Teoria de Leis de Conservação e Aplicações
Pesquisador: Prof. Dr. Wladimir Neves
(Instituto de Matemática – Universidade Federal do Rio de Janeiro)
Subáreas de conhecimento:
Análise
Equações Diferenciais Parciais
Geometria
Física - Matemática
Palavras-Chave:
leis de conservação, equações diferenciais parciais, problema de valor
inicial, problema de valor inicial - contorno
Descrição da Linha de Pesquisa
1. Introdução
1.1 Breve Histórico
A Teoria de Leis de Conservação é sem dúvida uma das atuais desafiadoras áreas de pesquisa em matemática, onde vários domínios do conhecimento matemático como análise, geometria, física-matemática, entre outras, se fazem confluentes. Parte do estudo das equações diferenciais parciais não lineares, a teoria de leis de conservação remonta a grandes matemáticos de nossa história, dentre eles mais notoriamente Euler. Eles objetivavam uma melhor compreensão dos fenômenos de natureza matemática, ou ainda físico-matemática relacionados por exemplo a dinâmica dos fluídos, elasticidade não– linear, dentre outros problemas de evolução. De fato, onde a característica típica de propagação de singularidades está presente.
A partir da metade do século passado, o estudo analítico da teoria de leis de conservação teve um grande desenvolvimento devido a renomados matemáticos como Eberhard Hopf, um dos precursores na utilização do familiarizado método de viscosidade nula, ver [15]. Seguido pela Olga Oleinik, a qual dentre vários estudos provou existência, unicidade, comportamento assintótico e decaimento de soluções para equações escalares em uma variável espacial, ver [28]. Peter Lax foi um dos primeiros a utilizar a idéia de diferenças finitas para provar existência [19], ainda, obteve soluções auto-similares para o problema de Riemann e o conceito de admissibilidade para choques o qual hoje leva seu nome, ver [20]. Na década de 60 temos o importante resultado de existência global de soluções para sistemas hiperbólicos devido a Jim Glimm [13]. Finalmente, mencionamos os resultados de Volpert [37], e Kruzkov [18] para equações escalares obtidos respectivamente no final da década de 60, inicio da década de 70. Este último mostrando que o problema de valor inicial para dados inicias mensuráveis e limitados era bem posto. Mais recentemente, podemos destacar os trabalhos dos professores Constantin Dafermos, Tai-Ping Liu e alguns dos atuais lideres matemáticos mundiais na área de leis de conservação, dentre eles, Hermano Frid, Denis Serre, Gui-Qiang Chen, Philip LeFloch. Claro que, não podemos deixar de mencionar os trabalhos de Ron DiPerna, o qual, dentre outras coisas introduziu o conceito de solução em valor de medida.
Este é um breve histórico, onde não tivemos a menor pretensão de exaurir o assunto. Contudo, podemos já observar que além do desafio matemático o estudo da teoria de leis de conservação tem larga aplicação em problemas não lineares da física e engenharia, os
1.2 Equações Diferenciais Parciais e Leis de Conservação
A teoria das equações diferenciais parciais foi alvo de grande estudo e pesquisa matemática ao longo do século que passou, e com certeza será deste que se inicia. Por exemplo, os três problemas lineares típicos: hiperbólico, parabólico e elíptico, que caracterizam respectivamente os fenômenos físicos de ondulação, difusão e problemas estáticos, têm hoje toda uma formulação apropriada em termos de espaços funcionais. Não muito distante, problemas ditos semi-lineares onde a parte principal da equação diferencial parcial é ainda linear, podem ser atacados, via de regra, estendendo-se os resultados para equações lineares através do Princípio de Duhamel. Contudo, equações diferenciais parciais não lineares ou mesmo quase-lineares, são muito mais difíceis de serem atacadas.
Leis de Conservação, ou ainda leis de conservação hiperbólicas, são equações diferenciais parciais quase-lineares de primeira ordem descritas sob a forma particular de divergência, ver [9], [30]. Devido à presença da não linearidade no termo de derivada de maior ordem, em geral as soluções para leis de conservação possuem solução clássica para tempo finito bem pequeno. Na verdade singularidades podem surgir por mais regular que sejam os dados iniciais (ou inicias-contorno). Logo, como gostaríamos de obter solução para todo tempo, o conceito de solução clássica cede lugar ao de solução fraca. Esta última significa satisfazermos não a equação diferencial parcial em si, mas uma formulação integral obtida a partir da mesma. Infelizmente adotando-se este conceito de solução fraca perdemos unicidade, e um critério adicional se faz necessário para garantirmos a unicidade, ou ainda, selecionarmos a solução fisicamente correta dentre todas as fracas existentes. A Física do Contínuo naturalmente induz um tal critério de admissibilidade, denominado critério de entropia. Então, uma solução fraca que satisfaça tal critério é dita uma solução fraca entrópica.
Do ponto de vista analítico, e elegante, a teoria de leis de conservação só está resolvida para o caso escalar, i.e. uma única equação, em uma ou várias variáveis espaciais, ver [1], [2], [18], [25] e [29]. Ainda hoje não é conhecido um espaço funcional conveniente para o estudo de leis de conservação, mesmo para o caso mais simples do problema de Cachy. O problema de valor inicial e condição de contorno para leis de conservação é intrinsecamente mais difícil. De fato, sistemas de leis de conservação em várias variáveis espaciais é ainda terra incógnita.
Observando a Física do Contínuo, vemos que a combinação das leis de balanço (universais) com as equações constitutivas (que caracterizam um determinado tipo de material), geram um sistema de equações diferenciais parciais que pode ser escrito na forma divergente, isto é, um sistema de leis de conservação. De fato, a maioria das leis de conservação com as quais trabalhamos têm sua origem na física do contínuo. Relevantes exemplos de leis de conservação incluem: Dinâmica dos fluídos; Elasticidade não linear; Combustão; Magneto-hidrodinâmica; Plasticidade e mesmo problemas em biologia, ver [9], [26] e [30].
2. Projeto de Pesquisa
2.1 Problema de Valor Inicial e Contorno
O problema de Cauchy, i.e. de valor inicial, para leis de conservação tem grande importância do ponto de vista matemático, porém o problema de valor inicial e de contorno (IBVP) certamente expressa melhor o mundo real.
O IBVP para leis de conservação possui uma dificuldade intrínseca de ser mal posto, ver Serre [30]. A questão crucial esta em como considerarmos a condição de contorno. O primeiro trabalho nesta direção foi de Bardos, LeRoux e Nédélec [2], para o caso escalar em várias variáveis espaciais. Desde então, vários autores vêm propondo diferentes tipos de condições de contorno indeterminadas, dentre eles Dubois e LeFloch [12]. Ainda que, a situação já esteja completamente conhecida para o caso escalar, Otto [29], Neves [25], a condição de ser bem posto o problema de valor inicial-contorno para sistemas é alvo de estudo .
A noção de traço normal para funções mensuráveis e limitadas, funções Lp , ou mesmo para medidas, é fundamental para caracterizar de modo preciso a condição de contorno. Esta importante questão do traço é estudada por Chen & Frid [2], [4], os quais introduziram a noção de campos de divergência de medida. Ainda, resultados para traço no sentido forte é de fato um fator importante e atual a ser estudado. Neste sentido, mencionamos o resultado de Vasseur [36].
2.2 Relaxação Limite – Formulação Cinética
Um importante método para provarmos existência de soluções para o problema de Cauchy, é a aproximação por relaxação. Devido originalmente à Whitham [38], este método foi continuado por diversas pessoas dentre elas Natalini [24] e T-P. Liu [8]. Relaxação é o processo pelo qual um meio contínuo retorna ao seu equilíbrio local, i.e., equilíbrio termodinâmico no sentido da física do contínuo.
Como os sistemas obtidos pela relaxação limite são hiperbólicos, esta idéia possui a vantagem de ser consistente com a velocidade finita de propagação, ao contrário da viscosidade nula. De fato, este método sugere algorítimos numéricos robustos. A convergência das aproximações por relaxação são provadas utilizando-se compacidade compensada, e pela contração em L1, ver [24] .
Observamos que, formulações cinéticas como por exemplo Equação de Boltzmann ou modelos BGK são variações mais sofisticadas de modelos de relaxação. Ainda, destacamos a Formulação Cinética introduzida por Lions, Perthame & Tadmor [21], utilizada no caso escalar para provar que, sob a condição da função de fluxo ser não degenerada, seqüência de soluções limitadas, são de fato compactas em L1 localmente. Vasseur na prova do traço no sentido forte [36], também fez uso da Formulação Cinética. Desta forma, relaxação limite ou ainda teoria cinética são conceitos importantes a serem estudados.
2.3 Estabilidade Assintótica
Primeiro, observamos que leis de conservação podem ser, via de regra, tomadas como limites singulares de problemas parabólicos. O exemplo mais famoso é o caso das Equações de Euler e Equações de Navier-Stokes. Logo, o estudo do comportamento de leis de conservação viscosas é importante, em particular o comportamento assintótico. No caso do problema de Cauchy, o estudo do comportamento assintótico se traduz, em observarmos quando o tempo vai para o infinito, a diferença entre o profile e a solução obtida a partir de um dado inicial perturbado. No caso do IBVP, como antes, observamos a diferença entre a solução e uma solução em regime permanente. Para o caso escalar de uma variável espacial, ambos os problemas já foram bem estudados por Freistühler & Serre, ver [31] e [32]. Ainda para o caso escalar, porém em várias variáveis espaciais o problema esta em aberto, ver ainda Serre [33].
Esta questão de estabilidade assitótica para leis de conservação viscosas é ainda tema de estudo de diversos pesquisadores, dentre eles, Zumbrun, Liu, Osher, Ralston, Gardner, Kapitula, etc.
2.4 Compacidade Compensada
A teoria de compacidade compensada deve suas origens ao matemático inglês J. Ball, porém foi primordialmente introduzida e desenvolvida por F. Murat [23] e L. Tartar [34], [35] para o estudo das equações diferenciais parciais. Está técnica foi utilizada por Ron DiPerna na prova de existência de soluções para sistemas de leis de conservação 2x2, i.e., duas equações e uma variável espacial, ver [10], ainda, para a dinâmica de gases isentrópica singular [11].
O método de compacidade compensada é versátil, funcionando bem também tanto para aproximações numéricas quanto para relaxação. Contudo, nada é obtido com relação a unicidade. Um outro ponto negativo, é o fato de não poder ser estendido além dos chamados sistemas ricos. Apesar deste método já ter sido, digamos abandonado, é sem dúvida um importante conceito a ser estudado na teoria de leis de conservação.
2.5 Análise Numérica
Como soluções para leis de conservação, em geral, são construídas via aproximação, e devido a importância das aplicações em física e engenharia, a análise numérica tem evoluído bastante. Nosso objetivo é realizar um estudo numérico na área de leis de conservação com ênfase não a gerar programas gerais, mas sim uma análise qualitativa que indique caminhos para o teoria. Uma referência básica é o livro de Godlewsski & Raviart [14], ainda os livros de Dietman Kroner [16] e [17].
3. Objetivos Principais
• (i) Dar continuidade dentro do IM-UFRJ ao estudo da teoria de leis de conservação. Visto que, o Prof. Dr. Hermano Frid, o qual era professor desta instituição e foi meu orientador, ocupa hoje posição de destaque no IMPA.
• (ii) Desenvolver um ambiente acadêmico científico no IM-UFRJ, na área de equações diferenciais parciais – física do contínuo. Através de seminários na teoria de leis de conservação, com a participação principalmente de professores visitantes e alunos. • (iii) Fortalecer dentro do IM-UFRJ o intercâmbio e cooperação com outros centros
de pesquisa na área de equações diferenciais parciais. Do modo que existe hoje, por exemplo com o centro de excelência IMPA, nas áreas de sistemas dinâmicos, geometria diferencial, sistemas dinâmicos complexo e álgebra.
• (iv) Publicação dos resultados obtidos em revistas especializadas de circulação internacional.
• (v) Formação de alunos em uma área de pesquisa atual, dinâmica e com muita possibilidade de iteração com colegas no exterior.
6. Referências
[1] Bardos, C., Le Roux, A.Y., Nedelec, J.C., First order quasilinear equations with boundary conditions, Comm.Partial Diff.Eqs. 4 (1979), 1017-1034.
[2] Chen, G.-Q. and Frid, H., Divergence-Measure Fields and Hyperbolic Conservation Laws, Arch.Rational Mech.Anal. 147 (1999), 89--118.
[3] Chen, G.-Q. and Frid, H., Large-time behavior of Entropy Solutions in L∞ for Multidimensional Scalar Conservation Laws, Advances in nonlinear partial differential equations and related areas. World Sci. Pub., River Edge, NJ.(1998), 28-44.
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