Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A
Tema III – Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 2 1. Represente rigorosamente no plano complexo os seguintes números:
a. 2 e − 2 b. 1+ 2 e 1− 2 c. − −1 2 e 1− + 2 d. 2 i e − 2 i e. i e i− f. 1+ 2 i e 1− − 2 i
2. Escolha para o referencial a unidade que considerar mais adequada.
a. Identifique os números complexos representados pelos pontos A e H no plano complexo da figura. b. Associe a cada um dos restantes pontos
assinalados um número complexo.
3. Represente geométrica e vectorialmente o número complexo 4+2i, o seu simétrico e o seu conjugado.
4.
a. Determine as medidas dos lados e das diagonais do rectângulo definido pelos pontos que representam 1 4i+ , o seu conjugado e os simétricos destes.
b. Mostre que um número complexo z= +a bi, o seu simétrico, o seu conjugado e o simétrico deste, são representados no plano complexo pelos vértices de um rectângulo.
c. Determine as medidas dos lados e das diagonais do rectângulo definido pelos pontos que representam a+bi, o seu conjugado e os simétricos destes.
d. Que relação deve haver entre a e b para que os números sejam representados pelos vértices de um quadrado?
5. Prove que:
a. Todo o número complexo é conjugado do seu conjugado.
b. Se um número complexo é conjugado de si mesmo então é real. c. Se um número complexo é real então ele é igual ao seu conjugado.
x yi D C B H G F E A O
6. Determine as coordenadas polares dos pontos representados no referencial da figura ao lado.
7. Represente num referencial polar adequado, os pontos com as seguintes coordenadas polares: a. M 1,π
( )
b. N 1,−π(
)
c. P 1, 4 π d. Q 1, 4 π − e. R 1,2 π f. 3 S 1, 4 π g. T 1,5 2 π h. U 1, 2(
− π)
i. V 1,3π(
)
8. Ao fazer a representação dos pontos do exercício anterior, alguns pares de coordenadas polares foram representados pelo mesmo ponto.
Comente a seguinte afirmação: «Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de pares de números
( )
k,α , em que k é um número real não negativo e α é uma medida angular, e o conjunto dos pontos do plano».4 2 -2 -4 5 x yi i B A E C F D 1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A
Tema III – Trigonometria e Números Complexos
Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 2 – Proposta de resolução 1. Representemos rigorosamente no plano complexo os seguintes números:
a. 2 e − 2 b. 1+ 2 e 1− 2 c. − −1 2 e 1− + 2 d. 2 i e − 2 i e. i e i− f. 1+ 2 i e 1− − 2 i
2. Escolhamos para o referencial a unidade que considerarmos mais adequada. Podemos escolher por exemplo como unidade o
raio da circunferência.
a. Identifiquemos os números complexos representados pelos pontos A e H no plano complexo da figura. 2+ 2 i e 1, respectivamente
b. Associemos a cada um dos restantes pontos assinalados um número complexo.
Pontos Números complexos
A 2+ 2 i B − 2+ 2 i C − 2− 2 i D 2− 2 i E i F −1 G −i H 1 x yi D C B H G F E A O 4 2 -2 -4 -5 5 -1- 2 i - 2 i 2 i -1+ 2 -1- 2 1- 2 1+ 2 1+ 2 i - 2 2 -i i 1
3. Representemos geométrica e vectorialmente o número complexo 4+2i, o seu simétrico 4 2i
− − e o seu conjugado 4−2i.
4.
a. Determinemos as medidas dos lados e das diagonais do rectângulo definido pelos pontos que representam 1+4i, o seu conjugado e os simétricos destes. Os lados medem 2 e 8 e as diagonais medem
2 2
2 +8 = 68=2 17
b. Mostremos que um número complexo z= +a bi, o seu simétrico, o seu conjugado e o simétrico deste, são representados no plano complexo pelos vértices de um rectângulo.
O lado definido pelos afixos de z e de z é paralelo ao eixo das ordenadas por pertencer à recta de equação x=a e o mesmo acontece com o lado definido pelos afixos de z− e z− que definem
um lado que pertence à recta de equação x= −a e porque os outros dois lados pertencem também a rectas paralelas com equações y=b e y= −b e que são paralelas ao eixo das abcissas. Assim também concluímos que os primeiros lados são perpendiculares aos segundos. Tratando-se assim de um quadrilátero, paralelogramo e rectângulo.
c. Determine as medidas dos lados e das diagonais do rectângulo definido pelos pontos que representam a+bi, o seu conjugado e os simétricos destes. Os lados medem 2a e 2b e as diagonais medem 2 a2 +b2
d. A relação que deve haver entre a e b para que os números sejam representados pelos vértices de um quadrado é a= ∨ = −b a b
5. Provemos que:
a. Todo o número complexo é conjugado do seu conjugado. Seja z= +a bi um número complexo qualquer
Então z= −a bi e z= +a bi pelo que concluímos ser z=z
b. Se um número complexo é conjugado de si mesmo então é real. Queremos provar que se z=z então z é real.
2 -2 -5 5 4-2i -4-2i 4+2i 4 2 -2 -4 -z -z z z -1+4i 1-4i -1-4i 1+4i
c. Se um número complexo é real então ele é igual ao seu conjugado.
Se z é real então z= + =a 0i a e z= − =a 0i ao que prova que nesta situação z=z.
6. Determinemos as coordenadas polares dos pontos representados no referencial da figura ao lado. A 3, 2 π −
( )
B 3,0( )
C 4,π D 2, 4 π 3 E 3 2, 4 π 3 F 2 2, 4 π − 7. Representemos num referencial polar adequado, os pontos com as seguintes coordenadas polares: a. M 1,
( )
π b. N 1,(
−π)
c. P 1, 4 π d. Q 1, 4 π − e. R 1,2 π f. 3 S 1, 4 π g. T 1,5 2 π h. U 1, 2(
− π)
i. V 1,3(
π)
8. Ao fazer a representação dos pontos, do exercício anterior, alguns pares de coordenadas polares foram representados pelo mesmo ponto.
Comentemos a seguinte afirmação: «Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de pares de números
( )
k,α , em que k é um número real não negativo e α é uma medida angular, e o conjunto dos pontos do plano».Esta afirmação é falsa pois a medida angular representa um ângulo generalizado e portanto conseguimos várias representações polares num mesmo ponto do plano de Argand, não havendo, por isso, uma correspondência biunívoca (um a um).
4 2 -2 -4 5 x yi i B A E C F D 1 2 -2 x y S R=T Q P M=N=V O U
