Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo

(1)

Março de 2008 © T.M.Almeida

IST-DEEC-ACElectrónica

Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica

Análise de Circuitos Dinâmicos

no Domínio do Tempo

Teresa Mendes de Almeida

TeresaMAlmeida@ist.utl.pt

DEEC

Área Científica de Electrónica

2

Matéria

Sinais e medidas no domínio do

tempo

sinais AC e DC - notação valor médio e valor eficaz

Tipos de circuitos eléctricos

lineares Resistivo e Dinâmico Condensador características associação em série e em paralelo Bobine características associação em série e em paralelo transformador Exemplos de aplicação

Resposta no tempo de circuitos

RC e RL

análise de transitórios em

circuitos de 1ª ordem

solução da equação diferencial

de 1ª ordem

método de cálculo do transitório circuitos RC

circuitos RL

propriedades da solução geral

da equação diferencial

função escalão

aplicação em circuitos

(2)

Março de 2008 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo

Notação para Sinais no Domínio do Tempo

DC – componente constante (não varia com o tempo) grandeza – maiúscula

índice – maiúscula

AC – componente variável no tempo grandeza – minúscula

índice – minúscula

DC+AC – componentes fixa e variável no tempo grandeza – minúscula índice – maiúscula

DC

AC

DC+AC

( )

IN IN in DC AC

OUT OUT out DC AC v t V v t i t I i t = + = + t t _t 10 A V = V v t_b( )=2 sin 2 500

₍

π t V

₎

v tC( )= +2 1, 5sin 2 800

(

π t V

)

(

)

2 ( ) 1,5sin 2 800 C c V = V v t = π t V 4

Medidas no Domínio do Tempo

Valor Médio e Valor Eficaz

Medição experimental com Voltímetro

modo DC – valor médio

modo AC – valor eficaz

Visualização das formas de onda no osciloscópio

modo AC – apenas se visualiza componente variável (AC) do sinal modo DC – visualiza-se componente DC e AC do sinal

utilizar habitualmente modo DC

( )

0 0 1 t T Medio t X x t dt T + =

∫

( )

0 0 2 1 t T ef rms t X X x t dt T + = =

∫

t T 2T A 1 2 f f T

ω

=

π

=

( )

cos

(

0

)

x t = A

ω

t+

θ

0 0, 707 2 med ef X A X A = = ≈

(3)

Tipos de Circuitos Eléctricos

Circuito Resistivo Linear

constituído por elementos resistivos

componentes resistivos

resistência, fonte de tensão, fonte de corrente

relação v(t)-i(t) descrita por equação algébrica linear

descrito por conjunto de equações algébricas lineares todos os circuitos que foram considerados e estudados

em TCFE até agora são do tipo resistivo linear Circuito Dinâmico Linear

contém elementos que podem armazenar energia

absorvem energia do circuito, armazenam-na temporariamente,

mais tarde podem devolver essa energia ao circuito

componentes dinâmicos

condensador e bobine

relação v(t)-i(t) descrita por equação diferencial

descrito por um conjunto de equações diferenciais lineares geralmente também contém componentes resistivos

( )

C

( )

C dv t i t C dt =

( )

R R v t =R i× t condensador 6

Condensador

Constituição

2 placas de material condutor (armaduras) separadas por material isolante – o dieléctrico

p. ex.: ar, silício, papel impregnado, cerâmico, mica, ...

Capacidade (C)

depende de parâmetros definidos no processo de fabrico

geometria e dieléctrico utilizado

medida experimentalmente

para um condensador plano pode calcular-se teoricamente

A – área de cada armadura d – distância entre armaduras

ε – constante dieléctrica (permitividade) do dieléctrico

( ε = ε_rε₀ vazio: ε₀=8,85E-12 F/m ar(puro, seco): ε_r ∼1 )

é a medida da quantidade de carga (Q) armazenada em cada armadura para uma

dada diferença de potencial (V) entre as armaduras

C=1F é uma capacidade muito elevada (1F = 1C / 1V) capacidades são geralmente de valor baixo

expressas em microfarad (µF), nanofarad (nF), picofarad (pF)

[ ]

[

]

[

]

[

]

C Coulomb Q C Q CV F Farad V V Volt = ⇔ = = = A C d ε = 19 1, 602 10 e q = − × − C

(4)

Condensador

Carregar um condensador

impor uma diferença de potencial v(t) entre as armaduras

por intermédio de uma fonte de energia eléctrica

carga armazenada no condensador é q(t)

a carga é directamente proporcional à tensão

surge campo eléctrico no dieléctrico entre as armaduras

energia eléctrica armazenada nessa região do espaço

devido à existência do campo eléctrico

condensador armazena energia eléctrica quando está a ser carregado energia eléctrica é transferida da fonte para o condensador

Descarregar um condensador

condensador liberta para o circuito a energia eléctrica que estava armazenada Condensador – componente com capacidade de armazenar energia

eléctrica

ideal – manteria indefinidamente essa energia

real – tem perdas – vai muito lentamente perdendo a energia armazenada

+Q -Q ++++++++ -+ V -e -e -E

( )

q t =C v t× 8

Condensador

Relação entre v

_C

(t) e i

_C

(t)

corrente eléctrica

carga armazenada no condensador a corrente é directamente proporcional

à taxa de variação da tensão

DC

tensão constante ⇒ corrente nula

em DC condensador comporta-se como um circuito aberto condensador bloqueia componente contínua

v_C(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) obter-se-ía corrente infinita!

energia eléctrica armazenada (associada ao campo eléctrico existente)

não pode ser descontínua!

num instante t_xqualquer

( )

dq t

( )

i t dt =

( )

q t =C v t×

( )

C

( )

C dv t i t C dt =

( )

C x C x C x v t− =v t+ =v t t_x vC(t)

(5)

Condensador

Condição inicial

ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir)

uma condição inicial para a tensão(carga) no condensador

Energia armazenada no condensador

em cada instante, a energia no condensador apenas depende da tensão aos

seus terminais nesse instante

( )

0 0 0 0 1 t 1 t 1 t 1 t C C C C C C t t v t i x dx i x dx i x dx v t i x dx C_−∞ C _−∞ C C =

∫

=

∫

+

∫

= +

∫

( )

C

( )

C dv t i t C dt =

( )

1 2

( )

1 2

(

)

2 2 C C C t t C C C C C C p t v t i t dv x w t p x dx v x C dx Cv t Cv dx −∞ −∞ = × =

∫

=

∫

× = − −∞

(

)

0 C v −∞ = →

( )

1 2

( )

2 C C w t = Cv t

[ ] [

J Joule

]

10

Exemplo de aplicação

Determinar i

_C

(t)

e w

_C

(6ms)

de um condensador com C=5

µ

F

a

partir do gráfico da tensão

( )

3 3 0 , 0 4 10 , 0 6 96 12 10 , 6 8 0 , 8 C t t t ms v t t ms t ms ms t ≤   × ≤ ≤  = − × ≤ ≤   _≤ 

( )

C

( )

C dv t i t C dt =

( )

0 , 0 20 , 0 6 60 , 6 8 0 , 8 C t mA t ms i t mA ms t ms ms t <   < <  = − < <   _< 

(

)

(

)

( )

(

)

2 2 6 1 1 6 6 5 10 24 2 2 6 1, 44 C C C w ms Cv ms w ms mJ − = = × =

(6)

Associação de Condensadores

Condensadores em série

KVL 2 condensadores em série

Condensadores em paralelo

KCL

( )

1

( )

2

( )

N

( )

v t =v t +v t +v t

( )

1

( )

1, 2, , t k k v t i x dx k N C _−∞ =

∫

= …

( )

1 2 1 1 1 t N v t i x dx C C C _−∞   = + + +   

∫

1 2 1 1 1 1 S N C =C +C ++C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , S S S C C C C C C C =C +C =C +C <

( )

1

( )

2

( )

N

( )

i t =i t +i t +i t

( )

1

( )

2

( )

N

( )

dv t dv t dv t i t C C C dt dt dt = + ++

( ) (

1 2 N

)

( )

dv t i t C C C dt = + ++ C_P =C₁+C₂++C_N 12

Exemplos de aplicação

Determinar a corrente/tensão no condensador

C=24µF C=2µF C=10µF C=50µF q(0)=0C C=100µF q(0)=0C C=50µF C=25µF C_T=? C_T=? C_T=1µF C=?

(7)

Bobine

Constituição

fio condutor enrolado em forma de espiral núcleo de material

não magnético – ar

magnético – ferro, ferrite (concentram linhas de fluxo)

Condutor onde passa corrente - cria um campo magnético

campo magnético e corrente estão relacionados de forma linear

L – coeficiente de auto-indução (indutância) [H] [Henry]

é a constante de proporcionalidade

λ – fluxo de ligação magnética φ – fluxo magnético

N – n. espiras da bobine

variação na corrente que atravessa a bobine induz aos seus terminais uma tensão L é a constante de proporcionalidade L L i N φ= L N Li λ = φ λ= L d v dt λ = 14

Bobine

Relação entre v

_L

(t) e i

_L

(t)

a tensão é directamente proporcional à taxa

de variação da corrente

DC

corrente constante ⇒ tensão nula

em DC bobine comporta-se como um curto-circuito bobine deixa passar componente contínua

i_L(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) obter-se-ía tensão infinita!

energia armazenada (associada ao campo magnético existente) não

pode ser descontínua!

num instante t_xqualquer

( )

L

( )

L di t v t L dt = tx iL(t)

( )

L x L x L x i t− =i t+ =i t L d v dt λ = λ =Li_L

(8)

Bobine

Condição inicial

ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir)

uma condição inicial para a corrente na bobine

Energia armazenada na bobine

em cada instante, a energia na bobine apenas depende da corrente aos seus

terminais nesse instante

( )

0 0 0 0 1 t 1 t 1 t 1 t L L L L L L t t i t v x dx v x dx v x dx i t v x dx L_−∞ L_−∞ L L =

∫

+

∫

= +

∫

( )

1 2

( )

1 2

(

)

2 2 L L L t t L L L L L L p t v t i t di x w t p x dx L i x dx Li t Li dx −∞ −∞ = × =

∫

=

∫

× = − −∞

(

)

0 L i −∞ = →

_{( )}

1 2

_{( )}

2 L L w t = Li t

[ ] [

J Joule

]

( )

L

( )

L di t v t L dt = 16

Exemplo de aplicação

Determinar v

_L

(t)

, w

_L

(2ms)

e w

_L

(4ms)

de uma bobine com

L=10mH

a partir do gráfico da corrente

( )

L

( )

L di t v t L dt =

( )

3

[ ]

0 , 0 10 , 0 2 40 10 10 , 2 4 0 , 4 L t t t ms i t A t ms t ms ms t − ≤   ≤ ≤  = × − ≤ ≤   _≤ 

( )

[

]

0 , 0 100 , 0 2 100 , 2 4 0 , 4 L t t ms v t mV ms t ms ms t <   < <  = − < <   _< 

(

)

(

)(

)

(

)

2 3 3 1 2 10 10 20 10 2 2 4 0 L L w ms J w ms J µ − − = × × = =

(9)

Exemplo de aplicação

Calcular energia total armazenada no circuito

circuito só tem fontes DC

admitindo que foram ligadas há muito tempo – todas grandezas constantes condensadores → circuito aberto

bobines → curto-circuito

analisar circuito resistivo resultante (KCL nó A, KVL malha exterior)

DC

(

)

1 2 1 1 2 2 3 1, 2 9 6 3 6 0 1,8 L L L L L L I I I A I I I A + =   = −    − + + + = =    1 2 1 2 1 2 1 2 2, 62 2, 92 1, 44 6, 48 13, 46 C C L L T C C L L W mJ W mJ W mJ W mJ W W W W W mJ = = = = = + + + = 2 2 1 1 6 10,8 6 9 16, 2 C L C L V I V V I V = =   = − + =  18

Associação de Bobines

Bobines em série

KVL

Bobines em paralelo

KCL 2 bobines em paralelo

( )

1

( )

2

( )

N

( )

v t =v t +v t +v t

( )

( ) (

)

( )

1 2 1 2 N N di t di t di t v t L L L dt dt dt di t v t L L L dt = + + + = + + + S 1 2 N L =L +L ++L

( )

1

( )

2

( )

N

( )

i t =i t +i t +i t

( )

1 2 1 1, 2, , 1 1 1 t k k t N i t v x dx k N L i t v x dx L L L −∞ −∞ = =   = + + +   

∫

… 1 2 1 1 1 1 P N L = L + L ++L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , P P P L L L L L L L = L + L = L +L <

(10)

Exemplos de aplicação

Determinar a tensão/corrente na bobine

L=10mH L=50mH L=4mH L=24mH L=4mH v(t)=0V , t<0 L=24mH v(t)=0V , t<0 L=2H LT=2mH L=? L_AB=? 20

Exemplos de aplicação

Se energia total armazenada no circuito é 80mJ, quanto vale

L?

Calcular C sabendo que energia armazenada no condensador

é igual à energia armazenada na bobine

Calcular a potência dissipada na

R=3Ω e a energia armazenada

no condensador

(11)

Transformador

Constituição

2 bobines adjacentes primário e secundário existe ligação magnética –φ não existe ligação eléctrica

isolamento eléctrico

Transformador ideal

resistência dos fios é desprezada

fluxo φ no núcleo liga todas as espiras das 2 bobines

( )

1 1 2 2 d v t N dt d v t N dt φ φ = = 1 1 2 2 v N v = N 1 1 2 2 0 Hdl =N i +N i =

∫

1 2 2 1 i N i = − N 22

Transformador

Níveis de Tensão, Corrente e Resistência são alteradas

Nível de Potência não se altera

Análise de circuitos com transformadores ideais

reflectir grandezas do primário/secundário no secundário/primário usando as relações do quociente do número de espiras

necessário ter atenção à marcação polaridade das tensões

sentido das correntes

sentido acoplamento magnético

1 1 2 2 N v v N = 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 N v v N N v R N i _i N i N   = = =   −   − 2 1 1 2 2 N R R N   =     1 2 p = −p 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 0 N 0 0 N i N i v i v i v i v i N + = + = + = 2 1 2 1 N i i N = −

(12)

Análise de Transitórios em Circuitos

Circuitos de 1ª ordem

contêm apenas um elemento armazenador de

energia

circuitos RC circuitos RL

descritos por equação diferencial de 1ª ordem Análise do circuito

comportamento do circuito quando existem

alterações no circuito

interruptor abre/fecha

fonte ligada/desligada ou com valor

alterado num instante de tempo

tensões e correntes vão-se alterar

transitoriamente

análise do circuito permite determinar

qual a forma dos transitórios

ao fim de algum tempo tensões e correntes

ficam com valores constantes

regime estacionário

( )

C

( )

C dv t i t C dt = E D D D E 24

Solução da eq. diferencial de 1ª ordem

Solução da eq. diferencial de 1ª ordem genérica

x_p(t) – solução particular (forçada)

é uma solução da eq. diferencial genérica depende da função f(t)

x_c(t) – solução complementar (natural) é uma solução da eq. homogénea só depende da topologia do circuito solução total da eq. diferencial de partida

Para uma função constante f(t)=A

( )

dx t ax t f t dt + =

( )

0 dx t ax t dt + =

( )

1 p p p dx t _A a x t A x t K dt + = → = = a

( )

0

( )

2 c at c c dx t a x t x t K e dt − + = → =

( )

p

( )

c

( )

x t = x t +x t

( )

/ 1 2 t x t =K +K e− τ

(

)

( )

1 1 2 0 x K x K K +∞ =   = +  1 a

τ

=

(13)

Análise de Transitório em circuito RC

Como varia a tensão no condensador?

Antes do interruptor fechar em t=0–

regime estacionário – grandezas constantes fonte já estava ligada há muito tempo condensador estava descarregado

Logo após o interruptor fechar t=0+

tensão no condensador não pode variar

instantaneamente

Deixando passar muito tempo t=+

∞

regime estacionário – grandezas constantes condensador comporta-se como circuito aberto

Durante o transitório

KCL

( )

0 0 C v − =

(

)

C S v +∞ =V

( )

1 S C C C C S V v t dv t dv t C v t V R dt dt RC − = → + = a=1/ τ τ τ τ A

( )

0

( )

0

( )

0 0 C C C v + =v − =v = 26

Análise de Transitório em circuito RC (cont.)

Assumir a solução da eq. diferencial

Determinar as constantes (K

₁

, K

₂

, ττττ) a partir do circuito

A solução é:

( )

/ 1 2 t C v t = K +K e− τ

( )

(

)

(

)

1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 C C C S C S v v K K K K v V v K K V RC

τ

= ∧ = + ⇒ + = +∞ = ∧ +∞ = ⇒ = = ex _e-x _-e-x _1-e-x 1

( )

1 0 t t RC RC C S S S v t =V −V e− =V  −e−  t≥  

(14)

Método de cálculo de Transitório em RC

Assumir que a solução para a tensão no condensador é

t0– instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha)

Calcular constante K

₁

t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar v_C(+∞)

Calcular constante K

₂

t=t0– regime estacionário (grandezas constantes)

fazer análise do circuito e determinar v_C(t₀–) continuidade na tensão no condensador calcular K2

Calcular constante de tempo ττττ

calcular RTh– resistência equivalente de Thévenin vista pelo condensador

calcular τ

( )

1 2 0 t t C v t K K e τ − − = +

(

)

1 C v +∞ = K

( )

0 0 0 0 1 2 C C C C v t v t v t v t K K − + = = = + Th R C

τ

= 28

Exemplo de aplicação

Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito

tempo e muda para 2 em t=0

relacionar i(t) com vC(t)

determinar calcular K1 t=+∞ regime estacionário calcular K₂ t=0 - regime estacionário

( )

2 C v t i t R =

( )

1 2 0 t t C v t K K e τ − − = + t₀ =0 + v_C(+∞)

-(

)

0 1 C v +∞ = =K

(

0

)

3 12 4 3 6 C k v V k k − = = +

(

0

)

(

0

)

4 1 2 C C v + =v − = V =K +K K₂ =4V

(15)

Exemplo de aplicação (continuação)

Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito

tempo e muda para 2 em t=0

calcular τ

interruptor em 2

R_Thvista pelo condensador

obter vC(t) obter i(t) R_Th 1// 2 2 0, 2 Th Th R R R k R C s τ = = Ω = =

( )

[ ]

0,2 4 , 0 4 , 0 t C t v t V e t − ≤   =  _≥ 

( )

[

]

0,2 4 , 0 3 4 , 0 3 t t i t mA e t −  ≤  =  ≥  30

Método de cálculo de Transitório em RL

Assumir que a solução para a corrente na bobine é

t₀– instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha)

Calcular constante K

₁

t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar i_L(+∞)

Calcular constante K

₂

t=t0– regime estacionário (grandezas constantes)

fazer análise do circuito e determinar iL(t0–)

continuidade na corrente na bobine calcular K2

Calcular constante de tempo ττττ

calcular RTh– resistência equivalente de Thévenin vista pela bobine

calcular τ

( )

1 2 0 t t L i t K K e τ − − = + Th L R

τ

=

(

)

1 L i +∞ = K

( )

0 0 0 0 1 2 L L L L i t i t i t i t K K − + = = = +

(16)

Propriedades da solução x(t)=K

₁

+K

₂

e

-(t-t0)/

τ

Constante de tempo ττττ

indica rapidez da variação da curva τ menor – mais rápida

τ maior – mais lenta

Ao fim de uma constante de tempo

∆t = τ

variação de 63,2%

Ao fim de 5 constantes de tempo

∆t = 5 τ

variação de 99,3%

considera-se que foi atingido valor final

ττττ

₁

ττττ

₂

ττττ

₂

>

ττττ

₁

t

₀ K₁ K₁+ K₂ t₀ K₁ K₁+ K₂ t₀+ττττ 100% 63,2% t₀+5ττττ ττττ 5ττττ

(

1

)

1−e− ×100%=63, 2%

(

5

)

1−e− ×100%=99,3% 100%≈ 32

Função escalão

Função escalão (unitário)

permite a descrição matemática de mudança brusca

Ligar fonte de tensão

em t=0

Ligar Fonte de corrente

em t=t

₀

( )

0 , 0 1 , 0 t u t t <  = > 

(

)

0 0 0 0 , 1 , t t u t t t t <  − = >  + v(t) -+ v(t) -i(t) i(t) t₀

(17)

Função escalão

Descrição matemática de impulso 0<t<T

Subtraindo 2 escalões de altura A

Descrição matemática de impulso t

₀

<t<t

₀

+T

t0– instante de início do impulso

T – largura do impulso

( )

(

)

v t = Au t −Au t T−

( )

{

(

0

)

(

0

)

}

v t = A u t−t −u t− t +T

( )

9

( )

(

0, 3

)

[ ]

v t = _u t −u t− _ V

( )

0 , 0 , 0 0 , t v t A t T T t <   =  < <  _<  34

Exemplos de aplicação

Calcular v

_o

(t)

Calcular i

₁

(t)

Calcular i(t)

(18)

Exemplos de aplicação

Calcular v

_o

(t)

1- calcular v_o(t) para 0<t<0,3s como se não ocorresse a 2ª transição em v(t)

2- calcular v_o(t) para t>0,3s como se não ocorresse a

1ª transição mas sabendo que v_o(t=0,3s) é o ponto de partida

Calcular v

_o

(t)

( )

₍

( )

₎

( )( ) [ ] 3/ 2 3/ 2 1 0 , 0 4 1 , 0 1 3,11 , 1 t o t t v t e t s V e s t − − −  _≤  = − ≤ ≤  ≤  36

Números complexos

PRÓXIMA AULA

Vai ser necessário fazer cálculos com números complexos

Relembrar cálculo com números complexos

representação no plano complexo

forma cartesiana e forma polar equação de Euler

soma e subtracção multiplicação e divisão complexo conjugado ...