Notas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C

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Notas de Aulas de C´

alculo III

Prof. Sandro Rodrigues Mazorche

1

o

semestre de 2015

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Cap´ıtulo 4: Campos Escalares e Vetoriais

Campo Escalar: Seja D uma região no espa¸co tridimensional e seja f uma fun¸cão escalar definida em D. Então, a cada ponto P ∈ D, f associa uma única grandeza escalar f (P ). A região D, juntamente com os valores de f em cada um de seus pontos, é chamada campo escalar. Dizemos também que f define um campo escalar sobre D. Exemplo 78: Se D é um sólido no espa¸co e ρ a densidade em cada um de seus pontos, ρ define um campo escalar sobre D.

Campo Vetorial: Seja D uma região no espa¸co tridimensional e seja ~f uma fun¸cão vetorial definida em D. Então, a cada ponto P ∈ D, ~f associa um único vetor ~f (P ). A região D, juntamente com os correspondentes vetores ~f (P ), constitui um campo vetorial. Dizemos também que ~f define um campo vetorial sobre D.

Exemplo 79: ~f (x, y) = −y~i + x~j define um campo vetorial sovre IR2. Exemplo 80: ~f (x, y) = (x, y, −z) define um campo vetorial sovre IR3.

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Representa¸c˜ao geom´etrica de um campo vetorial

Tomando alguns pontos P ∈ D e desenhamos o vetor ~f (P ) como uma seta com a origem P (transladada paralelamente da origem para P ). Podemos visualizar o campo vetorial, imaginando a seta apropriada emanando de cada ponto da regi˜ao D.

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Exemplo 82: ~f (x, y) = x~i + y~j. Exemplo 83: ~f (x, y) = √−y x2_+y2~i + x √ x2_+y2~j.

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Derivada Direcional de um Campo Escalar

Defini¸cão: Consideremos um campo escalar f (x, y, z). Escolhemos um ponto P no espa¸co e uma dire¸cão em P , dada por um vetor unitário ~b. Seja C uma semi-reta cuja origem é P e possui a dire¸cão de ~b e seja Q um ponto sobre C cuja distância de P é s. Se existir o limite

∂f

∂s(P ) = lims→0

f (Q) − f (P )

s ,

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Exemplo 85: Calcular a derivada direcional do campo escalar f (x, y) = x2 + y2, em P (2, 1), na dire¸c˜ao de ~v = −~i + 2~j.

Exemplo 86: Determinar a derivada direcional do campo escalar f (x, y, z) = x2+y2−2z2_,

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Exemplo 87: Supor que a derivada parcial de f (x, y) em rela¸cão a x em um ponto P existe. Verificar que essa derivada é igual à derivada direcional de f (x, y) em P , na dire¸cão ~b = ~i.

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Gradiente de um Campo Escalar

Seja f (x, y, z) um campo escalar definido em um certo dom´ınio. Se existe as derivadas parciais de 1a ordem de f nesse dom´ınio, elas formam as componentes do vetor gradiente de f .

O gradiente da fun¸c˜ao escalar f (x, y, z), denotado por grad(f ) ou ∇f , ´e um vetor definido como grad(f ) = ∇f = ∂f ∂x~i + ∂f ∂y~j + ∂f ∂z ~_k,

onde ∇ (lˆe-se nabla ou del) representa o operador diferencial

∇ = ∂ ∂x~i + ∂ ∂y~j + ∂ ∂z ~_k.

Propriedades: Sejam f e g fun¸c˜oes escalares tais que existam ∇f e ∇g e c ∈ IR:

a) ∇(cf ) = c∇f b) ∇(f ± g) = ∇f ± ∇g

c) ∇(f g) = f ∇g + g∇f d) ∇(f

g) =

g∇f −f ∇g g2

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Interpreta¸c˜ao Geom´etrica do Gradiente:

Consideremos uma dun¸cão escalar f (x, y, z) e suponhamos que, para cada constante k, em um intervalo I, a equa¸cão f (x, y, z) = k representa uma superf´ıcie no espa¸co. Fasendo k tomar tosos os valores, obtemos uma fam´ılia de fuperf´ıcies, que são as su-perf´ıcies de n´ıvel da fun¸cão f .

Proposi¸cão: Seja f uma fun¸cão escalar tal que, por um ponto P do espa¸co, passa uma superf´ıcie de n´ıvel S de f . Se ∇f 6= ~0 em P , então ∇f é normal a S em P .

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Exemplo 88: Encontrar o gradiente dos campos escalares:

a) f (x, y, z) = 2(x2 + y2) − z2_; _{b) g(x, y) = x + e}y_;

Exemplo 89: O gradiente de um campo escalar f (x, y, z) define um campo vetorial de-nominado campo gradiente. Esbo¸car o gr´afico do campo gradiente gerado pela fun¸c˜ao f (x, y, z) = 1₂(x2 + y2 + z2).

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Exemplo 91: Determinar um vetor normal `a superf´ıcie z = x2 + y2 no ponto P (1, 0, 1).

Exemplo 92: Determinar um vetor perpendicular `a circunferˆencia x2+ y2 = 9 no ponto P (2,√5).

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Cálculo da derivada direcional usando o gradiente: Seja ~a o vetor do ponto P . Então, ~r(s) = x(s)~i + y(s)~j + z(s)~k = ~a + ~bs, onde s ≥ 0 é o parâmetro comprimento de arco.

Supondo que f (x, y, z) possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas e aplicando a regra da cadeia, temos

∂f ∂s(P ) = ( ∂f ∂x dx ds + ∂f ∂y dy ds + ∂f ∂z dz ds)(P ) substituindo ~r0(s) = (dx ds, dy ds, dz ds) e ∇f = ( ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z) temos ∂f ∂s(P ) = ~b · ∇f (P ).

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O gradiente como dire¸cão de máxima varia¸cão

Seja f (x, y, z) uma fun¸cão escalar que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas. Então, em cada ponto P para o qual ∇f 6= ~0, o vetor ∇f aponta na dire¸cão em que f cresce mais rapidamente. O comprimento do vetor ∇f é a taxa máxima de crescimento de f .

(15)

Exemplo 93: Determinar a derivada direcional de f (x, y, z) = 5x2 − 6xy + z, no ponto P (−1, 1, 0), na dire¸c˜ao do vetor 2~i − 5~j + 2~k.

Exemplo 94: Determinar a derivada direcional de f (x, y, z) = x2 + y2 + z2, no ponto P (−1, 2, 1₂), na dire¸c˜ao do vetor que une P a Q(−2, 0, 1₂).

Exemplo 95: Seja f (x, y, z) = z − x2 − y2.

a) Estando em (1, 1, 2), que dire¸c˜ao e sentido devem ser tomados para que f cres¸ca mais rapidamente?

b) Qual ´e o valor m´aximo de ∂f

(16)

Exemplo 96: Seja T (x, y, z) = 10 − x2 − y2 − z2 uma distribui¸c˜ao de temperatura em uma regi˜ao do espa¸co. Uma part´ıcula P1 localizada em 1(2, 3, 5) necessita esquentar-se

o mais r´apido poss´ıvel. Outra part´ıcula P2 localizada em P2(0, −1, 0) necessita resfriar-se

o mais r´apido poss´ıvel. Pergunta-se:

a) Qual a dire¸c˜ao e o sentido que P1 deve tomar?

b) Qual a dire¸c˜ao e o sentido que P2 deve tomar?

c) Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 e qual é a taxa máxima

(17)

Exemplo 97: Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato ´e aproximadamente o do gr´afico de z = 25 − x2 − y2_{, z ≥ 0. Se ele parte do ponto P}

0(4, 3, 0), determinar a

(18)

Exemplo 98: A figura mostra as curvas de n´ıvel da temperatura T (x, y) da superf´ıcie do oceano de uma determinada regi˜ao do globo terrestre. Supondo que T (x, y) ´e apro-ximadamente iqual a x − ₁₂1 x3 − 1₄y2 + 1

2, pergunta-se:

a) Qual é a taxa de varia¸cão da temperatura nos pontos P0(2, 3) e P1(4, 1), na dire¸cão

nordeste?

b) Se não conhecermos a forma da fun¸cão T (x, y), como poderemos encontrar um valor aproximado para a taxa de varia¸cão do item (a)?

(19)

Exemplo 99: Encontre a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva x2 + y2 = 4 no ponto (√3, 1), usando o gradiente.

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Divergˆencia de um Campo Vetorial: Seja ~f (x, y, z) = f1(x, y, z)~i + f2(x, y, z)~j +

f3(x, y, z)~k um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e s˜ao cont´ınuas as

derivadas ∂f1

∂x, ∂f2

∂y, ∂f3

∂z , definimos a divergˆencia do campo vetorial ~f , denotada por

div ~f = ∇ · ~f = ∂f1 ∂x + ∂f2 ∂y + ∂f3 ∂z .

Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) fun¸c˜oes vetorias definidas em um

dom´ınio D e suponhamos que div ~f e div~g existem. Ent˜ao: a) div( ~f ± ~g) = div ~f ± div~g;

b) div(h ~f ) = h(div ~f ) + ∇h · ~f , onde h = h(x, y, z) é uma fun¸cão escalar diferenciável em D. c) div(∇f ) = ∇ · ∇f = ∇2f = ∂_∂x2f2 + ∂2_f ∂y2 + ∂2_f ∂z2.

O operador diferencial ∇2 _´_{e chamado laplaciano e a equa¸}_c˜_ao _∇2_{f = 0 ´}_{e chamada}

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Interpreta¸cão f´ısica da divergêcia: Na Mecânica dos Fluidos, encontramos a equa¸cão da continuidade

div~u + ∂ρ

∂t = 0,

onde ~u = ρ~v, ρ = ρ(x, y, z, t) a densidade do fluido e ~v = ~v(x, y, z, t) o vetor velocidade. Reescrevendo a equa¸c˜ao na forma ∂ρ

∂t = −div~u, vemos que a divergˆencia de um campo

vetorial surge como uma medida da taxa de varia¸c˜ao da densidade do fluido em um ponto.

Quando a divergência é positiva em um ponto do fluido, a sua densidade está diminuindo com o tempo. Nesse caso dizemos que o fluido está se expandindo(existe uma fonte de fluxo). Quando a divergência é negativa, vale o oposto.

Se a divergˆencia ´e zero, o fluxo de entrada = fluxo de sa´ıda.

Se ρ =constante, dizemos que o fluxo é incompress´ıvel. Nesse caso, a equa¸cão da continuidade toma a forma div~v = 0, e o campo vetorial ~v é chamado solenoidal.

(22)

Exemplo 100: Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade ~v = x~j. Mos-trar que todas as part´ıculas se deslocam em linha reta e que o campo de velocidade dado representa um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel.

(23)

Exemplo 101: Um campo de escoamento compress´ıvel ´e descrito por

~

u = ρ~v = 2xe−t~i − xye−t~j,

onde x e y são coordenadas em metros, t é o tempo em segundos, ρ e ~v estão em kg/m3 e m/s, respectivamente. Calcular a taxa de varia¸cão da densidade ρ em rela¸cão ao tempo, no ponto P (3, 2, 2), para t = 0.

(24)

Exemplo 102: Quando uma fun¸cão escalar f (x, y, z) tem derivadas de 2a ordem cont´ınuas e div∇f = 0 em um dom´ınio, ela é chamada harmônica nesse dom´ınio. Veri-ficar se as seguintes fun¸cões são harmônicas:

(25)

Rotacional de um Campo Vetorial: Seja ~f (x, y, z) = f1(x, y, z)~i+f2(x, y, z)~j+f3(x, y, z)~k

um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e s˜ao cont´ınuas as derivadas

∂f1

∂x, ∂f2

∂y, ∂f3

∂z , definimos o rotacional de ~f , denotado por rot ~f , como

rot ~f = ∇ × ~f = ~i ~j ~_k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f1 f2 f3 = (∂f3 ∂y − ∂f2 ∂z )~i + ( ∂f1 ∂z − ∂f3 ∂x )~j + ( ∂f2 ∂x − ∂f1 ∂y )~k.

Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) fun¸c˜oes vetorias definidas em um

dom´ınio D com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em D. Ent˜ao: a) rot( ~f ± ~g) = rot ~f ± rot~g;

b) rot(h ~f ) = h(rot ~f ) + ∇h × ~f , onde h é uma fun¸cão escalar diferenciável em D.

Interpreta¸cão f´ısica do rotacional: Pode ser interpretado como uma medida do mo-vimento angular de um fluido, e a condi¸cão rot~v = ~0, para um campo de velocidade ~v, caracteriza os chamados fluxos irrotacionais. A equa¸cão rot ~E = ~0, onde ~E é a for¸ca eléletrica, caracteriza que somente for¸cas eletrostáticas estão presente no campo ~E.

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Exemplo 103: Determinar rot ~f , sendo ~f = xzy2~i + xyz~j + 3xy~k.

Exemplo 104: Um corpo r´ıgido gira em torno de um eixo que passa pela origem do sistema de coordenadas, com vetor velocidade angular ~w constante, Seja ~v o vetor ve-locidade em um ponto P do corpo. Calcular rot~v.

(27)

Exemplo 105: Um escoamento ´e representado pelo campo de velocidade ~v = 10x~i − 10y~j + 30~k. Verificar se o escoamento ´e:

a) um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel; b) irrotacional.

Exemplo 106: Para um escoamento no plano x ◦ y, a componente em y da velocidade ´e dada por y2− 2x + 2y. Determinar uma poss´ıvel componente em x para um escoamento incompress´ıvel.

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Campos Conservativos: Seja ~f um campo vetorial em um dom´ınio U . se u = u(x, y, z) é uma fun¸cão diferenciável em U tal que ~f = ∇u, dizemos que ~f é um campo conservativo ou um campo gradiente em U . A fun¸cão u é chamada fun¸cão potencial de ~f em U . Teorema: Seja ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio U , com

derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em U . Se ~f admite uma fun¸c˜ao potencial u, ent˜ao

rot ~f = ~0 para qualquer (x, y, z) ∈ U. (∗)

Reciprocamente, se U for simplesmente conexo e (∗) for verificada, ent˜ao ~f admite uma fun¸c˜ao potencial u = u(x, y, z) em U . Observamos que (∗) pode ser reescrita como

∂f1 ∂y = ∂f2 ∂x , ∂f1 ∂z = ∂f3 ∂x e ∂f2 ∂z = ∂f3 ∂y

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Exemplo 107: O que podemos afirmar a respeito dos seguintes campos vetoriais ~f em D; a) ~f = 2x2y~i + 5xz~j + x2y2~k em D = IR3; b) ~f = (4xy + z)~i + 2x2~j + x~k em D = IR3; c) ~f = _x2−y_+y2~i + x x2_+y2~j em D1 = (x, y)|(x − 3) 2 _{+ y}2 _{< 1 e D} 2 = (x, y)|1 < x2 + y2 < 16.

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Cálculo de uma fun¸cão potencial: Supondo que ~f = (f1, f2.f3) é o gradiente de

uma fun¸c˜ao potencial U em um dom´ınio U ⊂ IR3, podemos determinar u, usando as igualdades ∂u ∂x = f1 , ∂u ∂y = f2 e ∂u ∂z = f3.

Exemplo 108: Verificar se ocampo vetorial ~f = (yz + 2)~i + (xz + 1)~j + (xy + 2z)~k ´e um campo gradiente em IR3. Em caso afirmativo, encontrar uma fun¸c˜ao potencial u.

Exemplo 109: A lei da gravita¸c˜ao de Newton estabelece que a for¸ca ~f = −GmM r−3~r onde ~r = x~i + y~j + z~k e r = |~r|. Encontrar o potencial newtoniano u, tal que ~f = ∇u.

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Cap´ıtulo 5: Integrais curvil´ıneas e Teorema de Green

Defini¸c˜ao: Seja C uma curva suave, orientada, com ponto inicial A e o ponto terminal B. Seja f (x, y, z) um campo escalar definido em cada ponto de C. Dividimos a curva C em n pequenos arcos pelos pontos A = P0, P1, P 2, ..., Pi−1, Pi, ..., Pn = B.

Denotamos por ∆si o comprimento do arco P_i−1dP_i. Em cada arco P_i−1dP_i, escolhemos

um ponto Qi.

Calculamos o valor de f no ponto Qi, multiplicamos esse valor por ∆si e formamos a

soma

n

X

i=1

(32)

A integral de linha de f ao longo de C, de A at´e B, que denotamos Z C f (x, y, z)ds, ´e Z C f (x, y, z)ds = lim max∆si→0 n X i=1 f (Qi)∆si,

quando o limite existe. A curva C é também chamada CAMINHO DE INTEGRAÇ ÃO. Cálculo da integral de linha: Caso 1 Representamos C por ~h(s) = x(s)~i+y(s)~j+z(s)~k, s ∈ [a, b], onde s é o parâmetro comprimento de arco de C.

Z C f (x, y, z)ds = Z b a f (x(s), y(s), z(s))ds (∗)

(33)

Exemplo 110: Calcular

Z

C

(x + 2y)ds, onde C ´e a semicircunferˆencia dada pela figura abaixo.

Z

C

(x2 + y2 − z)ds, onde C é a hélice circular dada por ~r(t) = cos(t)~i + sin(t)~j + t~k, do ponto P (1, 0, 0) até Q(1, 0, 2π).

(34)

Caso 2 Representamos C por ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [t0, t1], onde t ´e um

parˆametro qualquer. Para calcular a integral de linha nesse caso, fazemos uma mudan¸ca de vari´avel em (∗). Temos

Z C f (x, y, z)ds = Z b a f (x(s), y(s), z(s))ds = Z t1 t0 f (x(t), y(t), z(t))ds dtdt. com ds dt = |~r0(t)| = p (x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2, segue Z c f (x, y, z)ds = Z t1 t0 f (x(t), y(t), z(t))|~r0(t)|dt. Exemplo 111: Calcular Z C

xyds, onde C é a intgerseçcão das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e y + z = 8.

(35)

Z

C

(x + y)ds, onde C é a intgerseçcão das superf´ıcies x + y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2(x + y).

(36)

Propriedades: Supondo que C é uma curva suave ou suave por partes e que f = f (x, y, z) e g = g(x, y, z) são fun¸cões cont´ınuas em cada ponto de C. Temos:

a) Z C kf ds = k Z C

f ds, onde k ´e uma constante. b) Z C [f ± g]ds = Z C f ds ± Z C gds.

c) Se C é uma curva com ponto inicial A e ponto terminal B; P um ponto de C entre A e B; C1 a parte de C de A até P e C2 e parte de C de P até B, então

Z C f ds = Z C1 f ds + Z C2 f ds d) Z C f ds = Z −C

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Z

C

3xyds, sendo C o triângulo de vértices A(0, 0), B(1, 0) e C(1, 2), no sentido anti-horário.

Exemplo 114: Calcular Z C (|x| + |y|)ds e Z −C

(|x| + |y|)ds, onde C ´e o segmento de reta AB, com A(−2, 0) e B(2, 2).

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Massa e centro de massa de um fio delgado

Consideremos um fio delgado de densidade vari´avel, com a forma de uma curva C, como na figura abaixo

A massa total M do fio ´e M =

Z

C

f (x, y, z)ds.

O centro de massa (x, y, z) ´e dado por

x = _M1 R_C xf (x, y, z)ds y = _M1 R_C yf (x, y, z)ds z = 1 M R C zf (x, y, z)ds

(39)

Exemplo 115: Calcular a massa de um fio delgado com forma de um semic´ırculo de raio a, considerando que a densidade em um ponto P ´e diretamente proporcional `a reta que passa pelos pontos extremos.

Exemplo 116: Calcular as coordenadas do centro de massa de um fio delgado que tem a forma da h´elice ~r(t) = 2 cos(t)~i + 2 sin(t)~j + 5t~k, t ∈ [0, 2π], se a densidade no ponto (x, y, z) ´e x2 + y2 + z2.

(40)

Integrais de Linha de Campo Vetoriais: Para compreender sua origem e utilidade, iniciamos explorando intuitivamente o conceito f´ısico de trabalho.

Sejam C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], uma curva suave e ~f = ~f (x, y, z) um campo de for¸cas cont´ınuo sobre C. O trabalho realizado por ~f para deslocar uma part´ıcula ao longo de C, de A at´e B, ´e definido como w = lim

max ∆ti→0 n X i=1 ~ f (~r(ti)) · ~r0(ti)∆ti, podemos

observar que o somatório da expressão acima é uma soma de Riemann da fun¸cão de uma variável, ~f (~r(t)) · ~r0(t) sobre [a, b]. Portanto,

w =

Z b

a

~

(41)

Exemplo 117: Calcular o trabalho realizado pela for¸ca ~f = (1

x, 1

y), para deslocar uma

part´ıcula, em linha reta,do ponto P (1, 2) at´e Q(3, 4).

Exemplo 118: Uma part´ıcula move-se ao longo da circunferˆencia x2 + y2 = 4, z = 2 sob a a¸c˜ao do campo d for¸cas ~f (x, y, z) = _|~−~_r|−3r , onde ~r = x~i + y~j + z~k.

(42)

Defini¸c˜ao: Seja C uma curva suave dada por ~r(t), t ∈ [a, b]. Seja ~f = ~f (x, y, z) um campo vetorial definido e limitado sobre C. A integral curvil´ınea de ~f , ao longo de C, que denotamos Z C ~ f · ~dr, ´e definida por Z C ~ f · ~dr = Z b a ~ f (~r(t)) · ~r0(t)dt = Z b a [f1(~r(t))x0(t) + f2(~r(t))y0(t) + f3(~r(t))z0(t)]dt,

sempre que a integral à direita existe. Também utiliza-se a seguinte nota¸cão

Z C ~ f · ~dr = Z b a (f1dx + f2dy + f3dz) que

tradicio-nalmente ´e usada para representar a integral curvil´ınea de um campo vetorial.

Propriedade: As propriedades do caso escalar, (a), (b) e (c) permanecem v´alidas para o caso vetorial. A propriedade (d) ´e sudstitu´ıda por

Z −C ~ f · ~dr = − Z C ~ f · ~dr.

(43)

Proposi¸cão: Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo, definido sobre uma curva suave C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Se T é acomponente tangencial de ~f sobre C, isto é, T é a componente de ~f na dire¸cão do vetor tangente unitário de C, temos

Z C ~ f · ~dr = Z C T ds.

(44)

Observa¸c˜oes:

1) Se, em cada ponto P da curva C, o campo ~f é perpendicular a um vetor tangente a C em P , a integral de ~f ao longo de C será nula. Em particular, se ~f é um campo de for¸cas, será nulo o trabalho realizado por ~f ao longo de C.

2) Se o campo ~f ´e o campo de velocidade de um fluido em movimento, a componente tangencial de ~f determina um fluxo ao longo de C. Se a curva C ´e fechada, a integral de linha de ~f ao longo de C, que denotamos

Z

C

~

f · ~dr, mede a tendência do fluido de circular em torno de C e é chamada circula¸cão de ~f sobre C. Em particular, se C é uma curva plana e o campo de velocidade é perpendicular ao plano que contém C, a circula¸cão será nula.

(45)

Z

C

(2xdx + yzdy + 3zdz) ao longo da:

a) par´abola z = x2, y = 2, do ponto A(0, 2, 0) ao ponto B(2, 2, 4); b) linha poligonal AOB, onde O ´e a origem.

Z

C

~

f · ~dr, sendo ~f = (xz, xy, yz) e C o caminho poligonal que une o ponto A(1, 0, 0) ao ponto B(0, 2, 2), passando por D(1, 1, 0).

(46)

Exemplo 121: Calcular o trabalho realizado poelo campo ~f = ( −x

x2_+y2,

−y

x2_+y2) para deslocar

uma part´ıcula ao longo da semicircunferˆenci x2+ y2 = 4, y ≥ 0, no sentido anti-h´orario.

Exemplo 122: O campo de velocidade de um fluido em movimento ´e dado por ~v = (−y, x). Calcular a circula¸c˜ao do fluido ao redor da curva fechada C = C1 ∪ C2∪ C3.

(47)

Z

C

[sin(x)dx − 2yzdy − y2dz] ao longo de C, de A(0, 2, 0) at´e B(2, 2, 4), onde C:

a) á a parábola z = x2 , y = 2. b) é a poligonal AM B, M (1, 0, 0).

(48)

Integrais Curvil´ıneas Independentes do Caminho de Integra¸c˜ao

Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio D do espa¸co. a integral

Z

C

~

f · ~dr é dira independente do caminho de integra¸cão em D se, para qualquer par de pontos A e B em D, o valor da integral é o mesmo para todos os cminhos em D, que iniciam em A e terminam em B.

Teorema: seja u = u(x, y, z) uma fun¸cão diferenciável em um don´ınio conexo U ⊂ IR3 tal que ~f = ∇u é cont´ınuo em U . Então,

Z

C

~

f · ~dr = u(B) − u(A),

(49)

Exemplo 124: Calcular a integral

Z

C

~

f · ~dr, onde ~f = (yz + 2, xz + 1, xy + 2z), ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(0, 0, 1) a B(1, 2, 1).

Exemplo 125: Verificar que o campo vetorial ~f = sin(x)~i − 2yz~j − y2~k, ´e um campo conservativo em IR3. calcular

Z

C

~

f · ~dr ao longo de qualquer caminho C de A(0, 2, 0) at´e B(2, 2, 4).

(50)

Teorema: Se ~f = (f1, f2, f3) ´e um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio conexo

U ⊂ IR3, são equivalentes as três afirma¸cões seguintes:

a) ~f é o gradiente de uma fun¸cão potencial u em U , ou seja, ~f é conservativo em U . b) A integral de linha de ~f é independente do caminho de integra¸cão em U .

(51)

Exemplo 126: Verificar se ~f = (ex+y + 1)~i + ex+y~j ´e um caminho conservativo em IR2. Em caso afirmativo, calcular

Z (1,1)

(1,0)

~

f · ~dr.

Exemplo 127: Determinar o trabalho realizado pela for¸ca ~f = (yz + 1, xz + 1, xy + 1), no deslocamento:

a) ao longo da poligonal ABCDE da figura abaixo: b) ao longo do caminho fechado da figura abaixo:

(52)

Exemplo 128: Calcular Z C [ −y x2 _{+ y}2dx + x

(53)

Teorema de Green

Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti´horário, e R a região fechada delimitada por C. Se ~f = (f1, f2) é um campo vetorial cont´ınuo

com derivadas parciais 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio D que cont´em R, ent˜ao

Z C (f1dx + f2dy) = Z Z R (∂f2 ∂x − ∂f1 ∂y )dxdy.

(54)

Exemplo 129: Usando o teorema de Green, calcular

Z

C

[y2dx + 2x2dy] sendo que C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 2) e (0, 2), no sentido anti-horário.

Z

C

~

f · ~dr, ao longo da circunferˆencia x2+ (y − 1)2 = 1, no sentido hor´ario, ssendo ~f = (4x2 − 9y, 9xy + py2 + 1).

(55)

´

Area de uma regi˜ao plana como uma integral curvil´ınea ao longo de seu contorno Seja R e C como no teorema de Green. Sejam ~f = x~j e ~g = −y~i. Os campos vetoriais

~

f e ~g s˜ao cont´ınuos com derivadas parciais cont´ınuas em IR2. Aplicando o Teorema de Green nos campos acima, obtemos respectivamente:

Z C xdy = Z Z R dxdy, Z C −ydx = Z Z R dxdy.

Portanto, se denotamos por A a ´area de R, temos

A = Z C xdy, A = Z C −ydx.

Combinando as duas últimas rala¸cões, obtemos uma terceira fórmula para a área de R,

A = 1 2

Z

C

(56)

Exemplo 131: Calcular a ´area delimitada pela elipse x₄2 + y₉2 = 1.

Exemplo 132: Seja D = {(x, y)|x2+y2 < 4}. dado o campo vetorial ~f = ( ~−yx2 + y2, x

x2_+y2).

Mostrar que

Z

C

~

f · ~dr = 2π para toda curva fechada simples C1 ⊂ D, suave por partes,

(57)

Cap´ıtulo 6: Integrais de Superf´ıcie, Teorema de Stokes e Gauss

Representa¸cão de uma Superf´ıcie: Em geral, uma superf´ıcie S em IR3 pode ser descrita como um conjunto de pontos (x, y, z), que satisfazem uma equa¸cão da forma f (x, y, z) = 0, sendo que f é uma fun¸cão cont´ınua. A equa¸cão é chamada representaccão implicita de S.

Se for poss´ıvel resolver a equa¸cão para uma das variáveis em fun¸cão das outras, obtemos uma respresenta¸cão explicita de S ou de parte de S.

(58)

(59)

Exemplo 134: A equa¸cão x + 1₂y + 1₃z = a, a > 0, é uma representa¸cão impl´ıcita do plano inclinado que corta os eixos coordenados x, y e z nos pontos (a, 0, 0), (0, 2a, 0) e (0, 0, 3a), respectivamente.

(60)

Equa¸cões Paramétricas: Seja S uma superf´ıcie no espa¸co. Se os pontos de S são dererminados pelas equa¸cões

x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v)

sendo que x, y, z são fun¸cões cont´ınuas das variáveis u e v, definidas em uma região conexa R do plano u ◦ v, as equa¸cões acima são chamadas equa¸cões paraméticas de S. Se denotarmos por ~r(u, v) o vetor posi¸cão de um ponto qualquer (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) da superf´ıcie, temos

(61)

Exemplo 135: A equa¸c˜ao vetorial ~r(u, v) = u~i + v~j + (u2 + 1)~k, sendo que −2 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 5, representa uma superf´ıcie parametrizada em IR3.

(62)

Representa¸c˜ao Param´etrica de Algumas Superf´ıcies:

(1) Parametriza¸cão da esfera: Dada uma esfera de raio a, centrada na origem, O. Um ponto P (x, y, z) desta esfera pode ser representado por dois ângulos u e v. O âgulo u é o mesmo que em coordenadas polares, e o ângulo v é o formado pelo segmento OP e pelo plano x ◦ y ou eixo z, conforme figura abaixo.

Segue as equa¸c˜oes param´etricas e vetoriais de cada caso:

x = a cos(u) cos(v) 0 ≤ u ≤ 2π x = a cos(u) sin(v) 0 ≤ u ≤ 2π

(1) y = a sin(u) cos(v) e (2) y = a sin(u) sin(v) e

z = a sin(v) −π₂ ≤ v ≤ π₂ z = a cos(v) 0 ≤ v ≤ π

(1) ~r(u, v) = a cos(u) cos(v)~i + a sin(u) cos(v)~j + a sin(v)~k , (u, v) ∈ [0, 2π] × [−π₂, π₂]; (2) ~r(u, v) = a cos(u) sin(v)~i + a sin(u) sin(v)~j + a cos(v)~k , (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, π].

(63)

Exemplo 136: Obter uma parametriza¸c˜ao da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2, que est´a no 1o octante.

(64)

Exemplo 137: Determinar uma parametriza¸c˜ao da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 16, acima do plano z = 2.

(65)

(66)

(2) Parametriza¸cão de um Cilindro: Consideremos um cilindro vertical, dado pela equa¸cão x2 + y2 = a2. Seja P (x, y, z) um ponto qualquer sobre o cilindro. Devemos introduzir dois parâmetros u e v e obter as coordenadas de P como fun¸cão de u e v. Geometricamente o parâmetro u é o mesmo que em coordenadas polares e o parâmetro v coincide com z.

Segue as equa¸c˜oes param´etricas e vetorial.

x = a cos(u), 0 ≤ u ≤ 2π

y = a sin(u) e

z = v −∞ < v < +∞ ~r(u, v) = a cos(u)~i + a sin(u)~j + v~k , (u, v) ∈ [0, 2π] × IR;

(67)

Exemplo 139: Obter uma parametriza¸c˜ao da parte do cilindro x2+ y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 5, delimitada pelos semiplanos y = x e y = 2x, com x ≥ 0.

(68)

(69)

(3) Parametriza¸c˜ao de um Cone: A figura abaixo mostra um cone circular, no qual denotamos por α o ˆangulo formado pelo eixo positivo dos z e uma geratriz do cone.

Dado um ponto P (, x, y, z) do cone, introduziremos dois parˆametros u e v para obter as coordenadas de P como fun¸c˜ao de u e v.

(70)

Geometricamente o parâmetro u é o mesmo que em coordenadas polares e o parâmetro v é a distância de P até a origem, O.

Do triˆangulo retˆangulo P OP2, temos z = v cos(α) e OP0 = v sin(α).

Do triângulo retângulo P0OP1, vem x = OP0cos(u) e y = OP0sin(u). Assim, as equa¸cões

paramˆetricas e vetorias s˜ao:

x = v sin(α) cos(u) 0 ≤ u ≤ 2π y = v sin(α) sin(u) e

z = v cos(α) 0 ≤ v ≤ h onde h cos(α) descreve a altura do cone.

(71)

Exemplo 141: Obter uma parametriza¸c˜ao do cone gerado pela semi-reta z = √3y, y ≥ 0 quando esta gira em torno do eixo positivo dos Z.

(72)

(73)

(4) Parametriza¸cão de um Parabolóide: A figura abaixo mostra um parabolóide z = a 2(x2 + y2), onde a > 0 é uma constante.

As equa¸cões paramêtricas e vetorias são:

x = u u ∈ IR

y = v e

z = a2(u2 + v2) v ∈ IR ~r(u, v) = u~i + v~j + a2(u2 + v2)~k , (u, v) ∈ IR2.

Uma outra parametriza¸c˜ao ´e:

(74)

Exemplo 143: Obter uma parametriza¸c˜ao da parte do parabol´oide z = 2(x2 + y2) abaixo do plano z = 8.

(75)

Parametriza¸c˜ao de outras superf´ıcies: De maneira geral, dada uma superf´ıcie S, sempre procuramos parametriz´a-la da forma mais natural poss´ıvel.

Por exemplo x e y sempre podem ser tomadas como parâmetros. Assim, uma parametriza¸cão de S é dada por

~r(x, y) = (x, y, z(x, y)),

(76)

(77)

(78)

Exemplo 146: Obter uma parametriza¸c˜ao da parte do cone x2 = y2 + z2 que est´a entre os planos x = 1 e x = 4.

(79)

Curvas Coordenadas: Seja S uma superf´ıcie param´etrica representada por

~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R. (1)

e fixarmos o parâmetro v, a equa¸cão (1) descreve uma curva que está contida em S é chamada u-curva. Analogamente, fixando o parâmetro u, obtemos uma v-curva sobre S.

Dado um ponto P sobre S, de vetor posi¸c˜ao ~r(u0, v0), a u-curva ~r(u, v0) e a v-curva

(80)

Exemplo 147: Determinar as curvas coordenadas da esfera x2+ y2+ z2 = 4, no ponto P (2, 0, 0).

(81)

Plano Tangente e Reta Normal: Seja P um ponto de uma superf´ıcie S, representada por

~r(u, v), (u, v) ∈ R.

Suponhamos que P tem vetor posi¸c˜ao ~r(u0, v0) e que as curvas cooedenadas de S em

P sejam suaves. Segue que:

O vetor ∂~r

∂v =

d(~r(u0,v)

dv ´e tangente `a v-curva ~r(u0, v) e o vetor ∂~r ∂u =

d(~r(u,v0)

du ´e tangente `a

(82)

Se os vetores ∂~r

∂u e ∂~r

∂v s˜ao limearmente independentes, eles determinam um plano. Esse

plano ´e chamado plano tangente `a superf´ıcie no ponto P .

O vetor ∂~r

∂u × ∂~r

∂v é perpendicular ao plano tangente e é denominado vetor normal à

(83)

Exemplo 148: Uma superf´ıcie S ´e descrita pela equa¸c˜ao ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), U 2− 1), com 0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2π.

a) Representar graficamente a superf´ıcie S.

b) Dar a equa¸c˜ao e desenhar a v-curva correspondente a u = 2 e a u-curva correspon-dente a v = π₄, sobre a cuperf´ıcie S.

c) Determinar os vetores ∂~r ∂u, ∂~r ∂v, ∂~r ∂u × ∂~r ∂v para u = 2 e v = π

4 e represent´a-los no ponto

(84)

Equa¸cão da reta normal: A equa¸cão da reta normal à superf´ıcie S em um ponto P de S é ~r(t) = ~r(u0, y0) + t( ∂~r ∂u × ∂~r ∂v)(u0, v0),

onde ~r(u0, v0) é o vetor posi¸cão do ponto P e (_∂u∂~r × ∂~_∂vr)(u0, v0) é o vetor diretor da reta

(85)

Exemplo 149: Determine a equa¸cão da reta normal à superf´ıcie S de equaçcão veto-rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0, 4]×[0, 2π], no ponto P (√2,√2, 3).

(86)

Equa¸cão do plano tangente: A equa¸cão do plano tangente à superf´ıcie S, no ponto P (x0, y0, z0) é ~ q · (∂~r ∂u × ∂~r ∂v)(u0, v0) = 0, com ~q = (x − x0, y − y0, z − z0).

(87)

Exemplo 150: Determine a equa¸cão do plano tangente à superf´ıcie S de equa¸cão veto-rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0, 4]×[0, 2π], no ponto P (√2,√2, 3).

Exemplo 151: Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie S dada por x2 + y2 + z2 = 4, no ponto P (1, 1,√2).

(88)

Exemplo 150: Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie S do exemplo anterior, no ponto P0(0, 0, 2).

(89)

Superf´ıcies Suaves e Orienta¸c˜ao

Uma superf´ıcie suave ou regular é caracterizada pela ausência de arestas. Podemos dizar que, em cada ponto P de uma superf´ıcie suave S, existe um único plano tangente a S em P . Uma maneira conveniente de descrever a no¸cão de suavidade de uma superf´ıcie S é dizer que S pode ser dividida em partes e cada uma dessas partes admite uma parametriza¸cão ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), onde x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v) admitem derivadas cont´ınuas de todas as ordens, e que, para todo (u0, v0) ∈ R,

as derivadas primeiras satisfazem a condi¸c˜ao ∂~r

∂u(u0, v0)e ∂~r

∂v(u0, v0) são linearmente independentes. Esta condi¸cão é conhecida como condi¸cão de suavidade ou regularidade.

Os pontos de S em que falha a condi¸cão de suavidade para qualquer parametriza¸cão são chamados pontos singuares.

(90)

Exemplo 151: O ponto P (0, 0, 2) da esfera x2 + y2 + z2 = 4 ´e um ponto singular da parametriza¸c˜ao ~r(u, v) = (2 cos(u) cos(v), 2 sin(u) cos(v), 2 cos(v)).

(91)

Orienta¸c˜ao de uma superf´ıcie

Uma superf´ıcie S está orientada quando escolhemos em cada ponto P ∈ S um vetor unitári ~n(P ), normal a S, que varia continuamente com P . O campo de vetores ~n é chamado campo normal unitário.

Se S é representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R, nos pontos, em que a condi¸cão de suavidade é satisfeira, os vetores ~ n1 = ∂~r ∂u × ∂~r ∂u |∂~r ∂u × ∂~r ∂u| e n~2 = − ~n1

(92)

Exemplo 152: Determine um campo normal unit´ario da esfera x2 + y2 + z2 = a2, representando graficamente o vetor normal unit´ario encontrado em alguns pontos da esfera.

(93)

Exemplo 153: Determine um campo normal unit´ario do parbol´oide S, dado por

(94)

Exemplo 154: A fita de Möbius, é um exemplo clássico de superf´ıcie unilateral. Ela pode ser obtida a partir de um longo retângulo ABCD, em que os lados AC e BD são unidos de tal forma que A coincida com D e B com C.

Observamos que, dado um ponto P da dita de M¨obius, podemos escolher um vetor normal unit´ario ~n. No entanto quando ~n se desloca continuamente sobre a curva C e retorna a P , seu sentido se inverte.

(95)

Orienta¸c˜ao de uma supesf´ıcie suave por partes

Se uma superf ’icie suave e orientada S é limitada por uma curva fechada simples C, podemos associar à orienta¸cão de S um sentido positivo sobre C, conforme vemos na figura abaixo.

Se a superf´ıcie S é formada por mais de duas partes suaves, procedemos de forma análoga à figura acima.

(96)

Exemplo 155: Dada a figura, mostrar uma poss´ıvel orienta¸cão da superf´ıcie S de um cubo. Com essa orienta¸cão, S é denominada superf´ıcie exterior do cubo dado.

(97)

´

Area de uma Superf´ıcie: Seja S uma superf´ıcie parame´etrica suave, representada por

~

r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R.

Os vetores |∂~r

∂u|∆u e | ∂~r

∂v|∆v determinam um paralelogramo, cuja ´area ´e dada por:

∆S = |∂~r ∂u∆u × ∂~r ∂v∆v| = | ∂~r ∂u × ∂~r ∂v|∆u∆v.

A parte de S, correspondente ao retângulo de área ∆u∆v em R, é aproximada por esse paralelogramo de área ∆S.

(98)

Defini¸cão: A área de S, denotada por a(S), é definida pela equa¸cão a(S) = Z Z R |∂~r ∂u × ∂~r ∂v|dudv quando a integral à direita existe.

Se S é suave por partes, a área de S é definida como a soma das áreas sobre cada peda¸co suave de S. Exemplo 156: Determinar a área da esfera de raio a.

(99)

Exemplo 158: Seja S uma superf´ıcie representada na forma expl´ıcita por z = z(x, y). Usando x e y como parˆametros, escrever a integral que define a ´area de S.

(100)

Exemplo 159: Determinar a área do hemisfério de raio a, usando a representa¸cão expl´ıcita z = pa2 − x2 − y2.

Exemplo 160: Encontrar a área da superf´ıcie cônica x2 = y2 + z2 que está entre os planos x = 1 e x = 4.

(101)

Integral de Superf´ıcie de um Campo Escalar: Seja S uma superf´ıcie suave, repre-sentada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R. Seja f um campo escalar definido e limitado sobre S. A integral de superf´ıcie de f sobre S, denotada por

Z Z

S

f ds, ´e definida pela equa¸c˜ao

Z Z S f ds = Z Z R f (~r(u, v))|∂~r ∂u × ∂~r ∂v|dudv, quando a integral dupla ´a direita existe.

Se S ´e suave por partes,

Z Z

S

f ds ´e definida como a soma das integrais sobre cada peda¸co suave de S.

Exemplo 161: Calcular I =

Z Z

S

(z − x2 + xy2 − 1)ds, onde S ´e a superf´ıcie ~r(u, v) = u~i + v~j + (u2 + 1)~k, (u, v) ∈ [0, 2] × [0, 5].

(102)

Z Z

S

x2zds, onde S é a por¸cão do cone z2 = x2 + y2 que está entre os planos z = 1 e z = 4.

(103)

Z Z

S

(x + y + z)ds, onde S = S1 ∪ S2 ´e a superf´ıcie

(104)

Centro de Massa e Momento de Inércia: Suponhamos que S represente a lâmina e que o campo escalar f (x, y, z) represente a densidade (massa por unidade de área) no ponto (x, y, z).Então:

A Massa da lamina ´e dado por m = R R_S f (x, y, z)ds O centro de massa (x, y, z) ´e dado por

x = 1 m R R Sxf (x, y, z)ds y = 1 m R R Syf (x, y, z)ds z = _m1 R R_Szf (x, y, z)ds O momento de inércia I_L de S em rela¸cão a um eixo L é dado por

IL =

Z Z

S

[δ(x, y, z)]2f (x, y, z)ds

(105)

Exemplo 164: Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = y recortada pelo cilindro x2 + (y − 1)2 = 1. Determine a massa dessa lâminha se a densidade no ponto (x, y, z) é proporcional à distância desse ponto ao plano x ◦ y.

(106)

Exemplo 165: Determine o centro de massa do hemisf´erio z = p1 − x2 − y2 com densidade f (x, y, z) = 0, 3 unidade de massa por unidade de ´area.

(107)

Exemplo 166: Uma lâmina tem a forma de um hemisfêrio unitário. Encontrar o momento de inércia dessa lâmina em rala¸cão a um eixo que passa pelo pólo e é per-pendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considerar a densidade no ponto P da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.

(108)

Integal de Superf´ıcie de um Campo Vetorial: Sejam S uma superf´ıcie suave, representada por ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R, e ~n = ~n(u, v) um vetor unit´ario, normal a S. Seja ~f um campo vetorial definido sobre S. A integral de superf´ıcie de ~f sobre S, denotada por

Z Z

S

~

f · ~nds, ´e definida pela equa¸c˜ao

Z Z S ~ f · ~nds = Z Z R ~ f (~r(u, v)) · ~n(u, v)|∂~r ∂u × ∂~r ∂u|dudv, quando a integral `a direita existe.

Se S ´e suave por partes, a integral ´e definida como a soma das integrais sobre cada peda¸co suave de S.

C´alculo da Integal Seja ~n1 o vetor normal unit´ario de S, dado por ~n1 =

∂~r ∂u× ∂~r ∂u |∂~r ∂u× ∂~r ∂u| . Podemos ter ~n = ~n1 ou ~n = − ~n1. Z Z S ~ f · ~nds = ± Z Z R ~ f (~r(u, v)) · (∂~r ∂u × ∂~r ∂u)dudv. O sinal depende da escolha de ~n.

(109)

Z Z

S

~

f · ~nds, sendo ~f = x~i + y~j + z~k e S a superf´ıcie esterior da esfera representada por ~r(u, v) = (a cos(u) cos(v), a sin(u) cos(v), a sin(v)), olequ ≤ 2π e −π₂ ≤ v ≤ π₂.

Exemplo 168: Seja S a superf´ıcie exterior do parabol´oide ~r(x, y) = (x, y, x2 + y2), (x, y) ∈ R, onde R = {(x, y)|x2+y2 ≤ 4}. Determinar

Z Z

S

~

(110)

Interpreta¸c˜ao f´ısica da integral

Z Z

S

~

f · ~nds

Consideremos um fluido em movimento em um dom´ınio D do espa¸co. Sejam ~v(x, y, z) o vetor velocidade do fluido no ponto (x, y, z) e ρ(x, y, z) a sua densidade. Seja ~f o campo vetorial dado por ~f (x, y, z) = ρ(x, y, z)~v(x, y, z).

O vetor ~f tem a mesma dire¸c˜ao da velocidade e seu comprimento tem dimens˜oes massa

unid. vol. ·

distˆacia

unid. tempo =

massa

(unid. ´area)(unid. tempo).

Assim, podemos dizer que ~f representa a quantidade de massa de fluido, por unidade de ´area e por unidade de tempo, que escoa na dire¸c˜ao de ~v, em um ponto qualquer (x, y, z) ∈ D.

Sejam S : ~r(u, v), (u, v) ∈ R, uma superf´ıcie param´etrica suave, contida em D, e ~n um vetor unit´ario, normal a S.

(111)

A componente de ~f , na dire¸c˜ao de ~n, ´e dada por | ~f | cos(α) = | ~f ||~n| cos(α) = ~f · ~n.

Portanto, de dS é o elemento de área de superf´ıcie de S, o produto ( ~f · ~n)dS representa o volume de um prisma cuja área da base é dS e cuja altura é a componente de ~f na dire¸cão de ~n. Podemos, então, dizer que ( ~f · ~n)dS nos dá a quantidade de massa de fluido que atravessa dS, na dire¸cão de ~n, em uma unidade de tempo.

A quantidade total de massa de fluido que atravessa a superf´ıcie S, na dire¸c˜ao de ~n, em uma unidade de tempo, ser´a dada por

φ =

Z Z

S

~

f · ~ndS

(112)

Exemplo 169: Um fluido de densidade constante, com velocidade ~v = (−2x, −2y, z), escoa atrav´es da superf´ıcie S dada por ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2 − 1), o ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2π, na dire¸c˜ao do vetor ∂~r

∂u × ∂~r

∂v. Determinar a massa de fluido que atravessa S

em uma unidade de tempo.

Exemplo 170: Sejam S a superf´ıcie plana limitada pelo triângulo de vértice (4, 0, 0), (0, 4, 0) e (0, 0, 4) e ~n um vetor unitáario, normal a S, com componente z não negativa. Usando a representa¸cão vetorial de S dada por ~r(u, v) = (u + 2v, u − 2v, 4 − 2u), deter-minar o fluxo do campo vetorial ~f = x~i+y~j +z~k, através da superf´ıcie S, na dire¸cão de ~n.

(113)

Exemplo 171: Seja S uma superf´ıcie suave representada na forma expl´ıcita z = z(x, y). Usando x e y como parˆametros, determinar uma equa¸c˜ao para calcular

Z Z

S

~

f · ~nds.

(114)

Exemplo 173: Seja S a parte do cone z = (x2+y2)12, delimitada pelo cilindro x2+y2 = 1,

com a normal apontando para fora. Calcular

Z Z

S

(115)

Exemplo 174: Sejam S uma superf´ıcie paramétrica suave, representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R e ~n = ~n(u, v) um vetor unitário, normal a S. Se ~f é um campo vetorial cont´ınuo definido sobre S e T é a componente de ~f na dire¸cão de ~n, mostrar que

Z Z S ~ f · ~nds = Z Z S T dS.

(116)

Esse resultado nos permite fazer uma análise da integral de superf´ıcie de um campo vetorial em diversas situa¸cões práticas, como segue:

a) Se, em cada ponto da superf´ıcie S, o campo vetorial ~f for perpendicular ao vetor ~n, a integral de ~f sobre S será nula. Em particular, se ~f representa a densidade de fluxo de um fluido em movimento, será nulo o fluxo através da superf´ıcie S.

b) Se o ângulo entre ~f e ~n for agudo, a componente de ~f na dire¸cão de ~n será positiva e, dessa forma, teremos um fluxo positivo através de S.

c) Se o ângulo entre ~f e ~n for abtuso, a componente de ~f na dire¸cão de ~n será negativa. Nesse caso, teremos um fluxo negativo através de S. Na prática, isso significa que o fluido estará atravessando a superf´ıcie S no sentido contrário ao do vetor ~n.

(117)

(118)

Exemplo 175: Determinar o fluxo do campo vetorial ~f = (x, y, 0) atrav´es da superf´ıcie exterior do s´olido x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 4.

(119)

Teorema de Stokes

Seja S uma superf´ıcie orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C. Então, se ~g é um campo vetorial cont´ınuo, com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio que contém S ∪ C, temos

Z Z S rot~g · ~ndS = Z C ~g · ~dr,

onde a integra¸cão ao longo de C é efetuada no sentido positivo determinada pela orienta¸cão de S, como vemos na figura abaixo

Se o campo ~g tem componentes g1, g2 e g3, (1) pode ser reescrita como

Z C (g1dx + g2dy + g3dz) = Z Z S (∂g3 ∂y − ∂g2 ∂z )dydz + ( ∂g1 ∂z − ∂g3 ∂x )dzdx + ( ∂g2 ∂x − ∂g1 ∂y )dxdy .

(120)

Exemplo 176: Usando o teorema de Stokes, calcular I =

Z

C

(y2dx + z2dy + x2dz), onde C é o contorno da parte do plano x + y + z = a, a > 0 que está no 1o octante, no sentido anti-horário.

(121)

Exemplo 177: Seja S a parte do gr´afico de z = 9 − x2 − y2_{, z ≥ 0 com normal exterior.}

Determinar

Z Z

S

(122)

Exemplo 178: Sejam S1 a superf´ıcie parab´olica z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 4, com normal

exterior e S2 parte do plano z = 4 delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 4, com normal

inferior. Mostrar que

Z Z

S1

rot~g · ~ndS =

Z Z

S2

rot~g · ~ndS, sendo ~g um campo vetorial com derivadas parciais de 1o ordem cont´ınuas.

(123)

Z

C

(sin(z)dx − cos(x)dy + sin(z)dz), onde C é o per´ımetro do retângulo 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1, z = 3 no sentido horário.

(124)

Teorema da Divergˆencia

Seja T um sólido no espa¸co, limitado por uma superf´ıcie orientável S. Se ~n é a normal unitária exterior a S e se ~f (x, y, z) = f1(x, y, z)~i + f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k é uma fun¸cão

vetorial cont´ınua que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em um fom´ınio que cont´em T , ent˜ao

Z Z S ~ f · ~ndS = Z Z Z T div ~f dV

(125)

Z

C

[(2x − z)dydz + x2dzdx − xz2dxdy], onde S ´e a superf´ıcie exterior do cubo limitado pelos plaos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1.

(126)

Exemplo 180: Calcular a integral do exemplo anterior sobre S0, sendo S0 a superf´ıcie esterior do cubo, exceto a face que est´a no plano z = 1.