Kamila Gonçalves Celestino Universidade Estadual do Centro-Oeste kamilauab@hotmail.com
Resumo:
O presente relatório final refere-se a um projeto de pesquisa vinculado ao regime de Tempo Integral e Dedicação Exclusiva para professores da Universidade Estadual do Centro-Oeste. Tal estudo consistiu em uma pesquisa bibliográfica e na internet referente aos temas Equação do Segundo Grau, Regra de L’Hospital, Método de Exaustão e Triângulo Aritmético. O trabalho teve como objetivo pesquisar a história de cada um destes temas em resumos de trabalhos do programa de Iniciação Científica, verificar quais informações históricas sobre os temas citados são encontradas por meio dos sites de busca da internet, bem como comparar as informações obtidas em cada fonte para saber se a internet nos traz informações concernentes as das fontes de História da Matemática. Com este estudo foi possível perceber que alguns sites apresentam informações históricas e outros apenas mostram definições e exemplos. Sobre os temas Método de Exaustão, Regra de L’Hospital e Triângulo Aritmético as informações são coerentes com as dos trabalhos analisados, já as informações sobre a Equação do Segundo Grau não correspondem às encontradas nas fontes históricas.
Palavras-chave: Método de Exaustão. Regra de L’Hospital. Triângulo Aritmético.
Equação do Segundo Grau.
Introdução
A pesquisa em História da Matemática tem se configurado como tema de interesse crescente comprovado pelas diversas fontes e publicações já acessíveis, relacionadas ou não ao ensino da Matemática e à educação Matemática. Dentre as modalidades de estudos que se identificam como pesquisas em História da Matemática estão as que tratam da investigação relativa à história de problemas, conceitos, métodos e também a figuras humanas (BARONI e NOBRE, 1999).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam a História da Matemática como um recurso didático para ser utilizado em sala de aula:
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer ideias Matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo,
contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. (BRASIL, 1997, p.34)
As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná tratam a História da Matemática como um encaminhamento metodológico:
A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. (PARANÁ, 2008, p.66)
Neste projeto de pesquisa foram escolhidos quatro temas, a saber: equações do segundo grau, regra de L’Hospital, método de exaustão e triângulo aritmético. Tais temas já foram objetos de pesquisas, realizadas por ex-alunas do curso de Matemática da Unicentro, no programa de Iniciação Científica. Nestas pesquisas foram levantadas informações históricas sobre os tópicos e percebeu-se que existem algumas inconsistências, principalmente no que diz respeito aos matemáticos envolvidos com os temas.
Pelo fato de estes serem assuntos recorrentes e familiares a estudantes e professores de Matemática, alguns no Ensino Básico e outros no Superior, julgou-se necessário um estudo a respeito, para saber se e como as informações históricas, referentes aos temas escolhidos, são encontradas na internet.
A internet foi a fonte escolhida por ser, hoje em dia, a de mais fácil acesso aos estudantes, normalmente a primeira e, às vezes, a única a ser consultada.
Problema
Pesquisar se a busca na internet pelos temas equações do segundo grau, regra de L’Hospital, método de exaustão e triângulo aritmético traz alguma informação histórica e, em caso positivo, estabelecer uma comparação de tais informações com as encontradas em pesquisas de Iniciação Científica.
Materiais e métodos
A pesquisa foi baseada em materiais produzidos em pesquisas de Iniciação Científica e em uma busca na internet.
Inicialmente foi feito um estudo dos resumos de Iniciação Científica para que fosse possível identificar as informações históricas acerca dos temas e verificar quais matemáticos estiveram envolvidos com cada um deles.
Em um segundo momento cada tema foi pesquisado na internet, por intermédio de um site de busca, para que fosse possível estabelecer uma comparação das informações históricas presentes em cada uma das fontes.
Resultados
Trabalhos analisados:
Método de exaustão: O método de exaustão consiste em aproximar a área de uma
região curva pela inscrição de um polígono com área conhecida, e multiplicar o número de lados desse polígono até que a sua área seja a mais próxima possível da área da região curvilínea.
O trabalho analisado tinha como objetivo identificar o autor do método, para tanto foram consultadas diferentes fontes de História da Matemática para que fosse possível fazer uma comparação entre as informações apresentadas por cada autor. A pesquisa nos textos históricos mostrou vários nomes envolvidos com o método, havendo algumas variações de uma obra para outra.
Primeiramente aparecem os nomes de Antífon (480 – 411 AEC) e Brisono (450 - ~390 AEC)atrelados à origem do método de exaustão. Antífon teria antecipado a ideia de inscrever um polígono regular em um círculo e multiplicar o seu número de lados sucessivamente até que a diferença entre o círculo e o polígono fosse quase nula. Eudoxo (c. 408 – 355 AEC) tem seu nome vinculado ao método de exaustão que possibilitou um tratamento rigoroso ao cálculo de áreas e volumes. Também aparecem Arquimedes (287 – 212 AEC), que utilizou o método em muitos de seus trabalhos e o colocou em termos rigorosos, e Euclides (325 - ~265 AEC), que contribuiu para a sua disseminação por ter utilizado nas provas de suas proposições.
A conclusão da pesquisa foi que o autor do método é Eudoxo, porém ele utilizou contribuições anteriores para chegar a seus resultados. Arquimedes foi quem colocou o método em termos rigorosos e Euclides o utilizou para demonstrar suas proposições. Também vale a pena ressaltar que o termo “exaustão” surgiu pela primeira vez com
Grégoire de Saint-Vincent em 1647, ou seja, ele não foi utilizado pelos matemáticos envolvidos na descoberta do método.
Regra de L’Hospital: A regra de L’Hospital, é uma regra utilizada para resolver limites
de funções apresentadas em forma de frações indeterminadas, do tipo ou . Esta regra leva o nome do matemático L’Hospital (1661 – 1704), porém Johan Bernoulli (1667 – 1748) também tem seu nome relacionado a ela.
O trabalho analisado teve como objetivo averiguar a verdadeira autoria da regra e, para isso, foi realizada uma pesquisa em livros de Cálculo Diferencial e Integral, livros de História da Matemática e internet (site cujo conteúdo é constituído por biografias de matemáticos).
Quanto aos livros de Cálculo Diferencial e Integral, alguns não trouxeram informações históricas sobre a regra e outros apresentaram notas associando a regra à L’Hospital. Já as fontes de História da Matemática destacaram o nome de Johan Bernoulli também relacionado à referida regra. Parece que L’Hostipal foi aluno de Johan Bernoulli e devido a um acordo financeiro entre eles Johan Bernoulli forneceu à L’Hospital o material que continha a regra e L’Hospital a publicou no primeiro livro-texto de Cálculo, o qual era de sua autoria.
A conclusão da pesquisa foi que, pelo fato de haver um acordo entre L’Hospital e Bernoulli, uma denominação mais adequada para a regra seria Regra de Bernoulli ou Regra de L’Hospital-Bernoulli. Porém quem publicou a regra foi realmente L’Hospital e é esse o motivo de seu nome ser vinculado a ela.
Triângulo aritmético: O triângulo aritmético é uma disposição triangular de números
que têm diversas relações entre si. Também é conhecido como “Triângulo de Pascal” devido ao matemático Blaise Pascal (1623 – 1662) que o relacionou com o estudo de probabilidades. No entanto parece haver indícios do triângulo aritmético que datam de muito antes de Pascal.
O objetivo do trabalho analisado foi montar uma história do triângulo aritmético e mostrar os motivos que levaram a denominação “Triângulo de Pascal”. A pesquisa foi feita em livros didáticos e de História da Matemática.
Na análise dos livros didáticos verificou-se que apenas alguns apresentavam notas históricas, e estas eram sobre Pascal, em sua maioria, os livros didáticos não traziam informações históricas. As fontes de História da Matemática relatam vários indícios do triângulo aritmético, não necessariamente com este nome, em várias partes do mundo por mais de 500 anos antes de Pascal. Aparentemente o triângulo aritmético já era conhecido pelos chineses, hindus e árabes muito antes da época de Pascal e deve-se à Yang Hui a primeira versão apredeve-sentada do triângulo, no séc. XIII. Também aparecem os nomes de Chu Shih, Al-kashi e Omar Khayyam como matemáticos que utilizaram o triângulo aritmético antes de Pascal.
Esta pesquisa concluiu que o triângulo aritmético já era utilizado por vários matemáticos de diferentes lugares por mais de 500 anos antes de Pascal. A denominação “triângulo de Pascal” é conhecida no Ocidente devido a Pascal ter descoberto várias relações e aplicações enquanto fazia uso do triângulo em seus estudos sobre probabilidade. Conclui-se também que a nomenclatura mais adequada é “triângulo aritmético”, devido aos registros históricos anteriores a Pascal.
Equação do segundo grau: Uma equação do segundo grau é uma equação da forma
, em que o coeficiente a é diferente de zero. A expressão que serve para resolver equações deste tipo é ainda conhecida como “fórmula de Bhaskara”, em associação ao nome do matemático hindu Bhaskara (1114-1185).
Este trabalho teve como objetivos esclarecer a relação de Bhaskara com as equações do segundo grau, verificar se a nomenclatura “fórmula de Bhaskara” é correta e destacar as contribuições de Bhaskara para a matemática. Tratou-se de uma pesquisa bibliográfica em fontes de História da Matemática.
Com o material bibliográfico foi possível verificar que Bhaskara foi o matemático mais importante da Índia do século XII, ele também era astrônomo, astrólogo e poeta. Autor de seis obras, a mais famosa é Lilavati, que leva o nome de sua filha. Em suas obras Bhaskara propôs e resolveu vários problemas do segundo grau e forneceu as fórmulas para calcular o seno de uma soma ou diferença de arcos, conhecidas atualmente. Já na história da equação do segundo grau, Bhaskara aparece apenas como alguém que sabia resolver tais equações, e não está vinculado ao desenvolvimento ou publicação da fórmula geral.
Os estudos dedicados a desenvolver uma fórmula geral para as equações do segundo grau se intensificaram no século XVI e vários matemáticos trabalharam a partir da forma geral das equações e foram aprimorando os resultados até que, em 1631, o matemático inglês William Ougthred publicou a fórmula generalizada da forma que
conhecemos hoje: √
.
A conclusão da pesquisa foi que, apesar de Bhaskara ter sido o matemático mais importante de sua época na Índia e ter estudado vários temas sobre matemática, inclusive as equações do segundo grau, ele não tem o mérito de ter desenvolvido nem publicado a fórmula que leva o seu nome. Constatou-se também que a expressão “fórmula de Bhaskara” é utilizada apenas no Brasil, mas não se sabe ao certo a origem de tal associação. Então a nomenclatura mais correta para a fórmula seria “fórmula geral” ou “fórmula de Ougthred” já que foi William Ougthred quem a publicou.
Pesquisa dos temas na internet:
Os temas foram pesquisados, separadamente, utilizando um site de busca. Foram visitadas as dez primeiras páginas dos resultados de cada tema excluindo-se os vídeos e imagens. As palavras chaves utilizadas para a pesquisa foram: método de exaustão, regra de L’Hospital, triângulo aritmético e equação do segundo grau.
Método de exaustão: Nesta pesquisa, das dez páginas visitadas, nove traziam
informações sobre o tema e apenas uma apresentou conteúdo que não foi relevante para o estudo. Todas as páginas que tratavam do assunto apresentaram algum tipo de nota histórica.
Apenas em uma página o conteúdo era todo coerente com as informações da pesquisa de Iniciação Científica:
A ideia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua teoria das proporções, para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Gregorie de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647.
Arquimedes usou o método para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior
de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for grande o número de lados do
polígono. (Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_da_exaust%C3%A3o> Acesso em: 10 setembro 2013)
Algumas das páginas citam apenas o nome de Eudoxo e Arquimedes, mas dizem que o método foi desenvolvido por Eudoxo e utilizado e divulgado por Arquimedes, e apresentam informações do tipo:
Com relação ao método de exaustão, que já sabemos que foi criado por Eudoxo, Arquimedes foi quem o aplicou de maneira mais elegante, aproximando-se da atual e verdadeira integração.
(Disponível em:
<http://repositorio.ucb.br/jspui/bitstream/10869/1755/1/Mauro%20Lo pes%20Alvarenga.pdf> Acesso em: 10 setembro 2013)
Eudoxo apresentou um novo modelo de proporções e criou o que hoje chamamos de Método da Exaustão, proporcionando uma metodologia que permitia demonstrar teoremas com um nível de rigor aceitável para a época.
Arquimedes utilizava o Método da Exaustão para apresentar demonstrações elegantes e rigorosas para suas descobertas
matemáticas. (Disponível em:
<http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp527001.html> Acesso em: 10 setembro 2013)
O método de exaustão é também conhecido por Princípio de Eudoxo-Arquimedes, por ter na sua base a teoria das proporções apresentada por Eudoxo de Cnido (408 – 355 a.C.) e por Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a.C.) ter sido o matemático que maior visibilidade lhe deu.
(Disponível em:
<http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/ecm/metodo%20de%20ex austao.pdf> Acesso em: 10 setembro 2013)
Outras páginas também trazem o nome de Eudoxo e Arquimedes ou apenas de Arquimedes, mas dizendo que foi Arquimedes quem inventou o método:
Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, uma forma primitiva de integração, para obter boa gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje. Com seu método, Arquimedes antecipou-se aos modernos métodos do Cálculo Diferencial e Integral, obtendo volumes e áreas de diversas formas
geométricas. (Disponível em:
<http://www.uss.br/pages/revistas/revistateccen/V4N22011/pdf/002_ Arquimedes_Siracusa_Metodo_Exaustao.pdf> Acesso em: 10 setembro 2013)
A busca de processos exatos ou mesmo aproximados para o cálculo da área S da região limitada por uma curva fechada deu a Arquimedes (cerca do século III a.C.) a glória de ser considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Com seu método de exaustão,
conseguiu calcular áreas de regiões limitadas por inúmeros tipos de
curvas. (Disponível em:
<http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1886> Acesso em: 10 setembro 2013)
Método de Exaustão de Arquimedes: Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que Arquimedes chamou de método de exaustão. (Disponível em: <www.matematiques.com.br> Acesso em: 10 setembro 2013)
Uma das páginas traz apenas o nome de Arquimedes mas cita que não foi ele quem criou o método:
O método de exaustão foi desenvolvido na antiguidade. Arquimedes não chegou a inventá-lo, mas foi o primeiro a usá-lo para calcular a área aproximada de um círculo, o que era um desafio significativo na geometria antiga. (Disponível em: <http://www.ehow.com.br/metodo-exaustao-arquimedes-estrategia_20158/> Acesso em: 10 setembro 2013)
Nesta busca foi possível perceber que três resultados não estavam de acordo com as pesquisas analisadas, pois afirmavam que foi Arquimedes quem inventou o método. Mas, em geral, as páginas da internet trazem a informação principal de que o método que exaustão foi criado por Eudoxo e disseminado por Arquimedes, apesar de a maioria delas não falar que foi Antífon o responsável pela ideia que antecipou o método.
Regra de L’Hospital: Na busca por este tema as dez páginas visitadas tinham conteúdo
pertinente ao assunto, no entanto apenas três delas apresentavam notas históricas. Duas notas citam que a regra foi publicada por L´Hospital e leva seu nome mas que, na verdade, ela é de Bernoulli:
Este método, chamado Regra de L'Hôpital, apareceu por volta de 1696 e tem esse nome em homenagem ao nobre francês, Marquês de L’Hôpital (1661-1704), a quem foi atribuída a sua descoberta, mas na verdade, dizem as más línguas, o trabalho é do matemático suíço John Bernoulli (1667-1748), que o Marquês havia contratado como seu professor de matemática. (Disponível em: <http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo_27.pdf > Acesso em: 11 setembro 2013)
Coube a Bernoulli - embora a publicação tenha sido de L'Hospital, que emprestou seu nome ao feito - descobrir uma propriedade que nos permite calcular rapidamente limites desse tipo. A engenhosa descoberta consistiu em perceber que, na vizinhança de um ponto podemos comparar o quociente de duas funções com o quociente de suas derivadas, desde que determinadas hipóteses estejam satisfeitas.
<http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/regras_lhospital/regras_l hospital.htm > Acesso em: 11 setembro 2013)
A terceira nota cita apenas o nome de L´Hospital:
A regra de L'Hôspital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de
l'Hôpital, em 1696. (Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l'H%C3%B4pital> Acesso em: 11 setembro 2013)
O restante das páginas apresenta apenas definições, exemplo e exercícios acerca do tema. Sobre a regra de L’Hospital foi possível perceber que nenhuma das notas históricas mencionava o acordo financeiro entre L’Hospital e Bernoulli, motivo pelo qual Bernoulli teria cedido o material escrito por ele à L’Hospital. No entanto, mesmo com a falta de alguns detalhes, as notas encontradas trazem informações coesas com as do trabalho de Iniciação Científica, pois nenhuma delas diz que L’Hospital foi quem inventou a regra apenas citam que ele a publicou, o que é um fato verdadeiro.
Triângulo aritmético: Nesta busca todas as páginas visitadas tinham conteúdo relativo
ao tema pesquisado e todas elas traziam notas históricas. A palavra chave utilizada para a pesquisa foi “triângulo aritmético”, entretanto boa parte dos resultados obtidos continha a expressão “triângulo de Pascal”.
Três páginas apresentaram textos extensos explicando a história do triângulo aritmético por várias partes do mundo e constatando que já havia indícios do triângulo por séculos antes de Pascal. Nestas páginas as notas introdutórias são do tipo:
Você conhece bem o Triângulo Aritmético? Talvez você não conheça nenhum triângulo com este nome, mas em compensação, já tenha trabalhado com o “Triângulo de Pascal”, ou talvez conheça um pouco do “Triângulo Combinatório”, do “Triângulo de Tartaglia” ou até mesmo do “Triângulo de Yang-Hui". Ficou confuso? Na verdade, todos estes nomes citados anteriormente, se referem ao mesmo triângulo, estudado e aperfeiçoado através dos séculos, por vários matemáticos, ou melhor, foram estudadas as mesmas propriedades matemáticas, variando de acordo com o matemático, origem e época. (Disponível em: <http://oitavoano2011-poliana.blogspot.com.br/2011/09/triangulo-aritmetico.html> Acesso em: 12 setembro 2013)
O triângulo de Pascal é de Pascal? Não! Isso é uma falácia clássica. Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma
descoberta ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo
combinatório. (Disponível em:
<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2b.html> Acesso em: 12 setembro 2013)
Outras três páginas apresentam textos breves e com menos detalhes que as três citadas anteriormente, mas também mencionam que o triângulo aritmético já era objeto de estudo, de alguns matemáticos, muito tempo antes de Pascal. Nestas páginas encontram-se notas assim:
O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em França, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais , onde representa o número da linha (posição horizontal) e representa o número da coluna (posição vertical), iniciando a contagem a partir do zero. O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal> Acesso em: 12 setembro 2013)
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si, com um pouco de bom senso é natural que suspeitemos que o triângulo aritmético não seja uma invenção de Pascal, mesmo porque, onze séculos antes de Pascal, Al-Karkhi conseguiu as primeiras soluções numéricas do triângulo, mas foi Pascal quem descobriu a maioria de suas propriedades e relações, o que justifica o nome que é dado ao triângulo. (Disponível em: <https://sites.google.com/site/ahistoriadotriangulodepascal/triangulo-de-pascal> Acesso em: 12 setembro 2013)
Na realidade, o triângulo aritmético já era conhecido na China, por volta de 1100, e para os chineses ele é conhecido como triângulo de Yang Hui. O conhecimento que se tem, hoje, sobre ele foi desenvolvido por árabes, chineses e europeus ao longo de vários séculos... O triângulo aritmético é conhecido como triângulo de Pascal porque ele o utilizou para resolver o problema dos pontos ou da
divisão da aposta. (Disponível em:
<http://www.pucrs.br/famat/viali/doutorado/literatura/artigos/planilhas /Viali_Silva.pdf> Acesso em: 12 setembro 2013)
Alguns dos resultados trazem notas curtas falando da relação de Pascal com o triângulo aritmético:
O triângulo aritmético é conhecido há muito tempo, mas recebeu o nome de 'Triângulo de Pascal' devido aos estudos que o filósofo e matemático Blaise Pascal (1623-1662) fez deste. (Disponível em: <http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_divertida/Tri%C3 %A2ngulo_de_Pascal> Acesso em: 12 setembro 2013)
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si, porém não é uma descoberta ou invenção de Pascal. (Disponível em: < http://matheusmathica.blogspot.com.br/2011/08/triangulo-aritmetico-de-pascal-e-de.html > Acesso em: 12 setembro 2013)
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado. Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro. (Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal. htm> Acesso em: 12 setembro 2013)
Com este tema percebeu-se que as informações encontradas na internet são coerentes com as da pesquisa de Iniciação Científica. Alguns sites trazem mais informações históricas que outros, no entanto todas as páginas visitadas apresentam algum tipo de nota histórica que, por mais curta que seja, possui informações coerentes.
Equação do segundo grau: Das dez páginas visitadas sobre este tema todas tinham
conteúdo relevante para o assunto, mas apenas quatro delas apresentavam algum tipo de nota sobre a fórmula resolutiva.
Uma das páginas traz uma explicação falando que Bhaskara desenvolveu a fórmula, entretanto também comenta que a nomenclatura “fórmula de Bhaskara” é utilizada apenas no Brasil:
No século XII, o matemático Bhaskara Akaria se dispôs a resolver esta equação e publicar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. Sabiamente, Bhaskara aplicou princípios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras fórmulas se derivaram, como as fórmulas de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos vértices de uma função quadrática... No Brasil, a fórmula é conhecida como Fórmula de Bhaskara, mas em outros países é conhecida simplesmente como a fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau, sem qualquer referência a Bhaskara, que foi um matemático e astrônomo indiano do século XII, e autor do livro Lilavat. A descoberta da fórmula costuma ser atribuída aos babilônios
antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi.
(Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3% A1tica> Acesso em: 13 setembro 2013)
Duas páginas trazem o mesmo trecho falando sobre a autoria da fórmula ser de um matemático hindu chamado Sridhara, nome que não aparece na pesquisa de Iniciação Científica:
Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
(Disponível em:
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm> ; <http://jmpmat5.blogspot.com.br/> Acesso em: 13 setembro 2013) Em outra página foi encontrada uma nota curta falando apenas que a fórmula é conhecida como fórmula de Bhaskara e sem maiores explicações:
Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução... Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. (Disponível em:
<http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx> Acesso em: 13 setembro 2013)
As outras seis páginas apresentaram somente explicações, exemplos e exercícios sobre como resolver uma equação do segundo grau.
Na pesquisa deste tema na internet observou-se que são encontradas poucas informações históricas e estas não são coerentes com as do trabalho analisado. Algumas mencionam que a fórmula é conhecida como “fórmula de Bhaskara” apenas no Brasil, porém ainda dizem que foi Bhaskara quem a publicou e continuam utilizando a nomenclatura.
Conclusões
Com a presente pesquisa foi possível concluir que a busca na internet, por informações históricas, pode ser confiável em alguns casos, mas em outros não. Para os temas escolhidos neste estudo, em geral as informações foram coerentes com as das fontes históricas utilizadas, apenas em um dos temas não foram encontradas informações relacionadas com as da pesquisa de Iniciação Científica.
Sobre o método de exaustão, o conteúdo da maioria dos sites traz a informação de que o inventor do método é Eudoxo e que Arquimedes foi o responsável por sua disseminação. Quando se tratou da regra de L’Hospital poucas páginas apresentaram notas históricas, mas as que o fizeram continham a informação de que L’Hospital apenas publicou a regra e algumas mencionaram o nome de Bernoulli como o verdadeiro autor. E na busca acerca do triângulo aritmético todas as páginas possuíam informações históricas, algumas mais completas que outras, que em geral mencionavam o estudo do triângulo em várias partes do mundo, muito tempo antes de Pascal, o que confirma que ele não é o autor. Já a pesquisa sobre a equação do segundo grau foi a única que não apresentou resultados coerentes com os do trabalho de Iniciação Científica, pois as poucas informações históricas encontradas chamavam a fórmula resolutiva de “fórmula de Bhaskara” e diziam que foi Bhaskara quem a publicou, o que, segundo o trabalho analisado, não é possível já que Bhaskara viveu no século XII e a fórmula só foi publicada no século XVII.
Vale ressaltar que os resultados apresentados neste trabalho são referentes a uma palavra chave de cada tema, que foi escolhida de acordo com o título de cada pesquisa analisada. As informações encontradas podem variar se escolhermos outras palavras chaves, dentro dos temas, para pesquisarmos.
Por fim pode-se dizer que se o estudante de matemática procurar por esses temas na internet ele terá acesso a informações históricas, algumas coerentes e outras não. Mas então cabe ao estudante comparar tais informações com uma fonte bibliográfica para confirmar sua veracidade.
Referências
BARONI, R. L. S.; NOBRE, S. R. A Pesquisa em História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. (org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
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PARANÁ. Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná: Matemática. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arvosFile/diretrizes_2009/matemat ica.pdf. Acesso em: 09 fev.13.
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