8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA

Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

MÉTODO DO CAMPO POTENCIAL VIRTUAL MODIFICADO PARA GERAÇÃO DE

CAMINHO COM OBSTÁCULOS POLIGONAIS

Costa, Trajano Alentar de Araujo1, Dutra, Max Suell2, Ferreira, Armando Morado3, Pérez, Omar Lengerke 4 1,2,4 _{Robotic and Automation Laboratory − COPPE/UFRJ Federal University of Rio de Janeiro, UFRJ Postal Box}

68.503 CEP 21.945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brazil.

3 _{Instituto Militar de Engenharia IME Exército Brasileiro, Pça Gen Tibúrcio, 80, Urca, Rio de Janeiro, RJ, Brazil.} 1_{trajano@ctex.eb.br,} 2_{max@mecanica.coppe.ufrj.br,} 3_{armando@ime.eb.br,} 4_{olengerke@unab.edu.co}

RESUMO

Neste trabalho, apresenta-se um Método do Campo Potencial Virtual Modificado (MCPVM), adaptado para geração de caminhos em espaços com obstáculos poligonais e com parâmetros de claro significado geométrico e topológico, do qual resultam ainda o imediato traçado do diagrama de Voronói e da triangulação de Delaunay.

PALAVRAS CHAVE: Robótica, Diagrama de Voronoi, Triangulação de Delaunay, Campo Potencial Virtual.

INTRODUÇÃO

O Método do Campo Potencial Virtual (MCPV) tem sido bastante utilizado em robótica para a geração de caminhos, um dos problemas fundamentais associados com a mobilidade autônoma. Os desenvolvimentos iniciais estão compilados no clássico livro de Latombe [1] e o atual estado da arte pode ser apreciado no recente livro de Choset et al [2]. Ambas as obras citadas são abrangentes ao descreverem diversos métodos de geração de caminhos e são complementadas pelo também recente livro de LaValle [3], ainda que este não abordando diretamente o Método do Campo Potencial Virtual.

No entanto, na maior parte das abordagens assume-se a simplificação de obstáculos pontuais e, em algumas propostas, os campos não tem uma clara correlação com a geometria e a disposição dos obstáculos, ou ainda apresentam valores infinitos para o potencial em pontos ou regiões, o que pode representar um inconveniente para métodos numéricos.

Neste trabalho, apresenta-se Método do Campo Potencial Virtual Modificado (MCPVM), adaptado para geração de caminhos em espaços com obstáculos poligonais e com parâmetros de claro significado geométrico e topológico.

Além disso, das propriedades do campo potencial proposto resulta que a partir do mesmo pode ser imediatamente traçado um Digrama de Voronói Generalizado (DVG) e identificados os vértices da triangulação de Delaunay, ambos tópicos de interesse para geração de caminhos. O DVG, como concebido por Choset e Burdick [4] consiste no lugar geométrico dos pontos equidistantes dos obstáculos, sendo tipicamente empregado em cenários que requeiram máximo afastamento dos obstáculos, como por exemplo o reconhecimento em campos minados. Já a triangulação de Delaunay, dual ao DVG, é característica de situações em que se deseja um máximo de aproximação com os obstáculos, como no reconhecimento de alvos.

Por último, ressalta-se que o método apresentado neste trabalho foi desenvolvido no contexto de uma tentativa de sintetizar métodos compatíveis e integrados para geração de caminhos, geração de trajetórias e controle ótimo para acompanhamento de trajetórias, com resultados satisfatórios [5].

Quanto à organização do texto, na seção 2 apresenta-se uma revisão do Método do Campo Potencial Virtual. Na seção 3, discute-se a proposta de modificação no Método do Campo Potencial Virtual a fim de adequá-lo ao uso computacional. Na seção 4 apresenta-se o traçado do DVG e a triangulação de Delaunay a partir do campo potencial proposto, seguindo-se as conclusões.

MÉTODO DO CAMPO POTENCIAL VIRTUAL

Neste método [1], o robô é tratado como uma partícula carregada sob a influência do campo potencial virtual gerado pelos obstáculos, contendo a mesma carga do robô, e o ponto objetivo contendo uma carga oposta. Com isso o robô tenderá a se afastar dos obstáculos, devido à componente de força repulsiva, e se aproximar do ponto objetivo devido à força atrativa.

O campo potencial tem associado a ele um problema de minimização do potencial, ou seja, os vales formados no espaço de trabalho do robô contém os lugares geométricos correspondentes aos pontos afastados dos obstáculos.

O campo potencial virtual é determinado por

( )

_A

( )

_R

( )

,

U q

r

=

U

q

r

+

U

q

r

(1) onde

( )

A

U

qr

(2)

é o potencial atrativo gerado pelo ponto objetivo,

( )

R

U

qr

(3)

é o potencial repulsivo gerado pelos obstáculos, e

[ ]

,

T

q

r

=

x y

(4)

é o vetor posição do robô.

( )

1

2

( )

2

A obj

U

q

r

=

ξρ

q

r

(5)

onde

ξ

é um fator de escala positivo e

ρ

_obj

( )

q

r

representa a distância euclidiana

,

obj

q

q

obj

ρ

=

r r

−

(6)

sendo

qr

_obj o vetor posição do ponto objetivo. O campo gerado pelos obstáculos é dado por

( )

( )

( )

( )

2 0 0 0

1

1

1

,

2

0,

R

se

q

U

q

q

se

q

η

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

⎧

_⎛

_⎞

⎫

⎪

−

≤

⎪

⎪

⎜

_⎜

⎟

_⎟

⎪

= ⎨

_⎝

_⎠

⎬

⎪

_>

⎪

⎪

⎪

⎩

⎭

r

r

r

r

(7)

onde

η

é um fator de escala positivo,

ρ

₀ é uma constante positiva denominada distância de influência e

ρ

( )

q

r

representa a menor distância do ponto indicado por

qr

e os obstáculos dada por

( )

q

min

q

q

_o

ρ

r

=

r r

−

(8)

sendo

qr

_o um ponto pertencente aos obstáculos.

Adota-se uma distância de influência para os obstáculos porque o seu efeito sobre o robô deve acontecer apenas quando o mesmo estiver próximo a eles, o que caracteriza o método como local.

A Figura 1 apresenta o campo potencial resultante de um ponto objetivo localizado na origem (0,0) e de um obstáculo pontual localizado em (-2,-2).

A proposta do método pode ser avaliada tomando-se como referência a Figura 1, e imaginando-se uma pequena esfera, possuindo um atrito de rolamento com a superfície potencial, que é solta em qualquer ponto do espaço considerado. A esfera irá deslizar até o ponto objetivo localizado em (0,0), e este será o ponto de equilíbrio estacionário desse sistema.

A força virtual atuante no robô é definida por

( )

( )

( )

,

T A R

F q

r

r

=

F

r

q

r

+

F

r

q

r

(9) onde

( )

( )

;

A A

F

r

q

r

= −∇

r

U

q

r

(10)

( )

( )

.

R R

F

r r

q

= −∇

U

q

r

(11)

O método apresenta vantagem que se refere à representação dos obstáculos e do espaço livre contido na área de trabalho do robô, que pode ser feita através de números que quantificam o potencial virtual de uma região, não sendo, portanto, necessários o armazenamento e o processamento de informações complexas referentes à geometria dos obstáculos. Além disso, pode fornecer diretamente uma lei de controle para guiar o robô entre os obstáculos até o seu objetivo e, assim, se presta a abordagens de controle ótimo.

No entanto, o método do campo potencial virtual não atende às restrições não-holonômicas comuns em robôs móveis, apresenta problemas decorrentes de mínimos locais e, tal como originalmente proposto, assume a simplificação de obstáculos pontuais e apresenta valores infinitos para o potencial em pontos ou regiões, o que pode representar um inconveniente para métodos numéricos.

Na seção que se segue, apresenta-se o Método do Campo Potencial Virtual Modificado (MCPVM), adaptado para geração de caminhos em espaços com obstáculos poligonais e com parâmetros de claro significado geométrico e topológico.

CAMPO POTENCIAL VIRTUAL MODIFICADO

Propõe-se um Campo Potencial Virtual Modificado, que limita o valor do potencial a valores finitos, aplicáveis em algoritmos computacionais, através da determinação de duas expressões, uma para os pontos interiores e a outra para os pontos exteriores a obstáculos poligonais, com limites definidos e que estabelecem um perfil de potencial contínuo e suave.

Duas definições são necessárias para o desenvolvimento da formulação:

Definição 3.1 (Distância aos obstáculos) A distância de um ponto aos obstáculos é determinada pela

menor distância entre o ponto considerado e todos os obstáculos, definida pela expressão

,

min

_i

,

1

_obs

d

=

q

r r

−

p

i

=

_K

N

(12)

onde

qr

é o vetor posição do ponto considerado,

p

r

_i é o vetor posição do ponto do obstáculo i mais próximo do ponto considerado e

N

_obs é o número de obstáculos.

Definição 3.2 (Ponto mais interno) O ponto mais interno de um obstáculo é aquele ponto interior ao

mesmo cuja distância às arestas (distância interior) é a maior possível:

int

max

i

,

1

arestas

,

d

=

∑

q

r r

−

p

i

=

_K

n

(13)

onde

qr

é o vetor posição do ponto considerado e

p

r

_i é o vetor posição do ponto da aresta mais próxima. A determinação da distância de um ponto a um obstáculo é facilmente computada com os seguintes passos: verificar se o ponto está fora de obstáculos, calcular a distância do ponto a todas as arestas e tomar a menor distância encontrada.

Já a determinação do ponto mais interno envolve a solução de um problema de maximização da distância interior, para o que na implementação para este trabalho utilizou-se o Método Downhill Simplex [6] com bons resultados.

Para o desenvolvimento das funções de campo potencial virtual (perfis de potencial), utiliza-se como base um polinômio de terceiro grau que relaciona o potencial com a distância do ponto considerado aos obstáculos. O polinômio base tem a forma

( )

2 3

0 1 2 3

,

U d

=

k

+

k d

+

k d

+

k d

(14)

onde as constantes

k

₁

_K

k

₄ são determinadas pelo sistema formado através da aplicação das seguintes condições de contorno

(

)

(

)

(

)

(

)

max max max

0

;

0;

'

0

1;

'

0;

U d

U

U d

d

U

d

U

d

d

=

=

=

=

=

= −

=

=

(15)

para os pontos externos, onde

U

é o potencial,

d

é a menor distância do ponto aos obstáculos e

U

_max é o valor máximo do potencial, correspondendo ao potencial na fronteira dos obstáculos,

(

)

(

)

(

)

(

)

Im Im Im

0

0;

;

'

0

1;

'

0;

ax ax ax

U d

U d

d

U

U

d

U

d

d

=

=

=

=

=

=

=

=

(16)

para os pontos internos, onde

d

_{Im ax} é o ponto mais interno,

U

_{Im ax} é o valor máximo do potencial no interior dos obstáculos, correspondendo ao potencial do ponto mais interno.

Do sistema formado pela Ec.(15)

0 max

1

2 3

0 1 max 2 max 3 max

2 1 2 max 3 max

1

0

2

3

0

k

U

k

k

k d

k d

k d

k

k d

k d

=

⎧

⎫

⎪

_{= −}

⎪

⎪

⎪

⎨

₊

₊

₊

₌

⎬

⎪

⎪

⎪

₊

₊

₌

⎪

⎩

⎭

(17) obtém-se a expressão

( )

(

max max

)

2

(

max max

)

3

max 2 3 max max

2

d

3

U

d

2

U

d

d

U d

U

d

d

d

−

+

−

=

− −

+

(18)

para o potencial no exterior dos obstáculos. A Ec.(18) possui as raízes

max max max max max max

,

,

2

d

U

d

d

U

d

⎧

⎫

−

⎨

₋

⎬

⎩

⎭

(19)

e para garantir a não existencia de mínimos no intervalo

[

0, d

_max

]

a restrição

max max

3

d

deve ser atendida.

A equação completa para o potencial externo deve considerar pontos além de

d

_max na forma

( )

0,

max

,

U d

=

d

>

d

(21)

uma vez que o potencial deve ser nulo para distâncias maiores do que a distância de influência dos obstáculos. Considerando os pontos internos, a partir da Ec.(16) chega-se ao sistema:

0 1 2 3 0 1 Im 2 Im 3 Im Im 2 1 2 Im 3 Im

0

1

2

3

0

ax ax ax ax ax ax

k

k

k

k d

k d

k d

U

k

k d

k d

=

⎧

⎫

⎪

₌

⎪

⎪

⎪

⎨

₊

₊

₊

₌

⎬

⎪

⎪

⎪

₊

₊

₌

⎪

⎩

⎭

(22)

e, considerando ainda que o potencial interior tem como valor mínimo

U

_max, que corresponde à fronteira dos obstáculos, obtém-se a expressão

( )

(

Im Im

)

2

(

Im Im

)

3 max 2 3 Im Im

2

3

2

.

ax ax ax ax ax ax

d

U

d

d

U

d

U d

d

U

d

d

−

−

= −

+

+

(23)

A Ec.(23) possui as raízes

(

)

(

)

(

)

(

)

2 Im Im Im Im Im Im Im Im 2 Im Im Im Im Im Im Im Im

0,

2

3

4

9

, ,

2

2

2

3

4

9

2

2

ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax

d

U

d

U

U

d

d

U

d

U

d

U

U

d

d

U

⎧

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

−

+ −

+

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

₋

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

−

− −

+

⎪

⎪

⎪

⎪

−

⎪

⎪

⎩

⎭

(24)

e para garantir a não existência de mínimos no intervalo

[

0,

d

_Imax

]

a restrição

Im Im

2

ax ax

d

U

≥

(25)

deve ser atendida.

A equação completa para o potencial interno deve também considerar pontos além de

d

Im ax na forma

( )

Imax

,

Imax

,

U d

=

U

d

>

d

(26)

muito embora esta situação não ocorra, já que o ponto mais interno define o valor de

d

_{Im ax}, e portanto não existirão pontos interiores com distância maior, porém erros na determinação do ponto mais interno podem ser mitigados desta forma.

Aplicando-se as Ec.(21) e (26) em um obstáculo unidimensional posicionado em

[ ]

1,3

, onde o ponto mais interno está localizado na coordenada 2,com

U

max

=

1

,

d

max

=

1

,

U

Imax

=

1

e

d

Imax

=

1

, obtém-se o resultado mostrado na Figura 2.

Observa-se a variação do potencial dentro dos limites estabelecidos para a distância de influência e o potencial do ponto mais interno.

Fig. 2: Perfil potencial para um obstáculo em no intervalo

[ ]

1,3

, com parâmetros normalizados.

DIAGRAMA DE VORONOI E TRIANGULAÇÃO DE DELAUNAY

No Método do Campo Potencial Virtual Modificado proposto, quando

( )

0,

U q

∇

r

r

=

(27)

e o ponto está fora dos obstáculos,

qr

está equidistante dos obstáculos, e implica que

qr

pertence ao conjunto dos pontos que formam o caminho de Voronói, desde que a distância de influência adotada seja maior do que a metade da maior distância entre os obstáculos.

Por outro lado, quando a Ec.(27) é satisfeita, ou seja, o gradiente do potencial é nulo, e o ponto correspondente é interior, trata-se de um ponto mais interno e, portanto, de um vértice da triangulação de Delaunay, que forma um problema dual com o diagrama de voronoi [7, 8].

Como exemplo, considera-se a situação ilustrada na Figura 3, com três obstáculos contidos em um espaço cercado retangular. Os níveis do campo potencial virtual determinado para este caso são representados na Figura 4. A Figura 5 apresenta as linhas com gradiente de potencial nulo fora dos obstáculos, ou seja, o diagrama de Voronói, e também os pontos mais internos, ou vértices da triangulação de Delaunay.

Fig. 3: Cenário com três obstáculos entre paredes.

Fig. 5: Gradiente de Campo Potencial

∇

r

U q

( )

r

.

CONCLUSÕES

O Método do Campo Potencial Virtual Modificado (MCPVM) proposto permite gerar caminhos em espaços com obstáculos poligonais e com parâmetros de claro significado geométrico e topológico, decorrendo ainda do mesmo o fácil traçado do Digrama de Voronói Generalizado (DVG) e dos vértices da triangulação de Delaunay.

Comparando-se com o método clássico, o Método do Campo Potencial Virtual (MCPVM) pode ser aplicado em algoritmos computacionais sem a necessidade de proteção do código para o tratamento de números infinitos, pois limita o valor do potencial a números finitos em um espaço bem definido.

REFERÊNCIAS

1. J. C. Latombe. Robot Motion Planning. Kluwer Academic Publishers, 1991.

2. H. Choset. Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms and Implementations. MIT Press, 2005. 3. S. M. LaValle. Planning Algorithms. Cambridge University Press, 2006.

4. H. Choset and J. Burdick. Sensor based exploration: The hierarchical generalized voronoi graph. The International Journal of Robotics Research, 19:96–125, 2000.

5. T. A. de A. Costa. Controle integrado de um veículo não-tripulado. Master’s thesis, Instituto Militar de Engenharia.

6. J. Nelder and R. Mead. Downhill simplex method. Computer Journal, 1965.

7. J. O’Rourke. Computational Geometry in C. Cambridge University Press, second edition, 1998. 8. P. J. Schneider and D. H. Eberly. Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann, 2003.

UNIDADES E NOMECLATURA

qr

Ponto no espaço considerado dado por

[ ]

x y

,

T(m)

( )

U qr

Potencial virtual no ponto

qr

(adimensional)

max

U

Potencial na fronteira dos obstáculos(adimensional)

Im ax

U

Potencial no ponto mais interno de um obstáculo(adimensional)

max

d

Distância de influência de um obstáculo(m)

Im ax

d

Distância do ponto mais interno de um obstáculo às suas arestas(m) obs

N

Número de obstáculos existentes no espaço considerado(adimensional)

( )

A

U

qr

Potencial atrativo gerado pelo ponto objetivo no ponto

qr

(adimensional)

( )

R

U

qr

Potencial repulsivo gerado pelos obstáculos no ponto

qr

(adimensional)

ξ

Fator de escala do potencial atrativo(adimensional)