( x , y. ) - I 7, ( x , , z ) - d V cavidade J s , / ( x , y . z ) - 1 7 , ( x , y . ) - d V (67) cavidade
Assim, a eficiência angular ou
slop efficiency
(r^s) d o laser é dada porP - P L u (68)
3.4 Solução analítica d o limiar d e oscilação para m o d o s transversais isolados
3.4.1 Limiar d o m o d o T E M o o s o b b o m b e a m e n t o lateral
Para se determinar o limiar de oscilação de u m d e t e r m i n a d o m o d o na cavidade, conforme o exemplo d e m o n s t r a d o nas equações 59 e 60, é preciso determinar o volume efetivo do i-ésimo m o d o p o r meio da e q u a ç ã o 6 1 , que por sua vez é dependente das distribuições normalizadas da d e n s i d a d e de fótons e da taxa de b o m b e a m e n t o .
Para o m o d o fimdamental, a distribuição da densidade de fótons so.i é similar à distribuição de intensidade calculada na expressão 39. Para o caso de b o m b e a m e n t o transversal, o feixe possui u m perfil g a u s s i a n o na direção y e é absorvido e x p o n e n c i a l m e n t e na direção x. Portanto, a distribuição normalizada da taxa de b o m b e a m e n t o pode ser expressa conforme m o s t r a d o na equação 69.
a - V 2 Tt • W, 1 - e • exp - a • X - 2y' w p
J
(69)o n d e Wp é o raio d o feixe de b o m b e a m e n t o na direção y e é o c o m p r i m e n t o b o m b e a d o d o cristal na direção z.
A eficiência de a c o p l a m e n t o {r\c) entre o feixe laser e o feixe de b o m b e a m e n t o é representada da seguinte forma
32
D e s t a forma, o v o l u m e efetivo para o m o d o TEMoo é dado por
V eff.l 242-a
7 : - V 7 r - w , ^ W p - l , „ , - l ^ - f l - e - - ' ' ]
dx dy I dz • exp - a • X - 2 x
w
• exp 2y' 2y^
w
(70)
p J
Utilizando a solução 37 no intervalo de - c o a + o o para a integração na direção y.
-1 2a TT-w, - f l - e - ^ ' ^ ^ - l T Í • exp cav A/Wp + n 2 x -- a • X -w L J dx (71)
D a tabela de integrais [7] tem-se q u e
exp X '
Y - x
4P •dx = V ^ - e x p ( p - Y ' ) - [ l - 0 ( y V í 5 ) ] [ s e R e p > 0 ] (72)
o n d e a função erro é determinada c o m o
( D G # ) = - = - e - " - d t (73)
Utilizando a solução 72 pode-se calcular a integral em x da e q u a ç ã o 7 1 , obtendo-se o resultado do v o l u m e efetivo para o m o d o fundamental de a c o r d o com a função erro. - I a eflM = exp Í 2 T ^ • a " w L V J 1 - " d t (74)
59.
Assim, o limiar d o m o d o fimdamental p o d e ser determinado através da equação
a • L, exp í 2 2 \ 1 -2 a - w^ / 2 v ^ A e ' dt (75) 3.4.2 L i m i a r do m o d o T E M j o s o b b o m b e a m e n t o lateral
Tal c o m o d e m o n s t r a d o para o m o d o fundamental, o limiar d e oscilação d o m o d o T E M i o n a cavidade p o d e ser d e t e r m i n a d o calculando-se o v o l u m e efetivo deste m o d o , sendo q u e a distribuição d a densidade d e fótons So.2 obedece a distribuição d e intensidade calculada na expressão 4 4 e a distribuição da taxa d e b o m b e a m e n t o normalizada para o b o m b e a m e n t o transversal p e r m a n e c e a m e s m a para t o d o s o s m o d o s , conforme m o s t r a d o na e q u a ç ã o 69. D e s t a forma, o volume efetivo para o m o d o TEMio é d a d o pela e q u a ç ã o 76.
V 8^2-a
T T - V ^ - w . ^ - w - I , , , , . l ^ - f l - e - " ' '
dx I dy dz • X " • exp - a • X -2 x ' w
• exp 2y'
2y-w , 2y-w „
(76)
U ü l i z a n d o , para a direção y, a solução da integração da gaussiana mostrada na equação 37 para o intervalo d e - c o a + o o obtém-se, então, a equação 77.
V ^' - 8 a 7 f w , ^ ( l - e - « ' ' ) - l , „ , f ^ J T ^ i X • exp a x -2x 2 A w dx (77) I- J
A solução para integração em x é dada por 34 X ' • e x p ( - Y x - a x " ) d x = 4 a V a 8a •exp I I , 4 a . 1 - e " ' dt 4 a -(78)
Aplicando-se a solução 78, é possivel calcular a integral em x da e q u a ç ã o 77 e obter o resultado do volume efetivo para o m o d o TEMio, sendo que y = a e a = 2 /w l ^ .
V = a 1
1 + ^ • exp 1 - e ' ' - dt Wl - a
V27r
(79)
A partir do resultado do v o l u m e efetivo, é possivel determinar o limiar d e oscilação Rth.2 d o m o d o TEMio, conforme d e m o n s t r a d o na equação 59. D e s t a forma, a
razão entre os limiares d e oscilação d o m o d o TEMoo e do m o d o TEMio é d a d a por
RLH.2 V 2 ^ •exp 8 o - w , ('2^2 71 e ' ^ d t (80)
A e q u a ç ã o 80 está graficamente representada na figura 5, considerando um coeficiente de absorção igual a 8 c m ' ' , q u e corresponde a o valor e m p r e g a d o experi mentalmente.
FIGURA 5: Razão entre o limiar de oscilação do modo TEMoo e do modo TEMio.
D e a c o r d o com os d a d o s apresentados na figura 5, o m o d o TEMoo sempre apresenta m e n o r limiar de oscilação q u e o m o d o T E M j o , i n d e p e n d e n t e m e n t e d o raio d o feixe intracavidade.
36
4. M E I O A T I V O E B O M B E A M E N T O
D e forma geral, o funcionamento de u m laser d e p e n d e de três c o m p o n e n t e s principais: o meio ativo, a fonte de b o m b e a m e n t o e a cavidade óptica ressonante. Cada c o m p o n e n t e possui variantes distintas c o m v a n t a g e n s e desvantagens que os tornam propícios a determinadas aplicações e determinam as características finais d o laser.
4,1 M e i o ativo
O meio ativo de u m laser é o material em que ocorrem as transições enérgicas com a emissão de fótons e a conseqüente amplificação da luz. Este meio p o d e ser gasoso, sólido ou líquido. O s lasers que utilizam meio d e g a n h o sólido são d e n o m i n a d o s lasers de estado sólido. Materiais para operação laser d e v e m possuir determinadas características propícias para sua aplicação, devendo-se levar em consideração, por exemplo, a largura das linhas de e m i s s ã o e absorção, a eficiência quântica na transição de interesse, a resistência mecânica, entre outras. Lasers de e s t a d o sólido têm vantagens distintas sobre lasers que utilizam g a s e s ou líquidos, uma vez que a robustez inerente ao meio sólido proporciona u m a vida operacional maior.
O s m e i o s d e ganho de estado sólido geralmente são constituídos por uma matriz ou material hospedeiro o n d e são incorporadas pequenas quantidades de íons dopantes, em q u e o c o r r e r ã o as transições entre níveis de energia. Tais íons ativos são inseridos na matriz por meio da substituição de um dos seus elementos.
Cada ripo de material hospedeiro possui características ópticas, mecânicas e térmicas distintas, além de propriedades únicas na interação c o m o s íons dopantes. Para suportar as condições de operação de u m laser, o material hospedeiro deve possuir caracteristicas satisfatórias c o m o resistência mecânica, estabilidade química, ausência de tensões internas, facilidade de fabricação, entre diversas outras.
Os materiais hospedeiros de estado sólido p o d e m ser agrupados, de forma geral, em matrizes cristalinas ou vítreas. O s vidros apresentam a vantagem prática de maior facilidade para fabricação d e amostras com t a m a n h o grande, m a n t e n d o alta qualidade óptica. E m contrapartida, os íons ativos inseridos em matrizes vítreas, em geral, apresentam espectro de fluorescência mais largo, em virtude da ausência de u m c a m p o
cristalino b e m definido a o redor d o ion, o q u e confere a o s vidros m e n o r secção d e c h o q u e e, conseqüentemente, maior limiar d e o p e r a ç ã o laser [ 8 ] . E m b o r a linhas d e e m i s s ã o largas possam ser u m a vantagem na o b t e n ç ã o d e pulsos ultracurtos. Além disso, o s v i d r o s p o s s u e m condutividade térmica m e n o r q u e hospedeiros cristalinos p o r apresentarem u m a desordem estrutural, p o d e n d o acarretar e m intensos efeitos térmicos ou fratura, q u a n d o o p e r a d o s e m níveis a h o s d e energia. D e s t a forma, matrizes cristalinas oferecem v a n t a g e n s c o m o maiores valores d e condutividade térmica, largura d e linhas d e fluorescência mais estreita, limiares de o p e r a ç ã o mais baixos, e, em alguns casos, maior dureza. E m contrapartida, a qualidade óptica e a h o m o g e n e i d a d e da d o p a g e m n o s cristais são freqüentemente mais difíceis de se obter e as linhas d e absorção são geralmente mais estreitas, dificultando a ressonância c o m o c o m p r i m e n t o d e o n d a de b o m b e a m e n t o [2].
O s principais materiais hospedeiros cristalinos p o d e m ser a g r u p a d o s e m diferentes categorias, a seguir são m o s t r a d o s alguns e x e m p l o s de materiais para cada categoria:
• Ó x i d o s : safira (AI2O3), G r a n a d a s (Y3AI5O12 o u Y A G , GdsGa.^On ou G G G , Gd3Sc2Al30i2 ou G S G G ) , A l u m i n a t o s (YAIO3 ou Y A P ) e Oxisulfetos (La202S
ou L O S )
• Fosfatos e Silicatos: fluor-apatita (Ca5(P04)3F ou F A P ) e silicato d e oxi-apatita ( C a L a S O A P )
• Tungstatos, Molibdatos, V a n a d a t o s e Berilatos; C a W 0 4 , C a M o 0 4 , Y V O 4 e La2Be205 ou B E L
• Fluoretos: YLÍF4 o u Y L F , GdLiF4 ou G L F , e CaF2
O d o p a n t e da matriz é o e l e m e n t o e m q u e o c o r r e m as transições ópticas entre diferentes estados d e energia, d e t e r m i n a n d o as linhas espectrais de a b s o r ç ã o e emissão d o meio. D e s t a forma, existem lasers d e s e n v o l v i d o s a partir d e diferentes c o m b i n a ç õ e s entre matrizes e e l e m e n t o s dopantes, cada qual p o s s u i n d o suas próprias características q u e determinam as possíveis aplicações d e u m laser. Muitas interações entre a matriz hospedeira e o ion dopante restringem as possíveis c o m b i n a ç õ e s úteis, p o r exemplo, as propriedades espectroscópicas e a disparidade d e t a m a n h o e valência entre o s íons a serem substituídos. E m geral, após serem inseridos e m u m a matriz, o s íons ativos d e v e m possuir u m a transição radiativa útil para ação laser, c o m t e m p o d e vida alto e seção d e c h o q u e que leve a u m g a n h o significativo.
38
O s principais e l e m e n t o s dopantes incluem os íons de terras raras e os metais de transição. O s cristais d o p a d o s com íons trivalentes de terras raras são os materiais mais usados c o m o meio ativo em lasers de estado sólido por possuírem transições laser muito finas e cobrirem quase t o d a a região d o espectro visível e infi-avermelho p r ó x i m o [9]. O c o m p r i m e n t o de onda de e m i s s ã o do laser varia de acordo com o ion e, de fiarma mais sutil, de acordo com o material hospedeiro e m p r e g a d o .
As terras raras são um g r u p o de e l e m e n t o s q u í m i c o s constituído pelo g r u p o dos lantanídeos ( e l e m e n t o s c o m n ú m e r o a t ô m i c o entre 57 e 71), incluindo-se t a m b é m o escandio e o itrio. Atualmente, t o d o s os íons de terras raras e m p r e g a d o s c o m o meio ativo laser pertencem a o grupo dos lantanídeos. M e s m o os e l e m e n t o s que não são utilizados c o m o íons ativos para ação laser, acabam sendo e m p r e g a d o s c o m o codopantes, a b s o r v e d o r e s saturáveis ou c o m o e l e m e n t o primário em cristais laser (a e x e m p l o d o itrio nos cristais de Y L F e Y A G ) .
U m a das carcaterísticas d o s íons trivalentes de terras raras é a e m i s s ã o em linhas estreitas m e s m o na presença de ftjrtes c a m p o s locais da rede cristalina, c o m o conseqüência da proteção oferecida pelos elétrons das c a m a d a s mais externas [10]. A configuração eletrônica típica desses e l e m e n t o s p o d e ser resumida em: [Xe] 4 f 5s^ 5p*' 5d°"' 6s^ c o m n de 1 a 14. P o d e - s e observar que as configurações atômicas são caracterizadas por orbitais 4f p a r c i a l m e n t e p r e e n c h i d o s que se situam internamente aos orbitais 5s^5p^ da estrutura do Xe. Esta estrutura do X e atua c o m o u m a " c a s c a " ó p t i c a m e n t e inativa que blinda os níveis 4f d o átomo às perturbações externas. Assim, as emissões estreitas d o s íons d e terra rara são explicadas pelo fato dos elétrons que fazem a transição a partir d o s orbitais 4f estarem dentro de u m a c a m a d a protetora, interagindo fracamente c o m o u t r o s íons.
O ion d e neodímio foi o primeiro e l e m e n t o d o grupo das terras raras a ser utilizado c o m o meio ativo em u m laser e p e r m a n e c e c o m o u m d o s e l e m e n t o s mais importantes n e s t e g r u p o , sendo a m p l a m e n t e e m p r e g a d o e m diversos materiais hospedeiros para ação laser em sistemas de quatro níveis. As principais emissões radiativas do N d " ocorrem a partir do nível
'^F^a
para os níveis % / 2 , " 1 1 1 / 2 e "*Ii3/2 com c o m p r i m e n t o s de ondacentrados em 0,9; 1,06 e 1,35 |am, respectivamente, em que o nível "*l9/2 é o estado fundamental.
E n t r e os diversos fipos d e matrizes utilizadas c o m o meio ativo para o Nd'^", pode-se destacar o Y A G , o Y V O 4 e o YLF. C a d a matriz possui características que favorecem d e t e r m i n a d a s propriedades d o laser.
O Y A G é a matriz mais c o m u m e n t e e m p r e g a d a em virtude de sua b o a qualidade óptica, alta condutividade térmica e dureza, proporcionando u m a alta resistência d o material a fraturas, podendo, assim, suportar altas taxas d e b o m b e a m e n t o [11]. A l é m disso, sua estrutura cúbica favorece linhas de e m i s s ã o estreitas, alto ganho e b a i x o limiar de operação. C o n t u d o , o Y A G apresenta forte lente térmica e despolarização d o feixe e m
virtude da isotropia d o cristal, p o d e n d o ocasionar p e r d a de potência de saida d o laser [12]. Os v a n a d a t o s , c o m o o G d V 0 4 e o Y V O 4 , são caracterizados por apresentarem secção de c h o q u e de e m i s s ã o estimulada e coeficiente de absorção óptica m u i t o maiores que outros materiais, o q u e os torna muito eficiente em determinadas configurações [13, 14]. Além disso, sua birrefringência natural elimina perdas por despolarização t e r m i c a m e n t e induzida. N o entanto, são materiais q u e apresenta forte distorção óptica e lente t e r m i c a m e n t e induzida [15].
A ç ã o laser c o m o cristal de Y L F (tetrafluoreto de itrio e lítio) j á foi reportada com dopantes c o m o Ce"^"^, Pr"*"^, Nd''", Tb"^", Ho^", Er^" e Tm"'", c o m c o m p r i m e n t o s de onda de emissão entre 0,32|am (Ce"*") e 3,9|j,m ( H o ' ' ' ) . C o n t u d o , o neodímio é seu principal dopante, usualmente utilizado com concentrações inferiores a 2 m o l % . R e c e n t e m e n t e , o N d : Y L F tem g a n h a d o interesse e lasers de alta potência c o m alta qualidade de feixe têm sido desenvolvidos a partir dele [16, 17]. L a s e r s de N d . Y L F possuem diversas aplicações tais c o m o b o m b e a m e n t o d e outros lasers d e estado sólido [18], t r a t a m e n t o médico [19], operações industriais [20] e monitoração ambiental por L I D A R {Light Detection and Ranging) [21]. O N d : Y L F apresenta caracteristicas importantes para lasers de a h a potência no infravermelho p r ó x i m o , principalmente em regimes de funcionamento intermitentes c o m o o c h a v e a m e n t o - Q , em que o seu m a i o r t e m p o de vida n o nível laser superior, cerca de duas vezes m a i o r q u e o d o Y A G , p e r m i t e u m a m a i o r inversão de p o p u l a ç ã o estacionária. A secção de c h o q u e de e m i s s ã o do Y L F , p o r sua vez, é cerca d e d u a s vezes m e n o r que a do Y A G , levando a valores m e n o r e s da taxa de d e c a i m e n t o por emissão estimulada. D e v i d o a essas características, o m e i o ativo tem mais energia a r m a z e n a d a durante a ação laser q u e p o d e ser convertida em pulsos ópticos mais intensos [22].
As principais e m i s s õ e s d o N d : Y L F são polarizadas devido ao efeito do c a m p o cristalino, e s t a n d o e s q u e m a t i z a d a s na figura 6 [ 2 3 , 2 4 ] . A polarização paralela ao eixo c do cristal (eixo óptico) é d e n o m i n a d a K , ao passo que a polarização perpendicular ao eixo c é denominada o . A partir d o nível laser superior ''F3/2, p o d e ocorrer decaimento radiativo p o r duas possíveis transições: para o nível \v2 c o m e m i s s ã o e m 1321nm (TI) [25] ou 1313nm
40 1 4 0 0 3 - , 1 2 0 0 0 1G0C3 -(—1 E v cOOO ra o êOOO c 2 3 0 0 . " • l o : 1 0 4 7 n m( 7 r ) 115"S 1053 nm ( a ) Nível fundamental : ; c i 21142 1 'íOS ^21 2 4 "
FIGURA 6: Diagrama de mVeis de energia simplificado do Nd: YLF.
N o entanto, as principais qualidades d o cristal de N d : Y L F são suas boas características termo-ópticas, u m a vez que sua alta birrefringência natural subjuga efeitos de birrefringência t e r m i c a m e n t e induzida, eliminando os problemas de despolarização que ocorrem em matrizes isotrópicas. Além disso, sua fraca lente térmica, principalmente na polarização correspondente à transição de 1053nm, resulta em u m a alta qualidade do feixe de saída [12, 28]. Esta fraca lente térmica, observada sobretudo sob oscilação laser, é uma conseqüência do decréscimo d o índice de refração com o a u m e n t o da temperatura (coeficiente termo-óptico negativo), criando u m a c o m p o n e n t e negativa da lente térmica que parcialmente compensa as c o m p o n e n t e s positivas [29].
A principal d e s v a n t a g e m do N d . Y L F é o baixo limite de fratura que o cristal apresenta em decorrência d e sua baixa resistência mecânica e baixa condutividade térmica q u a n d o c o m p a r a d o com outras matrizes [30]
( o ) [26] e para o nivel 2 c o m emissão em 1047nm (K) [16, 17] ou 1053nm ( o ) [27], E m geral, a emissão na polarização ti tende a ser p r e d o m i n a n t e se nenhum m e c a n i s m o e utilizado para suprimi-la, u m a vez que a secção de c h o q u e de emissão é maior do que e m a, ocasionando maior ganho. A transição do N d : Y L F em 1053nm, correspondente a polarização perpendicular ao eixo c do cristal, possui u m a b o a sobreposição com lasers de neodímio em matrizes vítreas de fosfatos e fluorfosfatos sendo, desta maneira, utilizado c o m o oscilador principal em sistemas amplificadores u s a n d o esses vidros.
Tabela 1: Propriedades mecânicas ópticas e térmicas de diferentes matrizes dopadas com Nd^^
P r o p r i e d a d e N d r Y L F N d r Y A G N d: Y V 0 4 N d : G d V 0 4
Fórmula q u í m i c a Y L Í F 4 Y3AI5O12 Y V O 4 G d V 0 4
Simetria cristalina/ g r u p o pontual
Tetragonal/ C ú b i c o / Tetragonal/ Tetragonal/
D4h Constante da rede cristalina [Â] a = 5,26 c = 10,94 12,01 a = b = 7,12 c = 6,29 a = b - 7,2 c = 6,35 índice d e refração (X = 1 fam) 1,4481 (no) 1,4704 (ne) 1,82 1,9573 (no) 2,1652 (n,) 1,9854 (no) 2,198 (ne) Densidade [g/cm''] 3,99 4,56 4,22 5,47 P o n t o de fusão [°C] 825 1970 1750-1900 1780 Dureza [Mohs] 4-5 8,5 5,5 5 Condutividade t é r m i c a [W m-'K"'] 5,8 (eixo c) 7,2 (eixo a) 14 5,23 (eixo c) 5,10 (eixo a) 11,7 Coeficiente de e x p a n s ã o térmica [IQ-^'K"'] 8 (eixo c) 13 (eixo a) 7,8 11,37 (eixo c) 4,43 (eixo a) 7,3 (eixo c) 1,5 (eixo a) Coeficiente termo-óptico (dn/dT) [10-^ K"'] -4,3 (eixo c) -2 (eixo a) 8,3 3 (eixo c) 8,5 (eixo a) 4,7 Secção de c h o q u e de emissão estimulada [10-'^ cm^] 1,8 (7t) 1,2 ( a ) 2,8 25 7,6 T e m p o de vida de fluorescencia [[is] 520 2 3 0 90 95 C o m p r i m e n t o de o n d a da transição " ' F 3/ 2 - * "^In/z [nm] 1047 ( K ) 1053 ( a ) 1064 1064 1063,1 C o m p r i m e n t o de o n d a da
transição "^F^a-^ %y2 [ n m ]
1321 (7t)
1313 (0) 1320 1342 1341,3
N a tabela 1 apresenta-se a l g u m a s características das matrizes discutidas dopadas c o m N d ^ ' [2, 3 1 , 32, 33],
4 2
4.2 B o m b e a m e n t o
A fonte d e energia é responsável pela excitação d o meio ativo a um estado energético apropriado, realizando o b o m b e a m e n t o com energia ressonante entre os níveis excitado e fundamental. E m lasers de estado sólido, o b o m b e a m e n t o óptico em geral é realizado por lâmpada ou por lasers de diodo.
D e v i d o à busca p o r lasers c o m p a c t o s e de alto d e s e m p e n h o , tem-se t o r n a d o cada vez mais c o m u m à utilização d o díodo laser c o m o fonte de b o m b e a m e n t o . Grande parte dos lasers desenvolvidos tradicionalmente utiliza tecnologia de b o m b e a m e n t o por lâmpada; n o entanto, os lasers d e semicondutor vêm se e x p a n d i n d o rapidamente no m e r c a d o e u m a g r a n d e parcela d o s lasers c o m u m e n t e utilizados está atualmente sendo substituída por lasers de estado sólido b o m b e a d o s por díodo, em vista das vantagens e m t e r m o s de eficiência e t a m a n h o oferecidos pelo diodo laser. E m b o r a apresente custo mais elevado, o díodo apresenta diversas vantagens em relação à lâmpada, tal c o m o possuir u m a vida útil maior que as lâmpadas d o tipo arco ou "flash". E n q u a n t o as lâmpadas apresentam t e m p o de vida da o r d e m d e 10** p u l s o s ou cerca d e 500h para operação continua, o diodo laser apresenta duração da ordem de 10^ pulsos ou lO'^h em operação contínua.
N o entanto, a maior vantagem d o d í o d o laser é a alta eficiência na utilização da energia d e b o m b e a m e n t o . E m b o r a as l â m p a d a s p o s s u a m maior eficiência na conversão da energia elétrica aplicada em radiação eletromagnética (até 7 0 % ) , quando c o m p a r a d a s c o m os díodos (25-50%)), o seu espectro de emissão de emissão é muito largo, de forma q u e apenas u m a p e q u e n a parte da radiação de b o m b e a m e n t o é absorvida pelo meio ativo. U m a vez que os d í o d o s p o s s u e m banda de e m i s s ã o estreita e p o d e m ser sintonizados pela temperatura, o u s o de díodos c o m o fonte de b o m b e a m e n t o permite alta sobreposição entre o seu espectro de emissão e o espectro de absorção do meio ativo. Tem-se, assim, a obtenção de eficiências de conversão óptico-óptico da ordem de 3 0 % a 6 5 % d e p e n d e n d o d o material hospedeiro [34, 35], ao passo que a utilização de lâmpadas tipicamente resulta em eficiências da o r d e m de 1 %> a 3 % [36] (conversão de energia luminosa d a lâmpada em energia luminosa d o laser).
A melhor utilização da energia d e b o m b e a m e n t o diminui o calor g e r a d o no meio ativo pela energia não absorvida, d i m i n u i n d o a necessidade d e refrigeradores de grande porte e a h o custo. A menor geração de calor t a m b é m permite a utilização de maiores potências de b o m b e a m e n t o antes de ocorrer fratura do meio ativo por tensões térmicas. P o r fim, t a m b é m causa a atenuação d o s efeitos termo-ópticos que são g e r a d o s no
