Universidade Estadual de Maring´
a
Programa de P´
os-Gradua¸c˜
ao em Matem´
atica
Centro de Ciˆencias Exatas
(Mestrado)
C´
odigos de Cobertura em Espa¸
cos de Hamming
George Arruda Gomm
Orientador: Emerson Luiz do Monte Carmelo
Maring´a - Pr 2010
“Que for¸ca ´e esta, eu n˜ao sei; tudo o que sei ´e que existe, e est´a dispon´ıvel apenas quando algu´em est´a num estado em que sabe exatamente o que quer, e est´a totalmente determinado a n˜ao desistir at´e conseguir.” [ Alexander Graham Bell ]
Aos que amo.
Agradecimentos
Agrade¸co aos professores do Departamento de Matem´atica da UEM pelo aux´ılio no avan¸co do meu conhecimento, em especial ao professor Emerson Luiz do Monte Carmelo, pela orienta¸c˜ao, paciˆencia e dedica¸c˜ao e a professora Val´eria Neves Domin-gos Cavalcanti pela compreens˜ao e for¸ca que me deu no momento mais dif´ıcil que passei durante o curso.
Agrade¸co aos professores do Departamento de Matem´atica da UTFPR em es-pecial ao chefe professor Antˆonio Amilcar Levandoski, pelo apoio e retaguarda que me deu durante todo tempo em que fiquei afastado de minhas fun¸c˜oes para fazer o curso.
Resumo
Neste trabalho, abordaremos o problema de encontrar a cardinalidade m´ınima de um c´odigo de cobertura no espa¸co finito de Hamming. Esta cardinalidade m´ınima ser´a dada pela fun¸c˜ao Kq(n, R), e apresentaremos valores exatos e aproxima¸c˜oes
para algumas classes desta fun¸c˜ao atrav´es da teoria dos c´odigos de cobertura. Estas constru¸c˜oes podem ser feitas atrav´es de argumentos combinat´orios e em algumas de-las s˜ao usadas ferramentas alg´ebricas, propriedades de corpos finitos, a teoria aditiva dos n´umeros, constru¸c˜oes matriciais. Tais constru¸c˜oes ser˜ao ´uteis na obten¸c˜ao de limites superiores. Por outro lado, m´etodos utilizando s-sobrejetividade e parti¸c˜ao de matrizes ser˜ao de grande utilidade na obten¸c˜ao de alguns limites inferiores para algumas classes da fun¸c˜ao Kq(n, R).
Abstract
In this work, we will approach the issue to find the minimum cardinality of a covering code in the Hamming finite space. This minimum cardinality will be given by the function Kq(n, R), and we will introduce exact values and approximations to
some classes of these functions through the covering codes theory. These construc-tions can be done through combinatory arguments and in some of them we will use algebraic tools using finite fields properties, the numbers addictive theory, construc-tions using matrixes. These construcconstruc-tions will be very useful to get upper bounds. on the other hand methods using the s-surjective and matrixes partition will be very useful to get some lower bounds to some classes of the function Kq(n, R).
Sum´
ario
Introdu¸c˜ao 1 1 C´odigos 5 1.1 Conceitos B´asicos . . . 5 1.2 C´odigos Equivalentes . . . 7 1.3 C´odigos Lineares . . . 9 1.4 Classes de C´odigos . . . 15 1.4.1 C´odigos de Hamming . . . 15 1.4.2 C´odigos MDS . . . 16 1.4.3 C´odigos Reed-Solomon . . . 19 2 Coberturas 21 2.1 Defini¸c˜oes B´asicas e Propriedades da Fun¸c˜ao Kq(n, R) . . . 232.2 Algumas Classes Exatas de Kq(n, R) . . . 27
2.3 Classes Induzidas . . . 35
3 Coberturas usando matrizes 41 3.1 O M´etodo das Matrizes . . . 42
4 Coberturas usando a teoria aditiva dos n´umeros 52
4.1 Adi¸c˜ao em Grupos . . . 52
4.2 Teorema de Cauchy-Davemport . . . 54
4.3 Coberturas via a Teoria Aditiva dos N´umeros . . . 56
5 Limites Inferiores e s-Sobrejetividade 60
5.1 Limites Inferiores . . . 60
5.2 s-Sobrejetividade . . . 63
5.3 s-Sobrejetividade de raio r (r > 0) e Matriz-Parti¸c˜ao . . . 66
5.4 Limites Inferiores via s-sobrejetividade generalizada e Matrizes-Parti¸c˜ao 70
6 Considera¸c˜oes Finais 79
Introdu¸
c˜
ao
Como ´e conhecido a loteria esportiva consiste em apostas em uma rela¸c˜ao de treze jogos dados, visando acertar o resultado de todos eles para obter o prˆemio m´aximo, ou acertar pelo menos doze dos treze jogos. Um bom sistema para atingir este objetivo pode ser reduzido a um problema combinat´orio.
De uma maneira mais geral a descri¸c˜ao de bons sistemas para apostar em loteria esportiva consiste em assumir que n partidas de futebol s˜ao jogadas, e desejamos apostar nestas partidas. Cada aposta custa um pre¸co igual. Uma aposta ´e uma pre-vis˜ao dos vencedores nestas n partidas, e n´os aceitamos que o empate ´e um poss´ıvel resultado em cada jogo. Portanto uma aposta ´e um vetor tern´ario de comprimento n. O problema da loteria esportiva consiste em determinar a seguinte quest˜ao:
Qual o menor n´umero de apostas a serem feitas para garantir pelo menos o segundo prˆemio, n˜ao importando quais os resultados dos jogos?
Na terminologia a ser descrita um conjunto de apostas ´e um c´odigo tern´ario de comprimento n e raio no m´aximo 1. Se os empates n˜ao fossem permitidos, n´os ter´ıamos um problema correlato restrito a c´odigos bin´arios. Trabalharemos com uma generaliza¸c˜ao deste problema ao longo deste trabalho.
Estes sistemas de loteria esportiva tˆem sido estudados desde os anos 50 por matem´aticos, cientistas da computa¸c˜ao e engenheiros. Alguns pesquisadores que estudaram este problema s˜ao H. J. L. Kamps e J. H. Van Lint, H. O. H¨am¨al¨ainen , S. Rankinen , P. J. ¨Ostergard, etc. Al´em do Brasil, ´e comum encontrar este sistema
de loteria esportiva em pa´ıses escandinavos da Europa, com por exemplo a Su´ecia e Finlˆandia.
No entanto este problema inicialmente foi estudado por O. Taussky e J. Todd [21] em um contexto puramente alg´ebrico, gerando uma fun¸c˜ao Kq(n), cuja descri¸c˜ao
ser´a detalhada no cap´ıtulo 2.
Na d´ecada de 60, mais informa¸c˜oes sobre Kq(n) foram desobertas por H. J.
Kamps e J. H. Van Lint, J. G. Kalbfleich e R. G. Stanton [10].
A partir da d´ecada de 60, os problemas de cobertura ganharam um contexto mais combinat´orio e foram estudados dentro da teoria dos c´odigos, onde estas coberturas recebem o nome de c´odigos de cobertura. Neste contexto, surgiram problemas cor-relatos, como por exemplo, o problema do tabuleiro de xadrez, a saber: dado um tabuleiro de xadrez 8 × 8, qual ´e o n´umero m´ınimo de torres necess´arias para cobrir todo tabuleiro?
Estaremos interessados numa extens˜ao a tabuleiros n-dimensionais.
No come¸co da d´ecada de 80, W. A. Carnielli [3] come¸cou a estudar estes proble-mas de coberturas para raios arbitr´arios gerando a fun¸c˜ao Kq(n, R) (descri¸c˜ao a ser
detalhada no cap´ıtulo 2), generalizando Kq(n), estudada por O. Taussky e J. Todd.
Coloquemos um problema mais geral:
Dado um conjunto finito arbitr´ario Q, de cardinalidade q, definimos o conjunto Qn de todas as n-uplas ordenadas, onde todas as coordenadas assumem valores em Q. Queremos obter um subconjunto C de Qn de menor cardinalidade poss´ıvel, tal
que dado x em Qn, podemos encontrar um y em C, tal que x e y diferem, entre si, em
no m´aximo R coordenadas, onde R < n. A cardinalidade m´ınima deste subconjunto C ser´a dado por Kq(n, R). A obten¸c˜ao dos valores exatos de Kq(n, R) ´e, na maioria
das vezes, um problema extremamente dif´ıcil e em muitos casos os valores exatos n˜ao s˜ao conhecidos. Nestes casos foram obtidos limites inferiores e superiores para estes valores de Kq(n, R).
A determina¸c˜ao de valores de Kq(n, R) ´e o assunto que enfocaremos neste
tra-balho utilizando a teoria dos c´odigos de cobertura.
No cap´ıtulo 1, introduziremos conceitos b´asicos da teoria dos c´odigos corretores de erros e construiremos algumas classes de c´odigos utilizadas no desenvolvimento deste trabalho, como os c´odigos perfeitos, c´odigos equivalentes, c´odigos lineares e os c´odigos MDS.
No cap´ıtulo 2, abordamos o conceito de coberturas e as fun¸c˜oes Kq(n, R). Neste
mesmo cap´ıtulo, descrevemos as constru¸c˜oes de algumas classes exatas das fun¸c˜oes Kq(n, R), bem como constru¸c˜oes de algumas classes indutivas de Kq(n, R), com o
objetivo de obter coberturas em espa¸cos maiores a partir de coberturas em espa¸cos menores.
No cap´ıtulo 3, iniciaremos constru¸c˜oes de coberturas via matrizes, um m´etodo bastante utilizado at´e hoje.
No cap´ıtulo 4, introduziremos alguns conceitos b´asicos da teoria aditiva dos n´umeros. Particularmente, estamos interessados em informa¸c˜oes sobre a cardinali-dade do conjunto soma A + B, onde A e B s˜ao subconjuntos de um grupo abeliano finito G. Em seguida, faremos algumas constru¸c˜oes de coberturas, utilizando como ferramenta o teorema de I. Chowla e o de Cauchy-Davemport [17].
No cap´ıtulo 5, obteremos alguns limites inferiores de algumas classes das fun¸c˜oes Kq(n, R), utilizando a s-sobrejetividade e parti¸c˜ao de matrizes. Com isso, obteremos
mais algumas classes exatas das fun¸c˜oes Kq(n, R).
No cap´ıtulo 6, faremos as considera¸c˜oes finais dos resultados descritos neste trabalho, e apresentaremos algumas tabelas de valores da fun¸c˜ao Kq(n, R), onde
indicaremos os valores exatos, alguns limites superiores e inferiores.
Ao longo de todo este trabalho, ser˜ao feitas constru¸c˜oes combinat´orias de cober-turas e em alguma delas usaremos ferramentas alg´ebricas, como por exemplo as constru¸c˜oes via matrizes, propriedades de corpos finitos e em outras constru¸c˜oes,
usaremos ferramentas via parti¸c˜ao de matrizes.
Iremos observar que a obten¸c˜ao de valores exatos, limites superiores e inferiores para Kq(n, R) ´e um problema extremamente dif´ıcil que tem desafiado pesquisadores
de v´arias ´areas como matem´aticos, engenheiros e profissionais da ´area de inform´atica desde mais ou menos 1950.
Cap´ıtulo 1
C´
odigos
Para o desenvolvimento da teoria dos c´odigos de cobertura, precisamos introduzir conceitos da teoria dos c´odigos corretores de erros. Por isso, vamos direcionar a ex-posi¸c˜ao priorizando algumas classes de c´odigos importantes para o desenvolvimento deste trabalho, a saber, c´odigos perfeitos, c´odigos equivalentes, c´odigos lineares e c´odigos MDS. Os t´opicos que ser˜ao mencionados neste cap´ıtulo s˜ao discutidos em [8] e [6]. As demonstra¸c˜oes omitidas podem ser encontradas em [8].
1.1
Conceitos B´
asicos
Dado um conjunto finito arbitr´ario Q e n ∈ N, denote o espa¸co
Qn= {(x1, . . . , xn) : xi ∈ Q, i = 1, . . . , n}.
Um c´odigo C ´e um subconjunto qualquer n˜ao vazio de Qn, isto ´e, C ⊂ Qn. O conjunto finito Q ´e chamado de alfabeto e cada elemento c ∈ C chama-se palavra-c´odigo.
A fim de tornar precisa a no¸c˜ao intuitiva de proximidade entre duas palavras c´odigo, apresentamos a seguir um modo de medir distˆancias entre palavras c´odigo em Qn.
distˆancia de Hamming entre x e y ´e definida como
d(x, y) = |{i : xi 6= yi, 1 ≤ i ≤ n}|.
Note que em {0, 1}3, d(001, 111) = 2, pois tais vetores diferem na primeira e
segunda coordenadas.
Demonstra-se que a distˆancia de Hamming ´e uma m´etrica, assim o espa¸co Qn
munido da m´etrica d tem a estrutura de um espa¸co m´etrico, chamado de espa¸co de Hamming. Neste espa¸co, a bola de centro c e raio r ´e denotada por
B(c, r) = {x ∈ Qn : d(x, c) ≤ r}.
Este conjunto ´e finito e por um simples argumento combinat´orio, podemos mostrar que |B(c, r)| =Pr
i=0 n
i(q − 1) i.
Observe que a cardinalidade de B(c, r) depende apenas de n, q e r e a denotare-mos por Vq(n, r), isto ´e, |B(c, r)| = Vq(n, R).
Defini¸c˜ao 1.2. Seja C um c´odigo em Qn. A distˆancia m´ınima de C ´e o n´umero
d = min {d(x, y) : x, y ∈ C e x 6= y}.
Se n˜ao tivermos propriedades especiais em C, note que para calcular a distˆancia m´ınima d de um c´odigo C ´e necess´ario calcular M2 distˆancias, onde M ´e o n´umero de palavras do c´odigo, o que tem um custo computacional elevado.
O parˆametro d est´a associado a propriedades estruturais do c´odigo C. Como ilustra¸c˜ao intuitiva, se d ´e ”grande”, ent˜ao existem bolas centradas em C disjuntas de raios ”grandes”.
Dado um c´odigo C no espa¸co de Hamming Qn, podemos encontrar um n´umero R, tal que a uni˜ao de todas as bolas centradas em cada palavra-c´odigo de raio R ´
e o espa¸co todo. O menor R que satisfaz a condi¸c˜ao acima ´e chamado de raio de cobertura do c´odigo C. Em outras palavras, o raio de cobertura mede a distˆancia
entre o c´odigo e os vetores mais distantes do c´odigo. Se todas estas bolas forem disjuntas, temos uma classe importante de c´odigos com esta propriedade, como veremos a seguir.
Defini¸c˜ao 1.3. Um c´odigo C ⊆ Qn de distˆancia m´ınima d ´e perfeito, quando exite
um R tal que todas as bolas de raio R centradas em cada palavra-c´odigo satisfaz
[
c∈C
B(c, R) = Qn, e esta uni˜ao ´e disjunta.
Exemplo 1.4. Como ilustra¸c˜ao, tome C = {(000), (111)} em {0, 1}3. Observe que
d = 3 e tome R = 1, ent˜ao:
B((000), 1) = {(000), (100), (010), (001)}.
B((111), 1) = {(111), (110), (011), (101)}.
Como B((000), 1)S B((111), 1) = Q3 e B((000), 1)T B((111), 1) = φ, C ´e um
c´odigo perfeito.
Um c´odigo C ⊆ Qncom M palavras c´odigo, distˆancia m´ınima d e raio de
cober-tura R ´e denotado por (n, M, d)qR- c´odigo. Se d ou R n˜ao s˜ao necess´arios, n´os
denotamos C por c´odigo (n, M )q , (n, M, d)q ou (n, M )qR.
1.2
C´
odigos Equivalentes
Definiremos, agora, a no¸c˜ao de equivalˆencia sobre c´odigos.
Defini¸c˜ao 1.5. Dois c´odigos de comprimento n sobre um alfabeto Q s˜ao equivalentes se, e somente se, um deles pode ser obtido do outro mediante uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes do tipo:
(i) Substitui¸c˜ao dos s´ımbolos numa dada posi¸c˜ao fixa i em todas as palavras do c´odigo por meio de uma bije¸c˜ao fi de Q.
(ii) Permuta¸c˜ao das posi¸c˜oes das letras em todas as palavras do c´odigo, mediante uma permuta¸c˜ao π de {1, 2, . . . , n}.
Observa¸c˜ao 1.6. (i) Note que, pelo item (i) da defini¸c˜ao, estamos efetuando uma aplica¸c˜ao do tipo
Tfi : Qn → Qn
(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , f (xi), . . . , xn),
onde fi ´e uma bije¸c˜ao de Q.
(ii) Uma permuta¸c˜ao de {1, 2, . . . , n} ´e uma aplica¸c˜ao dada por:
Tπ : Qn → Qn
(x1, . . . , xn) 7→ (xπ(1), . . . , xπ(n))
Observe que as aplica¸c˜oes dos itens (i) e (ii) efetuadas em duas palavras quaisquer do c´odigo, a distˆancia de Hamming entre elas ´e preservada, bem como por uma composi¸c˜ao destas aplica¸c˜oes.
Da defini¸c˜ao de c´odigos equivalentes, uma seq¨uˆencia de opera¸c˜oes dadas nos itens (i) e (ii), ´e efetuar em cada palavra-c´odigo uma aplica¸c˜ao do tipo
F = Tπ ◦ Tf11 ◦ . . . ◦ T
n fn.
Podemos, ent˜ao, definir c´odigos equivalentes da seguinte forma: Dois c´odigos C e C0 s˜ao equivalentes, se existe uma aplica¸c˜ao F : Qn−→ Qn, dada por
F = Tπ◦ Tf11 ◦ . . . ◦ T
n fn
tal que F (C) = C0.
Note que quando dois c´odigos s˜ao equivalentes, as distˆancias entre suas palavras s˜ao preservadas, isto ´e, d(x, y) = d(F (x), F (y)) para todo x, y ∈ C.
Exemplo 1.7. Dado o alfabeto Q = {1, 2, 3, 4} e sejam os c´odigos
C = {(113), (134), (331), (143), (111)} e C0 = {(323), (124), (141), (223), (321)}. Va-mos verificar se C e C0 s˜ao equivalentes.
Tome as bije¸c˜oes f1, f2 e a permuta¸c˜ao π:
f1 : 1 2 3 4 2 3 4 1 , f2 : 1 2 3 4 3 4 1 2 e π : 1 2 3 2 1 3
Por uma an´alise simples, tomando F = Tπ◦ Tf11◦ T
2
f2, vemos que F (C) = C
0. Assim
C e C0 s˜ao equivalentes.
1.3
C´
odigos Lineares
Uma classe de c´odigos muito utilizada na pr´atica ´e a classe de c´odigos lineares e estes c´odigos s˜ao subespa¸cos vetoriais sobre corpos finitos.
Um c´odigo C ⊂ Fn
q ser´a chamado de c´odigo linear se for um subespa¸co vetorial
de Fnq.
Seja k a dimens˜ao de C sobre Fq, denotada por dimFqC, e seja v1, v2, . . . , vk uma
de suas bases, portanto cada elemento de C se escreve de modo ´unico sob a forma v = λ1v1+ . . . + λkvk com λi ∈ Fq para todo i = 1, 2, . . . , n. Segue da´ı que |C| = qk
e conseq¨uentemente temos que dimFqC = k = logqqk= logq|C|.
Defini¸c˜ao 1.8. Sejam C ⊂ Fnq um c´odigo linear e c = (c1, . . . , cn) ∈ C uma palavra
de C. Definimos o peso de c, denotado por w(c), pelo n´umero w(c) = |{ci : ci 6= 0}|,
e definimos o peso do c´odigo C, denotado por w(C), pelo n´umero
w(C) = min{w(x) : x ∈ C − {0}}.
Enunciaremos, agora, a proposi¸c˜ao que relaciona a distˆancia m´ınima de um c´odigo linear com o seu peso.
Proposi¸c˜ao 1.9. Seja C ⊂ Fn
q um c´odigo linear de distˆancia m´ınima d. Ent˜ao,
(i) Para todo x, y ∈ Fnq, temos d(x, y) = w(x − y).
(ii) d = w(C).
Note que, se C ´e um c´odigo linear de cardinalidade M , podemos calcular a distˆancia m´ınima a partir de M − 1 c´alculos de distˆancias ao inv´es de M2, o que induz um custo computacional mais barato. Acabamos de comentar uma vantagem de se trabalhar com c´odigos lineares.
Aproveitando os recursos intr´ınsecos de espa¸cos vetoriais, a constru¸c˜ao de c´odigos lineares pode ser obtida via transforma¸c˜oes lineares, isto ´e, podemos representar estes c´odigos como imagem ou n´ucleo de transforma¸c˜oes lineares, como veremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 1.10. Como ilustra¸c˜ao, seja C um c´odigo linear que ´e subespa¸co vetorial de F5
2 dado por
C = {(00000), (01011), (10110), (11101)}.
Como |C| = 4, a dimens˜ao de C ´e 2. Escolhendo (10110) e (01011) como base, tal c´odigo pode ser escrito com imagem da transforma¸c˜ao linear
T : F22 → F 5 2
(x1, x2) 7→ (x1, x2, x1, x1+ x2, x2)
Exemplo 1.11. Considere o corpo finito com trˆes elementos F3 = {0, 1, 2} e seja
C ⊂ F43 o c´odigo gerado pelos vetores v1 = (1011) e v2 = (0112). Este c´odigo C pode
ser representado como n´ucleo de uma transforma¸c˜ao linear S : F43 −→ F2
3. Tome
os vetores v3 = (0010) e v4 = (0001) linearmente independentes entre si que n˜ao
pertencem ao subespa¸co gerado por v1 e v2 e defina S(0010) = (10), S(0001) = (01),
S(1011) = (00) e S(0112) = (00). Assim C ´e o n´ucleo da transforma¸c˜ao linear S(x1, x2, x3, x4) = (2x1+ 2x2+ x3, 2x1+ x2+ x4).
Defini¸c˜ao 1.12. Sejam Fq um corpo finito com q elementos e C ⊂ Fnq um c´odigo
matriz G cujas linhas s˜ao os vetores vi = (vi1, . . . , vin) com i = 1, 2, . . . , k, isto ´e, G = v1 .. . vk = v11 . . . v1n v21 . . . v2n .. . ... vk1 . . . vkn .
Dizemos que G ´e a matriz geradora de C em rela¸c˜ao `a base β.
Assim C coincide com a imagem da seguinte transforma¸c˜ao linear
T : Fkq → F n q
x 7→ xG
Se x = (x1, . . . , xk), ent˜ao T (x) = xG = x1v1+ . . . + xkvk.
A matriz G n˜ao ´e unicamente determinada por C, pois ela depende da base escolhida β. Efetuando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz geradora de um c´odigo C, obtemos uma outra matriz, que ´e a matriz geradora do mesmo c´odigo C, dada em rela¸c˜ao a uma outra base de C.
A defini¸c˜ao a seguir ir´a nos permitir construir c´odigos lineares com mais facili-dade.
Defini¸c˜ao 1.13. Diremos que uma matriz geradora de um c´odigo C est´a na forma padr˜ao, se tivermos G = (Idk|A), onde Idk ´e a matriz identidade k × k e A uma
matriz de ordem k × (n − k).
Se n˜ao for poss´ıvel obter a matriz geradora na forma padr˜ao de um c´odigo linear, podemos permutar duas colunas e multiplicar uma coluna por um escalar n˜ao nulo (se necess´ario) afim de se obter uma matriz G0 na forma padr˜ao. Note que esta matriz G0 ´e a matriz, na forma padr˜ao, de um c´odigo C0 equivalente a C. Logo, se G ´e a matriz geradora de um c´odigo C, sempre ´e poss´ıvel obter uma matriz geradora G0 de um c´odigo C0, equivalente a C na forma padr˜ao.
Sejam u = (u1, . . . , un) e v = (v1, v2, . . . , vn) elementos de Fnq, definimos o
pro-duto interno de u por
hu, vi = u1v1+ . . . unvn.
Esta opera¸c˜ao possui as propriedades usuais de produto interno, ou seja, ´e sim´etrica hu, vi = hv, ui e bilinear, isto ´e, linear em ambas as vari´aveis u e v.
Vale destacar que n˜ao estamos incluindo a propriedade hu, ui = 0, se e somente se u = 0, pois esta propriedade n˜ao ´e v´alida em espa¸cos vetoriais finitos. Como ilustra¸c˜ao o vetor u = (1, 1) ∈ F2
2 ´e tal que hu, ui = 0.
Naturalmente, o conceito de produto interno induz a um novo c´odigo, denotado por C⊥, definido por:
C⊥ = {v ∈ Fnq hv, ui = 0 para todo u ∈ C}. Este ´e o c´odigo dual de C.
Observe que, apesar das defini¸c˜oes serem an´alogas, o c´odigo C⊥ n˜ao pode ser visto como o complemento ortogonal do c´odigo C.
Lema 1.14. Se C ⊂ Fn
q ´e um c´odigo linear de dimens˜ao k com matriz geradora G,
ent˜ao:
(i) C⊥ ´e um subespa¸co vetorial de Fnq. (ii) x ∈ C⊥, se e somente se, Gxt = 0.
(iii) dim C⊥= n − k.
Se a matriz geradora de C estiver em sua forma padr˜ao, isto ´e, G = (Idk|A), ent˜ao:
(iv) H = (−At|Id
n−k), ´e a matriz geradora de C⊥.
A pr´oxima proposi¸c˜ao, nos dir´a como se relaciona a dualidade com a equivalˆencia de c´odigos lineares.
Proposi¸c˜ao 1.15. Sejam C e D, dois c´odigos lineares em Fnq. Se C e D s˜ao equivalentes, ent˜ao C⊥ e D⊥ tamb´em s˜ao equivalentes.
Lema 1.16. Sejam C e C⊥c´odigos lineares de Fn
q, e sejam G e H, respectivamente,
as matrizes geradoras de C e C⊥. Ent˜ao: (i) GHt= 0.
(ii) (C⊥)⊥ = C.
(iii) Hvt= 0, se e somente se, v ∈ C.
Note que o Lema 1.16 ´e importante para verificarmos se um vetor pertence ou n˜ao a um c´odigo C, utilizando a matriz geradora H de C⊥. A matriz geradora H de C⊥ ´e chamada matriz teste de paridade de C.
Para verificar se um vetor v ∈ Fn
q pertence ou n˜ao a um c´odigo C com matriz
geradora G, ´e preciso verificar se o sistema de n equa¸c˜oes xG = v tem solu¸c˜ao, onde x = (x1, . . . , xk) denota o vetor das k vari´aveis. Este sistema pode ter um alto custo
computacional.
No entanto, trabalhando com a matriz teste de paridade H, a solu¸c˜ao pode ser encontrada bem mais rapidamente. ´E s´o verificar se ´e nulo o vetor Hvt.
A matriz teste de paridade de um c´odigo linear cont´em de maneira bastante simples informa¸c˜oes sobre o valor do peso d do c´odigo. Vimos que se C ´e um c´odigo linear de distˆancia m´ınima d, ent˜ao d = w(C), onde w(C) ´e o peso do c´odigo C. Veremos isso nos dois teoremas enunciados a seguir:
Teorema 1.17. Seja H a matriz teste de paridade de um c´odigo C. Temos que w(C) ≥ s, se e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H s˜ao linearmente indepen-dentes.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, inicialmente, que cada conjunto de s − 1 colunas de H ´e linearmente independente. Seja c = (c1, . . . , cn), uma palavra n˜ao nula de C
e sejam h1, h2, . . . , hn as colunas de H. Como Hct= 0, temos que 0 = Hct= n X i=1 cihi.
Visto que w(c) ´e o n´umero de componentes n˜ao nulas de c, segue que w(c) ≥ s, pois caso contr´ario, se w(c) ≤ s − 1, ter´ıamos uma combina¸c˜ao linear nula de t colunas de H, com 1 ≤ t ≤ s − 1, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Reciprocamente, suponhamos que w(C) ≥ s. Suponhamos, por absurdo, que ex-ista em H um conjunto de s−1 colunas linearmente dependente, digamos hi1, hi2, . . . ,
his−1. Logo existem elementos c
i1, . . . , cis−1 no corpo, n˜ao todos nulos, tais que
ci1h
i1 + . . . + c
is−1h
is−1 = 0.
Portanto, existe um vetor c ∈ C com no m´aximo s − 1 componentes n˜ao nulas, logo w(c) ≤ s − 1 < s, o que ´e um absurdo.
Teorema 1.18. Seja H, a matriz teste de paridade de um c´odigo C. Temos que w(C) = s se, e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H s˜ao linearmente indepen-dentes e existem s colunas de H linearmente depenindepen-dentes.
Demonstra¸c˜ao: De fato, suponhamos que w(C) = s, logo todo conjunto de s − 1 colunas de H ´e linearmente independente, pelo teorema anterior. Por outro lado, existem s colunas de H linearmente dependentes, pois caso contr´ario, pelo teorema anterior, ter´ıamos que w(C) ≥ s + 1, uma contradi¸c˜ao.
Reciprocamente, suponhamos que todo conjunto de s − 1 colunas de H ´e li-nearmente independente e existem s colunas lili-nearmente dependente. Logo, pelo teorema anterior, temos que w(C) ≥ s. Mas se w(C) ≥ s + 1, ent˜ao todo conjunto com s colunas de H ´e linearmente independente, uma contradi¸c˜ao. Logo w(C) = s.
O corol´ario a seguir, nos fornecer´a uma rela¸c˜ao entre os parˆametros de um c´odigo linear.
Corol´ario 1.19. (Cota de Singleton) Os parˆametros (n, k, d) de um c´odigo linear satisfaz a desigualdade d ≤ n − k + 1.
Demonstra¸c˜ao: Se H ´e a matriz teste de paridade deste c´odigo, ent˜ao H tem posto n − k, logo tem no m´aximo n − k colunas linearmente independentes. Portanto, pelo teorema anterior, vem que quaiquer d − 1 colunas s˜ao linearmente independentes, logo d − 1 ≤ n − k. Da´ı d ≤ n − k + 1.
1.4
Classes de C´
odigos
1.4.1
C´
odigos de Hamming
Uma classe importante de c´odigos lineares ´e a classe dos c´odigos de Hamming, conforme constru¸c˜ao abaixo.
Defini¸c˜ao 1.20. Um c´odigo de Hamming sobre Fq ´e um c´odigo de ordem m, com
matriz teste de paridade Hm de ordem m × n, cujas colunas s˜ao todas as m-uplas
de Fq, duas a duas linearmente independentes, com a primeira coordenada n˜ao
nula igual a 1. Temos, portanto, que o comprimento de um c´odigo de Hamming ´e n = qmq−1−1, sua dimens˜ao ´e k = n − m e sua distˆancia m´ınima d ´e 3, pois ´e f´acil encontrar trˆes colunas linearmente dependentes em Hm.
Por argumentos simples, demonstra-se que todo c´odigo de Hamming ´e perfeito. Ver demonstra¸c˜ao em [6, cap´ıtulo 11]
Exemplo 1.21. Um c´odigo de Hamming para q = 2 e m = 3 ´e um c´odigo sobre F7 2,
cuja matriz teste de paridade pode ser dada por
H3 = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 .
1.4.2
C´
odigos MDS
Seja C um q-c´odigo de cardinalidade qm com m < n. Pelo Corol´ario 1.19, sua distˆancia m´ınima n˜ao pode ser maior do que n − m + 1. Vimos isso quando C ´e um q-c´odigo linear com m = k = dim C. Veremos, agora, que esta propriedade vale para qualquer q-c´odigo com qm palavras e comprimento n. A referˆencia para os assuntos discutidos nesta se¸c˜ao ´e [20].
Teorema 1.22. Seja C um q-c´odigo com qm palavras e comprimento n, ent˜ao sua
distˆancia m´ınima d satisfaz d ≤ r + 1, onde r = n − m.
Demonstra¸c˜ao: Escolhendo quaiquer m posi¸c˜oes, existem qm poss´ıveis
des-igna¸c˜oes de s´ımbolos para estas posi¸c˜oes. Se h´a duas palavras-c´odigo, dentre as qm, que concordam nestas m posi¸c˜oes, ent˜ao d ≤ r. Se quaisquer duas palavras-c´odigo n˜ao concordam em todas as m posi¸c˜oes, algumas concordar˜ao em no m´aximo m − 1 posi¸c˜oes. Desta forma, temos que d ≤ n − m + 1 = r + 1.
Daremos ˆenfase, agora, a uma classe de c´odigos em Znq com qm palavras (com m < n), onde sua distˆancia m´ınima ´e d = n − m + 1, estes c´odigos s˜ao chamados de c´odigos MDS (m´axima distˆancia separ´avel).
Defini¸c˜ao 1.23. Seja C um q-c´odigo em Znq com qm palavras e comprimento n. Dizemos que C ´e um q-c´odigo MDS se sua distˆancia m´ınima d ´e dada por
d = n − m + 1.
Exemplo 1.24. Seja C ⊂ Z4
3, um 3-c´odigo formada pelas seguintes palavras:
(0, 0, 0, 2) (0, 1, 1, 1) (0, 2, 2, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 2, 2) (1, 2, 0, 1) (2, 0, 2, 1) (2, 1, 0, 0) (2, 2, 1, 2)
.
Observe que C ´e um c´odigo formado por 9 palavras, logo m = 2 e n = 4, portanto d ≤ 4 − 2 + 1 = 3. Mas observe que n˜ao existe duas palavras quaisquer de C cuja distˆancia seja menor do que 3, logo d ≥ 3, donde conclu´ımos que d = 3 = 4 − 2 + 1, logo C ´e um 3-c´odigo MDS de distˆancia m´ınima 3.
Observe que, no exemplo anterior, escolhendo 2 coordenadas quaisquer, ´e poss´ıvel obter os 9 vetores de Z2
3, vistos como proje¸c˜oes dos vetores de C.
Tal propriedade ´e v´alida para todo c´odigo MDS, conforme a proposi¸c˜ao que enunciaremos a seguir.
Proposi¸c˜ao 1.25. Seja C um c´odigo MDS com qm palavras em Zn
q. Ent˜ao m
coor-denadas das palavras-c´odigo podem ser consideradas como posi¸c˜oes de informa¸c˜ao, e as as r = n − m restantes como posi¸c˜oes redundantes. Ou seja, com m posi¸c˜oes de uma palavra-c´odigo ´e poss´ıvel recuperar as r = m − n restantes.
Demonstra¸c˜ao: De fato, existem qm vetores em um alfabeto de cardinalidade
q em m posi¸c˜oes fixadas. Como d = r + 1, duas quaisquer palavras-c´odigos x e y n˜ao podem coincidir em todas estas m coordenadas, caso contr´ario d(x, y) ≤ r, contrariando a hip´otese. Assim, cada uma das qm associa¸c˜oes poss´ıveis ocorrem
exatamente uma ´unica vez em cada palavra-c´odigo.
Constru¸c˜ao de alguns C´odigos MDS
Veremos, agora, como construir alguns c´odigos MDS, segundo os valores de m e r.
Caso 1 : Se m = 1, temos um q-c´odigo MDS com cardinalidade q e distˆancia m´ınima d = r + 1. Este c´odigo pode ser constru´ıdo para qualquer r considerando C = {a = (a, . . . , a) : a ∈ Fq}. Neste caso d = n.
Caso 2 : Se r = 1, um c´odigo MDS tem distˆancia m´ınima d = 2 e este c´odigo pode ser formado para qualquer m, basta tomar
C = {(x1, . . . , xn) ∈ Znq : x1+ . . . + xn= 0 (mod q)}.
Note que |C| = qn−1.
Observe que um c´odigo definido desta forma tem distˆancia m´ınima 2, basta observar que m = n − 1, logo d ≤ 2. Com um simples argumento mostra-se que d ≥ 2, portanto C tem distˆancia m´ınima 2.
Para os pr´oximos casos, consideramos C ⊂ Fnq um c´odigo MDS linear. Sabe-mos que a matriz teste de paridade H na forma padr˜ao de um c´odigo linear de dimens˜ao m tem ordem r × n, onde r = n − m, ´e da forma H = (A|I), onde I ´e a matriz identidade r × r.
Para m = 1 ou r = 1, a constru¸c˜ao ´e feita da mesma forma que nos casos 1 e 2.
Caso 3 : Para m = 2 e r = q − 1. As matrizes teste de paridade podem ser contru´ıdas da seguinte forma:
a) A primeira coluna ´e formada somente do elemento 1.
b) O primeiro elemento da segunda coluna ´e 1 e os outros s˜ao dados por ξ, ξ2, . . . , ξq−2, onde ξ ´e a raiz primitiva do corpo F
q, isto ´e, o elemento de Fq
que gera todo Fq− {0}.
c) As outras colunas s˜ao as colunas da matriz identidade r × r.
Daremos, a seguir, alguns exemplos de matrizes teste de paridade de c´odigos MDS lineares com m = 2 e r = q − 1. Observe que d = q.
Para q = d = 3 H = 1 1 1 0 1 2 0 1 Para q = d = 4 H = 1 1 1 0 0 1 ξ 0 1 0 1 ξ2 0 0 1 ,
onde ξ2+ ξ + 1 = 0. Observe que ξ ´e a raiz primitiva de F 4. Para q = d = 5 H = 1 1 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 3 0 0 1 0 1 4 0 0 0 1
Caso 4 : Para m = 3, c´odigos MDS lineares com r = q − 1 existem , se e somente se, q ´
matriz teste de paridade ´e a primeira coluna de 1’s, a segunda coluna formada por 1, ξ, . . . , ξq−2 e a terceira coluna formada por 1, ξ2, . . . , ξ2(q−2), onde ξ ´e a
raiz primitiva de Fq.
1.4.3
C´
odigos Reed-Solomon
Um exemplo muito comum de c´odigos MDS lineares s˜ao os c´odigos Reed-Solomon.
Estes q-c´odigos s˜ao c´odigos definidos sobre o corpo finito Fq, com q = pm, onde
p ´e primo. Uma maneira simples de definir os c´odigos Reed-Solomon ´e pela sua rep-resenta¸c˜ao polinomial: para todo q, os c´odigos Reed-Solomon sobre Fq de dimens˜ao
k, consiste em todos os vetores da forma
(f (1), f (α), . . . , f (αq−2)),
onde α ´e a raiz primitiva de Fq, e f (x) ∈ Fq[x] percorre todos os polinˆomios de grau
no m´aximo k − 1. Para determinar a distˆancia m´ınima d deste c´odigo, tome uma palavra n˜ao nula c. Logo existe um polinˆomio f (x) ∈ Fq[x], tal que
c = (f (1), f (α), . . . , f (αq−2)). Logo,
w(c) = |{i ∈ {0, 1, . . . , q − 2} : f (αi) 6= 0}| = = n − |{i ∈ {0, 1, . . . , q − 2} : f (αi) = 0}| ≥
≥ n − grau(f ) ≥ n − (k − 1) = n − k + 1,
onde w(c) denota o peso de c, segue da´ı que d ≥ n − k + 1. Pelo Corol´ario 1.19, obtemos que d = n − k + 1. Portanto o c´odigo Reed-Solomon ´e um c´odigo MDS linear.
Este c´odigo tem parˆametros (n = q − 1, k, d = n − k + 1)q.
Se adicionarmos uma coordenada extra contendo f (0), obtemos o c´odigo Reed-Solomon estendido com parˆametros (n = q, k, d = n − k + 1)q.
Se for poss´ıvel estender ainda mais o c´odigo Reed-Solomon, obtemos o c´odigo Reed-Solomon duplamente estendido com parˆametros (n = q + 1, k, d = n − k + 1)q.
Cap´ıtulo 2
Coberturas
Em 1948, O. Taussky e J. Todd [21] introduziram o seguinte problema no contexto da teoria dos grupos:
Seja G um grupo abeliano com n geradores independentes g1, g2, . . . ,
gn, cada um com ordem q e seja S o conjunto de todas as potˆencias
destes geradores. Deseja-se encontrar H um subconjunto de G tal que G = HS, isto ´e, tal que todo elemento g de G pode ser escrito na forma g = hs, onde h est´a em H e s em S. Neste caso dizemos que H forma uma cobertura de G.
Mais tarde na d´ecada de 60, O. Taussky e J. Todd reformularam este mesmo problema de uma maneira combinat´oria:
Dado um conjunto G (grupo abeliano), constitu´ıdo por qnvetores de
comprimento n e cada uma das coordenadas assumindo precisamente q valores, desejamos determinar um subconjunto H de G com a seguinte propriedade: qualquer vetor de G tem ao menos n − 1 coordenadas em comum com algum vetor de H, ou seja, dado um vetor g de G, existe um vetor h de H, tal que g e h concordam, ao menos, em n − 1 coordenadas. A cardinalidade deste subconjunto H ser´a dada por Kq(n).
J. G. Mauldon, S. K. Zaremba e E. Mattioli mostraram que se q ´e primo e 1 + n(q − 1) ´e uma potˆencia de q, ou digamos 1 + n(q − 1) = qr, ent˜ao
Kq(n) = qn−r.
S. K. Zaremba, em 1951, estendeu o resultado acima para toda potˆencia de primo q.
Se a cardinalidade da cobertura H for igual a 1+n(q−1)qn , ent˜ao n´os temos uma ’cobertura perfeita’, no sentido de que nenhum elemento de G pode ser escrito de duas maneiras distintas como produto de elementos de H e S. No contexto combinat´orio, podemos dizer que esta cobertura ´e perfeita se os conjuntos dos vetores de G que diferem em uma coordenada de cada vetor de H s˜ao disjuntos.
Como vimos na introdu¸c˜ao, os problemas de cobertura descritos acima, s˜ao estu-dados desde a d´ecada de 60 em um contexto combinat´orio e originaram a Teoria dos C´odigos de Cobertura no espa¸co m´etrico de Hamming Qn j´a definido no Cap´ıtulo 1.
Estas quest˜oes s˜ao tratadas neste cap´ıtulo de uma forma mais geral e precisare-mos de algumas defini¸c˜oes discutidas na Se¸c˜ao 2.1.
Nosso objetivo ´e focado dentro da seguinte quest˜ao:
Dados n e R, qual ´e o menor n´umero de bolas de raio R, que podem ser colocadas de tal forma que todo vetor do espa¸co pertence a ao menos uma destas bolas?
Na realidade, n´os buscamos um c´odigo tal que as bolas de raio R centradas em cada palavra-c´odigo cubram todo espa¸co n-dimensional de Hamming, ou mais precisamente, queremos encontrar a cardinalidade m´ınima de tal c´odigo. Esta cardi-nalidade m´ınima ser´a dada pela fun¸c˜ao Kq(n, R) que ´e uma generaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao
2.1
Defini¸
c˜
oes B´
asicas e Propriedades da Fun¸
c˜
ao
K
q(n, R)
Seja Znq, o conjunto de todos os vetores com n componentes onde cada componente
assume os valores 0, 1, . . . , q − 1. Daremos agora a defini¸c˜ao de cobertura, que ser´a crucial para entendermos a id´eia do problema que ser´a tratado neste trabalho. Os assuntos tratados nesta se¸c˜ao s˜ao discutidos em [3].
Defini¸c˜ao 2.1. Um subconjunto C de Zn
q´e uma R-cobertura de Znq, ou uma cobertura
de raio R de Zn
q, se todo vetor de Znq est´a a uma distˆancia de no m´aximo R de algum
vetor de C. Em outras palavras, um subconjunto C ´e uma R-cobertura de Znq se para todo x ∈ Zn
q existe um vetor y ∈ C tal que d(x, y) ≤ R.
Observa¸c˜ao 2.2. ´E importante salientar que um subconjunto C de Zn
q n˜ao forma
uma R-cobertura quando existe um vetor x ∈ Znq que n˜ao ´e coberto por C, isto ´e,
se existe x ∈ Zn
q tal que para todo vetor y ∈ C, temos d(x, y) ≥ R + 1.
Exemplo 2.3. Seja o espa¸co Z4
2 = {(a, b, c, d) : a, b, c, d ∈ Z2}, o subconjunto
C = {(0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1)}
forma uma 2-cobertura para Z4
2, basta observar que cada elemento (a, b, c, d) dista
no m´aximo 2 de cada um dos vetores de C. A cobertura C ´e minimal. De fato, qualquer subconjunto unit´ario C0 de Z42 n˜ao forma coberturas de raio 2, basta tomar um elemento (a0, b0, c0, d0) com quatro coordenadas diferentes deste vetor, que n˜ao ser´a coberto por C0.
Exemplo 2.4. O subconjunto
C = {(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)}
forma uma 2-cobertura para Z33. Note que cada tripla ordenada (a, b, c) dista no
de trˆes vetores n˜ao forma uma 2-cobertura. De fato, projetando cada vetor de C0 na primeira coordenada, podemos encontrar um elemento x1 ∈ Z3 tal que x1 n˜ao
aparece na primeira coordenada em cada palavra de C0, pois |C0| < 3. Repetimos este processo, projetando cada vetor de C0 nas segunda e terceira coordenadas. Logo, podemos encontrar um vetor x = (x1, x2, x3) tal que d(x, C0) = 3 > 2. Portanto,
este vetor x n˜ao ´e coberto por C0.
Nosso objetivo ´e determinar a cardinalidade m´ınima deste conjunto C, ou seja, dados n e R queremos determinar a quantidade m´ınima de vetores que s˜ao necess´arios para cobrir o espa¸co Znq. Esta cardinalidade ser´a dada pela fun¸c˜ao Kq(n, R).
Defini¸c˜ao 2.5. Definimos a fun¸c˜ao Kq(n, R) como sendo a cardinalidade m´ınima
de um q-c´odigo de comprimento n e raio de cobertura R, ou seja
Kq(n, R) = min {M : existe um (n, M )qR − c´odigo}.
Algumas observa¸c˜oes importantes devem ser notadas em rela¸c˜ao a fun¸c˜ao Kq(n, R).
Proposi¸c˜ao 2.6. Seja C = {x1, . . . , xM} uma R-cobertura m´ınima para Znq, logo
Kq(n, R) = M . Ent˜ao Kq(n, R) ≥ q
n
Vq(n,R), onde Vq(n, R) ´e a cardinalidade da bola
de raio R.
Demonstra¸c˜ao: Sendo R o seu raio de cobertura, ent˜ao temos:
| M [ i=1 B(xi, R)| = qn, mas PM i=1|B(xi, R)| ≥ | SM i=1B(xi, R)| = q
n. Logo, temos que M V
q(n, R) ≥ qn,
donde vem que
Kq(n, R) ≥
qn Vq(n, R)
. (2.1)
Proposi¸c˜ao 2.7. Kq(n, R) ≤ qn−R.
Demonstra¸c˜ao: Temos que mostrar que existe uma R-cobertura de Znq com qn−R palavras. Seja C um c´odigo, onde em cada palavra de C, fixamos n − R
posi¸c˜oes. Nestas posi¸c˜oes, tomamos todos os qn−R vetores de Zn−R
q e nas outras R
posi¸c˜oes colocamos 0 como s´ımbolo, note que |C| = qn−R. Dado x ∈ Znq, observe que d(x, C) ≤ R. Assim, C ´e uma R-cobertura de Zn
q, donde vem que
Kq(n, R) ≤ qn−R. (2.2)
A rela¸c˜ao (2.2) ´e o limite superior trivial de Kq(n, R).
Observa¸c˜ao 2.8. Trivialmente vemos que Kq(n, 0) = qn e Kq(n, n) = 1, basta
observar que se R = 0 a bola de raio zero ´e somente um ponto, logo todos os pontos de Znq s˜ao necess´arios para cobri-lo. Se R = n, dado um vetor de Znq a distˆancia de
todos os outros vetores do espa¸co a ele nunca ser´a maior do que n, logo somente este vetor cobre todo espa¸co Zn
q.
Antes de passarmos a alguns resultados da fun¸c˜ao Kq(n, R), lembremos da
defini¸c˜ao de soma direta que ser´a importante para entendermos algumas constru¸c˜oes e obtermos alguns resultados desta fun¸c˜ao em quest˜ao.
Se C1 e C2 s˜ao subconjuntos de Znq e Zmq respectivamente, denotamos a soma
direta dos vetores x = (x1, . . . , xn) ∈ C1 e y = (y1, . . . , ym) ∈ C2 como o vetor
(x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈ Zn+mq , e definimos a soma direta dos subconjuntos
C1 com C2 por:
C1⊕ C2 = {(x, y) ∈ Zn+mq : x ∈ C1 e y ∈ C2}. Note que esta defini¸c˜ao n˜ao ´e a
mesma de soma direta entre dois subespa¸cos vetoriais, vista em ´algebra linear.
Enunciaremos, agora, um teorema sobre soma direta, o que nos ajudar´a na demonstra¸c˜ao de alguns resultados sobre a fun¸c˜ao Kq(n, R).
Teorema 2.9. Sejam C1 ⊂ Znq um c´odigo de raio de cobertura R1 e C2 ⊂ Zmq um
c´odigo de raio de cobertura R2. Ent˜ao C1⊕ C2 tem raio de cobertura no m´aximo
R1+ R2. Em particular,
Kq(n1+ n2, R1+ R2) ≤ Kq(n1, R1)Kq(n2, R2).
Demonstra¸c˜ao: O resultado sai de forma imediata, pois
d((x, y), C1⊕ C2) = d(x, C1) + d(y, C2)
e como d(x, C1) ≤ R1 e d(y, C2) ≤ R2, conclu´ımos que
d((x, y), C1⊕ C2) ≤ R1+ R2.
Projetando Zn1+n2
q nos espa¸cos Znq1 e Znq2, respectivamente, suponhamos que C1
seja uma R1-cobertura m´ınima de Znq1, isto ´e, |C1| = Kq(n1, R1) e seja C2 uma
R2-cobertura m´ınima para Znq2, isto ´e, |C2| = Kq(n2, R2). ´E f´acil ver que C1⊕ C2 ´e
uma (R1+ R2)-cobertura de Znq1+n2. De fato,
|C1⊕ C2| = |C1||C2| = Kq(n1, R1)Kq(n2, R2).
Logo temos o resultado, ou seja, Kq(n1+ n2, R1 + R2) ≤ Kq(n1, R1)Kq(n2, R2).
Daremos, agora, alguns resultados sobre a fun¸c˜ao Kq(n, R) em alguns lemas.
Observa¸c˜ao 2.10. Como aplica¸c˜ao direta deste lema, temos que
Kq(n1+ n2, R) ≤ qn2Kq(n1, R),
basta ver que Kq(n2, 0) = qn2. Em particular, se n2 = 1 e n1 = n, temos que
Kq(n + 1, R) ≤ qKq(n, R).
Lema 2.11. Se 0 ≤ R ≤ n, ent˜ao:
(i) Kq(n, R + 1) ≤ Kq(n, R).
(ii) Kq(n, R) ≤ Kq+1(n, R).
Demonstra¸c˜ao: (i) Seja C uma R-cobertura m´ınima para Znq, logo |C| = Kq(n, R).
Esta quantidade de vetores cobre Zn
q para um raio maior, como por exemplo R + 1.
Logo esta quantidade de vetores forma uma R +1-cobertura para Zn
q, da´ı o resultado
segue.
(ii) Seja C uma R-cobertura m´ınima de Zn
q+1, ou seja, |C| = Kq+1(n, R). Defina
a fun¸c˜ao f : Zq+1 −→ Znq por:
f (z) = z, se z < q 0, se z = q.
Vamos dividir esta demonstra¸c˜ao em dois casos:
1) Suponha que C n˜ao tenha q em nenhuma coordenada em todas as suas palavras-c´odigo. Assim C forma uma R-cobertura para Zn
q e assim temos o
re-sultado esperado.
2) Suponha, agora, que C possua q em no m´ınimo uma coordenada de alguma palavra-c´odigo de C, assim substituindo q por zero, obtemos um novo c´odigo C0 dado por C0 = {(f (a1), . . . , f (an)); (a1, . . . , an) ∈ C}, cuja cardinalidade satisfaz
|C0| ≤ |C|. Esta substitui¸c˜ao de q por zero faz com que a distˆancia de C0 com todos
os pontos de Zn
q nunca ultrapasse R. Assim C 0
forma uma R-cobertura para Zn q,
logo o resultado tamb´em segue, ou seja, Kq(n, R) ≤ |C0| ≤ |C| = Kq+1(n, R).
2.2
Algumas Classes Exatas de K
q(n, R)
Pensemos no problema das torres no tabuleiro de xadrez bi-dimensional, ou seja, n = 2. Podemos definir o tabuleiro de xadrez de tamanho (q × q) ao espa¸co Z2
Dada uma torre em uma dada posi¸c˜ao (a, b) no tabuleiro, temos que o conjunto de todas as casas as quais esta torre pode se movimentar corresponde ao conjunto de todos os vetores que distam uma unidade desta torre em quest˜ao, basta notar que quando a torre se move na dire¸c˜ao horizontal a segunda coordenada n˜ao se altera, analogamente, se esta torre se move na dire¸c˜ao vertical, a primeira coordenada n˜ao se altera.
Nosso objetivo ´e determinar a quantidade m´ınima necess´aria de torres que cobre todo tabuleiro. Suponha que estas torres sejam dadas pelo seguinte c´odigo
C = {(a, a) ∈ Z2q : a ∈ Zq} e assim, |C| = q. Dado (x, y) ∈ Z2q, note que
d((x, y), (x, x)) ≤ 1 e (x, x) ∈ C, logo d((x, y), C) ≤ 1, e assim Kq(2, 1) ≤ q.
Seja, ent˜ao C um c´odigo tal que |C| < q, mostraremos, agora, que ao menos um vetor (x, y) ∈ Z2q n˜ao ´e coberto por C. De fato, sempre ´e poss´ıvel escolher
(x, y) ∈ Z2
q, onde x 6= a e y 6= b para todo (a, b) ∈ C, logo d((x, y), C) = 2, o que
implica que este vetor (x, y) n˜ao ´e coberto por C, da´ı Kq(2, 1) ≥ q, logo temos que
Kq(2, 1) = q.
A id´eia desta constru¸c˜ao deve-se a J. G. Kalbfleisch e R. G. Stanton [10], temos ent˜ao a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 2.12. Se q ≥ 2, ent˜ao Kq(2, 1) = q.
Uma generaliza¸c˜ao da id´eia acima foi obtida por W. A. Carnielli [3], que ser´a dada pelo teorema a seguir. A segunda parte da demonstra¸c˜ao deste teorema deve-se a W. Chen e I. S. Honkala [5].
Teorema 2.13. Para todos q ≥ 2 e t ≥ 1, temos:
(i) Kq(n, n − t) = q, se n ≥ (t − 1)q + 1.
(ii) Kq(n, n − t) > q, se n ≤ (t − 1)q.
Demonstra¸c˜ao: (i) Limite inferior: Seja n ≥ (t − 1)q + 1 e seja C ⊂ Zn
q um c´odigo
escolher xi ∈ Zq, tal que ci 6= xi, para todo c = (c1, . . . , cn) ∈ C, ent˜ao o vetor
x = (x1, . . . , xn) ∈ Znq satisfaz d(x, C) = n, logo este vetor x n˜ao ´e coberto por C e
portanto Kq(n, n − t) ≥ q para todo t ≥ 1.
Para o limite superior, escolha C = {a= (a, . . . , a) : a ∈ Zq}. Como
n ≥ (t − 1)q + 1, ent˜ao dado um vetor x ∈ Zn
q, pelo Princ´ıpio da Casa dos Pombos,
ao menos um elemento a ∈ Zq aparece ao menos t vezes e d(x,a)≤ n − t, logo
Kq(n, n − t) ≤ q.
(ii) Finalmente, suponha n ≤ (t − 1)q e C ⊂ Zn
q um c´odigo de cobertura que
tenha cardinalidade igual a q.
Afirma¸c˜ao: Podemos assumir (a menos de equivalˆencia) que cada elemento de Zq aparece em cada uma das primeiras j coordenadas, 0 < j < n, da seguinte forma:
a primeira palavra-c´odigo aparece com j 0’s nas j primeiras coordenadas, a segunda com j 1’s e assim por diante at´e a q-´esima palavra-c´odigo com j (q − 1)’s e que as outras coordenadas i > j, n´os podemos encontrar xi ∈ Zq que n˜ao aparece na
i-´esima coordenada em qualquer palavra-c´odigo.
De fato, se n˜ao existisse o ´ındice j satisfazendo as condi¸c˜oes desta afirma¸c˜ao, poder´ıamos encontrar xi que n˜ao aparece na i-´esima coordenada de cada
palavra-c´odigo para todo i = 1, 2, . . . , n. Assim ter´ıamos
d((x1, . . . , xn), C) = n > n − t,
o que ´e um absurdo, porque C ´e uma (n − t)-cobertura por hip´otese.
Para todo i ≤ j, defina xi ≡ i(mod q). Desta forma, temos que
d((x1, . . . , xn), C) = (j − d j qe)+(n−j) = n−d j qe ≥ n−d n qe ≥ n−(t−1) = n−t+1, logo x = (x1, . . . , xn) n˜ao ´e coberto por C, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Por isso
Kq(n, n − t) > q.
Observa¸c˜ao 2.14. Note que se quisermos provar que Kq(n, R) = K, temos que
inferior ´e K). Para provarmos que Kq(n, R) ≤ K, basta mostrar que existe um
(n, K)qR-c´odigo. Para provar que Kq(n, R) ≥ K, temos que mostrar que para
todo (n, K − 1)q-c´odigo C, existe x ∈ Znq, tal que para todo c ∈ C, temos que
d(x, c) ≥ R + 1, isto ´e, existe um vetor x ∈ Znq que n˜ao ´e coberto por C. Na maioria das vezes, esta obten¸c˜ao do limite inferior n˜ao ´e um problema trivial.
A constru¸c˜ao para Kq(2, 1) = q foi relativamente simples, isto n˜ao ocorre para
Kq(3, 1), como veremos no teorema a seguir, cuja demonstra¸c˜ao deve-se a J. G.
Kalbfleisch e R. G. Stanton [10].
Teorema 2.15. Kq(3, 1) = dq
2
2e.
Demonstra¸c˜ao: Limite superior: Escolha Zq = {1, 2, . . . , q} como nosso alfabeto.
Assuma que Q1 = {1, 2, . . . , i} e considere o conjunto
C1 = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q1 e a + b ≡ c (mod i)}.
Ent˜ao todo par ordenado (x, y), com x, y ∈ Zq, ocorre (exatamente uma vez) em
todas as coordenadas em C1, caso contr´ario se existisse (x1, x2, x3) e (x1, x2, x4) em
C1 com x3 6= x4, ent˜ao ter´ıamos x1 + x2 ≡ x3 (mod i) e x1 + x2 ≡ x4 (mod i), o
que seria um absurdo, pois a equa¸c˜ao a + b ≡ c (mod i) tem solu¸c˜ao ´unica. Por isso qualquer vetor em Z3
q com ao menos duas coordenadas em C1 ´e coberto.
Similarmente, escolha Q2 = {i + 1, i + 2, . . . , q} e construa o conjunto
C2 = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Q2 e a + b ≡ c (mod q − i)}.
Com o mesmo argumento acima, qualquer vetor em Z3
q com ao menos duas
coorde-nadas em Q2 ´e coberto, ponha C = C1∪ C2. Logo dado x = (x1, x2, x3) ∈ Z3q, ent˜ao
pelo menos duas coordenadas de x est˜ao em Q1 ou em Q2, logo pelo Princ´ıpio da
casa dos pombos, duas coordenadas de x est˜ao em C1 ou C2, portanto d(x, C) = 1,
Queremos encontrar um i ∈ Zq, tal que |C| seja m´ınima. Como C1 e C2 s˜ao
disjuntos, temos que |C| = |C1| + |C2| e que |C1| = i2 e |C2| = (q − i)2, pois vimos
que cada par ordenado (a, b) ∈ Q21 aparece exatamente uma vez em |C1|, o mesmo
acontecendo em |C2|.
´
E f´acil de ver, ent˜ao, que |C| = i2+ (q − i)2, logo |C| ´e uma fun¸c˜ao de i. Estamos,
ent˜ao, querendo encontrar o ponto de m´ınimo desta fun¸c˜ao. Derivando em rela¸c˜ao a i e igualando a zero, obtemos 2i = q e ´e f´acil ver que o ponto cr´ıtico encontrado ´e um ponto de m´ınimo.
Escolhemos, ent˜ao, i = bq2c, se q ´e ´ımpar. Para determinar |C|, vamos dividir o problema em dois casos:
a) Se q ´e par, ent˜ao i = q2 e |C| = q42 + q42, logo |C| = q22.
b) Se q ´e ´ımpar, ent˜ao i = q−12 , ent˜ao |C| = (q−1)4 2+(q+1)4 2 = q22+1, logo |C| = dq22e. Conclu´ımos, ent˜ao, que escolhendo i = bq2c, obtemos |C| = dq22e que ´e uma 1-cobertura de Z3
q, logo Kq(3, 1) ≤ dq
2
2e.
Limite inferior: Para provarmos que Kq(3, 1) = dq
2
2e, temos que provar que
qualquer c´odigo com cardinalidade menor do que dq22e faz com que algum vetor de Z3q n˜ao seja coberto.
Trataremos de dois casos separadamente, quando q ´e par e ´ımpar:
a) Seja q par, ent˜ao q = 2s e suponha que existe uma cobertura de raio 1 H com q22 − 1 = 2s2 − 1 vetores, isto ´e, seus vetores s˜ao da forma h
i = (ai, bi, ci),
onde i = 1, 2, . . . , 2s2− 1. Obteremos a contradi¸c˜ao mostrando que existe um vetor
(a, b, c) que n˜ao ´e coberto por H.
Escolhemos a uma componente que ocorre com menos freq¨uˆencia na primeira coordenada dos vetores de H. N´os podemos supor que a1 = a2 = . . . = aα = a, mas
ai 6= a, se i > α e 2s
2−1
2s < s, ent˜ao α ≤ s − 1.
para i ≤ α. Suponha que r das componentes b1, b2, . . . , bα s˜ao distintas. Como
cada componente ocorre ao menos α vezes (pela escolha de a), estas r componentes aparecem ao menos rα vezes e rα − α destas ocorrˆencias ser˜ao os bi’s para i > α.
Para estes rα − α valores de i, a 6= ai e b 6= bi, ent˜ao (a, b, c) n˜ao ´e coberto por hi.
Desta forma (a, b, c) deve ser coberto pelos remanescentes 2s2− 1 − rα vetores. Mas
b pode ser escolhido em 2s − r maneiras e c em ao menos 2s − α maneiras e assim temos que (2s − r)(2s − α) ≤ 2s2− 1 − rα, donde vem que 2(s − α)(s − r) ≤ −1, o que ´e um absurdo pois r ≤ α ≤ s − 1.
b) Seja, agora, q ´ımpar, logo q = 2s + 1. Portanto
dq 2 2e = q2+ 1 2 = 2s 2+ 2s + 1.
Suponha que exista uma cobertura H com os vetores hi = (ai, bi, ci) com i =
1, 2, . . . , 2s2+2s. Analogamente ao item a), escolha a a componente menos freq¨uente na primeira coordenada dos vetores de H e ponha a1 = a2 = . . . = aα = a e ai 6= a
para i > α. Como 2s2s+12+2s < s + 1, ent˜ao α ≤ s. Escolha b 6= bi e c 6= ci para
i = 1, 2, . . . , α e suponha que r das componentes b1, . . . , bα s˜ao distintas, ent˜ao estas
r componentes aparecem ao menos rα vezes e rα − α destas ocorrˆencias ser˜ao os bi’s para i > α. Ent˜ao (a, b, c) deve ser coberto pelos 2s2+ 2s − rα vetores
remanes-centes, logo b pode ser escolhido de 2s + 1 − r vezes e c de 2s + 1 − α vezes, logo (2s+1−r)(2s+1−α) ≤ 2s2+2s−rα, donde vem que: (s−α)[2(s−r)+1] ≤ r−s−1, o
que ´e um absurdo, pois a express˜ao do lado esquerdo da desigualdade ´e n˜ao negativa e a do lado direito ´e negativa.
Portanto a prova est´a conclu´ıda.
Note que a constru¸c˜ao de q-c´odigos para o caso de Kq(3, 1) (tridimensional) foi
bem mais complicada em rela¸c˜ao `a obten¸c˜ao de Kq(2, 1) (bidimensional).
A partir do Teorema 2.15 fica f´acil mostrar que K2(4, 1) = 4. De fato, utilizando
este teorema, vemos que K2(3, 1) = 2, logo pela Observa¸c˜ao 2.10 visto na se¸c˜ao
vem que K2(4, 1) ≥ 4, donde conclu´ımos que K2(4, 1) = 4. ´E de se esperar que a
obten¸c˜ao de Kq(4, 1) seja um problema bastante dif´ıcil. De fato, basta observar na
tabela 6.4, que a classe K5(4, 1) n˜ao ´e conhecida.
O pr´oximo resultado ´e devido a A. C. Lobstein [15].
Teorema 2.16. K2(2R + 2, R) = 4, para todo R = 0, 1, . . ..
Demonstra¸c˜ao: Limite inferior: Assuma que C ´e um (2R + 2, K)2-c´odigo com
K < 4. Como existem menos que quatro palavras-c´odigo em C, podemos escolher o par x1x2, tal que este par n˜ao aparece como as duas primeiras coordenadas em
qualquer palavra-c´odigo de C. Similarmente, escolha os pares x3x4, . . . , x2R+1x2R+2,
da mesma forma em que escolhemos x1x2. Ent˜ao, o vetor x = (x1, . . . , x2R+2) dista
ao menos R + 1 de C. Assim K2(2R + 2, R) ≥ 4.
Limite superior: Tome o c´odigo C = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}, onde 0 e 1 s˜ao, respectivamente, vetores de comprimento 2R + 1 formado somente por 0’s e 1’s. Note que |C| = 4.
Afirma¸c˜ao: Este c´odigo tem raio de cobertura igual a R. De fato, dado x = (x1, x2, . . . , x2R+2), temos que as duas primeiras coordenadas de x s˜ao cobertas
por C, ent˜ao projetemos o vetor x a cada par x2i+1x2i+2 de coordenadas
consecu-tivas, com i = 1, 2, . . . , R. Projetando cada palavra de C aos respectivos pares de coordenadas correspondentes a x, temos que cada par de proje¸c˜oes de x dista no m´aximo 1 das proje¸c˜oes correspondentes em C. Como temos R proje¸c˜oes distintas, vem que d(x, C) ≤ R, o que implica que C tem raio de cobertura igual a R, logo K2(2R + 2, R) ≤ 4. Portanto, temos o resultado.
Enunciaremos, agora, um teorema importante que envolve o alfabeto Fq, quando
q ´e primo ou potˆencia de um primo. Neste caso, temos que o espa¸co de Hamming Fnq em quest˜ao ´e um espa¸co vetorial, pois Fq ´e um corpo finito.
Nosso objetivo ´e determinar sobre que condi¸c˜oes podemos determinar uma 1-cobertura perfeita para este espa¸co (n˜ao esquecendo que esta cobertura perfeita
´
e um c´odigo perfeito). Este resultado ser´a dado pelo Teorema de Zaremba. A demonstra¸c˜ao deste teorema deve-se a S. K. Zaremba, utilizando a teoria dos grupos, mas daremos aqui uma demonstra¸c˜ao mais simplificada feita por G. Losey [16].
Teorema 2.17. Se q ´e um primo ou uma potˆencia de um primo e 1+n(q −1) ´e igual a qr, para algum r, ent˜ao existe uma 1-cobertura perfeita H de Fn
q de cardinalidade qn−r. Logo K q(q r−1 q−1 , 1) = q n−r.
Demonstra¸c˜ao: Seja Fq um corpo finito com q elementos, logo Fnq ´e um espa¸co
vetorial de dimens˜ao n sobre Fq. Seja {e1, . . . , en} a base canˆonica de Fnq.
Seja V um subespa¸co de dimens˜ao r sobre Fq, ent˜ao o n´umero de subespa¸cos
unidimensionais de V ´e m = qq−1r−1. De fato, tome M como sendo o conjunto maximal formado pelos subespa¸cos unidimensionais poss´ıveis em V e suponha que |M| = m, com
M = {V1, . . . , Vm},
onde Vi s˜ao os poss´ıveis subespa¸cos unidimensionais para V . Logo todos estes
sube-spa¸cos s˜ao disjuntos se n˜ao considerarmos o vetor nulo em cada um destes sube-spa¸cos. Portanto ´e f´acil ver que V =Sm
i=1Vi, assim
|V | = |V1| + . . . + |Vm| + 1,
logo qr= m(q − 1) + 1, donde vem que m = qr−1 q−1 = n.
Sejam vi um vetor representante de Vi, 1 ≤ i ≤ n. Defina a transforma¸c˜ao linear
T : Fnq −→ V por T (ei) = vi. ´E f´acil ver que T ´e sobrejetora. De fato, dado v ∈ V
n˜ao nulo, temos que v est´a em exatamente um subespa¸co unidimensional de V , logo v = λivi para algum i = 1, 2, . . . , n. Tome, ent˜ao, u = λiei ∈ Fnq e temos que
T (u) = T (λiei) = λiT (ei) = λivi = v, logo T ´e sobrejetora.
Seja H o n´ucleo de T , ou seja H = Ker(T ), logo pelo teorema do n´ucleo e da imagem temos que n = dimH + dimV , portanto dimH = n − r, o que implica que |H| = qn−r.
Resta provar que H ´e uma 1-cobertura perfeita. De fato, seja x ∈ Fnq, ent˜ao T (x) ∈ V , logo T (x) est´a em algum dos subespa¸cos unidimensionais de V , portanto T (x) = λvi para algum λ ∈ Fq, vi ∈ Vi com i = 1, . . . , n. Logo T (x − λei) =
λvi − λvi = 0, ent˜ao w = x − λei ∈ H = Ker(T ). Desta maneira x = w + λei,
o que implica que x difere de w no m´aximo na i-´esima coordenada, por isso H ´e uma 1-cobertura de Fn
q de cardinalidade qn−r. Para mostrar que H ´e perfeita, basta
observar que |H| = qn−r = qqnr =
qn
1+n(q−1), logo H ´e perfeita e o resultado segue, isto
´ e, Kq(q
r−1
q−1, 1) = q n−r.
Exemplo 2.18. Para o caso em que q = 2, obtemos que K2(2r− 1, 1) = 22
r−r−1
.
O Teorema de Zaremba pode ser generalizado para raios arbitr´arios.
2.3
Classes Induzidas
Enunciaremos, a seguir, dois resultados obtidos por W. A. Carnielli [3], em que obteremos o limite superior para classes de cobertura em espa¸cos maiores a partir de classes em espa¸cos menores conhecidas.
Teorema 2.19. Para todos n, r, q ≥ 1 e p, k, tais que 0 ≤ p < r e 0 < k ≤ n, vale a seguinte desigualdade:
Kq(nr, kr + (n − k)p) ≤ Ka(n, k), onde a = Kq(r, p).
Demonstra¸c˜ao: Temos que provar que Ka(n, k) vetores forma uma
(kr+(n−k)p)-cobertura para Znrq .
Considere um vetor
x = (x1, . . . , xr, xr+1, . . . , x2r, x2r+1, . . . , x(n−1)r, x(n−1)r+1, . . . , xnr) ∈ Znrq .
Podemos considerar x como um vetor do tipo x = (Y0, Y1, . . . , Yn−1), onde
Yi = (xir+1, . . . , x(i+1)r), com i = 0, 1, . . . , n − 1.
Seja a = Kq(r, p) a cardinalidade m´ınima de uma p-cobertura de Zrqdada por um
em no m´aximo p coordenadas. Agora, considere Ka(n, k) a cardinalidade m´ınima de
uma k-cobertura de Zn
a dada por um conjunto H2, onde os s´ımbolos s˜ao os elementos
de H1. Ent˜ao, dado um vetor Z = (Z0, Z1, . . . , Zn−1) ∈ Zna, existe um vetor W ∈ H2,
tal que W e Z discordam em no m´aximo k coordenadas. Assim W e Z discordam em no m´aximo kr coordenadas. Agora, levando em considera¸c˜ao as n − k coordenadas em que eles concordam, n˜ao esquecendo que estas coordenadas s˜ao elementos de H1,
temos que, nestas coordenadas, eles discordam em no m´aximo (n − k)p coordenadas. Logo W e x discordam em no m´aximo kr + (n − k)p coordenadas, o que podemos concluir que Ka(n, k) vetores formam uma (kr + (n − k)p)-cobertura para Znrq , logo
o resultado segue, isto ´e, Kq(nr, kr + (n − k)p) ≤ Ka(n, k), onde a = Kq(r, p).
Exemplo 2.20. Sejam n = 3, r = 3, q = 3 e k = 2. O Teorema 2.19 nos fornece que K3(9, 7) ≤ K5(3, 2) = 5, melhorando o limite superior trivial que ´e dado por
K3(9, 7) ≤ 9.
Exemplo 2.21. Sejam r = 3, n = 4, k = p = 1 e q = 2. Uma aplica¸c˜ao direta do Teorema 2.19, mostra que K2(12, 6) ≤ K2(4, 1). J´a vimos que K2(4, 1) = 4, logo
K2(12, 6) ≤ 4. Podemos observar que a obten¸c˜ao do limite superior de K2(12, 6),
usando o Teorema 2.19 n˜ao ´e boa, pois utilizando o Teorema 2.13, obtemos que K2(12, 6) = 2.
Veremos agora, como encontrar um vetor na cobertura, dado um vetor em Z12 2 ,
satisfazendo as condi¸c˜oes do Teorema 2.19
Seja o vetor x = (000, 111, 010, 001) ∈ Z122 . Pelo Teorema 2.15, vem que
K2(3, 1) = 2. Podemos supor que H1 = {000, 111}(n˜ao esquecendo que este c´odigo
em quest˜ao ´e um c´odigo perfeito), assim a = K2(3, 1) = 2. Fazendo H1 = {0, 1},
onde 0 = (000) e 1 = (111), ent˜ao o vetor x pode ser visto como o vetor
Y = (000, 111, 000, 000),
que pode ser visto como o vetor Z = (0, 1, 0, 0) ∈ Z4 2.
Seja H2 uma 1-cobertura para Z42 que contenha o vetor (0, 0, 0, 0), logo H2 pode
ser dada por
H2 = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}, pois K2(4, 1) = 4. Para este
vetor Z dado existe um vetor W = (0, 0, 0, 0) ∈ H2, tal que W e Z diferem em no
m´aximo uma coordenada, assim vemos que W e x diferem em cinco coordenadas (o que satisfaz as condi¸c˜oes do Teorema 2.19).
O pr´oximo teorema est´a relacionado com a existˆencia de um d-c´odigo MDS. Como vimos no cap´ıtulo anterior um d-c´odigo MDS em Zn
q ´e definido como um
subconjunto G de Zn
q com exatamente qm vetores, onde d = n − m + 1, tal que a
distˆancia d(x, y) entre x e y ´e tal que d(x, y) ≥ d para todo x, y ∈ G.
Para facilitar as demonstra¸c˜oes, trabalharemos com um (d + 1)-c´odigo MDS.
Teorema 2.22. Se existe um (d + 1)-c´odigo MDS em Zn
q, ent˜ao para todo r ≥ 1, a
seguinte desigualdade segue: Kqr(n, d) ≤ qn−dKr(n, d).
Demonstra¸c˜ao: Notemos primeiro que no (d + 1)-c´odigo MDS G ⊂ Zn
q, qualquer
escolha de n−d coordenadas (dos n lugares poss´ıveis) apresenta todos os qn−dvetores de Zn−d
q , pois caso contr´ario, se dois vetores de G concordam em n − d coordenadas,
a distˆancia entre eles seria igual a d < d + 1 o que seria um absurdo.
Seja X = (a1, . . . , an) um vetor de Znqr, logo como cada ai ∈ Zqr com i =
1, 2, . . . , n, podemos escrever ai = rbi + ci, onde bi ∈ Zq e ci ∈ Zr. Podemos
considerar os vetores X1 = (b1, . . . , bn) em Znq e X2 = (c1, . . . , cn) em Znr, temos
ent˜ao que X = rX1+ X2.
Se um conjunto H ´e uma d-cobertura m´ınima de Zn
r, isto ´e, |H| = Kr(n, d) e G
´
e um (d + 1)-c´odigo MDS de Zn
q, afirmamos que o conjunto
rG + H = {rZ1+ Z2 : Z1 ∈ G e Z2 ∈ H}
´
e uma d-cobertura para Zn
qr. De fato, dado X ∈ Znqr, temos que X = rX1 + X2,
um vetor Z2 ∈ H, tal que Z2 e X2 discordam em no m´aximo d coordenadas e como
G ´e um (d + 1)-c´odigo MDS, existe um vetor Z1 ∈ G, tal que Z1 e X1 discordam em
no m´aximo d coordenadas. Observemos que, pelo fato de G ser um (d + 1)-c´odigo MDS, podemos escolher Z1, tal que Z1 discorda com X1 nas mesmas coordenadas
em que Z2 discorda com X2, isto ´e sempre poss´ıvel.
Logo Z = rZ1+ Z2 discorda com X = rX1+ X2 em no m´aximo d coordenadas.
Da´ı rG + H forma uma d-cobertura para Zn
qr e como |rG + H| = qn−dKr(n, d), temos
que o resultado segue, logo Kqr(n, d) ≤ qn−dKr(n, d).
Exemplo 2.23. Ilustraremos a constru¸c˜ao acima para o caso em que q = 3, r = 2 e n = 3 e seja G um c´odigo MDS de Z3
3 para m = 2 dado abaixo:
G = {(000), (012), (021), (102), (111), (120), (201), (210), (222)}.
´
E f´acil ver que sua distˆancia m´ınima ´e 2, logo d = 1.
Seja H = {(000), (111)} uma 1-cobertura m´ınima para Z3
2 (vimos, no Exemplo
1.4, que esta ´e uma 1-cobertura m´ınima perfeita). Pelo Teorema 2.22, o conjunto
2G + H = {2Z1 + Z2 : onde Z1 ∈ G e Z2 ∈ H}
forma uma 1-cobertura para Z36.
Dado um vetor Y = (450) ∈ Z3
6, queremos encontrar um vetor da cobertura que
satisfaz as condi¸c˜oes do teorema.
Logo, considere a associa¸c˜ao 4 = 2.2 + 0, 5 = 2.2 + 1 e 0 = 2.0 + 0.
Em termos vetoriais (450) = 2(220) + (010).
Para o vetor (010), podemos tomar o vetor X2 = (000) ∈ H e para o vetor (220),
podemos tomar o vetor X1 = (210) ∈ G. Observemos que escolhemos
(210) ∈ G, pois ´e na segunda coordenada que (010) difere de (000) ∈ H, logo o vetor X procurado ´e X = 2(210) + (000) = (420) que discorda de Y somente em uma coordenada.
Da mesma forma que no exemplo anterior, aplicando o teorema substituindo os valores de n, r e q obtemos K6(3, 1) ≤ 32K2(3, 1) = 18, observemos que este teorema
neste exemplo melhora o limite superior trivial. De fato, sabemos que K6(2, 1) = 6,
logo K6(3, 1) ≤ 36 (portanto o Teorema 2.22 melhora este limite superior). Note
que neste teorema, obtemos uma outra forma de obter o limite superior de K6(3, 1),
e vimos que pelo Teorema 2.15, K6(3, 1) = 18.
Recordando alguns casos de existˆencia de (d + 1)-c´odigos MDS na subse¸c˜ao 1.4.2 e como conseq¨uˆencia do Teorema 2.22, obteremos alguns limites particulares para Kqr(n, d), dado pelo corol´ario a seguir.
Corol´ario 2.24. Valem as propriedades:
a) Kqr(n, 1) ≤ qn−1Kr(n, 1), para um 2-c´odigo MDS.
b) Kqr(n, n − 2) ≤ q2Kr(n, n − 2), se existe um (n − 1)-c´odigo MDS, para todo
2 ≤ n ≤ q + 1, onde q ´e primo ou potˆencia de primo.
A demonstra¸c˜ao do Corol´ario 2.24 segue diretamente do Teorema 2.22
Apresentaremos, a seguir, a demonstra¸c˜ao de um caso particular do Teorema 2.22, que se refere ao caso de existˆencia de c´odigos MDS de distˆancia m´ınima 2, cujo resultado ´e devido a R. G. Stanton, J. D. Horton e J. G. Kalbfleisch, e redescoberto por A. Blokhuis e C. W. Lam [2]. Faremos esta demonstra¸c˜ao para r = t, e t exercendo o papel de q no Teorema 2.22.
Teorema 2.25. Para todo q ≥ 2 e t ≥ 1, temos Ktq(n, 1) ≤ tn−1Kq(n, 1).
Demonstra¸c˜ao: Seja C um c´odigo sobre o alfabeto Q = {0, 1, . . . , q − 1} que atinge o limite Kq(n, 1). Defina o c´odigo
C0 = {(c1t + b1, c2t + b2, . . . , cnt + bn) : (c1, c2, . . . , cn) ∈ C
C0´e um c´odigo sobre o alfabeto {0, 1, . . . , tq −1} e note que os vetores (b1, b2, . . . , bn),
tais que b1 + b2 + . . . + bn = 0 (mod t) formam um c´odigo MDS de distˆancia
m´ınima 2, logo o n´umero de vetores deste c´odigo ´e tn−1. Assim |C0| = tn−1K
q(n, 1).
Afirma¸c˜ao: C0 ´e um c´odigo de cobertura 1.
Usando o mesmo argumento do Teorema 2.22, obtemos o resultado.
Exemplo 2.26. Sabendo que K6(3, 1) = 18, a Observa¸c˜ao 2.10 nos fornece que
K6(4, 1) ≤ 108. Aplicando o Teorema 2.25, obtemos que K6(4, 1) ≤ 72, melhorando
Cap´ıtulo 3
Coberturas usando matrizes
Vamos relembrar o que ´e uma R-cobertura no espa¸co de Hamming. Vimos que H ´
e uma R-cobertura de Znq se para todo x ∈ Znq, existe y ∈ H tal que x e y diferem
em no m´aximo R coordenadas. Neste caso, podemos escrever o vetor x da seguinte forma: x = y + m X i=1 aieki,
onde m ≤ R, ai ∈ Znq e eki s˜ao vetores canˆonicos de Z
n
q. Observe que estamos
escrevendo o vetor x como soma de um vetor y ∈ H com uma combina¸c˜ao linear de no m´aximo R colunas da matriz identidade In×n.
O m´etodo de cobertura usando matrizes ´e uma generaliza¸c˜ao das coberturas cl´assicas, no seguinte sentido: al´em do vetor y ∈ H e dos vetores canˆonicos da matriz identidade, permitimos outros vetores de Zn
q na combina¸c˜ao linear que gera
x. Isto ficar´a mais claro quando enunciarmos a defini¸c˜ao do m´etodo de cobertura usando matrizes.
As coberturas usando matrizes foram desenvolvidas inicialmente por A. Blokhuis e C. W. H. Lam [2] para o caso em que R = 1, que ´e uma sistematiza¸c˜ao de alguns resultados anteriores de H. J. L. Kamps e J. H. van Lint . A generaliza¸c˜ao deste m´etodo, para R arbitr´ario, foi apresentada por J. H. van Lint Jr. e independente-mente por W. A. Carnielli [4].
